2 Conduccion Unidimensional

2.1 Soluciones simples en 1D

2.1.1 Conduccion estacionaria sin fuentes.

Paredes planas

Un problema puede presentar caracterısticas fısicas que permiten simplificar lasecuaciones diferenciales del modelo. Condiciones de simetrıa o de relacion de as-pecto de un cuerpo ayudan a plantear una ecuacion para una sola dimension. Lafigura 2.1 muestra una pared plana de espesor L segun la coordenada x. Paralas demas coordenadas, podemos considerar que tiene dimension infinita. La massencilla de las soluciones aparece para la ecuacion de Laplace en 1D, ∂T 2∂x2 = 0.El campo de temperaturas es lineal y depende de las condiciones de borde. Deacuerdo con las condiciones de temperatura de la figura 2.1,

T (x) = x(TC − TH)/L+ TH (2.1)

Figura 2.1: Conduccion en una pared infinita de espesor L.

El vector densidad de flujo de calor correspondiente a esta solucion es:

¯q = λTH − TC

Lex

1

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Por otra parte, las condiciones de borde no son necesariamente de temperaturas1

sino tambien pueden ser flujos de calor impuestos. Utilizando la ley de Fourierqx = −λ∂T/∂x y la condicion es sobre la derivada2. Algunas sutilezas mas puedenaparecer cuando el flujo de calor es debido a conveccion o a radiacion.Si integramos el vector densidad de flujo para la superficie de la pared, por uni-formidad del mismo, esto equivale a multiplicar ¯q por la superficie para obtener elflujo de calor total Q.

Q = λSTH − TC

L(2.2)

Paredes curvas

En geometrıas cilındrica o esferica, el cambio de coordenas sobre la ecuacion deLaplace y la ley de Fourier modifica la solucion. En el caso de un cilindro de largoinfinito, por simetrıa y uniformidad, los cambios en la coordenada angular θ y enla coordenada del eje z son nulos. Luego,

∇2T = ∆T =1

r

∂

∂r

(r∂T

∂r

)+

1

r2

∂2T

∂θ2+∂2T

∂z2= 0

∆T =1

r

∂

∂r

(r∂T

∂r

)= 0(

r∂T

∂r

)= A⇒ ∂T

∂r=A

r(2.3)

=⇒ T (r) = A ln r +B (2.4)

Para condiciones de Dirichlet en las fronteras,

T (r) = TH +(TH − TC)

ln(R1/R2)ln(r/R1) (2.5)

Por otro lado, la ecuacion de Fourier para el flujo de calor:

¯q = −λ∇T = −λ(∂T

∂r,1

r

∂T

∂θ,∂T

∂z

)¯q = −λ

(∂T

∂r

)er

¯q = λ

((TH − TC)

ln(R1/R2)

1

r

)er (2.6)

1Recordar, de Analisis, condicion de tipo Dirichlet.2Idem, Neumann.

2

Conduccion 1D

En forma similar, para un cuerpo esferico, la solucion unidimensional de la ecuacionde Laplace con condiciones de borde Dirichlet resulta:

T (r) = TH +R2

R2 −R1

(TH − TC)

(R1

r− 1

)(2.7)

y el flujo de calor asociado:

¯q = λR1R2

R2 −R1

(TH − TC)1

r2er (2.8)

En ambos casos, si integramos el vector densidad de flujo obtenemos el flujo decalor total Q:

Qc = λ

((TH − TC)

ln(R1/R2)2πL

)cilindro (2.9)

Qe = λR1R2

R2 −R1

(TH − TC)4π esfera (2.10)

Resumiendo los 3 casos unidimensionales, el flujo de calor resulta:

Plana Cilındrica Esferica

Q =

(λS

L

)(TH − TC)

(λ2πL

ln(R1/R2)

)(TH − TC)

(λ4π

R1R2

R2 −R1

)(TH − TC)

2.1.2 Analogıa electrica.

Resistencia termica

Para cada caso, identificamos la diferencia de temperaturas (TH−TC) multiplicadapor una cantidad que llamaremos conductancias termicas a la conduccion. Lainversa de este valor es la resistencia a la conduccion. Pensando en una analogıa conun problema electrico, la diferencia de temperaturas es semejante a un potencialmientras que el flujo de calor puede asimilarse a una corriente:

∆T = QRtermica

Muchos procesos de transferencia de calor pueden ser escritos en la forma de unaresistencia, y la analogıa electrica permite ademas la formulacion de problemastermicos como problemas electricos aprovechando sus tecnicas de resolucion. Porejemplo, problemas de resistencias termicas en paralelo, en serie o redes de resis-tencias.

3

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Materiales presion Rugosidad intersticio Temp. Area especıficacobre-cobre 100kPa 0.2µm vacıo 46◦C 1.5× 10−4Km2/Wcobre-cobre 1000kPa 0.2µm vacıo 46◦C 1.3× 10−4Km2/Waluminio-aluminio 100kPa 0.3µm vacıo 46◦C 2.5× 10−3Km2/Waluminio-aluminio 100kPa 1.5µm vacıo 46◦C 3.3× 10−3Km2/Wacero inox.-acero inox. 100kPa 1.3µm vacıo 30◦C 4.5× 10−3Km2/Wacero inox.-acero inox. 1000kPa 1.3µm vacıo 30◦C 2.4× 10−3Km2/Wacero inox.-acero inox. 100kPa 0.3µm vacıo 30◦C 2.9× 10−3Km2/Wacero inox.-acero inox. 1000kPa 0.3µm vacıo 30◦C 7.7× 10−4Km2/Wacero inox.-aluminio 100kPa 1.2µm aire 93◦C 3.3× 10−4Km2/Waluminio-aluminio 1000kPa 0.3µm aire 93◦C 6.7×10-5Km2/Waluminio-aluminio 100kPa 10µm aire 20◦C 2.8× 10−4Km2/Waluminio-aluminio 100kPa 10µm helio 20◦C 1.1× 10−4Km2/Waluminio-aluminio 100kPa 10µm hidrogeno 20◦C 0.72× 10−4Km2/Waluminio-aluminio 100kPa 10µm aceite de silicona 20◦C 0.53× 10−4Km2/W

Cuadro 2.1: Resistencia de contacto.

2.1.3 Resistencia de contacto

Cuando dos solidos entran en contacto, aparece un fenomeno que se conoce comoresistencia de contacto. Aun cuando las superficies de ambos solidos se encuentranbien preparadas mecanicamente, estas no son perfectamente planas y la transmi-sion por vibracion de la red cristalina (o mediante el pasaje de electrones) se vealterada.Dado que el flujo de calor a traves de lo solidos es el mismo, dos paredes en serie,se cumple

Q1 = −λ1S∂T

∂x

∣∣∣∣1

= Q2 = −λ2S∂T

∂x

∣∣∣∣2

(2.11)

=⇒ λ1∂T

∂x

∣∣∣∣1

= λ2∂T

∂x

∣∣∣∣2

(2.12)

Por otra parte, al modelo de resistencias termicas en serie, se anadira entre ellasuna resistencia que representa al salto termico debido al contacto Rc = 1/(αcS)que existe entre una pared a T1 y la otra a T2. La tabla 2.1 resume algunos valorespara αc. Los valores corresponden para presiones y temperaturas moderadas.

Resistencia por conveccion

El fenomeno de conveccion sera estudiado en clases posteriores donde estudiaremosel detalle de la interaccion termica entre el solido y el fluido. La ecuacion quecaracteriza el flujo de calor por conveccion es la Ley de Newton:

qconv = αS(Ts − T∞) (2.13)

α representa el coeficiente de transferencia por conveccion, S la superficie del solidoexpuesto al fluido, Ts su temperatura y T∞ es la temperatura del fluido lejos del

4

Conduccion 1D

solido. La resistencia termica es Rconv = 1/(αS) y el flujo qconv puede representaruna condicion de borde para un problema de conduccion.

Resistencia por radiacion

La transferencia de calor por radiacion ocurre entre superficies debido a la emision yla absorcion de ondas electromagneticas. El fenomeno sera estudiado mas adelanteaunque adelantamos una expresion para la transferencia:

qrad = Sσε(T 4s − T 4

2 ) (2.14)

donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann (5,67×10−8W/m2K4), ε es la emisi-vidad de la superficie3 y T2 es la temperatura de la superficie del segundo cuerpo.Ambas temperaturas se expresan en Kelvin, temperatura absoluta. Dado que laexpresion contiene terminos de grado 4, se puede reescribir la expresion para llevara una forma mas cercana al planteo de resistencias termicas:

qrad = S σε(T 2s − T 2

2 )(Ts + T2)︸ ︷︷ ︸αrad

(Ts − T2) (2.15)

Cuando Ts y T2 no difieren mucho entre sı, siendo valores tıpicamente altos paraque la transmision por radiacion sea efectiva, (T 2

s − T 22 )(Ts + T2) ' 4T 3 siendo T

la temperatura media. La resistencia por radiacion resulta:

Rrad '1

Sσε4T 3(2.16)

Resistencia global

Cuando queremos caracterizar a un sistema donde se producen distintos modosde transferencia, aparecen estos formando parte de un circuito. Analogamente alo utilizado en problemas de circuitos, aparece una resistencia equivalente Req ysu inversa, un coeficiente global de transferencia del calor K. El flujo de calor seescribe para el caso plano segun:

Q = KS(T1 − T2)

2.1.4 Espesor crıtico de un aislante

Una forma de conseguir una disminucion de la transferencia de calor es medianteel agregado de un material aislante. Consideremos una temperatura interior de T0

3La emisividad es un parametro que varıa entre 0, en superficies muy reflectantes, y 1, ensuperficies muy absorbentes.

5

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

y una temperatura exterior de un fluido a T∞. Para el caso de una pared planade conductividad λ1 y espesor e1, si agregamos un aislante de conductividad λ2 yespesor x, podemos deducir una expresion para la resistencia termica:

Q =λ1S

e(T0 − T1)

Q =λ2S

x(T1 − T2)

Q = αS(T2 − T∞)

(2.17)

definimos R1 =e

λ1SR2 =

x

λ2SR3 =

1

αS

R1Q+R2Q+R3Q = (T0 − T∞)

ReqQ = (T0 − T∞)

Siendo Req =e

λ1S+

x

λ2S+

1

αS(2.18)

Cuanto mas espesor de aislante de conductividad λ2 agreguemos, mayor sera laresistencia al flujo de calor.Un caso mas interesante surge para geometrıas curvas. Para un cilindro que serecubre con un aislante, la expresion de la resistencia global es:

Req =ln(R2/R1)

2πλ1L+

ln(r/R2)

2πλ2L+

1

2πrLα

siendo r el radio que toma el aislante en su frontera con el fluido. La expresionno es lineal respecto a r y podemos plantear un problema de extremo. En efecto,¿cual sera el espesor crıtico para el cual la resistencia termica global es mınima ?Al contrario que en el caso anterior, la respuesta no es r = 0. Como Req es solofuncion de r:

dReq

dr=

1

r

1

2πλ2L− 1

2πr2Lα

dReq

dr=

1

2πr2λ2L

(r − λ2

α

)Podemos deducir un valor crıtico Rc = λ2/α para el cual Req es mınimo4. Luego,paradojicamente , agregar un espesor r = Rc de aislante transmite mas calor quesi no hubiera aislante alguno. Dos casos pueden suceder de acuerdo a la relacionentre Rc y R2. Para Rc < R2 El aislamiento termico comenzara a resultar efectivocuando Req > R(r = 0), en la figura 2.1.4 sera para r ∼ 15.

4Es mınimo pues la derivada segunda es siempre positiva.

6

Conduccion 1D

Figura 2.2: Cambio en la resistencia global en funcion del espesor del aislante.

2.2 Conduccion con generacion de calor

Como habıamos anteriormente presentado, la ecuacion para el problema unidi-mensional de transmision de calor con generacion de calor se describe mediante laecuacion de Poisson ∇T = −qv/λ. Varios ejemplos de la practica responden a estemodelo:i) Solidos atravesados por una corriente electrica; ii) Reacciones de fisionen barras de combustible nuclear; iii) sistemas con reacciones quımicas; iv) cuerposque absorben radiacion; . . . La ecuacion para la geometrıa plana es:

∂2T

∂x2+qvλ

= 0

La solucion general es un polinomio de grado 2,

T =−qv2λ

x2 + C1x+ C2 (2.19)

Sean las condiciones frontera:

Tx=0 = TH

Tx=L = TC

Sustituyendo

C2 = TH C1 =qv2λL− (TH − Tc)

L

=⇒ T =−qvL2

2λ

[x

L−(xL

)2]

+qv2λL− (TH − Tc)

Lx+ TH

7

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Figura 2.3: Campo de temperaturas para el problema de conduccion en una paredplana con generacion de calor.

Facilmente comprobamos que para qv → 0 recuperamos la solucion lineal (Figura2.2).

2.3 Aletas

Una forma de mejorar un diseno termico se logra mediante la introduccion deelementos que aumentan la superficie de intercambio, las aletas. De esta manera,un solido puede evacuar mas calor por conveccion de acuerdo a la ley de Newton(2.13). Existen numerosos ejemplos: la piel de algunos reptiles presenta formacionestipo aleta para intercambiar calor en forma mas eficiente; en condensadores y enmuchos intercambiadores de calor industriales es muy comun encontrar aletas; enmotores; en componentes electronicos; etc.Idealmente, la aleta aumenta la superficie pero debe considerarse tambien que elagregado de aletas a un cuerpo produce una diferencia de temperatura entre lapunta de la aleta y su base. Ası se define la efectividad de una aleta. Si

Raleta =1

αSη0 < η < 1

siendo η la efectividad, para el caso ideal η = 1 y no hay salto termico.La figura 2.3 muestra esquematicamente una aleta de espesor th, largo L, cuya

temperatura es en la base Tb, la temperatura del fluido que la rodea es T∞ y elcoeficiente de conveccion es α. La primera hipotesis que necesitamos para consi-derar flujo 1D, es que la temperatura es uniforme en cada seccion de la aleta, es

8

Conduccion 1D

Figura 2.4: Parametros de la aleta.

decir, despreciamos la conduccion en la direccion r. Podemos plantear la ecuacionde conservacion de la energıa para un diferencial dx:

q1St︸︷︷︸calor que entra

= q2St︸︷︷︸calor que sale axialmente

+ qrP︸︷︷︸calor que sale radialmente

donde St es la seccion transversal y P el perımetro de la aleta. Si desarrollamos:

q2 = q1 +∂q1

∂xdx

q1 = −λ∂T∂x

qr = α(T − T∞)

=⇒ λSt∂2T

∂x2= αP (T − T∞)

Podemos plantear distintas condiciones de borde, mientras que en la base de laaleta (x = 0) T = Tb, en el extremo x = L puede considerarse:

a. Conveccion:

−λSt∂T

∂x

∣∣∣∣x=L

= α∗St(T − T∞)

b. Transmision nula:∂T

∂x

∣∣∣∣x=L

= 0

c. Temperatura del fluido (para aletas muy largas):

Tx=L = T∞

9

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Figura 2.5: Campo de Temperaturas.

2.3.1 Determinacion del campo de temperaturas.

La condicion de borde (b) se acepta cuando St << PL, la fraccion de calor que seva por el extremo St es muy pequena comparada con la que sale por la superficiede la aleta restante PL. A fin de tener soluciones generales, realizamos un cambiode variable sobre la temperatura, θ = T − T∞ :

λSt∂2θ

∂x2− αPθ = 0

∂2θ

∂x2− β2θ = 0 con β =

αP

λSt

La solucion general:θ = C1e

βx + C2e−βx (2.20)

Con la condicion en el extremo∂θ

∂x

∣∣∣∣x=L

= 0 y en la base θx=0 = (θ0 = Tb − T∞).

Luego θ0 = C1 + C2. Obtenemos:

θ = θ0

[eβx

1 + e2βL+

e−βx

1− e−2βL

]= θ0

cosh(β(L− x))

cosh(βL)(2.21)

2.3.2 Flujo de calor.

El calor disipado lo obtenemos a partir de:

Q =

∫ L

0

αPθdx (2.22)

10

Conduccion 1D

Figura 2.6: Efectividad de la aleta.

de acuerdo a (2.21):

Q =θ0αP

βtanh(βL) (2.23)

Otra forma de obtener (2.23) es evaluando el flujo de calor en la base.

Q = λSt∂θ/∂x|x=0 (2.24)

2.3.3 Efectividad de la aleta.

Para evaluar la efectividad η comparamos el calor que disipa la aleta frente al calorque disiparıa si la temperatura fuese uniforme(θ = θ0) a lo largo de la aleta, esdecir:

Q

θ0αPL=

tanh(βL)

βL= η (2.25)

La resistencia termica de una aleta es, como habıamos definido,Raleta = 1/(αPLη).Si consideramos el area de cuerpo que no tiene aleta (FIGURA), tenemos una su-perficie que intercambia calor con una resistencia Rresto = 1/α(S − PL). Estaresistencia esta en paralelo con la de la aleta, luego R‖ = 1/(α(S −PL) +αPLη).Se puede ası definir una efectividad total ηT segun:

SηT = (S − PL) + ηPL

entonces,

ηT = 1− PL

S(1− η) (2.26)

11

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

12

Indice general

2. Conduccion Unidimensional 12.1. Soluciones simples en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.1.1. Conduccion estacionaria sin fuentes. . . . . . . . . . . . . . . 12.1.2. Analogıa electrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.3. Resistencia de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.4. Espesor crıtico de un aislante . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Conduccion con generacion de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Aletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1. Determinacion del campo de temperaturas. . . . . . . . . . . 102.3.2. Flujo de calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3. Efectividad de la aleta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

13