28

2. CARGAS AXIALES Y CORTANTE Este tema básicamente se trata de diseñar elementos estructurales bajo carga axial y revisión de esfuerzos en elementos existentes. El diseño consiste en determinar las propiedades geométricas de la estructura para que soporte las cargas actuantes, es decir, dadas unas cargas, encontrar la sección óptima que las resista, y que tenga las consideraciones de servicio y resistencia requeridos por los códigos de construcción. Mientras que los problemas de análisis, consisten en revisar que los esfuerzos en la sección, no superen los esfuerzos admisibles. Para esfuerzo uniformemente distribuido sobre el área:

misibleaEsfuerzo

ActuantesetransmitirporaCrequeridaArea

d

arg

−=

Esfuerzo y Deformación en miembros con carga axial Se tiene por ejemplo elementos de armaduras, columnas con cargas concéntricas, puntales, etc. Cambios de longitud: Suponga un resorte sometido a una fuerza axial P, y sufre una elongación δ.

La longitud final es: δ+= LL f

La fuerza es proporcional a la elongación.

δkP = Pf *=δ

k, f: Constantes de proporcionalidad rigidez y flexibilidad respectivamente.

δP

k = k: Rigidez – Fuerza requerida para producir un alargamiento unitario

fk

1= f: Flexibilidad – Alargamiento producido por una carga unitaria

Barras prismáticas: Elemento estructural con un eje longitudinal recto y sección transversal constante en toda longitud. Ejemplo de secciones transversales comunes

29

Alargamiento δ (delta)

elástico ,isotrópico homogéneo, Material L

; δεσ ==

A

P

εσ E HookeLey =

A

P

LE

δ=

AE

PL =δ laxia carga a sometida barra unaen Deflexiòn

Por analogía con la fuerza en un resorte se tiene:

δδ L

AE P P == k

(-) toAcortamien

)( toAlargamien +

AE

L

L

AEk =ƒ= Rigidez y flexibilidad axial de una barra prismática, se usa para

columnas y lementos bajo carga axial. Distorsión γγγγ La deformación angular o distorsión, se trata de forma análoga a las deformaciones axiales, pero el elemento a bajo fuerza cortante experimenta, un cambio de forma.

Usando la Ley de Hooke para cortante: γτ G=

La deformación angular es: γ

γδγ

L=

Done: γδ : Deformación transversal total del elemento

γL : Longitud del elemento.

V: Fuerza cortante sobre la sección efectiva de cortante As. El esfuerzo cortante es:

As

V

γ

γδL

G=

AsG

V γδ

L=

30

Por analogía con la fuerza en un resorte se tiene:

γδγ

γδγ L

AG V V == k

L

AG

γ: Rigidez a Cortante, se usa en muros y elementos con bastante peralte.

2.1. BARRAS NO UNIFORMES BAJO CARGA AXIAL: 2.1.1. Barra prismática cargada por más de una carga axial

1N : Fuerzas internas

iP : Cargas externas

Procedimiento para encontrar las deflexiones: 1) Se identifican los segmentos de la barra 2) Se determinan las fuerzas axiales internas 321 ,,N NN , en un DCL

∑ = 0VF

DCB PPP ++−=1N )1

DC PP +=2N )2

DP=3N )3 3) Se determinan los cambios en la longitud de los segmentos.

EA

LN

EA

LN

EA

LN33

322

21

1 === δδδ

iL : Longitud de los segmentos. EA : Rigidez axial de la barra.

31

4) Sumar las deflexiones en cada segmento 321 , , δδδ para obtener δ total en el elemento.

321 δδδδ ++= ∑ + toacortamien (-)y toalargamien )( lg δebraicaa 2.1.2. Barras con fuerza axial, dimensión y material diferente.

∑=

=n

i EiAi

NiLi

1

δ

1N = Fuerza axial interna 2.1.3. La fuerza axial N y el área A transversal varían a lo largo del eje

P: Carga axial distribuida, por ejemplo debido a fuerzas centrífugas, una barra vertical, la fuerza de fricción. El Área transversal se puede expresar como función de f(x)x →

)(

)(

xEA

dxxNd =δ N(x): Fuerza axial interna en la sección.

∫∫ ==L

xEA

dxxN0

L

0 )(

)(dδδ

32

PROBLEMA 2.1 [1]:Se tiene una barra AB de sección circular sólida ahusada, determinar el alargamiento producido por una carga axial P.

Área Transversal. Obtener A(x) transversal en cualquier sección

2/

2/

B

A

B

A

d

d

L

L=

semejantes Triangulos )1(B

A

B

A

d

d

L

L=

xL

dA

A AL

dAd(x)

x

d(x) ==

El área transversal a cualquier distancia x.

2

222

44

d(x) A(x)

A

A

L

xdππ ==

−=

−=BAA

A

LB

LAA

A

LLEd

PL

xEd

PL 114142

2

2

2

ππδ

semejantes Triangulos LL

L11

BA

=−

=−BA

AB

BA LL

LL

LL

33

=

=

B

A

ABAA

A

L

L

Ed

PL

LL

L

Ed

PL22

2 44

ππδ (2)

eemplazo (1) en (2)

BAdEd

PL

πδ 4=

Para una barra prismática se tiene: ddB ==Ad EA

PL

Ed

PL ==2

4

πδ

2.2. ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS : Existen más incógnitas que ecuaciones, a diferencia de las Estructuras estáticamente determinadas en las que se pueden determinar las reacciones y fuerzas internas a partir de las ecuaciones de equilibrio, estas estructuras no tienen suficientes ecuaciones, por lo tanto se requieren ecuaciones adicionales, estas se conocen como Ecuaciones de Compatibilidad. Se supone un barra prismática empotrada en sus extremos, con una carga P aplicada en a cierta altura, en el punto C. Ecuación de equilibrio

0=∑ yF

0R (1) A =+− BRP (2 Incógnitas) Como hay mas incógnitas que ecuaciones, por lo tanto se requiere una ecuación adicional Ecuación de compatibilidad El cambio de longitud de la barra debe ser compatible con las condiciones de soporte.

0=ABδ La deflexión final entre A y B debe ser cero. Relaciones fuerzas desplazamiento, Área = A, Modulo = E

)()arg( ncomprensiótoAcortamienEA

bRtensiónamientoal

EA

aR BCB

AAC −== δδ

0=−=+=EA

bR

EA

aR BACBACAB δδδ (2) Ecuación de compatibilidad

BA Ra

bR = (2) en (1)

L

PbR

L

PaRP

a

bR ABB ===

+ 1 Reacciones

34

LEA

Pab

EA

aRAAC ==δ Desplazamiento hacia abajo del punto c o alargamiento de AC

AL

Pb

A

RAAC ==σ Esfuerzos en el tramo AC

PROBLEMA 2.2 Fuente [1]: Un Tubo circular de cobre encierra un sólido de acero, como se observa en la Figura. Se tienen los siguientes datos: Acero As, Es, l Cobre Ac, Ec, L Hallar: a) Fuerzas de comprensión CS PyP

b) Esfuerzos de comprensión CS y σσ

c) Acortamiento δ del conjunto Ecuación de equilibrio:

0=∑ yF

)1( 0=−+ PPcPs Ecuación de compatibilidad: Las Placas extremas son rígidas.

CS δδ = (2) Relación fuerza – desplazamiento

CC

C

SS

S

CC

Cc

SSS AE

P

AE

P

AE

LP

AE

PsL =⇒==*

* δδ (3)

Resolvemos simultáneamente el sistema lineal reemplazando (3) en (1)

a)

+=

+=

CSS

CCC

CCSS

SS

EAE

AEPP

AEAE

AEPPs Fuerzas axiales

b) CCSS

C

C

CC

CCSS

S

S

SS AEAE

PE

A

P

AEAE

PE

A

P

+==

+== σσ

35

c) CCSCOC

C

SS

S

AEAE

PL

AE

LP

AE

LP

+===δ

2.3. EFECTOS TÉRMICOS Los Cambios de temperatura producen dilatación o contracción generando deformaciones TT ∆= αε y esfuerzos térmicos adicionales, siempre y cuando haya restricción o este empotrado el elemento, es decir que en estructuras estáticamente determinadas no se producen esfuerzos axiales por temperatura.

Tε = Deformación unitaria térmica (adimensional)

α = Coeficiente de dilatación [ ][ ]KC º1

º1

T∆ = Cambio de temperatura uniforme [ ][ ]KC ºº [ ]Fº Convención: Expansión (+) y Contracción)(− Relación temperatura – desplazamiento LTLTT )(∆== αεδ Incremento en cualquier dirección en este caso, en la dimensión Longitudinal L.

Tδ : Relación temperatura desplazamiento.

La Sección transversal también cambia, pero usualmente no afecta los esfuerzos axiales. Los Esfuerzos térmicos: se producen cuando se impide la libre expansión. PROBLEMA 2.3: Una columna de concreto se encuentra empotrada en sus extremos, hallar el esfuerzo Tσ producido por un cambio de temperatura ∆T, si el material es elástico lineal, homogéneo e isotópico.

36

Ecuación de equilibrio

0=∑ yF

)1( 0=+− BA RR Estáticamente Indeterminada Ecuación de compatibilidad

00 =−== RTABAB δδδδ Relaciones de desplazamiento

( ) 0=−∆=EA

LRLT A

AB αδ (2) despejo AR y reemplazo en (1)

Solución del Sistema de Ecuaciones lineales

( )TEARR BA ∆== α

A

R

A

R BAT ==α ( )TET ∆= ασ

• Coeficientes de dilatación térmica Concreto: CF 0606 /)10(14 a 7/108 a 4 −− =×

Acero estructural: CF 0606 /)10(12/105.6 −− =× Suponga un aumento de temperatura CT º150=∆ , si f´c = 210 kgf/cm2, calcular el esfuerzo.

2/2.181142210500.12'12500 cmkgfcfE === CT º150=∆

( )( )( ) 2/4.380º150/º610)(142/2.181142 cmkgfCCcmkgfT =−=σ 2/210 cmkgfcfT =′>σ Se fractura.

PROBLEMA 2.4 [2]: Las dos barras de latón y aluminio mostradas tienen las siguientes propiedades.

GPaEL 100=

GPaEA 70=

FL06 /)10(20 −=α

FA06 /)10(23 −=α FTi º60=

Hallar lσ y Aσ después de que la temperatura aumenta º100=∆T C, y la temperatura

inicial s 30°C.

Esfuerzo de comprensión cuando la temperatura aumenta

37

0005.0=+ AL δδ

0005.0)()( =∆+∆ AALL LTLT αα

Donde TiTfT −=∆

0005.0)( =+∆ AALL LLT αα

30)25.0)(10)(23()3.0)(10(20

0005.00005.066

++

=++

= −−TiLL

TfAALL αα

CTf 05.72=

Ecuación de compatibilidad: La deflexión total por temperatura menos la deflexión por la reacción debido a elongación por temperatura, será igual a cero.

0=−−+=−= RDARDLTATLRDTAD δδδδδδδ

0=−−′∆+′∆AA

AD

LL

LDAALL EA

LR

EA

LRLTLT αα

+=+′∆

AA

A

LL

LDAALL EA

L

EA

LRLLT )( αα

[ ]

)10)(70(4

)08.0(

25.0

)10)(100(4

)05.0(

3.0)25.0)(10)(23()3.0)(10(20)5.72130()(

92

92

66

ππ

αα

+

+−=+

+′∆=

−−

AA

A

LL

L

AALLD

EA

L

EA

LLLT

R

kNRD 83.301=

MPaA

R

L

DL 05.60

4

)08.0(

83.3012

===π

σ

Alternativamente se puede usar la ecuación:

0005.0=−−∆+∆AA

AD

LL

LDAALL EA

LR

EA

LRTLTL αα

38

PROBLEMA 2.5 [2]: Para la estructura mostrada hallar la fuerza en los elementos DE, BE y

DEF , BEF en los conectores de acero y la deflexión del punto A y C. Usar: P = 10 kN, Ea = 200GPa.

Ecuación de equilibrio barra AF.

∑ = 0FM

)1( 005.010.020.0 =++− DEBC FFP

Ecuación de compatibilidad. DEBC AA =

05.010.0DC δδ

=

)2( 2 DC δδ =

Relación fuerza desplazamiento

AE

LF

a

BCBCC =δ

AE

LF

a

DEDED =δ

AE

LF

AE

LF

a

DEDE

a

BCBC 2= )3( 4.2

2DEDE

BC

DEBC FF

L

LF ==

Reemplazo (3) en (1).

005.0)4.2(1.02 =++− DEDE FF kNFDE 9.6= kNFBC 77.11=

δD

δA

δC

39

b) mmmC 073.0)10(29.7)00635.0)(0127.0)(10(200

)10.0(10*77.11 59

3

=== −δ

1.0

073.0

2.0=Aδ

mmA 146.0=δ

2.4. CARGAS DE IMPACTO Las cargas se clasifican en estáticas o dinámicas. Las estáticas se aplican lentamente y no causan vibraciones, se aumentan gradualmente desde cero hasta su valor máximo y luego permanecen constantes. Las cargas dinámicas se aplican repentinamente (carga de impacto) y otras permanecen y varían con el tiempo, como los sismos (cargas aleatorias), maquinarias, viento, oleaje, etc. Por ejemplo se suelta una masa M sobre una barra sin rozamiento, al golpear el tope inferior, la barra se alarga y se comprime en un moviemiento de vibración axial, hasta que se detiene por el amortiguamiento interno del sistema. Se determinará la respuesta de la barra por medio de un análisis aproximado. Rango elástico Deflexión natural elástica lineal

δδL

AEP

AE

PL == ,

Reemplazo P en la ecuación de energía de deforamación y se tiene Energía de deformación en función del alargamiento

L

AEU

2

2δ=

Expresando en función de las cargas.

AE

LPU

2

2

=

Energía de deformación (área bajo la curva)

40

Durante el impacto de la masa, la energía cinética se transforma en energía de deformación de la barra, otra parte se disipa en calor. Y causan deformaciones plásticas, y un remanente queda como cinética desplazando el tope hacia abajo. Para simplificar el análisis se supone que al momento del impacto, la masa M no rebota y se queda adherida. Se desprecian todas las perdidas de energía, lo cual es conservador ya que produce mayores esfuerzos. Se desprecia el cambio de la energía de deformación en la barra como consecuencia del alargamiento y por ultimo se supone que los esfuerzos actúan en el rango elástico lineal y la distribución de esfuerzos es uniforme en toda la barra. El alargamiento máximo de la barra maxδ , se encuentra utilizando el principio de conservación de la energía, se iguala la energía potencial elástica y la gravitacional.

0maxmax2

2

maxmax

2

maxmax)(

2211

2

2

2

=−−

=+

=+

+=+

mghmgL

AEL

AEmgmgh

L

EAhmg

VKVK

δδ

δδ

δδ

+

+=AE

mgLh

AE

mgL

AE

mgL2max

2

δ

El desplazamiento máximo maxδ aumenta, si aumenta mg, y disminuye si aumenta la rigidez axial AE. Pero para una carga estática mg se tiene que:

AE

mgLst =δ

sthstst δδδδ 2max 2 ++=

++=

sth

st δδδ 211max

Si h es grande en comparación con stδ , el desplazamiento estático al cuadrado se puede despreciar.

sthδδ 2max=

Pero se tiene AE

mgLst =δ y ghv 2= velocidad en caída libre

g

vh

2

2

=

hAE

mgLv

2

2max

2

=δ

AELmv2max=δ

Las ecuaciones anteriores son aplicables solo en la posición mas baja de M.

41

El Esfuerzo máximo de la barra, se encuentra suponiendo que la distribución de esfuerzos es uniforme:

L

EE

L

AE

PL

δσ

σδ

=

==

L

E maxmax

δσ = Sustituyendo en

++=

sth

st δδδ 211max

AL

mghE

A

mg

A

mg 22

+

+=σ

Usando: A

mg

L

stEst == δσ

stL

hEstst σσσσ 2

max 2 ++=

++=

stL

hEst

σσσ 2

11max

Una carga estática produce mayores esfuerzos que cuando se aplica en forma lenta. Si h es muy grande:

AL

Emvst

L

hE 22max == σσ Un aumento de energía cinética 2

2

1mvK = , causa esfuerzos

mayores. El Factor Impactoes una relación entre la respuesta dinámica y la estática, representa cantidad de alargamiento amplificado.

stFI

δδ max=

La Carga Súbita aplicada sin velocidad inicial , cuando h=0, stδδ 2max = , Para este caso FI=2.0 2.5. COMPORTAMIENTO NO LINEAL Se consideran elementos con carga axial cuyos esfuerzos excedan el límite proporcional, o superen el rango elástico lineal. Curvas Esfuerzo-Deformacion No Lineal: Estas curvas se representan por funciones idealizadas del comportamiento del material.

42

2.5.1 Ley Esfuerzo – Deformación Unitaria de Ramberg-Osgood Utilizada en metales como aluminio y magnesio.

m

u

+=

00 σσα

σσ

εε

σ yε : esfuerzo y deformación unitario

oε , oσ , α y m: constantes del material obtenidos de pruebas en tensión. Otra forma de la ecuación es:

m

o

o

+=

σσασσε

EE

o

o

εσ

=E Modulo de elasticidad en la parte inicial de la curva esfuerzo -deformación unitaria

Para un aluminio:

Diagrama bilineal Esfuerzo-Deformación para representar materiales con endurecimiento por deformación.

43

107

3

2603800

7010*10E 3

=

=

====

m

MPapsi

GPaksi

o

α

σ

Sistema internacional (S.I) (MPa) σ

m

+=2602.628

1

70000E

σσ

Sistema ingles (psi) σ

m

+=260614

1

10*10E

6

σσ

2.5.2 Análisis Elastoplástico Para una barra en tensión hecha de material elastoplástico.

PROBLEMA 2.8. Dibujar los diagramas carga-deflexión del tubo y la barra, cuando se aplica una fuerza axial P. Los dos están hechos de un material elastoplástico y unidos en el extremo por una platina rígida. Barra

2

B

5.0

248

210E

cmA

MPa

GPa

B

yB

=

==

σ

Tubo

2

T

8.0

310

105E

cmA

MPa

GPa

T

yT

=

==

σ

44

Barra

mLL

kNAP

yByByB

ByByB

39

6

B

26

10*18.10.1*10*210

10*248

E

4.12100/5.0*10*248

−====

===

σεδ

σ

Tubo

mL

kNAP

yTyT

TyTyT

39

6

T

26

10*95.20.1*10*105

10*310

E

8.24100/8.0*10*310

−===

===

σδ

σ

La carga y la elongación del tubo y la barra son: P = PT + PB δ = δT = δB

2.5.3 Estructuras Estáticamente Indeterminadas Para estructuras con comportamiento elastoplástico y estáticamente indeterminadas, al principio algunos elementos llegan primero a la fluencia debido a las cargas, y si la carga sigue aumentando, finalmente todos los elementos fluirán. PROBLEMA 2.9 [1] Se considera tres barras de acero unidas por una placa infinitamente rígida. Encontrar el desplazamiento de fluencia y el desplazamiento plástico.

45

Ecuación de equilibrio:

PFF =+ 212 (1) Ecuación de compatibilidad:

21 δδ =

2,1δδ : Alargamiento barra interior y exteriores En el rango elástico:

E

F2L22

E

111

AA

LF == δδ Reemplazando en (2)

2211 LFLF = (2)

)221(

1

A

F22

2L2)A(L1

PL2

11

2L2L1

PL1F2

221

21

LLA

PL

A

F

LL

PLF

+==

+==

+=

+=

σσ

Como 2 1 LL ⟩ , la barra interior es sometida a un mayor esfuerzo y alcanzará la fluencia primero.

fluencia de Carga 1

221

2

+=

=

L

LAP

AF

yy

y

σ

σ

E

2

E

22

E

22 LL

A

LF yy

σσδ === Desplazamiento de fluencia

Relación Carga-Desplazamiento

46

Después que se sobrepasa la carga Py, la fuerza AF yσ=2 permanece con valor constante ya

que esa barra ha fluido primero y alcanzado un estado plástico, mientras que las fuerzas en las barras exteriores alcanzan la fluencia AF yσ=1 , aunque la estructura no puede soportar

carga adicional. Después las tres barras se alargan plásticamente con la carga Pp (carga plástica). La cual se puede hallar:

AF yσ=1 AF yσ=2

Del equilibrio APp yσ3=

El desplazamiento plástico, es el momento en que la carga plástica alcanza Pp.

E

1

E

11

E

11 LL

A

LF yp

σσδ ===

En general la razón de desplazamientos es menor que la de cargas, y por tanto la razón plástica tiene una pendiente menor que la zona elástica.

LL

L

P

P

L

L

y

P

y

P

21

13

2

1

+=

=δδ