2 직선운동

1993년 9월 26일 디젤기관 기술자 먼데이가 공기구멍을 낸 쇠 통을 타고 캐나다 쪽 나이아가라 폭포에 들어가 48 m 아래 물로 떨어졌다. 앞서 다른 모험가가 이 시도를 하다가 죽었으므로, 두 번째로 시도한 그는 그렇게 떨어져도 살아남고자 추락에 관한 물리학 및 공학적 측면을 많이 연구했다.

그는 쇠 통이 곧바로 아래로 떨어져 물에 부딪치는 속력을 어떻게 예측할 수 있었을까?

2-1 운동

운동학(Kinematics) - 운동 자체를 기술하고, 분석함동역학(Dynamics) - 운동의 원인을 따지고, 그 결과를 분석함

앞으로 다룰 운동 1. 직선 운동2. 입자의 운동

생각 2-1

다음에서 직선 운동은?

(a) 롤러코스터를 따라 오르내리는 수레,

(b) 곧바로 위로 쏘아 올린 대포알,

(c) 곧은 도로를 따라 달리는 차,

(d) 45 기울어진 비탈길을 따라 곧바로 굴러가는 공.

생각 2-2

입자와 가장 비슷한 물체를 차례대로 늘어놓아라.

(a) 높이뛰기를 하려고 달린 거리 25m에 대한 키 2m인 선수,

(b) 새총의 사거리 5 m에 대한 납총알,

(c) 해를 중심으로 하는 지름 3×10 m인 궤도에 대한 지름 13×10 m인 지구

2-2 직선 위의 위치, 변위

l 좌표계

운동을 공부하려면 물체의 위치를 명시할 수 있어야 함

(원점, 좌표축, 방향)

l 위치 벡터

물체의 위치는 좌표계의 원점과 물체의 위치로 정의되며, 벡터(크기와 방향이 있는 양)로 기술함

크기: 원점에서 물체까지의 거리

방향: 원점에서 물체를 보는 쪽

좌표축 방향의 단위 벡터: 차원이 없는, 크기 1인 벡터, 좌표축의 (+)쪽을 가리킴

i mi※ i i i

l 변위 벡터

어느 시간 동안의 물체의 위치 변화

≡

i i i i

보기 1. m i , m i

i m m i m i

보기 2. m i , m i i m m i m i

보기 3. m i , m i i m m i m i

생각 2-3

처음과 나중 위치의 성분이 모두 음수일 때, 변위의 성분이 양수가 될 수 있는가?

따라. 2-1 변위

(a) 변위가 (-)인 것?

(b) 낱낱의 변위 벡터?

(c) 낱낱의 변위 벡터의 크기?

※ i 1) 는 늘 양수인가?

2) : 벡터 의 크기

3) i

위치를 시간의 함수 로 나타낸 그림

0.5초마다 사진을 찍어 겹친 것

2-3 속도와 속력

l 운동을 나타내는 그림

빠르기?

평균 기울기 ≡

크기: 1초(단위 시간)에 간 거리

부호: 방향(+: 오른쪽, -: 왼쪽)

l 평균 속도

⟨⟩≡

i

i

i 그림 해석: 두 점을 잇는 직선의 기울기

보기 1: 평균 속력 ( = 1.0 초, = 1.5초)

⟨⟩

i

s sm m

i msi

보기 2: 평균 속력 ( = 2.0 초, = 2.5초)

⟨⟩

s sm m

i msi

l 평균 속력

⟨⟩≡

움직인 거리

보기 1: 평균 속도의 크기와 평균 속력이 같을 때 ⟨⟩ ⟨⟩? 동안 한쪽으로만 움직일 때

보기 2: 동안 움직여 제자리로 돌아올 때의 평균 속도, 평균 속력? ⟨⟩ 0, ⟨⟩ ≠ 0

l 순간 속도 및 속력

※ 시각(instant in time)과 시간(time interval)

시각 () = 아날로스 시계: 바늘의 위치; 디지털 시계: 글자판의 숫자

시간 () = 아날로스 시계: 바늘의 위치의 변화; 디지털 시계: 글자판의 숫자의 변화

순간 속도 ≡

i

i

순간 속력 ≡

생각 2-3

집에서 동쪽으로 10 km에 있는 가게에 차를 몰고 갔다가, 차를 돌려 집에 갔다가 다시 가게로 오니

걸린 시간이 30분이었다.

(a) 전체 운동의 평균 속도?

(b) 전체 운동의 평균 속력?

(c) 평균 속도와 평균 속력의 값이 다른 까닭?

생각 2-5차의 속력계에서 읽는 값: 평균 속력, 순간 속력, 평균 속도, 순간 속도?

생각 2-6축을 따라 움직이는 입자의 위치 성분 네 가지 (의 단위: 초; )

(1) ms m ; (2) ms m ; (3) ms; (4) m .

(a) 입자의 속도 가 일정한 상황?

(b) 입자의 속도 가 -쪽을 향하는 상황?

따라. 2-2 연료 고갈

낡은 짐차를 속력 70 km/h로 몰고 곧은길을 따라 8.4 km를 가자, 연료가 떨어져 섰다. 그 뒤 30분 동안

길을 따라 2.0 km 걸어서 주유소에 도착했고, 휘발유를 받아 짐차로 되돌아오는데 45분이 걸린다.

(a) 차가 떠난 곳에서 주유소까지의 전체 변위? (b) 차가 떠난 때부터 주유소에 도착할 때까지의 시간?(c) 차가 떠난 때부터 주유소에 도착할 때까지의 평균 속도 ⟨⟩?

(d) 차가 떠난 때부터 휘발유를 가지고 짐차로 되돌아올 때까지의 평균 속력?

생각 2-7따라 2-2에서 화물차에 연료를 채운 뒤 바로 35 km/h의 속력으로 까지 되돌아간다. 전체 여행 구간에

서 평균속도?

2-4 속도 변화 기술

속도 변화를 기술하는 방법 둘:

1) 단위 거리를 가는 동안의 속도 변화

2) 단위 시간을 가는 동안의 속도 변화

l 평균 가속도 ⟨⟩≡

i

l 순간 가속도 ≡

i

i

생각 2-6

어떤 차가 축을 따라 다음과 같이 움직일 때 가속도의 부호?(a) + 쪽으로 가며 속력이 빨라진다, (b) + 쪽으로 가며 속력이 느려진다, (c) - 쪽으로 가며 속력이 빨라진다, (d) - 쪽으로 가며 속력이 느려진다.

따라. 2-3 위치와 운동축 위에 있는 어떤 입자의 위치가 다음과 같다 (의 단위: m; 의 단위: 초):

m ms ms

(a) 입자의 속도 함수 와 가속도 함수 를 구하라.

(b) 인 때가 있는가?(c) ≥ 일 때의 입자의 운동을 기술하라.

2-5 가속도가 일정한 운동

l 운동학 방정식 끌어내기

가속도 가 일정 (상수)

속도 구하기

양쪽을 시간에 대해 적분

오른쪽

왼쪽

따라서

위치 구하기

양쪽을 시간에 대해 적분

오른쪽

첫항

둘째항

왼쪽

따라서

■ 가속도가 일정한 입자의 위치, 속도, 가속도의 시간 변화

l 나이아가라 폭포 떨어지기 (48 m)

궁금? 얼마나 오래 걸리는가 ()?

물에 박힐 때의 속력은 얼마인가 ()?

조건 가속도: = -9.8 m/s

= 0, = 48 m, = 0,

= ? = 0 m = ?

()?

⇒

ms⋅m

3.13 s = 3.1 s

()? ms⋅ s = -31 m/s

따라. 2-4 속력 줄이기포르쉐를 120 km/h로 몰다 순찰차를 보자 바로 가속하여 88.0 m를 가는 동안 100 km/h로 급히 줄였다.

(a) 가속도는 얼마인가?(b) 속도를 그렇게 줄이는데 걸린 시간은 얼마인가?

풀이

1) 조건 = 0 s, = 0 m, = 120 km/h, ? (일정)

= ?, = 88.0 m, = 100 km/h

2) 운동학 방정식

(1)

(2)

가속도 와 시간 를 모르지만, 과 는 알고 있으므로 식(2)에서

(2‘)

식(2‘)를 식(1)에 넣으면

(1‘)

따라서

걸린 시간

⋅

⋅ kmh m

⋅

⋅kmm⋅h

⋅

⋅

mm⋅× s

2.88 s

가속도

⋅skmh

⋅h⋅skm

⋅

× s⋅s m

1.93 m/s

따라. 2-5 운동 자료

양탄자에서 미끄러지는 상자의 위치변화 표

(a) 시간-위치 그림표 (b) 운동 그림 (c) 가속도?

풀이

(a)

(b)

(c)

따라. 2-6 움직인 거리

풀이

등가속 운동: = 0.4 m/s

운동 방정식:

= 1.1 s, = 2.0 s; = 0.4 m/s

ms s

ms s

≈ 0.5 m