10

2 Elektrostatické pole Uviedli sme už, že elektrické náboje na seba pôsobia silami. Elektrické náboje sú od

seba vzdialené a je na mieste otázka, čím je toto silové pôsobenie sprostredkované. Otázku si položil už Faraday a zaviedol predstavu, podľa ktorej náboje na seba pôsobia prostredníctvom elektrického poľa. Každý elektrický náboj vytvára vo svojom okolí elektrické pole a až toto pole pôsobí na ďalší elektrický náboj. Ak elektrický náboj zmení svoju polohu, tak sa zmení aj jeho elektrické pole a táto zmena sa šíri rýchlosťou svetla. To, že silové pôsobenie sa šíri konečnou rýchlosťou ukázala až teória relativity na začiatku minulého storočia. V elektrostatike sa však so šírením elektrického poľa nebudeme zaoberať. Elektrické pole sa prejavuje silovým účinkom a sila je vektorová veličina. Elektrostatické pole preto budeme charakterizovať vektorovou funkciou. Neskôr si ukážeme, že elektrické pole je aj energetickým prejavom elektrického náboja. Silové pôsobenie medzi elektrickými nábojmi vo všeobecnosti závisí od toho, či sú náboje v pokoji, alebo vo vzájomnom pohybe. V tejto kapitole sa budeme zaoberať elektrostatickým poľom, teda poľom, ktoré vytvára elektrický náboj, ktorý je v pokoji. 2.1 Intenzita elektrického poľa

Vzťah (1.1) vyjadrujúci elektrickú silu medzi dvoma elektrickými nábojmi môžeme chápať ako funkciu veľkostí obidvoch nábojov F(Q1, Q2). Z hľadiska veľkosti elektrického náboja Q2, resp. Q1 je táto funkcia lineárna. To znamená, že v danom bode je sila F pôsobiaca na elektrický náboj Q2 priamo úmerná jeho veľkosti. Ak vydelíme túto silu veľkosťou elektrického náboja Q2, dostaneme číselne hodnotu sily, ktorá by v danom bode pôsobila na jednotkový kladný elektrický náboj. Inak povedané, ak určíme silu, ktorá v danom bode pôsobí na jednotkový elektrický náboj, tak vieme jednoducho vypočítať silu pôsobiacu na ľubovoľne veľký elektrický náboj v tomto bode. Zatiaľ je to úplne formálny postup, ale ako uvidíme neskôr, má hlbšie fyzikálne opodstatnenie. Je potrebné ešte poznamenať, že testovanie sily pomocou jednotkového elektrického náboja musíme robiť opatrne. V niektorých sústavách jednotiek, vrátane SI, je veľkosť jednotkového elektrického náboja veľmi veľká. Takýto veľký elektrický náboj sa prakticky nedá použiť na testovanie, lebo by mohol výrazne zmeniť pôvodné rozloženie elektrických nábojov a teda aj pôvodné elektrické pole. Napríklad svojimi účinkami zmeniť rozloženie elektrického náboja na vodičoch, ktorých elektrické pole určujeme. O skúšobnom elektrickom náboji teda budeme predpokladať, že je „dostatočne malý“.

Nech do počiatku súradníc umiestnime elektrický náboj Q a testovací náboj je elektrický náboj Q0. Intenzita elektrického poľa v bode s polohovým vektorom r bude podiel sily v danom mieste poľa a testovacieho elektrického náboja Q0. Pre elektrostatické pole bodového elektrického náboja dostaneme

03 20 0 0

( ) =4 4

Q QQ r rπε πε

= =FE r r r (2.1)

Obr.2.1 V poslednom vzťahu r0 je jednotkový vektor v smere vektora r. Vektor intenzity elektrického poľa vytvoreného bodovým elektrickým nábojom Q je zobrazený na obr. 2.1.

z

xy

rQ0 F

E

Q

11

Predchádzajúce úvahy môžeme zovšeobecniť na ľubovoľnú sústavu elektrických nábojov, ktorá vyvoláva silové účinky na testovací elektrický náboj Q0 v bode r. Ak vo vzťahu (1.4) vydelíme silu F veľkosťou testovacieho náboja Q0, pre intenzitu elektrického poľa dostávame:

( )3

1,0 0

1( )4

ii

i n i

QQ πε=

−= =

−∑

F r r rE rr r

. (2.2)

Intenzita elektrického poľa sa číselne rovná sile, ktorá by v danom mieste pôsobila na jednotkový elektrický náboj. Intenzita elektrického poľa je vektorová veličina a vektor intenzity elektrického poľa v danom bode má smer sily, ktorá by v danom mieste pôsobila na kladný elektrický náboj. Jednotka intenzity elektrického poľa je

[ ] 1 1N J= m = VmC C

E − −=

a jej rozmer v sústave SI je N/C = kg m A−1 s−3. Z praktických dôvodov sa intenzita elektrického poľa vyjadruje v jednotkách volt/meter = V m−1.

Ak poznáme intenzitu elektrického poľa v určitom mieste, tak sila pôsobiaca v tomto mieste na ľubovoľný elektrický náboj Q je

Q=F E (2.3) Veľkosť a smer sily F pôsobiacej na elektrický náboj Q v elektrickom poli závisí od jeho polohy a teda je funkciou r. To znamená, že aj intenzita poľa E je funkciou polohy r, čiže E = E(r). Doteraz sme formulovali vzťahy pre intenzitu poľa vytvoreného jedným bodovým elektrickým nábojom, resp. sústavou bodových elektrických nábojov. Vo všeobecnom prípade, ak elektrické pole je vytvorené nabitým telesom rôzneho tvaru, určíme intenzitu elektrického poľa integráciou elementárnych príspevkov k celkovej intenzite elektrického poľa od elektrických nábojov rozložených spojito v elementoch objemu, resp. na plošných elementoch povrchu telesa. Využijeme pri tom pojem hustota elektrického náboja, definovaný vzťahmi (1.6 – 1.8) a princíp superpozície. 2.1 Znázorňovanie elektrostatického poľa, siločiary

Popis elektrických polí pomocou vektorovej funkcie súradníc je matematicky dosť abstraktný. Snažíme sa preto nájsť vhodné grafické zobrazenie, aby sme získali predstavu o priestorovom rozložení takýchto polí. Najjednoduchší spôsob znázorňovania elektrických polí spočíva v tom, že si vytvoríme hustú sieť bodov a v každom bode nakreslíme vektor, ktorého smer je totožný so smerom vektora E v danom bode a dĺžka vektora je úmerná veľkosti vektora E. Typická ukážka takéhoto spôsobu znázornenia poľa E(r) je na obr. 2.2. Nevýhodou tohoto spôsobu je, že ak si zvolíme určitú mierku, tak mnoho vektorov má príliš malú dĺžku, iné vychádzajú veľmi dlhé. Zobrazením získame dobrú predstavu o priebehu elektrického poľa iba v dosť malej oblasti. Inou modifikáciou predchádzajúcej metódy je znázorňovanie elektrických polí pomocou elektrických siločiar.

Obr. 2.2 Typická ukážka znázornenia elektrického poľa E pomocou vektorov.

12

Elektrické siločiary sú orientované krivky, ktorých dotyčnica v každom bode má smer intenzity elektrického poľa. Zdanlivou nevýhodou tejto metódy je, že z obrázku nevidieť veľkosť elektrického poľa v jednotlivých bodoch. V skutočnosti však z obrázka možno vyčítať určitú informáciu o veľkosti elektrického poľa, lebo veľkosť intenzity elektrického poľa rastie s hustotou siločiar. Ukážka znázornenia elektrického poľa dvoch rovnakých kladných elektrických nábojov pomocou siločiar je na obr.2.3 .

V blízkosti kladného elektrického náboja sila pôsobiaca na jednotkový kladný náboj je odpudivá, čiže smeruje od kladného elektrického náboja. Z definície intenzity elektrického poľa potom vyplýva, že elektrické siločiary vychádzajú z kladných elektrických nábojov (v kladných elektrických nábojoch je „žriedlo, zdroj“) a končia na záporných elektrických nábojoch („nora, prepad“). V tesnej blízkosti elektrických nábojov ako zdrojov elektrického poľa majú siločiary evidentne radiálny charakter (vystupujú z elektrických nábojov, alebo vstupujú do nich). Príklad 2.1 Vo vzdialenosti 20 cm od seba sú pevne uložené dva kladné elektrické náboje Q1 = 9μC a Q2 = 4μC. V ktorom mieste na ich spojnici sa intenzita elektrického poľa rovná nule? Riešenie: Podľa obrázku 2.4 je zrejmé, že výsledná elektrická intenzita

môže byť nulová iba v oblasti II. Výsledná intenzita elektrického poľa v bode P sa rovná súčtu intenzít E1 a E2, ktorými prispievajú jednotlivé náboje. Intenzita sa rovná nule, keď E1 + E2 = 0. Podľa obrázka je to vtedy, keďE1 = E2, teda

1 22 2

0 1 0 2

1 14 4

Q Qd dπε πε

= .

Po použití vzťahu d2 = d – d1 a odmocnení rovnice dostaneme

1 2

1 1

Q Qd d d

=−

,

po úprave

+

+

Obr. 2.3 Znázornenie elektrických polí dvoch kladne nabitých nábojov pomocou siločiar.

Obr. 2.4 Obrázok k príkladu 2.1.

13

11

1 2

0, 2m 9μC0,12m

9μC 4μCd Q

dQ Q

= = =+ +

Intenzita je nulová vo vzdialenosti 12 cm od väčšieho náboja. Príklad 2.2 Vo vrcholoch štvorca so stranami 10 cm sú umiestnené 4 rovnako veľké elektrické náboje s veľkosťou 10−7 C. Určite veľkosť a smer intenzity elektrostatického poľa v strede štvorca, ak znamienka nábojov Q1, Q2, Q3, Q4 sú a) + + + + , b) + – + –, c) + + – – Riešenie : Výsledná intenzita elektrického poľa v strede štvorca je daná vektorovým súčtom intenzít od jednotlivých elektrických nábojov: E1 = E2 = E3 = E4. Pretože elektrické náboje sú rovnako veľké (Q1= Q2 = Q3 = Q4) a majú rovnakú vzdialenosť od stredu štvorca, platí pre veľkosť intenzity:

1 11 1 3 4 2 2

0 0

14 2

2

Q QE E E Eaaπε πε

= = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Obr. 2.5 a, b, c Výsledná intenzita v prípade a) aj v prípade b) sa rovná nule (obr. 2.5 a-c). V prípade c) je smer výslednej intenzity znázornený na obrázku c). Výsledná elektrická intenzita má veľkosť

( ) ( )7

2 2 1 5 112 4 1 3 1 2 12 2

0

1 1 102 2 2 2 4 2 Vm 5,08 10 Vm4π 4π 8,854 10 0,1

2

QE E E E E Eaε

−− −

−= + + + = = = = ⋅⋅ ⋅

2.2 Výpočet intenzity elektrického poľa v niektorých špeciálnych prípadoch

Intenzitu elektrického poľa vytvoreného sústavou bodových elektrických nábojov určíme podľa princípu superpozície ako súčet vektorov elektrickej intenzity od jednotlivých nábojov. Pri riešení reálnych polí sa najčastejšie stretávame s problémom spojitého rozloženia

14

elektrického náboja. Aj v takýchto prípadoch využívame princíp superpozície. Nepracujeme však s bodovými elektrickými nábojmi, ale s nekonečne malými nábojmi, vyjadrenými pomocou hustoty elektrického náboja na elemente dĺžky, plochy alebo v elemente objemu (pozri 1.3). Sumácia príspevkov vo vzťahu (2.2) prechádza na integrál cez celý priestor, v ktorom je rozložený elektrický náboj. 2.3.1 Elektrická intenzita na osi nabitého kruhového vlákna

Budeme hľadať intenzitu elektrického poľa na osi tenkého kruhového vlákna

polomeru R. Na vlákne je rovnomerne rozmiestnený kladný elektrický náboj, ktorého dĺžková hustota je λ. Podľa obrázku 2.6 rovina vlákna je kolmá na os x, ktorá prechádza stredom vlákna.

dE||

dQ = λdl

dE

dE '

λR

dQ' = λdl '

dE'⊥

dE⊥

= dE cosαx

dE||

dQ = λ l

dE

dE '

λR

dQ' =

dE'⊥

dE⊥

= dE cosx

dE||

dQ = λdl

dE

dE '

λR

dQ' = λdl '

dE'⊥

dE⊥

= dE cosαx

dE||

dQ = λ l

dE

dE '

λR

dQ' =

dE'⊥

dE⊥

= dE cosx

Obr. 2.6 Elektrostatické pole na osi nabitého kruhového vlákna

Vyberme si element dĺžky vlákna dℓ, na ktorom je elektrický náboj dQ a určime elektrickú intenzitu pochádzajúcu od tohoto elektrického náboja v bode vzdialenom od stredu vlákna o x. Vektor elektrickej intenzity dE má vzhľadom k osi vlákna dve zložky dE⊥ a dE||. Rovnako veľký elektrický náboj dQ′ umiestnený symetricky vzhľadom na stred vlákna na elemente dℓ´ bude mať opačne orientovanú a rovnako veľkú kolmú zložku dE⊥. Tieto zložky elektrickej intenzity sa navzájom kompenzujú. Rovnako sa budú kompenzovať kolmé zložky elektrickej intenzity od všetkých vzájomne symetrických elementov vlákna. Dôsledkom toho je, že všade na osi vlákna bude mať vektor výslednej elektrickej intenzity smer osi vlákna. Od nekonečne malého elektrického náboja dQ vieme vyjadriť priemet elektrickej intenzity do osi vlákna dE|| = dE cos α. Podľa princípu superpozície výsledná elektrická intenzita bude súčtom, v tomto prípade integrálom, elementárnych príspevkov od všetkých elementov vlákna.

( ) ( ) ( ) ( )1 32 2 2 2

2 2 2 20 0 2 20

d d dd cos4π 4π 4π

Q x xER x R x R x R x

λ λαε ε ε

= = =+ + + +

(2.4)

Výsledná elektrická intenzita má veľkosť

( ) ( ) ( )

2π

3 3 32 2 2 2 2 20 2 2 2

0 0 0

d

4π 2 4π

R x x R Q xER x R x R x

λ λ

ε ε ε= = =

+ + +∫ , (2.5)

kde sme za hustotu elektrického náboja dosadili 2πQ

Rλ = .

15

Poznámka: Všimnite si, že v strede kruhového vlákna je intenzita elektrického poľa rovná nule. Ďalej, ak

bude vzdialenosť x dostatočne veľká a môžeme položiť 0Rx

, potom pre intenzitu

elektrického poľa od nabitého vlákna jednoduchou úpravou získame rovnaký vzťah, ako ten, ktorý poznáme pre intenzitu elektrického poľa od bodového elektrického náboja vo vzdialenosti x. 2.3.2 Intenzita elektrického poľa na osi homogénne nabitej kruhovej dosky Majme podľa obrázka 2.7 kruhovú dosku polomeru R, ktorej rovina je kolmá na os x, a ktorá

je rovnomerne nabitá kladným elektrickým nábojom s plošnou hustotou elektrického náboja

2πQR

σ = .

Hľadáme intenzitu elektrického poľa vo vzdialenosti x od stredu dosky. Dosku si môžeme predstaviť vytvorenú zo sústredných kruhových elementov – nabitých vlákien, ktorých šírka je dr a polomer r.

Predchádzajúce úvahy o smere vektora elektrickej intenzity pre nabité vlákno platia pre všetky takéto sústredné kruhové elementy a vektor výslednej intenzity elektrického poľa bude na osi dosky orientovaný v smere osi, teda bude na dosku kolmý. Pre každý z elementov platí vzťah (2.4), len elektrický náboj Q nahradíme elektrickým nábojom dQ = σ dS = σ 2π r dr. Veľkosť výslednej elektrickej intenzity dostaneme integráciou príspevkov od všetkých kruhových elementov dosky.

( ) ( )

2 2

23 3 3 2 2

2 2 2 20 0 00 02 2 20

2π d 1 12 2 24π 2

R R R x

x

x r r x r dr x dt xEx x Rr x r x t

σ σ σ σε ε εε

+ ⎧ ⎫= = = = −⎨ ⎬

+⎩ ⎭+ +∫ ∫ ∫ . (2.6)

Často budeme používať predstavu elektrického poľa vytvoreného homogénne nabitou nekonečnou rovinou. K takémuto modelu nekonečnej nabitej roviny dospejeme, ak budeme

zväčšovať polomer kruhovej dosky. Ak R →∞ potom 2 2

1lim 0R R x→∞

=+

a pre veľkosť

intenzity elektrického poľa nekonečnej homogénne nabitej roviny dostávame

02E σ

ε= (2.7)

Vždy, keď budeme v ďalšom uvažovať elektrické pole homogénne nabitej roviny, zanedbáme „okrajové efekty“. Elektrické pole budeme pokladať za konštantné a kolmé na rovinu. Veľkosť intenzity elektrického poľa takejto nabitej roviny bude určená vzťahom (2.7).

dEx

dE

dE´

dl´

dl

xR

dr

x

rdEx

dE

dE´

dl´

dl

xR

dr

x

r

Obr. 2.7 Elektrostatické pole na osi homogénne nabitej dosky

16

2.3.3 Intenzita elektrického poľa nekonečného homogénne nabitého priameho vlákna

Priame nekonečné vlákno je nabité s dĺžkovou hustotou elektrického náboja λ.

Hľadáme intenzitu elektrického poľa v bode P, ktorého kolmá vzdialenosť od vlákna je a (Obr. 2.8).

dl ' dl λ

a r

PdE dE '

dEvýsl.

dl ' dl λ

a r

PdE dE '

dEvýsl.

dl ' dl λ

a r

PdE dE '

dEvýsl.

dl ' dl λ

a r

PdE dE '

dEvýsl.

Obr. 2.8. Elektrostatické pole nekonečného homogénne nabitého priameho vlákna

Príspevky k elektrickej intenzite od dvoch elementov dĺžky vlákna umiestnených symetricky vzhľadom na bod P sú rovnako veľké a ich súčet bude vektor na vlákno kolmý. Vlákno je nekonečné, ku každému elementu vlákna z pravej strany od bodu P existuje symetrický element na ľavej strane a teda na vlákno musí byť kolmý aj vektor výslednej elektrickej intenzity. Pre veľkosť príspevkov platí

2

22 20 0 0

0 2

dd d dcosd d

4π 4π 4π4πcos

aQE E

ar r a

λ ϕλ λ ϕϕ

ε ε εεϕ

′= = = = = , (2.8)

kde sme využili

2

dtg , d acos cosa aa rϕϕ

ϕ ϕ= = = . (2.9)

Veľkosť výslednej elektrickej intenzity bude súčtom zložiek elektrickej intenzity kolmých na vlákno a dostávame

[ ]π / 2

π / 20

0 0 00

2 cos d sin4π 2π 2π

Ea a a

λ λ λϕ ϕ ϕε ε ε

= = =∫ . (2.10)

2.4 Tok intenzity elektrostatického poľa

Pre elektrické aj magnetické javy je užitočné zaviesť novú veličinu – „tok vektora plochou“. V elektrine to bude tok vektora intenzity elektrického poľa, v elektromagnetizme tok vektora magnetickej indukcie. Samotný pojem „tok“ by odpovedal bezprostrednému významu tohoto slova, ak by dané vektorové pole predstavovalo napríklad pole vektora rýchlosti prúdiacej kvapaliny. Potom by náš tok vektora rýchlosti vyjadroval objem vody, ktorá by pretiekla danou plochou za jednotku času (objemový tok).

17

Vo fyzike pojem tok zovšeobecňujeme aj na iné vektorové polia. Pritom však nič konkrétne netečie. Je tu iba analógia. Na definovanie toku elektrickej intenzity budeme postupovať nasledovne (pozri obr. 2.9). Zvolíme si malú orientovanú rovinnú plôšku dS. Pod orientáciou plôšky budeme rozumieť to, že sme si vybrali jednu z dvoch možností orientácie jednotkového normálového vektora n k rovine, v ktorej sa nachádza táto plôška. Nekonečne malej plôške potom môžeme priradiť vektor plošného elementu d d= SS n . Plôška dS musí

byť taká malá, aby vektor elektrickej intenzity E bol vo všetkých jej bodoch rovnaký. Tok intenzity elektrického poľa plochou dS definujeme ako skalárny súčin vektora E a vektora elementu plochy dS

d d d cos dS= E SΨ α= =i iE S E n . (2.11) Definíciu toku vektora môžeme rozšíriť na tok ľubovoľnou spojitou plochou. Urobíme to tak, že celú plochu S rozdelíme na veľmi malé elementárne plôšky dS (pozri obr. 2.10), pre každú nájdeme normálový vektor n a definujeme vektor elementu plochy dS. Potom určíme intenzitu elektrického poľa E v mieste každej plôšky, príspevok k toku elektrickej intenzity poľa dΦ a všetky príspevky spočítame. Matematicky to vyjadríme integrálom

( )

dS

Ψ = ∫ iE S (2.12)

Ak je na danej rovinnej ploche elektrická intenzita E konštantná a smer vektora E je vzhľadom k normále na plochu v každom bode rovnaký, integrál v (2.12) prejde na skalárny súčin

cosS ESΨ α= =iE n (2.13)

Ešte raz pripomíname, že „tok vektora

intenzity poľa“ je abstraktný pojem. V skutočnosti nič netečie. Je to však veličina užitočná na charakterizovanie elektrického poľa, ktorá nám umožní sformulovať Gaussov zákon. Gaussov zákon vyjadruje tok vektora intenzity elektrického poľa uzatvorenou plochou a je základným zákonom elektrostatiky.

2.4.1 Tok intenzity elektrostatického poľa bodového elektrického náboja guľovou plochou.

Zaujímavé výsledky dostaneme, ak budeme plochu S voliť ako spojitú a uzavretú plochu. Najjednoduchší prípad predstavuje guľová plocha s polomerom r okolo kladného bodového elektrického náboja Q. Nech náboj Q sa nachádza vo vnútri guľovej plochy.

S

E

n

Obr. 2.9 Definícia elementárneho toku intenzity elektrického poľa

dS

E

n

Obr.2.10

Tok elektrickej intenzity cez plochu

18

Pri uzavretých plochách budeme zachovávať konvenciu, že normálový vektor n je vždy orientovaný z vnútra uzavretej plochy von. (pozri obr.2.11). Tok takouto plochou vždy bude znamenať výtok. Vektor elektrickej intenzity na guľovej ploche je

304π

Qrε

=E r a normálový vektor r

=rn .

Potom skalárny súčin

3 20 04π 4π

Q Qr r rε ε

=i ir rE n = .

Táto veličina je však pri pevnej hodnote polomeru r konštantná a pre výsledný tok elektrickej intenzity poľa guľovou plochou dostaneme

( )

22

0 0

d 4π .4πS

Q Qrr

Ψε ε

= = =∫ iE S (2.14)

Tok vektora elektrickej intenzity guľovou plochou, v ktorej strede sa nachádza elektrický náboj Q, sa rovná podielu elektrického náboja a permitivity vákua. (Krúžok pri označení integrálu znamená, že integračná plocha je uzatvorená). Výsledok, ktorý sme dostali pre špeciálny tvar plochy budeme ďalej zovšeobecňovať. 2.5 Gaussov zákon pre vákuum

Uvažujme celkom všeobecnú do seba uzatvorenú plochu S, ktorá obklopuje elektrický

náboj Qi (Obr. 2.12). Plochu rozdelíme na malé plôšky dS, v rozsahu ktorých je vektor E konštantný. Ak každým okrajovým bodom plôšky dS vedieme priamku, ktorá prechádza bodovým elektrickým nábojom Qi, tak dostaneme kužeľovú plochu, ktorá pri svojom vrchole definuje priestorový uhol dΩ. Priestorový uhol Ω je definovaný ako podiel veľkosti plochy S na povrchu gule polomeru r, ktorú kužeľová plocha obopínajúca priestorový uhol Ω vytína, k

druhej mocnine polomeru r. Plný priestorový uhol je teda 2

2

4π 4πrr

Ω = = . Príspevok od

plôšky dS k toku intenzity elektrického poľa je dψi = E ⋅ n dS = E dS cos α = E dS´ (2.15)

Súčin dS cos α môžeme interpretovať ako veľkosť priemetu plôšky dS do roviny, ktorá je kolmá na vektor ρ = r − ri. Tento priemet sme označili ako dS´a takouto kolmou plôškou je práve časť povrchu gule. Na základe definície priestorového uhla zrejme platí

dS´ = ρ2dW. (2.16) Pokiaľ má plocha S taký tvar, že každá polpriamka vychádzajúca z bodového elektrického náboja Qi ju pretína iba raz (v jedinom bode), tak normála n je orientovaná od elektrického náboja Qi a cosα je kladný. Potom sčítanie príspevkov od všetkých elementov dS je jednoduché

2 22

0 0 0

d d d d d4π 4π

i i ii

S S

Q Q QE S EΨ ρ ρε ρ ε εΩ Ω Ω

′= = = Ω = Ω = Ω =∫ ∫ ∫ ∫ ∫iE S (2.17)

V (2.17) sme využili definíciu priestorového uhla, podľa ktorej sa posledný integrál rovná 4p.

r

Q

E

EE

n

nn

r

Q

E

EE

n

nn

Obr. 2.11

Tok intenzity elektrického poľa cez guľovú plochu okolo bodového náboja v jej strede

19

Vo všeobecnosti však musíme predpokladať zložitejší tvar plochy S a pri záhyboch tejto plochy sa budú vyskytovať príspevky, kde cosα bude mať ako kladné tak aj záporné hodnoty (pozri obr.2.13).

Pre jeden kužeľ obopínajúci uhol dΩ sú všetky príspevky E⋅dS´, E⋅dS´´, ...., čo do absolútnej hodnoty rovnaké, lebo ρ2 vystupujúce v menovateli pre vyjadrenie elektrickej intenzity E sa ruší s členom ρ2 vo výraze dS´=ρ2dΩ. Znamienko takéhoto príspevku závisí od lokálnej orientácie normály n. Môžu nastať dva prípady: a) elektrický náboj Qi sa nachádza vo vnútri

plochy S, b) elektrický náboj Qi sa nachádza mimo

plochy S.

a) Elektrický náboj Qi sa nachádza vo vnútri plochy S. V mieste prvého príspevku k dΦ vektor ρ vychádza z vnútra plochy S von (obr.2.13),

normála n je orientovaná od náboja Qi a teda cosα > 0. V mieste ďalšieho príspevku E⋅ n dS´´ už vektor ρ prechádza z vonkajšej strany plochy S dovnútra, normála n smeruje k náboju Qi a znamienko príspevku je záporné. Vektor ρ takto pretína plochu S v nepárnom počte bodov, a

preto párny počet rovnakých príspevkov s opačnými znamienkami sa ruší a do výsledku zostáva iba prvý z nich. Teda

0

ii

QΨε

= (2.18)

b) Elektrický náboj Qi sa nachádza mimo plochy S . Zopakujeme tú istú úvahu ako v predchádzajúcom prípade. Rozdiel je len v tom, že vektor ρ pretína plochu S v párnom počte bodov, takže všetky príspevky k dΨ sa v konečnom dôsledku vyrušia a výsledok je rovný

nule. Teda d =0i

S

Ψ Ψ= ∫ . (2.19)

O

dω

qi

ρ

d d′ =S S cosα

n

r

r1

EdS

Qi

dW

O

dω

qi

ρ

d d′ =S S cosα

n

r

r1

EdS

Qi

dW

Obr. 2.12

Plocha S okolo elektrického náboja Qi

dS ' dS "

dS '''

qi

qi

n

n

nnn

Qi

Qi

dS ' dS "

dS '''

qi

qi

n

n

nnn

Qi

Qi

Obr. 2.13 Elektrický náboj vo vnútri plochy

20

Výsledok, ktorý sme získali v predchádzajúcom odseku môžeme teraz zovšeobecniť na ľubovoľnú sústavu bodových elektrických nábojov Qi ( i = 1, 2, ..., n ). Podľa princípu superpozície je i

i=∑E E a teda

celk

0 0

d d di ii iS S S

Q QΨε ε

= = =∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫i i i i

iE S E S = E S = (2.20)

Pritom do sčítavania sa započítavajú iba tie náboje, ktoré sa nachádzajú vo vnútri plochy S. Výsledok (2.20), ku ktorému sme sa dopracovali sa nazýva Gaussov zákon (tiež Gaussova veta elektrostatiky). Gaussov zákon môžeme formulovať nasledovne: Tok vektora intenzity elektrostatického poľa vo vákuu cez uzavretú plochu sa rovná podielu celkového náboja uzavretého touto plochou a permitivity vákua ε o.

celk

0

dS

Qε

=∫ iE S (2.21)

Táto formulácia vyjadruje Gaussov zákon v integrálnom tvare. Gaussov zákon je základným zákonom elektrostatiky. Coulombov zákon, hoci bol formulovaný skôr, je len jedným z experimentálnych dôkazov Gaussovho zákona. Gaussov zákon je veľmi dôležitý nielen pre výpočty elektrických polí v prípadoch, kde sa dá výhodne využiť symetria rozloženia elektrických nábojov, ale aj ako dôležitý nástroj v teórii elektromagnetického poľa. Vyplýva z neho totiž dôležitá diferenciálna rovnica vyjadrujúca vlastnosť elektrostatického poľa v danom bode priestoru. 2.5.1 Gaussov zákon pre vákuum v diferenciálnom tvare*

Vo vektorovej analýze platí „Gaussova veta vektorového počtu“, pomocou ktorej

integrál toku vektorovej funkcie cez uzavretú plochu možno previesť na objemový integrál z divergencie danej funkcie. Platí:

d div dS τ

τ∫ ∫iE S = E , (2.22)

kde dτ je element objemu a div yx zEE Ex y z

∂∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂E = .

Z (2.21) a (2.22) dostávame

( )

dd div doS τ τ τ

ρ ττε

=∫ ∫ ∫iE S = E , (2.23)

kde sme nahradili celk dQτ

ρ τ= ∫ pričom ρ je celková hustota elektrického náboja v mieste

objemového elementu dτ. Z toho, že rovnosť objemových integrálov platí pre každý objem vyplýva, že sa musia rovnať integrované funkcie. Dostávame tak dôležitú rovnicu, ktorá vyjadruje Gaussov zákon elektrostatiky v diferenciálnom tvare

0

div ρε

E = (2.24)

21

Poznámka: Divergencia vektora určuje výtok vektora cez nekonečne malú uzatvorenú plochu

pripadajúcu na jednotkový objem. Ak je divergencia kladná, tak v danom mieste je „zdroj“ vektorového poľa, ak je záporná je „prepad“. Z rovnice (2.24) priamo vyplýva, že zdrojom elektrostatického poľa sú elektrické náboje, teda miesta s nenulovou hustotou elektrického náboja. 2.6 Aplikácia Gaussovho zákona na určenie intenzity elektrostatického poľa

Gaussov zákon umožňuje pomerne jednoducho určiť veľkosť intenzity elektrického poľa

v prípadoch, keď riešená úloha má určité prvky symetrie. Zo symetrie úlohy vyplýva vhodná voľba Gaussovej plochy a z Gaussovho zákona pre tok vektora intenzity elektrického poľa touto plochou aj jednoduché riešenie. Väčšinou sa jedná o určenie intenzity elektrického poľa pre spojité rozloženie elektrického náboja. Zo symetrie rozloženia elektrického náboja vieme odpovedať na nasledovné otázky: aký tvar bude mať plocha (geometrické miesto bodov) kde bude intenzita elektrického

poľa konštantná, aká bude orientácia vektora elektrickej intenzity vzhľadom k tejto ploche, a aký bude smer

výsledného vektora elektrickej intenzity. Na ilustráciu ako sa riešia úlohy pomocou Gaussovho zákona určíme intenzitu elektrického poľa v okolí homogénne nabitej nekonečnej roviny, homogénne nabitého priameho vodiča a homogénne nabitej gule. 2.6.1 Elektrické pole nekonečnej homogénne nabitej roviny

Majme rovinu, ktorú budeme považovať za nekonečnú. Našou úlohou je určiť veľkosť a

smer vektora intenzity elektrického poľa v okolí takejto roviny, ak je na nej rovnomerne rozložený elektrický náboj s plošnou hustotou elektrického náboja σ. Situácia je znázornená na obr. 2.14.

Pre ktorýkoľvek bod v okolí tejto roviny je vzhľadom na jej veľkosť (rovina je nekonečná) množstvo elektrického náboja zo všetkých strán rovnako veľké. Smer výsledného vektora elektrickej intenzity bude z dôvodu tejto symetrie na rovinu kolmý. Gaussovu plochu je preto vhodné zvoliť napríklad ako povrch valca, ktorého os bude na rovinu kolmá. Na povrchu plášťa takéhoto valca bude vektor E všade s povrchom rovnobežný a teda kolmý na vektor elementu plochy dS. Skalárny súčin dE S⋅ sa bude v každom bode plášťa rovnať nule a rovná sa nule aj tok vektora elektrickej intenzity celým plášťom valca. Na základniach valca bude vektor elektrickej intenzity s plošnými elementami dS rovnobežný. Ak si valec umiestnime tak, že nabitá rovina ho pretína v strede, potom zo symetrie musí byť na každej zo základní valca intenzita elektrického poľa nielen konštantná, ale aj rovnaká E1 = E2 = E. Podľa Gaussovho zákona

d =∫S

E S⋅ Tok plášťom + Tok dvomi základňami 0

Qε

= ,

kde Q je celkový elektrický náboj vo vnútri tejto plochy. V našom prípade σ=Q S , kde S je plocha prierezu valca. Tok plášťom valca sa rovná nule a zostávajú iba dva príspevky a to od

22

dna valca a jeho čela. Na obidvoch týchto plochách je vektor elektrickej intenzity konštantný a rovnobežný s normálou na povrch, preto d dE SE S =⋅ , a pre tok čelom a dnom valca platí

ψ = E1 S + E2 S = 2E S. (2.25)

Podľa Gaussovho zákona

0

2 SE S σε

= (2.26)

a teda

02E σ

ε= . (2.27)

Výsledok je rovnaký ako (2.7), ktorý sme dostali integráciou príspevkov k intenzite elektrického poľa na osi kruhovej dosky, ak miesto v ktorom určujeme elektrickú intenzitu je tesne nad nabitou plochou disku veľkého polomeru. Vidíme, že výpočet využitím Gaussovho zákona je oveľa jednoduchší a postup všeobecnejší.

Vzťah (2.27) platí aj pre konečné nabité rovinné plochy ďaleko od ich okrajov. Pri rovinných

kondenzátoroch budeme používať práve takúto aproximáciu. Elektrické pole medzi rovinami kondenzátora budeme považovať za homogénne a pre každú z rovín bude elektrická intenzita určená vzťahom (2.27). Ukážme si, aká bude intenzita elektrického poľa v prípade takýchto dvoch homogénne nabitých rovín, na ktorých sa nachádzajú elektrické náboje opačnej polarity.

Situáciu znázorňuje obr. 2.15. Prvá plocha je daná rovinou x = 0 a je na nej rozložený elektrický náboj s plošnou hustotou σ . Druhá plocha je daná rovinou x = d a je na nej elektrický náboj s plošnou hustotou −σ. Zaujímame sa o elektrické pole v okolí týchto plôch a medzi nimi. Pre polia blízko nabitej plochy použijeme vzťah (2.27). Intenzita elektrického poľa je na roviny kolmá a jej vektor má iba zložku v osi x. Intenzitu elektrického poľa od prvej - kladne nabitej roviny označme E1x, elektrickú intenzitu od druhej -záporne nabitej roviny označme E2x. Budeme rozlišovať 3 oblasti:

a) x < 0, v tejto oblasti dostávame

1x02

E σε

= − , ( )2x

0 02 2E

σ σε ε

−= − =

a výsledné pole

SE1

E2

Obr.2.14

K výpočtu elektrického poľa nabitej roviny

d

x

y

z

+ -

Obr. 2.15

K intenzite elektrického poľa dvoch nabitých nekonečných rovín

23

x 1x 2x0 0

02 2

E E E σ σε ε

= + = − + = (2.28)

b) 0 < x < d, v tejto oblasti platí

1x02

E σε

= , ( )2x

0 02 2E

σ σε ε

−= − =

čiže

x0 0 02 2

E σ σ σε ε ε

= + = (2.29)

c) x > d

1x02

E σε

= , ( )2x

0 02 2E

σ σε ε

−= = − ,

a výsledná intenzita

x0 0

02 2

E σ σε ε

= − = (2.30)

Ak teda zanedbáme efekty spojené s okrajmi nabitých plôch, môžeme konštatovať: Elektrické polia od kladne a záporne nabitej rovinnej plochy sa vo vonkajšom priestore rušia. V priestore

medzi nimi je homogénne elektrické pole s elektrickou intenzitou veľkosti 0

E σε

= .

2.6.2.Elektrické pole rovnomerne nabitej gule

Máme guľu s polomerom R, ktorá je rovnomerne nabitá elektrickým nábojom s

objemovou hustotou náboja ρ. Situáciu znázorňuje obr. 2.16. Pre tento prípad je typická sférická symetria úlohy, t.j. pri otočení systému okolo ľubovoľnej osi prechádzajúcej stredom gule sa žiadna fyzikálna veličina nemení. Z toho vyplýva, že:

• elektrické pole má radiálny smer • veľkosť vektora E t.j. E = |E | je iba funkciou vzdialenosti r od stredu gule.

V tomto prípade je najvýhodnejšie zvoliť Gaussovu plochu S ako guľovú plochu s polomerom r. Potom elektrická intenzita poľa E na povrchu plochy je v každom bode rovnobežná s normálou n k ploche S. Pre tok intenzity elektrického poľa potom dostaneme

( ) ( ) 2d d 4π S S

S E r S E r rΨ = = =∫ ∫E n⋅ (2.31)

Elektrický náboj Q, ktorý je takouto plochou obklopený závisí od polomeru r. Ak je r < R, tak vo vnútri plochy sa nachádza iba časť náboja celého telesa

( ) 34π 3

Q r rρ= (2.32)

Z Gaussovho zákona potom vyplýva

( )3

2

0

4 π 34π

rE r r

ρ

ε= (2.33)

z čoho po úprave dostaneme

24

( )03rE r ρ

ε= pre r <R (2.34)

Pre plochy S, kde r > R, je elektrický náboj vo vnútri plochy konštantný

( ) 34 π3

Q Q R Rρ= = (2.35)

takže pre výslednú intenzitu elektrického poľa dostaneme

( )3

2 20 0

1 13 4π

R QE rr r

ρε ε

= =

pre r ≥ R. (2.36)

Priebeh veľkosti vektora elektrickej intenzity E je znázornený na obr. 2.16. Vidíme, že veľkosť vektora E pri zväčšovaní vzdialenosti od stredu gule najprv lineárne rastie. Najväčšiu hodnotu dosahuje na povrchu gule. Intenzita elektrického poľa mimo nabitej gule klesá so štvorcom vzdialenosti.

Výsledok je veľmi zaujímavý. Vyplýva totiž z neho, že pole rovnomerne nabitej gule

v priestore mimo nej je presne také isté ako pole rovnako veľkého bodového náboja umiestneného v jej strede. 2.6.3 Elektrické pole gule nabitej na povrchu

Uvažujme dutú guľu polomeru R, na ktorej povrchu je homogénne rozložený

elektrický náboj s plošnou hustotou σ. Situáciu znázorňuje obr. 2.17. Takáto dutá guľa je reálny model napríklad pre nabitú kovovú guľu, na ktorej bude elektrický náboj v dôsledku repulzie elektrických nábojov rozložený naozaj iba vo veľmi tenkej povrchovej vrstve. Budeme postupovať podobne ako v predchádzajúcom prípade. Stred súradnicovej sústavy umiestnime do stredu gule. Pre úlohu je typická sférická symetria, z čoho vyplýva radiálny smer vektora E. Veľkosť E je potom funkciou iba vzdialenosti r od stredu gule.

Plochu S budeme voliť ako sférickú plochu o polomere r. Na tejto sférickej ploche je potom vektor E vždy rovnobežný s miestnou normálou n a pre tok vektora elektrickej intenzity dostaneme

( ) 2d 4π S

S E r rΨ = ⋅ =∫ E n (2.37)

Musíme rozlišovať dva prípady, a to r < R a r > R. Ak r < R, vo vnútri gule nie je žiaden elektrický náboj, preto tok ψ= 0. Z toho ihneď vyplýva

E = 0 . (2.38)

dS

r

E

R

r R=

En

Obr. 2.16

Výpočet elektrického poľa rovnomerne nabitej gule.

25

V druhom prípade, ak r > R, tak vo vnútri plochy S sa nachádza všetok elektrický náboj, ktorý je na povrchu nabitej gule, 4π σ2Q = R takže podľa Gaussovho zákona platí

( )2

2

0 0

4π 4π Q RE r r σΨε ε

= = = (2.39)

z čoho vyplýva

( )2

20

RE rr

σε

= , ak r > R (2.40)

Závislosť elektrickej intenzity poľa od vzdialenosti r od stredu gule je znázornená na obr. 2.17. Na funkčnej závislosti E(r) nás prekvapuje nespojitosť v bode r = R. Tu si musíme pripomenúť, že sme pracovali s abstrakciou gule, kde sa elektrický náboj na povrchu rozkladá v nekonečne tenkej vrstve. V

skutočnosti, ak máme vodivé teleso nabité na povrchu, tento elektrický náboj sa vždy rozprestiera vo vrstve konečnej hrúbky. Výpočty ukazujú, že napríklad v kovoch hrúbka takejto vrstvy predstavuje niekoľko atomárnych rovín, čo je síce z makroskopického hľadiska zanedbateľná hrúbka, ale v rozsahu takejto veľmi tenkej vrstvy elektrické pole spojito narastá z nuly na konečnú hodnotu. Tesne nad povrchom nabitého vodiča, a teda aj nabitej vodivej

gule, platí r = R a veľkosť intenzity elektrického poľa sa rovná 0

E σε

= (pozri časť 3.4).

2.6.4 Elektrostatické pole nekonečne dlhého nabitého vlákna Uvažujeme nekonečne dlhé vlákno

nabité s konštantnou dĺžkovou hustotou elektrického náboja λ. Pri riešení využijeme valcovú symetriu, ktorá je typická pre tento problém. Vlákno je nekonečne dlhé, z čoho vyplýva, že intenzita elektrického poľa nemá zložky rovnobežné s osou vlákna, takže v každom bode je vektor E kolmý na os vlákna. Situáciu znázorňuje obr. 2.18. Okrem toho, situácia sa nezmení pri ľubovoľnom pootočení okolo osi vlákna, z čoho vyplýva, že v rovnakej vzdialenosti a od vlákna majú všetky vektory E rovnakú veľkosť a veľkosť intenzity elektrického poľa je iba funkciou vzdialenosti

( )=E E a . V takomto prípade je výhodné voliť Gaussovu plochu S ako valcovú plochu s polomerom a a určitou výškou ℓ, ktorej osou je

dS

R

En

E

rr = R

E

rr = R

Obr. 2.17 Výpočet elektrického poľa gule nabitej na povrchu

Obr. 2.18 Výpočet intenzity elektrického poľa nekonečne dlhého nabitého vlákna.

26

nabité vlákno. Vo všetkých bodoch čela a dna tejto plochy je vektor poľa E kolmý na miestnu normálu k ploche dS, takže príspevok k toku elektrickej intenzity poľa je nulový. Nenulový príspevok dostaneme iba od plášťa valca, kde je vektor E v každom bode rovnobežný s normálou n. Vektory E majú na tomto plášti rovnakú veľkosť a tok vektora elektrickej intenzity je podľa Gaussovho zákona

( ) ( )plašť0

d 2π S

E a S E a a λΨε

= = =∫ E S =⋅ , (2.41)

kde sme elektrický náboj na úseku vlákna dĺžky ℓ vyjadrili pomocou dĺžkovej hustoty elektrického náboja vzťahom Q λ= . Z toho pre intenzitu elektrického poľa E vo vzdialenosti a od vlákna ihneď dostávame

( )02π

E aaλ

ε= (2.42)

Príklad 2.3 Akou silou je priťahovaná kladne nabitá častica s elektrickým nábojom Q k záporne nabitej nekonečne veľkej rovine s plošnou hustotou elektrického náboja σ − . Elektrické náboje sa nachádzajú vo vákuu. Q = 4,8 μC,⎟σ −⎟ = 2 μC m−2. Riešenie Pre silu platí F = QE a veľkosť intenzity elektrického poľa od nekonečnej nabitej roviny sa

rovná 02

E σε

= . Častica je potom priťahovaná silou

66

120

2 104,8 10 1,08 N2 8,854 10

F Q σε

−−

−

⋅= = ⋅ =

⋅.

2.7 Práca v elektrostatickom poli

Majme elektrostatické pole vytvorené bodovým elektrickým nábojom Q umiestneným

v počiatku súradnicovej sústavy (obr. 2.19). V tomto elektrickom poli na ďalší bodový elektrický náboj Q´ pôsobí sila

A

B

Q

Q’

rA

rrB

drF

A

B

Q

Q’

rA

rrB

drF

Obr.2.19. Práca v elektrostatickom poli náboja Q

30

14π

QQrε

′=F r (2.43)

Pri posunutí elektrického náboja Q‘ z bodu A do bodu B sila elektrického poľa vykoná prácu

27

B B

A A A

AB 3 3 20 0 0 0 A B

1 1 1 1 1d d d4π 4π 4π 4π

Br r r

r r r

QQ QQ QQ Q QW r r rr r r r rε ε ε ε

′ ′ ′ ′ ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫r r =⋅ ⋅ (2.44)

Pri úprave integrovanej funkcie sme využili, že platí r.dr = rdr. Pri vyjadrovaní práce elektrostatickej sily nikde nevystúpila dráha, ktorou bol náboj Q´ posunutý z miesta A do B. Práca na spôsobe posunutia náboja nezávisela. Silové pole, v ktorom práca nezávisí na trajektórii, po ktorej sa posunulo pôsobisko sily, ale iba na konečnej a počiatočnej polohe, nazývame konzervatívne, alebo potenciálové. Pre prácu sily elektrostatického poľa po uzatvorenej krivke a rovnako aj pre integrál intenzity elektrostatického poľa po uzatvorenej krivke platí

d d 0= =∫ ∫F r E r⋅ ⋅ (2.45) V poli, pre ktoré platí (2.45), môžeme definovať potenciálnu energiu a potenciál. V

mechanike sme definovali potenciálnu energiu pomocou práce, ktorú vykoná sila poľa pri premiestnení pôsobiska sily z daného miesta poľa do vzťažného miesta. V elektrostatickom poli bodového elektrického náboja, podobne ako v gravitačnom poli hmotného bodu, za vzťažné miesto obyčajne volíme nekonečno a potenciálnu energiu v nekonečne kladieme rovnú nule. Pre potenciálnu energiu dvoch bodových elektrických nábojov Q a Q´ vzdialených o r potom dostávame

p ,0 0

1 1 1( )4π 4πrQ Q Q QE r W

r r rε ε∞∞

′ ⎛ ⎞ ′= = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.46)

Prácu, ktorú vykoná sila elektrostatického poľa pri posunutí elektrického náboja Q´ z bodu A do bodu B môžeme vyjadriť aj ako rozdiel potenciálnych energií, pretože platí

B B

A A A B

AB p A p Bd d d d d ( ) ( )r r

r r r r

W E r E r∞ ∞ ∞

∞

= − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫F r = F r + F r = F r F r⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (2.47)

Pre každé elektrostatické pole, nielen pole bodového elektrického náboja, môžeme v určitom mieste poľa definovať pre daný elektrický náboj potenciálnu energiu, a to pomocou práce sily poľa pôsobiacej na tento elektrický náboj pri jeho posunutí do vzťažnej polohy r0.

0

p ( ) dE = ∫r

r

r F r⋅ (2.48)

2.8 Potenciál elektrostatického poľa

Pri charakterizovaní elektrického poľa pomocou vektora intenzity elektrického poľa sme vychádzali z vyjadrenia sily pôsobiacej na skúšobný náboj. Analogicky môžeme v každom bode elektrostatického poľa určiť potenciálnu energiu, ktorú by mal v danom mieste skúšobný náboj. Samozrejme, že potenciálna energia by bola rôzna pre rôzne skúšobné náboje. Podiel potenciálnej energie a náboja však bude veličina charakterizujúca iba samotné skúmané elektrické pole. Takúto veličinu nazývame potenciál elektrického poľa a označujeme symbolom V. Nech elektrický náboj Q je náboj, ktorého elektrické pole chceme charakterizovať. Potom podľa (2.46) a predchádzajúcej úvahy

0

2 20 0 0

1 d 1 d 1( )4π 4π 4π

r

r r

QQ r QQ r QVQ r Q r rε ε ε

∞′ ′= = =

′ ′∫ ∫r . (2.49)

28

Potenciál elektrického poľa v určitom mieste sa číselne rovná práci, ktorú by vykonala sila poľa na prenesenie jednotkového kladného elektrického náboja z daného miesta do vzťažného miesta (v tomto prípade do nekonečnej vzdialenosti).

Pomocou práce sily elektrického poľa sme definovali potenciálnu energiu pre určitý

elektrický náboj v danom mieste elektrického poľa. Ekvivalentná je preto nasledovná názorná definícia elektrického potenciálu:

Potenciál v nejakom bode elektrostatického poľa sa rovná potenciálnej energii

ľubovoľného elektrického náboja v danom mieste delenej týmto nábojom.

Pre elektrický potenciál bola zavedená jednotka volt. Jej rozmer v sústave SI je 2 3 1J1volt = kg m s A

C− −= .

V určitom mieste elektrického poľa je potenciál 1 volt, ak na prenesenie elektrického náboja 1C z daného miesta do vzťažnej polohy pole vykoná prácu 1 joule.

Pre elektrostatické pole bodového elektrického náboja sme vzťažné miesto – miesto s nulovým potenciálom zvolili v nekonečne. Nie je to nevyhnutné, v tomto prípade je to však rozumná voľba, lebo sa tým výraz pre V(r) zjednodušuje.

Prácu na prenesenie jednotkového kladného elektrického náboja môžeme vyjadriť aj pomocou sily pôsobiacej na jednotkový elektrický náboj. Pretože F = Q E potom

0 0

( ) d dr r

r r

VQ

= ∫ ∫Fr r = E r⋅ ⋅ (2.50)

Potenciál elektrického poľa vyjadrený rovnicou (2.49) bol špeciálnym prípadom elektrického potenciálu. Vyjadrili sme ním potenciál elektrického poľa, vytvoreného jedným bodovým elektrickým nábojom. Rovnica (2.50) je všeobecnejšia v tom zmysle, že E je elektrická intenzita bližšie nešpecifikovaného elektrického poľa. Môžeme formulovať ďalšiu definíciu elektrického potenciálu:

Potenciál v určitom bode elektrostatického poľa sa rovná integrálu elektrickej

intenzity tohoto poľa po ľubovoľnej integračnej ceste z daného bodu poľa do vzťažného miesta. Potenciál vo vzťažnom mieste zvyčajne volíme rovný nule.

Definovali sme elektrický potenciál v určitom bode a môžeme teraz vyjadriť rozdiel potenciálov medzi dvomi bodmi elektrického poľa. Využijeme konzervatívnosť elektrického poľa a pre rozdiel potenciálov dostávame

0 0 0 A A B

B A B 0 B A

B A d d d d d dr r r r r r

r r r r r r

V V− = − = + = = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫E r E r E r E r E r E r⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (2.51)

Rozdiel potenciálov B AV V− je B

A

dV∫ a z rovnice (2.51) zapísanej v tvare B B

A A

d dV = −∫ ∫ E r⋅

vyplýva dV = – E . dr (2.52) Definíciu elektrického potenciálu môžeme zovšeobecniť na sústavu bodových

elektrických nábojov pomocou princípu superpozície. Ak máme sústavu bodových elektrických nábojov Qi, tak potenciál elektrického poľa sústavy v určitom bode je súčtom elektrických potenciálov od jednotlivých elektrických nábojov

29

0

14π

ii

i i i

QV Vrε

= =∑ ∑ (2.53)

Množina bodov, v ktorých má elektrický potenciál rovnakú hodnotu, je ekvipotenciálna plocha.

Pri pohybe elektrického náboja po ekvipotenciálnej ploche sila poľa nekoná žiadnu prácu. Siločiary preto musia byť kolmé na ekvipotenciálne plochy. Dôkaz tohoto tvrdenia je jednoduchý. Ak by neboli, potom by bola nenulová zložka intenzity elektrického poľa v smere dotyčnice ku ekvipotenciálnej ploche a práca elektrostatickej sily odpovedajúcej tejto zložke intenzity elektrického poľa by bola rôzna od nuly. Ekvipotenciálne plochy pre bodový elektrický náboj sú sústredné guľové plochy. V homogénnom poli, napr. v okolí nekonečnej nabitej roviny, sú ekvipotenciálne plochy rovnobežné roviny kolmé na siločiary. Ekvipotenciálne plochy pre konštantné elektrické pole a pole bodového elektrického náboja sú zobrazené na obr. 2.20.

+

s +s +

Obr. 2.20. Ekvipotenciálne plochy pre homogénne elektrické pole

2.9 Súvis medzi elektrickou intenzitou a potenciálom

Podľa (2.52) platí dV = – E ⋅ dr , kde dV je diferenciál potenciálu V = V(x, y, z), E je vektor elektrickej intenzity a dr = dx i + dy j + dz k je vektor elementárneho posunutia v elektrickom poli. Po dosadení za diferenciál funkcie dV dostávame

( )d d dy dz d d dV V V V V Vx x y zx y z x y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + + = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

E r i j k i + j + k⋅ ⋅ (2.54)

Ak zavedieme z matematiky známy gradient funkcie potom

d grad d gradV V= − ⇒ −E r r E =⋅ ⋅ . (2.55)

Intenzita elektrického poľa, a teda aj sila pôsobiaca v elektrickom poli na kladný elektrický náboj, má smer maximálneho úbytku elektrického potenciálu. Kladný elektrický náboj sa v elektrickom poli bude pohybovať vždy z miesta s vyšším potenciálom do miesta s nižším potenciálom.

Ak poznáme v každom bode elektrický potenciál ako funkciu súradníc x, y, z, potom vo všetkých bodoch môžeme určiť zložky vektora intenzity Ex, Ey, Ez . Na určenie intenzity elektrického poľa máme teraz dve možnosti. Z rozloženia elektrických nábojov určiť skladaním vektorových príspevkov vektor intenzity elektrického poľa, alebo z rozloženia elektrických nábojov určiť sčítaním skalárnych príspevkov výsledný elektrický potenciál a z neho pomocou (2.55) vektor elektrickej intenzity. Posledný spôsob je vo veľkej väčšine reálnych problémov schodnejšia cesta.

30

2.10 Napätie v elektrostatickom poli Potenciál sme zaviedli pomocou práce. V dôsledku toho prácu na prenesenie

elektrického náboja v elektrickom poli môžeme vyjadriť aj pomocou rozdielu elektrických potenciálov. Vzťah (2.44) vyjadrujúci prácu elektrického poľa pri prenesení bodového elektrického náboja v poli iného bodového elektrického náboja môžeme upraviť na súčin

( ) ( ){ }AB A B0 A B 0 A 0 B

1 14π 4π 4πQQ Q QW Q Q V r V r

r r r rε ε ε⎛ ⎞′ ⎛ ⎞

′ ′= − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.56)

Práca, ktorú sily elektrického poľa vykonajú na prenesenie elektrického náboja sa rovná súčinu náboja a rozdielu elektrických potenciálov v počiatočnej a konečnej polohe. Na charakterizovanie elektrického poľa definujeme elektrické napätie medzi dvomi bodmi elektrického poľa.

Elektrické napätie medzi dvomi bodmi elektrostatického poľa sa rovná práci na

prenesenie jednotkového kladného elektrického náboja medzi týmito bodmi elektrického poľa.

Ako vyplýva z (2.56) elektrické napätie sa rovná rozdielu potenciálov

ABAB A B

WU V VQ

= = −′

. (2.57)

Medzi dvoma bodmi elektrického poľa je elektrické napätie 1 volt, ak pri prenesení elektrického náboja 1C medzi týmito bodmi treba vykonať prácu 1J, alebo sa získa energia 1J.

Definície, ktoré sme tu zaviedli pre elektrické pole bodového elektrického náboja, platia pre ľubovoľné elektrické pole.

Vo fyzike sa často, hlavne vo fyzike atómov a molekúl a fyzike elementárnych častíc ako jednotka energie používa elektrónvolt (skratka eV).

Elektrónvolt sa rovná práci, ktorú elektrické pole vykoná pri prenesení elementárneho elektrického náboja 1,602·10–19 C medzi dvomi miestami v elektrickom poli, ktorých rozdiel elektrických potenciálov sa rovná 1 V. Elektrické napätie môžeme vyjadriť aj pomocou intenzity elektrického poľa a platí

B B B

A A A A

AB A B d d d d dU V V∞ ∞

∞

= − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫r r r

r r r r

E r - E r = E r + E r E r⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . (2.58)

Elektrické napätie medzi dvomi bodmi elektrostatického poľa sa rovná integrálu elektrickej intenzity tohoto poľa po ľubovoľnej krivke spájajúcej dané dva body. Poslednú definíciu budeme najčastejšie využívať pri výpočte elektrického napätia. 2.11 Energia sústavy elektrických nábojov

Majme dva kladné bodové elektrické náboje Q1 a Q2 , ktorých vzdialenosť je r12.

Elektrické náboje sa odpudzujú a na to, aby sa elektrické náboje dostali do tejto vzdialenosti,

31

musela byť vonkajšou silou z nekonečnej do danej vzdialenosti vykonaná práca. Dva elektrické náboje majú preto potenciálnu energiu, ktorá sa podľa (2.46) rovná

1 2p

0 12

1( )4π

Q QE rrε

= . (2.59

Ak pridáme ďalší elektrický náboj Q3, ktorý prinesieme z nekonečna do vzdialenosti r13 od Q1 a r23 od Q2, musíme v zmysle predchádzajúcej úvahy vykonať ďalšiu prácu. Podľa princípu superpozície potenciálna energia sústavy bude

1 3 2 31 2p p p p

0 12 13 23

1 (1, 2) (1,3) (2,3)4π

Q Q Q QQ QE E E Er r rε

⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠. (2.60)

Vzťah (2.60) môžeme zovšeobecniť na sústavu N elektrických nábojov a pre elektrostatickú energiu sústavy elektrických nábojov dostávame vzťah

p0 0

1 1( , )4π 8π

i ji jp

i j j i j j i ji j i j

Q QQ QE E i j

r rε ε< <

= = =∑∑ ∑∑ ∑∑ , (2.61)

v ktorom posledná sumácia prebieha cez všetky možné hodnoty indexov i≠j. Aby energia dvojice elektrických nábojov pri neobmedzených sumačných indexoch nebola započítaná dvakrát museli sme posledný výraz deliť dvomi. Na vyjadrenie potenciálnej energie môžeme využiť aj elektrický potenciál. Upravíme k tomu vhodným spôsobom predchádzajúcu rovnicu. Dostaneme

p0

1 1 12 4π 2

ji i i

i j i ii j

QE Q QV

rε≠

= =∑ ∑ ∑ , (2.62)

kde symbolom Vi sme označili potenciál elektrického poľa vytvoreného ostatnými elektrickými nábojmi sústavy v bode, v ktorom sa nachádza náboj Qi.

04j

ij i ij

QV

rπε≠

=∑ (2.63)

Potenciálnu energiu môžeme vyjadriť aj v prípade, že nemáme bodové elektrické náboje, ale spojité rozloženie elektrického náboja s objemovou hustotou r. Sumáciu cez bodové elektrické náboje v rovnici (2.62) nahradíme integráciou cez objem z priestorovej hustoty elektrického náboja v každom bode a potenciálu elektrického poľa v tomto bode

p1 d2

E Vρ τ= ∫ (2.64)

2.12 Elektrické pole dipólu

Pod elektrickým dipólom rozumieme sústavu dvoch rovnako veľkých elektrických

nábojov opačnej polarity. Budeme vyšetrovať elektrické pole dipólu v takej vzdialenosti od stredu dipólu, ktorá bude oveľa väčšia, ako vzájomná vzdialenosť elektrických nábojov. Nech sú obidva elektrické náboje vzdialené o ℓ. Vyjadríme si najprv výsledný elektrický potenciál a z neho pomocou (2.55) nájdeme intenzitu elektrického poľa.

Podľa obr. 2.21

20 0 0

1 1 cos cos4π 4π 4π

Q Q QV V Vr r r r r

θ θε ε ε+ −

+ − + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , (2.65)

kde sme položili 2 , cosr r r r r θ+ − − +− . Ak zavedieme elektrický dipólový moment p = Qℓ ako vektor smerujúci od záporného elektrického náboja ku kladnému a ktorého veľkosť je Qℓ,

32

Obr. 2.21. Elektrický dipól.

potom elektrický potenciál dipólu môžeme pomocou elektrického dipólového momentu vyjadriť v tvare

30

( )4π

V rrε

=p r ⋅ . (2.66)

Na rozdiel od elektrického potenciálu bodového elektrického náboja, ktorý klesá nepriamo úmerne prvej mocnine vzdialenosti od elektrického náboja, elektrický potenciál dipólu klesá s druhou mocninou vzdialenosti od stredu dipólu.

Na určenie intenzity elektrického poľa použijeme vzťah medzi elektrickou intenzitou a potenciálom (2.55). Nech elektrické náboje dipólu sa nachádzajú na osi x. Potom vektor p má smer osi x a p ⋅ r = px.

( ) ( )

33 3 3

0 0 0 0

2 23 3

0 0

3( ) 14π 4π 4π 4π

1 3cos 3cos 14π 4π

xpx p p p x rE x r

x r r x r r xp p

r r

ε ε ε ε

θ θε ε

−⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − = − − = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

= − + = −

(2.67)

( )

( )

3 43

0 0 0

2 2 23 3 3

0 0 0

( ) 34π 4π 4π

3 3 cos 3 cos sin4π 4π 4π

ypx p xp rE x r r

y r y y

p x p y px y zr r y r r r

ε ε ε

θ θ θε ε ε

− −⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − = − = − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ⎛ ⎞= + + = =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

(2.68)

Vo výrazoch pre elektrickú intenzitu je treba si všimnúť, že intenzita elektrického poľa

dipólu klesá úmerne s treťou mocninou vzdialenosti od stredu dipólu. (Pre bodový elektrický náboj bol pokles elektrickej intenzity s druhou mocninou vzdialenosti). Siločiary aj ekvipotenciálne plochy dipólu sú zobrazené na obr. 2.22.

V chemických štruktúrach sa často stretávame s dipólmi, ktoré vznikajú v molekulách v dôsledku rôznych akceptorových alebo donorových vlastností atómov, alebo molekulových skupín. Na atómoch v molekule vzniká parciálny kladný resp. záporný elektrický náboj, čo sa prejavuje elektrickým dipólovým momentom a polaritou molekuly. Molekula vody je polárna, má dipólový moment, ktorý je vektorovým súčtom dipólových momentov každej z OH väzieb. V molekule vody majú obidva atómy vodíka kladný parciálny náboj. Dvojnásobne veľký záporný parciálny náboj je na atóme kyslíka. Tento parciálny náboj nepredstavuje žiadne „delenie“ elektrónu, iba menšiu, resp. väčšiu pravdepodobnosť výskytu elektrónu! Zo vzájomnej interakcie elektrických dipólových momentov vyplývajú mnohé fyzikálne vlastnosti látok. Napríklad pri laboratórnych podmienkach je voda kvapalina a SH2 je plyn. Spôsobujú to aj rozdielne elektrické dipólové momenty týchto molekúl a tým aj ich vzájomné interakcie. Elektrický dipólový moment molekuly vody pH2O = 6,17·10-30 C m je takmer

.

-Q +Qp

r-

r+r--r+

l

.

-Q +Qp

r-

r+r--r+

lθ

33

dvojnásobkom elektrického dipólového momentu SH2, pSH2 = 3,1·10-30 C m. Elektrická dipolárna interakcia molekúl SH2 je preto menšia ako interakcia molekúl vody.

SiločiaraEkvipotenciálna plocha SiločiaraEkvipotenciálna plocha

Obr. 2.22. Siločiary a ekvipotenciálne plochy dipólu.

2.13 Dipól v homogénnom elektrickom poli Majme dipól v homogénnom elektrickom poli ako je zobrazené na obr. 2.23. Sily poľa

pôsobiace na elektrické náboje tvoria dvojicu síl. Ak vektor od záporného elektrického náboja ku kladnému je ℓ a elektrická intenzita poľa je E, pre moment pôsobiacej dvojice platí

Obr. 2.23. Dipól v homogénnom elektrickom poli

sin ( )Q p E ϕ= × × −M E = p E = k , (2.69)

kde k je jednotkový vektor kolmý na rovinu nákresne a smerujúci von z nákresne. Dvojica síl sa bude snažiť dipól natočiť, a to tak, aby vektor elektrického dipólového

momentu mal smer siločiar elektrického poľa. Takáto orientácia dipólu v homogénnom elektrickom poli je stabilná poloha. Ak je dipól vychýlený z tejto polohy, sily elektrického poľa pri návrate do stabilnej polohy môžu konať prácu. Dipólu v určitej orientácii vzhľadom na vonkajšie elektrické pole preto môžeme priradiť potenciálnu energiu. Zvoľme za vzťažnú polohu, t.j. polohu s potenciálnou energiou rovnajúcou sa nule, výchylku ϕ0 = π/2. Potenciálnu energiu definujeme ako prácu, ktorú dvojica síl poľa vynaloží na otočenie dipólu z určitej orientácie ϕ do vzťažnej orientácie ϕ0. Elementárna práca pri rotácii je určená skalárnym súčinom momentu sily a vektora elementárneho pootočenia dW = M.dj. Zaveďme d dϕ kϕ = . Po zohľadnení smeru vektorov M a dϕ, ktorý je opačný (odtiaľ cosp!) pre potenciálnu energiu dostávame

+Q

- Q- F

F

lj

p

M

E

+Q

- Q- F

F

lj

p

M

E

34

π / 2 π / 2 π / 2 π / 2

p d ( ) d sin d (cos π) sin d cosE p E p E p Eϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = × = = − = − = −∫ ∫ ∫ ∫M p E p E⋅ ϕ ⋅ ϕ ⋅

(2.70)

ϕ

Ep

0 π/2

pE

π

- pE

ϕ

Ep

0 π/2

pE

π

- pE

Obr. 2.24. Závislosť Ep dipólu od jeho orientácie v homogénnom elektrickom poli.

Priebeh potenciálnej energie v závislosti od uhla medzi vektorom elektrického dipólového

momentu a intenzity vonkajšieho elektrického poľa je znázornený na obr. 2.24. Prejavom orientácie dipólov v elektrickom poli je polarizácia dielektrika, s ktorou sa stretneme neskôr pri štúdiu elektrického poľa v dielektriku. Praktickým využitím orientácie dipólu v elektrickom poli je mikrovlnný ohrev. Molekula vody má elektrický dipólový moment, ktorého veľkosť je p = 6,17 10-30 C m. Ak na molekuly vody pôsobí striedavé elektrické pole, pri vhodnej frekvencii molekuly vody sledujú zmeny elektrického poľa. Pôsobením striedavého elektrického poľa v mikrovlnnej rúre dochádza k osciláciám molekúl vody a trením o susedné molekuly k premene energie elektromagnetického poľa na chaotický tepelný pohyb molekúl vody. Potraviny v mikrovlnke môžeme ohrievať teda preto, že obsahujú molekuly vody. Nespornou výhodou mikrovlnného ohrevu je, že sa ohrieva naraz celý objem. Pri frekvencii elektromagnetického vlnenia okolo 2,45 GHz je táto premena práve pre molekuly vody najúčinnejšia. Žiarenie však pôsobí aj na iné polárne molekuly. Mikrovlnné žiarenie sa od kovových povrchov odráža. Vzhľadom na jeho vlnovú dĺžku ak aj sú v kove otvory rozmerov asi 1 mm, tento povrch sa pre mikrovlny javí ako spojitý. Mikrovlnné žiarenie potom z mikrovlnky nemôže prenikať do okolitého prostredia napriek tomu, že cez dvierka môžeme vidieť.

+- + -

Stabilná polohaEp = - pEϕ = 0

Ep = pEϕ = π

+- + -

Stabilná polohaEp = - pEϕ = 0

Ep = pEϕ = π

Nestabilná poloha

+- + -

Stabilná polohaEp = - pEϕ = 0

Ep = pEϕ = π

+- + -

Stabilná polohaEp = - pEϕ = 0

Ep = pEϕ = π

Nestabilná poloha