IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

1. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:

a) )4(282 −=− xx }4{=Raíz

b) )3(5155 −−=+− xx }3{=Raíz

c) )5(5255 −=− xx }5{=Raíz

d)

+=+4

134134 aa

−=

4

13Raíz

e)

−=−3

113113 xx

=

3

11Raíz

f)

+=

+=+2

56

6

156156 xxx

g)

−−=

−−=+−3

89

9

249249 xxx

h)

+=+6

12

3

12 xx

−=

6

1Raíz

i)

−−=+−20

18

5

28 xx

=

20

1Raíz

j) )2(363 2 −=− xxxx 0{=Raíces

k) )4(282 2 −−=+− xxxx Raíces

l) )3(5155 223 −=− xxxx =Raíces

m) ( )93273 2 −−=+− xxxx Raíces

n) ( )55255 334 −=− xxxx =Raíces

o) ( )27147 2 +=+ xxxx {=Raíces

p) ( )66366 2 +=+ xxxx {=Raíces

q) )4(3123 223 −−=+− xxxx Raíces

r) )6(2122 223 −−=−− xxxx Raíces

s) )1(3

1

3

1

3

1 334 +=+ xxxx Raíces

IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS . SOLUCIONES

Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:

4

13

−=

2

5Raíz

3

8

=3

8Raíz

20

1

}2,0

}4,0{=

}3 , (doble) 0{=

{ }9,0=Raíces

{ }5 (triple), 0=

{ }2 , 0 −

{ }6,0−

}4 , (doble) 0{=Raíces

}6 , (doble) 0{=Raíces

} 1 (triple), 0 { −=Raíces

4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO

1

. SOLUCIONES

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

2. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:

a) 1072 +− xx

1º) Hallamos las raíces del polinomio

⋅−−±

=⇒=+−12

4)7(70107

22 xxx

2º) Factorización: 5(1072 −=+− xxx

b) 1872 −− xx

1º) Hallamos las raíces del polinomio

⋅−−±

=⇒=−−12

4)7(70187

22 xxx

2º) Factorización: 9(1872 −=−− xxx

c) 963 2 −− xx

1º) Extraemos factor común 33 2 −⇒ x

2º) Hallamos las raíces del polinomio (

)1)(3(32

12

14)2(2032

2

22

+−=−−⇒

⋅⋅−−±

=⇒=−−

xxxx

xxx

3º) Factorización: (3963 2 −=−− xxx

d) 253 2 +− xx

1º) Hallamos las raíces del polinomio

⋅−−±

=⇒=+−32

4)5(50253

22 xxx

2º) Factorización: −=+− 1(3253 2 xxx

IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas

Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:

=±=±=−±=⋅⋅

2

37

2

97

2

40497101

x

x

)2)(5 −x }2,5{=Raíces

±=±=+±=−⋅⋅

2

117

2

1217

2

72497)18(1

)2)(9 +x }2,9{ −=Raíces

)32(396 2 −−=−− xxx

)32( 2 −− xx

2

42

2

162

2

1242)3(1

=±=±=+±=−⋅

x

x

)1)(3 +x }1,3{ −=Raíces

=

==±=±=−±=

⋅⋅6

15

6

15

6

2425523

x

x

−3

2)1 x

=

3

2 , 1Raíces

4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO

2

=⇒−=

=⇒+=

22

37

52

37

x

x

−=⇒−=

=⇒+=

=2

2

117

92

11711

xx

xx

12

42

32

42

⇒

−=⇒−=

=⇒+=

xx

xx

=⇒=−=

=⇒+=

3

2

6

4

6

15

16

15

x

x

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

e) 32 2 ++ xx

1º) Hallamos las raíces del polinomio

22

)1(1032

22

⋅−±−

=⇒=++ xxx

2º) Factorización: )32( 2 ++ xx es irreducible

f) 202 −+ xx

1º) Hallamos las raíces del polinomio

⋅⋅−±−

=⇒=−+12

14)1(1020

22 xxx

2º) Factorización: )(4(202 −=−+ xxx

g) 16 2 −+ xx

1º) Hallamos las raíces del polinomio

⋅⋅−±−

=⇒=−+62

64)1(1016

22 xxx

2º) Factorización:

−=−+3

1616 2 xxx

h) 1572 2 −− xx

1º) Hallamos las raíces del polinomio

⋅−−±

=⇒=−−22

4)7(701572

22 xxx

2º) Factorización: −=−− (21572 2 xxx

IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas

tieneno4

231

4

2411324=−±−=−±−=

⋅⋅−

es irreducible

±−=±−=+±−=−⋅

2

91

2

811

2

8011)20(1

)5)( +x }5,4{ −=Raíces

=±−=±−=+±−=−⋅

12

51

12

251

12

2411)1(6

+

2

1

3

1x

−=

2

1 ,

3

1Raíces

±=±=+±=−⋅⋅ 7

4

1697

4

120497

2

)15(24

+−2

3)5 x

−=

2

3 , 5Raíces

4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO

3

realsolución tiene

−=⇒−−=

=⇒+−=

=5

2

91

42

91

xx

xx

−=⇒−=

=⇒==

2

1

12

6

3

1

12

4

xx

xx

−=⇒−=

=⇒==±

2

3

4

6

54

20

4

13

xx

xx

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

i) 234 862 xxx ++−

1º) Extraemos factor común 22x−

2−

2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio

)1)(4(43

12

14)3(3043

2

22

+−=−−⇒

⋅⋅−−±

=⇒=−−

xxxx

xxx

3º) Factorización: 862 234 =++− xxx

j) xxx 4113 23 −−

1º) Extraemos factor común “x ”

2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio

⇒

−=⇒−=

=⇒+=

=±=

⋅−−±

=⇒=−−

3

3

1

6

1311

46

1311

6

1311

32

)11(1104113

22

xx

xx

xxx

3º) Factorización: =−− (4113 23 xxxx

−=

3

1 , 0,4Raíces

k) 345 45396 xxx −−−

1º) Extraemos factor común “ 33x− ”

6 5− x

IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas

)43(2862 22234 −−−=++ xxxxxx

y factorizamos el polinomio )43( 2 −− xx

2

53

2

253

2

1693)4(1

=±=±=+±=−⋅

x

x

)1)(4(2)43(2 222 +−−=−−− xxxxxx Raíces

)4113(4113 223 −−=−− xxxxxx

) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio )4113( 2 −− xx

+−=−−

=±=+±=−⋅⋅−

3

1)4(34113

6

16911

6

4812111

3

)4(34

2 xxxx

−=

+−⋅⋅=−− (33

1)4(3)4113( 2 xxxxxxx

)15132(34539 23345 ++−=−− xxxxx

4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO

4

12

53

42

53

⇒

−=⇒−=

=⇒+=

x

x

}1,4 (doble), 0{ −=Raíces

+−3

1)4 x

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio

⇒

−=⇒−−=

−=⇒+−=

=±−=

±−=⇒=++

54

713

2

3

4

713

4

713

2

)13(13015132

22

xx

xx

xxx

3º) Factorización: −−− 45396 345 xxx

−−=

2

3 , 5 (triple), 0Raíces

l) xxx7

6

7

1

7

1 23 −+

1º) Extraemos factor común “x7

1”

2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio

)3)(2(6

12

14)1(106

2

22

+−=−+⇒

⋅⋅⋅−±−

=⇒=−+

xxxx

xxx

3º) Factorización: 7

1

7

6

7

1

7

1 23 =−+ xxx

IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas

) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio )15132( 2 ++ xx

++=++⇒

±−=−±−=⋅

⋅⋅−

2

3)5(215132

4

13

4

12016913

22

)15()2(4

2

2

xxxx

+⋅⋅−=++−= )5(23)15132(3 323 xxxxxx

)6(7

1

7

6

7

1

7

1 223 −+=−+ xxxxxx

y factorizamos el polinomio )6( 2 −+ xx

2

51

2

251

2

2411)6(=±−=±−=+±−=

−⋅

)3)(2(7

1)6(

7

1 2 +−=−+ xxxxxx

4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO

5

=49

++−=

+2

3)5(6

2

3 3 xxx

32

51

22

51

⇒

−=⇒−−=

=⇒+−=

xx

xx

}3,2 ,0{ −=Raíces

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

4. Factoriza los siguientes polinomios extrayendo factor común y

e indica las raíces en cada caso:

a) 22 )8(6416 −=+− xxx =Raíces

b) 223 168(580405 ++=++ xxxxxx

c)

−=

+

−=−10

4

10

4

100

162 xxxx

d)

−=

−=−3

49

9

169169 22 xxx

e) (5)16(5805 22224 =−=− xxxxxx

f) 223 12(272242 +−=−−− xxxxxx

g) 23345 6(218122 +−=+− xxxxxx

h) 23345 6(7

1

7

9

7

6

7

1 −=+− xxxxxx

i) 2()2)(2(4 224 −=+−=− xxxx

j) (9)25(92259 24226 =−=− xxxxx

}5,5(doble), 0{ −=Raíces

k) 22234 (15606015 −=−+− xxxxx

l) 22

4

5)12(

4

5

4

5

2

5

4

5 =+−=+− xxxx

m) 22 (3)12(3363 =+−=+− xxxxx

n) 223 8(348243 ++−=−−− xxxxxx

o) 5)81(54055 45 −=−−=+− xxxxx

p) )(2()4)(4(16 224 −=+−=− xxxx

q) )(2(5

3)4(

5

3

5

12

5

3 244 −=−=− xxx

r) 5)64(53205 45 −=−−=+− xxxxx

s) )(1()1)(1(1 224 −=+−=− xxxxx

t) ()16)(16(256 2448 =+−=− xxxx

u) (2)25(2502 22224 =−=− xxxxxx

v) 22234 (5125505 +−=−−− xxxxx

w) )16(2322 23 +=+ xxxx =Raíces

IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas

Factoriza los siguientes polinomios extrayendo factor común y/o con ayuda de las identidades notables

}(doble) 8{=

2)4(5)16 += xx }(doble) 4,0{ −=Raíces

+

−5

2

5

2x

−=

5

2,

5

2Raíces

+3

4x

−=

3

4,

3

4Raíces

)4)(4 +− xx }4,4(doble), 0{ −=Raíces

2)6(2)36 +−=+ xxx (doble) 6, 0{ −=Raíces

23 )3(2)9 −=+ xx (doble) 3(triple), 0{=Raíces

23 )3(7

1)9 −=+ xx

(doble) 3(triple), 0{=Raíces

)2)(2)(2 2 ++ xx }2,2{−=Raíces

5)(5)(5(9)5)(5( 2222 ++−=+− xxxxxx

22 )2(15)44 −−=+− xxx (doble), 0{=Raíces

2)1(4

5 −x

}(doble) 1{=Raíces

2)1− }(doble) 1{=Raíces

2)4(3)16 +−=+ xx (doble) 4, 0{ −=Raíces

)9)(3)(3(5)9)(9( 222 ++−−=+− xxxxxxx

)4)(2)( 2 ++ xx }2,2{ −=Raíces

)2)(2)(2(5

3)2)( 22 ++−=+ xxxx

Raíces

)(8)(8(5)8)(8( 222 ++−−=+− xxxxxxx

)1)(1 2 ++ x }1,1{ −=Raíces

4)(2)(2()16)(4)(4 2422 ++−=++− xxxxx

)5)(5 +− xx }5,5(doble), 0{ −=Raíces

22 )5(5)2510 +−=++ xxx (doble), 0{=Raíces

}0{=

4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO

6

con ayuda de las identidades notables

}(doble)

}(doble)

}(doble)

)5

}(doble) 2(doble),

}(doble)

}3,3, 0{ −=Raíces

}2,2{−=Raíces

)8 }8,8,0{ −=Raíces

)16)(4 4 +x }2,2{ −=Raíces

}(doble) 5(doble),−

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

5. Factoriza completamente los siguientes polinomios

a) )1()2510()16( 222 =+⋅+−⋅− xxxx

Los dos primeros polinomios son identidades notables y el tercero es irreducible

}5(doble),4,4{ −=Raíces

b) )22()45( 32 xxxx +−⋅+−

� ±

=⇒=+−2

)5(5045

22 xxx

)1)(4(452 −−=+−⇒ xxxx

� (2)1(222 23 −=−−=+− xxxxx

Por tanto,

)(4()22()45( 32 −=+−⋅+− xxxxx

}1,4(doble),1 ,0{ −=Raíces

c) =−⋅+−⋅− )25()168()1( 422 xxxx

)(5()4)(1)(1( 2 +−−+−= xxxxx

Para factorizar los tres polinomios utilizamos las identidades notables.

}5,5(doble), 4,1,1{ −−=Raíces

d) )87()4()4( 222 −+⋅+⋅− xxxx

� )2)(2(42 +−=− xxx

� 42 +x

Es irreducible

� ±−

=⇒=−+7(7

0872 xxx

)8)(1(872 +−=−+⇒ xxxx

Por tanto,

()87()4()4( 222 =−+⋅+⋅− xxxxx

}8,1,2,2{ −−=Raíces

IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas

Factoriza completamente los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso

)1()5)(4)(4( 22 +−+−= xxxx

dos primeros polinomios son identidades notables y el tercero es irreducible

=±=±=−±=⋅

⋅⋅−2

35

2

95

2

16255

12

)4(14

)1)(1( +− xx

)(4()1(2)1)(1)(2)(1)( 2 −−−=+−−− xxxxxxx

=+−−+−= )5)(5()4)(1)(1( 222 xxxxx

)5)(5 2 ++ x

Para factorizar los tres polinomios utilizamos las identidades notables.

±−=+±−=⋅

−⋅⋅−2

817

2

32497

12

)8(14)7 2

)8)(1)(4)(2)(2 2 +−++− xxxxx

4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO

7

e indica las raíces en cada caso:

dos primeros polinomios son identidades notables y el tercero es irreducible

⇒

=−=

=+==

12

35

42

35

x

x

)1+x

⇒

−==

=±−=8

1

2

97

x

x

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

e) 96()56()1( 222 +−⋅+−⋅+ xxxxx

� )1( 2 +x

es irreducible

� −±

=⇒=+−2

)6(60562 xxx

)5)(1(562 −−=+−⇒ xxxx

� 22 )3(96 −=+− xxx

Identidad notable

Por tanto,

222 )96()56()1( +−⋅+−⋅+ xxxxx

}(doble) 3,5, 1{=Raíces

f) )49()753( 435 −⋅+− xxx

� )25(3753 2335 =−−=+− xxxx

� ()7)(7(49 224 −=+−=− xxxx

Por tanto,

5(3)49)(753( 3435 −−=−+− xxxxx

}7,7,5,5(triple), 0{ −−=Raíces

g) )25()1()84( 22 xxxx −⋅++⋅+−

� )2(484 −−=+− xx

� 12 ++ xx

Es irreducible

12

)1(101

22

⋅±−

=⇒=++ xxx

� 5()5)(5(25 2 −−=+−=− xxxx

Por tanto,

)25()1()84( 22 −=−⋅++⋅+− xxxx

}5,52,{ −=Raíces

h) )5()16()16( 242 xxx −⋅−⋅−

� 4()4)(4(16 2 −−=+−=− xxxx

� ()4)(4(16 224 −=+−=− xxxx

IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas

)9

±=±=−±=⋅

⋅⋅−2

46

2

166

2

20366

12

514)2

Identidad notable

22 )3)(5)(1)(1() −−−+= xxxx

)5)(5(3 3 +−− xxx

)7)(7)(7 2 ++− xx

)7)(7)(7)(5)(5 2 ++−+ xxxx

tieneno 2

31

2

411

1

114⇒

−±−=−±−=⋅⋅−

)5)(5 +x

2(4)]5)(5()[1)(2(4 2 −=+−−++−− xxxxxx

)4)(4 +x

)4)(2)(2 2 ++− xx

4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO

8

⇒

==

=1

5

x

x

realsolución tiene

)5)(5)(1)(2 2 +−++ xxxx

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

� ()5)(5(5 2 −=+−=− xxxx

Por tanto,

)(4)(2)(2)(4)(4(

()5()16()16(2

242

++−+−=

−−=−⋅−⋅−

xxxxx

xxxx

}5,5,2,2,4,4{ −−−=Raíces

i) )363()4914( 22 −+−⋅+− xxxx

� 22 )7(4914 −=+− xxx

� 22 )12(3363 +−−=−+− xxxx

Por tanto,

22 ()363()4914( =−+−⋅+− xxxxx

}(doble)1(doble), 7{=Raíces

j) )66()1213()5( 22 +⋅++⋅− xxxx

� )5)(5(52 +−=− xxx

� ±−

=⇒=++13

012132 xxx

)12)(1(12132 ++=++⇒ xxxx

� )1(666 +=+ xx

Por tanto,

()66()1213()5( 22 =+⋅++⋅− xxxxx

}12,(doble)1,5,5{ −−−=Raíces

s) (2)125(22502 34 =+=+ xxxxxx

IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas

)5)(5 +− x

)5)(5)(

)(5()[4)(2)(2)(4)(4 2

+−

+−−++−+−

xx

xxxxxx

2)1(3 −−= x

2222 )1()7(3)1)(3()7 −−−=−−− xxxx

±−=−±−=⋅

⋅⋅−2

1113

2

4816913

12

1214)13( 2

(6)1(6)12)(1)(5)(5 −=++++− xxxxxx

)255)(5 2 +−+ xxx }5,0{ −=Raíces

4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO

9

)]5 =+

⇒

−=

−==

12

111

x

x

)12()1)(5)(5 2 +++ xxx