Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
FÍSICA
BATXILLERAT
Norberto PfeifferJ. Manuel ApioJoan MarínAntoni Travesset
2
Trobaràs els recursos digitals i el format digital del llibre a
ecasals.cat/fisica2ba
Coneixement i interacció amb el mónContinguts CM
1 Fenòmens periòdics I.Moviment harmònic
Em situo CR CI CM Caçar planetes extrasolars
Avaluació diagnòstica
p. 5
I MOVIMENT HARMÒNIC
1. Introducció: coneixements previs de matemàtiques
2. Període i freqüència d’un fenomen periòdic
3. Moviment vibratori harmònic simple (m.v.h.s.)
4. Cinemàtica del m.v.h.s.
5. Oscil·ladors harmònics
6. Equació del m.v.h.s.
7. Velocitat i acceleració en el m.v.h.s.
8. Energia del m.v.h.s.
Recorda
Estratègies d’investigació
Entendre la ciència C1 C2 C3
La banda sonora de la carretera CC CM CI
Experiència CR C1 C2
Determinació de la constant elàstica d’una molla que experimenta un m.v.h.s.
Exemples resolts CR CI
Plantejar i resoldre l’equació del m.v.h.s. - Trobar l’equació del m. v. h. s. d’un cos connectat a una molla - Determinar la velocitat i l’acceleració a partir de
l’equació del m.v.h.s. - Aplicar la llei de conservació de l’energia en el m.v.h.s.
Banc d’activitats
2 Fenòmens periòdics II. Ones
Em situo CC CI CM Escoltant la llum
Avaluació diagnòstica
p. 25
I MOVIMENT ONDULATORI
1. Concepte d’ona
2. Tipus d’ones
3. Ones harmòniques
4. Longitud d’ona
5. Velocitat de propagació
6. La cubeta d’ones
7. Front d’ona i raigs
8. Nombre d’ona
9. Equació d’una ona harmònica
10. Què transporten les ones
11. Intensitat d’una ona
12. Propagació de les ones: construcció de Huygens
13. Canvis en la superfície de separació de dos medis
14. Difracció
15. Interferència d’ones
16. Ones estacionàries
II EL SO
17. El so. Característiques físiques
18. Anàlisi harmònica del so
19. Efecte Doppler
20. Reflexió del so. Eco i reverberació
21. La percepció del so
Recorda
Estratègies d’investigació
Entendre la ciència C1 C2 C3
Controls de velocitat CC CM CI - Com funciona el CD? CR CM CI
Exemples resolts CR CI
Determinar la freqüència, la velocitat i la longitud d’ona - Determinar l’equació d’una ona - Aplicar l’equació d’una ona - Calcular l’energia transmesa i la
potència del focus emissor - Determinar el tipus d’interferència en un punt donat - Determinar l’alçada de les irregularitats d’una superfície - Determinar les
característiques d’una ona estacionària - Ona sonora en un tub - Determinar de la freqüència aparent d’un so amb efecte Doppler
Banc d’activitats
3 Sistema solar i gravetat
Em situo CC CI CM
Desacord en la constant
de gravitació
Avaluació diagnòstica
p. 67
I EL CEL I ELS ASTRES
1. Introducció. Coneixements previs de matemàtiques
2. L’esfera celeste
3. El sistema solar des de la Terra
4. Sistema de referència heliocèntric
II GRAVITACIÓ
5. Llei de la gravitació universal
6. Satèl·lits i gravitació
7. Camp gravitatori
8. Energia potencial gravitatòria
9. Energia mecànica orbital
10. Velocitat d’escapament
III MOVIMENT DE PLANETES I SATÈL·LITS
11. Òrbites el·líptiques: lleis de Kepler
12. Astronàutica
Recorda
Estratègies d’investigació
Entendre la ciència C1 C2 C3
Afeli i periheli CC CM CI
Exemples resolts CR CI
Aplicar la llei de gravitació universal - Calcular la velocitat orbital - Calcular la intensitat del camp gravitatori - Determinar l’acceleració de la gravetat a la su-
perfície d’un planeta - Aplicar la fórmula adient de l’energia potencial gravitatòria - Aplicar l’expressió de l’energia mecànica orbital - Aplicar les lleis de Kepler
Banc d’activitats
4 Física quàntica,relativitat i constitució de l’univers
Em situo CC CI CM La croada quàntica
Avaluació diagnòstica
p. 95
I FÍSICA QUÀNTICA
1. La física quàntica
2. L’efecte fotoelèctric
3. La radiació electromagnètica emesa i absorbida pels
gasos. L’explicació dels espectres dels gasos
4. La dualitat ona-partícula
5. El principi d’incertesa
II RELATIVITAT
6. El moviment relatiu en física clàssica
7. La teoria especial de la relativitat
8. La dilatació del temps
9. La contracció de la longitud
10. La massa relativista
III COSMOLOGIA
11. La constitució de l’univers
12. Formació i destí de l’univers
Recorda
Estratègies d’investigació
Entendre la ciència C1 C2 C3
Relativitat i sistemes GPS CC CM CI
Exemples resolts CR CI
Calcular el potencial de tall en l’efecte fotoelèctric - Calcular velocitats relatives segons la relativitat clàssica - Calcular velocitats relatives segons la relativitat
especial - Aplicar les transformacions de Lorentz a un raig de llum - Calcular la pèrdua de sincronització per dilatació temporal - Calcular la contracció de la
longitud a velocitats relativistes - Calcular l’augment de massa a causa dels efectes relativistes
Banc d’activitats
5 La física nuclear
Em situo CC CI CM
Física nuclear i medicinaAvaluació diagnòstica
p. 123
I FÍSICA NUCLEAR
1. La constitució de l’àtom
2. La radioactivitat
II FISSIÓ I FUSIÓ NUCLEARS
3. Equivalència entre massa i energia
4. La fissió nuclear
5. La fusió nuclear
6. Fissió nuclear controlada
III FÍSICA DE PARTÍCULES
7. Física de partícules
8. Les interaccions fonamentals
Recorda
Estratègies d’investigació
Entendre la ciència C1 C2 C3
Els índexs de decaïment nuclear depenen de la temperatura? CR CI CC
Exemples resolts CR CI
Datar restes antigues mitjançant radiodatació - Calcular l’energia alliberada en un procés de fusió nuclear
Banc d’activitats
6 Camp elèctric
Em situo CC CI CM El llenguatge de les neurones
Avaluació diagnòstica
p. 147
I CAMP ELÈCTRIC
1. Noció de camp
2. Camps escalars: isolínies i superfícies equipotencials
3. Camps vectorials: línies de camp
4. Llei de Coulomb
5. Energia potencial elèctrica
6. Camp elèctric
7. Camps elèctrics creats per una o més càrregues
puntuals
8. Potencial elèctric
9. Treball de la força elèctrica
10. Relacio entre el camp i el potencia elèctric. Gradient
de potencial
11. Diferències i semblances entre els camps
conservatius gravitatori i elèctric
12. Flux elèctric. Teorema de Gauss
13. Camp elèctric creat per una esfera conductora
carregada, en equilibri
14. Camp elèctric creat per una distribució uniforme
de càrrega al llarg d’un fil conductor recte i indefinit
15. Camp elèctric creat per una distribució uniforme
de càrrega en una superfície plana i indefinida
16. Camp elèctric uniforme. El condensador pla
II MOVIMENT DE CÀRREGUES EN CAMPS ELÈCTRICS
17. El tub de raigs catòdics
Recorda
Estratègies d’investigació
Entendre la ciència C1 C2 C3
Pantalles tàctils capacitives CC CM CI
Experiències CR C1 C2
Secció d’un camp escalar i interpolació gràfica - Simulació de línies de camp i isolínies de camps elèctrics
Exemples resolts CR CI
Calcular la força d’atracció entre dues partícules - Calcular la força d’atracció entre dues càrregues elèctriques puntuals - Calcular la càrrega de dues masses
puntuals suspeses d’un fil - Calcular la intensitat del camp elèctric en un punt, creat per tres càrregues - Calcular el treball que efectua un camp quan es
trasllada una càrrega - Calcular el camp elèctric com a gradient del potencial - Calcular la càrrega d’una esfera - Calcular la densitat superficial de càrrega
- Calcular les condicions necessàries per mantenir en equilibri una càrrega elèctrica - Calcular i representar el gradient d’un camp uniforme - Analitzar el
comportament dels electrons en un tub de raig catòdics
Banc d’activitats
7 Camp magnètic. Inducció electromagnètica
Em situo CC CI CM El camp magnètic de la Terra
Avaluació diagnòstica
p. 181
I CAMP MAGNÈTIC
1. Magnetisme
2. L’electromagnetisme
3. Força que exerceix un camp magnètic sobre una càrrega
mòbil
4. Força magnètica sobre un conductor portador de corrent
5. Motors elèctrics
6. Fonts del camp magnètic
7. Electroimants
8. Accions mútues entre dos corrents paral·lels
II INDUCCIÓ ELECTROMAGNÈTICA
9. La inducció electromagnètica
10. Corrent induït i flux magnètic
11. Força electromotriu (fem) induïda en un conductor
rectilini
12. El sentit del corrent induït: llei de Lenz
13. Valor de la fem induïda
14. La llei de Faraday
15. Producció de corrents induïts
16. Intensitat eficaç i fem eficaç
17. Alternadors i dinamos
18. Avantatges del corrent altern. Transformadors
19. Les relacions entre el camp elèctric i el magnètic.
Equacions de Maxwel. La síntesi electromagnètica
Document: Aplicacions dels fenòmens de desviació
magnètica: espectrògrafs de masses i ciclotrons
Recorda
Estratègies d’investigació
Entendre la ciència C1 C2 C3 El tren Maglev CR CM CP - El gran col·lisionador d’hadrons CR CM CP
Experiència CR C1 C2
Realització de l’experiment d’Oersted - Mesura del camp magnètic amb una balança - Determinació experimental de la relació de transformació
Exemples resolts CR CI
Analitzar la dinàmica d’una càrrega mòbil situada en el si d’un camp B - Estudiar la dinàmica d’un conductor en el si d’un camp B - Determinar la intensitat
induïda en un conductor mòbil - Calcular la fem induïda en una bobina - Calcular la fem induïda en una espira giratòria
Banc d’activitats
ANNEXObjectiu: universitatSolucionari
Competències especifiques de la física
Indagació i experimentació
Comprensió de la naturalesa de la ciència
Comprensió i capacitat d’actuar sobre
el món físic
Contribució de la física a les competències generals del batxillerat
Comunicativa
Recerca
Gestió i tractament de la informació
Personal i interpersonal
Coneixement i interacció amb el món
LES COMPETÈNCIES LES ACTIVITATS
Avançada
RepteCC
CR
CI
CP
CM
C1
C2
C3
1
CAÇAR PLANETES EXTRASOLARS
É s única la Terra? Si no fos així,
quants planetes hi podria ha-
ver, a la nostra galàxia, que
tinguessin la mateixa grandària que la
Terra i que es trobessin ubicats en la
zona habitable? Aquesta és una de les
preguntes clau que l’equip del telesco-
pi espacial de la missió Kepler pretén
poder respondre.
En el transcurs de la missió, el telesco-
pi mesura, cada 30 minuts i simultàni-
ament, les variacions en la brillantor de
més de 100 000 estrelles, a la recerca
de la petita disminució de llum que té lloc
quan un planeta «transita» per la seva es-
trella, és a dir, quan hi passa per davant.
L’efecte dura aproximadament d’una a
dotze hores, segons l’òrbita del planeta
i el tipus d’estrella.
Aquestes variacions en la brillantor són
minúscules, i detectar-les i mesurar-les
representa tot un desafiament. Si el pla-
neta té una mida similar a la Terra, quan
transita per un estel com el Sol, el canvi
que experimenta la seva brillantor és de
només 84 parts per milió (ppm). La mag-
nitud de l’efecte seria similar a la varia-
ció que produiria una puça que caminés
per sobre del far d’un cotxe i vist, això,
des de diversos quilòmetres de distàn-
cia. El fotòmetre del telescopi Kepler és
capaç de detectar un canvi en la brillan-
tor d’una estrella igual a 20 ppm per a
estrelles que són més de 250 vegades
més febles de les observables a ull nu.
El científics cerquen tres o més trànsits
amb un període, canvi de brillantor i dura-
da constants.
La figura 1a mostra a escala un trànsit
de Júpiter a través d’una imatge del nos-
tre sol i la figura 1b mostra un trànsit de
la Terra. La figura 2 mostra la disminució
en la brillantor de l’estrella pel trànsit
d’un planeta.
Els primers planetes descoberts per Ke-
pler seran gegants de gas, similars en
grandària a Júpiter, en òrbites estretes
que duren només uns pocs dies al voltant
de les seves estrelles. Els planetes en
Fenòmens periòdics I. Moviment harmònic
Competència comunicativa. Identificar i descriure fets i fenòmens quotidians mitjançant els fonaments del moviment vibratori harmònic simple.
Competència en recerca. Identificar i diferenciar moviments periòdics d’aquells que no ho són, formular hipòtesis sobre les magnituds relacionades amb aquests moviments i la seva dependència, i realitzar experiments amb l’objectiu de comprovar les hipòtesis efectuades.
Competència en el coneixement i interacció amb el món. Contextualització del model del moviment vibratori harmònic simple a través de les seves equacions i les seves apli-cacions a diferents camps de la ciència i la tecnologia en la vida real.
AVALUACIÓ DIAGNÒSTICA
1. El moviment dels planetes al voltant
d’una estrella és periòdic. Defineix el
terme període i la seva relació amb la
velocitat angular d’un moviment circu-
lar. Quin és el període de la Terra al
voltant del Sol?
2. Si observem un moviment circular des
d’una perspectiva situada en el pla de
rotació veurem un moviment oscil·lato-
ri de vaivé. Quina relació hi haurà entre
el període d’aquest moviment circular
i el del corresponent moviment oscil-
latori? I entre el radi i el desplaçament
màxim que hi observarem?
3. Per què et sembla que els científics
de la missió Kepler busquen «tres o
més trànsits amb un període, canvi de
brillantor i durada constants»?
òrbites com la de Mercuri, amb períodes
orbitals de pocs mesos, no es descobri-
ran fins passat el primer any d’observació
i anàlisi de dades. Trobar planetes en òr-
bites similars a la Terra requerirà de 3 a
5 anys. Al final de la seva missió, el cens
planetari de Kepler ens dirà si els plane-
tes de la grandària de la Terra són comuns
o rars en el nostre veïnat de la Via Làctia.
Diversos autors (2009).
NASA’s Search for Habitable Planets
A Kepler: NASA’s First Mission Capable of
Finding Earth-Size Planets. (Adaptació)
Kepler 4b Kepler 5b Kepler 6b
Brilla
ntor
Períodeorbital
(dies)
1,000
0,995
0,990
3,2 3,5 3,2
–4 0Fase (hores)
4 –4 0Fase (hores)
4 –4 0Fase (hores)
4
1a 1b
2
6
MOVIMENT HARMÒNICI
1 Introducció: coneixements previs de matemàtiquesAbans d’abordar aquest tema és convenient recordar alguns conceptes fonamentals:
Derivada d’una funció de funció
Sigui una funció de la forma y = f [g(x)].
La seva derivada és el producte f (x) = f [g(x)] · g (x).
Exemple:
A l’expressió y = sin (3x2 + 5), f és la funció sinus, mentre que g(x) és 3x2 + 5.
f [g(x)] s’obté com a derivada de la funció sinus: f [g(x)] = cos (3x2 + 5).
D’altra banda, g (x) és la derivada de la funció 3x2 + 5: g (x) = 6x.
D’aquesta manera, la derivada de y = sin (3x2 + 5) és: y = cos (3x2 + 5) · 6x.
Transformació d’una suma de sinus o de cosinus en producte
Recorda que les funcions sinus, f(x) = sin x i cosinus, f(x) = cos x són funcions periò-
diques que prenen valors entre +1 i –1.
La seva periodicitat és de 2 radiants.
x (rad)
cos xsin x
f (x)
– 2–2 3
–1
1
–0,5
0,5
0
1,5
Sumant les fórmules: sin (a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b
+ sin (a – b) = sin a · cos b – cos a · sin b
________________________________________________
sin (a + b) + sin (a – b) = 2sin a · cos b
Substituint:
a + b = A
a – b = B
I sumant i restant:
2a = A+ B
2b = A – B
Aleshores a=A+B
2 i b=
A B
2.
Obtenim:
1. Representació de les funcions
f(x) = sin x i f(x) = cos x.
Recorda que 1
a= a 1. Aquesta propie-
tat matemàtica permet expressar de
manera equivalent les magnituds deri-
vades. Així per exemple:
• La velocitat, que en el SI s’expressa
en metres partit per segon, podem,
anotar-la m/s o bé com m s–1.
• L’acceleració, que en el SI s’expres-
sa en metres partit per segon al
quadrat, podem anotar-la com m/s2
o bé m s–2.
En aquesta obra utilitzarem de forma
preferent la segona forma de nota-
ció, habitual en la literatura científica
formal.
L’apunt
sinA+ sinB= 2sinA+B
2+ cos
A B
2
7
2 Període i freqüència d’un fenomen periòdicEn tot fenomen físic hi ha una o diverses magnituds físiques que varien amb el pas
del temps. En els anomenats fenòmens periòdics totes les magnituds que varien tor-
nen a prendre, al cap d’un temps, el valor inicial; diem, aleshores, que s’ha completat
un cicle. A continuació, el fenomen es repeteix una vegada i una altra, produint-se
cicles successius idèntics al primer.
2. Fenòmens periòdics: l’acció repetida d’una robot industrial, les indicacions lluminoses d’un semàfor, les oscil·lacions d’un pèndol.
Al llarg d’un cicle, les magnituds que intervenen en un fenomen periòdic prenen va-
lors diferents. Els seus valors en un instant determinat defineixen la situació o fase
del fenomen en aquell instant. Per exemple, una fase en l’oscil·lació d’un pèndol es
pot definir per mitjà de la posició i la velocitat que té en un instant determinat.
Algunes de les fases del moviment periòdic de rotació de la Lluna al voltant de la
Terra reben un nom: lluna nova, quart creixent, lluna plena, quart minvant. Però entre
aquestes fases hi ha una infinitat de fases intermèdies.
En els fenòmens periòdics, s’anomena període T el temps que dura un cicle. S’ex-
pressa en segons en el SI.
Segons la definició, si es produeixen n cicles en un interval de temps t el període
és:
T =t
n
S’anomena freqüència (nu) d’un fenomen periòdic el nombre de cicles que es
produeixen en cada unitat de temps. En el SI s’expressa en cicles/segon, unitat
que rep també el nom d’hertz (Hz).
Si hi ha n cicles en un interval de temps t, la freqüència és:
=n
t
Comparant les expressions anteriors del període i de la freqüència, resulta evident
que són inversos:
=1
T
Període T d’un fenomen periòdic és el
temps que dura cada cicle d’aquest
fenomen.
Freqüència és el nombre de cicles
per unitat de temps ( =1
T). S’ex-
pressa en hertz (Hz). Donat que el
període s’expressa en segons (s) i la
freqüència és la inversa del període,
també es pot expressar, simplement,
en segons inversos: 1 Hz = 1 s–1.
L’apunt
1 Fenòmens periòdics I. Moviment harmònic
8
3 Moviment vibratori harmònic simple (m.v.h.s.)Quan un mòbil es desplaça seguint periòdicament un recorregut de vaivé entre dos
punts, el seu moviment s’anomena:
• Oscil·latori, si és lent, com el vaivé del pèndol d’un rellotge de paret (Fig. 3).
• Vibratori, si és ràpid. En són exemples el moviment que adquireix cada punt d’una
corda de guitarra en tocar-la, el d’un cos penjat d’una molla quan l’estirem una
mica i el deixem anar, el dels pistons d’un motor d’explosió, la percussió d’un mar-
tell pneumàtic (Fig. 4), etc.
Entre els moviments periòdics té un interès especial el moviment vibratori harmònic
simple, abreviadament, m.v.h.s.
Aquesta importància respon al fet que tot moviment periòdic es pot considerar com
a resultat d’un conjunt de moviments vibratoris harmònics simples simultanis. És
per això que el m.v.h.s. és la base de l’estudi de tots els moviments periòdics i, per
extensió, de tots els fenòmens periòdics.
El moviment vibratori harmònic simple és un moviment rectilini en el qual l’acce-
leració a del mòbil és directament proporcional a la seva distància a un punt fix O
de la trajectòria i està dirigida constantment cap a aquest punt.
3.1 Moviment circular uniforme i m.v.h.s.
El moviment circular uniforme té una connexió amb el m.v.h.s., i és que el mòbil
passa pel punt de partida cíclicament, per tant, tots dos són moviments periòdics.
Així, una altra manera de definir el m.v.h.s. és con-
siderar que es tracta de la projecció d’un movi-
ment circular uniforme sobre una recta continguda
en el pla de la seva trajectòria.
En la figura podem veure les posicions successives
(M1, M
2, M
3…), d’un mòbil amb moviment circular
a intervals iguals de temps. La seva projecció
sobre una recta (punts P1, P
2, P
3…) té m.v.h.s.
Moviment vibratori harmònic simple
(m.v.h.s.) és el moviment rectilini l’ac-
celeració del qual és proporcional a la
distància del mòbil a un punt fix, O, i
està dirigida cap a aquest punt.
L’apunt
Quina relació hi ha entre el moviment
d’un pèndol, el d’un pistó i el d’una
ona? En els tres casos tenim un mo-
viment periòdic, que es repeteix a in-
tervals de temps iguals, i oscil·latori,
és a dir, que es realitza a un costat
i a un altre d’una posició d’equilibri.
El nombre de repeticions, cicles o
oscil·lacions que realitza l’objecte per
unitat de temps és la freqüència.
L’apunt
4. Moviment
vibratori.
3. Moviment
oscil·latori.
5. Relació entre el moviment
circular i el m.v.h.s.
P0
M0
M1
M2
M3
M4 M
5
M6
M7
M8
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P8
P7
Es pot idealitzar com aquell moviment
oscil·latori, en què no actua cap for-
ça de fricció; per tant, no pateix dis-
sipació d’energia i, en conseqüència,
es manté invariable sota l’acció d’una
força recuperadora elàstica.
L’apunt
Moviment circular uniforme i m.v.h.s.
9
4 Cinemàtica del m.v.h.s.Si adoptem la trajectòria del mòbil com a eix d’abscisses i el punt fix O de la definició
del m. v. h. s. com a origen de coordenades, la definició anterior es pot expressar per
mitjà de la fórmula:
a = – 2x
El coeficient – 2 és una constant de proporcionalitat negativa, ja que 2, com que és el
quadrat d’un nombre, és sempre positiu. El significat físic de es veurà més endavant.
Ens podem preguntar per què el moviment que compleix l’equació anterior és un mo-
viment periòdic. Per comprendre-ho, representarem l’acceleració que, segons l’equa-
ció, tindrà el mòbil en diverses posicions.
Observa que en el punt O l’acceleració és nul·la. Per això, hem de suposar
que el mòbil posseeix certa velocitat en aquest punt; en cas contrari, quedaria
permanentment en repòs.
Quan el mòbil s’allunya de O cap a la dreta, el sentit de la seva acceleració és cap
a l’esquerra. El moviment és, llavors, retardat.
Quan el mòbil arriba a la distància màxima a la dreta de O, donat que el moviment
és retardat, la velocitat del mòbil arriba a anul·lar-se. L’acceleració és màxima i el
mòbil començarà a moure’s en sentit contrari.
Com que l’acceleració continua actuant, el mòbil es desplaça cap a O i ho farà amb
moviment accelerat, ja que l’acceleració té el sentit del moviment.
Quan el mòbil passi una altra vegada per O, haurà recuperat la rapidesa inicial,
però movent-se cap a l’esquerra. A continuació realitzarà al costat esquerre un
moviment simètric al que hem descrit.
En el m.v.h.s. el punt O és el centre de la vibració, ja que el mòbil es desplaça —amb
moviment de vaivé— entre dos punts situats simètricament a tots dos costats de O.
D’altra banda, hem vist que, en el punt O, l’acceleració és nul·la. Això significa que
la força resultant sobre el mòbil en aquesta posició ha de ser, igualment, nul·la. Per
aquesta raó, el centre de la vibració s’anomena també posició d’equilibri.
La distància variable del mòbil a la posició d’equilibri rep el nom d’elongació.
Si s’adopta com a origen de coordenades la posició d’equilibri, l’elongació coincideix
amb l’abscissa x del mòbil.
aO
a = 0
bO
cO
a
a
v = 0
dO
a
eO
a = 0
x
x
x
v 0
v 0
v 0
v 0
Banc d’activitats 1, 2, 3, 4, 5 i 6.
1 Fenòmens periòdics I. Moviment harmònic
10
5 Oscil·ladors harmònicsUn cos amb un dispositiu que el fa moure’s amb m.v.h.s. s’anomena oscil·lador har-
mònic. Per definició, la seva acceleració a és a = – 2x, on x en representa l’elongació
(distància a la posició central o d’equilibri).
Segons el principi fonamental de la Dinàmica, si m és la massa del mòbil, la força F
resultant sobre el mòbil ha de ser F = m a = –m 2x. El producte m 2 és constant, i si
l’anomenem k, la igualtat anterior esdevé:
F = −k x
Aquesta expressió coincideix amb la de la ja coneguda llei de Hooke, en la qual x
representa la deformació a què se sotmet un cos elàstic i F, la força que aquest cos
exerceix. Així doncs, per tal que un cos es mogui amb m.v.h.s., la relació entre la força
F aplicada al cos i la seva elongació x ha de complir la llei de Hooke.
En conseqüència, podem establir un exemple senzill d’oscil·lador harmònic (Fig. 6).
Es tracta un cos recolzat sobre un pla horitzontal sense fricció i unit a un extrem
d’una molla horitzontal que té l’altre extrem fix. Quan desplacem el cos de la posició
de repòs i el deixem anar, adquirirà m.v.h.s., ja que, si la constant elàstica de la molla
és k, la força sobre el cos serà F = −k x.
Però també un cos suspès d’una molla adquireix m.v.h.s. quan se separa de la po-
sició d’equilibri i es deixa anar (Fig. 7). Per demostrar-ho, hem de provar que la força
resultant sobre el mòbil compleix la llei de Hooke.
En aquest cas, actuen sobre el mòbil dues forces de sentit contrari: el seu pes, P = m g,
i la força elàstica de la molla, F. Calculem el valor de la força F.
Quan pengem el cos de massa m, la molla experimenta un allargament x0 fins que
la seva força elàstica F0 equilibra el pes del cos i fa que quedi en repòs (Fig. 7b). Es
compleix, aleshores, que |P| = |F0|, és a dir, m g = k x
0.
Si tirem cap avall del cos i el deixem anar (Fig. 7c), es posarà a oscil·lar verticalment.
En l’instant en què la distància a la posició d’equilibri sigui x (Fig. 7d), la deformació
total de la molla serà x0 + x i la seva força elàstica, F = –k (x
0 + x). En aquest moment,
la força resultant sobre el mòbil és:
F = F + P = –k (x0 + x) + m g = –k x
0 – k x + m g
Però hem vist que m g = k x0; per tant:
F = –k x0 – k x + k x
0 = –k x
Així doncs, la força resultant sobre el cos compleix la llei de Hooke.
P = m g
a b c d
F = −k x0 F = −k (x
0 + x)x
0x
0
x
P = m g
6. Un cos unit a una molla que compleix la llei
de Hooke sobre un pla sense fregament és un
oscil·lador harmònic.
7. A la figura s’assenyalen amb línies de punts
dues posicions d’equilibri: la línia superior
correspon a la de la molla sola (a), i la línia
inferior, la de la molla amb el pes penjat (b).
L’elongació x es mesura sempre des d’aques-
ta segona línia.
X
F
Simulador de la llei de Hooke.
11
6 Equació del m.v.h.s.Anomenem equació del m.v.h.s. la igualtat que expressa l’elongació del mòbil en
funció del temps.
Com que en el m.v.h.s. el mòbil passa per la mateixa posició cada vegada que trans-
corre el període T, haurem d’expressar l’elongació per mitjà d’una funció els valors
de la qual es repetiran periòdicament. Com demostrarem més endavant les funcions
periòdiques adequades són les funcions sinus y cosinus. Tot i que podem utilitzar
indistintament l’una o l’altra, farem servir la funció sinus.
L’elongació x d’un mòbil amb m.v.h.s. en funció del temps t s’expressa:
x = Asin ( t + 0)
En l’expressió anterior, x (elongació) i t (temps) són variables, mentre que A, i
0 són paràmetres del m.v.h.s.; és a dir, són magnituds constants en un m.v.h.s.
determinat, però que prenen valors diferents per a m.v.h.s. diferents.
En la figura 8 es pot veure la gràfica posició-temps del m.v.h.s.
Amplitud A
Com que el sinus d’un angle sempre està comprès entre –1 i +1, els valors extrems
de l’elongació són (Fig. 9):
x = A, quan sin ( t + 0) = 1
x = –A, quan sin ( t + 0) = –1
La longitud A s’anomena amplitud.
L’amplitud A d’un m.v.h.s. és la seva elongació màxima.
Observa que la distància entre les dues posicions extremes de la vibració és el
doble de l’amplitud (2A).
En un cicle del m.v.h.s., el mòbil parteix d’un extrem, es desplaça fins a l’altre i torna
a la posició inicial. Aquest moviment rep el nom d’oscil·lació o vibració completa i,
en el seu decurs, el mòbil recorre quatre vegades l’amplitud.
8. Gràfica elongació-temps d’un m.v.h.s.
per a 0 = 0.
10. Gràfiques superposades de dos m.v.h.s.
que només es diferencien per l’amplitud.
9. L’amplitud A d’un m.v.h.s. és la
seva elongació màxima.
x
tO
A
T/2 T 3T/2 2T
–A
t0
xA
1
A2
t0
A
x
–A
1 Fenòmens periòdics I. Moviment harmònic
12
Angle de fase
L’angle = t + 0, que apareix en l’equació del m.v.h.s., s’anomena angle de fase
o, simplement, fase. Del seu valor en un instant determinat depenen l’elongació, la
velocitat i l’acceleració, és a dir, la fase de la vibració en la qual es troba el mòbil en
aquell moment.
Si en l’expressió = t + 0 donem a t el valor 0, resulta:
(0) = · 0 + 0 =
0
Així doncs, 0 és el valor de l’angle de fase en l’instant t = 0.
El paràmetre 0 s’anomena constant de fase. S’expressa en radiants.
L’equació de m.v.h.s. se sol escriure també d’aquesta manera:
x = Acos ( t + 0)
Recordant la relació trigonomètrica cos = sin ( + /2), es comprèn que l’equació
anterior és equivalent a x = Asin ( t + 0 + /2).
Per tant, substituir el sinus pel cosinus en l’equació del m.v.h.s. equival simplement
a modificar la fase inicial afegint-hi /2 rad.
En l’estudi d’un sol m.v.h.s., el valor de la constant de fase no té gaire importància;
se li sol assignar el valor 0 per tal que l’equació del moviment resulti més senzilla.
Ara bé, aquest paràmetre pren gran importància quan comparem dos o més m.v.h.s.
simultanis de període igual.
Amb la diferència de fase ( ) entre dos m.v.h.s. es poden donar les situacions
següents:
x
tO
Els moviments estan en fase
Si dos m.v.h.s. estan sincronitzats de manera que en tots els instants els dos
mòbils es troben en la mateixa situació, diem que estan en fase. En aquest cas,
la constant de fase és igual per a tots dos.
x
tO
Un dels moviments té un retard de fase respecte de l’altre
Si un dels moviments es produeix amb un cert retard respecte de l’altre, diem que
hi ha una diferència de fase entre ells, ja que les seves constants de fase són
diferents. Per exemple, la diferència de fase entre els dos moviments representats
correspon a 1/8 de cicle, que equival a 2 /8 rad = /4 rad.
x
tO
Els moviments estan en fases oposades
Si un moviment es realitza amb mig cicle de retard respecte de l’altre, diem que
tots dos estan en fase oposada. La diferència entre les constants de fase és,
aleshores, de rad. En aquest cas, quan un dels mòbils es troba en un extrem de
la vibració, l’altre és a l’extrem oposat.
/4
13
Freqüència angular
El paràmetre s’anomena freqüència angular o pulsació. Si l’aïllem de la igualtat
= t + 0, obtenim:
= 0
t= 0
t 0=
t
D’aquí es dedueix que:
La freqüència angular és l’increment de l’angle de fase per unitat de temps.
En conseqüència, s’expressa amb el mateix símbol ( ) i unitat (rad s–1) que la veloci-
tat angular.
Sabem que el període de les funcions sinus i cosinus és de 2 rad, és a dir, que
cada vegada que un angle augmenta en 2 rad, es repeteixen els valors de totes les
seves raons trigonomètriques. D’aquí es dedueix que en cada cicle, l’angle de fase
ha d’augmentar en 2 rad ( = 2 rad).
D’altra banda, el temps que dura un cicle és el període T, i com que la freqüència és
la inversa del període ( = 1/T), es compleix:
=t=
2
T =
2
T= 2
Observa que la freqüència i la freqüència angular són directament proporcionals.
De fet, totes dues magnituds constitueixen una mesura de la rapidesa de les vibra-
cions. L’única diferència entre elles és la unitat en la qual s’expressen: s’expressa
en cicles/s (o s–1) i , en rad s–1.
Plantejar i resoldre l’equació del m.v.h.s.
1. Escriu l’equació d’un m.v.h.s. d’amplitud 5 cm i freqüència 20 Hz que tingui elongació màxima en l’instant t = 0.
L’amplitud en metres d’aquest moviment és A = 0,05 m.
La freqüència angular és:
= 2 = 2 rad/cicle · 20 cicles/s = 40 rad s–1
Substituint aquests valors en l’equació del m.v.h.s., resulta:
x = Asin ( t + 0) = 0,05 sin(40 t +
0)
Per determinar el valor de 0, tindrem en compte que, per a t = 0, ha de ser x = A. Substituint aquests valors en
l’equació anterior, resulta:
A = Asin ( · 0 + 0) = Asin
0
D’aquesta equació es dedueix: sin0 = A/A = 1, que es compleix per a
0 = /2 rad.
Així doncs, l’equació de m.v.h.s. serà:
x = 0,05 sin (40 t + /2)
Exemple
Banc d’activitats 7, 9, 10 i 32.
Elongació x. Distància del mòbil a la
posició d’equilibri (punt O).
Amplitud A. Elongació màxima.
Equació del m.v.h.s. x = Asin ( t +
+ 0), on t +
0 = , que s’anomena
fase o angle de fase.
Freqüència angular . Increment de
fase per unitat de temps:
L’apunt
1 Fenòmens periòdics I. Moviment harmònic
14
6.1 Dinàmica del m.v.h.s.
Hem vist que:
Per definició, l’acceleració en el m.v.h.s. és proporcional a l’elongació:
a = – 2x.
En conseqüència, la força resultant sobre el mòbil, de massa m, és:
F = m a = –m 2x.
Si el cos vibra impulsat per una molla que compleix la llei de Hooke, es compleix:
F = –k x
Comparant les dues últimes igualtats, deduïm que:
m 2 = k
Aquesta expressió indica que la freqüència angular (i, per tant, també la freqüèn-
cia i el període) d’un mòbil que oscil·la amb m.v.h.s. impulsat per una molla només
depèn de la massa del mòbil i de la constant elàstica de la molla.
Generalitzant el que acabem de veure, podem afirmar que la freqüència de vibració
de qualsevol oscil·lador harmònic només depèn de les seves propietats físiques, és
a dir, que cada oscil·lador harmònic té una freqüència de vibració pròpia.
Això va en consonància amb la nostra experiència. El to d’un so, per exemple, depèn
només de la freqüència de vibració del cos que el produeix. Tots sabem que, si pi-
quem un objecte, sempre emet un so del mateix to (sempre que no n’hàgim modificat
les qualitats físiques d’alguna manera).
Trobar l’equació del m. v. h. s. d’un cos connectat a una molla
2. Un cos de 200 g de massa està en repòs penjat d’una molla de 5 N m–1 de constant elàstica. Tirem d’aquest cos
cap avall amb una força de 0,3 N i, en l’instant t = 0, el deixem anar. Escriu l’equació del m.v.h.s. que adquirirà.
Adoptant com a positiu el sentit cap amunt, la força que exerceix la molla serà de 0,3 N.
Per la llei de Hooke tenim F = –k x, d’on:
x =F
k=
0,3 N
5 Nm 1= 0,06 m
Aquesta és l’elongació màxima del mòbil a l’extrem inferior del seu recorregut. En conseqüència, l’amplitud del
m.v.h.s. és A = 0,06 m.
Com que sabem que m 2 = k, podem calcular la freqüència angular:
=k
m=
5 Nm 1
0,2 kg= 25 rads 1( )2 ; és a dir, = 5 rad s –1
Així doncs, l’equació del m.v.h.s. serà: x = Asin ( t + 0) = 0,06sin (5t +
0).
Per determinar la constant de fase, tindrem en compte que, a l’instant t = 0, l’elongació és x = –0,06 m. Aplicant
aquests valors a l’equació del m.v.h.s., resulta: –0,06 = 0,06sin0, d’on es dedueix: sin
0 = –1.
Assignarem a 0 el valor de l’angle més petit, el sinus del qual és –1:
0 = 3 /2 rad.
Així doncs, l’equació d’aquest m.v.h.s. és: x = 0,06sin (5t + 3 /2).
Exemple
Banc d’activitats 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 33 i 34.
La freqüència angular d’un mòbil que
oscil·la amb m.v.h.s. impulsat per
una molla de massa negligible que
compleixi la llei de Hooke només
depèn de la massa del mòbil i de la
constant elàstica de la molla.
=k
m
L’apunt
15
7 Velocitat i acceleració en el m.v.h.s.Derivant l’equació del m.v.h.s. respecte del temps, obtenim la velocitat del mòbil:
v =dx
dt= Acos t+ 0( ) = Acos t+ 0( )
El valor màxim de la velocitat es dedueix fàcilment a partir d’aquesta equació. Com
que el cosinus d’un angle sempre està comprès entre –1 i +1, el mòdul de la velocitat
serà màxim quan es compleixi |cos( t + 0)| = 1. En aquest cas, serà:
|v|màx
= A
Aquest valor màxim de la velocitat es produeix quan el mòbil passa pel centre o
posició d’equilibri de la vibració. En els extrems, on canvia el sentit del moviment, la
velocitat és nul·la.
Derivant ara la velocitat respecte del temps, tindrem l’acceleració del mòbil:
a=dv
dt= A sin t+ 0( ) = 2Asin t+ 0( )
Tenint en compte que Asin ( t + 0) = x, resulta a = – 2x, que coincideix amb la defi-
nició del m.v.h.s, tal com preteníem comprovar a l’apartat 6 de la unitat.
Com que en el m.v.h.s. l’acceleració és proporcional a l’elongació, els seus valors
extrems correspondran als valors extrems de x: per a x = A, a = – 2A i per a x = −A,
a = 2A.
Així doncs, el valor absolut màxim de l’acceleració és:
|a|màx
= 2A
Aquesta acceleració màxima té lloc als extrems de la vibració, mentre que, en la po-
sició d’equilibri (x = 0), l’acceleració és nul·la.
Determinar la velocitat i l’acceleració a partir de l’equació del m.v.h.s.
3. Determina els valors màxims de la velocitat i l’acceleració en el m.v.h.s. que té com a equació x = 12sin (3 t + ) m.
Derivant l’equació del m.v.h.s., s’obté la velocitat:
v =dx
dt= 12cos 3 t+( ) 3 = 36 cos 3 t+( )ms 1
La velocitat màxima es té quan cos (3 t + ) = 1. El seu valor és:
vmàx
= 36 m s–1 = 113 m s–1
Derivant l’expressió de la velocitat, s’obté l’acceleració:
a=dv
dt= 36 sin 3 t+( )[ ] 3 = 108 2 cos 3 t+( )ms 2
El seu valor màxim es dóna quan sin (3 t + ) = –1.
El seu valor és:
amàx
= 108 2 m s–2 = 1 066 m s–2
Exemple
Banc d’activitats 8, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20 i 21.
x
tOT/2 T
T
T
T/2
T/2
v
tO
a
tO
x = Asin t+2
v = Acos t+2
a= 2Asin t+2
11. Gràfiques x–t, v–t i a–t corresponents a un
cicle d’un m.v.h.