2. Gazdasági matematikai alapok

Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Ingatlanmenedzser

8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakirányú Továbbképzési Szak

Szerzı: Harnos László 2008. január

Ingatlanfinanszírozás és

befektetés

2. Gazdasági matematikai alapok


2

2.1 Tartalomjegyzék 2. Gazdasági matematikai alapok ....................................................................................................................1

2.1 Tartalomjegyzék ..................................................................................................................................2

2.2 Bevezetés ............................................................................................................................................3

2.2.1 A tanulási egység célja .................................................................................................................3

2.2.2 A tananyag elsajátítását követıen Ön képes lesz..........................................................................3

2.2.3 Az anyagban szereplı legfontosabb fogalmak, szakkifejezések....................................................4

2.2.4 Ajánlott irodalom ..........................................................................................................................5

2.3 Sorozatok ............................................................................................................................................5

2.4 Kamatszámítás ....................................................................................................................................6

2.5 Jelenérték-számítás (diszkontálás) ......................................................................................................7

2.6 Járadék számítás.................................................................................................................................8

2.7 Pénzfolyamábrák ...............................................................................................................................11

2.8 Folytonos kamatos kamatozás ..........................................................................................................12

2.9 Összefoglalás ....................................................................................................................................13

2.10 Ellenırzı kérdések ..........................................................................................................................14


3

2.2 Bevezetés 2.2.1 A tanulási egység célja A jelen egység célja feleleveníteni azokat az alapvetı matematikai ismereteket, melyek nélkülözhetetlenek ahhoz, hogy egy befektetést, vagy egy finanszírozási lehetıséget elemezni tudjunk. Az itt tanultak hasznosak lesznek majd az ingatlanértékelés – különösen a hozamelvő értékelési módszerek alkalmazása – valamint az ingatlanvagyon-gazdálkodás tervezése, értékelése során is.

Amennyiben az itt szereplı fogalmak, módszerek meglehetısen ismerısnek tőnnek, esetleg a munkája során rendszeresen alkalmazza is azokat, akkor javaslom, hogy ugorja át ezt az egységet és kezdje a tanulást a következı résszel. Amennyiben késıbb mégis valamilyen gondja támadna a számítások elvégzésével, akkor nyugodtan térjen vissza ehhez az egységhez, tanulmányozza az itt bemutatott fogalmakat és összefüggéseket, ill. a példatárban szereplı kidolgozott feladatokat, esetleg próbálja megoldani a gyakorló feladatokat, majd ezek után térjen vissza a tananyag azon részéhez, ahol korábban elakadt. 2.2.2 A tananyag elsajátítását követıen Ön képes lesz

� Felismerni azokat a gazdasági jellemzıket, melyek számtani, vagy mértani sorozatként viselkednek,

� Alkalmazni az egyszerő és a kamatos kamatszámítást, � A különbözı idıpontokban jelentkezı pénzösszegek értékét egy közös

idıpontra átszámítani, � Felismerni a járadék-szerően viselkedı pénzfolyamokat és ezek tulajdonságait

a gyakorlati problémák megoldása során felhasználni, � A bonyolultabb pénzfolyamokat grafikusan is ábrázolni, ezáltal felismerni

bennük az esetleges „szabályos” viselkedést, � A nagyon sőrőn jelentkezı pénzáramlások (ún. folytonos pénzfolyam) esetén a

folytonos kamatos kamatozás alkalmazásával a pénzfolyam jelenértékét pontosan meghatározni.

��


4

2.2.3 Az anyagban szereplı legfontosabb fogalmak, szakkifejezések A tananyagban történı könnyebb tájékozódás érdekében ebben a pontban megtalálhatók a legfontosabb fogalmak ABC szerint összegyőjtve.

Annuitás Egy véges idıtartam alatt, azaonos idıközönként kifizetett (vagy megkapott) pénzösszeg.

Diszkontálás Egy jövıbeli pénzösszeg mai értékének meghatározása.

Egyszerő kamatozás A kamatidıszak végén jóváírt kamat a következı idıszakban nem kamatozik (nem tıkésedik).

Folytonos kamatos kamatozás

Matematikailag végtelenül kicsi kamatperiódust feltételezı kamatos kamatozás.

Gyüjtıjáradék Azonos iidıközönként, azonos összegő rendszeres betétgyőjtés egy véges idıszakban.

Járadék Azonos idıközönként kifizetett pénzösszegek sorozata.

Jelenérték-számítás Lsd. diszkontálás

Jövıérték-számítás Egy jelenbeli pézösszeg értékének átszámítása egy jövıbeli idıpontra a kamatos kamatozás segítségével.

Kamat Egységnyi idıszakra kifizetett pénzösszeg a tıke %-ában („A pénz ára”).

Kamaterısség Folytonos kamatláb, mely az éves kamatlábból származtatható.

Kamatintenzitás Lsd. kamaterısség

Kamatos kamat A kamatidıszak végén jóváírt kamat a következı idıszakban a tıkével együtt kamatozik (tıkésedik).

Mértani sorozat Olyan számsorozat, melyben a szomszédos elemek hányadosa állandó.

Növekvı tagú örökjáradék

Olyan örökjáradék, melyben az egyes idıszakokban kifizetett összeg nem állandó, hanem mértani sorozatként viselkedik, azaz azonos %-kal nı, vagy csökken.

Örökjáradék Végtelen hosszú idıszakon keresztül, azonos idıközönként, rendszeresen kifizetett, azonos pénzösszegek sorozata.

Számtani sorozat Olyan számsorozat, melyben a szomszédos elemek különbsége állandó.

��


5

2.2.4 Ajánlott irodalom Eperjesi Ferencné – Jámbor Balázs: Gazdasági matematika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2006. Kis Istvánné: Gazdasági matematika a felsıfokú szakképzésben résztvevı hallgatók számára, Dunaújvárosi Fıiskola, Dunaújváros, 2006. Szalay István: Gazdasági matematika, Szegedi Tudományegyetem, Szeged, 2004. Bíró Fatime – Vincze Szilvia: A gazdasági matematika alapjai, Debreceni Egyetem, Debrecen, 2002. Horváth István – Tóth Zoltán: Gazdasági matematika, Gödöllıi Agrártudományi Egyetem, Gyöngyös, 1991.

2.3 Sorozatok Az olyan függvényt, melynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (N), képhalmaza pedig a valós számok halmaza (R), számsorozatnak (röviden sorozatnak) nevezzük. Az olyan számsorozatot, melyben a két szomszédos elem különbsége állandó, számtani sorozatnak nevezzük. A számtani sorozat elsı elemének (a1) és különbségének (d) ismeretében bármely elemét kiszámíthatjuk:

dnaan )1(1 −+=

A számtani sorozat elsı n elemének összege:

2

])1(2[

2

)( 11 dnanaanS n

n

−+=

+=

Az olyan számsorozatot, melyben a szomszédos elemek hányadosa állandó, mértani sorozatnak nevezzük. A mértani sorozat n. eleme a következıképpen írható fel az elsı elem és a hányados ismeretében:

11

−= nn qaa

A mértani sorozat elsı n elemének összege:

1

)1(1

−−=

q

qaS

n

n

��

Számtani sorozat

��

Mértani sorozat


6

2.4 Kamatszámítás Az általános értelmezés szerint kamat alatt a pénz árát (a pénz használatának díját) értjük. Matematikai értelemben a kamat egy idıarányosan fizetendı pénzösszeget jelent, melyet a tıke százalékában szoktunk kifejezni (kamatláb, r). természetesen a számításaink során a kamatlábat nem %-os formában, hanem tizedestört alakjában helyettesítjük be az összefüggésekbe. Egyszerő kamatozás esetén a fizetendı kamat összegét (L) a tıkeösszeg (P), a kamatláb (r) és az idıszakok (pl.: évek) számának (n) ismeretében a következı összefüggéssel számíthatjuk ki:

nrPL ××= Kamatos kamatozás esetén az egyes idıszakok végén a kamat összege – melyet az idıszakon belül az egyszerő kamatozás szabályai szerint határozunk meg – hozzáadódik a tıkéhez (tıkésedik) és a következı idıszakban már a korábbi tıkével együtt kamatozik:

Idıszak Tıke az idıszak elején [a]

Egyszerő kamat [b]

Tıke az idıszak végén [a+b]

1.

P0=PV P0r P1=P0+P0r=P0(1+r)

2.

P0(1+r) P0(1+r)r P2= P0(1+r)+ P0(1+r)r= P0(1+r)2

………

n.

P0(1+r)n-1 P0(1+r)n-1r Pn= P0(1+r)n=FV

Az elsı idıszak elején P0-al jelölt tıkét a továbbiakban jelenértéknek (PV) fogjuk nevezni, míg az n. idıszak végére felnövekedett összeget (Pn) jövıértéknek (FV) hívjuk. A kamatozás lehet éves kamatperiódusú, ekkor az idıszaki kamat jóváírása évente történik. Havi kamatozás esetén az általunk használt összefüggések annyiban módosulnak, hogy az idıszakok száma (n) helyére a hónapok számát kell behelyettesítenünk, míg a kamatláb (r) helyére pedig az éves kamatláb 1/12-ed részét írjuk. Hasonlóan járunk el negyedéves, féléves, vagy esetleg napi kamatozás esetén is. Végezetül meg kell említenünk, hogy a gyakorlatban általában ún. betét egyenértéken számolunk, ami azt jelenti, hogy a számításaink során minden hónapot 30 naposnak tekintünk, míg az évet 360 nappal vesszük figyelembe.

��

Kamat

��

Egyszerő kamatozás

��

Kamatos kamat


7

2.5 Jelenérték-számítás (diszkontálás) A pénz értéke idıben változik. Ebben természetesen szerepe van az inflációnak is, de azt kiküszöbölhetjük, ha a pénz reálértékét tekintjük. Ebben az esetben még mindig igaz az, hogy idıben minél késıbb kapunk meg egy pénzösszeget, annál kisebb értéket nyerünk, hiszen ha korábban jutottunk volna hozzá ezen összeghez, akkor az eltelt idıszakban azt befektethettük volna, azaz kamatozott volna számunkra a kamatos kamatozás szabályai szerint. A gyakorlatban igen sokszor kell különbözı idıpontokban jelentkezı pénzösszegeket összehasonlítanunk. Ezt úgy tehetjük meg, hogy választunk egy közös idıpontot és minden pénzösszeg értékét ezen idıpontra számítjuk át. Matematikailag ez egyaránt lehet egy jövıbeli idıpont, vagy a jelenbeli idıpont. Ha jövıbeli idıpontot választunk, akkor a kamatos kamatozás összefüggésének segítségével (jövıérték-számítás) dolgozunk. Ha közös idıpontnak a jelent választjuk, akkor a kamatos kamat képletét a jelenértékre átrendezve a következı összefüggéshez jutunk:

nn

r

FVPVrPVFV

)1()1(

+=⇒+=

A fenti összefüggésben ugyanazt a kamatlábat használtuk, amit a kamatos kamatozásnál, azaz amivel a jelenértéket idıarányosan növelve jutottunk el a jövıértékhez. Ha a jövıértékbıl szeretnénk a jelenértékhez eljutni egy idıarányos csökkentéssel, akkor viszont egy másik százaléklábat, az ún. diszkontlábat (d) kell használnunk. Ez esetben a fenti összefüggés a következıképpen módosul:

ndFVPV )1( −= mivel a kamatláb és a diszkontláb közötti összefüggés:

r

rd

+=

1

A gyakorlatban a diszkontláb helyett általában a kamatlábat alkalmazzuk, de pl. a termıföldek hitelbiztosítéki értékelése során használt összefüggések a diszkontláb segítségével fejezik ki a jelenértéket. Sok esetben nem egyetlen jövıbeli pénzösszeg jelenértékére vagyunk kíváncsiak, hanem egy pénzösszeg sorozatot (ún. pénzfolyamot) kell diszkontálnunk. Ilyenkor általános esetben úgy járunk el, hogy a pénzfolyam egyes elemeit külön-külön diszkontáljuk, majd az egyes jelenértékeket összeadjuk. A pénzfolyam egyes elemeit C-vel jelölve a jelenérték:

∑= +

=n

tt

t

r

CPV

0 )1(

��

Jövıérték

��

Jelenérték


8

2.6 Járadék számítás A befektetések vizsgálata során gyakran találkozunk olyan pénzfolyamokkal, melyek egy részében, vagy akár egészében valamifajta szabályos viselkedést figyelhetünk meg. Ilyen esetben a járadékszámítás segítségével a pénzfolyamot egyszerőbben kezelhetjük a számításaink során. Járadék alatt az azonos idıközönként kifizetett pénzösszegek sorozatát értjük. Mi a továbbiakban azzal az egyszerősítéssel élünk, hogy ezen pénzösszegeket azonos nagyságúnak tekintjük. Ekkor annuitásról (A) beszélünk. Elsıként vizsgáljuk meg, hogyan mőködnek a rendszeres megtakarítások (pl.: egy társasház felújítási számlája). Képzeljünk el egy számlát, ahová minden idıszak elején befizetünk egy azonos pénzösszeget (A). A számlán lévı pénz a kamatos kamatozás szabályai szerint kamatozik. A kérdés, hogy az utolsó befizetés utáni egy idıszak múlva mennyi pénz lesz ezen a számlán. Azért tekintjük az utolsó befizetés utáni idıszakot, mert különben az utolsó befizetésnek már nem lenne értelme. Az ún. gyüjtıjáradék probléma megértéséhez tekintsük a következı ábrát: Kezdjük el idıben visszafelé vizsgálni, hogy mi történt az egyes befizetésekkel. Az utolsó, az n. idıszakban befizetett A összeg egy idıszakon keresztül kamatozik, így annak jövıértéke )1( rA + lesz. Hasonlóan az (n-1). Idıszakban befizetett összeg

jövıértéke pedig 2)1( rA + . Ahhoz, hogy megkapjuk a megtakarítás összegét (S) minden befizetett A összeg jövıértékét ki kell számítanunk (ez látható az ábra jobb oldalán), majd ezeket összegeznünk kell. Ehhez azonban fel kell ismernünk, hogy ezen jövıértékek egy mértani sorozatot alkotnak. A mértani sorozat összegképletét felhasználva a megtakarítás tehát:

S 1. 2. 3. . . . . . n-1 n n+1

A(1+r) A(1+r)2

…….. A(1+r)n-2 A(1+r)n-1 A(1+r)n

A A A A A

��

Gyüjtıjáradék


9

r

rrArArArAS

nn 1)1(

)1()1(...)1()1( 2 −++=++++++=

A fenti összefüggést gyüjtıjáradék-képletnek nevezzük. Ha a problémát megfordítjuk és mondjuk egy hitel törlesztését vizsgáljuk, akkor törlesztıjáradékról beszélünk. Tegyük fel, hogy felveszünk egy P összegő kölcsönt és minden idıszakban A forintot törlesztünk. Vizsgáljuk meg, hogyan alakul a tartozásunk az n. év végén (Tn): Amennyiben nem fizetnénk ki egyetlen törlesztırészletet sem, akkor az n. idıszak végére a tartozásunk éppen nrP )1( + összegre növekedne. Természetesen a kifizetett törlesztırészletek után a hátralévı idıben már nem kell kamatot fizetnünk, így ezek jövıértéke a fennálló tartozásunkat csökkenti. Ha kiszámítjuk minden egyes kifizetett törlesztırészlet jövıértékét (lsd. az ábra jobb oldalán), akkor ismét észrevehetjük, hogy ezek mértani sorozatot alkotnak, így a mértani sorozat összegképletét alkalmazva a fennálló tartozásunk:

r

rArPT

nn

n

1)1()1(

−+−+=

Abban az esetben, ha a kölcsönt az n. idıszak végére teljesen visszafizetjük:

r

rArPT

nn

n

1)1()1(0

−+=+⇒=

Ha a fenti egyenletet P-re rendezzük, akkor megkapjuk az annuitás jelenértékét:

PVrrr

Arr

rAP

nn

n

=

+−=

+−+=

)1(

11

)1(

]1)1[(

P 0 1. 2. . . . . . n-2 n-1 n

A(1+r) A(1+r)2

…….. A(1+r)n-2 A(1+r)n-1 P(1+r)n

A A A A A A

��

Törlesztıjáradék

��

Annuitás


10

Ha a fentihez hasonló, ún. annuitásos hitel törlesztırészletére vagyunk kíváncsiak, akkor pedig az egyenletet A-ra kell rendeznünk:

1)1()1(

−++=

nn

r

rrPA

Mind a győjtıjáradék, mind a törlesztıjáradék esetén egy véges számú idıszakot feltételeztünk (n). Ha azonban egy összegre rendszeresen, minden idıszakban a végtelenségig számíthatunk, azaz ∞→n , akkor a fenti összefüggés némiképp leegyszerősödik:

1)1(

)1(

1)1()1(

−++××=

−++=

n

n

nn

r

rrP

r

rrPA

Ha ∞→n , akkor 11)1(

)1(lim =

−++

∞→n

n

n r

r, így ezt a határértéket a fenti egyenletbe

behelyettesítve:

PVr

APrPA ==⇒×=

A fentihez hasonlóan viselkedı járadékot örökjáradéknak hívjuk. Az Egyesült Királyságban léteznek ún. örökjáradék-kötvények. Ezek olyan államkötvények, melyek névértékét nem fizetik vissza, viszont minden évben örökjáradék formájában egy fix összegő jövedelmet ígérnek. Hazánkban ugyan nincs ilyen állampapír, de az összefüggés mégis hasznos lesz a számunkra olyan befektetések modellezésére, melyek egy hosszú idın keresztül évente azonos hozamot biztosítanak. A gyakorlatban látni fogjuk, hogy a valóságban nem kell végtelen hosszú idıszakot vizsgálnunk, ugyanis a fenti függvény igen gyorsan tart a határértékéhez, így sok esetben elégséges, hogy az állandó összegő rendszeres hozam 7-8 éven keresztül fennmaradjon. Amennyiben az évente esedékes összeg egy állandó ütemő (g %-os) növekedést mutat, akkor növekvı tagú örökjáradékról beszélünk. Ez esetben az örökjáradék jelenértéke:

gr

APV

−= 1 , ahol A1 az elsı évben esedékes összeg.

��

Örökjáradék

��

Növekvı tagú örökjáradék


11

2.7 Pénzfolyamábrák Az összetettebb, bonyolultabb pénzáramlások vizsgálatánál gyakran segít, ha azokat grafikusan is szemléltetni tudjuk, mert ebben az esetben az ábráról leolvasható, ha valamely idıszakban a pénzfolyam valamilyen szabályos viselkedést mutat és ez esetben a jelenérték kiszámítása is leegyszerősödik, ahogy ezt a járadékszámításnál már láttuk. A pénzfolyam egyes elemeit nyilakkal ábrázoljuk. A bevételeket felfelé mutató, míg a kiadásokat lefelé mutató nyilakkal jelenítjük meg. A nyilak hosszának elvileg arányosnak kell lennie a pénzösszeg nagyságával, de ezt a feltételt nem mindig sikerül betartani, így a legjobb, ha a nyilak mellé odaírjuk az összeget is. Fontos megjegyezni, hogy az ábra mindig a készítıje szempontjait tükrözi, így például ha egy hitelfelvételt ábrázolnánk, akkor az más-más ábrát eredményezne a bank és a hitelfelvevı szempontjából. A vizsgálat kezdıidıpontja mindig a jelen, azaz a 0. év, így az ábrának nincs negatív ága. Látni fogjuk, hogy a gyakorlatban általában nincs is szükség arra, hogy a múltbeli pénzáramlásokat ábrázoljuk, de ha mégis, akkor az ábrát el kell tolni oly módon, hogy az a 0. pontban kezdıdjön. Az ábrázolás során nekünk kell megválasztani az ábra léptékét, azaz el kell döntenünk, hogy milyen idıközönként ábrázoljunk. A gyakorlatban általában nincs lehetıség arra, hogy egy bonyolult és sok elemő pénzfolyam minden egyes elemét feltüntessük, mert ekkor az ábra gyakorlatilag folytonossá válna. Így egy-egy idıintervallumot egy-egy nyíllal ábrázolunk oly módon, hogy az adott idıszak bevételeit és kiadásait összegezve, azok eredményét jelenítjük meg. Ez esetben általában az eredményt az adott idıintervallum végén jelenítjük meg, ahogy ezt a fenti ábrán is tettük.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .......... n-2 n-1 n

idı 100 100

200

100 50

200

100 150

50

100

300

150 450

PÉNZFOLYAMÁBRA

��

Pénzfolyamábra


12

2.8 Folytonos kamatos kamatozás A korábbiakban a kamatos kamatozással, ill. a diszkontálással kapcsolatban kimondatlanul is azt feltételeztük, hogy a kamat fizetése kamatperiódusonként egyösszegben az adott periódus végén történik. Elméletileg elképzelhetı lenne, hogy a kamat kifizetése a periódus folyamán egyenletesen, tetszılegesen kicsiny részletekben, azaz folytonosan történik. Emlékezzünk csak vissza mit mondtunk, hogy mi változik az összefüggéseinkben mondjuk havi kamatozás esetén: Az idıszakok száma (n) helyére a hónapok számát helyettesítjük, az éves kamatláb (r) helyére pedig annak 1/12-ed részét. Ha nem havonta, hanem évente m alkalommal történik kamatfizetés, akkor a kamatos kamat összefüggése – az elıbb elmondottak alapján – a következıképpen változik:

m

m

rPP )1(01 +=

Folytonos kamatozás esetén ∞→m , így a zárójelben lévı függvényt

helyettesíthetjük a határértékével. Mivel rm

me

m

r =+∞→

)1(lim , így rePP 01 = adódik,

ahol e a természetes alapú logaritmus alapja (megközelítıleg 2,718). Ha a folytonos kamatozás t éven keresztül folytatódik, akkor rt

t ePP 0= .

Természetesen a gyakorlatban nem fordul elı olyan befektetés, ami folytonosan kamatozna, de ennek segítségével pontosabb számításokat végezhetünk olyan befektetések esetén, ahol a pénzáramlások nem évente egy alkalommal, hanem az év során apró részletekben viszonylag folytonosan elosztva jelentkeznek. Ilyen lehet például egy nagyobb szálloda, vagy egy nagy bevásárlóközpont, amelyben sok kisbérlı található. Ahhoz, hogy az ilyen, folytonos pénzáramlások jelenértékét felírhassuk, be kell vezetnünk a kamatintenzitás (kamaterısség, ri) fogalmát mely nem más, mint a folytonos kamatláb. A folytonos kamatláb az éves kamatlábból származtatható:

)1ln( rri += , ahol r az éves kamatláb.

A fentebb levezetett összefüggés alapján egy jövıbeli pénzösszeg jelenértéke folytonos kamatozást feltételezve:

trie

FVPV =

��

Folytonos kamatos kamatozás

��

Kamatintenzitás


13

Egy különbözı elemekbıl álló pénzfolyam jelenértéke:

∑=

=n

ttrt

ie

CPV

1

, ahol Ct a t. évben történt pénzáramlások egyenlege.

Egy örökjáradékként viselkedı pénzáramlás jelenértéke:

ir

APV =

Egy annuitás-szerően viselkedı pénzfolyam jelenértéke:

)1(111 tr

itr

ii

i

i

er

A

errAPV −−=

×−=

Végezetül szeretném megjegyezni, hogy a gyakorlatban sokszor megelégszünk a jelenérték közelítı becslésével, így bár indokolt lenne, mégsem használjuk feltétlenül a folytonos kamatozást. A jelenértékszámításoknál általában egy max. 5%-os hibát még el szoktunk fogadni és ha nem túl magas kamatlábakkal kell dolgoznunk, akkor a két eljárás közti eltérés belül marad ezen a hibahatáron. Ez esetben viszont valóban egyszerőbb az éves kamatozás használata.

2.9 Összefoglalás Ezen egység tanulmányozása során Ön felelevenítette a sorozatokkal, azon belül is elsısorban a számtani és mértani sorozatokkal kapcsolatos legfontosabb tudnivalókat. A számsorozatok ismerete elsısorban a bonyolultabb pénzáramlások modellezéséhez szükséges, mivel ha felismerjük, hogy egy pénzfolyam valamely idıszakban hasonlóképpen viselkedik, akkor azt egyszerőbben kezelhetıvé tehetjük. Ahhoz, hogy a pénzfolyam különbözı idıpontokban jelentkezı elemeit össze tudjuk hasonlítani, szükségünk van egy olyan módszerre, melynek segítségével minden pénzösszeget egy közös idıpontra számíthatunk át. Ha közös idıpontnak egy jövıbeli idıpontot választunk, akkor kamatos kamatszámításról (jövıérték-számításról), míg ha a közös idıpont a jelen, akkor pedig jelenérték-számításról (diszkontálásról) beszélünk. Járadékról akkor beszélünk, ha azonos idıközönként rendszeresen azonos pénzösszegek kifizetése, vagy befizetése történik. Ha egy pénzfolyamban felismerjük a járadékszerő viselkedést, akkor annak jelenértékét a megtanult összefüggések segítségével egyszerően meg tudjuk határozni. A pénzáramlások irányától függıen győjtı-, vagy törlesztı-járadékról beszélhetünk. Ha a járadék végtelen hosszú idıszakon keresztül jelentkezik, akkor azt örökjáradéknak nevezzük.

��


14

Persze ahhoz, hogy az esetleges szabályos viselkedést felismerjük, nem árt ha ismerünk valamilyen grafikus módszert is a pénzfolyam megjelenítésére. Pontosan ezt a célt szolgálják az ún. pénzfolyamábrák. A valóságban léteznek olyan befektetések, ahol a pénzáramlások nagyon sőrőn követik egymást (a pénzfolyamábra gyakorlatilag folytonossá válik). Ez esetben a jelenértéket pontosabban is kiszámíthatjuk, ha ún. folytonos kamatos kamatozást feltételezünk.

2.10 Ellenırzı kérdések

1. Mit nevezünk számtani sorozatnak?

2. Mit nevezünk mértani sorozatnak?

3. Mit értünk kamat alatt?

4. Mit jelent az egyszerő kamatozás?

5. Mit nevezünk kamatos kamatnak?

6. Mit jelent a pénz idıértéke?

7. Hogyan tudja kiszámítani egy pénzösszeg jelenértékét?

8. Mi a különbség a kamatláb és a diszkontláb között?

9. Hogyan tudja kiszámítani egy pénzfolyam jelenértékét?

10. Mit nevezünk járadéknak?

11. Mi a győjtıjáradék? Hogyan számítjuk ki?

12. Mi a törlesztıjáradék? Hogyan számíthatjuk ki?

13. Mit értünk annuitás alatt? Hogyan számítjuk ki a jelenértékét?

14. Mikor beszélünk örökjáradékról? Hogyan számítjuk ki a jelenértékét?

15. Mit értünk növekvı tagú örökjáradék alatt?

16. Milyen célt szolgálnak a pénzfolyamábrák? Milyen konvenciók szerint történik

az ábrázolás?

17. Mit értünk kamatintenzitás (kamaterısség) alatt?

18. Folytonos kamatos kamatozást feltételezve hogyan módosulnak a jelenérték

összefüggései?

��

Documents

2. Gazdasági matematikai alapok