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2 GRANDEZZE CHE POSSONO INFLUENZARE
LA SCELTA DI UN MATERIALE
21 PROCESSO DI MAGNETIZZAZIONE ED
INTRODUZIONE ALLISTERESI
Lespressione ldquocaratterizzazione magneticardquo identifica principalmente il
processo sperimentale attraverso il quale si determina la legge fondamentale di
un materiale magnetico Questa legge egrave espressa dalla dipendenza funzionale
M(H) della magnetizzazione dal campo oppure in alternativa secondo le leggi
equivalenti J(H) e B(H) I materiali diamagnetici e paramagnetici vengono
descritti attraverso semplici relazioni fra campo e magnetizzazione Questo non
significa assolutamente che tali relazioni siano di facile sperimentazione in
quanto la suscettibilitagrave associata egrave molto bassa e di conseguenza risulta difficile
distinguere la risposta del campione testato dai disturbi provenienti
dallesterno I ferromagneti (e i ferrimagneti) mostrano risposte intrinsecamente
ampie La proprietagrave di riferimento di questi materiali egrave che sono dotati di un
campo molecolare di origine quanto-meccanica che implica un ordine
magnetico cioegrave possibili elevati valori del momento magnetico per unitagrave di
volume Comunque la fenomenologia del processo di magnetizzazione di
questi materiali egrave estremamente complessa come mostrato dalle molteplici
manifestazioni dellisteresi Ciograve si presenta come il risultato macroscopico di
unintricata combinazione di processi microscopici che ruotano attorno
allesistenza di domini (o in casi particolari di domini mono-particella) Tali
processi microscopici portano alla riorganizzazione collettiva dei momenti
magnetici sotto lazione di un campo magnetico
33
Lo studio sperimentale dellisteresi magnetica e lanalisi generale dei materiali
richiedono che venga definito un qualche tipo di stato di riferimento accessibile
La saturazione magnetica e la condizione di smagnetizzazione sono due dei
principali punti di riferimento Il materiale si dice smagnetizzato quando i
valori di H ed M sono uguali a 0 A questo scopo il campione puograve essere
portato al di sopra della temperatura di Curie e raffreddato in ambiente a
campo zero oppure viene applicato un campo alternato la cui ampiezza del
picco viene progressivamente e gradualmente ridotta partendo dalla
saturazione e arrivando allo zero Lo stato di smagnetizzazione dovrebbe
realizzare dal punto di vista microscopico quella particolare disposizione della
struttura magnetica interna che corrisponde al minimo assoluto dellenergia
libera magnetica In effetti un infinito numero di traiettorie puograve portare alla
smagnetizzazione del campione senza perograve portare allo stato di
demagnetizzazione (punti in cui Hne0 e M=0) Se partendo dallo stato di
smagnetizzazione viene applicato un campo di ampiezza crescente sul piano
(H-J) oppure (H-M) verragrave descritta una curva Si tratta della curva di
magnetizzazione iniziale Nella pratica corrente la smagnetizzazione termica
viene utilizzata raramente Quando questa tecnica viene applicata non si
raggiunge lo stesso risultato della convenzionale smagnetizzazione con campo
alternato dal punto di vista microscopico La curva descritta dopo la
smagnetizzazione termica si chiama curva vergine e differisce leggermente da
quella di magnetizzazione iniziale ottenuta con laltro procedimento La Fig 21
fornisce un esempio di curve di magnetizzazione iniziale in magneti soft e hard
in campi J-H e B-H
Queste curve sono state ottenute usando un circuito magnetico chiuso con
campo applicato Ha cong H Se vengono testati dei campioni ldquoapertirdquo oppure se la
chiusura del flusso non egrave perfetta Ha = H+(Ndμ0)J e le curve J-Ha e B-Ha
34
risulteranno scostate al contrario delle curve ottenute con circuito chiuso J-H e
B-H In pratica nei magneti soft esiste una differenza sensibile fra le due
rappresentazioni soltanto vicino allo stato di saturazione dove il termine μ0 H
puograve essere apprezzato1 Per muoverci lungo la curva di magnetizzazione
dobbiamo spendere energia Assumiamo che un campo lentamente crescente
nel tempo venga applicato ad un campione che forma un circuito magnetico
chiuso (ad es un anello) utilizzando un avvolgimento opportunamente
collegato ed attraversato da una corrente i(t) In qualsiasi istante la tensione
applicata vine bilanciata dalla caduta di tensione dovuta alla resistenza
dellavvolgimento Rai(t) e dalla fem indotta dΦdt
uG(t)=Rai(t)+ dΦdt
Partendo dallo stato di smagnetizzazione si raggiunge un determinato stato
finale con induzione Bp dopo un intervallo di tempo t0 Lenergia fornita E = 0intto
uG(t)i(t)dt viene in parte dissipata nel conduttore per effetto Joule e in parte
trasferita al sistema magnetico
1 Si tenga presente che B=μ0H+μ0M
35
Fig 21 Curve di magnetizzazione iniziale in lamierini NO Fe-Si e in un magnete sinterizzato di Nd-Fe-Dy-Al-B Larea ombreggiata indica lenergia per unitagrave di volume utilizzata per portare il materiale dallo stato di smagnetizzazione al picco di induzione Bp
dove Na egrave il numero di spire dellavvolgimento e A egrave larea trasversale del
provino Ciograve che ci interessa maggiormente egrave il secondo termine del secondo
membro dellequazione precedente Se consideriamo un campione a forma di
anello di circonferenza media lm possiamo scrivere i(t) = (lmNa)∙H(t) e si trova
che lenergia necessaria a portare il sistema a regime egrave
Facendo riferimento alla rappresentazione grafica della curva di
magnetizzazione iniziale mostrata nella Fig 21 possiamo concludere che
lenergia per unitagrave di volume necessaria per raggiungere il valore di induzione
Bp (o il valore di polarizzazione Jp) egrave data dallarea fra la curva B(H) e lasse
delle ordinate Introducendo lequazione della nota 1 nella equazione
precedente otteniamo
e possiamo distinguere fra lenergia immagazzinata nel campo magnetico e
quella immagazzinata nel materiale Ci si aspetta che parte di questultima
venga persa durante il processo Ad esclusione di alcuni casi particolari il
processo di magnetizzazione egrave associato ad una dissipazione di energia
misurabile Ciograve si nota nellisteresi che egrave un ritardo subito dalleffetto in seguito
alla variazione della causa La Fig 22 mostra due esempi di cicli di isteresi in
materiali soft e hard ottenuti facendo variare ciclicamente il campo tra due
valori di picco simmetrici plusmnHp
36
E=int0
t 0
Rai 2t dtint0
t 0
N a Ai t dBdt
dt
U=Vint0
t 0
H t dBdt
dt=Vint0
B p
H dB
U=V int0
H p
0 H dHVint0
J p
H dJ
Se lintegrazione dellultima equazione trovata viene effettuata su un intero
ciclo il bilancio energetico ottenuto egrave
la quantitagrave W egrave lenergia persa per unitagrave di volume Il termine ∮0 H dH ha
media zero nellarco di un ciclo Eliminando questo termine si ottiene che larea
del ciclo B(H) egrave uguale allarea del ciclo J(H) Si notino nei cicli rappresentati
nella Fig 22 il punto di rimanenza dove JrequivBr e la distinzione che esiste tra i
campi coercitivi HcB e HcJ dove il secondo dei due egrave il valore del campo per cui
il materiale egrave smagnetizzato (in effetti questo stato di smagnetizzazione non
corrisponde a quello indicato precedentemente)
La fenomenologia dellisteresi magnetica egrave estremamente complessa ma dotata
di una certa regolaritagrave matematica ed ha incentivato lo sviluppo di diversi
modelli matematici il primo dei quali fu quello di Preisach Limitandosi a
testare i materiali per bassi valori di campo egrave possibile descrivere la curva
iniziale e i cicli di isteresi simmetrici attraverso una funzione ben definita la
legge di Rayleigh Un esempio di cicli nella regione di Rayleigh egrave presentato
37
W=∮0 H dH∮H dJ=∮ H dJ=∮H dB
Fig 22 Esempi di cicli di isteresi in materiali soft e hard Nei lamierini Fe-Si soft non cegrave una differenza sensibile tra le curve B(H) e J(H) per magnetizzazioni e campi di interesse tecnico La differenza egrave invece evidente negli hard Questo porta a due differenti definizioni di campo coercitivo HcB egrave il campo necessario per portare linduzione a zero partendo dallo stato di saturazione mentre HcJ egrave il campo necessario per ridurre a zero la polarizzazione J Si ha sempre che HcJgtHcB
nella Fig 23 dove si osserva che
la polarizzazione del materiale
dipende dal quadrato del campo
magnetico In particolare
qualsiasi ciclo di isteresi
determinato fra i valori di picco
del campo plusmnHp ha rami ascendenti
e discendenti descritti
dallequazione
dove a e b sono chiamate rispettivamente costanti reversibile e irreversibile di
Rayleigh I punti estremi dei cicli (Hp Jp) descrivono la curva di
magnetizzazione iniziale (chiamata anche curva di magnetizzazione normale)
secondo la legge
Nel limite di campi molto bassi la curva di magnetizzazione diventa lineare
(come risulta evidente dalla figura 23) con la costante a proporzionale alla
suscettibilitagrave iniziale χi
Lintegrazione dellarea del ciclo fornisce la perdita per isteresi per unitagrave di
volume
38
J p=a H pb H p2
a= limH prArr0
J p
H p=0i
W=43
b H p3
Fig 23 Cicli di isteresi sperimentali nella regione di Rayleigh Lenergia dissipata per unitagrave di volume durante un ciclo completo egrave data dallequazione W=43bHp
3 dove b egrave un coefficiente dipendente alla struttura e Hp egrave il valore di picco del campo
J H =abH pH∓b2H p
2minusH 2
in cui come ci si aspettava il coefficiente reversibile a egrave sparito Allo stesso
modo possiamo esprimere la perdita di energia per un dato valore di picco
della polarizzazione Jp nel dominio di Rayleigh come
Grazie alla teoria di Neacuteel si puograve stabilire che le quantitagrave aHc e bHca dove Hc egrave
il campo coercitivo sono indipendenti dalla struttura del materiale Per arrivare
a questa conclusione si egrave ipotizzato che le equazioni che descrivono le
interazioni tra pareti di Bloch e difetti di pinning fossero dotate di invarianza di
scala (ossia valide per qualsiasi dimensione del sistema che deve comunque
mantenere una proporzionalitagrave tra le dimensioni) La discussione ha finora
evidenziato delle caratteristiche riguardanti il cosiddetto comportamento
magnetico ldquoquasi-staticordquo del materiale che si osserva quando la velocitagrave di
variazione della magnetizzazione egrave cosigrave limitato che gli effetti visco-dinamici
non interferiscono con il processo di magnetizzazione Quando questa
condizione non sussiste piugrave si ha una dipendenza degli effetti isteretici dalla
velocitagrave di variazione Nei materiali metallici essi sono dovuti quasi
esclusivamente alle correnti parassite la cui circolazione nel campione ha un
andamento dipendente oltre che dal tasso di magnetizzazione anche dalla
resistivitagrave delloggetto dalla sua geometria e dalla struttura dei domini Il
comportamento delle perdite dinamiche puograve essere considerato come funzione
delle proprietagrave del materiale e delle relative tipologie di misurazione Si
sottolinea che la conseguenza fondamentale della presenza di correnti parassite
di elevato ordine di grandezza egrave laumento dellenergia dissipata per ogni ciclo
che si nota dallallargamento del ciclo di isteresi Tale aumento darea egrave anche in
relazione con laumento della frequenza di magnetizzazione (Fig 24)
39
W= 16b2 [minusaa24b J p]
3
22 COMPORTAMENTO
DELLISTERESI IN
FUNZIONE DELLA
TEMPERATURA
Listeresi egrave un fenomeno i cui
risultati dipendono dalla
temperatura Un metodo analitico
per descrivere linfluenza della temperatura sullisteresi egrave il modello modificato
di Jiles-Atherton (JA) Per comprendere appieno questa variante egrave innanzitutto
necessario esaminare brevemente il modello originale
Il modello classico di JA prevede che la magnetizzazione M sia formata da due
componenti una reversibile Mrev e una irreversibile Mirr La relazione che lega
questi due contributi egrave data da Mrev = c(Man-Mirr) La magnetizzazione
anisteretica Man egrave data dalla funzione di Langevin
con
dove He = H + αM egrave il campo effettivo avvertito dai domini magnetici Le
costanti MS a α c k sono i parametri del modello che possono essere ottenuti
dalla misura dei cicli di isteresi δ egrave un parametro direzionale che assume valore
40
M an=M s[cothH e
aminus a
H e]
dM irr
dH e=
M anminusM irr
k
Fig 24 Allargamento dei cicli di isteresi allaumentare della frequenza in una lega magnetica soft
+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti
si arriva allequazione principale del modello originale di JA
Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M
rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave
nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello
inverso la cui equazione principale egrave
dove
e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico
Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza
dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli
effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS
(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione
della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono
essere espressi in funzione degli altri parametri
Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima
volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come
elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei
grafici fanno riferimento a questo esperimento
41
dMdH
=1minuscdM irr dH ecdM an dH e
1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e
dMdB
=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e
101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e
dM irr
dBe=
M anminusM irr
0 k
La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere
espressa come
dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la
temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale
Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla
coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento
esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore
di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo
lequazione
dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di
pinning ed egrave approssimativamente β12
La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve
essere descritto dalla relazione
dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave
dei domini ed egrave approssimativamente β12
Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i
domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come
42
M s T =M s01minusTT c
1
k T =k 0eminus 12
TT C
a T =a 0 eminus 13
TT C
= 3aM s
minus 1an
Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al
domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive
formule in prima approssimazione si ottiene
dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e
per i materiali isotropici egrave espresso come
Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione
MS ed a si ottiene
dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la
43
T =3a 0M s0
eminus 13
TT C
1minus TT C
1
T =0eminus 21
TT C 1minus T
T Cminus1
c= 3aM S
in
c T =3a 0M s0
in e
minus 12
TT C
1minus TT C
1
c T =c 0eminus 21
TTC 1minus T
T Cminus1
curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per
identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25
Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co
La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza
di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad
uno magneticamente disordinato (paramagnetico)
Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in
funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)
Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata
44
MS
MS
La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura
e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig
26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura
indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)
Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata
La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della
temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici
in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)
Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata
Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di
45
ka
reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane
costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)
Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling
Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso
misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura
di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un
magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e
confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha
un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della
magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210
mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura
Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura
46
cHC
La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave
evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in
linea con i valori misurati
Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione
I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono
confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente
man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto
quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e
non supera mai lordine di 10-3
Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature
47
Man
Ha
23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI
CONDUTTORI METALLICI
La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a
permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa
egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una
grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della
natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura
La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data
dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre
definibile anche dalla relazione
=minus1= lRA
dove
ndash l egrave la lunghezza del conduttore
ndash R egrave la resistenza del conduttore
ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore
ndash ρ egrave la resistivitagrave
Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e
tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale
=N e2
m
dove
ndash N egrave il numero di elettroni
ndash e egrave la carica dellelettrone
ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo
ndash m egrave la massa dellelettrone
Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che
48
tuttavia si rivela esplicitando il termine τ
=l m3TkB
dove
ndash T egrave la temperatura assoluta
ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti
ndash m egrave la massa dellelettrone
ndash kB egrave la costante di Boltzmann
Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta
come segue
dove
ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo
ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave
La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione
decrescente della temperatura La funzione egrave
= 201
1 t
dove
ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC
ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si
verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC
e per ogni ohm metro della resistivitagrave
49
ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si
trova il materiale espressa in gradi Celsius
50
Lo studio sperimentale dellisteresi magnetica e lanalisi generale dei materiali
richiedono che venga definito un qualche tipo di stato di riferimento accessibile
La saturazione magnetica e la condizione di smagnetizzazione sono due dei
principali punti di riferimento Il materiale si dice smagnetizzato quando i
valori di H ed M sono uguali a 0 A questo scopo il campione puograve essere
portato al di sopra della temperatura di Curie e raffreddato in ambiente a
campo zero oppure viene applicato un campo alternato la cui ampiezza del
picco viene progressivamente e gradualmente ridotta partendo dalla
saturazione e arrivando allo zero Lo stato di smagnetizzazione dovrebbe
realizzare dal punto di vista microscopico quella particolare disposizione della
struttura magnetica interna che corrisponde al minimo assoluto dellenergia
libera magnetica In effetti un infinito numero di traiettorie puograve portare alla
smagnetizzazione del campione senza perograve portare allo stato di
demagnetizzazione (punti in cui Hne0 e M=0) Se partendo dallo stato di
smagnetizzazione viene applicato un campo di ampiezza crescente sul piano
(H-J) oppure (H-M) verragrave descritta una curva Si tratta della curva di
magnetizzazione iniziale Nella pratica corrente la smagnetizzazione termica
viene utilizzata raramente Quando questa tecnica viene applicata non si
raggiunge lo stesso risultato della convenzionale smagnetizzazione con campo
alternato dal punto di vista microscopico La curva descritta dopo la
smagnetizzazione termica si chiama curva vergine e differisce leggermente da
quella di magnetizzazione iniziale ottenuta con laltro procedimento La Fig 21
fornisce un esempio di curve di magnetizzazione iniziale in magneti soft e hard
in campi J-H e B-H
Queste curve sono state ottenute usando un circuito magnetico chiuso con
campo applicato Ha cong H Se vengono testati dei campioni ldquoapertirdquo oppure se la
chiusura del flusso non egrave perfetta Ha = H+(Ndμ0)J e le curve J-Ha e B-Ha
34
risulteranno scostate al contrario delle curve ottenute con circuito chiuso J-H e
B-H In pratica nei magneti soft esiste una differenza sensibile fra le due
rappresentazioni soltanto vicino allo stato di saturazione dove il termine μ0 H
puograve essere apprezzato1 Per muoverci lungo la curva di magnetizzazione
dobbiamo spendere energia Assumiamo che un campo lentamente crescente
nel tempo venga applicato ad un campione che forma un circuito magnetico
chiuso (ad es un anello) utilizzando un avvolgimento opportunamente
collegato ed attraversato da una corrente i(t) In qualsiasi istante la tensione
applicata vine bilanciata dalla caduta di tensione dovuta alla resistenza
dellavvolgimento Rai(t) e dalla fem indotta dΦdt
uG(t)=Rai(t)+ dΦdt
Partendo dallo stato di smagnetizzazione si raggiunge un determinato stato
finale con induzione Bp dopo un intervallo di tempo t0 Lenergia fornita E = 0intto
uG(t)i(t)dt viene in parte dissipata nel conduttore per effetto Joule e in parte
trasferita al sistema magnetico
1 Si tenga presente che B=μ0H+μ0M
35
Fig 21 Curve di magnetizzazione iniziale in lamierini NO Fe-Si e in un magnete sinterizzato di Nd-Fe-Dy-Al-B Larea ombreggiata indica lenergia per unitagrave di volume utilizzata per portare il materiale dallo stato di smagnetizzazione al picco di induzione Bp
dove Na egrave il numero di spire dellavvolgimento e A egrave larea trasversale del
provino Ciograve che ci interessa maggiormente egrave il secondo termine del secondo
membro dellequazione precedente Se consideriamo un campione a forma di
anello di circonferenza media lm possiamo scrivere i(t) = (lmNa)∙H(t) e si trova
che lenergia necessaria a portare il sistema a regime egrave
Facendo riferimento alla rappresentazione grafica della curva di
magnetizzazione iniziale mostrata nella Fig 21 possiamo concludere che
lenergia per unitagrave di volume necessaria per raggiungere il valore di induzione
Bp (o il valore di polarizzazione Jp) egrave data dallarea fra la curva B(H) e lasse
delle ordinate Introducendo lequazione della nota 1 nella equazione
precedente otteniamo
e possiamo distinguere fra lenergia immagazzinata nel campo magnetico e
quella immagazzinata nel materiale Ci si aspetta che parte di questultima
venga persa durante il processo Ad esclusione di alcuni casi particolari il
processo di magnetizzazione egrave associato ad una dissipazione di energia
misurabile Ciograve si nota nellisteresi che egrave un ritardo subito dalleffetto in seguito
alla variazione della causa La Fig 22 mostra due esempi di cicli di isteresi in
materiali soft e hard ottenuti facendo variare ciclicamente il campo tra due
valori di picco simmetrici plusmnHp
36
E=int0
t 0
Rai 2t dtint0
t 0
N a Ai t dBdt
dt
U=Vint0
t 0
H t dBdt
dt=Vint0
B p
H dB
U=V int0
H p
0 H dHVint0
J p
H dJ
Se lintegrazione dellultima equazione trovata viene effettuata su un intero
ciclo il bilancio energetico ottenuto egrave
la quantitagrave W egrave lenergia persa per unitagrave di volume Il termine ∮0 H dH ha
media zero nellarco di un ciclo Eliminando questo termine si ottiene che larea
del ciclo B(H) egrave uguale allarea del ciclo J(H) Si notino nei cicli rappresentati
nella Fig 22 il punto di rimanenza dove JrequivBr e la distinzione che esiste tra i
campi coercitivi HcB e HcJ dove il secondo dei due egrave il valore del campo per cui
il materiale egrave smagnetizzato (in effetti questo stato di smagnetizzazione non
corrisponde a quello indicato precedentemente)
La fenomenologia dellisteresi magnetica egrave estremamente complessa ma dotata
di una certa regolaritagrave matematica ed ha incentivato lo sviluppo di diversi
modelli matematici il primo dei quali fu quello di Preisach Limitandosi a
testare i materiali per bassi valori di campo egrave possibile descrivere la curva
iniziale e i cicli di isteresi simmetrici attraverso una funzione ben definita la
legge di Rayleigh Un esempio di cicli nella regione di Rayleigh egrave presentato
37
W=∮0 H dH∮H dJ=∮ H dJ=∮H dB
Fig 22 Esempi di cicli di isteresi in materiali soft e hard Nei lamierini Fe-Si soft non cegrave una differenza sensibile tra le curve B(H) e J(H) per magnetizzazioni e campi di interesse tecnico La differenza egrave invece evidente negli hard Questo porta a due differenti definizioni di campo coercitivo HcB egrave il campo necessario per portare linduzione a zero partendo dallo stato di saturazione mentre HcJ egrave il campo necessario per ridurre a zero la polarizzazione J Si ha sempre che HcJgtHcB
nella Fig 23 dove si osserva che
la polarizzazione del materiale
dipende dal quadrato del campo
magnetico In particolare
qualsiasi ciclo di isteresi
determinato fra i valori di picco
del campo plusmnHp ha rami ascendenti
e discendenti descritti
dallequazione
dove a e b sono chiamate rispettivamente costanti reversibile e irreversibile di
Rayleigh I punti estremi dei cicli (Hp Jp) descrivono la curva di
magnetizzazione iniziale (chiamata anche curva di magnetizzazione normale)
secondo la legge
Nel limite di campi molto bassi la curva di magnetizzazione diventa lineare
(come risulta evidente dalla figura 23) con la costante a proporzionale alla
suscettibilitagrave iniziale χi
Lintegrazione dellarea del ciclo fornisce la perdita per isteresi per unitagrave di
volume
38
J p=a H pb H p2
a= limH prArr0
J p
H p=0i
W=43
b H p3
Fig 23 Cicli di isteresi sperimentali nella regione di Rayleigh Lenergia dissipata per unitagrave di volume durante un ciclo completo egrave data dallequazione W=43bHp
3 dove b egrave un coefficiente dipendente alla struttura e Hp egrave il valore di picco del campo
J H =abH pH∓b2H p
2minusH 2
in cui come ci si aspettava il coefficiente reversibile a egrave sparito Allo stesso
modo possiamo esprimere la perdita di energia per un dato valore di picco
della polarizzazione Jp nel dominio di Rayleigh come
Grazie alla teoria di Neacuteel si puograve stabilire che le quantitagrave aHc e bHca dove Hc egrave
il campo coercitivo sono indipendenti dalla struttura del materiale Per arrivare
a questa conclusione si egrave ipotizzato che le equazioni che descrivono le
interazioni tra pareti di Bloch e difetti di pinning fossero dotate di invarianza di
scala (ossia valide per qualsiasi dimensione del sistema che deve comunque
mantenere una proporzionalitagrave tra le dimensioni) La discussione ha finora
evidenziato delle caratteristiche riguardanti il cosiddetto comportamento
magnetico ldquoquasi-staticordquo del materiale che si osserva quando la velocitagrave di
variazione della magnetizzazione egrave cosigrave limitato che gli effetti visco-dinamici
non interferiscono con il processo di magnetizzazione Quando questa
condizione non sussiste piugrave si ha una dipendenza degli effetti isteretici dalla
velocitagrave di variazione Nei materiali metallici essi sono dovuti quasi
esclusivamente alle correnti parassite la cui circolazione nel campione ha un
andamento dipendente oltre che dal tasso di magnetizzazione anche dalla
resistivitagrave delloggetto dalla sua geometria e dalla struttura dei domini Il
comportamento delle perdite dinamiche puograve essere considerato come funzione
delle proprietagrave del materiale e delle relative tipologie di misurazione Si
sottolinea che la conseguenza fondamentale della presenza di correnti parassite
di elevato ordine di grandezza egrave laumento dellenergia dissipata per ogni ciclo
che si nota dallallargamento del ciclo di isteresi Tale aumento darea egrave anche in
relazione con laumento della frequenza di magnetizzazione (Fig 24)
39
W= 16b2 [minusaa24b J p]
3
22 COMPORTAMENTO
DELLISTERESI IN
FUNZIONE DELLA
TEMPERATURA
Listeresi egrave un fenomeno i cui
risultati dipendono dalla
temperatura Un metodo analitico
per descrivere linfluenza della temperatura sullisteresi egrave il modello modificato
di Jiles-Atherton (JA) Per comprendere appieno questa variante egrave innanzitutto
necessario esaminare brevemente il modello originale
Il modello classico di JA prevede che la magnetizzazione M sia formata da due
componenti una reversibile Mrev e una irreversibile Mirr La relazione che lega
questi due contributi egrave data da Mrev = c(Man-Mirr) La magnetizzazione
anisteretica Man egrave data dalla funzione di Langevin
con
dove He = H + αM egrave il campo effettivo avvertito dai domini magnetici Le
costanti MS a α c k sono i parametri del modello che possono essere ottenuti
dalla misura dei cicli di isteresi δ egrave un parametro direzionale che assume valore
40
M an=M s[cothH e
aminus a
H e]
dM irr
dH e=
M anminusM irr
k
Fig 24 Allargamento dei cicli di isteresi allaumentare della frequenza in una lega magnetica soft
+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti
si arriva allequazione principale del modello originale di JA
Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M
rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave
nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello
inverso la cui equazione principale egrave
dove
e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico
Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza
dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli
effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS
(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione
della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono
essere espressi in funzione degli altri parametri
Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima
volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come
elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei
grafici fanno riferimento a questo esperimento
41
dMdH
=1minuscdM irr dH ecdM an dH e
1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e
dMdB
=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e
101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e
dM irr
dBe=
M anminusM irr
0 k
La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere
espressa come
dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la
temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale
Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla
coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento
esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore
di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo
lequazione
dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di
pinning ed egrave approssimativamente β12
La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve
essere descritto dalla relazione
dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave
dei domini ed egrave approssimativamente β12
Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i
domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come
42
M s T =M s01minusTT c
1
k T =k 0eminus 12
TT C
a T =a 0 eminus 13
TT C
= 3aM s
minus 1an
Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al
domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive
formule in prima approssimazione si ottiene
dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e
per i materiali isotropici egrave espresso come
Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione
MS ed a si ottiene
dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la
43
T =3a 0M s0
eminus 13
TT C
1minus TT C
1
T =0eminus 21
TT C 1minus T
T Cminus1
c= 3aM S
in
c T =3a 0M s0
in e
minus 12
TT C
1minus TT C
1
c T =c 0eminus 21
TTC 1minus T
T Cminus1
curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per
identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25
Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co
La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza
di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad
uno magneticamente disordinato (paramagnetico)
Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in
funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)
Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata
44
MS
MS
La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura
e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig
26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura
indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)
Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata
La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della
temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici
in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)
Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata
Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di
45
ka
reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane
costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)
Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling
Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso
misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura
di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un
magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e
confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha
un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della
magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210
mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura
Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura
46
cHC
La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave
evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in
linea con i valori misurati
Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione
I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono
confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente
man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto
quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e
non supera mai lordine di 10-3
Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature
47
Man
Ha
23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI
CONDUTTORI METALLICI
La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a
permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa
egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una
grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della
natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura
La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data
dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre
definibile anche dalla relazione
=minus1= lRA
dove
ndash l egrave la lunghezza del conduttore
ndash R egrave la resistenza del conduttore
ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore
ndash ρ egrave la resistivitagrave
Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e
tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale
=N e2
m
dove
ndash N egrave il numero di elettroni
ndash e egrave la carica dellelettrone
ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo
ndash m egrave la massa dellelettrone
Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che
48
tuttavia si rivela esplicitando il termine τ
=l m3TkB
dove
ndash T egrave la temperatura assoluta
ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti
ndash m egrave la massa dellelettrone
ndash kB egrave la costante di Boltzmann
Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta
come segue
dove
ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo
ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave
La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione
decrescente della temperatura La funzione egrave
= 201
1 t
dove
ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC
ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si
verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC
e per ogni ohm metro della resistivitagrave
49
ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si
trova il materiale espressa in gradi Celsius
50
risulteranno scostate al contrario delle curve ottenute con circuito chiuso J-H e
B-H In pratica nei magneti soft esiste una differenza sensibile fra le due
rappresentazioni soltanto vicino allo stato di saturazione dove il termine μ0 H
puograve essere apprezzato1 Per muoverci lungo la curva di magnetizzazione
dobbiamo spendere energia Assumiamo che un campo lentamente crescente
nel tempo venga applicato ad un campione che forma un circuito magnetico
chiuso (ad es un anello) utilizzando un avvolgimento opportunamente
collegato ed attraversato da una corrente i(t) In qualsiasi istante la tensione
applicata vine bilanciata dalla caduta di tensione dovuta alla resistenza
dellavvolgimento Rai(t) e dalla fem indotta dΦdt
uG(t)=Rai(t)+ dΦdt
Partendo dallo stato di smagnetizzazione si raggiunge un determinato stato
finale con induzione Bp dopo un intervallo di tempo t0 Lenergia fornita E = 0intto
uG(t)i(t)dt viene in parte dissipata nel conduttore per effetto Joule e in parte
trasferita al sistema magnetico
1 Si tenga presente che B=μ0H+μ0M
35
Fig 21 Curve di magnetizzazione iniziale in lamierini NO Fe-Si e in un magnete sinterizzato di Nd-Fe-Dy-Al-B Larea ombreggiata indica lenergia per unitagrave di volume utilizzata per portare il materiale dallo stato di smagnetizzazione al picco di induzione Bp
dove Na egrave il numero di spire dellavvolgimento e A egrave larea trasversale del
provino Ciograve che ci interessa maggiormente egrave il secondo termine del secondo
membro dellequazione precedente Se consideriamo un campione a forma di
anello di circonferenza media lm possiamo scrivere i(t) = (lmNa)∙H(t) e si trova
che lenergia necessaria a portare il sistema a regime egrave
Facendo riferimento alla rappresentazione grafica della curva di
magnetizzazione iniziale mostrata nella Fig 21 possiamo concludere che
lenergia per unitagrave di volume necessaria per raggiungere il valore di induzione
Bp (o il valore di polarizzazione Jp) egrave data dallarea fra la curva B(H) e lasse
delle ordinate Introducendo lequazione della nota 1 nella equazione
precedente otteniamo
e possiamo distinguere fra lenergia immagazzinata nel campo magnetico e
quella immagazzinata nel materiale Ci si aspetta che parte di questultima
venga persa durante il processo Ad esclusione di alcuni casi particolari il
processo di magnetizzazione egrave associato ad una dissipazione di energia
misurabile Ciograve si nota nellisteresi che egrave un ritardo subito dalleffetto in seguito
alla variazione della causa La Fig 22 mostra due esempi di cicli di isteresi in
materiali soft e hard ottenuti facendo variare ciclicamente il campo tra due
valori di picco simmetrici plusmnHp
36
E=int0
t 0
Rai 2t dtint0
t 0
N a Ai t dBdt
dt
U=Vint0
t 0
H t dBdt
dt=Vint0
B p
H dB
U=V int0
H p
0 H dHVint0
J p
H dJ
Se lintegrazione dellultima equazione trovata viene effettuata su un intero
ciclo il bilancio energetico ottenuto egrave
la quantitagrave W egrave lenergia persa per unitagrave di volume Il termine ∮0 H dH ha
media zero nellarco di un ciclo Eliminando questo termine si ottiene che larea
del ciclo B(H) egrave uguale allarea del ciclo J(H) Si notino nei cicli rappresentati
nella Fig 22 il punto di rimanenza dove JrequivBr e la distinzione che esiste tra i
campi coercitivi HcB e HcJ dove il secondo dei due egrave il valore del campo per cui
il materiale egrave smagnetizzato (in effetti questo stato di smagnetizzazione non
corrisponde a quello indicato precedentemente)
La fenomenologia dellisteresi magnetica egrave estremamente complessa ma dotata
di una certa regolaritagrave matematica ed ha incentivato lo sviluppo di diversi
modelli matematici il primo dei quali fu quello di Preisach Limitandosi a
testare i materiali per bassi valori di campo egrave possibile descrivere la curva
iniziale e i cicli di isteresi simmetrici attraverso una funzione ben definita la
legge di Rayleigh Un esempio di cicli nella regione di Rayleigh egrave presentato
37
W=∮0 H dH∮H dJ=∮ H dJ=∮H dB
Fig 22 Esempi di cicli di isteresi in materiali soft e hard Nei lamierini Fe-Si soft non cegrave una differenza sensibile tra le curve B(H) e J(H) per magnetizzazioni e campi di interesse tecnico La differenza egrave invece evidente negli hard Questo porta a due differenti definizioni di campo coercitivo HcB egrave il campo necessario per portare linduzione a zero partendo dallo stato di saturazione mentre HcJ egrave il campo necessario per ridurre a zero la polarizzazione J Si ha sempre che HcJgtHcB
nella Fig 23 dove si osserva che
la polarizzazione del materiale
dipende dal quadrato del campo
magnetico In particolare
qualsiasi ciclo di isteresi
determinato fra i valori di picco
del campo plusmnHp ha rami ascendenti
e discendenti descritti
dallequazione
dove a e b sono chiamate rispettivamente costanti reversibile e irreversibile di
Rayleigh I punti estremi dei cicli (Hp Jp) descrivono la curva di
magnetizzazione iniziale (chiamata anche curva di magnetizzazione normale)
secondo la legge
Nel limite di campi molto bassi la curva di magnetizzazione diventa lineare
(come risulta evidente dalla figura 23) con la costante a proporzionale alla
suscettibilitagrave iniziale χi
Lintegrazione dellarea del ciclo fornisce la perdita per isteresi per unitagrave di
volume
38
J p=a H pb H p2
a= limH prArr0
J p
H p=0i
W=43
b H p3
Fig 23 Cicli di isteresi sperimentali nella regione di Rayleigh Lenergia dissipata per unitagrave di volume durante un ciclo completo egrave data dallequazione W=43bHp
3 dove b egrave un coefficiente dipendente alla struttura e Hp egrave il valore di picco del campo
J H =abH pH∓b2H p
2minusH 2
in cui come ci si aspettava il coefficiente reversibile a egrave sparito Allo stesso
modo possiamo esprimere la perdita di energia per un dato valore di picco
della polarizzazione Jp nel dominio di Rayleigh come
Grazie alla teoria di Neacuteel si puograve stabilire che le quantitagrave aHc e bHca dove Hc egrave
il campo coercitivo sono indipendenti dalla struttura del materiale Per arrivare
a questa conclusione si egrave ipotizzato che le equazioni che descrivono le
interazioni tra pareti di Bloch e difetti di pinning fossero dotate di invarianza di
scala (ossia valide per qualsiasi dimensione del sistema che deve comunque
mantenere una proporzionalitagrave tra le dimensioni) La discussione ha finora
evidenziato delle caratteristiche riguardanti il cosiddetto comportamento
magnetico ldquoquasi-staticordquo del materiale che si osserva quando la velocitagrave di
variazione della magnetizzazione egrave cosigrave limitato che gli effetti visco-dinamici
non interferiscono con il processo di magnetizzazione Quando questa
condizione non sussiste piugrave si ha una dipendenza degli effetti isteretici dalla
velocitagrave di variazione Nei materiali metallici essi sono dovuti quasi
esclusivamente alle correnti parassite la cui circolazione nel campione ha un
andamento dipendente oltre che dal tasso di magnetizzazione anche dalla
resistivitagrave delloggetto dalla sua geometria e dalla struttura dei domini Il
comportamento delle perdite dinamiche puograve essere considerato come funzione
delle proprietagrave del materiale e delle relative tipologie di misurazione Si
sottolinea che la conseguenza fondamentale della presenza di correnti parassite
di elevato ordine di grandezza egrave laumento dellenergia dissipata per ogni ciclo
che si nota dallallargamento del ciclo di isteresi Tale aumento darea egrave anche in
relazione con laumento della frequenza di magnetizzazione (Fig 24)
39
W= 16b2 [minusaa24b J p]
3
22 COMPORTAMENTO
DELLISTERESI IN
FUNZIONE DELLA
TEMPERATURA
Listeresi egrave un fenomeno i cui
risultati dipendono dalla
temperatura Un metodo analitico
per descrivere linfluenza della temperatura sullisteresi egrave il modello modificato
di Jiles-Atherton (JA) Per comprendere appieno questa variante egrave innanzitutto
necessario esaminare brevemente il modello originale
Il modello classico di JA prevede che la magnetizzazione M sia formata da due
componenti una reversibile Mrev e una irreversibile Mirr La relazione che lega
questi due contributi egrave data da Mrev = c(Man-Mirr) La magnetizzazione
anisteretica Man egrave data dalla funzione di Langevin
con
dove He = H + αM egrave il campo effettivo avvertito dai domini magnetici Le
costanti MS a α c k sono i parametri del modello che possono essere ottenuti
dalla misura dei cicli di isteresi δ egrave un parametro direzionale che assume valore
40
M an=M s[cothH e
aminus a
H e]
dM irr
dH e=
M anminusM irr
k
Fig 24 Allargamento dei cicli di isteresi allaumentare della frequenza in una lega magnetica soft
+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti
si arriva allequazione principale del modello originale di JA
Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M
rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave
nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello
inverso la cui equazione principale egrave
dove
e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico
Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza
dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli
effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS
(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione
della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono
essere espressi in funzione degli altri parametri
Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima
volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come
elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei
grafici fanno riferimento a questo esperimento
41
dMdH
=1minuscdM irr dH ecdM an dH e
1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e
dMdB
=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e
101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e
dM irr
dBe=
M anminusM irr
0 k
La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere
espressa come
dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la
temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale
Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla
coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento
esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore
di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo
lequazione
dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di
pinning ed egrave approssimativamente β12
La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve
essere descritto dalla relazione
dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave
dei domini ed egrave approssimativamente β12
Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i
domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come
42
M s T =M s01minusTT c
1
k T =k 0eminus 12
TT C
a T =a 0 eminus 13
TT C
= 3aM s
minus 1an
Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al
domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive
formule in prima approssimazione si ottiene
dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e
per i materiali isotropici egrave espresso come
Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione
MS ed a si ottiene
dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la
43
T =3a 0M s0
eminus 13
TT C
1minus TT C
1
T =0eminus 21
TT C 1minus T
T Cminus1
c= 3aM S
in
c T =3a 0M s0
in e
minus 12
TT C
1minus TT C
1
c T =c 0eminus 21
TTC 1minus T
T Cminus1
curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per
identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25
Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co
La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza
di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad
uno magneticamente disordinato (paramagnetico)
Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in
funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)
Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata
44
MS
MS
La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura
e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig
26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura
indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)
Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata
La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della
temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici
in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)
Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata
Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di
45
ka
reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane
costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)
Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling
Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso
misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura
di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un
magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e
confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha
un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della
magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210
mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura
Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura
46
cHC
La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave
evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in
linea con i valori misurati
Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione
I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono
confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente
man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto
quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e
non supera mai lordine di 10-3
Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature
47
Man
Ha
23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI
CONDUTTORI METALLICI
La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a
permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa
egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una
grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della
natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura
La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data
dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre
definibile anche dalla relazione
=minus1= lRA
dove
ndash l egrave la lunghezza del conduttore
ndash R egrave la resistenza del conduttore
ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore
ndash ρ egrave la resistivitagrave
Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e
tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale
=N e2
m
dove
ndash N egrave il numero di elettroni
ndash e egrave la carica dellelettrone
ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo
ndash m egrave la massa dellelettrone
Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che
48
tuttavia si rivela esplicitando il termine τ
=l m3TkB
dove
ndash T egrave la temperatura assoluta
ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti
ndash m egrave la massa dellelettrone
ndash kB egrave la costante di Boltzmann
Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta
come segue
dove
ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo
ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave
La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione
decrescente della temperatura La funzione egrave
= 201
1 t
dove
ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC
ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si
verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC
e per ogni ohm metro della resistivitagrave
49
ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si
trova il materiale espressa in gradi Celsius
50
dove Na egrave il numero di spire dellavvolgimento e A egrave larea trasversale del
provino Ciograve che ci interessa maggiormente egrave il secondo termine del secondo
membro dellequazione precedente Se consideriamo un campione a forma di
anello di circonferenza media lm possiamo scrivere i(t) = (lmNa)∙H(t) e si trova
che lenergia necessaria a portare il sistema a regime egrave
Facendo riferimento alla rappresentazione grafica della curva di
magnetizzazione iniziale mostrata nella Fig 21 possiamo concludere che
lenergia per unitagrave di volume necessaria per raggiungere il valore di induzione
Bp (o il valore di polarizzazione Jp) egrave data dallarea fra la curva B(H) e lasse
delle ordinate Introducendo lequazione della nota 1 nella equazione
precedente otteniamo
e possiamo distinguere fra lenergia immagazzinata nel campo magnetico e
quella immagazzinata nel materiale Ci si aspetta che parte di questultima
venga persa durante il processo Ad esclusione di alcuni casi particolari il
processo di magnetizzazione egrave associato ad una dissipazione di energia
misurabile Ciograve si nota nellisteresi che egrave un ritardo subito dalleffetto in seguito
alla variazione della causa La Fig 22 mostra due esempi di cicli di isteresi in
materiali soft e hard ottenuti facendo variare ciclicamente il campo tra due
valori di picco simmetrici plusmnHp
36
E=int0
t 0
Rai 2t dtint0
t 0
N a Ai t dBdt
dt
U=Vint0
t 0
H t dBdt
dt=Vint0
B p
H dB
U=V int0
H p
0 H dHVint0
J p
H dJ
Se lintegrazione dellultima equazione trovata viene effettuata su un intero
ciclo il bilancio energetico ottenuto egrave
la quantitagrave W egrave lenergia persa per unitagrave di volume Il termine ∮0 H dH ha
media zero nellarco di un ciclo Eliminando questo termine si ottiene che larea
del ciclo B(H) egrave uguale allarea del ciclo J(H) Si notino nei cicli rappresentati
nella Fig 22 il punto di rimanenza dove JrequivBr e la distinzione che esiste tra i
campi coercitivi HcB e HcJ dove il secondo dei due egrave il valore del campo per cui
il materiale egrave smagnetizzato (in effetti questo stato di smagnetizzazione non
corrisponde a quello indicato precedentemente)
La fenomenologia dellisteresi magnetica egrave estremamente complessa ma dotata
di una certa regolaritagrave matematica ed ha incentivato lo sviluppo di diversi
modelli matematici il primo dei quali fu quello di Preisach Limitandosi a
testare i materiali per bassi valori di campo egrave possibile descrivere la curva
iniziale e i cicli di isteresi simmetrici attraverso una funzione ben definita la
legge di Rayleigh Un esempio di cicli nella regione di Rayleigh egrave presentato
37
W=∮0 H dH∮H dJ=∮ H dJ=∮H dB
Fig 22 Esempi di cicli di isteresi in materiali soft e hard Nei lamierini Fe-Si soft non cegrave una differenza sensibile tra le curve B(H) e J(H) per magnetizzazioni e campi di interesse tecnico La differenza egrave invece evidente negli hard Questo porta a due differenti definizioni di campo coercitivo HcB egrave il campo necessario per portare linduzione a zero partendo dallo stato di saturazione mentre HcJ egrave il campo necessario per ridurre a zero la polarizzazione J Si ha sempre che HcJgtHcB
nella Fig 23 dove si osserva che
la polarizzazione del materiale
dipende dal quadrato del campo
magnetico In particolare
qualsiasi ciclo di isteresi
determinato fra i valori di picco
del campo plusmnHp ha rami ascendenti
e discendenti descritti
dallequazione
dove a e b sono chiamate rispettivamente costanti reversibile e irreversibile di
Rayleigh I punti estremi dei cicli (Hp Jp) descrivono la curva di
magnetizzazione iniziale (chiamata anche curva di magnetizzazione normale)
secondo la legge
Nel limite di campi molto bassi la curva di magnetizzazione diventa lineare
(come risulta evidente dalla figura 23) con la costante a proporzionale alla
suscettibilitagrave iniziale χi
Lintegrazione dellarea del ciclo fornisce la perdita per isteresi per unitagrave di
volume
38
J p=a H pb H p2
a= limH prArr0
J p
H p=0i
W=43
b H p3
Fig 23 Cicli di isteresi sperimentali nella regione di Rayleigh Lenergia dissipata per unitagrave di volume durante un ciclo completo egrave data dallequazione W=43bHp
3 dove b egrave un coefficiente dipendente alla struttura e Hp egrave il valore di picco del campo
J H =abH pH∓b2H p
2minusH 2
in cui come ci si aspettava il coefficiente reversibile a egrave sparito Allo stesso
modo possiamo esprimere la perdita di energia per un dato valore di picco
della polarizzazione Jp nel dominio di Rayleigh come
Grazie alla teoria di Neacuteel si puograve stabilire che le quantitagrave aHc e bHca dove Hc egrave
il campo coercitivo sono indipendenti dalla struttura del materiale Per arrivare
a questa conclusione si egrave ipotizzato che le equazioni che descrivono le
interazioni tra pareti di Bloch e difetti di pinning fossero dotate di invarianza di
scala (ossia valide per qualsiasi dimensione del sistema che deve comunque
mantenere una proporzionalitagrave tra le dimensioni) La discussione ha finora
evidenziato delle caratteristiche riguardanti il cosiddetto comportamento
magnetico ldquoquasi-staticordquo del materiale che si osserva quando la velocitagrave di
variazione della magnetizzazione egrave cosigrave limitato che gli effetti visco-dinamici
non interferiscono con il processo di magnetizzazione Quando questa
condizione non sussiste piugrave si ha una dipendenza degli effetti isteretici dalla
velocitagrave di variazione Nei materiali metallici essi sono dovuti quasi
esclusivamente alle correnti parassite la cui circolazione nel campione ha un
andamento dipendente oltre che dal tasso di magnetizzazione anche dalla
resistivitagrave delloggetto dalla sua geometria e dalla struttura dei domini Il
comportamento delle perdite dinamiche puograve essere considerato come funzione
delle proprietagrave del materiale e delle relative tipologie di misurazione Si
sottolinea che la conseguenza fondamentale della presenza di correnti parassite
di elevato ordine di grandezza egrave laumento dellenergia dissipata per ogni ciclo
che si nota dallallargamento del ciclo di isteresi Tale aumento darea egrave anche in
relazione con laumento della frequenza di magnetizzazione (Fig 24)
39
W= 16b2 [minusaa24b J p]
3
22 COMPORTAMENTO
DELLISTERESI IN
FUNZIONE DELLA
TEMPERATURA
Listeresi egrave un fenomeno i cui
risultati dipendono dalla
temperatura Un metodo analitico
per descrivere linfluenza della temperatura sullisteresi egrave il modello modificato
di Jiles-Atherton (JA) Per comprendere appieno questa variante egrave innanzitutto
necessario esaminare brevemente il modello originale
Il modello classico di JA prevede che la magnetizzazione M sia formata da due
componenti una reversibile Mrev e una irreversibile Mirr La relazione che lega
questi due contributi egrave data da Mrev = c(Man-Mirr) La magnetizzazione
anisteretica Man egrave data dalla funzione di Langevin
con
dove He = H + αM egrave il campo effettivo avvertito dai domini magnetici Le
costanti MS a α c k sono i parametri del modello che possono essere ottenuti
dalla misura dei cicli di isteresi δ egrave un parametro direzionale che assume valore
40
M an=M s[cothH e
aminus a
H e]
dM irr
dH e=
M anminusM irr
k
Fig 24 Allargamento dei cicli di isteresi allaumentare della frequenza in una lega magnetica soft
+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti
si arriva allequazione principale del modello originale di JA
Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M
rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave
nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello
inverso la cui equazione principale egrave
dove
e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico
Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza
dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli
effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS
(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione
della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono
essere espressi in funzione degli altri parametri
Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima
volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come
elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei
grafici fanno riferimento a questo esperimento
41
dMdH
=1minuscdM irr dH ecdM an dH e
1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e
dMdB
=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e
101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e
dM irr
dBe=
M anminusM irr
0 k
La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere
espressa come
dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la
temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale
Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla
coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento
esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore
di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo
lequazione
dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di
pinning ed egrave approssimativamente β12
La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve
essere descritto dalla relazione
dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave
dei domini ed egrave approssimativamente β12
Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i
domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come
42
M s T =M s01minusTT c
1
k T =k 0eminus 12
TT C
a T =a 0 eminus 13
TT C
= 3aM s
minus 1an
Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al
domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive
formule in prima approssimazione si ottiene
dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e
per i materiali isotropici egrave espresso come
Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione
MS ed a si ottiene
dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la
43
T =3a 0M s0
eminus 13
TT C
1minus TT C
1
T =0eminus 21
TT C 1minus T
T Cminus1
c= 3aM S
in
c T =3a 0M s0
in e
minus 12
TT C
1minus TT C
1
c T =c 0eminus 21
TTC 1minus T
T Cminus1
curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per
identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25
Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co
La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza
di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad
uno magneticamente disordinato (paramagnetico)
Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in
funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)
Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata
44
MS
MS
La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura
e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig
26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura
indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)
Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata
La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della
temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici
in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)
Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata
Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di
45
ka
reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane
costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)
Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling
Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso
misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura
di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un
magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e
confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha
un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della
magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210
mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura
Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura
46
cHC
La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave
evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in
linea con i valori misurati
Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione
I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono
confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente
man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto
quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e
non supera mai lordine di 10-3
Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature
47
Man
Ha
23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI
CONDUTTORI METALLICI
La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a
permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa
egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una
grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della
natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura
La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data
dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre
definibile anche dalla relazione
=minus1= lRA
dove
ndash l egrave la lunghezza del conduttore
ndash R egrave la resistenza del conduttore
ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore
ndash ρ egrave la resistivitagrave
Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e
tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale
=N e2
m
dove
ndash N egrave il numero di elettroni
ndash e egrave la carica dellelettrone
ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo
ndash m egrave la massa dellelettrone
Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che
48
tuttavia si rivela esplicitando il termine τ
=l m3TkB
dove
ndash T egrave la temperatura assoluta
ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti
ndash m egrave la massa dellelettrone
ndash kB egrave la costante di Boltzmann
Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta
come segue
dove
ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo
ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave
La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione
decrescente della temperatura La funzione egrave
= 201
1 t
dove
ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC
ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si
verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC
e per ogni ohm metro della resistivitagrave
49
ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si
trova il materiale espressa in gradi Celsius
50
Se lintegrazione dellultima equazione trovata viene effettuata su un intero
ciclo il bilancio energetico ottenuto egrave
la quantitagrave W egrave lenergia persa per unitagrave di volume Il termine ∮0 H dH ha
media zero nellarco di un ciclo Eliminando questo termine si ottiene che larea
del ciclo B(H) egrave uguale allarea del ciclo J(H) Si notino nei cicli rappresentati
nella Fig 22 il punto di rimanenza dove JrequivBr e la distinzione che esiste tra i
campi coercitivi HcB e HcJ dove il secondo dei due egrave il valore del campo per cui
il materiale egrave smagnetizzato (in effetti questo stato di smagnetizzazione non
corrisponde a quello indicato precedentemente)
La fenomenologia dellisteresi magnetica egrave estremamente complessa ma dotata
di una certa regolaritagrave matematica ed ha incentivato lo sviluppo di diversi
modelli matematici il primo dei quali fu quello di Preisach Limitandosi a
testare i materiali per bassi valori di campo egrave possibile descrivere la curva
iniziale e i cicli di isteresi simmetrici attraverso una funzione ben definita la
legge di Rayleigh Un esempio di cicli nella regione di Rayleigh egrave presentato
37
W=∮0 H dH∮H dJ=∮ H dJ=∮H dB
Fig 22 Esempi di cicli di isteresi in materiali soft e hard Nei lamierini Fe-Si soft non cegrave una differenza sensibile tra le curve B(H) e J(H) per magnetizzazioni e campi di interesse tecnico La differenza egrave invece evidente negli hard Questo porta a due differenti definizioni di campo coercitivo HcB egrave il campo necessario per portare linduzione a zero partendo dallo stato di saturazione mentre HcJ egrave il campo necessario per ridurre a zero la polarizzazione J Si ha sempre che HcJgtHcB
nella Fig 23 dove si osserva che
la polarizzazione del materiale
dipende dal quadrato del campo
magnetico In particolare
qualsiasi ciclo di isteresi
determinato fra i valori di picco
del campo plusmnHp ha rami ascendenti
e discendenti descritti
dallequazione
dove a e b sono chiamate rispettivamente costanti reversibile e irreversibile di
Rayleigh I punti estremi dei cicli (Hp Jp) descrivono la curva di
magnetizzazione iniziale (chiamata anche curva di magnetizzazione normale)
secondo la legge
Nel limite di campi molto bassi la curva di magnetizzazione diventa lineare
(come risulta evidente dalla figura 23) con la costante a proporzionale alla
suscettibilitagrave iniziale χi
Lintegrazione dellarea del ciclo fornisce la perdita per isteresi per unitagrave di
volume
38
J p=a H pb H p2
a= limH prArr0
J p
H p=0i
W=43
b H p3
Fig 23 Cicli di isteresi sperimentali nella regione di Rayleigh Lenergia dissipata per unitagrave di volume durante un ciclo completo egrave data dallequazione W=43bHp
3 dove b egrave un coefficiente dipendente alla struttura e Hp egrave il valore di picco del campo
J H =abH pH∓b2H p
2minusH 2
in cui come ci si aspettava il coefficiente reversibile a egrave sparito Allo stesso
modo possiamo esprimere la perdita di energia per un dato valore di picco
della polarizzazione Jp nel dominio di Rayleigh come
Grazie alla teoria di Neacuteel si puograve stabilire che le quantitagrave aHc e bHca dove Hc egrave
il campo coercitivo sono indipendenti dalla struttura del materiale Per arrivare
a questa conclusione si egrave ipotizzato che le equazioni che descrivono le
interazioni tra pareti di Bloch e difetti di pinning fossero dotate di invarianza di
scala (ossia valide per qualsiasi dimensione del sistema che deve comunque
mantenere una proporzionalitagrave tra le dimensioni) La discussione ha finora
evidenziato delle caratteristiche riguardanti il cosiddetto comportamento
magnetico ldquoquasi-staticordquo del materiale che si osserva quando la velocitagrave di
variazione della magnetizzazione egrave cosigrave limitato che gli effetti visco-dinamici
non interferiscono con il processo di magnetizzazione Quando questa
condizione non sussiste piugrave si ha una dipendenza degli effetti isteretici dalla
velocitagrave di variazione Nei materiali metallici essi sono dovuti quasi
esclusivamente alle correnti parassite la cui circolazione nel campione ha un
andamento dipendente oltre che dal tasso di magnetizzazione anche dalla
resistivitagrave delloggetto dalla sua geometria e dalla struttura dei domini Il
comportamento delle perdite dinamiche puograve essere considerato come funzione
delle proprietagrave del materiale e delle relative tipologie di misurazione Si
sottolinea che la conseguenza fondamentale della presenza di correnti parassite
di elevato ordine di grandezza egrave laumento dellenergia dissipata per ogni ciclo
che si nota dallallargamento del ciclo di isteresi Tale aumento darea egrave anche in
relazione con laumento della frequenza di magnetizzazione (Fig 24)
39
W= 16b2 [minusaa24b J p]
3
22 COMPORTAMENTO
DELLISTERESI IN
FUNZIONE DELLA
TEMPERATURA
Listeresi egrave un fenomeno i cui
risultati dipendono dalla
temperatura Un metodo analitico
per descrivere linfluenza della temperatura sullisteresi egrave il modello modificato
di Jiles-Atherton (JA) Per comprendere appieno questa variante egrave innanzitutto
necessario esaminare brevemente il modello originale
Il modello classico di JA prevede che la magnetizzazione M sia formata da due
componenti una reversibile Mrev e una irreversibile Mirr La relazione che lega
questi due contributi egrave data da Mrev = c(Man-Mirr) La magnetizzazione
anisteretica Man egrave data dalla funzione di Langevin
con
dove He = H + αM egrave il campo effettivo avvertito dai domini magnetici Le
costanti MS a α c k sono i parametri del modello che possono essere ottenuti
dalla misura dei cicli di isteresi δ egrave un parametro direzionale che assume valore
40
M an=M s[cothH e
aminus a
H e]
dM irr
dH e=
M anminusM irr
k
Fig 24 Allargamento dei cicli di isteresi allaumentare della frequenza in una lega magnetica soft
+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti
si arriva allequazione principale del modello originale di JA
Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M
rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave
nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello
inverso la cui equazione principale egrave
dove
e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico
Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza
dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli
effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS
(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione
della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono
essere espressi in funzione degli altri parametri
Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima
volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come
elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei
grafici fanno riferimento a questo esperimento
41
dMdH
=1minuscdM irr dH ecdM an dH e
1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e
dMdB
=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e
101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e
dM irr
dBe=
M anminusM irr
0 k
La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere
espressa come
dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la
temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale
Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla
coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento
esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore
di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo
lequazione
dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di
pinning ed egrave approssimativamente β12
La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve
essere descritto dalla relazione
dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave
dei domini ed egrave approssimativamente β12
Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i
domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come
42
M s T =M s01minusTT c
1
k T =k 0eminus 12
TT C
a T =a 0 eminus 13
TT C
= 3aM s
minus 1an
Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al
domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive
formule in prima approssimazione si ottiene
dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e
per i materiali isotropici egrave espresso come
Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione
MS ed a si ottiene
dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la
43
T =3a 0M s0
eminus 13
TT C
1minus TT C
1
T =0eminus 21
TT C 1minus T
T Cminus1
c= 3aM S
in
c T =3a 0M s0
in e
minus 12
TT C
1minus TT C
1
c T =c 0eminus 21
TTC 1minus T
T Cminus1
curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per
identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25
Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co
La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza
di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad
uno magneticamente disordinato (paramagnetico)
Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in
funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)
Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata
44
MS
MS
La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura
e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig
26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura
indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)
Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata
La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della
temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici
in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)
Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata
Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di
45
ka
reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane
costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)
Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling
Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso
misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura
di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un
magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e
confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha
un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della
magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210
mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura
Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura
46
cHC
La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave
evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in
linea con i valori misurati
Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione
I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono
confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente
man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto
quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e
non supera mai lordine di 10-3
Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature
47
Man
Ha
23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI
CONDUTTORI METALLICI
La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a
permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa
egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una
grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della
natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura
La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data
dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre
definibile anche dalla relazione
=minus1= lRA
dove
ndash l egrave la lunghezza del conduttore
ndash R egrave la resistenza del conduttore
ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore
ndash ρ egrave la resistivitagrave
Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e
tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale
=N e2
m
dove
ndash N egrave il numero di elettroni
ndash e egrave la carica dellelettrone
ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo
ndash m egrave la massa dellelettrone
Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che
48
tuttavia si rivela esplicitando il termine τ
=l m3TkB
dove
ndash T egrave la temperatura assoluta
ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti
ndash m egrave la massa dellelettrone
ndash kB egrave la costante di Boltzmann
Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta
come segue
dove
ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo
ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave
La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione
decrescente della temperatura La funzione egrave
= 201
1 t
dove
ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC
ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si
verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC
e per ogni ohm metro della resistivitagrave
49
ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si
trova il materiale espressa in gradi Celsius
50
nella Fig 23 dove si osserva che
la polarizzazione del materiale
dipende dal quadrato del campo
magnetico In particolare
qualsiasi ciclo di isteresi
determinato fra i valori di picco
del campo plusmnHp ha rami ascendenti
e discendenti descritti
dallequazione
dove a e b sono chiamate rispettivamente costanti reversibile e irreversibile di
Rayleigh I punti estremi dei cicli (Hp Jp) descrivono la curva di
magnetizzazione iniziale (chiamata anche curva di magnetizzazione normale)
secondo la legge
Nel limite di campi molto bassi la curva di magnetizzazione diventa lineare
(come risulta evidente dalla figura 23) con la costante a proporzionale alla
suscettibilitagrave iniziale χi
Lintegrazione dellarea del ciclo fornisce la perdita per isteresi per unitagrave di
volume
38
J p=a H pb H p2
a= limH prArr0
J p
H p=0i
W=43
b H p3
Fig 23 Cicli di isteresi sperimentali nella regione di Rayleigh Lenergia dissipata per unitagrave di volume durante un ciclo completo egrave data dallequazione W=43bHp
3 dove b egrave un coefficiente dipendente alla struttura e Hp egrave il valore di picco del campo
J H =abH pH∓b2H p
2minusH 2
in cui come ci si aspettava il coefficiente reversibile a egrave sparito Allo stesso
modo possiamo esprimere la perdita di energia per un dato valore di picco
della polarizzazione Jp nel dominio di Rayleigh come
Grazie alla teoria di Neacuteel si puograve stabilire che le quantitagrave aHc e bHca dove Hc egrave
il campo coercitivo sono indipendenti dalla struttura del materiale Per arrivare
a questa conclusione si egrave ipotizzato che le equazioni che descrivono le
interazioni tra pareti di Bloch e difetti di pinning fossero dotate di invarianza di
scala (ossia valide per qualsiasi dimensione del sistema che deve comunque
mantenere una proporzionalitagrave tra le dimensioni) La discussione ha finora
evidenziato delle caratteristiche riguardanti il cosiddetto comportamento
magnetico ldquoquasi-staticordquo del materiale che si osserva quando la velocitagrave di
variazione della magnetizzazione egrave cosigrave limitato che gli effetti visco-dinamici
non interferiscono con il processo di magnetizzazione Quando questa
condizione non sussiste piugrave si ha una dipendenza degli effetti isteretici dalla
velocitagrave di variazione Nei materiali metallici essi sono dovuti quasi
esclusivamente alle correnti parassite la cui circolazione nel campione ha un
andamento dipendente oltre che dal tasso di magnetizzazione anche dalla
resistivitagrave delloggetto dalla sua geometria e dalla struttura dei domini Il
comportamento delle perdite dinamiche puograve essere considerato come funzione
delle proprietagrave del materiale e delle relative tipologie di misurazione Si
sottolinea che la conseguenza fondamentale della presenza di correnti parassite
di elevato ordine di grandezza egrave laumento dellenergia dissipata per ogni ciclo
che si nota dallallargamento del ciclo di isteresi Tale aumento darea egrave anche in
relazione con laumento della frequenza di magnetizzazione (Fig 24)
39
W= 16b2 [minusaa24b J p]
3
22 COMPORTAMENTO
DELLISTERESI IN
FUNZIONE DELLA
TEMPERATURA
Listeresi egrave un fenomeno i cui
risultati dipendono dalla
temperatura Un metodo analitico
per descrivere linfluenza della temperatura sullisteresi egrave il modello modificato
di Jiles-Atherton (JA) Per comprendere appieno questa variante egrave innanzitutto
necessario esaminare brevemente il modello originale
Il modello classico di JA prevede che la magnetizzazione M sia formata da due
componenti una reversibile Mrev e una irreversibile Mirr La relazione che lega
questi due contributi egrave data da Mrev = c(Man-Mirr) La magnetizzazione
anisteretica Man egrave data dalla funzione di Langevin
con
dove He = H + αM egrave il campo effettivo avvertito dai domini magnetici Le
costanti MS a α c k sono i parametri del modello che possono essere ottenuti
dalla misura dei cicli di isteresi δ egrave un parametro direzionale che assume valore
40
M an=M s[cothH e
aminus a
H e]
dM irr
dH e=
M anminusM irr
k
Fig 24 Allargamento dei cicli di isteresi allaumentare della frequenza in una lega magnetica soft
+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti
si arriva allequazione principale del modello originale di JA
Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M
rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave
nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello
inverso la cui equazione principale egrave
dove
e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico
Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza
dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli
effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS
(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione
della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono
essere espressi in funzione degli altri parametri
Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima
volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come
elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei
grafici fanno riferimento a questo esperimento
41
dMdH
=1minuscdM irr dH ecdM an dH e
1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e
dMdB
=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e
101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e
dM irr
dBe=
M anminusM irr
0 k
La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere
espressa come
dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la
temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale
Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla
coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento
esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore
di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo
lequazione
dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di
pinning ed egrave approssimativamente β12
La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve
essere descritto dalla relazione
dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave
dei domini ed egrave approssimativamente β12
Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i
domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come
42
M s T =M s01minusTT c
1
k T =k 0eminus 12
TT C
a T =a 0 eminus 13
TT C
= 3aM s
minus 1an
Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al
domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive
formule in prima approssimazione si ottiene
dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e
per i materiali isotropici egrave espresso come
Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione
MS ed a si ottiene
dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la
43
T =3a 0M s0
eminus 13
TT C
1minus TT C
1
T =0eminus 21
TT C 1minus T
T Cminus1
c= 3aM S
in
c T =3a 0M s0
in e
minus 12
TT C
1minus TT C
1
c T =c 0eminus 21
TTC 1minus T
T Cminus1
curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per
identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25
Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co
La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza
di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad
uno magneticamente disordinato (paramagnetico)
Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in
funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)
Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata
44
MS
MS
La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura
e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig
26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura
indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)
Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata
La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della
temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici
in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)
Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata
Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di
45
ka
reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane
costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)
Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling
Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso
misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura
di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un
magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e
confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha
un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della
magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210
mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura
Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura
46
cHC
La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave
evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in
linea con i valori misurati
Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione
I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono
confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente
man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto
quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e
non supera mai lordine di 10-3
Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature
47
Man
Ha
23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI
CONDUTTORI METALLICI
La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a
permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa
egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una
grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della
natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura
La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data
dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre
definibile anche dalla relazione
=minus1= lRA
dove
ndash l egrave la lunghezza del conduttore
ndash R egrave la resistenza del conduttore
ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore
ndash ρ egrave la resistivitagrave
Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e
tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale
=N e2
m
dove
ndash N egrave il numero di elettroni
ndash e egrave la carica dellelettrone
ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo
ndash m egrave la massa dellelettrone
Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che
48
tuttavia si rivela esplicitando il termine τ
=l m3TkB
dove
ndash T egrave la temperatura assoluta
ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti
ndash m egrave la massa dellelettrone
ndash kB egrave la costante di Boltzmann
Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta
come segue
dove
ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo
ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave
La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione
decrescente della temperatura La funzione egrave
= 201
1 t
dove
ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC
ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si
verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC
e per ogni ohm metro della resistivitagrave
49
ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si
trova il materiale espressa in gradi Celsius
50
in cui come ci si aspettava il coefficiente reversibile a egrave sparito Allo stesso
modo possiamo esprimere la perdita di energia per un dato valore di picco
della polarizzazione Jp nel dominio di Rayleigh come
Grazie alla teoria di Neacuteel si puograve stabilire che le quantitagrave aHc e bHca dove Hc egrave
il campo coercitivo sono indipendenti dalla struttura del materiale Per arrivare
a questa conclusione si egrave ipotizzato che le equazioni che descrivono le
interazioni tra pareti di Bloch e difetti di pinning fossero dotate di invarianza di
scala (ossia valide per qualsiasi dimensione del sistema che deve comunque
mantenere una proporzionalitagrave tra le dimensioni) La discussione ha finora
evidenziato delle caratteristiche riguardanti il cosiddetto comportamento
magnetico ldquoquasi-staticordquo del materiale che si osserva quando la velocitagrave di
variazione della magnetizzazione egrave cosigrave limitato che gli effetti visco-dinamici
non interferiscono con il processo di magnetizzazione Quando questa
condizione non sussiste piugrave si ha una dipendenza degli effetti isteretici dalla
velocitagrave di variazione Nei materiali metallici essi sono dovuti quasi
esclusivamente alle correnti parassite la cui circolazione nel campione ha un
andamento dipendente oltre che dal tasso di magnetizzazione anche dalla
resistivitagrave delloggetto dalla sua geometria e dalla struttura dei domini Il
comportamento delle perdite dinamiche puograve essere considerato come funzione
delle proprietagrave del materiale e delle relative tipologie di misurazione Si
sottolinea che la conseguenza fondamentale della presenza di correnti parassite
di elevato ordine di grandezza egrave laumento dellenergia dissipata per ogni ciclo
che si nota dallallargamento del ciclo di isteresi Tale aumento darea egrave anche in
relazione con laumento della frequenza di magnetizzazione (Fig 24)
39
W= 16b2 [minusaa24b J p]
3
22 COMPORTAMENTO
DELLISTERESI IN
FUNZIONE DELLA
TEMPERATURA
Listeresi egrave un fenomeno i cui
risultati dipendono dalla
temperatura Un metodo analitico
per descrivere linfluenza della temperatura sullisteresi egrave il modello modificato
di Jiles-Atherton (JA) Per comprendere appieno questa variante egrave innanzitutto
necessario esaminare brevemente il modello originale
Il modello classico di JA prevede che la magnetizzazione M sia formata da due
componenti una reversibile Mrev e una irreversibile Mirr La relazione che lega
questi due contributi egrave data da Mrev = c(Man-Mirr) La magnetizzazione
anisteretica Man egrave data dalla funzione di Langevin
con
dove He = H + αM egrave il campo effettivo avvertito dai domini magnetici Le
costanti MS a α c k sono i parametri del modello che possono essere ottenuti
dalla misura dei cicli di isteresi δ egrave un parametro direzionale che assume valore
40
M an=M s[cothH e
aminus a
H e]
dM irr
dH e=
M anminusM irr
k
Fig 24 Allargamento dei cicli di isteresi allaumentare della frequenza in una lega magnetica soft
+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti
si arriva allequazione principale del modello originale di JA
Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M
rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave
nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello
inverso la cui equazione principale egrave
dove
e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico
Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza
dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli
effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS
(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione
della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono
essere espressi in funzione degli altri parametri
Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima
volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come
elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei
grafici fanno riferimento a questo esperimento
41
dMdH
=1minuscdM irr dH ecdM an dH e
1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e
dMdB
=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e
101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e
dM irr
dBe=
M anminusM irr
0 k
La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere
espressa come
dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la
temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale
Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla
coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento
esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore
di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo
lequazione
dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di
pinning ed egrave approssimativamente β12
La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve
essere descritto dalla relazione
dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave
dei domini ed egrave approssimativamente β12
Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i
domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come
42
M s T =M s01minusTT c
1
k T =k 0eminus 12
TT C
a T =a 0 eminus 13
TT C
= 3aM s
minus 1an
Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al
domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive
formule in prima approssimazione si ottiene
dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e
per i materiali isotropici egrave espresso come
Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione
MS ed a si ottiene
dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la
43
T =3a 0M s0
eminus 13
TT C
1minus TT C
1
T =0eminus 21
TT C 1minus T
T Cminus1
c= 3aM S
in
c T =3a 0M s0
in e
minus 12
TT C
1minus TT C
1
c T =c 0eminus 21
TTC 1minus T
T Cminus1
curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per
identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25
Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co
La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza
di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad
uno magneticamente disordinato (paramagnetico)
Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in
funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)
Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata
44
MS
MS
La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura
e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig
26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura
indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)
Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata
La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della
temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici
in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)
Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata
Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di
45
ka
reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane
costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)
Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling
Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso
misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura
di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un
magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e
confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha
un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della
magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210
mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura
Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura
46
cHC
La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave
evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in
linea con i valori misurati
Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione
I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono
confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente
man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto
quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e
non supera mai lordine di 10-3
Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature
47
Man
Ha
23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI
CONDUTTORI METALLICI
La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a
permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa
egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una
grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della
natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura
La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data
dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre
definibile anche dalla relazione
=minus1= lRA
dove
ndash l egrave la lunghezza del conduttore
ndash R egrave la resistenza del conduttore
ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore
ndash ρ egrave la resistivitagrave
Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e
tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale
=N e2
m
dove
ndash N egrave il numero di elettroni
ndash e egrave la carica dellelettrone
ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo
ndash m egrave la massa dellelettrone
Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che
48
tuttavia si rivela esplicitando il termine τ
=l m3TkB
dove
ndash T egrave la temperatura assoluta
ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti
ndash m egrave la massa dellelettrone
ndash kB egrave la costante di Boltzmann
Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta
come segue
dove
ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo
ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave
La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione
decrescente della temperatura La funzione egrave
= 201
1 t
dove
ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC
ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si
verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC
e per ogni ohm metro della resistivitagrave
49
ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si
trova il materiale espressa in gradi Celsius
50
22 COMPORTAMENTO
DELLISTERESI IN
FUNZIONE DELLA
TEMPERATURA
Listeresi egrave un fenomeno i cui
risultati dipendono dalla
temperatura Un metodo analitico
per descrivere linfluenza della temperatura sullisteresi egrave il modello modificato
di Jiles-Atherton (JA) Per comprendere appieno questa variante egrave innanzitutto
necessario esaminare brevemente il modello originale
Il modello classico di JA prevede che la magnetizzazione M sia formata da due
componenti una reversibile Mrev e una irreversibile Mirr La relazione che lega
questi due contributi egrave data da Mrev = c(Man-Mirr) La magnetizzazione
anisteretica Man egrave data dalla funzione di Langevin
con
dove He = H + αM egrave il campo effettivo avvertito dai domini magnetici Le
costanti MS a α c k sono i parametri del modello che possono essere ottenuti
dalla misura dei cicli di isteresi δ egrave un parametro direzionale che assume valore
40
M an=M s[cothH e
aminus a
H e]
dM irr
dH e=
M anminusM irr
k
Fig 24 Allargamento dei cicli di isteresi allaumentare della frequenza in una lega magnetica soft
+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti
si arriva allequazione principale del modello originale di JA
Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M
rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave
nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello
inverso la cui equazione principale egrave
dove
e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico
Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza
dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli
effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS
(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione
della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono
essere espressi in funzione degli altri parametri
Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima
volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come
elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei
grafici fanno riferimento a questo esperimento
41
dMdH
=1minuscdM irr dH ecdM an dH e
1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e
dMdB
=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e
101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e
dM irr
dBe=
M anminusM irr
0 k
La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere
espressa come
dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la
temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale
Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla
coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento
esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore
di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo
lequazione
dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di
pinning ed egrave approssimativamente β12
La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve
essere descritto dalla relazione
dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave
dei domini ed egrave approssimativamente β12
Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i
domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come
42
M s T =M s01minusTT c
1
k T =k 0eminus 12
TT C
a T =a 0 eminus 13
TT C
= 3aM s
minus 1an
Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al
domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive
formule in prima approssimazione si ottiene
dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e
per i materiali isotropici egrave espresso come
Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione
MS ed a si ottiene
dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la
43
T =3a 0M s0
eminus 13
TT C
1minus TT C
1
T =0eminus 21
TT C 1minus T
T Cminus1
c= 3aM S
in
c T =3a 0M s0
in e
minus 12
TT C
1minus TT C
1
c T =c 0eminus 21
TTC 1minus T
T Cminus1
curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per
identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25
Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co
La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza
di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad
uno magneticamente disordinato (paramagnetico)
Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in
funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)
Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata
44
MS
MS
La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura
e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig
26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura
indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)
Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata
La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della
temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici
in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)
Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata
Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di
45
ka
reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane
costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)
Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling
Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso
misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura
di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un
magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e
confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha
un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della
magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210
mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura
Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura
46
cHC
La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave
evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in
linea con i valori misurati
Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione
I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono
confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente
man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto
quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e
non supera mai lordine di 10-3
Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature
47
Man
Ha
23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI
CONDUTTORI METALLICI
La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a
permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa
egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una
grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della
natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura
La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data
dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre
definibile anche dalla relazione
=minus1= lRA
dove
ndash l egrave la lunghezza del conduttore
ndash R egrave la resistenza del conduttore
ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore
ndash ρ egrave la resistivitagrave
Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e
tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale
=N e2
m
dove
ndash N egrave il numero di elettroni
ndash e egrave la carica dellelettrone
ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo
ndash m egrave la massa dellelettrone
Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che
48
tuttavia si rivela esplicitando il termine τ
=l m3TkB
dove
ndash T egrave la temperatura assoluta
ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti
ndash m egrave la massa dellelettrone
ndash kB egrave la costante di Boltzmann
Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta
come segue
dove
ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo
ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave
La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione
decrescente della temperatura La funzione egrave
= 201
1 t
dove
ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC
ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si
verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC
e per ogni ohm metro della resistivitagrave
49
ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si
trova il materiale espressa in gradi Celsius
50
+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti
si arriva allequazione principale del modello originale di JA
Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M
rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave
nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello
inverso la cui equazione principale egrave
dove
e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico
Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza
dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli
effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS
(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione
della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono
essere espressi in funzione degli altri parametri
Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima
volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come
elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei
grafici fanno riferimento a questo esperimento
41
dMdH
=1minuscdM irr dH ecdM an dH e
1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e
dMdB
=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e
101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e
dM irr
dBe=
M anminusM irr
0 k
La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere
espressa come
dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la
temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale
Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla
coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento
esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore
di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo
lequazione
dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di
pinning ed egrave approssimativamente β12
La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve
essere descritto dalla relazione
dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave
dei domini ed egrave approssimativamente β12
Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i
domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come
42
M s T =M s01minusTT c
1
k T =k 0eminus 12
TT C
a T =a 0 eminus 13
TT C
= 3aM s
minus 1an
Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al
domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive
formule in prima approssimazione si ottiene
dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e
per i materiali isotropici egrave espresso come
Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione
MS ed a si ottiene
dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la
43
T =3a 0M s0
eminus 13
TT C
1minus TT C
1
T =0eminus 21
TT C 1minus T
T Cminus1
c= 3aM S
in
c T =3a 0M s0
in e
minus 12
TT C
1minus TT C
1
c T =c 0eminus 21
TTC 1minus T
T Cminus1
curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per
identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25
Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co
La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza
di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad
uno magneticamente disordinato (paramagnetico)
Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in
funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)
Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata
44
MS
MS
La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura
e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig
26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura
indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)
Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata
La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della
temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici
in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)
Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata
Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di
45
ka
reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane
costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)
Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling
Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso
misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura
di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un
magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e
confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha
un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della
magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210
mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura
Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura
46
cHC
La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave
evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in
linea con i valori misurati
Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione
I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono
confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente
man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto
quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e
non supera mai lordine di 10-3
Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature
47
Man
Ha
23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI
CONDUTTORI METALLICI
La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a
permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa
egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una
grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della
natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura
La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data
dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre
definibile anche dalla relazione
=minus1= lRA
dove
ndash l egrave la lunghezza del conduttore
ndash R egrave la resistenza del conduttore
ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore
ndash ρ egrave la resistivitagrave
Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e
tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale
=N e2
m
dove
ndash N egrave il numero di elettroni
ndash e egrave la carica dellelettrone
ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo
ndash m egrave la massa dellelettrone
Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che
48
tuttavia si rivela esplicitando il termine τ
=l m3TkB
dove
ndash T egrave la temperatura assoluta
ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti
ndash m egrave la massa dellelettrone
ndash kB egrave la costante di Boltzmann
Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta
come segue
dove
ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo
ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave
La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione
decrescente della temperatura La funzione egrave
= 201
1 t
dove
ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC
ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si
verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC
e per ogni ohm metro della resistivitagrave
49
ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si
trova il materiale espressa in gradi Celsius
50
La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere
espressa come
dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la
temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale
Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla
coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento
esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore
di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo
lequazione
dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di
pinning ed egrave approssimativamente β12
La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve
essere descritto dalla relazione
dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave
dei domini ed egrave approssimativamente β12
Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i
domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come
42
M s T =M s01minusTT c
1
k T =k 0eminus 12
TT C
a T =a 0 eminus 13
TT C
= 3aM s
minus 1an
Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al
domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive
formule in prima approssimazione si ottiene
dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e
per i materiali isotropici egrave espresso come
Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione
MS ed a si ottiene
dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la
43
T =3a 0M s0
eminus 13
TT C
1minus TT C
1
T =0eminus 21
TT C 1minus T
T Cminus1
c= 3aM S
in
c T =3a 0M s0
in e
minus 12
TT C
1minus TT C
1
c T =c 0eminus 21
TTC 1minus T
T Cminus1
curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per
identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25
Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co
La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza
di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad
uno magneticamente disordinato (paramagnetico)
Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in
funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)
Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata
44
MS
MS
La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura
e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig
26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura
indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)
Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata
La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della
temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici
in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)
Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata
Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di
45
ka
reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane
costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)
Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling
Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso
misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura
di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un
magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e
confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha
un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della
magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210
mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura
Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura
46
cHC
La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave
evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in
linea con i valori misurati
Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione
I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono
confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente
man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto
quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e
non supera mai lordine di 10-3
Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature
47
Man
Ha
23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI
CONDUTTORI METALLICI
La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a
permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa
egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una
grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della
natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura
La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data
dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre
definibile anche dalla relazione
=minus1= lRA
dove
ndash l egrave la lunghezza del conduttore
ndash R egrave la resistenza del conduttore
ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore
ndash ρ egrave la resistivitagrave
Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e
tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale
=N e2
m
dove
ndash N egrave il numero di elettroni
ndash e egrave la carica dellelettrone
ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo
ndash m egrave la massa dellelettrone
Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che
48
tuttavia si rivela esplicitando il termine τ
=l m3TkB
dove
ndash T egrave la temperatura assoluta
ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti
ndash m egrave la massa dellelettrone
ndash kB egrave la costante di Boltzmann
Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta
come segue
dove
ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo
ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave
La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione
decrescente della temperatura La funzione egrave
= 201
1 t
dove
ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC
ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si
verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC
e per ogni ohm metro della resistivitagrave
49
ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si
trova il materiale espressa in gradi Celsius
50
Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al
domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive
formule in prima approssimazione si ottiene
dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e
per i materiali isotropici egrave espresso come
Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione
MS ed a si ottiene
dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico
Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la
43
T =3a 0M s0
eminus 13
TT C
1minus TT C
1
T =0eminus 21
TT C 1minus T
T Cminus1
c= 3aM S
in
c T =3a 0M s0
in e
minus 12
TT C
1minus TT C
1
c T =c 0eminus 21
TTC 1minus T
T Cminus1
curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per
identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25
Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co
La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza
di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad
uno magneticamente disordinato (paramagnetico)
Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in
funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)
Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata
44
MS
MS
La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura
e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig
26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura
indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)
Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata
La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della
temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici
in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)
Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata
Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di
45
ka
reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane
costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)
Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling
Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso
misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura
di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un
magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e
confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha
un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della
magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210
mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura
Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura
46
cHC
La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave
evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in
linea con i valori misurati
Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione
I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono
confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente
man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto
quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e
non supera mai lordine di 10-3
Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature
47
Man
Ha
23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI
CONDUTTORI METALLICI
La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a
permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa
egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una
grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della
natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura
La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data
dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre
definibile anche dalla relazione
=minus1= lRA
dove
ndash l egrave la lunghezza del conduttore
ndash R egrave la resistenza del conduttore
ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore
ndash ρ egrave la resistivitagrave
Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e
tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale
=N e2
m
dove
ndash N egrave il numero di elettroni
ndash e egrave la carica dellelettrone
ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo
ndash m egrave la massa dellelettrone
Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che
48
tuttavia si rivela esplicitando il termine τ
=l m3TkB
dove
ndash T egrave la temperatura assoluta
ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti
ndash m egrave la massa dellelettrone
ndash kB egrave la costante di Boltzmann
Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta
come segue
dove
ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo
ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave
La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione
decrescente della temperatura La funzione egrave
= 201
1 t
dove
ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC
ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si
verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC
e per ogni ohm metro della resistivitagrave
49
ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si
trova il materiale espressa in gradi Celsius
50
curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per
identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25
Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co
La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza
di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad
uno magneticamente disordinato (paramagnetico)
Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in
funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)
Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata
44
MS
MS
La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura
e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig
26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura
indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)
Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata
La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della
temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici
in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)
Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata
Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di
45
ka
reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane
costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)
Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling
Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso
misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura
di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un
magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e
confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha
un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della
magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210
mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura
Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura
46
cHC
La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave
evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in
linea con i valori misurati
Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione
I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono
confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente
man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto
quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e
non supera mai lordine di 10-3
Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature
47
Man
Ha
23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI
CONDUTTORI METALLICI
La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a
permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa
egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una
grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della
natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura
La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data
dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre
definibile anche dalla relazione
=minus1= lRA
dove
ndash l egrave la lunghezza del conduttore
ndash R egrave la resistenza del conduttore
ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore
ndash ρ egrave la resistivitagrave
Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e
tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale
=N e2
m
dove
ndash N egrave il numero di elettroni
ndash e egrave la carica dellelettrone
ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo
ndash m egrave la massa dellelettrone
Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che
48
tuttavia si rivela esplicitando il termine τ
=l m3TkB
dove
ndash T egrave la temperatura assoluta
ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti
ndash m egrave la massa dellelettrone
ndash kB egrave la costante di Boltzmann
Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta
come segue
dove
ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo
ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave
La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione
decrescente della temperatura La funzione egrave
= 201
1 t
dove
ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC
ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si
verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC
e per ogni ohm metro della resistivitagrave
49
ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si
trova il materiale espressa in gradi Celsius
50
La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura
e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig
26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura
indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)
Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata
La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della
temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici
in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)
Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata
Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di
45
ka
reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane
costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)
Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling
Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso
misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura
di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un
magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e
confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha
un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della
magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210
mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura
Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura
46
cHC
La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave
evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in
linea con i valori misurati
Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione
I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono
confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente
man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto
quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e
non supera mai lordine di 10-3
Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature
47
Man
Ha
23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI
CONDUTTORI METALLICI
La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a
permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa
egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una
grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della
natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura
La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data
dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre
definibile anche dalla relazione
=minus1= lRA
dove
ndash l egrave la lunghezza del conduttore
ndash R egrave la resistenza del conduttore
ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore
ndash ρ egrave la resistivitagrave
Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e
tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale
=N e2
m
dove
ndash N egrave il numero di elettroni
ndash e egrave la carica dellelettrone
ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo
ndash m egrave la massa dellelettrone
Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che
48
tuttavia si rivela esplicitando il termine τ
=l m3TkB
dove
ndash T egrave la temperatura assoluta
ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti
ndash m egrave la massa dellelettrone
ndash kB egrave la costante di Boltzmann
Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta
come segue
dove
ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo
ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave
La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione
decrescente della temperatura La funzione egrave
= 201
1 t
dove
ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC
ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si
verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC
e per ogni ohm metro della resistivitagrave
49
ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si
trova il materiale espressa in gradi Celsius
50
reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane
costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)
Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling
Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso
misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura
di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un
magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e
confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha
un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della
magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210
mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura
Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura
46
cHC
La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave
evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in
linea con i valori misurati
Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione
I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono
confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente
man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto
quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e
non supera mai lordine di 10-3
Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature
47
Man
Ha
23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI
CONDUTTORI METALLICI
La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a
permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa
egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una
grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della
natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura
La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data
dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre
definibile anche dalla relazione
=minus1= lRA
dove
ndash l egrave la lunghezza del conduttore
ndash R egrave la resistenza del conduttore
ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore
ndash ρ egrave la resistivitagrave
Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e
tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale
=N e2
m
dove
ndash N egrave il numero di elettroni
ndash e egrave la carica dellelettrone
ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo
ndash m egrave la massa dellelettrone
Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che
48
tuttavia si rivela esplicitando il termine τ
=l m3TkB
dove
ndash T egrave la temperatura assoluta
ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti
ndash m egrave la massa dellelettrone
ndash kB egrave la costante di Boltzmann
Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta
come segue
dove
ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo
ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave
La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione
decrescente della temperatura La funzione egrave
= 201
1 t
dove
ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC
ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si
verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC
e per ogni ohm metro della resistivitagrave
49
ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si
trova il materiale espressa in gradi Celsius
50
La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave
evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in
linea con i valori misurati
Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione
I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono
confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente
man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto
quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e
non supera mai lordine di 10-3
Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature
47
Man
Ha
23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI
CONDUTTORI METALLICI
La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a
permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa
egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una
grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della
natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura
La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data
dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre
definibile anche dalla relazione
=minus1= lRA
dove
ndash l egrave la lunghezza del conduttore
ndash R egrave la resistenza del conduttore
ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore
ndash ρ egrave la resistivitagrave
Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e
tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale
=N e2
m
dove
ndash N egrave il numero di elettroni
ndash e egrave la carica dellelettrone
ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo
ndash m egrave la massa dellelettrone
Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che
48
tuttavia si rivela esplicitando il termine τ
=l m3TkB
dove
ndash T egrave la temperatura assoluta
ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti
ndash m egrave la massa dellelettrone
ndash kB egrave la costante di Boltzmann
Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta
come segue
dove
ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo
ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave
La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione
decrescente della temperatura La funzione egrave
= 201
1 t
dove
ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC
ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si
verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC
e per ogni ohm metro della resistivitagrave
49
ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si
trova il materiale espressa in gradi Celsius
50
23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI
CONDUTTORI METALLICI
La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a
permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa
egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una
grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della
natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura
La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data
dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre
definibile anche dalla relazione
=minus1= lRA
dove
ndash l egrave la lunghezza del conduttore
ndash R egrave la resistenza del conduttore
ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore
ndash ρ egrave la resistivitagrave
Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e
tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale
=N e2
m
dove
ndash N egrave il numero di elettroni
ndash e egrave la carica dellelettrone
ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo
ndash m egrave la massa dellelettrone
Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che
48
tuttavia si rivela esplicitando il termine τ
=l m3TkB
dove
ndash T egrave la temperatura assoluta
ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti
ndash m egrave la massa dellelettrone
ndash kB egrave la costante di Boltzmann
Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta
come segue
dove
ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo
ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave
La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione
decrescente della temperatura La funzione egrave
= 201
1 t
dove
ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC
ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si
verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC
e per ogni ohm metro della resistivitagrave
49
ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si
trova il materiale espressa in gradi Celsius
50
tuttavia si rivela esplicitando il termine τ
=l m3TkB
dove
ndash T egrave la temperatura assoluta
ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti
ndash m egrave la massa dellelettrone
ndash kB egrave la costante di Boltzmann
Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta
come segue
dove
ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo
ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave
La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione
decrescente della temperatura La funzione egrave
= 201
1 t
dove
ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC
ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si
verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC
e per ogni ohm metro della resistivitagrave
49
ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si
trova il materiale espressa in gradi Celsius
50