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Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-1
2. Kreisbewegung
2.1 Kinematik2.2 Momentensatz2.3 Arbeit und Energie
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-2
2.1 Kinematik
● Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit:– Für den auf einer Kreisbahn
zurückgelegten Weg gilt:
– Dabei muss der Winkel im Bogenmaß angegeben werden.
– Die Bahngeschwindigkeit ist definiert durch
s t =Rt
vBt =dsdt
t = ṡ t =R ̇t
P
s
φ
R
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-3
2.1 Kinematik
– Die zeitliche Ableitung des Winkels wird als Winkelge-schwindigkeit bezeichnet:
– Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist 1/s.– Zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit
besteht also die Beziehung
t =̇t
vBt =t R
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-4
2.1 Kinematik
● Bahnbeschleunigung und Winkelbeschleunigung:– Die Bahnbeschleunigung ist die zeitliche Ableitung der
Bahngeschwindigkeit:
– Die zeitliche Ableitung der Winkelgeschwindigkeit wird als Winkelbeschleunigung bezeichnet:
– Zwischen Bahnbeschleunigung und Winkelbeschleunigung besteht die Beziehung
aB t = v̇B t = s̈ t =R ̈t
̇t =̈t
aB t =R ̇t
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-5
2.1 Kinematik
● Geschwindigkeitsvektor:– Für die Ortskoordinaten eines
Punktes auf der Kreisbahn gilt:
– Die Ortskoordinaten sind die Komponenten des Ortsvektors:
x
y
x(t)
y(t)R
φx t =R cos t y t =R sin t
r t =[ x t y t ]=[R cos t R sin t ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-6
2.1 Kinematik
– Für den Betrag des Ortsvektors gilt:
– Der Geschwindigkeitsvektor ist die zeitliche Ableitung des Ortsvektors:
∣r t ∣= x 2t y2 t =R2cos2t R2sin2t =R
v t = ṙ t =[ ẋ t ẏ t ]=[−R ̇t sin t R ̇t cos t ]=Rt [−sin t cos t ]=vB t [−sin t cos t ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-7
2.1 Kinematik
– Der Geschwindigkeitsvek-tor steht senkrecht auf dem Ortsvektor und damit tangential zur Kreisbahn.
– Der Betrag des Ge-schwindigkeitsvektors ist gleich dem Betrag der Bahngeschwindigkeit:
∣v t ∣=vB2 t sin2t vB2 t cos2t =∣vB t ∣
x
y
R cos φ
R sin φ φ
v
r
φ vBcos φ
vBsin φ
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-8
2.1 Kinematik
● Beschleunigungsvektor:– Der Beschleunigungsvektor ist die zeitliche Ableitung des
Geschwindigkeitsvektors:
a t = v̇ t = ddt vB t [−sin t cos t ]
=v̇B t [−sin t cos t ]vBt [−̇t cos t −̇t sin t ]=aB t [−sin t cos t ]−vB t t [cos t sin t ]=aT t a Z t
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-9
2.1 Kinematik
– Der Beschleunigungsvektor setzt sich zusammen aus dem Vektor a
T der Tangentialbeschleunigung und dem Vektor a
Z
der Zentripetalbeschleunigung.– Tangentialbeschleunigung:
● Der Vektor der Tangentialbeschleunigung ist parallel zum Geschwindigkeitsvektor.
● Sein Betrag ist gleich dem Betrag der Bahnbeschleunigung.● Der Vektor der Tangentialbeschleunigung beschreibt die
Änderung des Betrags des Geschwindigkeitsvektors.● Bei einer Kreisbewegung mit konstanter Bahngeschwindigkeit
verschwindet der Vektor der Tangentialbeschleunigung.
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-10
2.1 Kinematik
– Zentripetalbeschleunigung:● Für den Betrag des Vektors der
Zentripetalbeschleunigung gilt:
● Der Vektor der Zentripetalbeschleuni-gung ist entgegengesetzt zum Ortsvek-tor gerichtet.
● Der Vektor der Zentripetalbeschleuni-gung beschreibt die Änderung der Richtung des Geschwindigkeitsvektors.
aZ=∣a Z∣=∣ vB∣=2R=vB2
R
aT
aZ
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-11
2.2 Momentensatz
2.2.1 Drehung um einen festen Punkt2.2.2 Massenträgheitsmomente2.2.3 Allgemeine ebene Bewegung
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-12
2.2.1 Drehung um einen festen Punkt
● Betrachtet wird ein starrer Kör-per K, der sich in der xy-Ebene um den ortsfesten Drehpunkt D dreht.
● Gesucht wird der Zusammen-hang zwischen den Kräften und Momenten im Punkt D und der Winkelgeschwindigkeit des Körpers.
xx
y
y dm
dZ
dTDxD
y
MD
ω
D
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-13
2.2.1 Drehung um einen festen Punkt
● Dynamisches Gleichgewicht– Die Trägheitskraft am Massenelement dm setzt sich zu-
sammen aus einer Komponente dZ infolge der Zentripe-talbeschleunigung und einer Komponente dT infolge der Tangentialbeschleunigung:
– Die Trägheitskraft infolge der Zentripetalbeschleunigung wird als Zentrifugalkraft bezeichnet.
d Z=−a Z dm=2[ xy ]dm=[dZ xdZ y ]
d T=−aT dm=̇[ y−x ]dm=[dT xdT y]
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-14
2.2.1 Drehung um einen festen Punkt
– Kräftegleichgewicht:
– Wenn sich der Körper um seinen Schwerpunkt dreht, dann verschwinden die Integrale. Die im Punkt D angreifenden Kräfte sind dann Null.
∑ F x=0 : D x2∫Kx dṁ∫
Ky dm=0
∑ F y=0 : D y2∫Ky dm−̇∫
Kx dm=0
D x=−2∫Kx dm−̇∫
Ky dm , D y=−
2∫Ky dṁ∫
Kx dm
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-15
2.2.1 Drehung um einen festen Punkt
– Folgerung:● Bei Körpern, die sich mit großer Winkelgeschwindigkeit dre-
hen, sollte der Schwerpunkt auf der Drehachse liegen.● Liegt der Schwerpunkt nicht auf der Drehachse, so spricht
man von statischer Unwucht.● Ist ein Rad statisch ausgewuchtet, so ist es in jeder Lage im
statischen Gleichgewicht.● Ist ein Rad nicht statisch ausgewuchtet, dann gibt es nur eine
stabile Gleichgewichtslage. In der stabilen Gleichgewichts-lage liegt der Drehpunkt oberhalb des Schwerpunkts auf der Wirkungslinie der Gewichtskraft.
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-16
2.2.1 Drehung um einen festen Punkt
– Momentengleichgewicht um die Drehachse:● Die Wirkungslinien der Zentrifugalkräfte aller Massen-
elemente schneiden die Drehachse. Die Zentrifugalkräfte erzeugen daher kein Moment um die Drehachse.
● Damit lautet das Momentengleichgewicht:
● Massenträgheitsmoment:
∑ M Dz=0 : M Dz−∫Ky dT x∫
Kx dT y=0
J Dz=∫K x2 y2dm=∫
Kr2dm M Dz=J Dz ̇
M Dz=̇∫K y2dm∫
Kx2dm=̇∫K x
2 y2dm
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-17
2.2.1 Drehung um einen festen Punkt
– Momentengleichgewicht um die übrigen Achsen:
x
y
z
ω
dm dZ
D dT
z
y
x
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-18
2.2.1 Drehung um einen festen Punkt
∑ M D x=0 : M Dx−∫Kz dZ y−∫
Kz dT y=0
M Dx=2∫Kz y dm−̇∫
Kz x dm
∑ M D y=0 : M Dy∫Kz dZ x∫
Kz dT x=0
M Dy=−2∫Kz x dm−̇∫
Kz y dm
● Zentrifugalmomente:
J Dzy=−∫Kzy dm
J Dzx=−∫Kzx dm
M Dx=J Dxz ̇−J Dzy2
M Dy=J Dyz ̇J Dzx2
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-19
2.2.1 Drehung um einen festen Punkt
● Momentensatz:
– Das Moment MDz
um die Drehachse verursacht eine Win-kelbeschleunigung.
– Die Momente MDx
und MDy
sind auch bei konstanter Win-kelgeschwindigkeit von Null verschieden. Sie sind notwen-dig, um die Drehachse in ihrer Richtung zu halten, wenn die Zentrifugalmomente nicht Null sind.
M Dx=̇ J Dxz−2 J Dyz
M Dy=̇ J Dyz2 J Dxz
M Dz=̇ J Dz
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-20
2.2.1 Drehung um einen festen Punkt
– Dieser Effekt wird als dynamische Unwucht bezeichnet.– Damit ein rotierender Körper dynamisch ausgewuchtet ist,
müssen die Zentrifugalmomente Null sein.– Ob ein Körper dynamisch ausgewuchtet ist, lässt sich nicht
durch einen statischen Versuch überprüfen.– Bei einem um die Drehachse rotationssymmetrischen Kör-
per sind die Zentrifugalmomente Null.– Ebenso sind die Zentrifugalmomente Null, wenn der Körper
symmetrisch bezüglich der xy-Ebene ist.
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-21
2.2.1 Drehung um einen festen Punkt
x
y
x
y
-x
-y
dZ
dZ
ω x
zω
Sx
z
-z
dZ
dZ
– Rotationssymmetrie: – Symmetrie bezüglich xy-Ebene
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-22
2.2.2 Massenträgheitsmomente
● Beispiel: Homogene Kreisscheibe
R r
drx
yDicke h
dA
S
dA=2r dr , dm=hdA
J Sz=h∫Ar2dA=2h∫
0
R
r3dr
=2h [ r 44 ]0R
=12h R4
=12m R2
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-23
2.2.2 Massenträgheitsmomente
● Zusammengesetzte Körper:– Für elementare Körper sind die Massenträgheitsmomente
bezüglich ihres Schwerpunkts tabelliert.– Das Massenträgheitsmoment eines aus elementaren Kör-
pern zusammengesetzten Körpers lässt sich durch Addition der Massenträgheitsmomente der einzelnen Körper er-mitteln.
– Dabei ist darauf zu achten, dass alle Massenträgheits-momente mit dem Satz von Steiner auf den gemeinsamen Schwerpunkt umgerechnet werden.
– Der Satz von Steiner lässt sich genauso herleiten wie bei den Flächenträgheitsmomenten.
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-24
2.2.2 Massenträgheitsmomente
S
A
x y
z
xS
yS
zS
mJ Az = J Sz x S
2 yS2 m
J Azx = J Sxz − x S z SmJ Azy = J Szy − yS z Sm
● Satz von Steiner:
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-25
2.2.3 Allgemeine ebene Bewegung
● Die allgemeine ebene Bewegung eines starren Körpers setzt sich zusammen aus einer ebenen Bewegung seines Schwerpunkts und einer Drehbewegung um den Schwer-punkt.
● Sie wird beschrieben durch den Schwerpunktsatz und den Momentensatz bezüglich des Schwerpunkts:
m ẍ S = F xm ÿS = F yJ S ̈ = M Sz
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-26
2.2.3 Allgemeine ebene Bewegung
● Beispiel: Kugel auf schiefer Ebene
α
r
m
μ0, μ
– Gegeben:● Homogene Kugel mit
Masse m und Radius r● Winkel α● Haftreibungskoeffizient μ
0
und Gleitreibungskoeffizient μ
– Gesucht:● Beschleunigung des
Schwerpunkts und Win-kelbeschleunigung
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-27
2.2.3 Allgemeine ebene Bewegung
– Kräfte an der freige-schnittenen Kugel:
α
S
x
y
N
R
G
vS
φ
r
m ẍ S=−Rmg sin
0=N−m g cos
J S ̈=r R
– Schwerpunktsatz:
– Momentensatz:
– Massenträgheitsmoment (aus Formelsammlung):
J S=25mr2
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-28
2.2.3 Allgemeine ebene Bewegung
– Für das Weitere muss unterschieden werden, ob die Kugel rollt oder gleitet.
– Wenn die Kugel rollt, gilt die Rollbedingung:
– Damit folgt aus dem Momentensatz:
– Einsetzen in den Schwerpunktsatz in x-Richtung führt auf
vS= ẋ S=r ̇ ̈=ẍ Sr
R=J Sr̈=
J Sr2ẍ S
m ẍ S=m g sin−J Sr 2ẍ S
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-29
2.2.3 Allgemeine ebene Bewegung
– Daraus folgt für die Beschleunigung des Schwerpunkts:
– Damit die Kugel rollt, muss Haften vorliegen.– Die Haftreibungskraft berechnet sich zu
– Haften ist möglich für
ẍ S=g sin
1J Smr2
= g sin
125
=57g sin
H=R=J Sr 2ẍ S=
25m⋅57g sin=2
7m g sin
H=27mg sin≤0N=0m g cos 0≥
27tan
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-30
2.2.3 Allgemeine ebene Bewegung
– Für rutscht die Kugel. Dann liegt Gleitreibung
vor, d.h.– Der Schwerpunktsatz in x-Richtung lautet:
– Der Momentensatz lautet:
– Beim Rutschen sind Schwerpunktbeschleunigung und Win-kelbeschleunigung nicht durch die Rollbedingung gekoppelt.
27tan0
R=N=m g cos
m ẍ S=m g sin−cos ẍ S=g sin− cos
25mr2 ̈=r m g cos ̈=5
2 grcos
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-31
2.3 Arbeit und Energie
2.3.1 Drehung um einen festen Punkt2.3.2 Allgemeine ebene Bewegung
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-32
2.3.1 Drehung um einen festen Punkt
● Arbeitssatz:– Für einen Körper, der sich in der xy-Ebene um einen orts-
festen Drehpunkt D dreht, lautet der Momentensatz:
– Integration über den Winkel φ ergibt:
– Das Integral auf der rechten Seite ist die Arbeit des äuße-ren Moments:
J Dz ̈=M Dz
J Dz∫A
B
̈d=∫A
B
M Dz d
∫A
B
M Dz d=W AB
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-33
2.3.1 Drehung um einen festen Punkt
– Für das Integral auf der linken Seite folgt:
– Die Größe
ist die kinetische Energie des Körpers aufgrund seiner Drehbewegung.
– Arbeitssatz der Drehbewegung:
J Dz∫A
B
̈d=J Dz∫A
B d ̇d
ddtd=J Dz∫̇
A
̇B
̇d ̇=12J Dz B2−A2
E K=12J Dz
2
E BK−E A
K=W AB
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-34
2.3.1 Drehung um einen festen Punkt
● Beispiel:– Auf einer homogenen Scheibe der
Masse m2 ist ein Seil aufgewickelt.
– An dem Seil hängt über eine masselose Rolle die Masse m
1.
– Das System ist anfangs in Ruhe.– Gesucht ist die Geschwindigkeit
der Masse m1 in Abhängigkeit vom
zurückgelegten Weg.
R
m1
m2
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-35
2.3.1 Drehung um einen festen Punkt
– Der Weg x der Masse m1 und der
Winkel φ der Masse m2 werden ab
der Ruhelage gemessen.– Kinetische Energie:
● Ruhelage:
● Ausgelenkte Lage:
● Mit gilt:
m1
m2
x
φA
E0K=0
E xK=12J Ȧ
212m1 ẋ
2
J A=12m2R
2 E xK=12 12 m2R2̇2m1 ẋ 2
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-36
2.3.1 Drehung um einen festen Punkt
– Arbeit der äußeren Kräfte:● Die einzige äußere Kraft, die Arbeit verrichtet, ist die Ge-
wichtskraft.● Die Gewichtskraft ist eine konservative Kraft. Die von ihr ver-
richtete Arbeit kann aus der Differenz der Lageenergien be-rechnet werden.
● Als Bezugspunkt für die Lageenergie wird die Ruhelage ge-wählt.
● Dann gilt für die Lageenergie in der Ruhelage und in der aus-gelenkten Lage:
E0G=0, E x
G=−m1 g x
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-37
2.3.1 Drehung um einen festen Punkt
– Kinematik:● Die Rolle rollt mit der Winkelge-
schwindigkeit ωr am rechten Seil-
stück ab.● Ist r der Radius der Rolle, dann gilt
und● Daraus folgt:
φA
P
ωR
ωRv
R=vr r
0=v−r r
R=2 v ̇==2 ẋR
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-38
2.3.1 Drehung um einen festen Punkt
– Energieerhaltungssatz: E xKE x
G=E0KE0
G
12 12 m2r 2̇2m1 ẋ2−m1 g x=0
2m2m1 ẋ2=2m1 g x
v= ẋ= 2m1 g x2m2m1
12m2 r
22 ẋr 2
m1 ẋ2=2m1 g x
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-39
2.3.2 Allgemeine ebene Bewegung
● Bei einer allgemeinen ebenen Bewegung eines starren Körpers ist seine kinetische Energie gleich der Summe der kinetischen Energie der Bewegung des Schwerpunkts und der kinetischen Energie der Drehbewegung um den Schwerpunkt:
E K=12mvS
212J S
2
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-40
2.3.2 Allgemeine ebene Bewegung
● Beispiel: Rollende Kugel
r
m
z
v0
ω0
– Aufgabenstellung:● Eine homogene Kugel mit
Masse m und Radius r rollt einen Abhang hinunter.
● Ihr Schwerpunkt hat die Anfangsgeschwindigkeit v
0.
● Gesucht ist die Geschwin-digkeit in Abhängigkeit von der vom Schwerpunkt zu-rückgelegten Höhendiffe-renz z.
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-41
2.3.2 Allgemeine ebene Bewegung
– Massenträgheitsmoment der Kugel:
– Rollbedingung:
– Kräfte auf die freigeschnittene Kugel:● Die Normalkraft N steht senkrecht auf
der Bahn und verrichtet daher keine Arbeit.
● Die von der Gewichtskraft G verrichte-te Arbeit kann aus der Differenz der Lageenergien berechnet werden.
J S=25mr2
v− r=0 = vr
S
NG
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-42
2.3.2 Allgemeine ebene Bewegung
– Lageenergie:● Als Bezugspunkt für die Lageenergie wird der Ausgangspunkt
gewählt.● Dann gilt:
– Kinetische Energie:
E0K=12m v022502 r2=12 mv0225 v02= 710 mv02
E K z = 710mv2 z
E0G=0, EG z =−m g z
Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-43
2.3.2 Allgemeine ebene Bewegung
– Damit lautet der Energieerhaltungssatz:
– Daraus folgt für die Geschwindigkeit:
710mv2 z −mg z= 7
10mv0
2
v2 z =v02107g z v z =v02107 g z