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2-LÍMITES Y CONTINUIDAD
-Distancia entre dos números: d(a,b)=
Sea f una función a y L ℝ
0 ⟹
⟹
⟹
Propiedad-1
⟺ =L
Ejemplos:
1-f(x)= +1
=
= =1
(
=
= =5
( )
2-
= = =1
( )
3-
= 1 ⟹ ∄
“ ∀ M > > para x suficientemente próximos a a “
x=a es una asíntota vertical de f o
Ejemplos:
4- f(x)=
⟹
es una asíntota vertical
5- f(x)=
=
=+
x=0 es una asíntota vertical.
Sea b ℝ
(x)=b ⟺ “ ⇒ (x)=b ⟺ “ - ⇒
y=b es una asíntota horizontal en + ( ) (x)=b ( (x)=b)
Ejemplos:
6- f(x)=
=2
7- f(x)=
y=1 es una asíntota horizontal en
⟺ “∀ M>0 f(x)>M para x suficientemente grande en valor absoluto y positivo.”
⟺ “∀ M>0 –M> f(x) para x suficientemente grande en valor absoluto y positivo.”
⟺ “∀ M>0 f(x)>M para x suficientemente grande en valor absoluto y negativo.”
⟺ “∀ M>0 –M> f(x) para x suficientemente grande en valor absoluto y negativo
Ejemplos:
9- f(x)=1+
1+ =+
9-f(x)=
=1
=0
Ejercicios:
1-Calcula (con calculadora) los siguientes límites:
a) Si a>o
b)
c)
d)
e) f)
2-Observa la gráfica de esta función f(x) y calcula estos l ími tes.
Propiedades: a ℝ o a=
Lími te de una constante
Lími te de una suma
Lími te de un producto
Lími te de un cociente
Lími te de una potencia
Lími te de una función
g puede se r una ra í z , un l og , sen , cos , tg , e t c .
=
=(+
+ + =+
+ -(+ )=+ - ≠0
(+ )(+ )=+
(+ )/(+ )
Ejercicios:
f es continua en x=a ⟺ ⟺
a) f(x)=
No es continua en x=1
f(1) no existe , no se verifica i) , además como
. se dice que f tiene una
discontinuidad inevitable de salto infinito.
b)
Es discontinua en x=0 ya que:
≠ = 1 ⟹ ∄ No se verifica ii)
Se dice que f tiene una discontinuidad inevitable de salto finito.
c)
Es discontinua en x=0 ya que:
= = ≠ -1 No se verifica iii).
Se dice que f tiene una discontinuidad evitable.
Si ≠ ⟹
Si y son números reales pero ≠ ⟹
f tiene una discontinuidad inevitable de salto finito en x=a
Si , o es ⟹f tiene una discontinuidad
inevitable de salto infinito.
f es continua en el intervalo (a,b) si es continua ∀x∈(a,b)
f es continua en el intervalo [a,b] si es continua ∀x∈(a,b) y y
Ejemplo:
f:[-1,1] ℝ g(x)=
x f(x)=
f es continua en [.1,1] y g no lo es ya que ≠
5. Operaciones con funciones continuas.
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces que:
a. es continua en x=a.
b. es continua en x=a.
c. es continua en x=a si .
d. es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la
potencia).
TEOREMA: Si f(x) es continua en x=a y g(x) es continua en y=f(a) es
continua en x=a.
6. Discontinuidades.
Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho
valor de x, es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.
TIPOS DE DISCONTINUIDADES
A) Evitable: Cuando existe el pero no coincide con el valor de f(a) por una de
estas dos razones, son distintos los valores o no existe f(a).
B) De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos
finitos) pero no coinciden.
C) Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser
asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.
D) Esencial: Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por
la derecha, por la izquierda o por ambos lados.
Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = a, llamaremos verdadero valor de la
función en x=a al . Dicho valor es el que convierte a la función en continua.
Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x=a, llamaremos salto de la función en
x=a al valor .
SUMA: f(x)+ g(x)
f(x) g(x)
+ a ℝ
+
+ + IND
b ℝ
+ a+b -
-
IND - -
PRODUCTO: f(x)·g(x)
f(x) g(x) a ℝ a≠0 0 +
+ (signo dep a) IND -
b ℝ b≠0
0 IND 0 0 IND
+ - (signo dep a) IND +
COCIENTE:
f(x) g(x) a ℝ a≠0 0 +
b ℝ b≠0
0
+
EJERCICIOS LÍMITES Y CONTINUIDAD
4-Calcula los siguientes limites:
LIMITES-CONTINUIDAD II
1
-
-
1-
2-
III-CÁLCULO DE LÍMITES
1) 163 2
1
xxlim
x 2) 122
xxlim
x 3) xxlim
x
33
4)
22
2 1
ax
axaxlim
ax
5)
12
22
2
1
xx
xxlimx
6)
2
1
2
1
xxlimx
7) 12
22
2
1
xx
xxlimx
8) 44
12 xx
limx
9) 632 34
4
xx
xlimx
10) 2
2
0
96
x
xxlimx
11)
xx
xlimx 5
252
2
5
12)
xx
xxxlimx 62
22
23
13) 15
24
x
xxlimx
14) 12
32
25
x
xxlimx
15) ax
axlim
ax
16) x
xlimx
33
0
17) xxlim
x
3 2
52 18)
x
xxlimx
21
19)
xxxxlim
x 20)
42
11
2
2
x
xlimx
21) 1
12
x
xlimx
22) 3
1
3 42
1
x
x x
xlim 23)
xxxxlim
x 24)
11
1212
xx
xxlimx
25) 11
xxxlimx
26) xxxxxlimx
32221 553
27)
1
1
1
x
xxlim
x 28)
xxx
xxxlimx 63
36
2
2
29)
1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
30)
4
3
3 3
1
x
xlimx
31) 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
32) 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
33) 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
34)
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
35)
2
4
4
2 2
22 x
x
x
xlimx
36) 13
2
3
x
xlim
x 37)
13
2
0
x
xlimx
38) 13
2
2
x
xlimx
39) 13
2
x
xlimx
40) 13
2
x
xlimx
41) x
xxlimx 21
42) x
xxlimx 21
rep 43)
x
xxlimx 20
44)
x
xxlimx 2
45) x
xxlimx 2
46)
112
12
2
0
xx
xlimx
47) 112
12
2
1
xx
xlimx
48) 112
12
2
xx
xlimx
49) x
xlimx
sen
0 50)
x
xlimx
tg
0 51)
x
xlimx tg
sen
0
52) ax
axlim
ax
sensen 53)
h
ahalimh
coscos
0
54)
20
3cos7cos
x
xxlimx
55) 20
cos1
x
xlimx
56)
1sen
21 xlimx
57)
1sen
2xlimx
58)
x
xlim
x
6sen
2
59) x
xlimx
6sen
0 60)
x
xlimx
sen 61)
65
2sen22
xx
xlimx
62) x
xlimx 7
5tg
0
63)
4
23tg
2
2
2 x
xxlimx
64)
4
23tg2
2
2
x
xxlimx
65) 16sen
224
x
xlimx
66)
12
cos
21 x
xlimx
67)
xxlim
x
1sen 68)
xxlim
x
1sen
0 69)
x
xlimx
sen
70) xlimx
arctg
71) xlimx
arctg
72) xlimx
arcsen
73) x
xxlim
sen1
031
74) x
xxlim sen1
0
75)
x
x xlim
1sen1
76)
x
x x
xlim
sen
0 2
1
77)
h
hlimh
3log3log
0
78)
xxlim
x
31log
79) 532log62log 22
xxxxlimx
80)
2
2
0
cosln
x
xlimx
81)
2
2
0
5ln5ln
h
hlimh
82)
3ln3ln
3 x
xxlim
x
83)
x
x
x
x
x
limx 3
1log
1log
2
0
84--Dadas las funciones f(x) = k.x. Calcular:
Dadas las funciones parábola e hipérbola calcular f´(a) y f´(x) interpretación geom
HOJA-IV
PREPARANDO LAS DERIVADAS
1-Llamamos tasa de variación media (T.V.M. ) de una función y= f(x) en un intervalo
[a,b] al cociente de la variación de f (de y) entre la variación de x en el intervalo [a,b ]:
T.V.M.=
En el intervalo [x, x+h]
T.V.M.=
=
=
≡ COCIENTEINCREMENTAL
a) Calcula la T.V.M. de la función f(x)= en los intervalos:
b) Un punto se mueve en una recta según una ecuación s=s(t), llamamos velocidad
media en el intervalo [t0, t0 Δ coc :
=
(Observa que T.V.M. del espacio con respecto al
tiempo en el intervalo [t0, t0 Δ
La posición de una partícula viene dada por s(t)= , (s en metros y t en
segundos) .Calcula la velocidad media en r o
c) Interpretación geométrica: Dada una función f: [a, a+h] ℝ
En el intervalo [a,a+h] la T.V.M.=”pendiente de la recta secante que pasa por los
puntos A(a,f(a)) B(a+h,f(a+h)). geogebra\Copia de derpendnewton.ggb
Sea f la función del apartado a):
i) calcula la T.V.M. de la función en el intervalo [1 1+h].
ii)¿En qué recta se transforma la recta secante cuando h 0 (es decir B A)?
iii) Calcula M
iv) Si T.V.M. es la pendiente de la recta secante ¿A qué es igual
?
d) Si para calcular la velocidad media tomamos t cada vez más pequeños nos
aproximaríamos a la velocidad del móvil en t= ,por este motivo llamamos velocidad
instantánea de un móvil en t= a:
i) Calcular en el ejemplo del apartado b)
2-Dadas las siguientes funciones , calcular la tasa de v m
h>0
a) f(x)=
en [2 , 2+h]
b) f(x)= ln(3x-2) en [1,1+h]
c) f(x)= en [-1 -1+h]
h<0