2. modul: Erőrendszerek

2.1. lecke: Erő és nyomaték

A lecke célja:

A tananyag felhasználója megismerje az erő, a nyomaték és erőrendszerek jellemzőit.

Követelmények:

Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha

saját szavaival meg tudja határozni az erő, erővektor, koncentrált erő, eredő erő, támadáspont, helyvektor, hatásvonal, egységvektor, irány egységvektor, nyomaték,

nyomatékvektor, Plücker vektorok, vektorkettős, vektortér, vektormező, nyomatéki

vektortér, erőpár, koncentrált nyomaték, erőrendszer, eredő vektorkettős fogalmát;

fel tudja sorolni az erő megadásának módjait;

ábra alapján meg tud adni koncentrált erőt, kötött erővektort;

ábra alapján fel tudja írni az erő pontra és tengelyre számított nyomatékát

meghatározó összefüggést;

ábra alapján fel tudja írni:

o a tengely Plücker vektoros alakját; o erő két pontra számított nyomatéka közötti összefüggést; o bármely pontra az erőpár nyomatékát;

o az erőrendszer eredő erővektorát és eredő nyomatékvektorát;

ki tudja számítani:

o az erő pontra és tengelyre számított nyomatékát; o az eredő vektorkettőst;

el tudja végezni a nyomatékátszámítást.

Időszükséglet:

A tananyag elsajátításához körülbelül 50 percre lesz szüksége.

Kulcsfogalmak:

erő, erővektor, koncentrált erő, eredő erő

támadáspont, helyvektor, hatásvonal, egységvektor, irány egységvektor

koordináta, koordinátarendszer

nyomaték, nyomatékvektor, jobbkéz szabály, Plücker vektorok, vektorkettős

vektortér, vektormező, nyomatéki vektortér

erőpár, koncentrált nyomaték, erőrendszer, redukált vektorkettős

2.1.1. Koncentrált erő megadása

Tevékenység:

Olvassa el a bekezdést! Tanulja meg az erő, a koncentrált erő fogalmát és az erő

mértékegységét! Figyelje meg a koncentrált erő megadása bekezdés ábráit! Az ábrák alapján

írja fel önállóan az erővektort, az erő koordinátákat, az erő nagyságát! Figyelje meg a kötött

erővektor ábráját! Írja fel a helyvektort! Tanulja meg a kötött koncentrált erővektor

megadásának a módját!

Ha nem ért valamit a vektorokkal, vektor műveletekkel kapcsolatban, akkor olvassa el a F.I.1.

függeléket (Vektorok és vektorműveletek).

Tartalom:

Erő: egy testnek egy másik testre gyakorolt hatása.

Koncentrált erő: ha egy test pontszerű érintkezéssel gyakorol hatást a másik testre.

Az F koncentrált erő vektor mennyiség: nagyság, irány, (előjel és mértékegység),

támadáspont, hatásvonal jellemzi.

Mértékegysége: 2

mN=kg

s - Newton (kiejtése: nyúton).

1 N az az erő, amely 1 kg tömegű testre hatva 1 2

m

s gyorsulást hoz létre.

Koncentrált erő megadása:

a) megadási lehetőség:

aF F e - a koncentrált erő,

ae - az erő irány egységvektora,

F – az erő ae irányú koordinátája (előjeles skalár

szám),

cos cos cosx x y y z ze e e e ,

2 2 21 cos cos cosx y ze .

b) megadási lehetőség:

x x y y z z x y z

zx y

F F e F e F e F F F

FF F

,

, ,x y zF F F – az erő koordinátái (skalár),

, ,x y zF F F – az erő összetevői (vektor),

, ,x y ze e e – a koordináta-rendszer (KR) x,y,z irányú

egységvektorai,

Az erő nagysága (abszolút értéke): 2 2 2x y zF F F F .

Kötött erővektor: az F koncentrált erőt a P ponthoz kötjük.

F - a koncentrált, kötött erővektor,

P - az F erővektor támadáspontja,

P P x P y P zr x e y e z e , - helyvektor

a - az F erővektor hatásvonala,

ae - a hatásvonal irány egységvektora.

A kötött koncentrált erővektor megadása

támadáspontjának Pr helyvektorával és az F

erővektorral történik.

F ae

xy

z

y

O

x

z

zFxF

yF

y

z

Ox

F

Oxy

z

Pr

P

a

aeF

xe ye

ze

2.1.2. Erő nyomatéka

Tevékenység:

Olvassa el a bekezdést! Tanulja meg a nyomaték fogalmát és mértékegységét! Az ábrák

alapján írja fel önállóan az erő pontra és tengelyre számított nyomatékát meghatározó

összefüggést! Tanulja meg és próbálja ki a „jobbkéz” szabályt! Ábra alapján írja fel a tengely

egyenletének Plücker vektoros alakját! Ismert erő és nyomaték alapján határozza meg a tér

egy másik pontjára a nyomatékot! Önállóan oldja meg a gyakorló feladatokat!

Ha nem ért valamit a vektorokkal, vektor műveletekkel kapcsolatban, akkor olvassa el a F.I.1.

függeléket (Vektorok és vektorműveletek).

Tartalom:

Nyomaték: az erő forgató hatása.

Mértékegysége: Nm - Newton méter.

a) Erő pontra számított nyomatéka:

A pontra számított nyomaték az erő egy adott pont körüli forgató hatása.

A APM r F - a pontra számított nyomaték vektor

mennyiség.

A nyomaték nagysága: sinA APM r F .

A nyomatékvektor merőleges az APr és az F

vektorok által meghatározott síkra úgy, hogy az APr ,

F , és AM jobbsodratú vektorhármast alkotnak

(jobbkéz szabály).

A jobbkéz szabály értelmezése

Gyakorló feladat: Erő pontra számított nyomatéka

Ox y

z

APr

P

A

F

F

AM

Adott:

0,4588 1,376 1,376 kNx y zF e e e ,

12 mOA zr e .

Feladat:

a) Az F erő O pontra számított OM

nyomatékának meghatározása.

Kidolgozás:

a) Az F erő O pontra számított OM nyomatékának meghatározása:

(12 ) (0,4588 1,376 1,376 )

0 0 12 ( 16,5 5,51 )

0,4588 1,376 1,376

O OA z x y z

x y z

x y

M r F e e e e

e e e

e e kNm

(A vektoriális szorzás kiszámítását lásd a F.I.1.

függelékben.)

Vegye észre:

Az OM nyomatékvektor merőleges az OAr

helyvektor és az F erővektor által kifeszített

síkra.

Irányát a jobbkéz szabály határozza meg.

Ellenőrizze, hogy az OAr

helyvektor és OM nyomatékvektor, valamint az F erővektor és a OM

nyomatékvektor merőleges-e egymásra! Határozza meg az erővektor és a nyomatékvektor

nagyságát!

(A megoldásokhoz információkat, eljárásokat talál a F.I.1. függelékben.)

b) Erő tengelyre számított nyomatéka:

A tengelyre számított nyomaték az erő egy adott tengely körüli forgató hatása.

Tengely egyenlete:

Tengely: irányított egyenes egy egyenesen két

tengely vehető fel.

0P - a tengely egy rögzített pontja,

P - a tengely futópontja (tetszőleges pontja),

a - a tengely irányvektora ( 1a ).

A tengely egyenlete: 0( ) 0a r r ,

0 0a r a r

b

.

A tengely egyenletének Plücker (kiejtése: plükker) vektoros alakja: 0a r b .

Ox y

z

0rr

P

0Pa

a

,a b Plücker vektorok és a b , azaz 0a b .

b az a irányvektor nyomatéka a koordináta-rendszer (KR) O kezdőpontjára.

a A aM M e - a tengelyre számított nyomaték

(előjeles) skaláris mennyiség.

a

ae

a - a tengely irány egységvektora.

A tengelyre számított nyomaték a tengely bármely

A pontjára számított nyomatéknak a tengelyre eső

(előjeles) vetülete.

A KR tengelyeire számított nyomatékok: x O xM M e , y O yM M e , z O zM M e .

c) Összefüggés két pontra számított nyomaték között:

BP BA AP AB APr r r r r .

A nyomaték értelmezéséből:

( )B BP BA AP AP BA

A

M r F r r F r F r F

M

.

B A BAM M r F , vagy B A ABM M F r .

Az , AF M vektorkettős ismeretében bármely B

pontra számított BM nyomaték

meghatározható.

1. Gyakorló feladat: Erő pontra és tengelyre számított nyomatéka

Adott:

40 20 kNx yF e e , 4 mP x yr e e . Feladat:

a) Az F erő A pontra számított AM

nyomatékának meghatározása.

b) Az F erő A ponton keresztülmenő, xy

síkra merőleges a (vagy z ) tengelyre

számított z aM M nyomatékának

meghatározása.

Kidolgozás:

a) Az F erő A pontra számított AM nyomatékának meghatározása:

4 40 20 80 40 120 kNmA AP x y x y z z zM r F e e e e e e e .

b) Az F erő A ponton keresztülmenő, xy síkra merőleges a (vagy z ) tengelyre számított

z aM M nyomatékának meghatározása:

120 120kNmz a z z zM M M e e e .

x

y

a

a

OA aM

aM

FPz

APr

xy

A

O

B

F

Pz

BArAPr

BPr

AM

BM

x

y

P

F

Pr

A 1

1

2

2

3 4

2. Gyakorló feladat: Erő pontra és tengelyre számított nyomatéka

Adott:

(2 6 0) mP , (3 0 0) mA , (0 0 4) mB ,

(4 3 2 ) Nx y zF e e e .

Feladat:

a) Az A és a B pontra számított AM és BM

nyomaték meghatározása.

b) Az a tengelyre számított aM nyomaték

meghatározása.

Kidolgozás:

a) Az A és a B pontra számított AM és BM nyomatékok meghatározása:

( 3 2 6 ) 4 3 2AO

OP

A AP AO OP x x y x y zM r F r r F e e e e e e

r r

1 6 0 (12 2 21 ) Nm

4 3 2

x y z

x y z

e e e

e e e

( 4 2 6 ) 4 3 2BO

OP

B BP BO OP z x y x y z

r r

M r F r r F e e e e e e

2 6 4 (0 20 30 ) ( 20 30 ) Nm

4 3 2

x y z

x y z y z

e e e

e e e e e

.

b) Az a tengelyre számított aM nyomaték meghatározása:

( 3 4 ) m 5 mx za e e a , ( 0,6 0,8 )a x za

e e ea

.

M 12 2 21 0,6 0,8 24 Nma A a x y z x zM e e e e e e .

M 20 30 0,6 0,8 24 Nma B a y z x zM e e e e e .

x

y

z

A

B

F

P

Pr

aO

2.1.3. Erő nyomatéki vektortere

Tevékenység:

Olvassa el a bekezdést! Tanulja meg a vektortér, vektormező és nyomatéki vektortér

fogalmakat!

Tartalom: Vektortér / vektormező: a geometriai tér, vagy a vizsgált test minden pontjához

hozzárendelünk egy vektort.

Nyomatéki vektortér:

- Az F erő nyomatékát kiszámítjuk a tér minden

egyes pontjára.

- A tér minden egyes pontjához hozzákötjük az adott

pontra számított nyomatékvektort.

- Ezek a nyomatékvektorok alkotják az F erő

nyomatéki vektorterét.

2.1.4. Koncentrált erőrendszere

Tevékenység:

Olvassa el a bekezdést! Tanulja meg az erőpár, koncentrált nyomaték fogalmát! Ábra alapján

írja fel az erőpár nyomatékát egy kijelölt pontra! Ábra alapján írja fel az erőrendszer eredő

erővektorát és eredő nyomatékvektorát meghatározó összefüggést! Tanulja meg az eredő

vektorkettős elemeit és jelölését! Ábra alapján írja fel az eredő vektorkettős kiszámításához

szükséges összefüggést! Önállóan oldja meg a gyakorló feladatokat!

Ha nem ért valamit a vektorokkal, vektor műveletekkel kapcsolatban, akkor olvassa el a F.I.1.

függeléket (Vektorok és vektorműveletek).

Tartalom: a) Erőpár / koncentrált nyomaték:

Erőpár: két azonos nagyságú ellentétes irányú, párhuzamos hatásvonalú erő.

Speciális erőrendszer: 1 2, F F F F

Az erőpár A pontra számított nyomatéka:

1 2A AP APM r F r F

1 2

21

( )AP APr r F

r

1 2 21AP APr r r , 21 sinh r .

21A BM r F M .

Erőpár nyomatéka a tér bármely pontjára

ugyanannyi.

Erőpár homogén nyomatéki vektorteret hoz létre.

Az erőpár a tér bármely pontjához köthető, az erőpár vektor nem változik.

xy

A

O

B

F

Pz

CPrAPr

BPr

AM

BM

CMC

F

F

h

y

z

xO

21r

2P1P

2APr1AP

r

A

B

b) Általános (szétszórt) erőrendszer:

Az erőrendszer megadása: ( 1,2, ... , )iF i n , ( 1,2, ... , )iM i n .

Az erőrendszer általános esetben erőkből és

erőpárokból (koncentrált nyomatékokból)

állhat.

Az erőrendszer eredő erővektora: 1

n

i

i

F F

.

Az erőrendszer eredő nyomatékvektora: 1 1

i

n n

A AP i i

i i

M r F M

.

c) Erőrendszer eredő / redukált vektorkettőse:

Az eredő vektorkettős: - eredő erő,

- megadott pontra számított eredő nyomaték.

Az eredő vektorkettős jelölése: ,F A M A .

Az eredő vektorkettős kiszámítása: 1

n

i

i

F A F F

, 1

i

n

A i AP i

i

M M r F

.

Megjegyzés:

- Az eredő vektorkettős a nyomatéki tér vonatkozásában egyértelműen jellemzi az

erőrendszert.

- A redukált vektorkettős bevezetésével az általános erőrendszer problémáját egy erő

feladatára vezettük vissza.

- Az erőrendszer eredő erővektora a tér bármely pontjába redukálva ugyanannyi:

F A F B F .

- Az erőrendszer B pontra számított nyomatéka:

B A ABM M F r .

Az A pontbeli redukált vektorkettős ismeretében az erőrendszernek a tér bármely B

pontjába számított nyomatéka meghatározható.

1. Gyakorló feladat: Síkbeli erőrendszer redukált vektorkettőse, nyomaték átszámítás

Adott:

1 8 5 Nx yF e e ,

2 12 NxF e ,

3 20 NyF e ,

2 12 NmzM e ,

4 6 mB x yr e e ,

3 mC x yr e e .

y

iP

z

xA

O

Air

iF

iM

x

y

A

C

B2M

1F

2F

3F

Feladat:

a) Az ábrán látható erőrendszer F eredőjének meghatározása.

b) Az A és C pontokra számított AM , illetve CM nyomatékok meghatározása a

nyomatékszámítás értelmezése alapján.

c) Az CM nyomaték meghatározása a nyomaték átszámító képlettel.

Kidolgozás:

a) Az ábrán látható erőrendszer F eredőjének meghatározása:

3

1 2 3

1

F= 8 5 12 20 20 25 Ni x y x y x yi

F F F F e e e e e e

.

b) Az A és C pontokra számított AM , illetve CM nyomatékok meghatározása a

nyomatékszámítás értelmezése alapján:

2 3

2 2 3

2 1

A i Aj j AB AC

i j

M M r F M r F r F

.

2 4 6 12 72 NmAB x y x zr F e e e e ,

3 3 20 60 NmAC x y y zr F e e e e ,

12 72 60 0A z z zM e e e .

2 3

2 1 2

2 1

C i Cj j CA CB

i j

M M r F M r F r F

.

1 1 3 8 5 15 8 23 NmCA AC x y x y z z zr F r F e e e e e e e ,

2 2 2CB CA AB AC ABr F r r F r r F ( (3 ) (4 6 )) ( 12 ) ( 7 ) ( 12 ) (84 ) Nmx y x y x x y x ze e e e e e e e e ,

( 12 ) (23 ) (84 ) (95 ) NmC z z z zM e e e e .

c) Az AM nyomaték és a C pontra számított CM nyomaték kiszámítása:

0 3 20 25C A CA AC x y x yM M r F r F e e e e (20 ) (75 ) (95 ) Nmz z ze e e .

2. Gyakorló feladat: Síkbeli szétszórt erőrendszer eredőjének és az eredő hatásvonalának

meghatározása.

Adott:

1 2 3 10 kNF F F ,

4 50 kNF , 60 , 0 4 ma ,

03 mb , 05 mc .

Feladat:

a) Az F , OM eredő vektorkettős

meghatározása.

b) Az eredő erő hatásvonalának

meghatározása.

O x

y

a a

1F

2F

3F4F

b

c

Kidolgozás:

a) Az F , OM eredő vektorkettős meghatározása: 4

1

x x y yi

i

F F e F eF

,

4

1 2 3 4

1

1 1cos cos 08 10 10 10 50 08 40 kN

2 2x ix

i

F F F F F F

.

0 4cos 08

05

,

03sin 0 6

05

.

4

1 3 4

1

3 3sin sin sin 10 50 06 30 kN

2 2y iy

i

F F F F F

,

40 30 kNx yF e e .

1 2 3( sin sin 0)O z z zM M e aF cF aF e

3 30 4 10 05 10 0 4 10 (5 4 3) (1193 ) kNm

2 2z z ze e e

.

b) Az eredő hatásvonalának meghatározása:

Síkbeli erőrendszerek esetén: AF M .

Az eredő hatásvonalának pontjaiban: 0P O OPM M F r .

A hatásvonal egyenesének egyenlete: 0 0Oa r b F r M .

Az egyenes egyenletének a matematikában

szokásos alakjának előállítása:

40 30 11,93 0x y x y ze e xe ye e ,

40 30 1193 0z z z zye xe e e

40 30 1193y x ,

30 298

4y x .

Metszéspontok a koordináta-tengelyekkel:

0 298 mCy ,

30 0 298

4Dx , 0398 mDx .

Ellenőrzés:

0398 30 1193 kNmOz D yM x F ,

0298( 40) 1193 kNmOz C xM y F .

O x

y

FF

O O z zM M e

Dx

Cy

e

xF

xF

yF

yF

eh

C

DP

3. Gyakorló feladat: Erőrendszer pontra és tengelyre számított nyomatéka

Adott:

1 4 4 kNx zF e e ,

2 ( 2 ) kNxF e ,

3 (2 3 4 ) kNx y zF e e e ,

( 2 4 4 )mx y za e e e .

Feladat:

a) Az O és az A

pontokra számított OM

és AM nyomaték

meghatározása.

b) Az erőrendszer y és a tengelyekre számított yM és aM nyomatékának meghatározása.

Kidolgozás:

a) Az erőrendszer OM és AM nyomatékának kiszámítása:

(4 3 ) kNi x yi

F F e e ,

(24 24 24 ) kNmO i i x y zi

M r F e e e ,

1 1 0 0 4 0 16 = 16 kNm4 0 4

x y z

y y

e e e

r F e e

,

2 2 8 6 4 0 8 + 0 12 = 8 12 kNm2 0 0

x y z

y z y z

e e e

r F e e e e

,

3 3 8 6 0 24 0 32 0 24 12 =

2 3 4

x y z

zx y

e e e

r F e e e

(24 32 12 ) kNmx y ze e e ,

(24 24 ) kNmA O OA x yM M F r e e ,

(4 3 ) 8 24 kNmOA x y x zF r e e e e .

b) Az erőrendszer yM és aM nyomatékának kiszámítsa:

24 kNmy yM e ,

24 kNma A aM M e ,

( 2 4 4 ) 1 2 2

| | 3 3 34 16 16

x y z

a x y z

e e eae e e e

a

,

1 2 2(24 24 ) 8 16 24 kNm

3 3 3A A x y x y zM e e e e e e

.

x

y

z

1P

2P

3P

O

A

a

a

1F2F

3F

6 m

4 m

8 m

4. Gyakorló feladat: Erőrendszer pontra és tengelyre számított nyomatéka

Adott:

1 2 5 MNF F ,

2 3 20 MNmM M ,

(4 8 3 ) mB x y zr e e e ,

za e .

Feladat:

a) Az erőrendszer O és E pontokra számított OM és EM nyomatékának meghatározása.

b) Az erőrendszer x és a tengelyekre számított xM és aM nyomatékának meghatározása.

Kidolgozás:

a) Az erőrendszer O és E pontokra számított OM és EM nyomatékának meghatározása:

1 2 (4 3 ) ( 5 ) (4 5 3 ) MNzx y x y zF F F e e e e ee ,

2 3 1 2O D BM M M r F r F ,

1 (3 ) (4 3 ) (12 ) MNmD z x z yr F e e e e ,

2 (4 8 3 ) ( 5 ) (15 20 ) MNmB x y z y x zr F e e e e e e ,

( 20 ) (20 ) (12 ) (15 20 ) (15 32 40 ) MNmO z y y x z x y zM e e e e e e e e ,

E O OEM M F r ,

(4 5 3 ) (4 ) (20 12 )OE x y z x z yF r e e e e e e ,

(15 20 20 ) MNmE x y zM e e e .

b) Az erőrendszer x és a tengelyekre számított xM és aM nyomatékának meghatározása:

15 MNmx O xM M e , 20 MNma E zM M e .

x

y

z

O1F

2F3M

2M

A

a

B

CD

E G

H