Upload
hathuy
View
271
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
1. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor a. Aturan Segitiga
Vektor 𝑎 dan vektor 𝑏 membentuk sudut 𝛼 jika dijumlahkan secara grafis
Gambar 5 Pindahkan awal vektor 𝑏 ke ujung vektor 𝑎
Gambar 6 Tarik garis dari awal vektor 𝑎 ke ujung vektor 𝑏
Gambar 7 Sesuai dengan aturan cosinus pada pembahasan trigonometri
𝑎 + 𝑏 = 𝑎 ! + 𝑏!− 2 𝑎 𝑏 cos 180! − 𝛼
𝑎 + 𝑏 = 𝑎 ! + 𝑏!− 2 𝑎 𝑏 − cos𝛼
𝑎 + 𝑏 = 𝑎 ! + 𝑏!+ 2 𝑎 𝑏 cos𝛼
Secara matriks 𝑎 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ dijumlahkan dengan 𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ 𝑎 + 𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ + 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ𝑎 + 𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ+ 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ𝑎 + 𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ+ 𝑦!ȷ𝑎 + 𝑏 = 𝑥! + 𝑥! ı+ 𝑦! + 𝑦! ȷ
Gambar 8
Panjang vektor hasil penjumlahan vektor 𝑎 dan 𝑏 adalah
𝑎 + 𝑏 = 𝑎 ! + 𝑏!+ 2 𝑎 𝑏 cos𝛼
Jika vektor 𝑎 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ dijumlahkan dengan vektor 𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ maka
𝑎 + 𝑏 = 𝑥! + 𝑥! ı+ 𝑦! + 𝑦! ȷ
Untuk pengurangan 𝑎 − 𝑏 sama dengan penjumlahan lawan vektor 𝑏 maka 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + −𝑏
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 ! + − 𝑏!+ 2 𝑎 − 𝑏 cos𝛼
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 ! + 𝑏!− 2 𝑎 𝑏 cos𝛼
Gambar 9 Secara matriks 𝑎 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ dijumlahkan dengan 𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ 𝑎 − 𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ − 𝑥!i+ 𝑦!j𝑎 − 𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ− 𝑥!ı− 𝑦!ȷ𝑎 − 𝑏 = 𝑥!ı− 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ− 𝑦!ȷ𝑎 − 𝑏 = 𝑥! − 𝑥! ı+ 𝑦! − 𝑦! ȷ
Panjang vektor hasil pengurangan vektor 𝑎 dengan 𝑏 adalah
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 ! + 𝑏!− 2 𝑎 𝑏 cos𝛼
Gambar 10
Karena sifat komutatif tidak berlaku pada pengurangan maka 𝑥! − 𝑥! ≠ 𝑥! − 𝑥! dan 𝑦! − 𝑦! ≠ 𝑦! − 𝑦! sehingga
𝑎 − 𝑏 ≠ 𝑏 − 𝑎
Gambar 11 Dari gambar 11 di atas dapat disimpulkan Vektor 𝑎 − 𝑏 sama dengan vektor dari ujung 𝑏 ke ujung 𝑎 Vektor 𝑏 − 𝑎 sama dengan vektor dari ujung 𝑎 ke ujung 𝑏
Jika vektor 𝑎 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ dikurangkan dengan vektor 𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ maka
𝑎 − 𝑏 = 𝑥! − 𝑥! ı+ 𝑦! − 𝑦! ȷ
b. Aturan Jajaran Genjang
Gambar 12 Pada aturan jajaran genjang titik awal kedua vektor sama kemudian dibuat jajaran genjang seperti pada gambar Hasil penjumlahan adalah vektor yang merupakan diagonal jajaran genjang yang berasal dari titik awal kedua vektor
Gambar 13 Pengurangan sama dengan penjumlahan lawan atau negatif vektor pengurang
Perhatikan penjumlahan dua vektor dengan metode jajaran genjang
Gambar 14 Pada bagian atas dari ujung 𝑏 digambarkan awal 𝑎 sehingga hasilnya adalah 𝑏 + 𝑎 Pada bagian bawah dari ujung 𝑎 digambarkan awal 𝑏 sehingga hasilnya adalah 𝑎 + 𝑏 Hasilnya sama yaitu diagonal jajaran genjang dari titik awal kedua vektor sehingga
Pada penjumlahan vektor berlaku sifat komutatif penjumlahan
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
c. Aturan Poligon Jika vektor yang akan dijumlahkan lebih dari dua
Gambar 15 Awal vektor kedua dipindahkan ke akhir vektor pertama kemuadian awal vektor ketiga dipindahkan ke ujung vektor kedua begitu seterusnya sampai semua vektor sudah digambarkan Hasil penjumlahan adalah vektor yang ditarik dari awal vektor pertama ke ujung vektor terakhir Untuk jelasnya lihat gambar 16
Gambar 16
d. Vektor Antara Dua Titik Vektor digambarkan dengan titik awal dan titik akhir/ujung berarti untuk menggambarkan vektor di butuhkan dua titik Vektor posisi titik 𝐴 𝑥!,𝑦! adalah 𝑎 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ Vektor posisi titik 𝐵 𝑥! ,𝑦! adalah 𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ
Gambar 17 Sesuai aturan penjumlahan dengan metode segitiga 𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵𝑎 + 𝐴𝐵 = 𝑏𝐴𝐵 = 𝑏 − 𝑎
𝐴𝐵 = 𝑏 − 𝑎𝐴𝐵 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ − 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ𝐴𝐵 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ− 𝑥!ı− 𝑦!ȷ𝐴𝐵 = 𝑥!ı− 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ− 𝑦!ȷ𝐴𝐵 = 𝑥! − 𝑥! ı+ 𝑦! − 𝑦! ȷ
Jika 𝑎 dan 𝑏 adalah masing masing vektor posisi titik 𝐴 dan 𝐵 maka vektor 𝐴𝐵 adalah
𝐴𝐵 = 𝑏 − 𝑎 = 𝑥! − 𝑥! ı+ 𝑦! − 𝑦! ȷ Panjang vektor 𝐴𝐵 adalah
𝐴𝐵 = 𝑥! − 𝑥! ! + 𝑦! − 𝑦! !