2. Wellen

2. Wellen

SW08.1 Schwingung.nb

Schwingung s(t) = A sin(t - 0)

2. Wellen

Schwingung s(t) = A sin(t - 0)

Anstelle der Schwingungen mit gleichem Nullphasenwinkel 0 = konst.

2. Wellen

2. Wellen

Schwingung s(t) = A sin(t - 0)

Anstelle der Schwingungen mit gleichem Nullphasenwinkel 0 = konst.

nun Schwingungen mit ortsabhängigen Nullphasenwinkeln 0(x)

2. Wellen

SW08.2 indivSchwing.nb

2. Wellen

Schwingung s(t) = A sin(t - 0)

Anstelle der Schwingungen mit gleichem Nullphasenwinkel 0 = konst.

nun Schwingungen mit ortsabhängigen Nullphasenwinkeln 0(x) = kx

und konstanter Phasendifferenz

s(x,t) = A sin(t - kx)

2. Wellen

SW08.3 Welle.nb SW08.4 kont.Welle.nb

2. Wellen

Schwingung s(t) = A sin(t - 0)

Anstelle der Schwingungen mit gleichem Nullphasenwinkel 0 = konst.

nun Schwingungen mit ortsabhängigen Nullphasenwinkeln 0(x) = kx

und konstanter Phasendifferenz

s(x,t) = A sin(t - kx)

Phasengeschwindigkeit = Wellenlänge / Schwingungsdauer

c = f

2. Wellen

SW08.3 Welle.nb

2. Wellen

Schwingung s(t) = A sin(t - 0)

Anstelle der Schwingungen mit gleichem Nullphasenwinkel 0 = konst.

nun Schwingungen mit ortsabhängigen Nullphasenwinkeln 0(x) = kx

und konstanter Phasendifferenz

s(x,t) = A sin(t - kx)

Phasengeschwindigkeit = Wellenlänge / Schwingungsdauer

c = f s = konst. für t - kx = konst. dx/dt = /k

2. Wellen

2. Wellen

Schwingung s(t) = A sin(t - 0)

Anstelle der Schwingungen mit gleichem Nullphasenwinkel 0 = konst.

nun Schwingungen mit ortsabhängigen Nullphasenwinkeln 0(x) = kx

und konstanter Phasendifferenz

s(x,t) = A sin(t - kx)

Phasengeschwindigkeit = Wellenlänge / Schwingungsdauer

c = f s = konst. für t - kx = konst. dx/dt = /k

Durch Kopplung der Oszillatoren ergibt sich die oben künstlich eingestellte Phasendifferenz (grüne Welle) auf natürliche Weise.

2. Wellen

Die Welle ist ein zeitlich und räumlich veränderlicher Zustand

Die Welle ist ein zeitlich und räumlich veränderlicher Zustand

Voraussetzungen: # Elastisches Medium (Rückstellkraft)

# Deformation in einem Punkt (Erregungszentrum)

Die Welle ist ein zeitlich und räumlich veränderlicher Zustand

Voraussetzungen: # Elastisches Medium (Rückstellkraft)

# Deformation in einem Punkt (Erregungszentrum)

Folge: # Transport von Energie ohne Materietransport

# Ausbreitung mit der Phasengeschwindigkeit

Die Welle ist ein zeitlich und räumlich veränderlicher Zustand

Voraussetzungen: # Elastisches Medium (Rückstellkraft)

# Deformation in einem Punkt (Erregungszentrum)

Folge: # Transport von Energie ohne Materietransport

# Ausbreitung mit der Phasengeschwindigkeit

Wellenarten: # gerichtete Größen (Vektoren: Weg, Feldstärke)

Seilwellen, Wasserwellen, Licht

Die Welle ist ein zeitlich und räumlich veränderlicher Zustand

Voraussetzungen: # Elastisches Medium (Rückstellkraft)

# Deformation in einem Punkt (Erregungszentrum)

Folge: # Transport von Energie ohne Materietransport

# Ausbreitung mit der Phasengeschwindigkeit

Wellenarten: # gerichtete Größen (Vektoren: Weg, Feldstärke)

Seilwellen, Wasserwellen, Licht

# ungerichtete Größen (Skalare: Druck, Dichte)

Schallwellen

Die Welle ist ein zeitlich und räumlich veränderlicher Zustand

Voraussetzungen: # Elastisches Medium (Rückstellkraft)

# Deformation in einem Punkt (Erregungszentrum)

Folge: # Transport von Energie ohne Materietransport

# Ausbreitung mit der Phasengeschwindigkeit

Wellenarten: # gerichtete Größen (Vektoren: Weg, Feldstärke)

Seilwellen, Wasserwellen, Licht

# ungerichtete Größen (Skalare: Druck, Dichte)

Schallwellen

# Transversalwellen (polarisierbar)08#4kont.Welle.nb

Die Welle ist ein zeitlich und räumlich veränderlicher Zustand

Voraussetzungen: # Elastisches Medium (Rückstellkraft)

# Deformation in einem Punkt (Erregungszentrum)

Folge: # Transport von Energie ohne Materietransport

# Ausbreitung mit der Phasengeschwindigkeit

Wellenarten: # gerichtete Größen (Vektoren: Weg, Feldstärke)

Seilwellen, Wasserwellen, Licht

# ungerichtete Größen (Skalare: Druck, Dichte)

Schallwellen

# Transversalwellen (polarisierbar)

# LongitudinalwellenSW08.5 Longitudinalwelle.nbSW08.6 Longitwelle,markiert.nb

Beschleunigung ~ Rückstellkraft

Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung

Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung

Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung ~ s´´

~

Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung ~ s´´

d2s

dt2 d2sdx2

~

Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung ~ s´´

d2s

dt2 d2sdx2

x = const t = const

2st2

2sx2~

Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung ~ s´´

2st2

2sx2~

Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung ~ s´´

s ~ s´´ ..

2st2

2sx2~

Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung ~ s´´

s ~ s´´ ..

1

c2- s + s´´ = 0

..

2st2

2sx2~

Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung ~ s´´

s ~ s´´ ..

1

c2- s + s´´ = 0

..

1

c2- + = 0

2st2

2sx2

2st2

2sx2~

Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung ~ s´´

s ~ s´´ ..

1

c2- s + s´´ = 0

..Wellengleichung

1

c2- + = 0

2st2

2sx2

Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen

s(x,t) = s sin(t - kx) oder s(x,t) = s cos(t - kx)

1

c2- s + s´´ = 0

..Wellengleichung

1

c2- + = 0

2st2

2sx2

^ ^

1

c2- s + s´´ = 0

..Wellengleichung

1

c2- + = 0

2st2

2sx2

s = 0 für x = t = 0 s = s für x = t = 0

Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen

s(x,t) = s sin(t - kx) oder s(x,t) = s cos(t - kx)^ ^

^

1

c2- s + s´´ = 0

..Wellengleichung

1

c2- + = 0

2st2

2sx2

Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen

s(x,t) = s sin(t - kx)^

1

c2- s + s´´ = 0

..Wellengleichung

1

c2- + = 0

2st2

2sx2

Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen

s(x,t) = s sin(t - kx)^

2sx2 = -k2s

1

c2- s + s´´ = 0

..Wellengleichung

1

c2- + = 0

2st2

2sx2 = -k2s

Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen

s(x,t) = s sin(t - kx)^

-k2s

1

c2- s + s´´ = 0

..Wellengleichung

1

c2- + = 0

2st2

2sx2 = -k2s

Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen

s(x,t) = s sin(t - kx)^

-k2s

1

c2- s + s´´ = 0

..Wellengleichung

1

c2- + = 0

2st2

2sx2 = -k2s

Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen

s(x,t) = s sin(t - kx)^

-k2s

2st2 = -2s

1

c2- s + s´´ = 0

..Wellengleichung

1

c2- + = 0

2sx2 = -k2s

2st2 = -2s

Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen

s(x,t) = s sin(t - kx)^

-k2s(-2s)

Wellengleichung

2sx2 = -k2s

2st2 = -2s k2 = 2/c2

Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen

s(x,t) = s sin(t - kx)^

1

c2- s + s´´ = 0

..

1

c2- + = 0-k2s(-2s)

1

c2- s + s´´ = 0

..Wellengleichung

1

c2- + = 0

2st2

2sx2

2sx2 = -k2s

2st2 = -2s k2 = 2/c2

= 2/T = 2f Kreisfrequenz

Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen

s(x,t) = s sin(t - kx)^

1

c2- s + s´´ = 0

..Wellengleichung

1

c2- + = 0

2st2

2sx2

2sx2 = -k2s

2st2 = -2s k2 = 2/c2

= 2/T = 2f Kreisfrequenz

k = 2/ Kreiswellenzahl

Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen

s(x,t) = s sin(t - kx)^

1

c2- s + s´´ = 0

..Wellengleichung

1

c2- + = 0

2st2

2sx2

2sx2 = -k2s

2st2 = -2s k2 = 2/c2

= 2/T = 2f Kreisfrequenz

k = 2/ Kreiswellenzahl

c = /T = f Phasengeschwindigkeit

Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen

s(x,t) = s sin(t - kx)^

Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c

Transversalwelle Saite Fa/A

Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c

Transversalwelle Saite Fa/A

Longitudinalwelle Festkörper E/

Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c

Transversalwelle Saite Fa/A

Longitudinalwelle Festkörper E/

Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/

Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c

Transversalwelle Saite Fa/A

Longitudinalwelle Festkörper E/

Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/

Longitudinalwelle Gasp/

Transversalwellen können in Flüssigkeiten und Gasen nicht auftreten.

Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c

Transversalwelle Saite Fa/A

Longitudinalwelle Festkörper E/

Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/

Longitudinalwelle Gasp/

Transversalwellen können in Flüssigkeiten und Gasen nicht auftreten.

Flüssigkeiten: Kompressibilität bei konstanter Temperatur =

Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c

Transversalwelle Saite Fa/A

Longitudinalwelle Festkörper E/

Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/

Longitudinalwelle Gasp/

-1 VpV T = const

Transversalwellen können in Flüssigkeiten und Gasen nicht auftreten.

Flüssigkeiten: Kompressibilität bei konstanter Temperatur =

Gase: Adiabatenexponent = cp/cV

Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c

Transversalwelle Saite Fa/A

Longitudinalwelle Festkörper E/

Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/

Longitudinalwelle Gasp/

-1 VpV T = const

Transversalwellen können in Flüssigkeiten und Gasen nicht auftreten.

Festkörper: F = Ds

Flüssigkeiten: Kompressibilität bei konstanter Temperatur =

Gase: Adiabatenexponent = cp/cV

Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c

Transversalwelle Saite Fa/A

Longitudinalwelle Festkörper E/

Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/

Longitudinalwelle Gasp/

-1 VpV T = const

Transversalwellen können in Flüssigkeiten und Gasen nicht auftreten.

Festkörper: F = Ds, F/A= (Dl/A)s/l

Flüssigkeiten: Kompressibilität bei konstanter Temperatur =

Gase: Adiabatenexponent = cp/cV

Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c

Transversalwelle Saite Fa/A

Longitudinalwelle Festkörper E/

Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/

Longitudinalwelle Gasp/

-1 VpV T = const

Transversalwellen können in Flüssigkeiten und Gasen nicht auftreten.

Festkörper: F = Ds, F/A= (Dl/A)s/l

= E

Flüssigkeiten: Kompressibilität bei konstanter Temperatur =

Gase: Adiabatenexponent = cp/cV

Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c

Transversalwelle Saite Fa/A

Longitudinalwelle Festkörper E/

Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/

Longitudinalwelle Gasp/

-1 VpV T = const

Transversalwellen können in Flüssigkeiten und Gasen nicht auftreten.

Festkörper: F = Ds, F/A= (Dl/A)s/l

= E

Elastizitätsmodul E = Dl/A

Flüssigkeiten: Kompressibilität bei konstanter Temperatur =

Gase: Adiabatenexponent = cp/cV

Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c

Transversalwelle Saite Fa/A

Longitudinalwelle Festkörper E/

Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/

Longitudinalwelle Gasp/

-1 VpV T = const

[3.07] Durch einen Metallstab der Querschnittsfläche A = 1 cm2 verläuft eine Welle der

Frequenz f = 2550 Hz und der Amplitude s^ = 0,1 cm. Wieviel Energie enthält der Stabpro Länge?

Gegeben: c = (E/)1/2

= 5100 m/s, E = 2.107 N/cm

2.

[3.08] a) Ein Draht aus Edelstahl besitzt den Querschnitt 1mm2, die Länge 10 m und die

Dichte 8000 kg/m3. Er ist mit der Kraft Fa = 80 N gespannt. Wie lange dauert die

Fortpflanzung einer Auslenkung bis ans andere Ende? (Querwelle)b) Ein massiver Stab aus demselben Material besitzt den Elastizitätsmodul E = 200 000

N/mm2. Wie groß ist die Phasengeschwindigkeit darin? (Längswelle)