20.- Estática del sólido rígido

20.- Estática del sólido rígido.

§20.1. Estática (587); §20.2. Equilibrio del sólido rígido (588); §20.3. Fuerzas aplicadas aun sólido rígido (589); §20.4. Ecuaciones cardinales de la estática (590); §20.5. Centro degravedad (592); §20.6. Sistemas con ligaduras. Grados de libertad (594); §20.7. Estática delsólido rígido sujeto a ligaduras (596); §20.8. Diagrama del cuerpo libre (600);§20.9. Estática de un sistema de cuerpos rígidos (602); §20.10. Concepto de desplazamientovirtual (604); §20.11. Principio de los trabajos virtuales (605); Problemas (611)

§20.1. Estática.- La Dinámica es la parte de la Mecánica en la que se estudiala relación existente entre el movimiento de un cuerpo y sus causas. Nos enseña quedicho movimiento depende de la masa del cuerpo y de las acciones o fuerzas queejercen sobre él otros cuerpos que constituyen su medio ambiente. Los efectos dedichas fuerzas pueden contrarrestarse entre sí, dando lugar a una situación análogaa la que se presentaría si no actuase fuerza alguna sobre el cuerpo. El capítulo de laMecánica que estudia sólo aquellos sistemas en los que las fuerzas actuantes secontrarrestan, recibe el nombre de Estática.

La Estática está íntimamente relacionada con el concepto de equilibrio, y puededefinirse como aquella parte de la Mecánica que trata del equilibrio de los sistemasmateriales, entendiéndose por equilibrio aquella configuración del sistema materialque permanece invariable bajo la acción de un sistema de fuerzas. Esta definición nospresenta a la Estática como la parte de la Mecánica que estudia las condiciones quedeben satisfacer los sistemas de fuerzas para que al actuar sobre un sistema materialno se alteren los parámetros que determinan la posición y configuración de éste.

En una lección anterior nos ocupábamos de la Estática de la partícula y decíamosque ésta se encuentra en equilibrio en un referencial cuando es nula su aceleraciónen ese referencial. Esta definición de equilibrio implica que la resultante de todas lasfuerzas que actúan sobre la partícula debe ser nula; esto es

[20.1]Ri

F i 0

En definitiva, la partícula se encuentra en equilibrio, bajo la acción de un sistema defuerzas, si su estado de movimiento es el que corresponde a una partícula libre(ausencia de fuerzas); esto significa que su movimiento es rectilíneo y uniforme(aceleración nula).

Física Universitaria 587

588 Lec. 20.- Estática del sólido rígido.

¿Qué entendemos por equilibrio de un sólido rígido? ¿Cuáles deberán ser lascondiciones que satisfagan las fuerzas que actúen sobre él para que el equilibrio seaposible? La respuesta a estas dos preguntas es el objetivo fundamental de estalección.

§20.2. Equilibrio del sólido rígido.- Contestaremos a la primera de las dospreguntas anteriores estableciendo una analogía entre el equilibrio de la partícula yel del sólido rígido, hasta donde ello sea posible. De ese modo, diremos que el sólidorígido se encuentra en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas si su estadode movimiento es el que correspondería a un sólido rígido libre de acción exterior;pero ¿qué tipo de movimiento presenta el sólido rígido libre?

Sabemos que el movimiento más general de un sólido rígido es el rototraslatorio;esto es, compuesto de una rotación y una traslación. Sabemos, además, que el centrode masa del sólido rígido (al igual que el de cualquier sistema material) se muevecomo si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el sólido rígido estuviesenaplicadas en él. En ausencia de fuerzas, el centro de masa del sólido rígido se muevecon velocidad constante (movimiento rectilíneo y uniforme). Así pues, el sólidorígido se encuentra en equilibrio de traslación en un referencial cuando la aceleraciónde su centro de masa es nula en ese referencial.

En cuanto al equilibrio de rotación no podemos seguir con la misma analogía (yaque la partícula no rota). Veremos en las lecciones siguientes que cuando un sólidorígido utiliza uno de sus ejes principales de inercia como eje de rotación no muestratendencia alguna a abandonar ese eje y no ejerce reacciones sobre los apoyos delmismo. Por esa razón los ejes principales del sólido reciben también el nombre deejes libres. Veremos también que en esas condiciones el movimiento de rotación delsólido continúa sin necesidad de la intervención de momentos externos; su momentoangular permanece constante y, al serlo también su momento de inercia, su velocidadangular también será constante. Así, podemos definir el equilibrio de rotación delsólido rígido como la ausencia de aceleración angular con respecto a cualquier ejelibre y fijo (en cuanto a su orientación en el espacio, sin descartar la posibilidad deque dicho eje se traslade paralelamente a sí mismo) en un cierto referencial.

Las definiciones dadas anteriormente para los equilibrios de traslación y derotación no exigen que el cuerpo se encuentre en reposo en el referencial elegido,sino solamente que no tenga aceleración (de traslación y angular, respectivamente)en dicho referencial. Así, el sólido rígido en equilibrio puede estar moviéndose demodo que su centro de masa lo haga con velocidad constante (vcm = cte) y que larotación tenga lugar en torno a un eje libre de orientación fija en el espacio convelocidad angular constante (ω = cte). Si el sólido está realmente en reposo en elreferencial elegido, esto es si vcm = 0 y ω = 0, diremos que su equilibrio es estático.Sin embargo, como veremos posteriormente, las condiciones que deben satisfacer lossistemas de fuerzas que actúen sobre el cuerpo son las mismas ya sea que el cuerpose encuentre en equilibrio estático o no-estático.

Por otra parte, conviene destacar que en principio la Estática no presupone laelección de un referencial inercial, ya que un observador situado en un referencial no-inercial detectaría unas fuerzas que actuarían sobre el cuerpo y que provienen de lafalta de inercialidad de su referencial (las fuerzas de inercia) que para él son tan

§20.2.- Equilibrio del sólido rígido. 589

legítimas y tan activas como las demás fuerzas que puedan actuar sobre el cuerpo yque provengan de la presencia de otros cuerpos en sus cercanías.

§20.3. Fuerzas aplicadas a un sólido rígido.- Con anterioridad hemos defi-nido el sólido rígido como aquel sistema de partículas en el que la distancia entre doscualesquiera de ellas permanece invariable en el transcurso de cualquier procesofísico. Esta definición es sólo conceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todorigor, no existe, ya que todos los cuerpos reales se deforman siempre, en mayor omenor grado, bajo la acción de las fuerzas. Sin embargo, si esas fuerzas sonsuficientemente poco intensas, las deformaciones que producen al actuar sobre ungran número de cuerpos reales son despreciables; dichos cuerpos serán consideradoscomo rígidos o indeformables. En ese sentido, el sólido rígido es sólo unaidealización y extrapolación (para fuerzas poco intensas) del sólido real.

¿Cómo se comportan las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido? En laslecciones anteriores hemos insistido en el carácter vectorial de las fuerzas y hemosvisto que cuando varias fuerzas actúan sobre una partícula, el efecto de todas ellasen conjunto es el mismo que produciría una única fuerza resultante que es la sumavectorial de todas ellas (principio de superposición). No encontrábamos ningunadificultad para efectuar dicha suma al estar todas las fuerzas aplicadas a un mismopunto.

En cambio, en el caso de un sólido rígido, las fuerzas que actúan sobre él estaránaplicadas en distintos puntos del sólido y sólo la experiencia nos permitirá establecerel método que debemos seguir para reducir el sistema de fuerzas a otro más sencillo.Experimentalmente se pueden comprobar los dos postulados siguientes, sobre los quecimentaremos la Estática del Sólido Rígido:

(1) Carácter vectorial de las fuerzas.- Un sistema de fuerzas que actúasobre un mismo punto de un sólido rígido puede ser sustituido por unafuerza única, la resultante del sistema, obtenida sumando vectorialmentetodas las fuerzas que constituyen el sistema (Figura 20.1a). O sea

[20.2]

(2) Condición estática de rigidez.- Los efectos producidos por dos fuerzasiguales y opuestas, F y -F, que actúan sobre una misma recta directriz, seneutralizan mutuamente, aun cuando no estén aplicadas a un mismo puntodel sólido rígido.

En efecto, puesto que la distancia entre los puntos A y B (Figura 20.1b) debe permanecer invariable ypuesto que el único efecto que pueden producir tales fuerzas es un desplazamiento a lo largo de la rectaAB, los efectos respectivos deberán neutralizarse.

Admitidos los dos postulados anteriores, también deberemos admitir que:

Las fuerzas aplicadas a un sólido rígido puedan representarse mediante vec-tores deslizantes.

En efecto, si consideramos un sólido rígido sometido a la acción de una fuerza F, aplicada en el punto A,el primer postulado nos permite añadir dos fuerzas iguales y opuestas, F y -F, del mismo módulo y conla misma recta de acción que la dada pero aplicadas en un punto B, sin que con ello se modifique el estadode equilibrio o de movimiento del cuerpo (Figura 20.1c). Entonces, de acuerdo con el segundo postulado,


las fuerzas F y -F, aplicadas respectivamente en los puntos A y B, neutralizan sus efectos y el resultado

Figura 20.1

neto es que nos queda sólo la fuerza F aplicada en el punto B, que podemos considerarla como el resultadode deslizar la fuerza original F aplicada en A a lo largo de su recta de acción.

Los dos postulados en los que hemos cimentado la Estática apoyan su validez enel hecho de que todas las consecuencias que de ellos se derivan son corroboradas porla experiencia. En virtud de ellos y de la conclusión que de ellos hemos obtenidoreferente al carácter deslizante de los vectores que representan a las fuerzas, todas laspropiedades estudiadas en la Lección 2 para los vectores deslizantes serán igualmenteaplicables a los sistemas de fuerzas que actúen sobre un sólido rígido; por ello excu-samos aquí la repetición de aquellas propiedades.

En definitiva,

el sistema de fuerzas aplicadas a un sólido rígido está representado por unsistema de vectores deslizantes respecto al cuerpo al que están aplicadas.

Es más, admitimos que sistemas de vectores equivalentes representan a sistemasde fuerzas equivalentes; esto es, que modifican de igual modo el estado de equilibrioo de movimiento de los sistemas rígidos sobre los que se aplican.

§20.4. Ecuaciones cardinales de la estática.- Consideremos un sólido rígidosobre el cuál actúa un sistema de fuerzas. De la definición dada anteriormente parael equilibrio del sólido rígido y del carácter vectorial y deslizante de las fuerzasaplicadas al sólido se sigue que:

La condición necesaria y suficiente para que un sólido rígido se encuentreen equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas es que dicho sistemade fuerzas sea equivalente a cero.

El enunciado anterior significa que la resultante general y el momento resultantegeneral (con respecto a cualquier punto del espacio) deben ser nulos. Esto es, lascondiciones de equilibrio del sólido rígido pueden expresarse por las llamadasecuaciones cardinales de la Estática:

§20.4.- Ecuaciones cardinales de la estática. 591

[20.3]Ri

F i 0 Mi

M i 0

La ec. [20.3a] se refiere al equilibrio de traslación del sólido. Al ser nula laresultante del sistema de fuerzas aplicado al sólido, el centro de masa del mismoestará en reposo o moviéndose con velocidad constante.

La condición expresada por la ec. [20.3b] se refiere al equilibrio de rotación. Alser nulo el momento de las fuerzas, con respecto a cualquier punto del espacio, segarantiza que el momento angular del sólido permanecerá constante, de modo que elcuerpo está o bien en reposo o bien girando con velocidad angular constante en tornoa un eje principal que mantiene su orientación fija en el espacio.

El momento resultante M en la ec. [20.3b], que debe ser nulo para que existaequilibrio, deberá calcularse con respecto a un cierto centro de reducción O. Nospodemos preguntar si es indiferente el centro de reducción que escojamos.Recordemos que la resultante general de un sistema de vectores deslizantes esindependiente del centro de reducción elegido, pero que no sucede lo mismo con elmomento resultante general, que varía de un punto a otro. La relación existente entreMO y MO′ es

[20.4]MO′ MO O′O × R

de modo que si R = 0 (primera condición de equilibrio), entonces MO′ = MO, y si elmomento resultante es nulo con respecto a un centro de reducción O, también lo serácon respecto a cualquier otro punto O′. Por tanto, la condición [20.3b] bastaráverificarla para un solo punto del espacio, toda vez que se haya verificado lacondición [20.3a].

Las ecuaciones [20.3] son vectoriales, de modo que nos conducen a seisecuaciones escalares (tres por cada una de ellas), independientes, que deben satisfacerlas fuerzas aplicadas al sólido rígido para que éste se encuentre en equilibrio. Estasecuaciones son

[20.5]Rxi

Fi,x 0 Ryi

Fi,y 0 Rzi

Fi,z 0

[20.6]Mxi

Mi,x 0 Myi

Mi,y 0 Mzi

Mi,z 0

que establecen que la suma de las componentes de las fuerzas y de los momentos delas fuerzas (con respecto a un punto cualquiera) sobre cada uno de los ejes coorde-nados deben ser nulos para que haya equilibrio. Estas seis condiciones independientesentre sí se corresponden con los seis grados de libertad del sólido rígido (tres detraslación y tres de rotación).

Frecuentemente nos encontramos con problemas en los que todas las fuerzasactuantes son coplanarias. No habrá entonces inconveniente en tomar como plano xyel de coplanaridad, ya que de ese modo será Rz ≡ 0 (por ser nulas las componentesde las fuerzas en la dirección normal al plano de coplanaridad). Por otra parte,también serán nulos todos los momentos de las fuerzas con respecto a los ejes x e y(por ser coplanarias con ellos), de modo que Mx ≡ 0 y My ≡ 0, al igual que Rz ≡ 0,se cumplen idénticamente, y las condiciones de equilibrio se reducen a tres


[20.7]Rx 0 Ry 0 Mz 0

que se corresponden con los tres grados de libertad para el movimiento plano delsólido rígido (dos de traslación y uno de rotación).

Para completar nuestro estudio consideraremos los siguientes casos particulares:

(1) Un sólido rígido no puede estar en equilibrio bajo la acción de una solafuerza.

Obviamente, en estas condiciones no puede ser nula la resultante general. Ejemplo: cuerpo que caelibremente.

(2) El sólido rígido sólo podrá estar en equilibrio bajo la acción de dos fuer-zas si éstas son iguales y opuestas y tienen la misma recta de acción.

Si las dos fuerzas no tienen la misma recta de acción, aunque la resultante sea nula (equilibrio de trasla-

Figura 20.2

ción), el momento resultante no será nulo; en estas condiciones, el sistema constituye un par de fuerzasy no existe equilibrio de rotación.

El lector puede demostrar fácilmente (utilizando elteorema de Varignon) que:

(3) Si son tres las fuerzas aplicadas al sólidorígido, la condición de equilibrio implica queestas tres fuerzas (Figura 20.2) han de ser coplana-rias y concurrentes (el punto de concurrenciapuede estar eventualmente en el infinito).

Las condiciones de equilibrio [20.7] equivalen a ...

(4) ... la anulación del momento con respecto ados puntos y a la anulación de la suma de lascomponentes de las fuerzas en una direcciónque no sea perpendicular a la de la recta defi-nida por los dos puntos anteriormente citados(Problema 20.1).

(5) ... la anulación de los momentos con respecto a tres puntos no alineados(Problema 20.2).En ningún caso podemos obtener más de tres condiciones de equilibrio indepen-

dientes.

§20.5. Centro de gravedad.- Una de las fuerzas con las que estamos másfamiliarizados es aquélla que ejerce la Tierra sobre todos los cuerpos que están ensus proximidades; dicha fuerza recibe el nombre de peso del cuerpo. En realidad,para un cuerpo de dimensiones finitas, el peso no es estrictamente "una fuerza", sinola resultante de un gran número de ellas, ya que cada una de las partículas que loconstituyen está sometida a la atracción gravitatoria terrestre.

Consideremos un cuerpo de masa M que se encuentra en una región del espaciodonde existe un campo gravitatorio. La fuerza que actúa sobre cada una de laspartículas que lo constituyen viene dada por migi, donde mi representa la masa de lapartícula i-ésima y gi es la intensidad del campo gravitatorio en el punto donde se

§20.5.- Centro de gravedad. 593

encuentra dicha partícula. La fuerza total que

Figura 20.3

actúa sobre las N partículas que constituyen elcuerpo es, obviamente,

[20.8]Pi

mi g i

i.e., la resultante general de ese sistema de fuer-zas. Pero, ¿dónde está aplicada esa resultante?

Si la intensidad del campo gravitatorio, g,tiene el mismo valor en todos los puntos de unacierta región del espacio, decimos que el campogravitatorio es uniforme en dicha región. Para uncuerpo situado en un campo gravitatorio unifor-me, g tiene el mismo valor para todas las partícu-las que lo constituyen, de modo que las fuerzas gravitatorias individuales forman unsistema de vectores paralelos entre sí cuya resultante es P=Mg, i.e., el peso delcuerpo. El centro de ese sistema de vectores paralelos (§2.7) recibe el nombre decentro de gravedad y viene determinado por

[20.9]OG iFi OP i

iFi

iFi r i

iFi

rG

y puesto que Fi = mi g, o sea Fi = mi g, resulta

[20.10]rGi

mi g r i

imi g

imi r i

imi

ecuación vectorial que nos determina la posición del centro de gravedad y queequivale a tres ecuaciones escalares

[20.11] xGi

mi xi

MyG

imi yi

MzG

imi zi

M

de modo que todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las partículas queconstituyen un cuerpo pueden reemplazarse por una fuerza única, Mg, aplicada en elcentro de gravedad del cuerpo. Esto equivale a decir que los efectos de todas lasfuerzas gravitatorias individuales (sobre las partículas) pueden contrarrestarse por unasola fuerza, -Mg, con tal de que sea aplicada en el centro de gravedad del cuerpo,como se indica en la Figura 20.3.

En efecto, puesto que el momento de un sistema de vectores paralelos con respecto al centro delsistema es cero (por definición), el sistema es equivalente a un vector único (la resultante) aplicado endicho centro; entonces, para equilibrar el sistema bastará aplicar una fuerza en el centro de gravedad delcuerpo, de igual módulo, misma dirección y sentido opuesto a la resultante Mg.

Observaremos que las ecuaciones [20.10] y [20.11] son también las que determinanla posición del centro de masa del cuerpo; sin embargo, no debemos confundir outilizar indiferentemente los términos de centro de masa y de centro de gravedad, ya


que entre ellos existe una distinción no sólo conceptual sino también

Figura 20.4

práctica. El centro de masa o de inercia es una propiedad intrínsecade la materia, que siempre tiene significado; en cambio, el centrode gravedad solo tiene significado cuando el cuerpo se encuentra enun campo gravitatorio externo. Además, la coincidencia del centrode gravedad y del centro de masa no es general, sino que provienede la suposición que hemos hecho de que el campo gravitatorio seauniforme en el volumen ocupado por el cuerpo.

Esta situación se presenta, en el caso del campo gravitatorio terrestre, sólo si elcuerpo no es demasiado extenso. De otro modo no podemos considerar g = cte entoda la extensión del cuerpo ya que, como sabemos, la dirección de g es radial y sumódulo decrece con el cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Bajo unascondiciones generales el centro de gravedad y el centro de masa de un cuerpo notienen porqué coincidir.

Para comprenderlo, imaginemos una barra homogénea, de muchos kilómetrosde longitud (Figura 20.4), en posición vertical sobre la superficie terrestre. Si consideramos el peso porunidad de longitud de la barra, es obvio que a medida que nos alejamos del extremo inferior de la barradicho peso por unidad de longitud irá disminuyendo (por disminuir la intensidad del campo gravitatorioterrestre). Las posiciones del centro de masa (cm) y del centro de gravedad (G) de la barra están indicadasen la Figura 20.4; se comprenderá fácilmente la no coincidencia de ambos centros.

En la mayor parte de los problemas de la

Figura 20.5

Mecánica nos referiremos a cuerpos cuyas dimen-siones son pequeñas en comparación con las distan-cias que se requieren para que la intensidad delcampo gravitatorio terrestre cambie de un modosignificativo; bajo esas condiciones podemosaceptar la coincidencia del centro de masa y delcentro de gravedad de un cuerpo en un mismopunto. De hecho, utilizamos esa coincidenciacuando determinamos la posición del centro de

masa de un cuerpo irregular o no-homogéneo utilizando el método de suspenderlo pordos puntos distintos (Figura 20.5).

§20.6. Sistemas con ligaduras. Grados de libertad.- Frecuentemente nosencontramos con sistemas materiales cuyo movimiento está restringido por ciertaslimitaciones físicas que reciben el nombre de ligaduras. El concepto de ligadura, asícomo el modo de abordar los problemas en los que estas aparecen, ya fuedesarrollado en una lección anterior (véase, §8.13) y si ahora lo mencionamos denuevo es para relacionarlo con otro concepto importante; el de grados de libertad deun sistema material. También hemos hecho referencia, con anterioridad, a los seisgrados de libertad del sólido rígido libre, pero en ningún momento hemos definidoel concepto de grados de libertad y su relación con las ligaduras.

Entendemos por grados de libertad de un sistema material el númeromínimo de coordenadas independientes que son necesarias para especificarla configuración del sistema material.

Así, para el caso de una partícula no sujeta a ligaduras, necesitamos trescoordenadas [las cartesianas (x,y,z), por ejemplo] para especificar su posición con

§20.6.- Sistemas con ligaduras. Grados de libertad. 595

respecto a un cierto sistema coordenado. Diremos que la partícula no sujeta aligaduras tiene tres grados de libertad.

La configuración de un sistema material, compuesto por N partículas, quedarádeterminada si conocemos en cada instante las coordenadas de las N partículas; estoes, necesitamos 3N coordenadas. Un sistema de N partículas, sin ligaduras, tiene 3Ngrados de libertad.

Pero si existen ligaduras holónomas, las coordenadas de las N partículas queconstituyen el sistema no son independientes entre sí, ya que están relacionadas porecuaciones de la forma

[20.12]f j (x1,y1,z1,x2,y2,z2, xN,yN,zN) 0 con j 1,2, h

de modo que podemos utilizar esas h ecuaciones de ligadura para eliminar h de las3N coordenadas, con lo que sólo nos quedarán 3N - h coordenadas independientesque especificarán la configuración del sistema material sujeto a ligaduras holónomas.Estas coordenadas independientes entre sí pueden elegirse de muy diversas formasy constituyen las llamadas coordenadas libres del sistema material. Entonces,definiremos los grados de libertad de un sistema material como el número mínimode esas coordenadas libres que especifican su configuración en cada instante.

Un ejemplo sencillo de sistema sujeto a ligaduras lo constituye una cuenta de collar ensartada en unalambre. El alambre coincide con cierta curva en el espacio y las ligaduras exigen que las coordenadas dela cuenta satisfagan las dos ecuaciones que definen dicha curva (las ecuaciones de dos superficies cuyaintersección es la curva considerada). Así pues, existen dos ecuaciones de ligadura y la cuenta tiene 3 -2 = 1 grado de libertad; esto es, sólo necesitamos especificar una coordenada (la coordenada intrínseca,por ejemplo) para determinar la posición de la cuenta en el alambre. (¿Qué ocurrirá si se mueve elalambre?)

Para un sólido rígido formado por N partículas se

Figura 20.6

tendrá como máximo 3N grados de libertad, númeroque se reduce considerablemente al tener en cuentalas ligaduras de rigidez, que pueden expresarsemediante ecuaciones de la forma

[20.13]rij cij cte

donde rij es la distancia entre las partículas i-ésima yj-ésima, y cij es constante. Para un cuerpo constituidopor N partículas existen N(N-1)/2 modos distintos decombinarlas por parejas; esto es, existenN(N-1)/2 ecuaciones de ligadura del tipo de [20.13].No obstante, el número efectivo de grados de libertad del sólido rígido no es3N-N(N-1)/2, número que resulta negativo para N > 7. La razón está en que lasN(N-1)/2 ecuaciones de ligadura no son todas independientes entre sí. Para especificarla posición de un punto del sólido rígido no es necesario dar sus distancias a todoslos demás puntos del cuerpo; basta con dar las correspondientes a tres puntos noalineados. Una vez que especificamos las coordenadas de tres puntos no alineadosde un sólido rígido, las coordenadas de los demás puntos quedan determinadas porlas ligaduras. Por tanto, el número de grados de libertad del sólido rígido no excederáde nueve. Pero, además, los tres puntos (1,2,3), que hemos tomado como referencia,están ligados por las condiciones de rigidez


r12 c12 r23 c23 r31 c31

esto es, por tres ecuaciones de ligadura, con lo que el número de grados de libertadse reduce a seis. Así pues, necesitamos seis coordenadas libres para especificar laposición de un sólido rígido en el espacio, con independencia del número departículas que lo constituyan y de que sea continuo o discreto.

Podemos clasificar los sistemas materiales de acuerdo con el número de gradosde libertad que tengan; así, hablaremos de sistemas materiales con 1, 2, 3, ... gradosde libertad. Tendremos ocasión de ir comprendiendo en lo que sigue que, desde elpunto de vista de la Estática, sólo estamos interesados en el estudio de aquellossistemas materiales que tienen algún grado de libertad positivo. Un sistema con unnúmero de grados de libertad negativo es un sistema sobreabundante en vínculos yse denomina sistema hiperestático; el estudio de tales sistemas queda fuera del campode la Estática, ya que requiere aplicar no solamente las leyes de la Mecánica de loscuerpo rígidos sino también las leyes de la Elasticidad (vide §20.7.c).

§20.7. Estática del sólido rígido sujeto a ligaduras.- Como ya hemos visto,el sólido rígido constituye, ya de por sí, un ejemplo de sistema restringidoholonómicamente, en el que las ecuaciones de ligadura expresan que la distanciaentre dos cualesquiera de sus puntos permanece constante. Pero, además de a esasligaduras intrínsecas, el sólido rígido puede estar sujeto a otras ligaduras queconstriñan su movimiento de conjunto; así, por ejemplo, puede estar obligado a giraralrededor de un eje fijo solidario con el cuerpo.

De acuerdo con el Principio de Liberación de LAGRANGE, podemos sustituir lasligaduras o vínculos por las fuerzas de ligadura que producen el mismo efecto queaquellas. Entonces, cuando busquemos la resultante de todas las fuerzas que obransobre el cuerpo, deberemos tener en cuenta las fuerzas de ligadura o de reacciónvincular. Así, si llamamos Fi (i = 1, 2, ... n) a las fuerzas activas que obran sobre elcuerpo y F̃j (j = 1, 2, ... h) a las fuerzas de ligadura, las condiciones de equilibrio[20.3] pueden escribirse en la forma

[20.14]i

F ij

F̃ j 0i

M ij

M̃ j 0

donde Mi y M̃j representan los momentos de Fi y F̃j, respectivamente, con respectoa un punto cualquiera del espacio. Las ecuaciones [20.14] nos muestran que,

en el equilibrio, las fuerzas activas y las de ligadura constituyen sendossistemas de fuerzas opuestos entre sí.

Normalmente las fuerzas Fi se dan como datos en los problemas de Mecánica;en tanto que las F̃j aparecen entre las incógnitas, i.e., se desconocen inicialmente.Imponer ligaduras a un sistema material es una forma de reconocer la presencia deunas fuerzas cuyo valor no podemos determinar directamente, sino que su evaluaciónexige resolver completamente el problema, ya que esas fuerzas sólo las conocemosa través de sus efectos sobre el movimiento del sistema. En ocasiones, no nosinteresará conocer los valores de las fuerzas de ligadura y las eliminaremos de lasecuaciones del equilibrio (o del movimiento) en una etapa inicial; pero, si se desea,

§20.7.- Estática del sólido rígido sujeto a ligaduras. 597

se puede proceder a su determinación. En ciertos casos podremos calcular el valorde las fuerzas de ligadura a partir de las ecuaciones [20.14] que establecen lascondiciones de equilibrio del sólido rígido sujeto a ligaduras.

A continuación estudiaremos con algún detalle ciertos casos interesantes de laEstática del sólido rígido vinculado.

§20.7.a. Sólido rígido con un punto fijo.- Consideremos un cuerpo rígido cuyo

Figura 20.7

movimiento esté restringido de modo que uno de sus puntos, el O, permanezca fijoen un cierto referencial. Se comprende que el cuerpo sólo podrá girar en torno a uneje que pase por dicho punto O; la orientación de ese eje en el espacio podrá sercualquiera. Este sistema tiene tan sólo tres grados de libertad; dos ángulos fijarán laorientación del eje en el espacio y un tercer ángulo determinará la rotación del sólidorespecto a dicho eje. Supongamos que sobre el sólidoactúa un sistema de fuerzas Fi, con i = 1, 2, ... n. Lascondiciones de equilibrio [20.14] se escriben en la forma

[20.15]iF i F̃ 0

iM i M̃ 0

de modo que, llamando R = Fi y M = Mi a laresultante y al momento resultante de las fuerzasactivas y tomando el punto O como centro de reduc-ción, queda

[20.16](a)

⎧⎪⎨⎪⎩

Rx F̃x 0Ry F̃y 0Rz F̃z 0

(b)

⎧⎪⎨⎪⎩

Mx 0My 0Mz 0

esto es, seis ecuaciones escalares, de las que sólo las tres de [20.16b] son indepen-dientes de las reacciones vinculares y representan, por tanto, las condiciones deequilibrio correspondientes a los tres grados de libertad del sistema. Las ecuaciones[20.16b] exigen que la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sólidorígido con un punto fijo pasen por dicho punto.

Conocidas las fuerzas exteriores, las componentes de la reacción vincular en Ose calcularán a partir de las tres ecuaciones de [20.16a].

§20.7.b. Sólido rígido con dos puntos fijos.- Consideremos, ahora, un sólido rígidoque tenga dos puntos fijos en un referencial dado; esto equivale a decir que son fijostodos los puntos de la recta que une esos dos puntos, o sea que el movimiento delsólido está restringido a una rotación en torno a un eje fijo. Este sistema tiene,evidentemente, un solo grado de libertad.

Supongamos que obre sobre el sólido un sistema de fuerzas, Fi con i = 1, 2, ...n, y llamemos F̃1 y F̃2 a las reacciones vinculares en los puntos fijos O1 y O2, respec-tivamente. Llamaremos R a la resultante y M al momento resultante de las fuerzasexteriores. Tomando el punto O1 como centro de reducción, las ecuaciones deequilibrio son


[20.17]i

F i F̃1 F̃2 0i

M i M̃1 M̃2 0

o sea [20.18](a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Rx F̃1x F̃2x 0

Ry F̃1y F̃2y 0

Rz F̃1z F̃2z 0

(b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Mx lF̃2y 0

My lF̃2x 0

Mz 0

esto es, seis ecuaciones escalares, de las que sólo

Figura 20.8

una, Mz =0, es independiente de las reaccionesvinculares y representa la condición de equilibriocorrespondiente al único grado de libertad delsistema. Así, la condición necesaria para que elsólido esté en equilibrio es que sea nula la compo-nente del momento externo a lo largo del eje fijo(i.e., el momento externo con respecto a dicho eje).

Cuando intentemos calcular las componentes de

Figura 20.9

las reacciones vinculares en O1 y O2 nos encontrare-mos con sólo cinco ecuaciones (las tres de [20.18a] ylas dos primeras de [20.18b]) con seis incógnitas (trescomponentes para cada reacción vincular); el sistema

de ecuaciones es indeterminado. No obstante, la forma de lasecuaciones nos permite calcular F̃1x, F̃1y, F̃2x y F̃2y tomando sólolas dos primeras ecuaciones de [20.18a] y las dos primeras de[20.18b]. Nos queda entonces la tercera ecuación de [20.18a] quepuede resolverse teniendo en cuenta el sentido de la componenteRz de la resultante R y el tipo de apoyos del eje. Así, en elcaso que se ilustra en la Figura 20.9, si Rz apunta hacia O1,entonces será F̃1z =0; pero si Rz apunta hacia O2, será F̃2z =0.

§20.7.c. Sólido apoyado.- Consideremos un cuerpo rígidoapoyado, como es el caso más frecuente, sobre una superficieplana horizontal, que supondremos sin rozamiento. Llamaremospolígono de apoyo del cuerpo al polígono conexo determinadotomando como vértices aquellos puntos de apoyo tales que todoslos puntos de apoyo queden en el interior de dicho polígono.

En las condiciones anteriores, resulta evidente que las fuerzas de reacciónvincular constituyen un sistema de fuerzas paralelas que admite una resultante únicaaplicada en un punto del interior del polígono de apoyo; ese punto es el centro delcitado sistema de fuerzas paralelas.

En el caso de que se trate simplemente de un cuerpo sometido a la acción de supropio peso, P, las condiciones de equilibrio se escriben en la forma

[20.19]Ph

j 1F̃ j 0 M

h

j 1OO j × F̃ j 0

§20.7.- Estática del sólido rígido sujeto a ligaduras. 599

siendo h el número de apoyos, y donde hemos tomado momentos con respecto a unpunto arbitrario O. Las ecuaciones [20.19] nos muestran que la resultante de lasreacciones en los apoyos deben tener (en el equilibrio) el mismo módulo, la mismadirección y recta de acción, pero distinto sentido que el peso de un cuerpo apoyado.Esto equivale a enunciar

Para que un cuerpo apoyado esté en equilibrio es necesario que la proyec-ción vertical de su centro de gravedad caiga en el interior del polígono deapoyo.

Tomando como plano xy el de apoyo y tomando momentos con respecto alorigen O de dicho sistema coordenado, al desarrollar el producto vectorial queaparece en [20.19b], tenemos

Mh

j 1OO j × F̃ j M

h

j 1

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

xj

yj

0

×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

0

0

F̃ j

0

de modo que las condiciones de equilibrio [20.19] toman la forma

[20.20]

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

Px 0

Py 0

Pz

h

j 1F̃j 0

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

Mx

h

j 1yj F̃j 0

My

h

j 1xj F̃j 0

Mz 0

esto es, seis ecuaciones de las que

Figura 20.10

sólo tres, Px = 0, Py = 0 y Mz = 0,son independientes de las reaccio-nes en los apoyos y que represen-tan las condiciones de equilibriocorrespondientes a los tres gradosde libertad del sistema. Las otrastres ecuaciones permiten calcularel valor de las reacciones en losapoyos siempre que h no seasuperior a tres, lo que haría que elproblema estuviese estáticamenteindeterminado. En efecto, un cuer-po con cuatro o más punto de apoyo constituye un sistema hiperestático, por sersobreabundante en vínculos, y el cálculo de las reacciones vinculares exige no sóloaplicar las leyes de la Estática sino recurrir a la teoría de la Elasticidad.

Como ejemplo, pensemos en una silla de cuatro patas apoyada sobre un suelo plano horizontal.En realidad bastarían tres para la finalidad que tiene la silla; la cuarta pata, en principio, está demás. Puede ocurrir que la silla cojee cuando no soporte más carga que su propio peso; sin embargo,si una persona se sienta sobre ella, quizás la silla deje de cojear. La silla se ha deformado (porefecto de la carga) de modo que las cuatro patas, finalmente, tocan el suelo simultáneamente.Evidentemente, este ejemplo corresponde a un cuerpo que no es rígido, sino deformable (cuerpo


real), y para calcular las reacciones en los apoyos no podemos servirnos de las leyes de la Estáticadel sólido rígido a menos que las completemos con otras que den cuenta de las deformaciones queexperimentan los cuerpos reales cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas.

Podemos considerar, ahora, el caso más general en el que el plano de apoyo nosea horizontal. Entonces, resulta evidente que deberá existir rozamiento para evitarque el cuerpo deslice plano abajo. Las condiciones de equilibrio deberán expresar,como antes, la imposibilidad de vuelco y la de deslizamiento. Dejamos al cuidado delalumno expresar analíticamente esas condiciones.

§20.8. Diagrama del cuerpo libre.- Cuando el sólido rígido está vinculado,utilizamos el Principio de Liberación de LAGRANGE para sustituir las ligaduras ovínculos por las llamadas fuerzas de ligaduras o de reacción vincular que producenlos mismos efectos que las ligaduras o vínculos. Esto es, en el sistema de fuerzasque actúa sobre el sólido deberemos incluir no sólo las fuerzas activas sino tambiénlas fuerzas de ligadura o de reacción vincular. De ese modo podemos obtener undiagrama en el que se incluyen el cuerpo y todas las fuerzas que actúan sobre él,incluidas las de ligadura (una vez suprimidas las propias ligaduras); dibujaremos asíel llamado diagrama para el sólido rígido libre (de ligaduras), que constituye unprimer paso en la resolución de los problemas de la Estática.

Imaginemos una vari-

Figura 20.11

lla rectilínea y homogéneaque se encuentra en equi-librio apoyada en el fondoy en el borde de unaoquedad hemiesféricaperfectamente lisa, comose muestra en la Figu-ra 20.11a. La varilla estásometida a ligaduras quelimitan sus posibilidadesde movimiento. En laFigura 20.11b hemos

dibujado el diagrama de la varilla libre, en el que hemos sustituido las ligaduras (fondo y bordede la oquedad) por las fuerzas de ligadura (N1 y N2) que producen los mismos efectos que aquéllas.

Ejemplo I.- Una varilla lisa y uniforme, de longitud l y masa m, se apoya en el fondo y en el bordede una oquedad hemiesférica perfectamente lisa, de radio R tal que 2R < l < 4R, como se muestraen la Figura 20.11a. a) Determinar la posición de equilibrio. b) Calcular las reacciones en losapoyos.

a) Comenzamos dibujando el diagrama de la varilla libre, sustituyendo las ligaduras por lasfuerzas de ligadura o de reacción en los apoyos (N1 y N2) que producen los mismos efectos queaquéllas, como se muestra en la Figura 20.12, que resulta suficientemente autoexplicativa. La varillaestá sometida a la acción de tres fuerzas que deberán ser concurrentes en el punto D situado sobrela circunferencia de trazos, ya que el ángulo ACD es recto y la dirección de N1 es diametral. Así,el problema de determinar la posición de equilibrio de la varilla se reduce a una cuestión puramentegeométrica.

Observemos que los ángulos GAE y GAD son iguales, ya que son ángulos inscritos en unacircunferencia que subtienden arcos iguales, y que en los triángulos ΔAEG y ΔAED se verifica

§20.8.- Diagrama del cuerpo libre. 601

Figura 20.12

AEG → AE l2

cos θ

AED → AE 2 R cos 2θ

de modo que

l2

cos θ 2 R cos 2θ

o sea cos 2θcos θ

l4 R

< 1

que es la relación que nos permite determinar el valor del ángulo θ correspondiente a la posiciónde equilibrio de la varilla. Así, para l=3R, será θ=23.21°, como el lector comprobará fácilmente.

b) Para calcular las reacciones en los apoyos aplicaremos la primera ec. de la Estática:

iF i

jF̃ j 0

⎧⎪⎨⎪⎩

N1 cos 2θ N2 sen θ 0

N1 sen 2θ N2 cos θ mg

con lo que disponemos de un sistema dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es:

N1 tg θ mg N2

cos 2θcos θ

mgl

4Rmg

Obsérvese que no ha sido necesario aplicar la segunda condición de la Estática (anulación demomentos), ya que hemos hecho uso implícito de ella en el apartado (a).

Ejemplo II.- Péndulo cónico.- Un péndulo cónico está formado por una

Figura 20.13

barra homogénea de longitud l suspendida por su extremo superior deun punto fijo (O) donde está articulada de modo que pueda girar tantoalrededor de un eje horizontal como de otro eje vertical con el queformará un ángulo variable θ. Expresar la velocidad angular ω enfunción del ángulo θ.

Podemos reconducir el problema de dinámica a un problema deestática sin más que resolverlo en un sistema de referencia en el que labarra se encuentre en reposo; i.e., un referencial solidario (Ox′y′z′)como el que se indica en la Figura 20.13. Puesto que tal referencial esno-inercial, por estar en rotación, con velocidad angular ω, sobre labarra "actuará" una fuerza centrífuga que debemos evaluar.

La fuerza centrífuga elemental que actúa sobre un elemento debarra, de longitud dx′ y masa dm=λdx′, siendo λ la densidad lineal, asícomo su momento con respecto al punto O, vienen dados por

dFcf ω 2y dm ω 2λ x′ senθ dx′ dMcf,O x dFcf ω 2λ x′2 senθ cosθ dx′

que representan las distribuciones de fuerza centrífuga y de momento centrífugo a lo largo de labarra. Entonces, la fuerza centrífuga resultante y el momento centrífugo resultante con respecto alpunto O se calculan mediante integración


Fcf ω 2λ senθ ⌡⌠

l

0

x′dx′ 12

ω 2λ senθ l 2 12

mω 2 l senθ

Mcf,O ω 2λ senθ cosθ ⌡⌠

l

0

x′2 dx′ 13

ω 2λ l 3 senθ cosθ 13

mω 2 l 2 senθ cosθ

En virtud del Teorema de Varignon, podemos escribir

Mcf,O h Fcf ⇒ hMcf,O

Fcf

23

l cosθ

lo que nos permite determinar el punto de aplicación (cf) de la fuerza centrífuga resultante (centrocentrífugo).

Puesto que en el referencial solidario hay equilibrio estático, el momento resultante debe sernulo; i.e.,

mgl2

senθ 13

mω 2 l 2 senθ cosθ ⇒ ω 3g2l senθ

§20.9. Estática de un sistema de cuerpos rígidos.- Consideremos unconjunto deformable de cuerpos rígidos (v.g., un montón de piedras). Podemosclasificar las fuerzas que actúan sobre cualquiera de los cuerpos que componen elsistemas en las siguientes categorías:

a) Fuerzas interiores al sistema. Son las fuerzas ejercidas por los demáscuerpos que componen el sistema sobre el cuerpo en cuestión.

b) Fuerzas exteriores al sistema, que pueden clasificarse en:i) Fuerzas activas: el peso, por ejemplo.ii) Fuerzas de reacción en los apoyos.

Para que el sistema de cuerpos rígidos esté en equilibrio deberán estarlo porseparado cada uno de los N cuerpos que lo componen. Esa es la idea contenida enel llamado Principio de Fragmentación que se enuncia así:

Si un sistema de cuerpos rígidos está en equilibrio y lo dividimos en variossubsistemas, cada uno de ellos está en equilibrio por separado.

El Principio de Fragmentación nos permite reducir el problema al estudio delequilibrio de cada uno de los N cuerpos por separado. Esto es, para el cuerpo i-ésimo, de los N que componen el sistema, se deberán satisfacer (en el equilibrio) lasecuaciones cardinales de la Estática; o sea

[20.21]R i 0 M i 0

§20.9.- Estática de un sistema de cuerpos rígidos. 603

donde Ri y Mi representan la resultante y el momento resultante de todas las fuerzasque actúan sobre el cuerpo i-ésimo. De ese modo se obtienen 2N ecuacionesvectoriales que sumadas nos conducen a

[20.22]Ri

R i 0 Mi

M i 0

de modo que la condición necesaria

Figura 20.14

para el equilibrio de un sistema decuerpos rígidos es que sean nulos laresultante y el momento resultante detodas las fuerzas exteriores al sistema(las fuerzas interiores al sistema secontrarrestan automáticamente en virtudde la ley de acción y reacción). Lascondiciones expresadas por [20.22] noson suficientes ya que al no ser rígidoel sistema en su conjunto, las fuerzas aél aplicadas no constituyen un sistemade vectores deslizantes, sino N de tales sistemas (uno para cada cuerpo).

Ejemplo III.- a) Determinar el ángulo θ de la cuña que deberemos utilizar para calzar al cilindroinferior para que el sistema, compuesto por dos cilindros idénticos, homogéneos y lisos, dispuestoscomo se indica en la Figura 20.15, permanezca en equilibrio. b) Determinar el valor mínimo delcoeficiente de rozamiento de la cuña con el suelo.

a) Aplicamos la primera condición de equilibrio al cilindro superior:

Figura 20.15

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

N1 N12

22

P N12

22

⇒⎧⎪⎨⎪⎩

N1 P

N12 2 P

y al cilindro inferior:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

N2 senθ N12

22

N2 cosθ N12

22

P

de donde, elevando al cuadrado y sumando miembro amiembro, se sigue que

N 22

N 212

2

N 212

2P 2 2 N12P 5 P 2 ⇒ N2 5 P

y dividiendo miembro a miembro obtenemos


tg θN12

22

N12

22

P

PP P

12

0.5

de modo que θ arctg 0.5 26.56°

b) Aplicamos la primera condición de equilibrio a la cuña

Figura 20.16

(Figura 20.16), suponiéndola de masa despreciable:

⎧⎪⎨⎪⎩

N2 senθ f µ N3

N2 cosθ N3

[÷] ⇒ tg θ µ 0.5

Este es el motivo por el que el ángulo θ recibe el nombre deángulo de rozamiento (vide §8.10).

§20.10. Concepto de desplazamiento virtual.- La configuración de unsistema material queda determinada, en un instante determinado t, especificando losvectores de posición ri (i = 1, 2, 3, ... N) de cada una de las partículas que locomponen. El estado de equilibrio del sistema se caracteriza porque dichos vectores(3N coordenadas en total) permanecen constantes en el transcurso del tiempo.

Cuando la configuración de un sistema material experimenta algún cambio en eltranscurso del tiempo, esto es, evoluciona pasando de una configuración a otra,decimos que el sistema ha realizado un desplazamiento real. Cada una de laspartículas que componen el sistema, o al menos algunas de ellas, habrán experimen-tado un cierto desplazamiento (en el sentido usual de la palabra). Durante el intervalode tiempo dt, la partícula i-ésima habrá realizado un desplazamiento real dri, dado pordri = vidt.

Evidentemente, si el sistema material se encuentra en equilibrio, no podrá realizarningún desplazamiento real. Sin embargo, podemos imaginar un desplazamientovirtual del sistema, que ocurra instantáneamente y que sea compatible con las fuerzasy las ligaduras a que está sujeto el sistema. Cada una de las partículas del sistemamaterial experimentará un cierto desplazamiento virtual instantáneo, quedesignaremos1 por δri (i = 1, 2, 3, ... N) para distinguirlo de los desplazamientosreales dri que tienen lugar en un cierto intervalo de tiempo dt durante el que puedenhaber variado las fuerzas y las ligaduras.

1 El símbolo diferencial δ tiene las mismas propiedades que el de diferenciaciónordinaria "d"; así, por ejemplo,

δ (x 2) 2 x δx, δ (senθ) cosθ δθ,

§20.10.- Concepto de desplazamiento virtual. 605

Entendemos por desplazamiento virtual de un sistema toda variacióninstantánea de su configuración, como resultado de cualquier cambioinfinitesimal arbitrario en las coordenadas de algunas (o todas) las partículasque lo componen, compatible con las fuerzas y ligaduras impuestas alsistema en el instante t.

Un ejemplo de desplazamiento virtual nos lo ofrece una bolita que

Figura 20.17

pueda correr por un carril circular situado en un plano vertical, comomuestra la Figura 20.17. La bolita puede moverse a lo largo del carrily, también, en dirección perpendicular a él hacia adentro, pero no haciaafuera por impedirlo el carril (ligadura de rigidez). El conjunto detodos lo movimientos infinitesimales imaginables de la bolita (compati-bles con las ligaduras) constituyen el conjunto de los desplazamientosvirtuales de ella.

Clasificaremos los desplazamientos virtuales enreversibles e irreversibles. Son reversibles aquellosdesplazamientos virtuales que pueden realizarse en uncierto sentido (δri) y en su opuesto (-δri). Son irreversibles aquellos desplazamientosvirtuales que se pueden realizar en un cierto sentido pero no en su opuesto, porimpedirlo las ligaduras.

En el ejemplo anterior, son irreversibles los desplazamientos virtuales en dirección normal al carril;en cambio, son reversibles los desplazamientos virtuales tangentes al carril.

Las ligaduras bilaterales sólo permiten desplazamientos reversibles; las ligadurasunilaterales (el ejemplo anterior lo es de una de ellas) permiten desplazamientosvirtuales reversibles e irreversibles.

§20.11. Principio de los trabajos virtuales.- Consideremos un sistemamaterial en equilibrio; como ya sabemos, será condición necesaria y suficiente quese encuentren en equilibrio cada una de las N partículas que lo componen, lo queequivale a decir que deben ser nulas las resultantes de las fuerzas que actúan sobrecada una de las partículas. Esto es

[20.23]R i 0 (i 1,2,3, N)

Resulta obvio que, bajo esas condiciones, se anulará el producto Ri δri, querepresenta el trabajo virtual de la fuerza Ri en el desplazamiento virtual δri; es decir

[20.24]δWi R i δ r i 0

La suma de todos esos trabajos virtuales, extendida a todas las partículas, seráasimismo nula

[20.25]δWN

i 1R i δ r i 0

Hasta aquí no hemos dicho nada que tenga un contenido físico nuevo; lasresultados [20.24] y [20.25] son deducciones triviales que parten de la definición deequilibrio. Sin embargo, si las fuerzas Ri son funciones continuas de la posición delas partículas, la expresión [20.25] adquiere un nuevo significado físico que puedeenunciarse del modo siguiente:


El trabajo realizado en un desplazamiento virtual arbitrario de un sistemamaterial, a partir de la posición de equilibrio, vale cero.

El enunciado anterior se conoce como Principio de los Trabajos Virtuales, en suforma más general. Veamos ahora si podemos encontrar un enunciado más restrictivoy que resulte más interesante en cuento a las aplicaciones.

La fuerza resultante Ri que actúa sobre la partícula i-ésima del sistema puedesepararse en dos partes: La resultante Fi de las fuerzas activas y la resultante F̃i delas fuerzas de ligadura. O sea

[20.26]R i F i F̃ i

de modo que la ec. [20.25] toma la forma

[20.27]N

i 1F i δ r i

N

i 1F̃ i δ r i 0

El segundo sumatorio de la esta expresión representa el trabajo virtual de las fuerzasde ligadura en un desplazamiento virtual compatible con las ligaduras.

Si las ligaduras son bilaterales (reversibles) las fuerzas de ligadura seránnormales a los desplazamientos que permitan, esto es F̃i ⊥ δri, de modo que eltrabajo virtual correspondiente será nulo y, en consecuencia, será

[20.28]N

i 1F̃ i δ r i 0

Pero si las ligaduras son unilaterales, los desplazamientos virtuales podrán serreversibles e irreversibles. En el primer caso se cumplirá [20.28]. En el segundo caso,cuando el desplazamiento sea irreversible, la partícula se libera del vínculo (lasecuaciones de la ligadura desaparecen) y las fuerzas de ligadura realizarán un trabajoesencialmente positivo, ya que el desplazamiento tendrá lugar en la misma direccióny sentido que la fuerza de ligadura; así, en la situación más general, resulta

[20.29]N

i 1F̃ i δ r i ≥ 0

Combinando las ecuaciones [20.27] y [20.29] tenemos

[20.30]N

i 1F i δ r i ≤ 0

donde intervienen solamente las fuerzas aplicadas (activas), que pueden suponersecontinuas en el espacio. El signo de igualdad (=) corresponde a la situación, que esla más frecuente, de que los desplazamientos virtuales sean reversibles, cosa quepuede presentarse tanto con ligaduras bilaterales como unilaterales. El Principio delos Trabajos Virtuales establece, entonces, que:

El trabajo realizado por las fuerzas activas durante un desplazamiento virtualreversible, compatible con las ligaduras, de un sistema material, a partir dela posición de equilibrio, vale cero.

§20.11.- Principio de los trabajos virtuales. 607

y puede escribirse [20.31]N

i 1F i δ r i 0

que puede considerarse como la condición de equilibrio del sistema y que se llamaecuación simbólica de la Estática.

Obsérvese como, a diferencia de lo que ocurre con la ec. [20.25], la ec. [20.31] noexige que sean nulos todos los coeficientes de δri; esto es, en general Fi ≠ 0. Esoes así porque los desplazamientos δri no son todos independientes entre sí, ya queestán relacionados por las ecuaciones que expresan las ligaduras. Para que dichoscoeficientes sean todos nulos es necesario que los desplazamientos virtualessimbolizados por δri sean independientes entre sí, esto es, que utilicemos un conjuntode coordenadas libres (independientes entre sí) cuyo número es igual al de gradosde libertad del sistema material.

Trataremos ahora de transformar el principio de los trabajos virtuales, en suexpresión de [20.31], en una expresión que incluya los desplazamientos virtuales delas coordenadas libres, de modo que sus coeficientes puedan igualarse todos a cero.

Consideremos un conjunto de parámetros (q1, q2, ... qs) que constituya un talsistema de coordenadas libres; llamamos s al número de grados de libertad delsistema. La relación entre los ri y las coordenadas libres vendrá expresada por lasecuaciones de transformación de la forma

[20.32]r i r i(q1,q2, ... qs) (i 1,2, ... N)

de modo que [20.33]δ r i

s

j 1

∂r i

∂qj

δqj

y la expresión [20.31] se transforma en

[20.34]

N

i 1F i δ r i

N

i 1F i

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

s

j 1

∂r i

∂qj

δqj

s

j 1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

N

i 1F i

∂r i

∂qj

δqj

s

j 1Qj δqj 0

donde los coeficientes

[20.35]Qj

N

i 1F i

∂r i

∂qj

0 (j 1, 2, ... s)

son todos nulos, ya que los desplazamientos virtuales δqi son independientes entresí. Tendremos s ecuaciones como la [20.35], que expresan la anulación de loscoeficientes de los desplazamientos virtuales asociados a las s coordenadas libres delsistema. Esto es, tenemos s condiciones de equilibrio correspondientes a los s gradosde libertad del sistema material.


Ejemplo IV.- Una bolita de masa m está ensartada en un alambre liso cuya forma es la de unaparábola de ecuación y = 2ax2, y que gira con velocidad angular constante ω alrededor de su ejede simetría, supuesto que sea vertical. Determinar el valor de ω para el cual la bolita estará enequilibrio en cualquier punto.

Tomaremos como referencial aquél en el que el

Figura 20.18

alambre está en reposo; i.e., un referencial en rotaciónalrededor del eje vertical, con velocidad angular ω(constante). Este referencial no es inercial, por lo quedeberemos considerar, además del propio peso de labolita, la fuerza centrífuga; esto es, las fuerzas activasson

P mg j F cf mω 2 x i

∴ F mω 2x i mg j

con δ r δx i δy j

La ecuación simbólica de la estática, en coordena-das cartesianas, es

[A]F δ r

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

mω 2 x

mg

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

δx

δy

δ z

mω 2 x δx mg δy 0

La bolita posee un solo grado de libertad, de modo que tomando la coordenada x comocoordenada libre será

[B]y 2ax 2 → δy 4ax δx

y la expresión [A] se transforma en

[C]F δ r mω 2 x δx 4mga x δx mx (ω 2 4ga) δx 0

Entonces, anulando el coeficiente de δx en [C], tenemos, aparte de la solución trivial (x=0)

[D]ω 2 4ga 0 → ω 2 ag

de modo que para esta velocidad angular el equilibrio será posible para cualquier posición de labolita en el alambre.

Ejemplo V.- Determinaremos la configuración de equilibrio correspondiente al sistema de dosbarras idénticas articuladas, como se muestra en la Figura 20.19, cuando actúa una fuerza horizontalP0 sobre su extremo inferior.

Las fuerzas activas son:

P0 P0 i P1 mg j P2 mg j

con δ r i δxi i δyi j


La ecuación simbólica de la estática es

[A]3

i 0F i δ r i P0δx0 mg δy1 mg δy2 0

El sistema posee dos grados de libertad; en

Figura 20.19

consecuencia, las coordenadas x0, y1 e y2 no sonlibres. Tomaremos los ángulos θ1 y θ2 comocoordenadas libres, de modo que tenemos

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x0 l sen θ1 l sen θ2

y1

l2

cos θ1

y2 l cos θ1

l2

cos θ2

⇒

[B]

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

δx0 l cos θ1 δ θ1 l cos θ2 δ θ2

δy1

l2

sen θ1 δ θ1

δy2 l sen θ1 δ θ1

l2

sen θ2 δ θ2

Sustituyendo las expresiones [B] en [A] obtenemos la ecuación simbólica de la estática encoordenadas libres:

[C]( P0 l cos θ1

32

mgl sen θ1 ) δ θ1 ( P0 l cos θ2

12

mgl sen θ2 ) δ θ2 0

Entonces, anulando los coeficientes de δθ1 y δθ2 se sigue

[D]

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

P0 l cos θ1

32

mgl sen θ1 0

P0 l cos θ2

12

mgl sen θ2 0

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

tg θ1

23

P0

mg

tg θ2 2P0

mg3 tg θ1

Efectuando el producto escalar que aparece en la expresión [20.35] tenemos

[20.36]Qj

N

i 1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

Fi,x

∂xi

∂qj

Fi,y

∂yi

∂qj

Fi,z

∂zi

∂qj

0

Supongamos que las fuerzas activas sean conservativas; i.e., pueden obtenersecomo el gradiente (cambiado de signo) de una función escalar (la energía potencial)de punto, tal que Fi = - ∇Epi, lo que equivale a escribir para las componentes de lasfuerzas

[20.37]Fi,x

∂Ep,i

∂xi

Fi,y

∂Ep,i

∂yi

Fi,z

∂Ep,i

∂zi

para i = 1, 2, 3, ... N. En estas condiciones, las ecuaciones [20.36] se reducen a


Qj

N

i 1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂Ep,i

∂xi

∂xi

∂qj

∂Ep,i

∂yi

∂yi

∂qj

∂Ep,i

∂zi

∂zi

∂qj

[20.38]3N

i 1

∂Ep,i

∂qj

3∂Ep

∂qj

0

donde Ep representa la energía potencial total del sistema material. Así, podemosescribir

]]∂Ep

∂qj

0 (j 1, 2, ... s )

que es a lo que se reducen las condiciones de equilibrio en el caso de fuerzasconservativas. Estas ecuaciones nos indican que

un sistema material está en equilibrio si su configuración se corresponde aun máximo o a un mínimo de energía potencial con respecto a las coordena-das libres.

En el primer caso, el equilibrio será inestable; en el segundo, será estable.

Ejemplo VI.- Tres varillas idénticas, de longitud l y masa m, están articuladas como se muestra

Figura 20.20

en la Figura 20.20: en A tenemos un apoyo fijo y en B un apoyo deslizante (sin fricción) a lo largode un eje vertical. a) Determinar la posición de equilibrio delsistema. b) Evaluar el cociente D/l para que la varilla inferiorforme un ángulo de 45° con la vertical. Determinar la inclina-ción de las otras dos varillas.

a) Expresaremos la energía potencial (gravitatoria) delsistema, tomando como nivel de referencia de energía potencialcero el origen de coordenadas xy:

Ep mgl2

cos θ1 mg ( l cosθ1

l2

cos θ2 )

mg ( l cosθ1 l cos θ2

l2

cos θ3 )

12

mgl ( 5 cosθ1 3 cosθ2 cosθ3 )

Por otra parte, disponemos de una condición de ligadura

[A]D l sen θ1 l sen θ2 l senθ3

de modo que las tres coordenadas (θ1, θ2 y θ3) no sonindependientes. Puesto que el sistema tiene dos grados delibertad, tomaremos como coordenadas libres θ1 y θ2 yexpresaremos la energía potencial en función de ellas:


Ep

12

mgl

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

5 cosθ1 3 cosθ2 1 ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

Dl

senθ1 senθ2

2

Aplicamos las condiciones de equilibrio [20.39] a las 2 coordenadas libres:

∂Ep

∂θ1

12

mgl

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

5 senθ1

2 ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

Dl

senθ1 senθ2 cosθ1

2 1 ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

Dl

senθ1 senθ2

2

12

mgl⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

5 senθ1

senθ3 cosθ1

cosθ3

0

o sea [B]5 tg θ1 tg θ3

y, análogamente, [C]3 tg θ2 tg θ3

Las tres ecuaciones [A], [B] y [C] nos permiten determinar los valores de los ángulos θ1, θ2 y θ3

correspondientes al equilibrio.

b) Para θ3=45° es tg θ3=1, de modo que

tg θ1

15

→ θ1 11.31°

tg θ2

13

→ θ2 18.43°

y Dl

sen θ1 senθ2 senθ3 sen 11.31° sen 18.43° sen 45° 1.22

Problemas

20.1.- Demostrar que, en el caso de un sólidorígido sometido a un sistema de fuerzas copla-narias, las condiciones de equilibrio equivalena la anulación de los momentos respecto dedos puntos (en el plano de coplanaridad) y a laanulación de la componente de la resultante enuna dirección que no sea perpendicular a la dela recta definida por los dos puntos citados.

20.2.- Demostrar que, en el caso de un sólidorígido sometido a un sistema de fuerzas, lascondiciones de equilibrio equivalen a la anula-ción de los momentos respecto de tres puntosno alineados.

20.3.- Una caja de embalaje que contiene unfrigorífico pesa 300 kg y tiene forma deparalelepípedo rectangular de 2 m de alto por


80 cm × 80 cm de base. El coeficiente derozamiento entre la caja y el suelo vale 0.30.Deseamos arrastrarla sobre el suelo mediantela aplicación de una fuerza horizontal.a) ¿Cuál debe ser la magnitud de esa fuerza?b) ¿A qué altura sobre el suelo podemos apli-car esa fuerza sin riesgo de vuelco?

20.4.- La caja del Problema 20.3 se encuentraahora sobre la plataforma de un camión. Cuan-do el camión frena bruscamente ¿qué riesgoserá mayor, el de deslizamiento o el de vuelcode la caja?

20.5.- Transportamos

Prob. 20.5

en una carretilla unbloque homogéneo, demasa m, cuyas dimen-siones se especifican enla figura. Sea µ elcoeficiente de roza-miento entre la basedel bloque y la plata-forma de la carretilla.Determinar los valoresmáximos de la acele-ración de la carretilla(acelerando y frenando)para que no haya movimiento relativo entre elbloque y la carretilla.

20.6.- Un bloque

Prob. 20.6

homogéneo, deforma de parale-lepípedo rectangu-lar de 50 cm dealtura y 30 cm ×30 cm de base,descansa sobre untablero, como semuestra en la figura. El coeficiente de roza-miento estático entre el tablero y el bloque es0.50. a) Cuando vamos inclinando lentamenteel tablero, ¿comenzará a deslizar el bloque obien volcará? Determínense los ángulos críti-cos de deslizamiento y de vuelco. b) ¿Cuálsería la respuesta a la pregunta anterior si elcoeficiente de rozamiento estático fuese 0.70.c) ¿Y si fuese 0.60?

20.7.- Una varilla

Prob. 20.7

homogénea demasa m y longitudl apoya sus extre-mos en dos planoslisos que determi-nan un diedrorecto, como semuestra en lafigura. Determinarla posición de equilibrio y las reacciones en

los extremos de la varilla en función delángulo θ.

20 .8 . - Un rodi l lo

Prob. 20.8

homogéneo de 25 cmde radio y 20 kg depeso está apoyado endos planos lisos queforman ángulos de 30°y 45°, respectivamente,con la horizontal.Calcular las reaccionesen los apoyos de cilindro.

20.9.- En el mecanismo que se representa en la

Prob. 20.9

figura se aplica un par mediante dos fuerzasde 100 N, con un brazo de 120 mm, aplicadasen los puntos D y E de la aleta. Todas lascotas indicadas están expresadas en mm. De-terminar la fuerza F necesaria para establecerel equilibrio y las reacciones en los apoyosfijos B y C. (Se desprecia el peso de la aleta).

20.10.- La herramienta de la figura se utiliza

Prob. 20.10

para hacer girar un eje. Para ello, dispone deun perno A que penetra en un orificio del eje,mientras que el saliente B se apoya en lasuperficie lisa del eje. Cuando se aplicamosuna fuerza de 40 kg en el extremo C de laherramienta, calcular las reacciones en lospuntos A y B y el momento de rotación que seaplica al eje.

Problemas 613

20.11.- Un rodillo homogéneo de 25 cm deradio y 40 kg de peso está situado sobre unplano horizontal. Deseamos hacerlo subir unescalón de 5 cm de altura, y para ello tiramosde él con una fuerza cuya línea de acción pasapor el eje del rodillo. Determinar el módulo dela fuerza necesaria para conseguir nuestroobjetivo: a) si la fuerza aplicada es horizontaly b) si la fuerza aplicada forma un ángulo θcon la horizontal. c) ¿Cuál será el valor de θque minimizará la fuerza necesaria y cuántovaldrá ésta?

20.12.- Una placa

Prob. 20.12

rec tangula r yhomogénea, ded i m e n s i o n e s30 cm × 20 cm yque pesa 2 kg,está unida a un ejevertical de modoque en A estáarticulada con eleje y en B sólo se apoya en él. a) Determinarlas reacciones en los apoyos cuando el sistemagira con una velocidad angular de 30 rpm.b) ¿A partir de que velocidad angular no seapoyará la placa en B?

20.13.- Una escalera de

Prob. 20.13

3 m de longitud y10 kg de peso estáapoyada en un suelorugoso y en un rodillode eje horizontal situa-do a una altura de 2 msobre el suelo, como semuestra en la figura. La escalera permanece enequilibrio para cualquier ángulo θ < 60°, peroresbala si θ > 60°. Calcular el coeficiente derozamiento entre el suelo y la escalera y lasreacciones en los apoyos en la situación deequilibrio crítico.

20.14.- a) Deter-

Prob. 20.14

minar la posiciónde equilibrio delsistema represen-tado en la figuraque se adjunta, enel que no existenrozamientos en losapoyos de la va-rilla con la paredvertical (A) y conel borde horizontal (B). b) Determinar lasreacciones en los apoyos.

20.15.- Una escalera uniforme de 10 m delongitud pesa 30 kg y se apoya en un suelohorizontal y en una pared vertical, formando

un ángulo de 70° con la horizontal. Los coefi-cientes de rozamiento estático en los apoyos dela escalera en el suelo y en la pared valen0.2 y 0.6, respectivamente. Un hombre quepesa 60 kg comienza a subir por la escalera:a) ¿Qué longitud podrá subir antes de que laescalera comience a resbalar? b) ¿Cuál deberíaser la inclinación mínima de la escalera paraque el hombre pueda subir hasta el últimotravesaño sin que la escalera resbale?

20.16.- Una

Prob. 20.16

puer t a degaraje pesa60 kg y estámontada co-mo se mues-tra en lafigura. Lasruedas estánenmohecidas de modo que no ruedan sino quedeslizan en la guía, siendo 0.4 el coeficientecinético de rozamiento. La distancia entre lasruedas es de 2 m y cada una de ellas dista50 cm de los bordes verticales de la puerta. Seempuja la puerta mediante una fuerza hori-zontal constante de modo que se mueva uni-formemente. a) Si la línea de acción de dichafuerza dista 1 m de la guía, ¿cuál es la fuerzaejercida por cada una de las ruedas sobre elcarril? b) Encontrar la máxima distancia a laque se puede aplicar la fuerza horizontal F sinque ninguna rueda se separe del carril.

20.17.- Se trata de colocar una serie de ladri-

Prob. 20.17

llos uno sobre otro, como se muestra en lafigura, de modo que obtengamos el máximosaliente. a) Obtener el criterio que debemos se-

Prob. 20.18

guir para conseguir nuestro objetivo. b) De-mostrar que se puede conseguir un saliente tangrande como queramos sinmás que apilar un númerosuficientemente grande deladrillos.

20.18.- Un bastón estáformado por un tramorectilíneo de 100 cm delongitud y un puño semicir-cular de 8 cm de radio. Loapoyamos en el borde deuna mesa de modo que laparte rectilínea cuelgue por


debajo del tablero de la mesa. Determinar laposición de equilibrio del bastón.

20.19.- Una semiesfera y

Prob. 20.19

un cono, ambos macizos,construidos con el mismomaterial y del mismo radio,están soldados por susbases. Calcular el valor dela altura máxima del conopara que el sistema secomporte como un tentetie-so al apoyarlo sobre unasuperficie horizontal.

20.20.- Un cana-

Prob. 20.20

lón, de masa mcuya forma es lade medio cilindrocircular con unradio exterior quees el doble delradio interior, des-cansa sobre unplano horizontal.Determinar el mó-dulo de la fuerza vertical F que deberá apli-carse al borde del canalón para que se inclineun ángulo θ, como se indica en la figura.

20.21.- Una barra

Prob. 20.21

homogénea, delongitud 3l, estáapoyada, sin fric-ción, en unbloque homogé-neo, de masa m,anchura l y altura2l, como seindica en lafigura. Determi-nar el valormáximo de lamasa de la barra para que el sistema no vuel-que.

20.22.- La barra homogénea que se muestra en

Prob. 20.22

la figura se apoya sin fricción en el interior yen el borde de una hemiesfera hueca. La posi-ción de equilibrio del sistema corresponde a labarra en posición horizontal. a) Determinar las

reacciones en los contactos. b) Encontrar larelación existente entre M, m y θ.

20 .23 . - Un

Prob. 20.23

cilindro estáformado pordos hemici-lindros ho-mogéneos, ded i f e r e n t e smate r ia les ,s i e ndo l adensidad deuno de ellos el doble de la del otro. Coloca-mos el cilindro sobre un plano horizontalrugoso y lo vamos inclinando progresivamente.a) Determinar el valor máximo del ángulo deinclinación del plano para que el cilindro per-manezca en equilibrio, así como la posicióndel cilindro en el plano. b) Determinar el valormínimo del coeficiente de rozamiento queimpide que el cilindro resbale antes de empe-zar a rodar.

20.24.- En el mecanismo que se muestra en la

Prob. 20.24

figura todos los elementos se consideran demasa despreciable. a) Determinar la fuerzamínima F que hay que aplicar para levantar eltablero por el punto A. b) En las condicionesdel apartado anterior, evaluar las reacciones enB y C.

20.25.- En el mecanismo que se muestra en la

Prob. 20.25

figura, la dos barras homogéneas tienen unamasa por unidad de longitud λ. Un tope (C)impide que la corredera se desplace hacia la

Problemas 615

derecha. Determinar la reacciones en losapoyos A y B y en el tope C.

20.26.- Dos cilindros macizos y homogéneos,

Prob. 20.26

que pesan respectivamente 5 kg y 12 kg, seapoyan sobre sendos planos lisos, inclinados30° y 45°, respectivamente, sobre la horizon-tal, como se indica en la figura. a) Determinarla posición de equilibrio del sistema evaluandoel ángulo θ determinado entre la horizontal yla recta que une los centros de los doscilindros. b) Calcular las reacciones que actúansobre cada cilindro.

20.27.- Dos bolas

Prob. 20.27

idénticas, de masa m yradio r, están colocadasen el interior de untubo cilíndrico (abiertoen sus bases) de diáme-tro 3r. El conjuntodescansa sobre unplano horizontal, comose muestra en la figura.Determinar la masa mínima que deberá tenerel tubo cilíndrico para que el sistema novuelque.

20.28.- Dos esferas de 2 kg y 12 kg y radiosrespectivos de 40 cm y 30 cm están suspendi-das de un mismo punto mediante sendos hilosiguales de 20 cm de longitud. Determinar laposición de equilibrio del sistema y las tensio-nes en los hilos.

20.29.- Tres rodi-

Prob. 20.29

l los idént icosestán apilados enla forma que semuestra en lafigura. Suponga-mos que el coefi-ciente de roza-miento estático esel mismo para todos los pares de superficies encontacto. Calcúlese el valor mínimo del coefi-ciente de rozamiento que evite el desmorona-miento del sistema.

20.30.- Una barra homogénea, de 3 m de

Prob. 20.30

longitud y 10 kg de peso, está articulada enuno de sus extremos y soportada por unacuerda ligera como se muestra en la figura. Lacuerda pasa por unapequeña polea fijasituada 2 m porencima de la articu-lación y en la mis-ma vertical. Del ex-tremo libre de lacuerda cuelga unapesa de 8 kg. Deter-minar la posición deequilibrio del siste-ma y la reacción enla articulación.

20.31.- Un pescante AB, de 5 m de longitud y

Prob. 20.31

100 kg de peso, está articulado en su extremoA y soportado en su extremo B por un cableligero, de modo que forma un ángulo de 60°con la horizontal. La distancia AC es 3 m.a) Calcular la tensión en el cable y la reacciónen el apoyo. b) Repetir el apartado anterior

Prob. 20.32

cuando se cuelga una carga de 2000 kg en elextremo B del pescante.

20.32.- En el sistema repre-sentado en la figura adjun-ta, determinar la relaciónen que deben encontrarselas masas m1 y m2 para queel sistema esté en equili-brio. Considerar ambas po-leas lisas y de masas des-preciables.

20.33.- Una barra homogé-nea está doblada en ángulorecto, siendo las longitudesde cada porción de 10 cmy de 30 cm, respectivamente. La barra secuelga de una puntilla clavada en la pared. De-terminar la posición de equilibrio de la barra yestudiar su estabilidad.

20.34.- Determinar el valor del ángulo θ co-rrespondiente a la configuración de equilibriodel sistema de dos barras ligeras articuladas


como se muestra en la figura adjunta. Expresar

Prob. 20.34

el resultado en función de las intensidades delos esfuerzos P y F.

20.35.- Una escalera está apoyada en una

Prob. 20.35

pared vertical lisa y en un suelo horizontalliso, como se muestra en la figura. Determinarla posición de equilibrio de la escalera cuandose le aplica una fuerza horizontal F en su pie.

20.36.- Una bolita

Prob. 20.36

está ensartada enun alambre circularliso, contenido enun plano vertical,como se muestraen la figura. Sobrela bolita actúan dosfuerzas: su propiopeso y una fuerzahorizontal propor-cional a la distancia entre la bolita y el diáme-tro vertical del alambre. Determinar las posi-ciones de equilibrio de la bolita.

20.37.- Una ta-

Prob. 20.37

bla, de masa M yespesor despre-ciable, está atra-pada entre un ci-lindro macizo yhomogéneo, demasa m y radio r,y el borde fijo O,como se muestraen la figura, noexistiendo roza-miento en ningu-no de los contac-

to del cilindro. a) Determinar la posición delcentro de gravedad G (i.e., la distancia h) de latabla correspondiente a la posición de equi-librio del sistema. b) Calcular las reaccionesen los apoyos correspondientes a dicha posi-ción de equilibrio.

20.38.- a) Determinar las posiciones de equili-

Prob. 20.38

brio del sistema representado en la figuraadjunta. Las varillas son homogéneas e idénti-cas entre sí, de longitud l de modo que l < h <2l, y el suelo es horizontal y liso. b) Deter-minar las reacciones en los puntos A, B y C.

20.39.- Dos bolitas, cuyas masas son m1 =

Prob. 20.39

20 g y m2 = 40 g, unidas entre sí mediante unhilo inextensible y ligero de longitud l, estánensartadas en sendos alambres lisos, como semuestra en la figura. a) Determinar el valordel ángulo α que corresponde a la posición deequilibrio del sistema. b) Calcular las reaccio-nes en los alambres.

20.40.- Determinar

Prob. 20.40

la configuracióncorrespondiente alequilibrio de lastres barras articu-ladas que semuestran en lafigura adjunta,cuando actúa unafuerza horizontalde 1 kg sobre elextremo inferiorde la barra queestá más abajo.Las tres barras son homogéneas entre sí; cadauna de ellas mide 50 cm y pesa 2 kg.

Problemas 617

20.41.- Continuemos con el Problema 20.40pero consideremos que en lugar de tener tresbarras articuladas, se tengan N barras articula-das, todas idénticas, de masa total M = Nm.a) Demostrar que el ángulo que forma la barrai-ésima con la vertical, cuando se aplica unafuerza horizontal F en el extremo inferior dela barra que está más abajo, viene dado por

tg θi

2N2(N i ) 1

FMg

b) Como caso particular, sustitúyase el con-junto de barras articuladas por una cuerdaflexible, de masa M, y calcúlese el ánguloθ0 que forma la cuerda con la vertical en elpunto de suspensión.

20.42.- El sistema

Prob. 20.42

representado en lafigura está consti-tuido por dosvarillas idénticas,de 100 cm delongitud y 4 kg demasa cada una deellas, articuladassin fricción, apo-yadas sobre unsuelo horizontal liso y unidas por sus centrosmediante un muelle constante elástica k =113.16 N/m y 30 cm de longitud natural.Determinar el valor del ángulo θ para que elsistema se encuentre en equilibrio.

20.43.- Una varilla

Prob. 20.43

de masa m ylongitud l estáapoyada en unapared y en unsuelo lisos, comose muestra en lafigura. El movi-miento de lae s c a l e r a e s t á

Prob. 20.44

restringido por unm u e l l e , c u y aconstante elásticaes k = 3mg/l ycuya longitudnatural es l/2,unido a la pared yal extremo inferiorde la escalera.Determinar laposición de equili-brio de la esca-lera.

20.44.- Determinar el valor mínimo de la cons-tante elástica k del muelle representado en lafigura para que el péndulo invertido se encuen-tre en equilibrio estable. Considerar solamentepequeños desplazamientos angulares.

20.45.- El sistema representado en la figura

Prob. 20.45

está formado por dos varillas idénticas articula-das entre sí, en el techo y en la guía verticallisa. a) Encontrar las relaciones que existenentre los ángulos θ1 y θ2 cuando el sistema seencuentra en equilibrio. b) Calcular los valoresde dichos ángulos cuando D = 3l/2.

20.46.- Uno de

Prob. 20.46

los extremos deuna varilla homo-génea, de longi-tud l, está obliga-do a deslizar a lolargo de una guíavertical, en tantoque la varilla seapoya sobre unasuperficie cilín-drica lisa, deradio r, de ejehorizontal, comose muestra en lafigura. Determinar el

Prob. 20.47

valor del ángulo θcorrespondiente al equi-l ibrio. Aplicaciónnumérica: l=4r.

20.47.- Una barra de4 m de longitud y100 kg de peso estáapoyada por uno de susextremos en una paredvertical lisa y sostenidapor el otro extremo me-diante un cable inexten-sible, de 6 m de longi-tud y masa despreciable, como se indica en lafigura. a) Determinar el valor de los ángulos α


y β que forman el cable y la barra con lapared en la posición de equilibrio. b) Deter-minar la tensión del cable y la reacción en elapoyo.

20.48.- El mecanismo que se muestra en la

Prob. 20.48

figura se encuentra en equilibrio cuando labarra homogénea, de masa m y longitud l, estáen posiciónvertical (i.e., elmuelle no estádeformado). Enel contactoe n t r e l o scilindros noexiste desliza-miento. Deter-minar el ánguloθ correspon-diente a unanueva posiciónde equilibrio ycomprobar que dicho equilibrio es estable.

20.49.- Una varilla AB,

Prob. 20.49

delgada y homogénea,de longitud l y masa m,esta sostenida por unhilo ligero BC y por unpasador que desliza sinfricción a lo largo deun eje vertical, comose indica en la figura.Determinar los ángulosα y θ correspondientea la posición deequilibrio.

20.50.- Una varilla lisa, de masa m y longitud

Prob. 20.50

l se apoya por uno de sus extremos (A) en unplano horizontal liso y por un punto compren-dido entre el A y su centro de gravedad (G) enun borde fijo B, como se muestra en la figura.Determinar la fuerza horizontal que hay queaplicar en A para mantener la varilla en equi-librio con una inclinación θ respecto de lahorizontal y evaluar las reacciones en losapoyos.

20.51.- Un puente colgante está tendido hori-

Prob. 20.51

zontalmente y soportado por seis pares decables verticales, como se muestra en la figuraadjunta, a intervalos de 6 m. El puente pesa120 000 kg; los cables se consideran de masadespreciable. Los cables verticales más cerca-nos al centro del puente miden 2 m. a) Calcu-lar las longitudes que deberán tener los demáscables verticales para que la carga esté igual-mente repartida. b) Calcular las tensiones encada uno de los cables transversales.

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20.- Estática del sólido rígido