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20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"
Ein bisschen unbestimmt?
Jörg J. Buchholz
20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"
L´Hospital
Wenn 0 0
lim lim 0x x x x
f x g x
oder
dann
0 0
lim limx x x x
f x f x
g x g x
0 0
lim limx x x x
f x g x
20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"
Geht?
0 0 0
sin sin coslim lim lim 1
1x x x
x x x
x x
1lim 1 e
x
x x
42
420
sinlim 1x
x
x
20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"
Geht nicht?
sin 1 coslim lim ?
sin 1 cosx x
x x x
x x x
Abschätzung
sinlim lim lim 1
sinx x x
x x x x
x x x x
20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"
Geht auch nicht?
1 12 22 2
12 2
12 2
1lim lim
11 1 2
2
1lim lim ?
1
x x
x x
x
x x x
x x
xx
20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"
Geht doch!>> syms x>> f = x/(x^2 + 1)^(1/2) f =x/(x^2+1)^(1/2) >> ezplot (f)
-4 -2 0 2 4
-1
-0.5
0
0.5
1
x
x/(x2+1)1/2
>> subs (f, x, 1e100)
ans = 1
>> limit (f, x, inf) ans = 1
20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"
Geht immer?
>> f = 1/x^(log (log (log (log (1/x)))) - 1);>> ezplot (f)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
0
1
2
x 10-4
x
1/(xlog(log(log(log(1/x)))- 1))
10 ln ln ln ln 1
1limx
xx
20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"
Einsetzen?
>> subs (f, x, 0)Warning: Divide by zero.
ans =Inf
>> limit (f, x, 0) ans =NaN
>> subs (f, x, 1e-100)
ans = 4.8704e-048
>> limit (f, x, 0, 'right') ans =Inf
>> solve (diff (f)) ans =.280843878523400709e-579202
20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"
Geht manchmal
ln 1 lnlim ln 1 ln lim
ln 1 ln
1 1ln ln 1
lim lim 0ln 1 ln ln 1 ln
x x
x x
x xx x
x x
xx x
x x x x
20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"
Geht häufig
2
0 0
0
1 11 1lim lim
lim
s
x x
x
sx O xx
x xs O x s
20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"
Was ist eigentlich
Matlab 7.0.4.365 (R14SP2):
>> 1^inf
ans =
NaN
1 1 1 1 1 1 1 ?
>> sym(1)^inf ans =1
20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"
1 ?
Matlab 7.0.4.365 NaN
Maple 9.5 1
Octave 2.1.50 NaN
Reduce 3.6 1
Mathematica 5 NaN
Maxima 5.9.1 1
Derive 6 NaN
MuPAD light 2.5.3 1
20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"
• Euler, L. (1707-1783): 0^0 = 1• Cauchy, A. L. (1821): 0^0 = NaN• Möbius, A. F. (1833): 0^0 = 1
:
• Mathematica (2005): 0^0 = NaN• Matlab (2005): 0^0 = 1• Windows XP (2005): 0^0 = 1• Google (2005): 0^0 = 1
00 ?
20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"
“However,if x and y -> 0 at the same rate, then the limit of x^y is 1.“
Matlab-Urgestein
Cleve Moler (vs. Buchholz, comp.soft-sys.matlab, 2002)
0
0.5
1
0
0.5
10
0.5
1
x
xy
y
20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"
und außerdem
0
nn k n k
k
nx y x yk
11 1
0
0 1 0 1 1 1
0
10 1 0 1
1 11 0 1 010 1
1 0
k k
kk
Binomischer Satz:
mit 0, 1:x y n
20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"
Da müht man sich tagelang ab, den Studierenden die Wunderwelt der Grenzwerte durch anschauliche Beispiele nahe zu bringen:
limx 8
1x 8
8=
Doch wenn man dann eine einfache Transferleistung erhofft: lim
x 5
1x 5
5=
Trial and ERROR