Embed Size (px)
Citation preview
- 1 -
- 1 -
- 1 -
第十二章 曲线、曲面积分及场论初步
一. 计算曲线积分 ∫= LdlyI || ,双纽线 )()( 222222 yxayx −=+ .
解. 曲线按 x, y 轴对称, 所以只要计算第一象限的曲线积分, 再乘以 4. 双纽线的极坐标方程:
θρ 2cos22 a= , 02 =ρ , 得 2θ = 2π
, 4πθ =
θθ
θρρ daddl2cos
)'( 22 =+=
∫∫∫ === 40
40 2cos
sin2cos42cos
sin4||ππ
θθ
θθθθ
θρ daadadlyIL
= )22(2)221(4sin4 224
0
2 −=−=∫ aadaπ
θθ
二. 设 ),()( +∞−∞在xf 内有连续的导函数, 求
dyxyfyyxdx
yxyfyI
L]1)([)(1 2
2
2
−++
= ∫
其中 L为从点 A )32,3( 到点 B(1, 2)的直线段.
解. 2
32 1)(')(y
xyfxyxyfyyp −+=
∂∂
, 2
32 1)(')(y
xyfxyxyfyxq −+=
∂∂
xq
yp
∂∂
=∂∂
, 于是积分与路径无关.
∫∫∫+
+−=−++
=1
3
2
32
22
22
2
2)2(41]1)3([3]1)([)(1 dxxfdyyfy
ydyxyfy
yxdx
yxyfyI
L
= ∫∫∫∫ ++−1
3
1
3
2
32 2
2
32 )2(2
213)3(3 dxxfdxdy
ydyyf
= 41233
23)(
213)(
2
6
1
3
2
32
6
2−=−⋅−=+++ ∫∫ duufx
yduuf
三. 计算 ∫ −++)2,1(
)0,0()2()(
L
yy dyyxedxxe , 其中 L为过(0, 0), (0, 1), (1, 2)三点的圆周.
- 2 -
解. yeyp=
∂∂
, yexq=
∂∂
. xq
yp
∂∂
=∂∂
, 于是积分与路径无关.
∫ −++)2,1(
)0,0()2()(
L
yy dyyxedxxe
27)2()1( 22
0
1
0−=−++= ∫∫ edyyedxx y
四. 计算 ∫ −++=)(
)7cos()8sin(AMBL
xx dyxyedxyyeI , L(AMB)是上半圆周. A, B的坐
标分别为(1, 0)和(7, 0).
解. ∫ −++=)(
)7cos()8sin(AMBL
xx dyxyedxyyeI
= ∫∫∫ −++−∂∂
−∂∂
−BA
xx
D
dyxyedxyyedxdyyp
xq )7cos()8sin()(
=2
1352315)8cos7cos(
2 ππ=
⋅⋅=−−−− ∫∫
D
xx dxdyyeye .
五. 计算 ∫ +++++=ABC
dybybxbdxayaxaI )()( 321321 , 其中 )3,2,1(, =iba ii 2 为常数
)0,1(),1,0(),0,1( CBA − , AB为 122 =+ yx 上的一段弧, BC为 21 xy −= 上的一段弧.
解. ∫ +++++=ABC
dybybxbdxayaxaI )()( 321321
= −∂∂
−∂∂
− ∫∫D
dxdyyp
xq )( ∫ +++++
CAdybybxbdxayaxa )()( 321321
= ∫∫∫−
+−−−1
1 `3221 )()( dxaxadxdyabD
= 3123
1
0
1
01212 2)32
4)((2][)(
41)(
2
abaadxdybabax
++−=+−+− ∫ ∫− ππ
六. 计算 ∫ −+=)(
)( 2
2
cos)cos(sinBL
ALdy
yx
yxdx
yx
yx
yxI , 其中L为连结 )2,()1,( ππ BA 与 的曲
线弧段.
解. yx
yx
yx
yx
xq sincos2
3
2
2 +−=∂∂
, yx
yx
yx
yx
yp sincos2
3
2
2 +−=∂∂
yp
xq
∂∂
=∂∂
, 于是该积分等于沿直线 AB( π=x )由 1到 2的积分.
- 3 -
∫∫ −=−+=2
1 2
2)(
)( 2
2
coscos)cos(sin dyyy
dyyx
yxdx
yx
yx
yxI
BL
AL
ππ
= πππππππππ =−==∫ )sin2
(sinsincos2
1
2
1 yyd
y
七. 计算 ∫ >+−+−
=AB
cycxydydxcxI )0(])[(
)(2322 , 其中 AB 是沿椭圆 12
2
2
2
=+by
ax
的正向从 A(a,
0), B(0, b)的一段弧.
解. 对于函数 2122 ])[(1),(
ycxyxu
+−−
= ,
2322 ])[( ycxcx
xu
+−−
=∂∂
, 2322 ])[( ycxy
yu
+−=
∂∂
.
所以 =),( yxdu 2322 ])[()(
ycxydydxcx
+−+−
, 于是
∫ ∫ −==+−+−
=AB
b
aaubuyxdu
ycxydydxcxI )0,(),0(),(])[(
)( ),0(
)0,(2322
= )(||
1122
cacabc
≠−
++
−
八. 计算 ∫ −+−= −−
+∞→ L
xyxy
adybxyedxyxyeI )2sin()32cos(lim 22222
(b > 0), 其中 L 是
依次连结 )0,0(),,0(),,(),0,( Oa
Ea
aBaA ππ的有向折线(已知 )
20
2 π=∫
∞+ − dxe x
解. ∫ −+− −−
L
xyxy dybxyedxyxye )2sin()32cos( 22222
= −∂∂
−∂∂
∫∫D
dxdyyp
xq )( ∫ −+− −−
OA
xyxy dybxyedxyxye )2sin()32cos( 22222
= ∫∫ −−− −+−D
xyxyxy xyyexyyexyxe 2cos22cos22sin)2((222222
∫∫∫∫∫ −−−− −=−=−++a xa x
D
a xxy dxedxedxdydxedxdyxyxe000
22222
33)32sin2 π
所以 ∫ −+−= −−
+∞→ L
xyxy
adybxyedxyxyeI )2sin()32cos(lim 22222
- 4 -
=2
33)3(lim00
22 ππππ −=−=− ∫∫∞+ −−
+∞→dxedxe xa x
a
九． 设平面 yz = 与椭圆柱面 195
22
=+yx
相截， 求其在 0,0 ≥≥ yz 及 xoy 平面之间的
椭圆柱面的侧面积.
解. 椭圆 195
22
=+yx
的参数方程为
==
tytx
sin3cos5
,
dtttdttytxdl 222'2' cos9sin5)()( +=+= . 所求侧面积
∫∫∫ +=+==ππ
0
2
0
22 cos45sin33cos9sin5sin3|| dtttdttttdlzAL
= ∫ +−π
0
2 coscos453 tdt ut =cos令 ∫∫ +=+−− 1
0
21
1
2 456453 duuduu
= 5ln4
159)1ln(211
215115
52
0
2252
0
2 +=
++++=+∫ yyyydyy
十 . 计算 dymexdxmyexI x
AnB
x ])([])([ ' −Φ+−Φ= ∫ , 其中 )()( ' xx ΦΦ 和 为连续函数 ,
AnB为连结点 ),(),( 2211 yxByxA 和点 的任何路径, 但与直线段 AB围成的图形 AnBA有定
面积 S.
解. dymexdxmyexI x
AnB
x ])([])([ ' −Φ+−Φ= ∫
∫∫∫ −Φ+−Φ−
∂∂
−∂∂
=BA
xx
D
dymexdxmyexdxdyyP
xQ ])('[])([
( ) ∫∫∫∫ +−Φ+Φ−+Φ−Φ=BABA
xx
D
xx mydxdymexdxexdxdymeyey ])('[)()(')('
= ∫∫
−−
+−−
+−Φ−1
2
11
22 12
1212
12
12),(
),(
])([x
x
yx
yx
x dxxx
xyyxxxxyymmyeydmS
=1
2
11
22)()(
21])([ 1212
212
12
),(),(
x
x
yxyx
x xxyyxxyyxx
mmyeymS
−+−
−+−Φ−
= )()()( 122121 yymeyeymS xx −−Φ+Φ−
−++−− )())((21
12121212 xyyxxxyym
- 5 -
解中第三行到第四行是因为 ])([ myeyd x −Φ = dymexdxex xx ])('[)( −Φ+Φ , BA 直线方
程为12
1212
12
12
xxxyyxx
xxyyy
−−
+−−
= .
十 一 . 计 算 dybxyedxayyeI x
AMB
x ]cos[]sin[ −+−= ∫ , 其 中 AMB 是 通 过 点
)0,(),2
,2
(),0,( bBbabaMaA −+的半圆周( )0,0 >> ba .
解. dybxyedxayyeI x
AMB
x ]cos[]sin[ −+−= ∫
= −
∂∂
−∂∂
∫∫D
dxdyyP
xQ dybxyedxayye x
BA
x ]cos[]sin[ −+−∫
= ∫∫ +−−D
xx dxdyayebye )coscos( = 3)(8
)( badxdybaD
−=−∫∫π
十二. 计算 ∫ +−=L
dzyzxzdyydxI 23 , 其中 L是圆周 2,222 ==+ zzyx , 若从 z轴正向
看去, 这个圆周取逆时针方向.
解. 方法一: 曲线 L的参数方程为
===
2sin2cos2
zyx
θθ
. 所以
∫∫ ⋅−−⋅⋅=+−=π
θθθθθ2
0
2 ]cos2cos4)sin2(sin23[3 ddzyzxzdyydxIL
= πθθθθθθππ
202
2cos182
2cos112)cos8sin12(2
0
2
0
22 −=
+
⋅+−
⋅−=+− ∫∫ dd .
方法二: 由斯托克斯定理
∫∫∫Σ
−∂∂
∂∂
∂∂
=+−=
2
2
3
3
yzxzyzyx
dxdydzdxdydz
dzyzxzdyydxIL
= ∫∫∫∫ +−+⋅=−−+−+Σ D
dxdyzxzdxdyzdzdxdydzxz )3(,0,1,0,0)3(0)( 22
= π205)3( −−=+− ∫∫∫∫DD
dxdydxdyz .
十三. 计算 222:, RyxzdsI =+Σ= ∫∫Σ
.
- 6 -
解. 设 1Σ 表示上半球面: 2221 yxRz −−=
2Σ 表示下半球面: 2222 yxRz −−=
所以 ∫∫∫∫≤+Σ
∂∂
+
∂∂
+−−==222
21
21222 1
Ryx
dxdyyz
xzyxRzdsI
+ ∫∫≤+
∂∂
+
∂∂
+−−−222
22
22222 1)(
Ryx
dxdyyz
xzyxR
= 0.
十四 . 计算 2,10:, 222
22===−−Σ
+= ∫∫
Σ
xxzyxdydzzy
eIx
及平面锥面 所围立体
的外侧.
解. 方法一: Σ = 321 Σ+Σ+Σ . 其中 1Σ 为锥面的外侧, 2Σ 为平面 1=x 的外侧, 3Σ 为平面
2=x 的外侧.
∫∫∫∫∫∫≤+≤
+
≤+≤Σ +=
∂∂
∂∂
−⋅
+=
+ 2122
212222
22
22
221
,,10,0,zy
zy
zy
xx
dydzzy
edydzzx
yx
zyedydz
zye
= )(2 22
0
2
1eedde
−=
− ∫ ∫ πθρρ
ρπ ρ
∫∫Σ +2
22dydz
zyex
= edydzzy
e
yx
π21
22
1
22
−=+
− ∫∫≤+
∫∫Σ +3
22dydz
zyex
= 2
222
2
422
edydzzy
e
yx
π=+
∫∫≤+
=I ∫∫Σ +1
22dydz
zyex
+ ∫∫Σ +2
22dydz
zyex
+ ∫∫Σ +3
22dydz
zyex
= 222 242)(2 eeeee ππππ =+−−
方法二: 使用奥—高公式
=I ∫∫∫∫∫ΩΣ +
=+
dxdydzzy
edydzzy
e xx
2222 (使用先做 y, z的二重积分再做 x的积分)
= 22
10
2
0
2
122
2
1221
222
edxxedxddedxzy
dydze xxx
xzy
x ππρρρ
θπ
==
=
+∫∫∫∫∫∫∫
≤+
- 7 -
十五. 求 )5,4,3(),,( 222 Pzyxzyxuu 在−+== 处沿曲线：
=+
=−+222
222 2522zyx
zyx, 在
)5,4,3(P 处的切线方向的方向导数.
解. 6|
=∂∂
Pxu
, 8|
=∂∂
Pyu
, 10|
−=∂∂
Pzu
=+
=−+222
222 2522zyx
zyx
)()(
GF
80|22
24
||),(
),(−=
−−
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
Pzyzy
pzG
yG
zF
yF
PzyGF
48|22
42
||),(
),(=
−−
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
Pxzxz
pxG
zG
xF
zF
PxzGF
0|22
44
||),(
),(==
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
Pyxyx
pyG
xG
yF
xF
PyxGF
所以方向矢量 0,48,80−=→
l . 方向余弦为
870480
02304640080cos −
=++
−=α ,
870448
02304640048cos =
++=β
0023046400
0cos =++
=γ
于是8704
968704384
8704480
|coscoscos
|−
=+−
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
Pzu
yu
xu
plu γβα .
- 1 -
- 1 -
- 2 -
