ХТМУ - Кандидат-студентски изпит по математика

Задача 1. Да се реши уравнението:

.

Задача 2. Да се намерят стойностите на реалния параметър k, за които е в сила неравенството

където x1 и x2 са реалните решения на уравнението

.

Задача 3. В правоъгълен ABC с катети BC=a и AC=b (a>b) е вписан равнобедрен трапец AMPQ с основи

AM и PQ така, че точките M, P и Q лежат съответно на страните AB , BC и AC. Да се намери максималното лице на трапеца AMPQ.

Задача 4. В правилна триъгълна пирамида основите и околните ръбове са с дължина a. Да се намерят:

А) Обемът и лицето на пълната повърхнина на пирамидата.

Б) Радиусът на вписаната в пирамидата сфера.

Решения

Задача 1. Полагаме и решаваме уравнението

Разглеждаме случаите:

1 сл.:

2 сл.: - няма решение

Задача 2. има реални корени, когато

По формулите на Виет . Даденото неравенство записваме чрез k:

Търсените стойности на k определяме от системата :

Задача 3. При означенията от чертежа

1).

2).

3).

4). За лицето на трапеца получаваме:

5). Квадратната функция достига най-голяма стойност при

6). Условието е осъсществено за да се впише в триъгълника равнобедрен трапец с основа AM.

Задача 4. а)

б) 0

23

2(1 3)V rS r a= ⇒ =

+

r можем да намерим от:

3: 3

2 2

1 32(1 3)

h r PM a a

r OP

h ar

r

−= = = ⇒

= + ⇒ =

+