2006 I 1library.tee.gr/digital/techr/2006/techr_2006_i_1_2_37.pdf · 36 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2006 Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2

36 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2006 Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2006 Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 37

ΠερίληψηΗ παρούσα εργασία ασχολείται με τον προσδιορισμό της επιρροής των παραμενουσών τάσεων θερμικής κατεργασίας στην ελαστο-πλαστική συμπεριφορά και την αντοχή χαλύβδινων μελών διατομής διπλού ταυ (Ι) θερμικής κατεργασίας της Ευρωπαϊκής Βιομηχανίας, υπό την επιρροή καμπτικής ροπής Μ περί τον ισχυρό άξονα, συν-δυασμένης, είτε με αξονική (Ν), είτε με τέμνουσα (Q) δύναμη. Τα μέλη αυτά θεωρούνται ως μη λυγηρά, που σημαίνει ότι δεν υπάρχει κίνδυνος αστοχίας λόγω λυγισμού, παρά μόνον λόγω τοπικής δι-αρροής στο επίπεδο της διατομής. Χρησιμοποιώντας την αρχή της επαλληλίας των διαγραμμάτων τάσεων και υιοθετώντας ένα προσεγ-γιστικό μονοδιάστατο μοντέλο κατανομής παραμενουσών τάσεων, παρόμοιο με αυτό που έχει προταθεί από την Ευρωπαϊκή Σύμβαση Χαλύβδινων Κατασκευών (ECCS), υπολογίζονται οι αναλυτικές εκφράσεις των εξισώσεων αλληλεπίδρασης (Μ-Ν) και (Μ-Q), τόσο για την έναρξη της διαρροής, όσο και για την πλήρη πλαστικοποίηση της διατομής του μέλους. Με τον τρόπο αυτό, δίνεται η δυνατότητα άμεσης δημιουργίας διαγραμμάτων αλληλεπίδρασης, που έχουν ση-μαντική σημασία και είναι ιδιαίτερα χρήσιμα για το Μηχανικό της καθημερινής πράξης.

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

1.1. Γενικές επισημάνσεις

Οι παραμένουσες τάσεις είναι τάσεις που συνεχίζουν να υφίστανται σε ένα μη φορτισμένο μετά την παραγωγή του ως τελειωμένου προϊόντος. Αυτό το είδος των τάσεων προ-έρχεται από πλαστικές παραμορφώσεις, οι οποίες στο δομι-κό χάλυβα οφείλονται σε διάφορες αιτίες, με τη σπουδαιό-τερη των οποίων να είναι αυτή η οποία προέρχεται από την ανομοιόμορφη ψύξη μετά τη θερμική εξέλαση χαλύβδινων διατομών. Πρόκειται συνεπώς περί παραμενουσών τάσεων θερμικής κατεργασίας, οι οποίες γενικά αναπτύσσονται και συνεχίζουν να υπάρχουν στη διατομή μετά τη διαδικασία εξέλασης και σε αντίθεση με ό,τι συνήθως χρησιμοποιείται

στο δομοστατικό σχεδιασμό, ένα χαλύβδινο μέλος πριν την επιβολή εξωτερικών φορτίων δεν είναι απαλλαγμένο από τάσεις, αλλά διαθέτει παραμένουσες τάσεις σημαντικού μεγέθους, που βρίσκονται σε κατάσταση αυτο-ισορροπίας.

Από τα μέσα της δεκαετίας του 1950, έχει λάβει χώρα εκτεταμένη έρευνα όσον αφορά στις παραμένουσες τάσεις και την επιρροή τους σε χαλύβδινα δομικά στοιχεία, η οποία απεικονίζεται σε ένα μεγάλο αριθμό πρωτοπόρων αλλά και πρόσφατων εργασιών, που περιέχουν μια εκτετα-μένη και αξιόπιστη αναφορά επί του συγκεκριμένου τύπου τάσεων [1-5 κ.λπ.].

Ιδιαίτερα, για μέλη διατομής διπλού ταυ (Ι), η σχετική βιβλιογραφία παρέχει λεπτομερή στοιχεία για το μηχανισμό ανάπτυξης παραμενουσών τάσεων λόγω ψύξης [6-8]. Συνο-ψίζοντας, αναπτύσσονται θλιπτικές παραμένουσες τάσεις στα πέλματα, στην περιοχή, όπου συνδέεται ο κορμός με τα πέλματα, καθώς και κατά μήκος του κορμού γενικά, ενώ υπάρχει η πιθανότητα ανάπτυξης εφελκυστικών παραμε-νουσών τάσεων στο μέσο του κορμού για μεγαλύτερες δι-ατομές. Πάντως, αναμένονται σημαντικές διαφοροποιήσεις, καθώς η πραγματική κατανομή των τάσεων αυτών εξαρτά-ται άμεσα από τις διαστάσεις της εκάστοτε διατομής.

Μια τυπική τρισδιάστατη κατανομή παραμενουσών τάσεων θερμικής κατεργασίας φαίνεται στο Σχήμα 1α, ενώ απλουστεύσεις αυτής έχουν αναπτυχθεί για χρήση στο δομοστατικό σχεδιασμό, όπως τα παραβολικά μονοδιάστα-τα μοντέλα του Σχήματος 1β και 1γ [8], καθώς και τα δύο μονοδιάστατα προσομοιώματα, που απεικονίζονται στο Σχήμα 1δ και 1ε.

Τα πρώτα έχουν χρησιμοποιηθεί για τη δημιουργία κα-μπύλων αλληλεπίδρασης δοκών-στύλων διατομής διπλού ταυ υπό τοπική διαρροή [9], ενώ τα δεύτερα έχουν προταθεί – συσταθεί από την Ευρωπαϊκή Σύμβαση Χαλύβδινων Κα-τασκευών (ECSS) [10]. Σε αμφότερα τα γραμμικά μοντέλα η μέγιστη τιμή των παραμενουσών τάσεων θεωρείται εξαρ-τώμενη από το λόγο πλάτους προς ύψος των πελμάτων και

Επιρροή Παραμενουσών Τάσεων Θερμικής Κατεργασίας στην Ελαστοπλαστική Συμπεριφορά και την Αντοχή Μη Λυγηρών Χαλύβδινων Μελών Διατομής Διπλού Ταυ (Ι)

Υπό Συνδυασμένη Φόρτιση

Δ. Σ. ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΣ Π. Γ. ΑΣΤΕΡΗΣ Δ. ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΟΥΔρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. Διπλ. Πολιτικός Μηχανικός Π.Θ.

Υποβλήθηκε: 6.6.2005 Έγινε δεκτή: 31.10.2005


του κορμού της διατομής αντίστοιχα, υπό μορφή ποσοστού του μέγιστου αυτού ως προς την τιμή της τάσης διαρροής του υλικού του μέλους.

Σχήμα 1: Μορφές – μοντέλα κατανομής παραμενουσών τάσεων θερμικής κατεργασίας σε διατομές Ι θερμής εξέλασης.

Figure 1: Geometrical representation of the normality rule in two dimensional stress space.

Ειδικότερα, το προσομοίωμα της ECSS έχει αποδειχθεί αρκετά αποτελεσματικό και χρησιμοποιείται στην τρέχουσα έρευνα περί χαλύβδινων κατασκευών και ιδιαίτερα στην ανε-λαστική ανάλυση αυτών, όπως π.χ. στη βελτιωμένη μέθοδο πλαστικής άρθρωσης, βασισμένης στην αρχή της συναρμο-λόγησης της διατομής [11], καθώς και ως αρχική συνθήκη σε προγράμματα Η/Υ ανελαστικής ανάλυσης μέσω των μεθόδων πλαστικής άρθρωσης ή πλαστικής ζώνης [12-14]. Μια παραλλαγή του μοντέλου αυτού, με yrcrt kf��

, όπου k = 0.50 για h/b>1.2 και k = 0.30 για h/b ≤ 1.2 (fy η τάση διαρροής) έχει πρόσφατα προταθεί στη βιβλιογραφία [15,16,20] και πρόκειται στο εξής να χρησιμοποιηθεί στο πλαίσιο της παρούσας εργασίας (Σχήμα 1στ).

1.2. Παραμένουσες τάσεις μελών χωρίς κίνδυνο αστάθειας

Η παρουσία παραμενουσών τάσεων σε ένα χαλύβδινο μέλος μπορεί να οδηγήσει, είτε (α) στην έναρξη της διαδι-κασίας πλαστικοποίησης για τιμές της εξωτερικής φόρτισης μικρότερες από την τιμή που αντιστοιχεί στο όριο αναλογίας του υλικού κατασκευής του μέλους αυτού, είτε (β) στη μείω-ση της μέγιστης (οριακής) αντοχής του μέλους, αν η αστοχία του σχετίζεται με τοπική ή καθολική αστάθεια. Αντίθετα, οι παραμένουσες τάσεις δεν επηρεάζουν την οριακή αντοχή ενός μέλους, αν αυτό είναι εξασφαλισμένο έναντι οιασδή-ποτε μορφής αστάθειας. Άρα, για την περίπτωση μελών με μήκος μικρό σε σχέση με το ύψος της διατομής του (ή για μέλη με μικρή καμπτική παραμόρφωση), αλλά και για μέλη εξασφαλισμένα έναντι λυγισμού, η μοναδική μορφή αστοχί-ας που μπορεί να προκύψει σχετίζεται με το φαινόμενο της τοπικής διαρροής.

Πειραματικές και θεωρητικές έρευνες για περισσότερα από 50 έτη έχουν διεξοδικά εξετάσει την επιρροή των πα-ραμενουσών τάσεων θερμικής κατεργασίας επί της αντοχής σε λυγισμό χαλύβδινων δοκών και στύλων υπό τη δράση συνδυασμένων φορτίων.

Τα αποτελέσματα των ερευνών αυτών έχουν ήδη ενσω-ματωθεί σε Εθνικούς και Διεθνείς Κώδικες για τον υπολογι-σμό κατασκευών από χάλυβα [17,18]. Εξαντλητική κάλυψη του όλου θέματος, με μεγάλο αριθμό βιβλιογραφικών ανα-φορών, βρίσκεται σε εργασίες διακεκριμένων ερευνητών, μερικές των οποίων αναφέρονται στο τέλος της παρούσας [2,3,6,19].

Ενδιαφέρον, επίσης, παρουσιάζει και η επιρροή των εν λόγω παραμενουσών τάσεων στην ελαστοπλαστική συμπε-ριφορά μη λυγηρών (προστατευμένων έναντι οποιασδήποτε μορφής αστάθειας) χαλύβδινων μελών υπό συνθήκες συνδυ-ασμένης φόρτισης.

Σκοπό της παρούσας εργασίας αποτελεί η εύρεση της επιρροής αυτής σε χαλύβδινα δομικά στοιχεία διατομής διπλού ταυ θερμικής εξέλασης της σχετικής Ευρωπαϊκής Βιομηχανίας και η δημιουργία καμπύλων αλληλεπίδρασης για τις περιπτώσεις φόρτισης με ροπή κάμψης περί τον ισχυ-ρό άξονα της διατομής, συνδυασμένης, είτε με ταυτόχρονη δράση αξονικής, είτε τέμνουσας δύναμης.

Προς τούτο, υιοθετείται το απλουστευμένο μονοδιά-στατο μοντέλο κατανομής παραμενουσών τάσεων της ECSS που προαναφέρθηκε, και με βάση την αρχή της επαλληλίας διαγραμμάτων τάσεων υπολογίζονται οι εξι-σώσεις αλληλεπίδρασης, τόσο αρχικής, όσο και πλήρους διαρροής για τις ως άνω περιπτώσεις φόρτισης. Παράλ-


ληλα, περιγράφεται η διαδικασία βάσει της οποίας οδη-γούμεθα στην πλήρη πλαστικοποίηση της διατομής Ι, ενώ παρατίθενται χαρακτηριστικές καμπύλες αλληλεπίδρασης και εξάγονται χρήσιμα συμπεράσματα, που αφορούν το δομοστατικό σχεδιασμό.

2. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ

2.1. Ελληνικά σύμβολα

ζ, ζ1,ζ2,ζ3 : Παράμετροι εξισώσεων.λ,λ1,λ2,λ3,λ4 : Παράμετροι εξισώσεων.σ : Αξονική τάση.σr : Παραμένουσα τάση θερμικής κατεργασίας.τ : Διατμητική τάση.

2.2. Λατινικά σύμβολα

A : Επιφάνεια διατομής Ι.Ae : Επιφάνεια πλαστικοποιημένου κορμού.Αf : Επιφάνεια πελμάτων.Aw : Επιφάνεια κορμού.b : Πλάτος πέλματος διατομής Ι.e : Γεωμετρική παράμετρος.F : Επιφάνεια του τμήματος της διατομής χωρίς

τάσεις λόγω αξονικής. f : Δείκτης που υποδηλώνει πέλμα.fy : Τάση διαρροής.h : Ύψος διατομής Ι.Jy : Ροπή αδρανείας περί τον ισχυρό άξονα της διατομής Ι.k : Λόγος μέγιστης παραμένουσας τάσης θερμι-

κής κατεργασίας προς την τάση διαρροής.ΜF : Καμπτική ροπή όταν η διατομή βρίσκεται στην ελαστική περιοχή για φόρτιση Μ-Ν.Μy = M : Καμπτική ροπή δρώσα περί τον άξονα y.ΜΝ : Καμπτική ροπή, η οποία δρώσα ταυτόχρονα

με αξονική δύναμη Ν οδηγεί στην πλήρη πλαστικοποίηση της διατομής.

ΜQ : Καμπτική ροπή, η οποία, δρώσα ταυτόχρονα με τέμνουσα δύναμη Q, οδηγεί στην πλήρη πλαστικοποίηση της διατομής.

Μp : Πλαστική ροπή αντοχής της διατομής Ι.Nx = N : Αξονική δύναμη Ν.ΝF : Αξονική δύναμη όταν η διατομή βρίσκεται

στην ελαστική περιοχή για φόρτιση Μ-Ν.p : Δείκτης που υποδηλώνει πλαστική (ό).Qz = Q : Τέμνουσα δύναμη δρώσα κατά μήκος του

άξονα z.

Qp : Τέμνουσα δύναμη, η οποία δρώσα αυτοτε-λώς πλαστικοποιεί πλήρως τη διατομή.

r : Δείκτης που υποδηλώνει παραμένουσες τά-σεις.

Spe, S : Παράμετροι επιφανειών.tf : Πάχος πέλματος.tw : Πάχος κορμού.w : Δείκτης που υποδηλώνει κορμό.x : Κεντροβαρικός άξονας μέλους.y : Ισχυρός άξονας διατομής Ι.z : Ασθενής άξονας διατομής Ι.

3. ΚΑΜΨΗ ΠΕΡΙ ΤΟΝ ΙΣΧΥΡΟ ΑΞΟΝΑ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΣΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ

3.1. Ελαστική περιοχή

Σύμφωνα με τη σύμβαση προσήμων που απεικονίζεται στο Σχήμα 2 (α,β), υπό την ταυτόχρονη δράση μιας καμπτι-κής ροπής Μ και μιας αξονικής δύναμης Ν, η πρώτη διαρρέ-ουσα ίνα βρίσκεται στη βάση του εφελκυόμενου πέλματος, οπότε ισχύει:

)2h,y(

AN

2h

IM

ry

F �� (3.1)

Σχήμα 2: Γεωμετρία και σύμβαση προσήμων μιας τυπικής διατομής Ι θερμής εξέλασης (α) και κατανομή ελαστικών τάσεων (β) υπό κάμψη και αξονική δύναμη.

Figure 2: Geometry and sign convention of a typical hot-rolled I section (a) and distribution of elastic stresses (b) under simultaneous bending and axial force loading.

και καθόσον

��

��

�� pyFy

yFyF NAfN ,2

hJ

fWfM (3.2)

οδηγούμεθα στην ακόλουθη εξίσωση αλληλεπίδρασης, η οποία διαχωρίζει την ελαστική από την πλαστική περιοχή, οριζόμενη ως γραμμή αρχικής διαρροής:

k1NN

MM

FF�� (3.3)


3.2. Πλαστική περιοχή

Στη συνέχεια, υπολογίζεται η τιμή της καμπτικής ροπής εκείνης ΜΝ, η οποία υπό την παρουσία παραμενουσών τά-σεων r� και της ταυτόχρονης δράσης αξονικής δύναμης Ν πλαστικοποιεί πλήρως τη διατομή. Άρα, με βάση την αρχή της επαλληλίας των διαγραμμάτων τάσεων, μια λεπτομερής ανάλυση των σχετικών διαγραμμάτων, που αναπτύσσονται στη διατομή για την ως άνω φόρτιση, παρουσιάζονται γρα-φικά στο Σχήμα 3.

Σχήμα 3: Λεπτομερής γραφική αναπαράσταση της συνολικής κατα-νομής τάσεων μιας πλήρως πλαστικοποιημένης διατομής Ι υπό κάμψη περί τον ισχυρό άξονα και αξονική δύναμη, λαμβανομένων υπ’ όψη των παραμενουσών τάσεων θερμι-κής κατεργασίας.

Figure 3: Detailed analytical graphic representation of the total

stress distribution of a fully plastified hot-rolled I section

under strong-axis bending and axial force loading,

allowing for thermal induced residual stresses.

Από την εικόνα αυτή συμπεραίνεται ότι το διάγραμμα των τάσεων εκτείνεται σε ένα πλάτος 2e παράλληλα με τον κορμό και συμμετρικά ως προς το Κ.Β. της διατομής. Ανάλογα, κατά συνέπεια, με το μέγεθος της παραμέτρου e, διακρίνονται οι εξής δύο περιπτώσεις:

3.2.1. 2e ≤ h-2tf

Από την τασική κατανομή του Σχήματος 3δ, 3στ και 3ζ προκύπτει ότι:

��

��

��

��

e

e

e

0 fwyywrwyw dz1z

t2h4tkf2fet2dztfet2N �

��

�

��

�

��

��

�

��

�

��

��

��

��

2

f

ww

p

2

fwwy

et2h

kt4)k1(et2

AN

N

eet2h2kt2et2f (3.4)

από όπου εύκολα αποδεικνύεται ότι η επιρροή των παρα-μενουσών τάσεων καθίσταται αμελητέα για ft2he2 �� . Από την εξίσωση αυτή λαμβάνουμε:

0NNe

A)k1(t2

eA)t2h(

kt4

p

w2

f

w ��

��

(3.5)

η οποία διαθέτει λύση της μορφής

� �pw

2ff

NN

AkA4)k1(

k4t2h

k4)t2h(k1

e ��

��

� (3.6)

ενώ από την σχ.(3.4), για k=0, προκύπτει ότι

��

��

��

pw NN

t2Ae (3.7)

Υπό την επιθυμητή συνθήκη ft2he2 �� η σχ.(3.6) δίνει:

AA

NN w

p� (3.8)

οπότε, σύμφωνα με το Σχήμα 3ε και την ανάλυση κατανομής τάσεων του Σχήματος 3(η-ια) μπορούμε να γράψουμε:

��F

rpepN zdFMMM � (3.9)

όπου wet2AF �� . Το ολοκλήρωμα στη σχ.(3.9) ισούται με μηδέν (Σχήμα 3ια) και κατά συνέπεια:

2wy

2w

ypeype etf4)e2(t

fWfM �� (3.10)

Η τελευταία αυτή εξίσωση, αν θεωρήσουμε πως

� ��

��

��

��

wewf

wfwff

et2A ,AAA

tt2hA ,bt2A (3.11)

συνδυαζόμενη με τη σχ. (3.9) δίνει:

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

�

pw

22

2f

pw

2f

2

2f

wype

NN

AAk4)k1(

k8

)t2h)(k1(

NN

AA

k4)t2h(

k8

)t2h)(k1(

tfM

(3.12)που τελικά οδηγεί στην ακόλουθη εξίσωση αλληλεπίδρασης για τη γραμμή πλήρους διαρροής:


��

�

��

�

�

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

� ��

��

��

��

�

�

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

2w

2

4

3w2

3

4w

4

2

ww2

f

4p

32p

1p

N2

AA

2)k1( ,

AA

)k1(k

AA

4)k1(

,A

Ak ,

bt

1A

A-1

0NN

NN11

MM

k

��

�

��

��

1

��

(3.13)

3.2.2. 2e > h-2tf

Ορίζοντας ως peS την επιφάνεια της γραμμοσκιασμέ-νης περιοχής της διατομής, ως στο Σχήμα 4, ισχύει ότι

peySfN � , που μετά από επεξεργασία λαμβάνει τη μορφή:

��

��

� ��

AA

ttb

NN

b2Ae w

w

w

p,

AA

NN w

p� (3.14)

Σχήμα 4: Γεωμετρικά στοιχεία διατομής Ι, της οποίας έχει πλαστι-κοποιηθεί όλος ο κορμός και μέρος των πελμάτων.

Figure 4: Geometrical properties of an I-shaped section, of which the whole web and part of the flanges have yielded.

Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι:

y

f

fw

2w

peype f

2e2ht

21e

2e2ht

2tb4

4)e2(t

WfM

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

(3.15)

και τελικά

y

w

2ww

pw

w

2w

ppe f

t4A

AA

NN

bA

t2bA

AA

NN

bA

4b

M

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

��

�

��

�

��

��

��

��

�

��

�

��

��

��

� (3.16)

Συνεπώς, μετά από αντικαταστάσεις στη σχ. (3.9), η εξίσω-ση αλληλεπίδρασης για τη γραμμή πλήρους διαρροής, η οποία είναι ανεξάρτητη των παραμενουσών τάσεων, βρίσκεται ως:

(3.17)

4. ΚΑΜΨΗ ΠΕΡΙ ΤΟΝ ΙΣΧΥΡΟ ΑΞΟΝΑ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΣΗ ΜΕ ΤΕΜΝΟΥΣΑ ΔΥΝΑΜΗ

Η αλληλεπίδραση μεταξύ καμπτικής ροπής και τέμνου-σας δύναμης δύναται σχετικά εύκολα να υπολογιστεί, καθώς αμφότερες παράγουν αξονική ένταση στα δομικά στοιχεία. Παρά ταύτα, πριν τη θεώρηση της επιρροής της συνδυασμέ-νης δράσης M-Q επί της πλαστικής ροπής μιας διατομής Ι (ανεξάρτητα της ύπαρξης παραμενουσών τάσεων), πρέπει κατ’ αρχήν κανείς να περιγράψει την αλληλεπίδραση ροπής-τέμνουσας πριν τη διαρροή. Για την περιγραφή της θεμελι-ώδους αυτής συμπεριφοράς του χάλυβα ως δομικού υλικού, δύο κανόνες της Μηχανικής έχουν διατυπωθεί. Πρόκειται για τις ευρύτατα γνωστές συνθήκες διαρροής των Tresca και von Mises. Εξ αυτών, το δεύτερο λεγόμενο κριτήριο ισοδύναμης τάσης θα χρησιμοποιηθεί σε ό,τι ακολουθεί, σύμφωνα με το οποίο ισχύει ότι 2

y22 f3 �� όπου σ η αξονική τάση, τ

η διατμητική τάση και fy η τάση διαρροής σε μονοαξονικό εφελκυσμό. Για μηδενική αξονική τάση, η μέγιστη τιμή της αντίστοιχης διατμητικής ισούται με 3/f ymaxy �� .

4.1. Ελαστική περιοχή

Για ταυτόχρονη δράση κάμψης περί τον ισχυρό άξονα και τέμνουσας δύναμης σε μια διατομή Ι, η πλαστικοποίηση αρχικά εμφανίζεται στις ακραίες ίνες των πελμάτων, όπως φαίνεται στο διάγραμμα κατανομής τάσεων του Σχήματος 5, ενώ η πλέον ανεπιθύμητη μορφή της κατανομής αυτής εμφανίζεται για z=(h-2tf)/2, όπου ισχύει:

� ��

��

��

��

� �� f

f

wy

f

yx th

4A

tJQ ,

2t2h

JM �� (4.1)

Σχήμα 5: Κατανομή τάσεων διατομής Ι λόγω καμπτικής ροπής και τέμνουσας στην ελαστική περιοχή.

Figure 5: Stress distribution on a hot-rolled I section under (M-Q)

loading in the elastic region.


Η παρουσία παραμενουσών τάσεων θερμικής κατεργα-σίας διαμορφώνει το κριτήριο von Mises ως εξής:

� � 22rxy 3f �� (4.2)

η οποία σε συνδυασμό με τις σχ.(4.1) δίνει:

� �1

f

th4A

tJQ

3ff

J2)t2h(M 2

y

ff

wy

2

y

r

y

y

f

�

��

�

�

��

�

��

�

��

�

�

��

�

�

�

�

� (4.3)

ενώ επιπρόσθετα ισχύει ότι:

��

�

��

�

�

��

��

��

�

��

��

��

� �

��

�

��

� ��

�

yf

fy

fr

fwf

f

wy

Fymax

y

Fy

kf12t2h

t2h4kf

2t2h

2t2h

2A

)th(4A

tJQ

3

f

2h

JM

f

�

�

(4.4)

Κατά συνέπεια, με βάση τις τελευταίες δύο σχέσεις, καταλήγουμε στην ακόλουθη εξίσωση αλληλεπίδρασης (γραμμή αρχικής διαρροής):

1QQ

)t2h(A)th(A2)th(A2

kMM

ht2

1

2

Ffwff

ff

2

F

f

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�� (4.5)

4.2. Πλαστική περιοχή

Καθώς η πλαστικοποίηση διαδίδεται στην επιφάνεια της διατομής, λόγω συνδυασμού των ΜQ και Q, υποθέτουμε ότι σε κάποια απόσταση από την αρχή του μέλους, μόνο ένα μέρος του κορμού μήκους 2e – συμμετρικά ως προς τον κύ-ριο άξονα – παραμένει εντός της ελαστικής περιοχής, όπως καταδεικνύεται στο Σχήμα 6.

Σχήμα 6: Ως Σχήμα 5, αλλά για την πλαστική περιοχή.Figure 6: As Figure 5, but within the plastic region.

Επιπρόσθετα, αν θεωρήσουμε την ισορροπία τάσεων σε ένα στοιχειώδες κομμάτι dx του μέλους, σύμφωνα με το Σχήμα 7, μπορούμε να γράψουμε:

xz ,

zxzx

��

��

��

��

(4.6)

Σχήμα 7: Τάσεις ενός στοιχειώδους τμήματος της διατομής.Figure 7: Stresses on an infinitesimal element of the cross-section.

ενώ για την επιφάνεια που έχει ήδη διαρρεύσει, προφανώς ισχύει:

0x

dxx

f xxxxy �

��

��

��

�� (4.7)

οπότε, λόγω της σχ. (4.6) προκύπτει πως 0z�

�� . Η τε-

λευταία σχέση υποδηλώνει ότι η κατανομή των διατμητι-κών τάσεων εκκινεί από τα όρια της πλαστικοποιημένης επιφάνειας της διατομής, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6γ και συνεπώς το μέρος εκείνο του κορμού που αναλαμβάνει όλες τις διατμητικές τάσεις συμπεριφέρεται ως μια ορθογωνική διατομή διαστάσεων 2etw. Δυνάμεθα, συνεπώς, να προβούμε σε λεπτομερή ανάλυση της κατανομής των τάσεων, η οποία δίνεται σε γραφική μορφή στο Σχήμα 8.

Σχήμα 8: Ως Σχήμα 3, αλλά για φόρτιση Μ-Q.Figure 8: As Figure 3, but for combined M-Q loading.

Από την ανάλυση αυτή προκύπτει ότι:

��

��

��wy

yx tJQS)z( ,

ezf)z( �� (4.8)


όπου:

� �

��

��

�

��

��

��

��

3w

3

wy

22ww

et32

12)e2(tJ

,ze2t

2zez)ze(tS (4.9)

με αποτέλεσμα τις κατωτέρω εκφράσεις για τη διατμητική τάση και την τιμή της στη θέση z=0

��

�

��

��

��

2

w ez1

etQ

43)z(� ,

wetQ

43)0( �� (4.10)

Μετά από εφαρμογή του κριτηρίου του von Mises, σύμ-φωνα και με τη διεθνή βιβλιογραφία [3,5,8] και μετά από μαθηματικές πράξεις και αντικαταστάσεις λαμβάνουμε:

2yw k1ft

Q433e

�� (4.11)

η οποία, αν λόγω της πρώτης των σχ.(4.10), δίνει

��

�

��

��

��

��

22

y ez1

3k1f)z(� (4.12)

από όπου τελικά λαμβάνουμε την ακόλουθη σχέση για τη μέγιστη διατμητική τάση:

222

2

fymax

ez1)k1(

1|z|t2h4k

ez

3

f)z(

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�� (4.13)

Πέραν τούτων, από το Σχήμα 8α προκύπτει ότι:

��F

rpqpQ zdFMMM � (4.14)

όπου F η πλαστικοποιημένη επιφάνεια της διατομής. Κα-θόσον το ολοκλήρωμα στην παραπάνω σχέση ισούται με μηδέν, ενώ ισχύει ακόμη ότι:

3/eftM 2ywpq � (4.15)

συνδυάζοντας τις εξισώσεις (4.11), (4.13), (4.14) και (4.15) φθάνουμε στην ακόλουθη εξίσωση αλληλεπίδρασης για τη γραμμή πλήρους διαρροής:

1QQ

bt

1AA

1A

A)k1(4

9MM

2

pw

2f2

2w

2p

Q ��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

�� (4.16)

5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ

5.1. Ευρωπαϊκές διατομές Ι

Η σύγχρονη Ευρωπαϊκή Βιομηχανία χάλυβα παράγει μεγάλη ποικιλία διατομών Ι θερμής έλασης, οι διαστάσεις, τα γεωμετρικά και άλλα χαρακτηριστικά των οποίων έχουν πλήρως πινακοποιηθεί. Διακρίνουμε μεταξύ διατομών με παράλληλα πέλματα (ΙΡΕ, ΙΡΕ-Α, ΙΡΕο), πλατύπελμων διατομών δοκών (ΗL) ή στύλων (HD) και Eυρωπαϊκών διατομών πλατύπελμων δοκών (HEA, HEB, HEM). Όσον αφορά στο μέγεθος των παραμενουσών τάσεων θερμικής κατεργασίας για τον κάθε τύπο διατομής ως άνω, στις ελά-χιστες και μέγιστες τιμές του λόγου h/d και στην αντιστοι-χούσα τιμή της παραμέτρου k (σύμφωνα με το υιοθετηθέν μοντέλο κατανομής), τα σχετικά στοιχεία δύνανται άμεσα να υπολογιστούν, με βάση το περιεχόμενο των πινάκων που προαναφέρθηκαν.

5.2. Συνδυασμένη φόρτιση Μ-N

Για την παραγωγή διαγραμμάτων αλληλεπίδρασης Μ-Ν για μη λυγηρά χαλύβδινα μέλη από οποιαδήποτε επιθυμητή διατομή Ι θερμής εξέλασης, χρησιμοποιούνται οι συναρ-τήσεις αλληλεπίδρασης της εξίσωσης (3.3) για τη γραμμή αρχικής διαρροής (διαχωριστικού ορίου μεταξύ ελαστικής και πλαστικής περιοχής) και των εξισώσεων (3.12), (3.17) για τη γραμμή πλήρους διαρροής και μέσω εμπορικού μαθη-ματικού λογισμικού χαράσσονται ταυτόχρονα ως καμπύλες (Μ/Mp, N/Np).

Με σκοπό δε την παρουσίαση της επιρροής των παρα-μενουσών τάσεων θερμικής κατεργασίας, στα γραφήματα αυτά παρουσιάζονται, τόσο οι παραπάνω συναρτήσεις για μηδενιζόμενη τιμή του k, καθώς και οι προσεγγιστικές κα-μπύλες που αντιστοιχούν στην οριακή αντοχή του μέλους και δίδονται από τη σχέση:

��

��

��

pp NN118.1

MM

(5.1)Για ορισμένες χαρακτηριστικές διατομές Ι της Ευρωπαϊ-

κής Βιομηχανίας όλων των τύπων που προαναφέρθηκαν, οι καμπύλες αλληλεπίδρασης παρουσιάζονται συγκεντρωτικά ανά τύπο στα Σχήματα 9 και 10.

Από αυτές άμεσα συμπεραίνει κανείς ότι η παρουσία παραμενουσών τάσεων θερμικής κατεργασίας έχει ως αποτέλεσμα την πρώιμη έναρξη της πλαστικοποίησης, ενώ οι θεωρητικές καμπύλες αλληλεπίδρασης της παρούσας εργασίας για την πλήρη διαρροή βρίσκονται σε εξαιρετική συμφωνία με την αντίστοιχη απλουστευμένη καμπύλη της σχέσης (5.1).


Σχήμα 9: Καμπύλες αλληλεπίδρασης (Μ/Mp, N/Np) για ορισμένες διατομές ΙΡΕ και ΙΡΕο.

Figure 9: Interaction curves (Μ/Mp, N/Np) for certain IPE and IPEo sections.

Σχήμα 10: Ως Σχήμα 9, αλλά για ορισμένες διατομές HE.Figure 10: As Figure 9, but for certain HE sections.

5.2. Συνδυασμένη φόρτιση Μ-Q

Ακολουθώντας διαδικασία παρόμοια με αυτή της προ-ηγούμενης περίπτωσης συνδυασμένης φόρτισης, χαράσσο-νται καμπύλες αλληλεπίδρασης (M/Mp, Q/Qp) με χρήση των

σχετικών συναρτήσεων, που δίδονται στις σχέσεις (4.5) και (4.16) και παρουσιάζονται γραφικά στα Σχήματα 11 και 12, τόσο για 0k � ,όσο και για 0k � .

Σχήμα 11: Καμπύλες αλληλεπίδρασης (Μ/Μp, Q/Qp) για ορισμένες διατομές ΙΡΕ και ΙΡΕο.

Figure 11: Interaction curves (M/Mp, Q/Qp) for certain IPE and IPEo sections.

Σχήμα 12: Ως Σχήμα 11, αλλά για ορισμένες διατομές HΕ.Figure 12: As Figure 11, but for certain HE sections.

Στο σημείο αυτό, πριν επιχειρηθεί η ερμηνεία των αποτελεσμάτων αυτών και με σκοπό να ευρεθεί η επιρ-ροή των παραμενουσών τάσεων θερμικής κατεργασίας στην ελαστοπλαστική συμπεριφορά και την αντοχή μη λυγηρών χαλύβδινων μελών διατομής Ι, υπό τον τρέχοντα συνδυασμό φόρτισης, πρέπει να ληφθούν υπόψη οι θεωρη-τικές απόψεις, αλλά και οι προβλέψεις των Κωδίκων επί του εν λόγω προβλήματος. Θα πρέπει συνεπώς, να γίνει η


υπενθύμιση ότι η θεωρητική πλαστική ροπή αντοχής μιας διατομής μειώνεται υπό την παρουσία τέμνουσας, μείωση η οποία είναι αμελητέα για μικρές τιμές της τέμνουσας, καθόσον εξισορροπείται από την κράτυνση. Αν όμως η τιμή της τέμνουσας σχεδιασμού υπερβεί ένα συγκεκριμένο ποσοστό της πλαστικής αντοχής σχεδιασμού σε τέμνουσα (50% σύμφωνα με την §5.4.7. του Ευρωκώδικα 3), θα πρέ-πει να χρησιμοποιηθεί η μειωμένη πλαστική ροπή αντοχής σχεδιασμού, που επιτρέπει να ληφθούν υπόψη οι επιρροές των παραμενουσών τάσεων. Στην υπάρχουσα βιβλιογρα-φία έχουν προταθεί αρκετές σχέσεις που περιγράφουν αλληλεπίδραση ροπής-τέμνουσας (όπως αυτές των Horne και Green 1961) [21], χωρίς όμως να λαμβάνουν υπόψη παραμένουσες τάσεις, σε αντίθεση με πρόσφατα προταθεί-σες τέτοιες σχέσεις [16].

Θεωρώντας, συνεπώς, την ανωτέρω συνοπτική αναφο-ρά και εντός των παραδοχών της όλης ανάλυσης [8], από τα Σχήματα 11 και 12 προκύπτει ότι η επιρροή των παρα-μενουσών τάσεων είναι σημαντική, όχι μόνον επί της πρώ-ιμης έναρξης της διαρροής αλλά και επί της μείωσης της πλαστικής αντοχής. Το μέγεθος της τελευταίας εξαρτάται από τη γεωμετρία της διατομής και είναι εντονότερη για διατομές με μεγαλύτερες διαστάσεις κορμού. Εκτός από μερικές ακραίες περιπτώσεις διατομών Ι, η παρουσία πα-ραμενουσών τάσεων θερμικής κατεργασίας έχει σαν απο-τέλεσμα τη μείωση της αντίστοιχης πλαστικής ροπής για τιμές της τέμνουσας αρκετά μικρότερες του 50% της πλα-στικής αντοχής σε τέμνουσα. Το εύρημα αυτό υποδηλώνει την ανάγκη ότι στο δομοστατικό σχεδιασμό οι εν λόγω πα-ραμένουσες τάσεις θα πρέπει οπωσδήποτε να λαμβάνονται υπ’ όψη, ακόμα και για σχετικά μικρές τιμές της τέμνουσας (αν αυτή συνδυάζεται με κάμψη περί τον ισχυρό άξονα) και ότι, σε κάθε περίπτωση, το ποσοστό μείωσης της Mp δύναται εύκολα να ευρεθεί (και στη συνέχεια να εισαχθεί στους υπολογισμούς και τους ελέγχους των μελών), καθώς οι προτεινόμενες καμπύλες αλληλεπίδρασης προέρχονται από απλές αναλυτικές συναρτήσεις, εύχρηστες για το Μη-χανικό της καθημερινής πράξης.

6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Τα σπουδαιότερα συμπεράσματα που μπορούν να εξα-χθούν από την παρούσα εργασία είναι τα εξής:1. Η επιρροή των παραμενουσών τάσεων θερμικής κατερ-

γασίας στην ελαστο-πλαστική συμπεριφορά μη λυγηρών χαλύβδινων μελών διατομής Ι θερμής εξέλασης της Ευ-ρωπαϊκής βιομηχανίας είναι σημαντική και για τις δύο περιπτώσεις συνδυασμένης φόρτισης που μελετήθηκαν, καθόσον η διαρροή εκκινεί πρώιμα υπό την παρουσία τους.

2. Όσον αφορά στην αντοχή, υπό συνδυασμένη κάμψη περί τον ισχυρό άξονα και αξονική δύναμη, η παρουσία των εν λόγω τάσεων δεν επηρεάζει την οριακή αντοχή

των μελών, όπως αναμενόταν, πλην όμως τα άμεσα εφαρμόσιμα θεωρητικά ευρήματα, με βάση την απλου-στευμένη κατανομή παραμενουσών τάσεων της ECSS, οδηγούν σε καμπύλες αλληλεπίδρασης, που βρίσκονται σε εξαιρετική συμφωνία με υπάρχουσες της σχετικής βιβλιογραφίας.

3. Στην περίπτωση κάμψης περί τον ισχυρό άξονα και ταυτόχρονης δράσης τέμνουσας δύναμης, βρέθηκε ότι πέραν της αναμενόμενης πρώιμης έναρξης της διαρροής, η αναγκαία μείωση της πλαστικής αντοχής είναι σημα-ντικά μεγαλύτερη, εφόσον ληφθεί υπ’ όψη η παρουσία παραμενουσών τάσεων θερμικής κατεργασίας, με μεγά-λη σημασία στο δομοστατικό σχεδιασμό.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Huber, W. A., Beedle, S. L., “Residual Stresses and the Compressive Strength of Steel”, Welding J. 33, 1954, 589-614.

2. Beedle, S. L., Tall, L., “Basic Column Strength” J. Struct. Div., ASCE, No ST7, 86, 1960, 139-173.

3. Tall, L., Structural Steel Design (2nd edition), Krieger Pub Co., Melbourne, FL, USA, 1974.

4. Alpsten, A. G., Thermal Residual Stresses in Hot-Rolled Steel Members, Fritz Laboratories Report No. 337.3, 1968.

5. Galambos, T. V. (ed.), Guide to Stability Criteria for Metal Structures, Structural Stability Research Council (SSRC), 5th Edition, John Wiley & Sons, New York, NY, USA, 1998

6. Kounadis, A. N., Steel Structures: Behavior and Analysis, Vol. II. Symeon Publishing, Athens, Greece, 1987

7. Salmon, C. G., Johnson, J. E., Steel Structures: Design and Behavior (4th edition). Addison-Wesley Pub. Co., Boston, MA, USA, 1996.

8. Bruneau, M., Uang, C-M., Whittaker, A., Ductile Design of Steel Structures, McGraw-Hill, New York, NY, USA, 1998.

9. Hasham, A. S., Rasmussen, K. J. R., “Interaction curves for locally buckled I-section beam-columns”, J. Constr. Steel Res. 58, 2002, 213-241.

10. European Convention for Constructional Steelwork (ECCS), Ultimate Limit State Calculation of Sway Frames with Rigid Joints, ECCS, Technical Working Group 8.2., Systems, Publication No. 33,1983.

11. Chan, S .L., Chui, P. P. T., Nonlinear Static and Cyclic Analysis of Frames with Semi-Rigid Connections, Elsevier, The Netherlands, 2000.

12. Hsieh, S. H., Deierlein, G. G., McGuire, W. and Abel, J. F., Technical Manual for CU-STAND, Structural Engineering Report No 89-12. School of Civil and Environmental Engineering, Cornell University, Ithaca, N.Y., USA, 1989.

13. King, W. S., White, D. W. and Chen, W. F., “On second order inelastic analysis methods for steel frame design”, J. Struct. Eng. ASCE 118(3), 1992, 408 – 428.

14. Li, Y. and Liu, E. M., “A simplified plastic zone method for frame analysis”, Microcomput. Civil Eng. 10, 1995, 51 – 62.

15. Michaltsos, G. T., Sophianopoulos, D. S., “The effect of thermal residual stresses on the bearing capacity of hot-rolled I sections under combined bending and axial force”, in: Beskos, D.E., Karabalis, D.L. and Kounadis, A.N. (Eds.), Proc. 4th National Conference on Steel Structures, Vol. II, Typorama, Patras, Greece, 2002, pp. 367-375.

16. Sophianopoulos, D. S., Michaltsos, G. T., 2002. The effect of thermal residual stresses on the bearing capacity of hot-rolled I sections under combined bending and shearing force, in: Lamas, A. and da Silva, L.S. (Eds.), Proc. 3rd European Conference on Steel Structures, Vol. I, Auditόrio Laginha Serafim, Coimbra, Portugal, 2002, pp. 173-182.

17. American Institute of Steel Construction Inc. (AISC), Load and


Resistance Factor Design Specification for Structural Steel Buildings, Chicago, IL., USA, 1998.

18. Eurocode 3, Design of Steel Structures, Part 1: General Rules and Rules for Buildings, ENV 1993-1-1. CEN, Brussels, Belgium, 1992.

19. Bjorhovde, R. (ed.), Engstrom, M. F., Griffis, L. G., Structural Steel Selection Considerations: A Guide for Students, Educators, Designers and Builders, ASCE, Reston, VA, USA, 2001.

Δημήτρης Σ. ΣοφιανόπουλοςΔρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π., Συμβασιούχος Αναπληρωτής Καθηγητής (Π.Δ. 407/80), Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πεδίον Άρεως, 383 34 Βόλος, email: [email protected].Παναγιώτης Γ. Αστερής Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π., Τμήμα Μελετών και Κατασκευών, Υπουργείο Αγροτικής Ανάπτυξης και Τροφίμων, Σεράφη 60 και Λιοσίων 210, 104 45 Αθήνα, email: [email protected].Δέσποινα ΑθανασιάδουΔιπλωματούχος Πολιτικός Μηχανικός Πανεπιστήμιου Θεσσαλίας.

20. Athanasiadou, D., Effect of thermal induced residual stresses on the elasto-plastic behavior of non-slender beams made of hot-rolled I sections of the European Steel Industry, under strong axis bending combined with axial or shear loading, Diploma Thesis, Department of Civil Engineering, University of Thessaly, Volos, Greece, 2003.

21. Horne, M. R., “The stability of elastic-plastic structures”, Progress in Solid Mechanics, Vol. 2, Amsterdam, The Netherlands, 1961.


AbstractThe present work deals with the determination of the effect of thermal-induced residual stresses on the elasto-plastic behavior and capacity of steel members made of hot-rolled European I-shaped sections under strong axis bending (M) combined with axial (N) or shear (Q) loading. These members are regarded as non-slender, which implies that there exists no danger of failure due to buckling but only due to local yielding at the cross-sectional level. Using the principle of superposition of stress diagrams and adopting an approximate linear one-dimensional model for the residual stress distribution, similar to the one recommended by the European Convention for Constructional Steelwork (ECCS), the analytical expression of the corresponding M-N and M-Q interaction equations are assessed, for initial as well as for full yielding. Thus, one can readily produce interaction diagrams with great usefulness for the structural engineering practitioner.

1. INTRODUCTION

1.1. General Considerations

Residual stresses are stresses remaining in an unloaded member after it has been formed into a finished product. Such stresses result from plastic deformation, which in structural steel originates from several causes, with the most important being the uneven cooling that occurs after hot rolling of structural shapes.

These thermal-induced residual stresses are generally locked in during the rolling process and thus, contrary to what is commonly assumed in design, a steel member is not stress free prior to the application of external loads, but contains large internal stresses existing in a state of self equilibrium.

Since the mid 50s, extremely extensive research has been carried out into residual stresses and their effects on structural members, reflected in numerous pioneering

as well as recent works, which contain an authoritative examination of this type of stress [1-5 etc.]. In particular, in elements made of wide-flange or I-shaped beams, the relevant literature provides detailed discussion of the mechanism of development of residual stresses due to cooling [6-8]. Summarizing, compressive residual stress exists in the flange in the region where it joins the web and throughout the web in general, while there may also be compressive residual stress at mid-depth of the web in deeper section. Considerable variations may be expected, however, as the true pattern will be a function of the dimensions of the element. A typical three dimensional pattern of thermal-induced residual stress distribution on I-shaped sections is shown in Fig.1a. Engineering simplifications of this pattern has also been well-developed for use in design, such as the parabolic one-dimensional models of Figs. 1b and 1c [8], and the two linear 1D models depicted in Figs. 1d and 1e.

The former has been used in producing interaction curves for locally buckled I-section beam-columns [9], while the latter has been proposed - recommended by the European Convention for Construction Steelwork [10]. In both linear models as well as in the parabolic model the maximum magnitude of residual stress is assumed to be dependent on the depth/breadth ratio of the corresponding section and is expressed as the ratio of this maximum to the yielding stress of the component. The ECCS model in particular has been proven quite efficient and is currently being used in constructional steel research, especially in the inelastic analysis and design of steel structures, such as in the refined plastic hinge method based on the section assemblage concept [11] and as initial condition for the development of inelastic analysis programs via plastic hinge or plastic zone methods [12-14]. A variation of this model, shown in Fig.1f, has been quite recently proposed in the literature [15, 16, 20] and will be used henceforth in the present study.

Extended summary

The Effect of Thermal-Induced Residual Stresses on the Elastoplastic Behavior and Capacity of Non-Slender Steel

I-shaped Members Under Combined Loading

D. S. SOPHIANOPOULOS P. G. ASTERIS D. ATHANASIATHOUCivil Engineer Ph.D. of NTUA Civil Engineer Ph.D of NTUA Civil Engineer of UTH

Submitted: June 6, 2005 Accepted: Oct. 31, 2005


1.2. Residual stresses on members not prone to instability

The presence of residual stresses in a steel member may result in (a) the initiation of the yielding process for values of the external loading less than the ones corresponding to the proportionality limit of the member’s material, regardless of the type of loading condition; and (b) the reduction of the maximum (ultimate) bearing capacity of the member, if its failure is associated with local or global instability. In contrast, residual stresses in a member have no impact on its ultimate strength, if the member is restrained against any type of instability. Hence, for the case of members with very small length compared to the height of their cross-section (or with sections with negligible flexural deformation), as well as for laterally braced members, for which there is no possibility of buckling failure, the only type of failure that can occur is associated with local (at the cross-sectional level) yielding.

Experimental and theoretical studies for over 50 years have thoroughly investigated the effect of thermal-induced residual stresses on the buckling resistance of steel beams and columns under combined loading conditions. The results of these studies are already taken into account in the analytical expressions included in steel design Codes, Standards and Specifications to calculate the stability and strength of structural elements [17,18]. Exhaustive coverage on the whole subject along with a very large number of references can be found in works by distinguished investigators [2,3,6,19].

Of great importance is also the effect of residual stresses on the elasto-plastic behavior of non-slender steel members (i.e. of those “protected” against any form of instability) under combined loading conditions. The aim of the current work is to establish this effect on steel structural elements made of hot-rolled I-shaped sections of the European industry, and to produce interaction curves for the cases of strong-axis bending combined with axial force or shear force loading. In doing this, the ECCS simplified linear residual stress distribution pattern – described earlier – is adopted and the principle of superposition of stress diagrams is utilized. Interaction equations for first yield and full yield lines are assessed for both the aforementioned loading combinations, while the corresponding yielding processes are fully and comprehensively described. Finally characteristic interaction curves are presented in graphical form, and conclusions are drawn that are quite important for structural design purposes.

3. STRONG AXIS BENDING AND AXIAL FORCE LOADING

3.1. Elastic Region

According to the sign convention depicted in Fig. 2, under

the simultaneous action of a bending moment M and an axial force N, the first cross-sectional fiber yielding occurs at the bottom of the tension flange. Thus, equation (3.1) is valid and since one may write equalities (3.2) one arrives at the interaction equation, separating the elastic from the plastic region, defined as the first yield line given in (3.3).

3.2. Plastic Region

In this subsection we shall determine the value of the bending moment MN required for the complete plastification of the cross-section considered, while axial force N acts on it and thermal-induced residual stresses r�are also present, as described previously. Hence, using the principle of superposition of stresses, a detailed analysis of the stress diagrams developed on the cross-section due to the aforementioned loading combination is carried out and presented graphically in Fig.3. From this illustration one may conclude that the distribution of stresses due to axial loading lies over a length 2e parallel to the web and symmetrical about the center of gravity y. Thus, depending on the magnitude of length e, one must distinguish between the following two cases:

3.2.1. 2e ≤ h-2tf

From the distribution shown in Fig. 3d, 3f and 3g one may write that expression (3.4) is valid, from which evidently the influence of residual stresses becomes negligible for ft2he2 �� . Rearranging the above equation we get equation (3.5), possessing a solution of the form given in (3.6), while from eq. (3.4) and for k=0 it is valid that e is equal to the quantity of equality (3.7).

Under the desired condition ft2he2 �� relation (3.6) yields inequality (3.8), while from Fig.3e and the stress distribution analysis given in Fig.3(h-k) one may write the expression of equation (3.9), where wet2AF �� . The integral in eq.(3.9) is evidently equal to zero (Fig.3i), while from Fig.3k one may find the expression of peM given in (3.10), which combined with relations (3.11) and (3.9) gives expression (3.12), and substituting it into eq.(3.9) we arrive at the interaction equation for the full yield line outlined in (3.13).

3.2.2 2e > h-2tf

Defining as peS the area of the hatched part of the cross-section shown in Fig.4, one may write that peySfN �, which after some elaboration takes the form of relation (3.14) and in the same manner the value of peM , as in (3.15),


is obtained, which finally yields equation (3.16). Hence, from eq.(3.9), after substitutions, the interaction equation for the full yield line in the present case, being independent of thermal-induced residual stresses, is found and prescribed in relation (3.17).

4. STRONG AXIS BENDING AND SHEAR FORCE LOADING

The interaction between bending moment and axial force can be easily considered, due to the fact that they both produce axial strains in structural members. However, before considering the combined effect of flexural and shear loading on the plastic moment of a cross-section (regardless of the presence of residual stresses), one must primarily describe the interaction of axial and shear stresses before yielding is reached. For the description of this fundamental material behavior two rules of mechanics of materials have been formulated, the well known Tresca and von Mises yield conditions. In what follows the von Mises equivalent stress criterion will be employed.

4.1. Elastic Region

For combined strong axis bending and shear plastification on an I section will initially appear at the extreme flange fibers, as depicted in the normal stress distribution diagram of Fig. 5. Namely, the most unfavourable stress combination appears at z =(h-2tf)/2, where relations (4.1) are valid. In the presence of thermal-induced residual stresses the non Mises criterion takes the form of eq.(4.2), which combined with eqs.(4.1) gives relation (4.3). According to the notations and definitions given in section 2 of the full paper, one may write equalities (4.4), from which in conjunction with (4.3) the interaction equation (first yield line) is assessed, outlined in relation (4.5).

4.2. Plastic Region

As plastification spreads on the cross-sectional area, due to the combination of MQ and Q, we assume that a certain distance from the element’s origin only a part of the web of length 2e - symmetrical about the primary axis - remains in the elastic region, as comprehensively illustrated in Fig. 6. Furthermore, if we consider the stress equilibrium of an infinitesimal section dx of the element, presented schematically in Fig. 7, and after some elaboration we conclude that the distribution of shear stresses begins from the boundaries of the plastified area of the cross-section,, as

shown in Fig.6c, and hence the part of the web receiving all the shear stresses behaves as a rectangular cross-section with dimensions 2etw.

One may then proceed with the detailed analysis of the distribution of stresses, which is given in graphical form in Fig. 8. Applying the principle of superposition of stress diagrams, and after some manipulations, we arrive at the interaction equation (4.16), defining how the full yield line is assessed.

5. NUMERICAL RESULTS AND DISCUSSION

5.1. European I Sections

Modern European steel industry produces a variety of hot-rolled I sections, the cross-sectional properties of which are fully tabulated for use in design. One may distinguish between European Standard Beams with taper flange I sections (IPN), European I beams with parallel flange I sections (IPE, IPE-A and IPEo), Wide Flange Beams (HL), Wide Flange Columns (HD) and European Wide Flange Beams (HEA, HEB and HEM). As far as the amount of thermal induced residual stresses for each type of the aforementioned sections is concerned, the minimum and maximum values of h/d and the corresponding value of k, according to the residual stress distribution model adopted can be easily found from the tabulated data, as mentioned earlier.

5.2. Strong axis bending and axial force loading

In order to produce M-N interaction diagrams for non-slender steel members made of any desired hot-rolled I section, the interaction functions, prescribed in equations (3.3) for the first yield line (boundary of the elastic region) and equations (3.12) and (3.17) for the full yield line (boundary of the plastic region), are implemented in commercial mathematical software and plotted simultaneously as (M/Mp, N/Np) curves. In order to outline the effect of the presence of thermal-induced residual stresses the case of vanishing k is also considered and the corresponding interaction functions are added in these plots. Moreover, the approximate interaction equation, describing the upper bound of the member’s ultimate strength and given by expression (5.1), is also presented in the graphs.

For certain characteristic I-shaped European cross-sections the interaction equations are depicted in Figs. 9 and 10. From these illustrations the early initiation of the yielding process due to residual stress effects is pronounced, while the theoretical curves for the full yield line are found


to be in excellent agreement with the simplified design interaction curve of relation (5.1).

5.3. Strong axis bending and shear force loading

Following a procedure similar to the one of the previous combined loading case, interaction curves (M/Mp, Q/Qp) are drawn using the corresponding first yield and full yield line functions given in (4.5) and (4.16) respectively. This is performed for certain characteristic I-shaped European cross-sections presented graphically in Figures 11 and 12, for both k=0 and k 0� cases. At this point, before trying to interpret and evaluate the findings that can be obtained from these results, and in order to determine the residual stress effects on the elasto-plastic behavior and capacity of non-slender I-shaped members under the foregoing loading combination, one must take into account the theoretical aspects and code provisions related to the specific problem. Namely, it must be recalled that the theoretical plastic resistance of a cross-section is reduced in the presence of shear; this reduction is negligible for small values of the shearing force, since it is counter-balanced by strain hardening. However, if the design value of the shear force exceeds a certain characteristic percentage of the design plastic shear resistance (50% according to Eurocode 3, §5.4.7), the reduced design plastic resistance moment allowing for the shear force effect must be used. In the available literature many expressions have been proposed to describe flexural-shear plastic interaction [21], though to the knowledge of the authors only recently have such expressions, including residual stress effects, been reported [16]. Considering this brief report, and within the assumptions of the whole analysis [8], it is evident from the contents of Figs. 11 and 12 that the residual stress effects are quite significant, not only for the earlier start of plastification but also for the reduction of plastic resistance. The magnitude of the latter depends on the geometrical properties of the cross-section, being more pronounced for

sections with greater web dimensions. Apart from some extreme cross-section cases the presence of thermal-induced residual stresses reduces the corresponding plastic moment for values of the applied shear force much less than 50% of the plastic shear resistance. This new finding implies that residual stresses should undoubtedly be taken into account in design, even for small values of shear, when combined with strong-axis bending. In any event, the amount of reduction of Mp that should be used in the calculations can be obtained easily, since the interaction curves are products of analytical functions that can be dealt with in a straightforward manner in everyday engineering practice.

5. CONCLUSIONS

The most important conclusion than can be drawn from the present investigation are as follows:1. The effect of thermal-induced residual stresses on the

elastoplastic behavior of non-slender steel members made of hot-rolled I-shaped sections of the European industry is significant for both combined loading cases considered, since the yielding process is initiated at a much earlier stage.

2. As far as the bearing capacity is concerned, under simultaneous action of strong-axis bending and axial force loading the residual stresses do not affect the ultimate strength of members as expected, but the readily applicable theoretical findings based on the ECCS residual stress distribution model may produce reliable interaction curves, being in excellent agreement with existing ones in the relevant literature.

3. In the case of strong-axis bending and shear force loading, it is found that, apart from expected earlier initiation of the yielding process, the necessary reduction of the plastic resistance is significantly larger when residual stress effects are allowed for, a finding of great importance for structural design purposes.

Dr. Dimitris S. Sophianopoulos (NTUA)Adjunct Associate Professor, Department of Civil Engineering, University of Thessaly, Pedion Areos, 38 334 Volos, Greece, email: [email protected]. Panagiotis G. Asteris (NTUA)Department of Structural Design and Construction, Hellenic Ministry of Rural Development and Food, 60 Serafi & 210 Liosion Str., 104 45 Athens, Greece, email: [email protected]. Despoina AthanasiadouCivil Engineer of the University of Thessaly.

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

Documents

2006 I 1library.tee.gr/digital/techr/2006/techr_2006_i_1_2_37.pdf · 36 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2006 Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2