Upload
xantogenat
View
214
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Bac matematica 2008 sesiunea 1
Citation preview
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT1, programa M1
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete. 50 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 050
5p 1. Fie fracţia zecimală periodică 1 2 30,(769230) 0, ....a a a= Să se calculeze 1 2 3 2008....a a a a+ + + + .
5p 2. Să se arate că dreapta de ecuaţie 2 1y x= − nu intersectează parabola de ecuaţie 2 1y x x= + + .
5p 3. Să se rezolve în ecuaţia 22 4log log 6x x+ = .
5p 4. Într-o clasă sunt 25 de elevi dintre care 13 sunt fete. Să se determine numărul de moduri în care se poate alege un comitet reprezentativ al clasei format din 3 fete şi 2 băieţi.
5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele ( )2, 1A − , ( )1, 1B − , ( )1, 3C şi
( ), 4 ,D a a ∈ . Să se determine a pentru care dreptele AB şi CD sunt perpendiculare.
5p 6. Ştiind că 3,
2
πα π ∈
şi că 4sin
5α = − , să se calculeze tg
2
α.
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
88 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 088 1. Fie matricea ( )2 .A ∈ M Se notează cu tX transpusa unei matrice pătratice X şi cu ( )Tr X suma
elementelor de pe diagonala principală a matricei X.
5p a) Să se demonstreze că Tr( ) 2Tr( ).tA A A+ =
5p b) Să se demonstreze că dacă Tr( ) 0,tA A⋅ = atunci 2A O= .
5p c) Să se demonstreze că dacă suma elementelor matricei tA A⋅ este egală cu 0, atunci ( )det 0.A =
2. Se consideră matricele 21 0 1 2
, 0 1 3 1
I A = = − şi mulţimea { }2 , .K aI bA a b= + ∈
5p a) Să se arate că 2A K∈ . 5p b) Să se arate că mulţimea K este parte stabilă în raport cu înmulţirea matricelor din 2 ( )M .
5p c) Să se arate că pentru orice 2,X K X O∈ ≠ există Y K∈ astfel încât 2XY I= .
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
76 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 076
1. Se consideră funcţia :f → :f → , 2 2( ) 1 1.f x x x x x= + + − − +
5p a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă orizontală spre +∞ . 5p b) Să se studieze monotonia funcţiei f .
5p c) Să se calculeze(1) (2) ... ( )
limn
n
f f f n
n→∞
+ + +
.
2. Se consideră şirul ( ) 1n n
I ≥ , 1 20
1 .nnI x x dx= −∫
5p a) Să se calculeze 1I .
5p b) Să se arate că 2( 2) ( 1)n nn I n I −+ = − pentru orice , 3.n n∈ ≥
5p c) Să se calculeze lim nn
I→∞
.
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT1, programa M1 1
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 - SESIUNEA IUNIE-IULIE Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D_MT1 BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.
♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (30 puncte) -Varianta 050 1. 1 2 2008... (7 6 9 2 3 0) 334 7 6 9 2a a a+ + + = + + + + + ⋅ + + + +
9042.= 4p 1p
2. Intersecţia este dată de sistemul { 2
2 11
y xy x x
= −= + +
din care rezultă ecuaţia 2 2 0x x− + = , care nu are soluţie, deoarece 7 0∆ = − < .
1p
4p
3. 2 2
4 4 22
loglog 2log 2 log ,
log 4
xx x x= = =
deci ecuaţia devine 2log 3x = şi are soluţia 8.x =
3p
1p
1p 4. Există 3
13C posibilităţi de alegere a fetelor şi 212C posibilităţi de alegere a băieţilor.
Astfel, numărul de moduri în care se poate alcătui comitetul este 3 213 12C C⋅ .
3p
2p
5. Pantele dreptelor sunt
1 ( 1) 2
1 2 3
− − = −− −
şi 4 3 1,
1 1a a
− =− −
iar condiţia de perpendicularitate este 2 1
1,3 1a
− ⋅ = −−
deci 5
3a = .
2p
2p
1p
6.
Ştim că 2
2 tg2sin
1 tg2
α
α α=+
,
iar din 2
2 tg 4251 tg
2
α
α = −+
rezultă tg 22
α = − sau 1
tg2 2
α = − ,
deci tg 22
α = − , deoarece 3
,2 2 4
α π π ∈
.
2p
2p
1p
SUBIECTUL II (30 puncte) -Varianta 088 1.a)
Dacă ( )a bA c d=
atunci ( )t a cA b d= şi ( )22
t a b cA A b c d++ = + ,
deci Tr ( ) 2 2 2( ) 2TrtA A a d a d A+ = + = + = .
1p
2p
2p
b) 2 2
2 2t a b ac bdA A
ac bd c d + +⋅ = + +
,
deci, dacă 2 2 2 20=Tr ( )tA A a b c d⋅ = + + + , atunci 0a b c d= = = = , adică 2A O= .
3p
2p
c) Din punctul b), suma elementelor matricei tA A⋅ este 2 2( ) ( )s a c b d= + + + . 1p
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT1, programa M1 2
Dacă 0s = atunci 0, 0a c b d+ = + = , deci ,c a d b= − = − .
Rezultă det 0a bA ab aba b= = − + =− − .
2p
2p
2.a) ( )2 7 00 7A = ,
deci 227 0A I A K= ⋅ + ⋅ ∈
3p
2p
b) Fie ,X Y K∈ , 2 2,X aI bA Y cI dA= + = + , unde , , ,a b c d ∈ . Atunci 2
2 2( ) ( 7 ) ( )XY acI ad bc A bdA ac bd I ad bc A K= + + + = + + + ∈ , căci 7 ,ac bd ad bc+ + ∈ .
2p
3p c) Folosind notaţiile de la b), avem condiţiile 7 1, 0ac bd ad bc+ = + = şi 0a ≠ sau 0b ≠ .
Sistemul obţinut are determinantul 2 27 7a b a bb a = −
care este nenul deoarece, dacă 7 0a b± = şi ,a b ∈ atunci 0a b= = .
2p
1p
2p
SUBIECTUL III (30 puncte) -Varianta 076 1.a) Considerăm lim ( )
xL f x
→∞= .
Avem ( )
2 2
2 2 1 2 1 2
( 1) ( 1) 2 2lim lim 1
21 1 1 1x x
x x x x xL
x x x x x x x x x− − − −→∞ →∞
+ + − − += = = =+ + + − + + + + − +
.
2p
3p
b) Avem
2 2
2 1 2 1( )
2 1 2 1
x xf x
x x x x
+ −′ = −+ + − +
,
iar ecuaţia ( ) 0f x′ = nu are soluţii, deci derivata funcţiei are semn constant.
Cum (0) 0f ′ > , deducem că ( ) 0,f x x′ > ∀ ∈ , ceea ce arată că funcţia este strict crescătoare.
3p
1p
1p
c) 2 2 2(1) ... ( ) ( 3 1) ( 5 3) ... ( 1 1) 1 1f f n n n n n n n+ + = − + − + + + + − − + = + + − ,
ceea ce se arată prin inducţie, sau observând că 2 2( ) 1 ( 1) ( 1) 1f k k k k k= + + − − + − + .
Apoi, 2
1 2 11 1lim lim( 1 ) 1n x
n nn n n
n− − −
→∞ →∞
+ + − = + + − = , deci
2
2
1 1
12 2 1 121 1 1 1
lim lim 1
n n nnn
n n n
n n
n n n n ne
n n
+ + − −
+ + − − −
→∞ →∞
+ + − + + − −= + =
1p
1p
1p
2p
2.a) 31 12 2 2
1 0 0
11 (1 )
3I x x dx x= − = − −∫
1
3=
4p
1p
b) 3 31 1 112 1 2 1 2 2 22 20 0 00
1 11 ( 1 ) (1 ) (1 )
3 3n n n n
n
nI x x dx x x x dx x x x x dx− − −−= − = − = − − + −∫ ∫ ∫
1 2 2 2
20
1 1(1 ) 1 ( )
3 3n
n n
n nx x x dx I I−
−− −= − − = −∫ ,
de unde rezultă 23 ( 1) ( 1)n n nI n I n I −+ − = − , deci concluzia.
3p
1p
1p
c) Avem 0nI ≥
şi 1
0
1
1n
nI x dxn
≤ =+∫ ,
deci lim 0nn
I→∞
= .
1p
3p
1p
♦ Total: 100 de puncte, din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2
17EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, specializarea toate calificările profesionale; profilul resurse, specializarea toate calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
50 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 050
5p 1. Să se calculeze 1
33 8
2 27
− −
.
5p 2. Se consideră funcţiile :f → , ( ) 3 1f x x= + şi :g → , ( ) 5g x x= − . Să se determine
coordonatele punctului de intersecţie a graficelor funcţiilor f şi g .
5p 3. Să se rezolve ecuaţia 13 9x− = . 5p 4. Să se rezolve ecuaţia ( ) ( )5 5log 2 log 2 5 1x x+ − − = .
5p 5. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul ( )1, 1A − şi este paralelă cu dreapta y x= .
5p 6. Să se calculeze perimetrul unui triunghi echilateral care are aria egală cu 3 .
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
88 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 088
1. În ( )3M se consideră matricele
0 1 1
0 0 1
0 0 0
A
=
şi 3 , B I A= + unde 3
1 0 0
0 1 0 .
0 0 1
I
=
5p a) Să se calculeze .A B⋅ 5p b) Să se calculeze 2 3A A+ , unde 2A A A= ⋅ şi 3 2A A A= ⋅ . 5p c) Să se demonstreze că dacă ( ) X ∈ 3M şi ,A X X A⋅ = ⋅ atunci există numerele reale , ,a b c astfel
încât 0 .
0 0
a b c
X a b
a
=
2. Se consideră polinomul 3 2f X aX bX c= + + + , cu , ,a b c ∈ având rădăcinile 1 2 3, , x x x ∈ .
5p a) Să se determine numărul real c ştiind că ( ) ( )1 1 2 1f f a+ − = + .
5p b) Ştiind că 3, 1, 1a b c= − = = , să se determine rădăcinile reale ale polinomului f .
5p c) Să se exprime în funcţie de numerele reale a, b, c determinantul 1 2 3
2 3 1
3 1 2
.
x x x
D x x x
x x x
=
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
BACALAUREAT 2008 – MATEMATICĂ – Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2
76 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 076
1. Se consideră funcţia :f →R R , ( ) 1x
xf x
e
+= .
5p a) Să se verifice că ( ) x
xf x
e′ = − pentru orice x ∈ R .
5p b) Să se determine asimptota către +∞ la graficul funcţiei f. 5p c) Să se arate că ( ) 1f x ≤ pentru orice x ∈ R .
2. Pentru orice *n ∈ se consideră funcţiile [ ]: 0,1nf → R , ( ) 1
4n n
f xx
=+
.
5p a) Să se calculeze ( ) ( )214x f x dx+ ⋅∫ , unde [ ]0,1x ∈ .
5p b) Să se calculeze ( )1
20
x f x dx∫ .
5p c) Să se arate că aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei 2008f , axa Ox şi dreptele 0x = şi
1x = este un număr din intervalul 1 1
,5 4
.
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 1
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 – sesiunea iunie - iulie Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D_MT2 BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, specializarea toate calificările profesionale; profilul resurse, specializarea toate calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale.
♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (30 puncte) -Varianta 50
1. 13 2
2 3
− =
.
38 2
27 3=
finalizare2 2
03 3
− =
1p 2p 2p
2. ( ) ( ) 3 1 5f x g x x x= ⇒ + = −
1x = şi (1) 4f =
Finalizare ( )1,4A
1p 2p 2p
3. 1 23 3x− = 1x⇒ = −
2p 3p
4. 2 0 5,
2 5 0 2
xx
x
+ > ⇒ ∈ ∞ − > .
5
2log 1
2 5
x
x
+ =−
2 55 3 ,
2 5 2
xx
x
+ = ⇒ = ∈ ∞ − .
2p 1p 2p
5. Panta dreptei y x= este egală cu1 Panta dreptei cerute este egală cu 1 ecuaţia este 1 1y x+ = − 2 0x y⇔ − − = .
1p 1p 3p
6. 2 3
4
lA =
2 4l = 2 6l P⇒ = ⇒ = .
2p 1p 2p
SUBIECTUL II (30 puncte) -Varianta 88 1.a) 1 1 1
0 1 1
0 0 1
B
=
A B⋅ =
0 1 1
0 0 1
0 0 0
⋅1 1 1
0 1 1
0 0 1
=
0 1 2
0 0 1
0 0 0
.
2p 3p
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 2
b) 2A =
0 1 1
0 0 1
0 0 0
⋅0 1 1
0 0 1
0 0 0
=
0 0 1
0 0 0 ,
0 0 0
3 2 A A A= ⋅ =0 0 1
0 0 0
0 0 0
⋅
0 1 1
0 0 1
0 0 0
= 2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
=
2 3
0 0 1
0 0 0
0 0 0
A A
+ =
.
2p 2p 1p
c)
Notăm ,
a b c
X d e f
g h l
=
atunci
0 0 0
d g e h f l
A X g h f
+ + + ⋅ =
şi
0
0
0
a a b
X A d d e
g g h
+ ⋅ = + +
0, 0, 0, ,g h d h l e a f b= = = = = = =
deci X este de forma 0 .
0 0
a b c
X a b
a
=
1p 1p 2p 1p
2.a) (1) 1f a b c= + + +
( 1) 1f a b c− = − + − + ( 1) (1) 2 1f f a− + = + ⇔ 2 2 2 1a c a+ = +
1.
2c =
1p 1p 2p 1p
b) ( )( )2( ) 0 1 2 1 0f x x x x= ⇔ − − − =
Rădăcinile sunt: 1 1,x = 2 1 2x = + , 3 1 2x = −
2p 3p
c) 2 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3, , 2x x x a x x x x x x b x x x a b+ + = − + + = + + = −
Prin adunarea liniilor 2 şi 3 la linia 1 rezultă: 1 2 3
2 3 1 2 3 1
3 1 2 3 1 2
x x x a a a
D x x x x x x
x x x x x x
− − −= = = 2 3 1
3 1 2
1 1 1
a x x x
x x x
− =
2 2 21 2 1 3 2 3 1 2 3( )a x x x x x x x x x= − + + − − − 2( 3 )a a b= −
3p 1p 1p
SUBIECTUL III (30 puncte) -Varianta 76 1.a)
( ) ( )2
1x x
x
e x ef x
e
− +′ = =
x
x
e= − , pentru orice x ∈ R .
3p 2p
b) ( 1) ' 1lim lim 0
( ) 'x xx x
x
e e→+∞ →+∞
+ = =
rezultă 1lim 0
xx
x
e→+∞
+ =
deci 0y = este asimptotă orizontală către +∞ .
2p 1p 2p
c) Din semnul derivatei rezultă că f este crescătoare pe ( ],0−∞ şi descrescătoare pe 2p
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 3
[ )0,+∞ rezultă ( ) ( )0f x f≤ , pentru orice x ∈ R
( )0 1f = , deci ( ) 1f x ≤ , pentru orice x ∈ R .
2p 1p
2.a) ( ) ( ) ( )214 4x f x dx x dx+ ⋅ = + =∫ ∫
2
42
xx C= + +
2p 3p
b) ( )
1 1
2 20 0 4
xxf x dx dx
x= =
+∫ ∫
( )2 11ln 4
02x= + =
1 5ln
2 4 =
1p 3p 1p
c) Din 20080 1x≤ ≤ , [ ]0,1x∀ ∈ rezultă 20084 4 5x≤ + ≤
deci ( )20081 1
5 4f x≤ ≤ , [ ]0,1x∀ ∈ ,
( ) ( )2008
1
20080
1 1,
5 4fA f x dx Γ = ∈ ∫ .
2p 1p 2p
♦ Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D, tipul subiectului MT3, programa M4
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ – Proba D
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete. 50 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 050 5p 1. Să se determine n ∈ pentru care 50 128 200 n− + = .
5p 2. Să se determine m ∈ astfel încât ecuaţia ( )2 1 0x m x m+ − − = să aibă rădăcini reale egale.
5p 3. Triunghiul ABC are 10, 60AB m( B )= = şi 45m( C ) = . Să se calculeze lungimea laturii AC.
5p 4. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele ( ) ( )3 3 şi 1 2A , B , .−
5p 5. Să se determine x ∈ astfel încât numerele 2 3 +2, 6 +5x , x x+ să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
5p 6. Să se rezolve în ecuaţia 2lg 5lg 6 0x x .+ + =
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
88 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 088
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie ( )13 , ,
2x y xy x y x y⊥ = − − + ∀ ∈ .
5p a) Să se demonstreze că ( )( )11 1 1, ,
2x y x y x y⊥ = − − + ∀ ∈ .
5p b) Să se verifice că legea de compoziţie „ ⊥ ” este asociativă pe . 5p c) Se consideră mulţimea ( )1,M = +∞ . Să se arate că pentru oricare ,x y M∈ , rezultă că x y M⊥ ∈ .
5p d) Să se rezolve în ecuaţia 35 3 1x x−⊥ = .
5p e) Să se rezolve în inecuaţia ( ) ( )2 3 1x x+ ⊥ − < .
5p f) Să se determine n ∈ , astfel încât 32 ( 1) 1, nx x x x x⊥ ⊥ = ⋅ − + ∀ ∈ ..
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
76 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 076
Se consideră matricele 3 3, ( )A I ∈ M ,
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A
=
şi 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
.
5p a) Să se calculeze 32A I− .
5p b) Să se calculeze ( )det 2A .
5p c) Să se determine numărul real x pentru care 23A A xI= + .
5p d) Să se arate că matricea 31 1
2 2A I− este inversa matricei A .
5p e) Să se determine matricea 3,1( )X ∈ M din ecuaţia matriceală 5
4
3
AX
=
.
5p f) Să se determine x ∈ pentru care ( ) 33det A xI x+ = .
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D_MT3_M4-Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare.
1
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 - Sesiunea iunie-iulie Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D_MT3_M4
BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare. ♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (30 puncte) – Varianta 50
1) 5 2 8 2 10 2 7 2 98n = − + = = . 98n =
3p 2p
2) Trebuie ca 0∆ =
( )21 0+ =m ,
1= −m
2p 2p 1p
3)
sin 60 sin 45
AC AB=
310 5 6
2AC = ⋅ =
3p
2p
4) 3 3
2 3 1 3
y x+ −=+ −
5 2 9 0+ − =x y
3p
2p
5) ( )13 2 2 6 5
2x x x+ = + + +
3= −x
3p 2p
6) ( )0,x ∈ ∞
lg =x t , 2 5 6 0+ + =t t 2 310 şi 10− −= =x x
1p
2p
2p
SUBIECTUL II (30 puncte) – Varianta 88 a) ( )( ) ( )
( )
1 1 1 1 1 1 12 2
13 , ,
2
x y xy x y
xy x y x y x y
− − + = − − + + =
− − + = ⊥ ∀ ∈
3p 2p
b) ( )
( ) ( )
1 1( 1)( 1) 1 ( 1)( 1)( 1) 1; , , .
2 41 1
( 1)( 1) 1 ( 1)( 1)( 1) 1 ; , , .2 4
x y z x y z x y z x y z
x y z x y z x y z x y z x y z
⊥ ⊥ = ⊥ − − + = − − − + ∀ ∈
⊥ ⊥ = − ⊥ − + = − − − + = ⊥ ⊥ ∀ ∈
3p 2p
c) Fie , .x y M∈ Cum , 1,x y > avem ( )( )1 1 0x y− − > .
Atunci 1,x y⊥ > deci .x y M⊥ ∈
3p
2p
d) 31(5 1)(3 1) 1 1
2x x−− − + = ⇒
5 1x = sau 33 1x− =
1 20, 3x x= =
2p 2p 1p
e) 1( 1)( 4) 1 1
2x x+ − + < ⇒
( )( 1)( 4) 0 1,4x x x+ − < ⇒ ∈ −
3p 2p
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D_MT3_M4-Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare.
2
f) Conform calculelor de la b), ( )31
1 1.4
x x x x⊥ ⊥ = − +
Obţinem 2.n = −
3p 2p
SUBIECTUL III (30 puncte) – Varianta 76 a)
32A I− =
0 1 1 2 0 0
1 0 1 0 2 0
1 1 0 0 0 2
−
2 1 1
1 2 1
1 1 2
− = − −
3p
2p
b) ( )
0 2 2
det 2 2 0 2
2 2 0
A = =
8 8 16.= + =
3p
2p
c) 2
0 1 1 0 1 1 2 1 1
1 0 1 1 0 1 1 2 1
1 1 0 1 1 0 1 1 2
A
= =
2
2 0 0
0 2 0
0 0 2
A A
− =
3
2 0 0
0 2 0 2
0 0 2
xI x
= ⇒ =
2p 2p 1p
d) ( )
c)2
3 3 31 1 1 1 1 1
= 22 2 2 2 2 2
A I A A A A I A I − = − + − =
3 31 1
2 2A A I I − =
3p
2p
e) 1
5
4
3
X A− =
Din d) ⇒ 1
1 1 11
1 1 12
1 1 1
A−− = − −
⇒
1 1 1 5 11
1 1 1 4 22
1 1 1 3 3
X X
− = − ⇒ = −
2p
1p 2p
f)
3
1 1
1 1
1 1
x
A xI x
x
+ =
( ) 33det 2 3A xI x x+ = + −
3 3 22 3 3 2
3x x x x x+ − = ⇒ = ⇒ =
2p
1p
2p
♦ Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.