ÊÎÍÊÓ�ÑÅÍ ÒÅÑÒ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀçà ïîñòúïâàíå âúâ ÂÒÓ ½Òîäîð Êàáëåøêîâ“28 þëè 2009 ã.Âàðèàíò �2Êîíêóðñíèÿò òåñò ïî ìàòåìàòèêà çà ïîñòúïâàíå âúâ ÂÒÓ ½Òîäîð Êàá-ëåøêîâ“ ñå ñúñòîè îò 20 çàäà÷è ñ èçáèðàåì îòãîâîð è 10 çàäà÷è ñúññâîáîäåí îòãîâîð. Âðåìå çà ðàáîòà � 150 ìèíóòè.Çà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 20 çàäà÷è ⊠ å îòáåëÿçàí âåðíèÿò îòãîâîð.Îöåíÿâàíå íà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 20 çàäà÷è:3 òî÷êè ïðè ïðàâèëåí îòãîâîð1 òî÷êà ïðè íåîòáåëÿçàí îòãîâîð0 òî÷êè ïðè ãðåøåí îòãîâîð

• Ñòîéíîñòòà íà èçðàçà a + 2b

3a + bïðè a = 1,5 è b = −2,5 å:

� 0,75 ⊠ −1,75 � −1,25 � −3,5

• Êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî x2 − 6x− p = 0, êúäåòî p å ïàðàìåòúð, ñà ðåàëíèïðè:⊠ p ∈ [−9; +∞) � p ∈ [9; +∞) � p ∈ (−∞; 9] � p ∈ (−∞;−9]

• Íà êîëêî å ðàâíî ïðîèçâåäåíèåòî îò êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî 6x2−7x−1 = 0:� −1 �

1

6� 1 ⊠ −1

61

• Çà ðåøåíèåòî (x; y) íà ñèñòåìàòà ∣

∣

∣

∣

x − y = 0x2 + y2 = 12

å â ñèëà:� xy = 0 � xy = 2 ⊠ xy = 6 � xy = 12

• Êîðåíúò íà óðàâíåíèåòî 2x

x + 1=

2x − 1

xå:

� 2 � −2 ⊠ 1 � 0

• Àêî b − 1

b=

8

3, òî b2 +

1

b2=

⊠82

9�

64

9�

46

9�

9

46

• Êîé èíòåðâàë ñúäúðæà êîðåí íà óðàâíåíèåòî √4x − 3 = 5 :

� (−∞; 3) � [3; 6) ⊠ [6; 8) � [8; +∞)

• Êîå îò ÷èñëàòà å êîðåí íà óðàâíåíèåòî 3x + 3x+2 = 30 :⊠ 1 � 2 � 0 � íèêîå îò òåçè

• Àêî log5 2 = m òî lg 40 =

�3m

m + 1�

m + 3

3m + 1�

m + 3

m + 1⊠

3m + 1

m + 1

• �åøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî 4x > 5 ñà ÷èñëàòà îò èíòåðâàëà:� (45; +∞) � (log5 4; +∞) � (54; +∞) ⊠ (log4 5; +∞)

• Íà êîëêî å ðàâíà ñòîéíîñòòà íà ïðîèçâîäíàòà íà �óíêöèÿòàf(x) = 2(x − 2)2 +

√x ïðè x = 2 :

⊠1

2√

2� 4 �

√2

2�

1√2

• Íàé-ãîëÿìàòà ñòîéíîñò íà �óíêöèÿòà y = −x2 + 2x + 7, x∈(−3; 2), å:� 7 ⊠ 8 � 0 � 2

• Àêî sin 2ϕ = b è ϕ ∈ (0;π

2), òî íà êîëêî å ðàâíî cos ϕ + sin ϕ :

�√

2 + b �

√

b + 1

2�

√

b − 1

2⊠ íèêîå îò òåçè

2

• Ïåòèÿò ÷ëåí íà àðèòìåòè÷íà ïðîãðåñèÿ {an}, íà êîÿòî a3 = 16 è a7 = 4, åðàâåí íà:� 20 � 6 ⊠ 10 � 8

• Íà êîëêî å ðàâíî ëèöåòî íà òðèúãúëíèê ñ äúëæèíè íà ñòðàíèòå 4, 5 è 7:� 4

√3 � 10 �

35

2⊠ 4

√6

•  ïðàâîúãúëåí òðèúãúëíèê êàòåòèòå ñà ñ äúëæèíè 3 è 4. �àäèóñúò íàîïèñàíàòà îêîëî òðèúãúëíèêà îêðúæíîñò å:⊠

5

2�

√7 �

7

2� íèêîå îò òåçè

• Â ïðàâîúãúëåí òðèúãúëíèê ïðîåêöèèòå íà êàòåòèòå âúðõó õèïîòåíóçàòà ñà ñäúëæèíè 2 è 5. Ïî-ìàëêèÿò êàòåò íà òðèúãúëíèêà èìà äúëæèíà:�

√6 ⊠

√14 � 4 � 2

√7

• �àâíîáåäðåí òðèúãúëíèê èìà îñíîâà ñ äúëæèíà 16 è áåäðî ñ äúëæèíà 10.�àäèóñúò íà âïèñàíàòà â òðèúãúëíèêà îêðúæíîñò å:⊠

8

3� 3 �

3

8� 5

• Çà óñïîðåäíèêà ABCD å äàäåíî AB = 4, BC = 3 è cos <) ABC = −1

2.Äúëæèíàòà íà äèàãîíàëà BD å ðàâíà íà:

� 5 ⊠√

13 � 7 �√

37

• Îò òåñòå ñ 24 êàðòè çà èãðà (ïî 4 àñà, ïîïîâå, äàìè, âàëåòà, äåñåòêè è äåâåòêè)ñà èçòåãëåíè ïîñëåäîâàòåëíî áåç âðúùàíå 2 êàðòè. Âåðîÿòíîñòòà äà ñà èçòåãëåíèäâå äàìè å:�

1

36�

7

24⊠

1

46�

1

2

3

Îöåíÿâàíå íà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 10 çàäà÷è:6 òî÷êè ïðè âåðåí îòãîâîð0 òî÷êè ïðè ãðåøåí èëè íåîòáåëÿçàí îòãîâîð◮ Ïîëîæèòåëíèòå ðåøåíèÿ íà íåðàâåíñòâîòî x2 + 7x − 8 ≤ 0 ñà ÷èñëàòà îòèíòåðâàëà:Îòãîâîð: (0; 1]

◮ Ñáîðúò îò ïúðâèòå 5 ÷ëåíà íà ãåîìåòðè÷íàòà ïðîãðåñèÿ {an} ñ a1 = 1 èa4 = 64 å:Îòãîâîð: 341

◮ Â ïðàâîúãúëíà êîîðäèíàòíà ñèñòåìà âúðõîâåòå íà óñïîðåäíèêà ABCD ñàA(1; 2), B(4; 1), C(6; 3). Êàêâè ñà êîîðäèíàòèòå íà âúðõà D?Îòãîâîð: (3; 4)

◮ �åøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî log4(x + 9) > 2 ñà:Îòãîâîð: x ∈ (7; +∞)

◮ �åøåíèÿòà íà óðàâíåíèåòî 2 sin2 x + 2 cos 2x = 1 ñà:Îòãîâîð: x = ±π

4+kπ, k = 0,±1,±2, . . . èëè x = ±45◦+180◦k, k = 0,±1,±2, . . .

◮ limx→0

tg 2x

5x=Îòãîâîð: 2

5

◮ Ëîêàëíèÿò ìàêñèìóì íà �óíêöèÿòà f(x) = x3 − 5x2, x∈(−∞; +∞), å:Îòãîâîð: 0

◮ Â ïðàâîúãúëåí òðàïåö áåäðàòà èìàò äúëæèíè 6 è 10, à ìàëêàòà îñíîâà å ñäúëæèíà 3. Íà êîëêî å ðàâíî ëèöåòî íà òðàïåöà?Îòãîâîð: 42

◮ Ïðàâ êðúãîâ öèëèíäúð èìà âèñî÷èíà 5 è ëèöå íà îêîëíàòà ïîâúðõíèíà 60π.�àäèóñúò íà ñ�åðàòà, îïèñàíà îêîëî öèëèíäúðà, å:Îòãîâîð: 13

2

◮ �úáîâåòå AB, AC è AD íà òðèúãúëíàòà ïèðàìèäà ABCD ñà ñ äúëæèíà 4è ñà äâà ïî äâà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíè. Ëèöåòî íà ñòåíàòà BCD å ðàâíî íà:Îòãîâîð: 8√

3 4