[2009학년도 수시 대비] 자연계논술 가볍게 읽기file1.megastudy.net/FileServer/lecture/preview/20081119_r.pdf · 악수 문제 어느 부부가 아홉

김종두 쌤의 자연계 통합논술

[2009학년도 수시 대비]

자연계논술 가볍게 읽기

김 종 두 T

논리와 비논리

비둘기집의 원리

비둘기 집의 원리는 독일의 수학자 디리클레가 공식화한 것으로, 사물과 사물 사이에 존재하는 양적 관계

에 대한 일종의 법칙을 밝히는 간단한 수학적 원리로서 수학 문제를 해결하는 유용한 수단이 된다. 복잡해

보이거나, 심지어는 전혀 풀 수 없는 것 같이 보이는 문제도 비둘기집의 원리를 교묘하게 활용하면 간단하

게 풀 수도 있다.

비둘기집의 원리는 조합론 분야에는 중요한 기본 정리 중의 하나로 n+1마리의 비둘기가 n개의 비둘기 집

에 들어간다면, 적어도 두 마리의 비둘기는 같은 집에 들어간다는 것이다. 비둘기 집의 원리는 디리클리의

이름에서 ‘디리클리의 원리’, 혹은 ‘서랍의 원리’라고도 불린다. 이 원리의 증명은 간단하다. 만약 결론이 성립하지 않는다고 가정하면, 각 비둘기 집에는 단지 한 마리의 비둘기가 들어가든지 아니면 한 마리도 들

어가지 않아야 하는데, 이 경우 n+1마리의 비둘기가 모두 비둘기 집에 들어갈 수 없으므로 모순이다.

이 원리를 좀 더 일반화하면 m개의 원소를 n개의 집합으로 나누면, 그 속에는 적당한 k에 대하여 k개 이

상의 원소를 가지는 집합이 적어도 하나 존재한다와 같이 나타낼 수 있다. 이때, m이 n으로 나누어 떨어

지면

이고, m이 n으로 나누어 떨어지지 않으면

이다. 여기서 [x]는 x를 넘지 않는 최대

의 정수를 나타낸다.

이제, 비둘기 집의 원리를 구체적으로 문제에 적용해보자.

간단한 예로서, ‘임의의 자연수 11개 중에는 두 수의 차가 10의 배수가 되는 짝이 적어도 한 쌍이 있음을 보여라’ 또는 ‘8명의 학생이 있으면, 생일의 요일이 같은 학생들이 반드시 있음을 보여라’고 하는 문제는 아주 간단하게 풀 수 있다.

다음으로 ‘25명의 학생 중에서 적어도 3명은 같은 달에 태어났음을 증명하여라.’ 라는 문제를 푼다고 할 때, 비둘기 집에 해당하는 것은 달의 수, 즉 12개의 비둘기 집이 존재하는 것이고, 비둘기는 학생들, 즉

25가 비둘기 수에 해당한다. 일반화된 비둘기집의 원리에 의해서, 25는 12로 나누어 떨어지지 않고

[25/3]+1=3이므로, 적어도 3명은 같은 달에 태어났다는 것이 증명된다.

◈ 좀 더 흥미 있는 문제를 풀어보자.

1. 한 변의 길이가 1센티미터인 정육각형 안에 임의로 7개의 점을 찍으면, 이들 가운데 두 점 사이의 거

리가 1이하인 것이 적어도 한 쌍 있음을 증명해보자.

2. 한 변의 길이가 2인 정사각형에 5개의 점이 있으면, 두 점 사이의 거리가 보다 작은 점이 반드시

존재한다는 것을 증명해보자.

김종두 샘의 통합형 자연계논술 9


악수 문제

어느 부부가 아홉 쌍의 부부를 집으로 초대하여 파티를 열었다. 이 자리에 모인 열 쌍의 부부는 서로

아는 사이도 있고, 처음 만나는 사이도 있다. 이들 가운데 서로 알던 사람들은 악수를 하지 않았지만,

처음 만나는 사람들은 정중하게 악수를 한 번씩 나누었다. 저녁 식사가 끝나고 집 주인은 그 자리에

모인 19명(집 주인의 부인과 손님들)에게 오늘 모임에서 악수를 몇 번 하였는지 질문하였다. 놀랍게

도 이들이 악수한 회수는 모두 달랐다. 이 때 집 주인의 부인은 악수를 몇 번이나 하였을지 생각해보

고, 부인이 악수한 횟수를 일반화하여 설명하시오.

[2006학년도 고려대 수시2]

주인 부부를 포함해서 20명의 사람이 참가하였으며, 주인의 질문에 답을 한 사람은 주인을 제외한 19명이

다.

일단 가능한 악수의 횟수를 범위를 고려해 보면, 자기 자신과 자신의 부인과는 악수를 하지는 않을 것이

다. 그렇다면 가능한 최대 악수 횟수는 자기 자신과 자신의 부인을 제외한 18번이 된다. 그리고 가능한 최

소 악수 횟수는 모두 아는 사람일 경우인 0번이 된다.

그런데 집주인의 질문에 19명이 모두 다른 대답을 했다는 것은 가능한 대답의 범위가 0부터 18로 19가지

이기 때문에, 이 두 값이 딱 들어맞게 된다. 곧 0번 악수한 사람부터 18번 악수한 사람까지 빠짐없이, 중

복없이 1명씩 존재한다는 것이다.

편의상 주인 부부를 제외한 나머지 부부들을 1번 부부, 2번 부부, …으로 부르기로 하자. 1번 부부의 남편이 18번 악수를 했다고 가정하면,(부인이 18번 악수했다고 가정해도 일반성을 잃지는 않는다.) 1번 남편

은 자신과 부인을 제외한 모든 사람과 악수를 한 것이 된다. 그러므로 어딘가에 존재해야 되는 0번 악수한

사람은 1번 부인이 되지 않으면 모순이 된다.

마찬가지로 2번 남편이 17번 악수한 사람이라고 가정하면, 그 사람은 3명과 악수하지 않은 셈인데, 자기

자신, 자기 부인, 그리고 1번 부인(악수횟수가 0번이므로)이 된다. 그리고 그들을 제외한 나머지 사람들은

1번 남편과 2번 남편 때문에 최소 두 번 이상은 악수한 셈이 된다. 그렇게 되면 어딘가 존재해야 될 한

번 악수한 사람은 2번 부인이 되야 모순없이 악수횟수가 조율이 된다.

마찬가지로 3번 남편이 16번 악수한 사람이라면 그 부인인 3번 부인이 2번 악수한 사람이 된다.

이를 일반화하면 k번 남편이 19-k번 악수하게 되면, 그 부인은 k-1번 악수하게 되어서 부부의 악수 횟

수의 합은 18번이 된다.

일반적으로 n쌍의 부부 2n명이 문제와 같은 상황에 같은 답변을 했을 경우에 각 부부의 악수횟수의 합은

2(n-1)번이 됨을 유추할 수 있다.

문제에서 요구한 집 주인의 부인의 경우에는 문제처럼 20명의 부부가 참가한 모임에서는 9번이 되고, n쌍

의 부부 2n명이 참석한 모임으로 일반화할 경우에는 집 주인 부인의 악수횟수는 n-1번이 된다.

10

논리와 비논리

원소의 성질

실수들의 집합 A와 B에 대하여 합집합 A+B를

∈ ∈로 정의한다. 이제 일 때, A+A의 원소의 개수가 7개이면 A의 네 원소는 등차수열

을 이룸을 보이시오.

[2004학년도 포항공대]

집합 의 원소 의 크기를 라 해도 일반성을 잃지 않는다.

이럴 경우 의 원소로 가능한 값은 아래 표와 같다.

합

표와 같이 10종류의 원소가 가능한데, 이 중에서 대소관계가 확실하여 같을 수 없는 원소는 다음 두 종

류로 분리할 수 있다.

⋯

⋯

각 식의 원소들은 a, b, c, d의 대소관계 때문에 절대 같을 수 없게 되어 서로 다른 원소들이 된다. 그런

데 문제에서 A+A의 원소의 개수가 7개라 하였으므로, (A)식에서 나온 7개가 바로 서로 다른 원소들이라

고 말할 수 있다.

그럴 경우 (B)식에서 나온 세 종류의 원소들은 (A)에 나온 7개의 원소들과 일치해야 된다. 그래서 대소

적으로 일치 가능성이 있는 것을 정리하면 다음과 같다.

또는

또는 그런데 끼리도 대소관계가 확실한 서로 다른 수이므로, 가능한 대응은 ,

, 뿐이며, 첫 식에 의해서 a, b, c는 등차수열이 되고(등차중항), 세 번째 식에 의해

서 b, c, d도 등차수열이 된다. 두 번째 식도 a, b, c, d가 등차수열이라는 것과 모순이 없으므로, a, b, c,

d는 등차수열임을 확인할 수 있다.



홀짝성(parity)

논리와 관련된 문제 중 일부는 홀짝성(우기성)을 따져봐야 그 모순성을 쉽게 확인할 수 있는 것들이 있다.

홀짝성으로 모든 상황을 판단하는게 불가능할지라도 기본적인 모순성을 밝히는데에는 중요한 방법이다. 그

리고 이런 홀짝성을 2차원 평면에 확장해서 응용될 수도 있다.

예를들어 아래 왼쪽 그림과 같은 바닥을 오른쪽 그림과 같은 타일로 전부 깔 수 있는지를 파악해보도록

하자.

얼핏보면 14칸의 바닥을 2칸짜리 타일 7개로 완전하게 덮는게 가능해 보인다. 하지만, 검은색과 흰색으로

번갈아 색칠해 보면 불가능하다는 걸 알 수 있다. 이런 방법을 염색법이라 한다.

2칸짜리 기본 블록도 검은색과 흰색으로 색칠되었다고 가정하면, 바닥도 검은색과 흰색이 똑같이 7개는

되어야 완전히 덮는게 가능하다. 하지만, 실제 바닥을 색칠해 보면, 검은색은 8개, 흰색은 6개로 불가능해

짐을 알 수 있다.

12

논리와 비논리

배리법이란?

논리 수학에서는 명제에 따라서는 그 명제를 증명하는 방법으로 직접적인 방법보다는 배리법이라고 하

는 간접적인 방법이 더 편할 때가 있다. 이 방법으로 명제를 증명할 때는 참인 결론에 반대되는 결론을 가

정하고 출발한다. 그러면 그 가정의 결과가 모순 또는 자가당착에 이르게 하는 방법이다.

배리법을 이용하여 정사각형의 대각선의 길이가 무리수임을 이 방법으로 증명해 보자.

한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 무리수 이다. 배리법으로 가 무리수임을 증명

하여 보자. 우선 가 유리수라고 가정한다. 그러면 는 분수꼴로 쓰여야 한다.

……⑴ 여기서 p와 q는 서로소인 정수이다. 그러려면 p와 q중 어느 하나는 홀수여야 한다(두 수 모두 짝수이면

서로 소가 아니다).

이제 양변을 제곱하면

……⑵ 정리하면 이 되는데 따라서 은 짝수이다. 이 짝수이므로 도 짝수이다(제곱수가 짝수이면 제곱

하지 않은 수도 짝수이다).

그러므로 로 놓을 수 있다. 이 식을 ⑵식에 대입하여 정리하면

에서 이 되어 은 짝수이다. 따라서 도 짝수이다.

이 결과는 와 가 서로 소라는 가정에 모순된다. 그러면 이러한 거짓은 어디에서 왔을까? 그것은 를

유리수로 가정한 데 잘못이 있다. 따라서 는 유리수일 수 없다. 는 무리수이다. 배리법은 그 옛날

유클리드 시대부터 쓰인 방법으로 전해지고 있다.



저울과 구슬

다음의 주어진 문제를 해결하기 위한 최선의 전략에 대해서 논술하시오.

⑴ 각 주머니마다 많은 구슬이 담겨 있는 10개의 주머니가 있다. 그런데 9개의 주머니에는 10g짜리의 구슬이 들어있고, 1개의 주머니에만 11g짜리 구슬들이 들어있다. 질량저울을 한 번만 사용

하여 11g짜리 구슬들이 담겨진 주머니를 찾을 수 있겠는가?

⑵ ⑴번과 같은 상황에서 11g짜리 구슬들로 채워진 주머니가 몇 개 존재하는지 정확하게 알 수 없게 되었다. 이 역시 질량저울을 한 번 사용하여 11g짜리 구슬들이 담겨진 주머니들을 모두 찾아

낼 수 있겠는가? 없다면 몇 번의 저울질로 모두 찾아낼 수 있겠는가?

⑶ 70개의 구슬이 있다. 하나를 제외한 모든 구슬의 질량은 같고, 하나의 구슬만 무겁다. 양팔저울을 사용하여 이 구슬을 찾아내는 최선의 전략은 무엇인가? 이 때 적어도 몇 번의 저울질이 필요

한가?

⑷ 자연수의 질량을 가진 추 4개를 이용하여서, 1g부터 자연수로 표현되는 질량을 빠짐없이 최대한 많이 잴 수 있는 양팔저울을 만들려고 한다. 어떤 자연수의 질량을 가진 추를 준비하면 되겠는가?

접근법

- 진법의 아이디어로 접근하는 것이 필요하다.

예시답안

⑴ 각 주머니에서 구슬을 빼내와서 저울에 재보는 게 핵심일 것이다. 하지만, 모두 1개씩 꺼내서 질량을 재보면 11g 구슬이 한 개 포함되어 있으므로, 구슬 10개의 질량은 101g이 될 것이며, 11g짜리 구슬이

정말 들어 있다는 확인만이 가능하고, 어느 주머니에서 꺼낸 구슬이 무거운 것인지는 파악할 수 없다.

결국 풀이의 핵심은 각 주머니를 차별화하기 위해서는 꺼내는 구슬을 차별화하면 된다는 것이다. 각 주머

니마다 서로 다른 개수의 구슬을 꺼내서 질량을 잰 후, 모두 10g짜리 구슬일 때 보다 x g 초과한다면 x

개의 구슬을 꺼낸 주머니가 바로 11g 짜리의 구슬들이 들어있는 주머니가 될 것이다.

꺼내는 구슬의 총 수를 적게 하려면 각 주머니마다 1번부터 10번까지 번호를 매겨서 n번 주머니에서 n개

를 꺼내면 되고, 총 55개의 구슬을 꺼내게 되므로, 질량을 재어서 550g에서 초과하는 g에 해당하는 주머

니가 11g짜리 구슬이 담긴 주머니라고 쉽게 파악할 수 있다.

14

논리와 비논리

⑵ ⑴번과 유사하게 접근해 보기로 하자.1번 주머니에서는 1개, 2번 주머니에서는 2개, 3번 주머니에서는 3개, ....

그런데 이렇게 되면 문제가 발생한다. 전부 10g짜리 구슬이라고 가정했을 때보다 3g이 더 나왔을 경우에

두 가지 해석이 가능하다. 3번 주머니가 11g짜리 구슬의 주머니 일 수도 있고, 1번과 2번 주머니 둘 다

11g짜리 구슬의 주머니라고 말할 수도 있다. 그래서 이 혼란을 막기 위해선 ⑴번과는 다른 형태의 차별화가 필요하다.

n번째 주머니에서 꺼내는 구슬의 수가 1번 주머니에서 n-1번 주머니까지 꺼낸 구슬의 총합보다 더 많이

꺼내게 되면 위와 같은 혼란을 없앨 수 있다.

이런 조건을 만족하면서 구슬을 가장 적게 꺼내는 방법의 2진법을 이용해서 꺼낼 수가 있다.

1번 주머니에서는 1개, 2번 주머니에서는 2개, 3번 주머니에서는 4개, ... n번 주머니에서는 개를 꺼

내면 된다.

이럴 경우에는 초과된 질량을 알면 몇 번 주머니들이 11g짜리 구슬들의 주머니인지도 쉽게 판별할 수 있

다.

예를 들어서 54g이 초과되었다면, 54를 2진법으로 바꾸면 가 된다. 일의 자리부터 차례대로 1번

주머니, 2번 주머니...이렇게 판단할 수 있다. 이 경우에는 2번, 3번, 5번, 6번 주머니가 11g짜리 구슬이

담겨있는 주머니이다.

⑶ 양팔저울을 이용하여 무거운 구슬을 찾는 문제는 구슬을 3부분으로 나눠서(2부분은 등분으로 양쪽 저울에 올려놔야 되고, 하나는 등분이 아니여도 좋다.) 양쪽 저울에 올려 놓는 2부분과 올려놓지 않는 1부분

으로 나눠가면서 추적할 수 있다. 이는 3진법 체계를 따르는 것으로, 한 번의 저울질을 할 때 마다 구슬의

수를 약 1/3씩 줄일 수 있다. 그러므로 70개의 구슬은 보다 작으므로 4번의 저울질로 충분히 찾을 수

있다.

⑷ 양팔 저울을 이용하여 질량을 판정하는 내용은 3진법 체계를 따른다는 것을 기본 아이디어로 한다면, 저울 추도 1, 3, 9, 27g 이렇게 4개를 준비하면 된다. 이걸로 1g부터 빠짐없이 잴 수 있는지 확인해 보도

록 하자.

1g은 당연히 잴 수 있고, 2g을 재기 위해서는 물체와 1g을 같이 놓고, 3g을 건너편에 놓고 평형을 이루는

지 보면 된다. 3g도 가능하고, 4g의 경우에는 (1+3)g과 물체의 평형을 따지면 되고, 5g의 경우에는 1g과

3g을 물체와 함께 놓고, 9g을 건너편에 놓고 평형을 이루는지 보면 알 수 있다. 이런 형태를 모든 자연수

질량이 모든 추를 합한 40g까지 가능하다.


논리와 비논리

0.9999…= 1?

순환마디가 있는 순환소수의 경우에는 유리수로 파악을 하고 있다. 예를 들어 0.999999…의 경우에는 라 하여 1과 같이 취급을 한다. 그런데 정말로 “0.999999…=1”이라는 형태에서 “=”은 정확하게 맞는 의미일까? 자신의 생각을 정리하여, 반대되는 친구들에게 자신의 판단을 설명하여 설득하려고 한

다. 어떻게 설명할 수 있겠는가?

접근법

- 일단 의 실제 값부터 정확하게 파악할 것

예시답안

0.99999…는 정확하게 1과 같다고 볼 수 있다.보이는 방법을 다양화해서 설명해 보기로 하겠다.

먼저 뺄셈을 이용하는 방법이 있다.

1.0 1.00 1.000 1.0000… -)0.9 -)0.99 -)0.999 -)0.9999… ------ ----- ----- ------

0.1 0.01 0.001 0.0000…

위의 맨 오른쪽 식을 보면 뺄셈의 결과가 언젠가는 1이 나오지 않겠냐고 생각할 수가 있다. 하지만,

0.9999…에서 9가 무한히 나오기 때문에 그 밑의 0도 무한히 나온다. 언제 1이 나오는지 따져본다면 무한대에 가서 나온다. 안 나온다는 말과 다름이 없다.



이번에는 나눗셈으로 보여줄 수 있다.

9를 9로 나누는데 약간 다른 방식으로 해보자.

이런 식으로 나오다 보면 9 나누기 9는 0.9999…가 되며, 원래 9/9인 1과 같게 된다.

마지막으로 극한의 개념과 관련해서 설명해 보면,

x=0.99999…라고 봤을 때, 10x=9.99999…가 되어 뒷 식에서 앞 식을 빼보면 9x=9가 되어 x=1이 된다.

어떤 식으로 계산을 해도 0.99999…와 1은 같다.

20


제곱근, 세제곱근, n승근

컴퓨터와 휴대용 계산기가 나오기 전에는 수학 방정식을 푸는 데 많은 시간과 노력을 필요로 했는데, 특히

제곱근, 세제곱근, 승근을 포함한 것들이 그랬다. 물론, 로그가 있다. 그러나 전문수학자들은 그것을 해결

할 다른 방법이 있다는 사실과 함께 문제 전체를 쉽게 처리할 수 있는 몇몇 공식도 알고 있다.

여기 논의된 제곱근 공식은 오늘날의 수학자들에게는 약간 고풍스럽게 보일지도 모른다. 그러나 그것을 처

음 발견하는 과정에서 많은 어려움을 겪은 그 당시의 수학자들에게는 아주 새로웠을 것이고 또한 흥분을

자아내는 일이었을 것이다. 이제 당신은 그 공식들이 제곱근을 근사적으로 구하는 데 아직도 유용하다는

것을 알게 될 것이다.

제곱근

이라는 숫자의 제곱근을 근사적으로 구하기 위하여, 우선 어림 근사값 을 선택하고 나서 개선된 근사

값 를 구하는 데 다음을 이용한다.

예를 들어, 이고 이라 하자. 위의 공식을 이용하여

을 얻는다. 이 결과는 과 실질적으로 같다.

세제곱근

다음의 공식이 세제곱근을 근사적으로 구하는 데 사용된다.

≅

이 공식에서, 은 에 가장 가까운 세제곱수이다. 를 구하려면, 같이 이항하면 된다.

• Example 을 근사적으로 구해보자. 로는 5가 선택될 수 있는데, 라서 131에 가장 가깝기 때문이다.

뺄셈으로 를 구하면 .

위의 공식을 이용하여 다음을 구할 수 있다.

×

≅

• Attention현재로서는 이것이 불필요하게 복잡한 것으로 보이는데, 로그를 이용하면 더욱 간단해진다. 에서,

log log를 얻는다. 이 예제에서는 × log 또는 이다.

22

수와 식, 방정식

승근

모든 실수는 개의 승근(한 개의 1승근, 두 개의 제곱근, 세 개의 세제곱근 등등)을 갖고 있다. 승근에

대한 공식이 가장 흥미로운 데, 정수해의 존재 여부에 관계없이 정확한 풀이를 제공한다. 이라는 숫자의

승근을 근사적으로 구하려면, 다음의 공식을 이용한다.

여기서 는 일차 근사값이다.

• Example 를 구해보자. 3이 27(29에 가깝다)의 세제곱근이라는 것을 알고 있다. 따라서 을 이용한다.

≅

이 결과를 이용, 다시 한 번 더 승근 공식에 를 대입한다.

≅

이제, 위의 근사적인 공식이 정확한 풀이를 제공할 수 있는지 보자. 가 정확한 풀이라면 이고, 따라

서

×

이 된다. 따라서, 이 대입되면 가 나온다.

출처 : 클린트 브룩하트, 『가자! 수의 세계로』



연분수

연분수는 그다지 중요하지 않으나 어딘가 색다르며 놀라운 점이 있다. 그것은 외견상 몹시 복잡해 보이나

그것이 어떻게 적용되는가가 이해되면 합리적이고 단순한 것임을 알게 된다. 연분수는 나 같은 무리

수를 나타내는 데 쓰였는데 적당한 자리에서 보통의 분수로 바꾸어 그 근사값을 얻을 수 있다. 우선 가

어떤 연분수로 나타내지는가 알아보자.

이다.

여기서 에

를 곱하여 정리하면

×

의 등식이 얻어진다. 분모의 에 다시 한 번

을 곱하면

×

로 나타내진다.

그런데 이므로 이 나올 때마다 이것을 로 바꾸어 쓰고

에

을 곱해 나가면 는 다음과 같이 하나의 연분수로 나타내진다.

⋯⋯

그리고 원하는 단계에서 멈추어 보통의 분수로 바꾸어서 의 근사값을 구할 수 있다. 지금 위 식에서

2가 4번째로 나오는 자리에서 의 근사값을 구하면

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로 계산이 되는데 이 값은 ⋯⋯ 와 소수 3자리까지 정확하다. 연분수는 위에서 보듯이 합

리적인 표현이기는 하나 다소 복잡하고 더 좋은 방법이 개발되어 지금은 고등학교 교육과정에서는 제외되

었다.

이제 모든 숫자가 1로 되어 있는 다음과 같은 연분수를 생각해 보자.

⋯⋯

이 연분수의 수렴값을 각 단계에서 차례로 구해 보면

⋯⋯

와 같이 나타나는데 각 항의 분자는 뒤의 항의 분모와 같음을 알 수 있다. 그리고 분모들은 피보나치 수열

로 되어 있다. 즉 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21……이다. 위의 연분수를 로 놓으면

⋯⋯

이므로

또는 으로 표시되는데, 이 방정식을 풀면

±

이다. 그러나 위 연분수의 값은 음수일 수 없으므로

⋯⋯ 이다.

한편, 위 연분수의 10번째 항의 수렴값 ⋯⋯ 은 방정식으로 구한 값 1.61803과 거의 일치

하고 있는데, 15번째 항의 수렴값은 로 나타나 소수 5자리 값까지 일치한다. 20번째, 50

번째 항의 값은 더 가까워질 것이 예상된다.



고장난 저울

주희와 정훈이는 학교에서 폐품 모아 팔아서 불우이웃을 돕는 행사에 봉사활동 요원으로 참석을 하게

되었다. 친구들이 가져온 폐품을 양팔 저울로 달아서 그 질량을 적어놓는 일이 주희와 정훈이가 해야

되는 일이었다. 그런데 양팔 저울이 영점조절이 되지 않아서 평형을 이루지 못했고, 주희와 정훈이는

이런 양팔 저울을 고치는 법을 모르고 있다. 하지만 수학 실력이 뛰어난 이 둘은 고육지책으로 추와

폐품을 양쪽에 놓고 한 번 잰 후, 둘의 위치를 바꾸어서 재보는 방법을 고안해 내었다. 이렇게 측정한

두 질량값을 가지고, 두 사람은 각자 계산을 한 후 폐품의 질량을 추정하였는데, 같은 측정자료를 사

용했지만, 두 사람이 계산한 결과는 서로 달랐다. 자세히 살펴보니 주희가 적어놓은 폐품의 질량이 정

훈이가 적어놓은 질량보다 모두 크게 나온 것이었다. 두 친구가 고안한 방식을 추정하여 비교 설명하

여라.

접근법

- 저울을 이용한 질량 균형에 대한 이해가 필요하다.(무게중심 관련)

- 두 가지 결과에 대한 아이디어를 비교할 수 있어야 한다.

예시답안

양팔 저울의 영점 조정이 되지 않았을 경우, 생각할 수 있는 원인은 두 가지 정도를 생각할 수 있다.

[방법1] 저울 양쪽의 기본적인 질량이 다른 경우를 생각할 수 있다. 즉, 저울의 한 쪽 팔에 질량 m이 더

추가적으로 올려져 있다고 가정할 수 있다.

[방법2] 가운데 평형 기준으로부터 양팔까지의 거리가 1:1이 되지 못하고, (a≠b)가 되어 영점 조정이 되지 않을 수 있다.

각 방법으로 폐품과 추의 위치를 바꿔가면서 측정한 질량 으로 폐품의 질량을 계산해 보도록 하

자.

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[방법1] 양팔 저울의 한 쪽 팔에 m 만큼의 질량이 더 추가적으로 존재한다고 가정하고 폐품의 질량 X를

계산해 보자.

각 경우를 식으로 바꾸면 다음과 같다.

………… ① ………… ②①,②를 연립해서 m을 소거하고, X로 정리하면 다음과 같다.

이 경우 폐품의 질량 X는 측정값 의 산술평균임을 알 수 있다.

[방법2] 양팔 저울의 거리 균형이 맞지 않아서 영점 조정이 되지 않은 경우에는 시소의 원리를 이용하여

폐품의 질량 Y를 계산해 볼 수 있다.

각 경우를 식으로 옮겨보면 다음과 같다.

⋅ ⋅ ………… ③ ⋅ ⋅ ………… ④③,④를 연립해서 a, b를 소거하고, Y로 정리하면 다음과 같다. 이 경우 폐품의 질량 Y는 측정값 의 기하평균임을 알 수 있다.

산술평균과 기하평균의 대소 관계에 의해서

≧ 임을 알 수 있다. 주희의 계산값이 정훈

이의 계산값보다 크게 나왔기 때문에, [방법1]을 쓴 사람은 주희, [방법2]를 쓴 사람은 정훈이라고 예상할

수 있다. 그리고 영점 조정이 안맞기 때문에 ≠가 되어, 두 사람의 계산값이 같게 나오는 경우는 없

다.



함수의 일상적 적용

‘ㅇㅇㅇ의 아버지’란 표현의 일상적 의미는 함수를 나타내는 것으로 생각될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다.

(1) 이 표현이 어떤 경우에 함수적 표현이 되고 어떤 경우에는 함수적 표현이 되지 못하는지 예를

들어 그 이유를 설명하시오.

(2) ‘ㅇㅇㅇ의 아버지’가 함수적 표현인 경우 이 표현이 나타내는 함수를 라 할 때, 를 엄밀히 규정해 보시오.

(3) 의 등식은 두 사람 와 사이에 어떤 친족관계가 성립하기 위한 필요충분조건을

나타낸다. 이는 어떤 관계인가?

(4) 가 의 삼촌(아버지의 형제)이기 위한 필요조건을 등식으로 나타내시오.

(5) 친족관계의 다른 두 가지 예를 들고, 그 관계가 성립하기 위한 필요조건이나 필요충분조건을

의 값들 사이의 등식으로 나타내시오.


접근법

- 함수의 정의를 생각하고 어떠한 경우에 함수가 안되는지 판단한다.

- 와 의 친족관계와 수식화된 표현의 상호 포함관계를 파악한다.

예시답안

(1) 어떠한 대응관계가 함수이기 위해서는 하나의 정의역에 대응하는 결과값이 반드시 오직 하나 이어야

만 한다. 따라서 ‘ㅇㅇㅇ’의 아버지란 표현이 함수적 표현이 되기 위해서는 그 대상이 반드시 하나이어야만 한다. 예를 들어 ‘ㅇㅇㅇ’의 아버지라는 표현이 반드시 생물적인 의미에서의 아버지를 의미하는 경우 함수적 표현이라고 할 수 있는 것이다.

반면 ‘ㅇㅇㅇ’의 아버지라는 표현이 다양한 의미로 해석될 수 있는 경우에는 함수적 표현이 될 수 없다. 예를 들어 ‘ㅇㅇㅇ’의 아버지라는 표현이 생물적인 의미에서의 아버지, 법적 아버지, 종교적 대상, 정신적 지주 등 다의적으로 해석될 수 있는 경우에는 함수적 표현이라고 할 수 없는 것이다.

(2) ‘ㅇㅇㅇ’의 아버지라는 표현이 나타내는 함수를 라 하면, ‘= 를 낳은 사람의 남편’이라고 할 수 있다. 그런데 이렇게 를 규정할 경우 를 낳은 사람의 남편이 두 명 이상일 경우도 발생할 수 있

으므로 함수적 표현이 아닐 수 있다. 조금 더 엄밀히 정의하기 위해서는 생물학적인 표현을 사용할 수 있

다. 즉, (의 유전자를 만드는데 사용된 두 유전자를 가진 사람 중 염색체를 가진 사람) 이라

고 정의하면 조금 더 엄밀한 설명이 가능하다.

다만 설명과정에서 사용된 용어에 대한 엄밀한 정의가 되어있지 않기 때문에 수학적인 표현과 같이 형식

논리에 입각한 표현이 아닌 한, 이론의 여지는 항상 있을 수밖에 없다. 따라서 를 명확하게 규정하기

위해서는 를 설명하는데 사용되는 용어에 대한 명확한 정의부터 이루어져야만 할 것이다.

42

여러 가지 함수

(3) 가 의 아버지를 의미하는 표현이므로 는 의 아버지의 아버지를 의미한다. 즉,

는 의 할아버지라고 할 수 있다. 따라서 라고 한다면 이 친족관계는 는 의 할아버지임을

의미한다.

(4) 가 의 삼촌이 되기 위해서는 의 아버지와 의 할아버지가 동일 인물이어야 한다. 즉, 와

가 같아야 하므로 =라고 할 수 있다. 그런데 가 의 삼촌일 경우 의 아버지와 의

할아버지가 동일인물이긴 하지만 거꾸로 의 아버지와 의 할아버지가 동일인물이라고 해서 반드시 가

의 삼촌임을 의미하지는 않는다. 왜냐하면 가 의 삼촌이 아니라 아버지일 경우에도 의 아버지와 의

할아버지가 동일인물일 수 있기 때문이다.

따라서 명제를 아래와 같이 정의하면 다음관계가 성립한다.

: 가 의 삼촌이다.

: =이다. (의 아버지와 의 할아버지가 동일인물이다.)

이면 이므로 는 이기위한 필요조건이다.

즉, 가 의 삼촌이기 위한 필요조건은 =이다.

(5) 와 가 형제인 경우 아버지가 같다. 따라서 이를 수식으로 표현하면 라고 할 수 있다.

그렇지만 거꾸로 라고 해서 반드시 와 가 형제인 것은 아니다. 왜냐하면 와 가 동일인물

일 경우, 이지만 와 가 형제는 아니기 때문이다. 따라서 ‘ ’는 와 가 형제이기 위한 필요조건이다.

가 의 사촌인 경우 아버지의 아버지가 같다. 따라서 이를 수식으로 표현하면 이다.

이 경우에도 인 경우에는 와 가 형제 또는 동일인물이 될 수 있으므로, ‘ ’는 가 의 사촌이기 위한 필요조건이 된다.

만약 ‘ ’를 가 의 사촌이기 위한 필요충분조건으로 만들기 위해서는 인 경우를 제외시켜야 하므로 ≠ 라는 조건을 덧붙이면 된다. 즉, ‘ 단, ≠ ’는 가 의 사촌이기 위한 필요충분조건이다.

주의사항

함수적 표현이라는 말이 의미하는 바를 정확히 서술하고 시작하는 편이 의도를 명확히 전달할 수 있다. 예시답안의 경우 맨 첫 문장을 통해 학생이 문제의 핵심을 파악하고 있음을 설명해주고 있다.

(1)번 문제에서 그 이유를 설명하라고 했으므로, 왜 그러한 표현이 함수적 표현이 되는지, 혹은 되지 못하는지 논거를 제시해야만 한다.

(2)번 문제의 경우 정답은 존재할 수 없다. 왜냐하면 함수의 정의를 명확하게 내리기 위해서는 반드시 용어에 대한 정확한 정의가 전제되어야만 하는데 그러한 전제가 없기 때문이다. 따라서 그러한 맹점이 있음을 설명해주는 것이 좋다.

(4)번 문제의 경우 단순히 f a = f f b라고 쓰기 보다는 왜 그 식이 a가 b의 삼촌이기 위한 필요조건이 되는지 설명해주는 것이 좋다. 물론 문제에서 그 이유를 설명하라는 말은 없지만, 이 문제와 같이 용어의 정의에 관련된 문제에서는 그러

한 결과가 나오게 된 과정에 대해서 언급해주는 것이 더 유리하다.

(5)번에서는 언제 필요조건이 되고 언제 필요충분조건이 되는지에 대한 명확한 구분과 함께 그에 해당하는 예를 물어보고 있다. 예로 들만한 친족관계가 한 번에 떠오르지 않을 경우에는 가능한 친족관계를 하나씩 나열해보는 것도 좋은 방법이다. 그

런데 애초에 문제에서 ‘ㅇㅇㅇ의 아버지’에 대한 언급을 했으므로 아버지와 관련된 친족관계만을 고려해야 한다.



함수와 대칭성

자연의 아름다움은 선대칭, 회전대칭 등의 대칭성에서 발견할 수 있다.

위에 주어진 도형에서 선대칭을 다음과 같이 표현할 수 있다.

“이 도형에 속하는 임의의 점 와 직선 에 대해 대칭인 다른 점 ′도 이 도형의 점이다.”또한 이것을 집합의 개념을 이용하여 표현하면 다음과 같다.

“이 도형을 이루는 점의 집합을 라 하고, 평면위의 점 에 대칭인 점 ′을 대응시키는 함수를 라 하면, 집합 ∈는 다시 집합 가 된다.”(1) 다음 두 도형의 대칭성에 대해 각각 설명하고 비교해서 서술하시오

(2) 실수의 집합에서 실수의 집합으로의 함수 가 기함수 , 우함수

혹은 주기함수일 때, 함수 의 대칭성에 대해 서술하시오.

[2006학년도 한양대 예시]

접근법

- 우함수, 기함수, 주기함수가 각각 어떠한 점 또는 선에 대하여 대칭인지를 찾는다.

- 와 의 친족관계와 수식화된 표현의 상호 포함관계를 파악한다.

예시답안

(1)

44

여러 가지 함수

정오각형은 그림과 같이 다섯 개의 직선에 대해서 선대칭을 이룬다.

또한 이 직선들의 교점을 중심으로 (단, 은 정수)만큼 회전을 했을 때도 원래의 모양과 같게 된다.

반면 원의 경우에는 그 중심을 지나는 임의의 직선에 대해서 항상 선대칭을 이루며, 원의 중심을 기준으로

임의의 각도만큼 회전을 했을 때도 항상 원래의 모양과 같게 된다. 따라서 원이 정오각형보다 중심에 대하

여 대칭성이 더 많다고 할 수 있다.

(2) 가 기함수인 경우 의 성질을 만족한다. 문제에서 ‘대칭성’을 주어진 함수를 변환시킨 결과가 원래의 함수와 같아지는 경우라고 하였으므로, 의 경우 어떠한 변환의 결과가 다시 가

되어야만 한다. 따라서 기함수의 성질을 이용하면 가 되므로 의 대칭성을 찾을 수 있

다. 즉, 변환 를 다음과 같이 정의할 때 는 변환 를 만족한다.

→

그런데 변환 가 원점에서 대하여 대칭을 시키는 변환이므로, 기함수 는 원점을 중심으로 만큼

회전했을 때 원래의 모양과 같아지는 대칭성을 갖고 있다고 할 수 있다.

가 우함수인 경우, 라는 우함수의 성질을 이용하면 다음과 같이 변환 가 정의되었을

때, 가 변환 를 만족한다는 것을 알 수 있다.

→

즉, 변환 가 축에 관하여 대칭을 시키는 변환이므로, 우함수 는 축을 중심으로 대칭성을 갖는다

고 할 수 있다.

가 주기함수인 경우 역시 어떠한 변환의 결과가 원래의 모양인 와 같아지도록 만들어야 한다.

주기가 라고 한다면 주기함수는 (단, 은 정수) 의 관계식을 만족하는데, 이를 변환

로 나타내면 다음과 같다.

→

즉, 변환 가 방향으로 만큼 평행이동시키는 변환이므로, 주기함수 역시 대칭성을 갖는다고

할 수 있다.

주의사항

(1)번 문제의 경우 반드시 회전대칭도 언급해야만 한다. 문제가 일반적인 대칭성에 대해서 이야기하고 있으므로, 답안지를 작성할 때에도 반드시 가능한 모든 대칭성을 이야기해야한다.

(2)번 문제에서 학생들이 저지르는 가장 잦은 실수가 우함수는 축 대칭이므로 선대칭도형이고, 기함수는 원점대칭이므로 점대칭도형이라고만 간단히 언급하는 경우이다. 문제에서 대칭성에 대해서 다시 표현해주었으므로 그러한 설명에 입각하여 각각

의 함수가 문제의 설명을 만족하는가를 따져주어야만 높은 점수를 받을 수 있다. 즉, 어떠한 변환을 거쳐 (문제에서 준 바로

는 ) 원래의 모양과 같아지는 경우를 대칭성이라고 하였으므로 어떠한 변환을 거쳐야 하는지를 설명해주어야만 한다.

흔히 학생들이 선대칭과 점대칭만을 대칭이라고 생각하지만, 문제에서는 대칭성을 일반적으로 설명하고 있다. 즉, 주기함수도 문제에서 주어진 조건을 만족하기 때문에 이 역시 대칭성을 가진다고 할 수 있다.



사다리타기

은영이네 반은 청소당번을 정하거나 간식거리 사올 사람을 정할 때 주로 사다리 타기를 이용한다. 사

람 수 만큼의 세로선을 준비한 후, 아무렇게나 가로선들을 추가하여 만들어진 사다리타기로 1명 정하

기 위해서 무수하게 이용했음에도 불구하고, 단 한 번도 당번이 안 나오거나, 2명 이상의 당번이 나온

경우는 없었다. 이제까지는 아무런 의구심 없이 행해진 선택의 방식인 사다리 타기이지만, 은영이 맘

속 한 구석에서 언젠가는 당번할 사람이 안 나오거나 2명 이상 나올 수 있지 않을까 하는 의구심이

들었다. 은영이의 의구심에 대해서 논술하시오.

사다리타기 문제는 일대일대응의 개념으로 설명할 수 있다.

위의 왼쪽 그림에서처럼 세로만 2개가 있는 사다리타기는 아래까지 곧장 이어지는 일대일대응으로 생각

해 볼 수 있다. 그리고 가로선이 하나 추가된 두 번째 그림은 와 가 바뀐 형태이긴 하지만, 일대

일대응이라는 데에는 변화가 없다.

세로선이 많이 추가되더라도, 가로선 하나당 2개만이 정의역에 대한 치역이 바뀌며, 일대일대응이라는 데

에는 역시 변화가 없게 된다. 그리고 아래 그림과 같이 가로선이 여러 개 추가되더라도, 각 가로선마다 나

눠서 생각해보면, 일대일대응은 계속 유지되며, 그런 변화가 연쇄적으로 발생할 뿐이다.

즉 최종결과도 일대일함수라는 데에는 의심의 여지가 없는 것이다. 그러므로 사다리 타기는 일대일함수의

성질을 잃지 않으며, 은영이의 의구심은 불필요한 의구심이 된다.

50


곡선 이야기

노벨 문학상을 받은 가와바타 야스나리의 소설 중에 『이즈의 오도리코』(오토리코 : 무희-역자 주)라는 작품이 있습니다. 이 소설은 “길이 꼬불꼬불해지기 시작하여 이제 드디어 아마시로 고개에 다다랐구나 생각할 즈음 빗발이 참나무 숲을 하얗게 물들이며 무서운 속도로 산 아래로부터 나를 쫓아왔다”라는 글로 시작합니다. 여기서 꼬불꼬불이라는 말이 나타내는 것은 몇 겹으로 꺾이고 꺾여서 꾸불꾸불 계속 이어지는

언덕길을 뜻합니다. 자연 속에는 아름다운 곡선들이 많이 있습니다. 그리고 사람들이 만들어 내는 조형미

에도 곡선은 꼭 필요한 것입니다. 그러한 곡선 중 몇 가지를 일상적인 현상 속에서 뽑아 보겠습니다.

① 기차의 일부분은 반대로 간다?

사이클링이란 자전거를 타고 조금 멀리까지 나가는 것을 말합니다. 그럴 때 자전거 바퀴에 하얀 테이프를

붙이고 다리면 사이클로이드라는 곡선이 생겨납니다.

이것은 원을 미끄러지지 않게 굴렸을 때 원둘레상의 한 점이 그리는 곡선입니다.

를 매개변수로 하여 나타내면 sin cos가 됩니다. 이때 자전거 바퀴의 반지름은 1입니다.

매개변수 표시라는 방법입니다.

자, 그럼 ‘달리는 기차에는 진행방향과 반대방향으로 움직이고 있는 부분이 언제나 있다’라고 할 때 이 말을 믿으시겠습니까?

트로콜로이드라고 불리는 곡선이 있습니다. 사이클로이드와 비슷합니다만, 이것은 다음 그림에서처럼 굴

러가는 원의 바깥에 고정되어 원과 함께 움직이는 점이 그리는 곡선입니다.

sin cos로 하여 그려 보았습니다.

52

기하와 공간

이러한 곡선을 그리며 움직이는 부분이 기차에는 있습니다. 즉 기차의 바퀴에 붙어 있는 프랜지(flange :

바퀴에서 불룩하게 튀어나온 테두리 - 역자 주)라는 부분입니다.

바로 이 프랜지가 진행방향과는 반대로 전진하는 부분입니다. 프랜지는 그림의 A 부근에서 반대방향으로

달리고 있는 것입니다.

② 상자가 매끄럽게 굴러가는 지면?

사슬의 양끝을 고정시킨 후 자연스러운 상태로 매달아 보시기 바랍니다. 어떤 곡선이 될까요? 바로 현수

교의 쇠밧줄이 보여주는 곡선과 같은 모습을 보여 줍니다. 이것을 현수선이라고 합니다.

현수교의 쇠밧줄이 현수선을 보여 준다고 했습니다만 그것은 쇠 자체의 무게에 비해 매달고 있는 교각

등의 무게가 무시할 수 있을 정도의 작은 경우입니다. 반대로 매달고 있는 교각 등의 하중이 크고 균등하

게 수평을 유지하면서도 쇠밧줄 자체의 무게를 무시할 수 있다면 포물선을 그리게 됩니다.

남해대교와 같은 거대한 현수교의 경우 매달고 있는 교각의 무게도 상당하지만 쇠밧줄 자체의 무게도 엄

청나 쇠밧줄이 그리는 곡선은 포물선과 현수선의 중간형태가 된다고 합니다.

이 현수선을 좌표평면상에 그려보면 다음과 같이 됩니다.

자연로그의 밑은 e라고 할 때 이 함수를 나타내면,

입니다.



이 현수선으로 지면을 만들게 되면 정사각형의 상자를 굴려도 그 중심(대각선의 교점)은 수평한 직선상

을 움직이는 것으로 알려져 있습니다.

③ 아스테로이드와 하이퍼 사이클로이드

벽에 막대기가 기대져 있습니다. 이 막대기가 미끄러져 넘어지는 모습을 상상해보세요.

이 막대기가 지나간 부분들을 연결하는 곡선에는 어떤 것이 있을까요? 이러한 곡선을 아스테로이드라고

합니다. 다음의 그림은 cos sin로 하여 그래프를 그린 것입니다.

54

기하와 공간

또한 이 곡선은 한 원의 안쪽에 있는 원이 안쪽 둘레를 따라 미끄러짐 없이 굴러갈 때, 구르는 원둘레상

의 한 정점이 그리는 곡선이기도 합니다.

지금 안쪽에 있는 원의 반지름을 바깥쪽 원의 4분의 1로 하면 오른쪽 그림과 같이 아스테로이드가 만들

어집니다. 이처럼 원의 안쪽에 있는 원이 굴러갈 때 원둘레상의 꼭지점이 그리는 곡선을 하이퍼 사이클로

이드라고 합니다.

안쪽을 굴러가는 원의 반지름이 바깥쪽 원의 반지름의 3분의 1인 경우 3회전으로 한 바퀴를 돌면 왼쪽

그림과 같은 곡선이 그려집니다. 이 곡선을 델토이드라고 합니다.

coscos sinsin로 하여 그린 것이 다음 그림입니다.



안쪽에 있는 원의 반지름이 바깥쪽 원의 반지름의 반일 경우에는 신기하게도 안쪽 원의 지름을 왕복하게

됩니다.

그리고 이때 안쪽을 움직이는 원의 정지름을 주목해보면, 이것이 처음에 설명한 아스테로이드를 그리고

있음을 알 수 있습니다.

④ 카지오이드와 네프로이드

사람의 내장과 비슷하게 생긴 곡선도 있습니다. 심장형, 신장형 등으로 불리는 곡선입니다. 우선 심장형부

터 소개해 드리겠습니다.

원둘레를 같은 반지름을 가진 원이 굴러갈 경우 그 원둘레상의 한 정점이 움직이면서 그리는 곡선입니다.

이것은 카지오이드라고 불립니다. 이 카지오이드는 훌라후프에서도 발견됩니다.

허리의 단면이 완전한 원인 사람이 허리 지름의 두 배의 지름을 가진 훌라후프를 돌리고 있습니다. 이 훌

라후프가 허리 둘레를 2회전하면 카지오이드가 완성됩니다. 카지오이드는 아래와 같은 성질을 가지고 있습

니다.

56

기하와 공간

카지오이드의 안쪽에 그림과 같은 원(위에서 사용한 원의 두 배의 반지름)을 그립니다. 안쪽에 있는 원의

접선에 점 O로부터 수선을 내려 그으면 수선과 접선이 만나는 점이 이 곡선 상에 있습니다.

또한 안쪽에 있는 원둘레상의 점과 점 O를 연결하는 선분을 지름으로 하는 원도 이 곡선에 접해 있습니

다.

이 곡선의 방정식은 cos로 나타내며, 이러한 표시방식을 극좌표에 있어서의 극방정식이라고 합니다. 보통 x, y를 이용한 표현에서는, coscos cossin가 됩니다. 를 매개변수로 하는 매개변수 표시입니다.

다음으로 신장형을 보도록 하겠습니다. 한 원의 바깥둘레를 그

원의 절반의 반지름을 가지는 원이 굴러갔을 때, 원둘레상의 한

점이 그리는 곡선으로 네프로이드라고 불립니다. 카지오이드나 테

프로이드처럼 하나의 고정된 원의 바깥둘레를 다른 원이 굴러갈

때 그 원둘레상의 한 점이 그리는 곡선을 일반적으로 에피사이클

로이드라고 합니다.



⑤ 원의 신개선 둥근 기둥에 개가 묶여 있다고 할 때 끈의 끝은 기둥의 한 곳에 고정되어 있으므로 개가 기둥 둘레를 한

바퀴 돌면 끈이 기둥에 감기게 됩니다. 끈을 팽팽히 한 채 개가 기둥 둘레를 돌았을 때 개가 움직인 궤적

은 오른쪽과 같은 곡선이 됩니다. 원에 감긴 끈을 팽팽히 당기면서 풀어 가면 끈의 끝은 이렇게 움직이게

됩니다. 이것은 원의 신개선(involute : 나선형)이라 불리는 곡선입니다.

만약 손쉽게 이 곡선을 보고 싶으면 끝에 추가 달린 실을 빙빙 돌려 손가락에 감아보세요,

자동차 타이어의 단면을 만들 때 모서리 부분을 이 곡선으로 하면 주행시의 접지면적이 많아진다고 합니

다. 이 곡선을 채용한 타이어 광고에 쓰여 있던 이야기이니 확실하겠지요.

곡선상의 점 P를 지나는 직선 중 점 P의 접선에 수직이 되는 점을 점 P에 대한 법선이라고 합니다. 곡선

C상의 각 점에 대한 법선인 포락선(제2장 제1절 3 참조)을 그 곡선의 축폐선이라고 합니다. 신개선의 축

폐선은 원이 됩니다. 사이클로이드, 아스테로이드의 축폐선은 그림과 같습니다.

58

기하와 공간

사각채우기, 육각채우기

지름이 10cm인 원기둥 모양 음료수 캔을 가로 160cm, 세로 100cm의 직사각형 상자에 똑바로 세워

서 한 층으로만 가득 채워 담으려고 합니다. 아래 그림과 같이 가로와 세로를 각각 같은 개수로 나란

히 채우는 [방법 A]와, 서로 엇갈리게 채우는 [방법 B]를 고려하여 최대 몇 개의 캔을 담을 수 있는

지에 대해서 논리적인 계산 근거와 함께 답하시오.

[2004학년도 중앙대 수시2 일부]

[예시답안]

[방법A]로 캔을 채울 때에는 가로줄에 16개, 세로줄에 10개의 캔을 채울 수 있으므로 총 160개의 캔을

채울 수 있다. [방법B]의 경우에 몇 개의 캔을 채울 수 있는가를 판단하기 위해서는 몇 개의 세로줄이 가

능한가를 판단해야 한다. [방법B]의 경우에는 아래 그림에서 알 수 있듯이, 한 줄이 추가될 때

× 만큼의 길이가 추가된다.

그리고 양쪽 끝에서 각각 씩 총 가 추가되므로 전체 가로의 길이는 다음 관계식이 성립한다.

×≦

≦

은 자연수이므로

즉, 세로줄에 개가 채워지는 줄이 개, 가로줄에 개가 채워지는 줄이 개이므로 캔의 총 개수는

× × 개다.



벌집이 육각형인 이유는?

곤충의 눈, 잠자리의 날개, 꿀벌의 집 등을 보면 육각형을 서로 이어 붙여 평면을 구성하고 있음을 알

수 있습니다. 수학적으로 볼 때 정다각형 중에서도 오직 정삼각형, 정사각형, 정육각형 등만이 이차원

평면을 빈틈없이 덮을 수 있습니다. 꿀벌이 정삼각형이나 정사각형이 아닌 정육각형으로 집을 짓게 된

이유들 중에서 두 가지만을 논리적 근거를 들어 기술하시오.

[2004학년도 중앙대 수시2]

접근법

- 효율성과 구조적 안정성에 초점을 맞춘다.

- 예시답안 외의 다른 근거들도 고민해 본다.

도형 1개의 안정성과 도형 결합의 안정성은 다를 수 있음

예시답안

(1) 이차원 평면을 빈틈없이 덮을 수 있는 세 가지 정다각형인 정삼각형, 정사각형, 정육각형 중 둘레의

길이에 비해 가장 넓은 면적을 만드는 도형이 정육각형이다. 둘레의 길이가 인 정사각형, 정사각형, 정육

각형의 면적은 차례로

,

,

이므로 주어진 재료를 가지고 가장 넓은 면적을 만들기

위해 정육각형으로 집을 짓는 것이다.

(2) 정삼각형이나 정사각형모양으로 집을 지었을 경우 아래와 같이 경계선의 양쪽에서 힘을 받았을 때, 미

끄러질 위험성이 있다.

반면 아래 그림에서와 같이 정육각형은 경계선이 직선의 형태가 아니기 때문에, 미끄러지지 않게 된다.

이러한 이유로 꿀벌은 정육각형 모양으로 집을 짓는다.

72

기하와 공간

평면을 덮을 수 있는 다각형

(1) 정다각형을 이용하여 평면을 빈틈없이 덮는 경우

평면을 빈틈없이 덮기 위해서는 한 점에서 만나는 각의 총합이 가 되어야 하므로 한 각의 크기가

의 약수가 되어야 한다. 그런데 이러한 조건을 만족하는 정다각형은 한 각의 크기가 각각 , ,

인 정삼각형, 정사각형, 정육각형밖에 없다. 정육각형보다 더 많은 변을 가진 정다각형의 경우 한 각

의 크기가 보다 크기 때문에 한 점에서 만나는 각의 총합이 가 될 수 없으므로 평면을 빈틈없

이 채우는 것이 불가능하다.

(2) 정다각형이 아닌 일반다각형으로 평면을 빈틈없이 덮는 경우

정다각형이 아닌 일반다각형의 경우 어떤 모양을 만드는 가에 따라 평면을 빈틈없이 채우는 것이 가능할

수도 있고, 불가능할 수도 있다. 다만, 어떤 다각형도 불가능한 다각형은 없으며, 임의의 각형에 대하여

아래와 같이 특정 모양을 만든다면 평면을 빈틈없이 채우는 것이 가능하다.

오각형 육각형 칠각형

즉, 위 그림처럼 직사각형의 한 변에 톱니와 같은 날을 하나씩 더 만들 경우 차례로 다각형의 꼭지점의

개수가 많아진다. 이러한 각 다각형에 대하여 모두 맞물리도록 배치하면 평면을 빈틈없이 채우는 것이 가

능하다.



원주각의 활용

극장 MGV을 운영하는 아이작씨는 새로운 극장을 만들기 전에, 관객들에게 극장의 불편한 요소에 대

한 설문조사를 실시하였다. 그 중에서 많은 사람들이 지적한 불만 요소는 스크린과 좌석배치의 관계와

관련해서이다. 다음 그림은 MGV극장의 현재 좌석배치의 평면도와 측면도의 대략적인 모습이다.

화면

열

열

열

열

화면

관객들은 좌석이 화면으로부터 멀어질수록, 그 거리가 늘어나는 것은 어쩔 수 없지만, 같은 열 안에

서도 양쪽 끝자리에서는 화면이 시야에 좁은 폭으로 들어와서, 각 자리에 따른 시야각이 너무 차이가

난다는 불만을 제기하였다.

그래서 아이작씨는 새로 짓는 극장에서는 이 문제를 최대한 해결하여 좌석배치를 하려고 한다. 그리

고 이번 기회에 화면에 비친 영상의 폭(가로)뿐만 아니라 높이(세로) 요소의 시야각 차이도 최대한

줄이려고 한다.

해결할 수 있는 방법이 있겠는가? 있다면 어떤 형태로 배치를 하면 좋은지 배치도를 제시하여 설명하

시오.

74

기하와 공간

[예시답안]

문제에서 주어진 평면도의 경우 가운데 앉은 사람과 끝자리에 앉은 사람의 시야각은 각각 아래 그림과

같이 과 로 차이가 난다.

따라서 이러한 차이가 없도록 하기 위해서는 각 자리에서의 시야각이 모두 같아야 한다. 따라서 같은 길

이의 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다는 원의 성질을 이용한다. 즉, 아래 그림과 같이 극장의 화면의

가로의 길이를 현으로 갖는 원을 그린 후 원 위의 각 점에 의자를 배치한다.

이와 같이 각 자리를 배치할 경우, 화면을 바라보는 시야각은 모두 같게 된다.

세로요소에 있어서의 시야각 차이를 해결하는 것도, 가로 요소의 해결방법처럼 원주각의 성질을 이용한

다. 즉, 화면의 폭을 현으로 가지는 원의 궤도상에 좌석을 배치한 것처럼, 화면의 높이를 현으로 가지는 원

의 궤도상에 좌석을 배치한다. 이러한 조건을 만족시키면서 좌석을 배치하면 결국 좌석은 직사각형 모양의

극장화면의 네 꼭지점에 접하는 구의 궤도상에 배치되는데, 이 때 가로방향과 세로방향, 그리고 대각선방

향까지도 각 자리에 따른 시야각의 차이를 최소화할 수 있다.



효율적인 공간 배치

여러 채의 주택이 들어서 있는 평지 마을을 관통하는 직선 도로를 건설하려고 한다. 모든 주택에서 접

근하기에 가깝도록 최적의 거리에 도로를 건설하고자 할 때, 도로가 놓일 위치를 결정하기 위한 방법

을 두 가지 이상 제시하고 그 방법들을 서로 비교하시오

[2006학년도 서강대 수시2]

접근법

의사결정을 위한 기준을 만들어, 기하학적인 설명과 결합한다.

예시답안

이 마을에 채의 주택이 있다고 가정하고, 각 주택을 차례로 ⋯ 라 하자. 이 때, 각 주택에서

도로까지의 최단거리를 ⋯ 이라 하면 도로가 놓일 위치는 다음과 같은 방법으로 구할 수 있

다.

(1) ⋯이 최소가 되는 위치에 도로를 놓는 방법

적당한 좌표축을 설정, 각 주택 ⋯ 의 좌표를 각각 ⋯ 이

라 할 수 있다. 이 좌표계에서 구하고자 하는 도로의 직선의 방정식을 라 하자.

이 때, ⋯ 는 점과 직선사이의 거리이므로 차례로 다음과 같다.

,

, ⋯ ,

여기서 도로까지의 거리의 합인 ⋯의 값이 최소가 되는 의 값을 이용하여 도로의 방정

식 를 구할 수 있다.

(2) 위와 같은 방법으로 , , , ⋯ , 의 값을 구한 후 그 평균값을 구하여 이라 하고, 각각의 편

차를 ⋯ 이라 하자. 이 때, ⋯ 의 값이 최소가 되도록 의 값을

정하여 도로의 방정식을 구한다. 또는 표준편차 의 값을 구한 후 이 값이 최소가 되도록 도로의 방정식

을 구한다. 즉, (1)과 같이 각 주택에서 도로까지 ‘거리의 합이 최소’가 되는 방법이 아닌, ‘거리의 편차가 최소’가 되는 방법을 택할 수 있다.

첫 번째 방법은 마을주민들이 도로까지 이동해야 하는 거리의 합이 최소가 되므로 가장 효율적인 방법이

라고 할 수 있다. 다만, 도로가 어떻게 만들어지냐에 따라 각 주택에서 도로까지의 거리가 큰 차이가 날

수 있다. 반면 두 번째 방법의 경우에는 도로까지의 총 이동거리는 첫 번째 방법보다 크지만, 여러 주택에

서 도로까지 이동해야 하는 거리의 상대적으로 비슷하기 때문에 첫 번째 방법보다 더 평등한 방법이라고

할 수 있다.

76

기하와 공간

예를 들어 아래와 같이 주택이 정사각형 모양으로 배치되었다고 할 때, 첫 번째 방법에 의해 각 주택에서

도로까지의 거리의 합이 최소가 되는 도로는 직선에 해당하는 도로이다.

이 때, 정사각형의 한 변의 길이를 이라 하면, 네 주택에서 도로까지 거리의 총합은 이 된다. 반

면, 두 번째 방법에 의하면 아래와 같이 직선 의 위치에 도로가 생기게 되는데 이 때, 편차의 합은 0이

된다.

그렇지만 어떠한 방법을 택하더라도 이 마을에 주택이 어떻게 배치되었는지에 대한 정보가 없기 때문에

그 방법이 가장 효율적인 방법이라고 확신할 수는 없다. 다만 첫 번째와 같이 총 이동거리가 최소가 되도

록 도로를 배치하는 방법과 두 번째와 같이 각각의 이동거리의 편차의 절대값의 합이 최소가 되도록 배치

하는 방법이, 마을의 배치와 관계없이 일반적으로 합리적인 방법이라고 할 수 있다.



쌍곡선의 활용

항해 중인 배는 자신의 위치를 세 기지로부터 전파를 받아 알 수 있다. 이 때 세 기지 A, B, C는 위

치가 정확하게 알려져 있어야 하고 전파를 동시에 보내야 한다. 그러면 전파가 배에 도달하는 시간의

차이를 이용하여 배의 위치를 정확히 알 수 있다.

그런데 기지 C의 전파발생기가 고장이 나서 전파를 보내지 못하고 두 기지 A와 B에서만 전파를 보낸

다고 하자. 이 경우 두 기지 A와 B에서 동시에 보낸 전파가 배에 도달한 시간의 차이와 두 기지 A와

B의 위치에 관한 정보로부터 얻을 수 있는 가능한 배의 위치에 대해 설명하시오.


세 기지 A, B, C의 위치가 정확하게 알려져 있고, 세 기지에서 동시에 전파를 보낸다고 했으므로, 전파를

보낸 시점으로부터 항해중인 배까지 도달한 시간을 차례로 각각 라 하고, 세 기지로부터 항해중인

배까지의 거리를 각각 라 하자.

이 때, 배에서는 각 기지에서 전파를 보낸 시각을 모르기 때문에 의 값은 구할 수 없지만,

의 값과 , 의 값은 구할 수 있다. 세 값을 각각 라 하면, 전파의 속도는 항상 일정한

상수 라고 가정할 수 있으므로 다음과 같이 표현할 수 있다.

,

,

이므로

⋅ , ⋅ , ⋅

전파가 전달되는 시간의 차가 결국 거리의 차와 같다는 것을 파악하는 것이 이 문제의 핵심이다. 다만, 전파의 속도가 항상 일정하다는 것을 가정해야 하는데 이러한 것은 예시답안처럼 수험생이 답안지에서 명시해주면 충분하다.

따라서 두 기지에서 보낸 전파가 전달되는 시간의 차이를 이용하여 두 기지까지 거리의 차를 구할 수 있

다. 즉, 위에서 ⋅이므로 현재 항해하는 배는 기지 A와 기지 B를 두 초점으로 하고 거리의

차가 ⋅인 쌍곡선의 궤도상에 존재함을 알 수 있다.

그런데 ⋅ , ⋅ , ⋅이므로, 기지 A와 기지 B를 초점으로 하는

쌍곡선, 기지 B와 기지 C를 초점으로 하는 쌍곡선, 기지 C와 기지 A를 초점으로 하는 쌍곡선 등 모두 3

개의 쌍곡선을 그을 수 있다. 즉, 이 세 쌍곡선의 교점을 구함으로서 현재 항해하는 배의 위치를 정확하게

파악할 수 있다.

배가 두 기지를 초점으로 하는 쌍곡선 궤도상에 존재한다는 사실에 덧붙여 그 쌍곡선의 거리의 차가 ‘두 기지 A, B로부터 도착한 전파의 시간차와 전파의 속도의 곱’이라는 사실까지 서술해주면 더 우수한 답안지가 된다.

문제에서 기지 C의 전파발생기가 고장이 나서, 기지 A와 기지 B로부터만 전파를 받게 되므로 배의 위치

는 두 기지 A, B를 초점으로 하며, 거리의 차가 ‘두 기지 A, B로부터 도착한 전파의 시간차와 전파의 속도의 곱’으로 갖는 쌍곡선위에 있다는 사실만 알 수 있다.78

기하와 공간

원뿔과 타원

그림과 같이 단면과 원뿔의 밑면이 이루는 각이 모선과 원뿔의 밑면이 이루는 각보다 작게 잘랐을 때 생

기는 단면은 타원으로 알려져 있다.

그림처럼 점들을 정의한 후, 타원임을 증명해 보도록 하자.

구의 밖의 한 점에서 구의 그은 접선의 길이는 서로 같기 때문에 다음의 식이 성립한다.

′

그러므로 ′ 일정 이 성립하여, 타원의 정의에 따라 타원임을 확인할 수 있다.여기서 Q와 R은 원뿔과 절단면에 동시에 접하는 원이 원뿔과 만난 교선(원) 위의 한 점이다.



타원의 기하학적 성질

케플러는 많은 관측 자료를 조사한 결과 태양 주위를 도는 행성의 궤도가 인류가 오랫동안 믿어 왔

던 원이 아니라 타원이라는 것을 처음으로 발견하였다. 이로 인하여 천동설보다 지동설이 크게 지지를

얻게 되었다. 타원은 공의 그림자에서 볼 수도 있고, 원기둥이나 원뿔의 절단면에서도 발견되며, 기울

어진 유리잔에 담긴 물의 면이나 물체의 운동에서도 관측된다. 타원에는 두개의 초점이 있는데, 초점

의 성질을 이용하면 점화 장치를 만들거나 환자의 몸 안에 든 결석 제거 장치, 전파 탐지나 음악실의

음향 효과 등 다양한 응용을 할 수 있다.

1. 타원과 직선이 두 점에서 만날 때 이 두 점을 양 끝으로 하는 선분을 타원의 현이라고 하자. 주어

진 방향과 평행인 현의 중점은 현의 위치가 변하더라고 모두 일정한 직선 위에 있음을 설명하시오.

2. 자와 컴퍼스를 가지고 있을 때, 아래 그림과 같이 주어진 타원에서 타원의 중심, 타원의 장축과 단

축, 그리고 초점을 어떻게 구하는지 설명하시오.

[2006학년도 서울대 예시]

1. 타원의 방정식을 이라 하고, 타원을 지나는 한 직선을 이라 할 때 타원과 직선의

교점을 잇는 선분인 현의 중점이 언제나 한 직선위에 있음을 보인다.

서로 평행인 현의 중점이 현의 위치와 관계없이 모두 일정한 직선위에 있어야 하므로, 또 다른 직선을

′ 라 할 때 현의 중심의 좌표는 직선의 절편인 ′과 무관하게 언제나 한 직선위에 있어야 한다.

타원의 방정식을 , 두 직선을 각각 , ′ 라 하고 좌표평면위에 표현하면 다

음과 같다.

80

기하와 공간

′

여기서 타원과 직선 의 교점의 좌표를 각각 라 하면 는 타원과 직선을 연립했을

때 나오는 이차방정식의 두 근이다.

,

두 식을 정리하면

근과 계수와의 관계로부터

이므로

두 교점의 중심의 좌표는

이다.

이 때, 좌표는 로부터

이다.

따라서

,

이므로 이 두 식을 연립하면

라는 직선의 방정식을 얻을 수 있다.

그리고 이 식은 처음 가정했던 직선의 절편인 값과 무관하다. 즉, 타원을 지나는 직선이 일

때나, ′ 일 때나 항상 현의 중심은 위에 존재함을 알 수 있다.



2. 주어진 타원에서 타원의 중심을 구하기 위해서는 위 1.에서 사용했던 방법을 사용한다. 즉, 타원을 지나

는 임의의 평행한 두 직선을 그었을 때 생기는 현의 중점을 잇는 직선을 긋는다. 이 때 이 직선은 반드시

타원의 중심을 지나게 된다. 왜냐하면 타원의 중심을 지나는 현의 경우에는, 현의 중점이 바로 타원의 중

심이기 때문이다. 즉, 이 직선은 반드시 타원의 중심을 지나게 되므로, 이러한 직선을 두 개 그었을 때의

교점이 바로 타원의 중심이 된다.

타원의 중심을 구한 후에는 타원의 중심을 중심으로 갖고 타원과 4개의 교점을 가진 원을 그린다. 그리고

이 네 개의 교점을 네 점으로 가지는 직사각형을 그리면 다음과 같다.

이 직사각형의 대각선의 중심이 타원의 중심이므로, 직사각형의 각 변의 중심을 잇는 선분을 그으면 각각

장축과 단축이 된다.

BA

O F

타원에서 장축의 길이의 절반이 초점으로부터 단축과 타원의 교점까지의 거리이다. 따라서 위의 그림에서

선분 AO의 길이를 컴퍼스로 잰 후, 선분 BF의 길이와 같아지는 점 F를 잡으면 점 F가 타원의 한 초점이

된다. 그리고 선분 OF와 길이가 같은 점 F'을 반대편에 잡으면 그 점이 또 다른 초점이 된다.

82

기하와 공간

연필 속 이차곡선

단면이 정육각형인 연필이 있을 때, 이 연필을 연필깎이로 깎으면 아래 그림과 같은 모양이 만들어진

다.

(가)

(나)

이 때 연필심이 있는 부분에는 연필심과 나무부분이 연결된 부분에서 곡선이 생기며, 아래쪽 연필이

연필깎기에 의해 잘린 부분에도 곡선이 생긴다. 위쪽에 생긴 곡선을 (가), 아래쪽에 생긴 곡선을 (나)

라 하면 이 두 곡선은 각각 어떤 도형의 일부분인지 서술하여라.

연필깎이가 대상을 원뿔모양으로 깎는다고 가정하면 (가)는 원뿔의 바닥이므로 원이라고 할 수 있다. 왜

냐하면 연필 안에 있는 연필심은 보통 원기둥모양으로 있기 때문에 원뿔모양으로 깎인 단면은 원이 된다.

물론 연필 안에 있는 연필심이 원기둥 모양이 아니라 다른 도형을 단면으로 가진 기둥이라면, 연필심의 단

면이 가지는 그 도형이 (가)의 곡선이 된다. 하지만 그런 경우는 일반적이지 않으므로 제외한다.

(나)의 곡선은 주어진 육각기둥이 원뿔에 의해 잘려서 생긴 곡선이다. 연필깎기가 주어진 육각기둥을 원

뿔모양으로 자른다고 생각하면 결국 (나)의 곡선은 육각기둥의 일부분과 원뿔의 교선이라고 할 수 있다.

연필깎기에 의해 잘린 원뿔의 단면은 육각기둥의 단면과 평행하므로 (나) 곡선은 원뿔을 수직으로 잘랐을

때 생기는 단면이라고 할 수 있다. 그런데 원뿔을 원뿔의 밑면에 수직인 평면으로 자른 단면은 쌍곡선이므

로 곡선 (나)는 쌍곡선이다.


기하와 공간

황금사각형, 은직사각형

사각형 중에 으뜸은 무엇일까? 정사각형이라고 생각하는 사람들이 많을지도 모르겠다. 물론 으뜸 사각형은

없다. 하지만 명칭으로만 추정해 본다면 "황금 사각형"이 최고라고 볼 수 있을 것이다. 황금사각형은 다음

과 같이 만들 수 있다.

x

1

x-1

1

가로와 세로의 비율이 x : 1인 직사각형을 한 변의 길이가 1인 정사각형으로 자르고 나면 가로와 세로의

비가 1 : (x-1)인 직사각형이 남게 된다. 이 때 처음 직사각형과 나중에 남는 직사각형의 비율이 일정하

게 유지될 때, 이 직사각형들을 황금사각형이라고 한다. x를 구해보면 다음과 같다.

x는 양이므로

≒ 이 된다.

즉 황금사각형은 두 변의 비가 약 이 되는 직사각형을 말한다. 여러분도 알다시피 이 비율은 바

로 황금비이다. 서양의 경우 그리스 시대 때부터 황금비에 대한 인식이 있어왔으며, 시각적으로 안정적인

비율로 여겨져 왔다.

황금사각형이 있으므로, 은직사각형의 존재도 예상해 볼 수 있다. 물론 존재한다. 우리가 흔하게 사용하는

A4와 같은 종이가 대표적인 바로 은직사각형이다. 은직사각형의 기원은 그리 오래되지는 않았다. 황금사

각형이 미(美)적인 면과 관련이 있다면, 은직사각형은 실용적인 면과 관련이 깊다. 이 실용성은 종이의 제작 과정에서 빛을 발하는데, 종이는 애초에 필요한 크기로 제작되는 것이 아니라,

규격화된 큰 종이로부터, 잘라서 제작하는 것이다. 근데 그 규격들이 서로 제각각이라면 종이를 자르는 과

정에서 쓸모없이 버려지는 부분들이 많이 발생하게 된다. 그러다 보니 자연스럽게 나오게 된 비율이 바로

은직사각형인 것이다.

1

x

은직사각형은 x : 1의 비율을 가진 직사각형을 절반으로 잘라도 원래의 비율이 유지되어, 종이의 규격을

유지시킬 수 있는 직사각형이다. 황금사각형과 마찬가지 방법으로 계산해보면 ≒ 이 된다. 비

록 실용성을 고려해서 만들어진 비율이긴 하지만, 종이의 낭비를 막을 수 있다는 면에서 나름대로 아름다

운 도형임에는 분명하다.



기본적인 측량

아래 그림은 네 도시 와 그 사이에 있는 산의 위치를 보여주고 있다. 정부에서는 도시

와 , 와 , 와 사이의 기존 직선도로 이외에, 도시 와 사이의 직선도로를 새로 만들기로

하였다.

기존 도로들의 길이와 이들 도로들이 이루는 각을 이용하여 직선도로 의 길이를 계산할 수 있는

방법을 단계별로 제시하시오. (단, 모든 도시는 같은 높이에 있고 중간에 있는 산을 관통하는 지점들

사이의 거리와 각은 직접 측량이 불가능하다고 한다.)

[2006학년도 이화여대 예시]

두 도시 와 사이의 거리를 , 와 사이의 거리를 , 와 사이의 거리를 라 하고,

∠ , ∠ 라 하자.

∆ 에서 두 변과 끼인 각을 알고 있으므로 코사인 제2법칙에 의해 의 길이를 다음과 같이 구할 수 있다.

= cos ------①

라 하면 사인법칙에 의해 ∠의 값을 구할 수 있다.

∆에서 sinsin ∠

∠ 라 하면 sin sin

------②∆에서 이고, , ∠ 이므로 의 값을 코사인 제2법칙을 이용하여 구할 수 있다.

cos ------③

①, ②에서 구한 의 값과 값을 ③식에 대입하면 의 값을 구할 수 있다. cos cos ⋅cos (단, sin cos

sin)

98


프랙탈 도형

구름이나 번개, 유리파편, 겨울철 유리창에 서리는 성애, 비바람에 시달려 꼬부라진 소나무 등 우리를 둘러

싸고 있는 자연계에는 복잡하고 불규칙한 모양들로 가득하다. 이러한 다양한 모양에서 어떤 공통점을 찾

기는 쉽지 않다. 그러나 수학자 만델브로(Mandelbrot)는 '프랙탈' 개념을 사용하여 이러한 다양한 모양의

자연현상을 통일관점에서 설명했다.

프랙탈 도형을 만들 때에도 최초의 직선이나

도형이 필요하다. 이것을 창시자(initiator)라고

부른다. 여기에 프랙탈 도형을 만드는 규칙이

주어졌을 때 생긴 도형을 생성자(generator)

라고 부른다. 이 생성자를 어떻게 반복하느냐

에 따라서 조금씩 다른 프랙탈 도형이 얻어진

다.

먼저 코흐라인의 생성자는 선분이다. 이 선분

을 3등분해서 가운데의 선분을 위로 구부려 올려 만든다. 이렇게 해서 생성자는 길이가 원래 선분의 1/3

인 선분 네 개로 이루어진다. 이 생성자를 축소해 가면서 새로 생긴 네 개의 선분과 바꾸어 간다. 이 과

정을 무한히 반복하면 코흐곡선을 얻을 수 있다.

프랙탈은 본래 '무한' 개념을 전제로 하고 있다. 프랙탈 도형은 생성자를 무한히 반복하여 얻어지기 때문

이다. 이렇게 해서 우리는 무한을 눈으로 똑똑히 볼 수 있게 되었다. 프랙탈은 무한을 기하학적으로 나

타내어 다루는 새로은 무한 수학의 탄생을 알린다.

프랙탈 도형은 약간의 조작의 변화로 매우 다양한 모습이 생

성된다. 앞에서 코흐곡선을 만들 때 선분을 3등분하여 가운

데 부븐을 꺽어서 위로 솟아오르게 하였다. 이 작업을 각

선분마다 계속 무한의 반복하는 것만으로 프랙탈 도형의 이

미지를 얻었다. 그런데 가운데 부분을 꺽어서 위로만 솟아

오르게 하지 않고 위와 아래로 번갈아 가며 해보면 아주 판

이한 모습이나타난다. 이것은 코흐곡선과는 아주 다른 이미

지이다. 마치 어느 해안선의 모습처럼 말이다.

이러한 곡선을 램덤(random) 코흐곡선이라고 부른다. 랜덤 코흐곡선과 보통의 코흐곡선의 차원과 똑같

다. 복잡하고 정교한 프랙탈 도형의 특징은 아주 작은 기하학적 변화의 반복에 의하여 생선되는 것이다.

변수의 약간의 오차가 반복되는 알고리즘이 누적되면 전혀 다른 모습의 프랙탈 도형이 만들어진다.

유럽 원산의 관상용 식물에서 이름을 딴 꽃양배추라는 프랙탈 도형을 만들어 보자. 꽃양배추의 창시자는

수직선분이다. 그리고 생성자는 창시자의 꼭대기에서 그 절반 길이의 두 개의 가지(선분)가 좌우 30도

씩 벌어진 Y 자형을 이룬다.

102

규칙성의 세계

꽃양배추를 만드는 방법을 약간 고쳐서 가지가 나오는 자리를 바꾸면 나무

를 만들 수 있다. 아마 식물의 진화도 이 프랙탈 도형의 변형처럼 DNA 암

호코드를 약간 바꿈으로서 이루어지는 것인지 모른다. 그건 어쨌든 나무의

생성자는 가지가 3개로 늘어나고, 위치가 어긋나는 것뿐이다. 여러 가지 나

무의 모습은 가지가 벌어지는 각도와 가지의 위치, 그리고 가지의 길이에 의

해 결정된다는 것을 알 수 있다.

프랙탈 차원

프랙탈 도형의 특징은 프랙탈 차원을 갖는다는 것이다.

도형의 양에는 길이, 면적, 부피 등이 있다. 이러한 여러 가지 양의 크기를 '측도' 라고 한다. 1차원 도형

의 측도는 '길이' 이며, 2차원 도형의 측도는 '넓이' 이다. 이처럼 도형은 그 차원에 따라 측도가 달라진

다. 차원이 다른 도형을 확대할 때 그 크기, 즉 측도가 달라진다. 예를 들어 일정한 길이의 1차원 도형

인 선분을 3배로 확대하면 그 길이는 3배가 된다. 그러나 2차둰 도형인 정사각형을 3배로 확대하년 넓이는 9배가 되고, 3차원 정육면체의 경우에는 부피가 27배로 늘어난다. 따라서 차원이란 다음과 같이 말할

수 있다.

그러면 코흐라인을 3배 확대하여 보자. 이 때 코흐라인의 측도는 3배가 되었을까? 아니다. 왜냐하면 코흐

곡선의 길이는 무한대이기 때문이다. 따라서 3배로 확대해도 여전히 길이는 무한대이기 때문에 무한대를

3배하여도 여전히 무한대인 것이다. 따라서 코흐라인의 경우에는 길이는 의미가 없다. 그래서 코흐곡선은

확대하기 전의 코흐곡선의 일부가 확대된 코흐곡선 속에 몇 개나 들어 있는지를 보고 그것으로 측도를 삼

을 수 있다. 왼쪽 그림을 보면 3배로 확대된 코흐곡선에는 원래의 코흐곡선이 4개가 들어 있음을 알 수

있다. 따라서 차원 =(측도)/(확대율) =4/3 = 1.2618

코흐곡선은 1차원도형도 아니고 2차원도형도 아닌 1.2618차원을 가진다.

칸토를 먼지를 3배로 확대하면 원래의 칸토르 먼지가 두 개 생간다. 따라서 프랙탈 차원은

log2/log3=0.6309이다. 이러한 비정수차원을 만델브로는 프렉탈 차원이라고 이름지었다.

자연은 멀티프랙탈 구조

일반적인 프랙탈 도형들은 전체를 보아도 그 일부분을 보아도 프랙탈 차원은 똑같다. 코흐곡선 전체의 차

원은 약 1.26 이고 그 일부분의 차원도 역시 약 1.26 이다. 이처럼 보통의 프랙탈 도형은 대역적인 차원

과 국소적인 차원이 일치한다. 그것은 생성자가 하나였으므로 당연한 일이다. 그러나 만델브로 집합은 대

역적인 차원과 국소적인 차원이 다르다. 국소적으로 1.5차원인 것들을 모아서 만들 전체의 차원은 1.3 이

되는 것이다. 이러한 프랙탈을 멀티프랙탈이라고 한다. 자연의 형태는 대부분 이러한 멀티 프랙탈 구조를

가지고 있다.



1.번개의 전파는 습도, 기압, 온도, 이온화의 경향 등 여러 조건이 복잡하게 얽혀서 그 경로가 결정되기 때

문에 일직선이 아니고 구불구불 진행하며 가지치기를 한다. 그 모습은 불규칙하지만 전체와 가지의 비슷한

구조를 하고 있다.

2. 강은 프랙탈적이다. 큰 강줄기나 그 지류는 서로 비슷한 분기상태를 하고 있다. 한강의 일부 지류를 큰

강줄기와 비교하면 금방 닮음의 관계를 알 수 있다.

3. 구름의 모양은 다양하지만 공통적으로 통계적인 프랙탈 구조를 갖는다. 뭉게구름도 마찬가지로 프랙탈

의 입장에서 볼 수 있으며 실제로 그 차원은 대략 1.35 정도가 된다.

4. 뇌에는 커달란 주름을 자세히 들여다보면 다시 더 작은 주름이 계속되어 간다. 뇌가 프랙탈 구조를 갖

는 이유는 좁은 공간 안에 되도록 많은 뇌세포를 배치하기 위해서이다. 뇌의 구조는 2.72~2.79의 차원을

갖는다.

5. 주가의 그래프를 하루 단위 또는 1개월 단위로 그려도 그래프는 같은 정도의 복잡한 모양으로 변화한

다. 이것은 시간을 확대 또는 축소해 보아도 변화의 상태가 같다는 것인데 이것은 주가의 변동이 시간에

관해서 프랙탈적임을 의미한다. 하루 동안의 주가 변동이 1개월 후의 주가 변동과 통계적으로 닮은꼴이라

는 것은 내일의 주가를 예상하는 일이 1개월 후의 주가를 예상하는 것만큼이나 어려운 일임을 뜻한다.

출처 : 카오스와 프렉탈 (야마구치 마사야 저)

104


피보나치 수열의 성질(2)

피보나치 수열의 점화식 은 다음 그림으로 설명될 수 있다. 즉, 각각

의 단위 정사각형의 한 변의 길이를 1이라고 하고, 각각의 정사각형을 크기 순서로 나열했을 때,

은 n 번째 정사각형의 한 변의 길이가 된다.

그러면 그림에서 보는 것처럼 ⋯ 임을 쉽게 알 수 있다.

그러면,

⋯

이 의미하는 것을 이 그림을 통해 설명하여라.

[2004학년도 경북대]

전체 사각형의 넓이는 두 가지 측면에서 접근할 수 있다.

-첫번째 접근 : 작은 정사각형들의 합으로 생각할 수 있다.

-두번째 접근 : 전체 사각형의 가로, 세로의 길이를 구해서 직접 구할 수 있다.

첫 번째 접근법으로 면적을 구해보면, n번째 사각형의 가로, 세로는 모두 이므로 각각의 면적은 이

된다.

그렇게 되면 모든 사각형의 면적을 다음과 같이 정리할 수 있다.

전체 사각형의 면적 =

⋯

------(A)

두 번째 접근법으로 면적을 구해보면, 그림에서 확인할 수 있듯이 가로의 길이는 이 되고, 세로

의 길이는 이 된다. 정리하면,

전체 사각형의 면적 = × ⋅ ----(B)

(A)와 (B)는 접근만 다를 뿐 같은 전체 사각형의 면적을 구한 것이므로, 실제로 같은 값이어야 한다.

⋯

= ⋅

양변에서 을 소거하면 다음과 같은 결론이 나온다.

⋯

= ⋅

여기서 n에 n+1을 대입해도 성립하므로, 최종적으로 다음과 같은 결론을 낼 수 있다.

⋯

=⋅ ≧

즉, 피보나치 수열의 제곱합은 마지막 항과 그 다음 항의 곱으로 표현해 낼 수 있다는 일반적인 규칙을 정

리해 낼 수 있다.

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규칙성의 세계

피보나치 수열의 성질(3)

한 사람이 계단을 매 걸음마다 한 계단 또는 두 계단씩 올라간다고 하자. 개의 계단을 올라가는 모

든 가능한 방법의 수를 이라 할 때,

(1) 서로 다른 에 관한 들 사이의 관계를 설명하시오.

(2) lim→∞

이 존재한다. 그 값을 계산하시오.

[2006학년도 고려대 예시]

접근법

- 암기형태의 답안 작성을 하기 쉬운 문제이다. 반드시 논리적 과정을 거쳐서 서술해야 된다.

- 피보나치 수열과 황금비의 관계를 점검한다.

예시답안

⑴ n번째 계단과 n+1번째 계단, n+2번째 계단을 가�

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[2009학년도 수시 대비] 자연계논술 가볍게 읽기file1.megastudy.net/FileServer/lecture/preview/20081119_r.pdf · 악수 문제 어느 부부가 아홉