Click here to load reader
Upload
profzwipp
View
335
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Caro Professor,
Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010.
As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes.
Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.
Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.
Bom trabalho!
Equipe São Paulo faz escola.
2
GABARITO
Caderno do Aluno de Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Páginas 3 - 4
1.
a) Isso se deve ao fato de que as informações não são excludentes, isto é, elas
possuem elementos em comum. Por exemplo, os 20 alunos que acertaram as duas
questões estão incluídos no resultado dos que acertaram a primeira questão (35).
Assim, a soma obtida contém dupla contagem de alunos, o que gera a diferença
observada.
b) 35 – 20 = 15 alunos
c) 25 – 20 = 5 alunos
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
CONJUNTOS E NÚMEROS
Acertaram a 2ª questão (25)
Acertaram apenas a 2ª questão (5)
Acertaram a 1ª e a 2ª questão (20)
Acertaram a 1ª questão (35)
Acertaram apenas a 1ª questão (15)
Acertaram a 1ª e a 2ª questão (20)
3
d) % de alunos que acertaram apenas a primeira questão: 375,040
15 ou 37,5%.
% de alunos que acertaram apenas a segunda questão: 125,040
5 ou 12,5%.
Assim, a porcentagem de alunos que acertaram apenas uma questão é 50%.
Página 5
2.
a)
b)
Ensino Fundamental
• Renato
• Lucas
• Patrícia
• Reinaldo
• Rafael • Antônio
Paulistanos
• Luiz
• Renata
• André
• Júlio
4
c)
Página 7
3.
a) III
b) III
c) II
d) III
e) I
f) II
Página 8
4.
a) d)
Corinthians
• Helena
• Marcus
• João
• Alberto
São Paulo
• Alice
• Tomás
• André
• Diego
• Laís
5
b) e)
c) f)
g)
Páginas 9 - 13
5.
a) Apenas o diagrama III pode representar os argumentos dados. O diagrama I
contradiz a premissa de que todos os curitibanos são paranaenses. E o diagrama II
representa o contrário da premissa II, pois indica que todos os paranaenses são
curitibanos.
b) Apenas o diagrama II corresponde à argumentação dada. Tanto o diagrama I
como o III contradizem a primeira premissa.
c) O diagrama que representa a argumentação dada é o II. O diagrama I está errado,
pois não se afirma que todas as pirâmides são poliedros regulares. O diagrama III
também está em desacordo com as premissas, pois nem todos os poliedros regulares
são pirâmides.
6
Problemas, conjuntos e diagramas
Página 11
6.
a)
b)
c)
7.
a)
b) O problema informa que 100 famílias assistem aos programas A e B. Desse
total, sabemos que 20 famílias assistem aos três programas. Portanto, o número de
famílias que só assiste aos programas A e B é a diferença entre 100 e 20, ou seja, 80.
O mesmo vale para as outras interseções.
c) No caso do programa A, esse número será a diferença entre o total de pessoas
que assiste ao programa A (370) e a soma das interseções
7
A B, A C e A B C. A – (B + C) = 370 – (80 + 10 + 20) = 260. O mesmo
deve ser feito para os programas B e C.
d) Com base nos diagramas preenchidos, deve-se verificar se a soma das partes
corresponde ao total de entrevistados. Soma das partes: 260 + 160 + 290 + 80 + 40 +
10 + 20 = 860. Neste problema, a soma das partes (860) é menor que o total de
entrevistados (1 200). A diferença (340) corresponde ao número de entrevistados que
não assiste a nenhum dos três programas. Isso pode ser representado como o
conjunto complementar em relação ao total de entrevistados.
8.
a) 340 pessoas assistem ao programa A e não assistem ao programa
C: 260 + 80 = 340.
b) 40 pessoas.
8
c) O programa com maior fidelidade é o C, com 290 espectadores, contra 260 do A
e 160 do B.
Páginas 13 - 14
9.
a) Apenas 5 alunos erraram as três questões.
b) 12 + 8 + 6 + 10 + 10 + 3 = 49 . 49 alunos acertaram a 1ª ou a 2ª questão.
c) 12 + 8 + 10 + 5 = 35 . 35 alunos erraram a 3ª questão.
U = 60
10
2ª
3ª
1ª
3
8
6
12 10
6
5
9
Desafio!
Página 14
Uma estratégia possível seria representar a interseção dos três conjuntos por x e
completar o diagrama com as informações dadas.
a) Sabendo que todos os subconjuntos totalizam 100%, basta resolver a seguinte
equação:
15 + x + 2 + x + 10 + x + 18 – x + 15 – x + 25 – x + x + 5 = 100
Obtém-se x = 10%. Portanto, 10% dos entrevistados consomem as três marcas.
10
b) Substituindo os valores de x no diagrama, obtemos:
Os entrevistados que consomem apenas uma das três marcas são
25% + 12% + 20% = 57%.
Páginas 15 - 16
10. Diagrama c.
11.
12.
a) Verdadeira. Os naturais são um subconjunto dos inteiros, pois todo número
natural também é inteiro.
11
b) Falsa. A reunião dos naturais com os inteiros é o próprio conjunto dos inteiros.
N Z = Z
c) Verdadeira. Os racionais são o complementar dos irracionais em relação aos
reais.
d) Falsa. A interseção entre inteiros e racionais é o próprio conjunto dos inteiros.
Z Q = Z
e) Falsa. Não há interseção entre racionais e irracionais, pois são conjuntos
mutuamente exclusivos. Q Ir =
12
Páginas 17 - 19
1.
a) 5
4 b) 0,8
2.
a) 2
5
10
255,2 x = 2,4999... (1)
10x = 24,999... (2)
100x = 249,999... (3)
Fazendo (3) – (2) : x= 2
5
90
225
b) x= 0,999...(1)
10x = 9,999 (2)
Fazendo (2) – (1): x 19
9
c) 0,3225
8
100
32 x = 0,31999...(1)
10x = 3,1999...(2)
100x = 31,999... (3)
1 000x = 319,999...(4)
10 000x = 31999,999...(5)
Fazendo (5) – (4) : x= 25
8
0009
8802
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
NÚMEROS REAIS E AS FRAÇÕES CONTÍNUAS
13
3. A atividade 1 sugere um processo geral para transformar decimais finitos em dízimas
periódicas. Sempre que o período de um número é formado por infinitos “noves”,
podemos encontrar uma representação decimal finita para esse número. Na outra
direção, sempre que temos um decimal finito, é possível escrevê-lo como uma
dízima periódica com período formado por infinitos “noves”. Exemplos de decimais
finitos transformados em dízimas:
35,43999... = 35,44 –726,999... = –727 0,0071= 0,0070999...
4.
a) ...000100
9
00010
9
0001
4
100
7
10
3...374999,0375,0
8
3
b) ...0001
3
100
3
10
32...333,2
3
7
Página 20
5.
165
396
5
12
165
395
33
79
:,165)33,5(5
12
10
244,2,
33
79
99
237:)1()3(
)3(...3939,239100
)2(...9393,2310
)1(....3939,2
e
entãommc
ladooutroPor
xFazendo
x
x
x
14
Página 22
6.
a) Se o aluno utilizar uma calculadora de oito dígitos para fazer a conta 16 ÷ 7, vai
encontrar como resultado 2,2857142. Como não identificamos facilmente nessa
divisão um período que se repita, é possível que o aluno responda que o resultado é
um decimal finito. Nesse caso, é desejável que se retome a discussão feita na
Situação de Aprendizagem “As dízimas periódicas são previsíveis...”, do Caderno de
7ª série do volume 1. Naquele momento, foi discutido que, ao realizarmos a divisão
entre numerador e denominador de uma fração irredutível, o resultado só será dízima
periódica se ao menos um dos fatores do denominador da fração for diferente de 2 e
diferente de 5. Como o denominador da fração 7
16 apresenta fator primo 7, sabemos
que a representação decimal decorrente da conta de divisão será uma dízima
periódica. Uma vez que os oito dígitos da calculadora não foram suficientes para a
identificação do período, recomendamos que o professor solicite aos alunos que
façam a conta armada até que identifiquem com clareza o período
(16 ÷ 7 = 2,285714285714... = 285714,2 ).
b) Faremos agora o desenvolvimento de 7
16 com fração contínua:
(1) 7
16 está entre 2 e 3, portanto,
x
12
7
16 , com x > 1.
(2) De x
12
7
16 decorre que x =
2
7, ou seja,
(3) 2
7 está entre 3 e 4, portanto,
y
13
2
7 , com y > 1.
(4) De y
13
2
7 decorre que y = 2, ou seja, .
2
13
2
7
(5) Como y = , o processo está encerrado e a fração contínua procurada é:
.2
71
27
16
21
3
12
7
16
15
Página 23
7. (1) 13
30 está entre 2 e 3, portanto,
x
12
13
30 , com x > 1.
(2) De x
12
13
30 decorre que x =
4
13, ou seja,
(5) 4
13 está entre 3 e 4, portanto,
y
13
4
13 , com y > 1.
(6) De y
13
4
13 decorre que y = 4, ou seja,
4
13
4
13 .
(8) Como y = , o processo está encerrado e a fração contínua procurada é:
Página 27
8. 24 está entre 4 e 5, portanto, 24 = 4x
1 , com x > 1.
(1) De 24 = 4x
1 decorre que:
24x
14
8
244
424
424.
424
1
424
1
x
x
x
4131
213
30
41
3
12
13
30
16
Temos, portanto,
8
244
1424
(2) 8
244 = é um número entre 1 e 2, portanto,
y
11
8
244
, y > 1.
(3) De y
11
8
244
decorre que y = 244 e, portanto, temos:
244
11
8
244
Substituindo o resultado do passo 3 no resultado do passo 1 temos:
244
11
1424
(4) Como y = 244 é um número entre 8 e 9, temos w
18244 , com w >
1.
(5) De w
18244 decorre que
8
244w . Como w repetiu o valor de x, a
partir de agora o processo começa a se repetir novamente. Segue, portanto, que a
fração contínua que representa 24 será:
18
11
18
11
18
11
1424
17
Páginas 30 - 33
1. O estabelecimento da unidade de medida é uma resposta pessoal (a figura na
atividade é apenas ilustrativa de uma possível resposta).
2. Atividade resolvida – o professor deve apenas orientar como se constrói e quais são
as propriedades da reta mediatriz.
3.
(1) Traçamos 2
1 (conforme já foi descrito).
(2) Traçamos a mediatriz do segmento que liga os números 0 e 2
1.
(3) O ponto de cruzamento entre a mediatriz e a reta real é o número 4
1.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
ARITMÉTICA, ÁLGEBRA E GEOMETRIA COM A RETA REAL
18
4. Primeiro marcaríamos o 0 e o 1. Em seguida, encontraríamos 4
1,
2
1e
8
1 pela
construção de mediatrizes. De posse de 8
1, transportaríamos o segmento de extremos
em 0 e 8
1 sete vezes à esquerda da marcação do zero da reta.
5. As respostas dessa atividade são apresentadas no Caderno do Aluno para que ele
mesmo possa ir conferindo se sua construção está caminhando corretamente.
Página 34
6.
Páginas 35 - 37
7. As respostas dessa atividade são apresentadas no Caderno do Aluno para que ele
mesmo possa ir conferindo se sua construção está caminhando corretamente.
8.
a) 2
b) 4 2
c) 8 2
d) n 2 , com n potência inteira de 2 (n ≠ 1)
19
Página 40
9.
10.
20
Páginas 42 - 43
1.
a) 250 = 25 . 10 = 2,5 . 100 = 0,25 . 1 000 = 2 500 . 0,1
b) 0,004 = 4 . 0, 001 = 0,4 . 0,01 = 0,04 . 0,1 = 0,0004 . 10
c) 4,73 = 47,3 . 0,1 = 0, 473 . 10 = 473 . 0,01 = 0,0473 . 100
d) 0,125 = 125 . 310 = 12,5 . 210 = 1,25 . 110 = 0,0125 . 110
e) 25 300 = 2 530 . 110 = 253 . 210 = 25,3 . 310 = 253 000 . 110
2.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
POTÊNCIAS, NOTAÇÃO CIENTÍFICA E ORDEM DE GRANDEZA
21
Páginas 43 - 44
Páginas 44 - 45
3.
a) Sete bilhões e trezentos milhões ou 7,3 . 910
b) Dois quintilhões, novecentos e oitenta quatrilhões ou 2,98 . 1810
c) Vinte e cinco centésimos ou 2,5 . 110
d) Quatro décimos de milésimos ou 4 . 410
e) Cento e vinte e cinco décimos de milionésimos ou 1,25 . 510
4.
a) (1,3 . 109 habitantes)
b) (7,045 . 106 km2) e (4,75 . 106 km2)
c) (3 . 510 km/s)
d) ( 410 m)
22
Página 45
5.
a) 1,2 . 103 . 5 . 105 = 6 . 108
b) 1,5 . 10-4 . 2 . 10-3 = 3 . 10-7
c) 4,5 . 105 ÷ 9 . 10-3 = 0,5 . 108 = 5 . 107
d) (4 . 10-4)4 = 256 . 10-16 = 2,56 . 10-14
6.
a) 103 . (2,5 . 102 + 7) = 103 . (257) = 2,57 . 105
b) 2,5 . 107 – 0,5 . 107 = 2 . 107
c) 1 280 . 105 + 4 . 105 = 1 284 . 105 = 1,284 . 108
d) 75,4 . 106 – 3,2 . 106 = 72,2 . 106 = 7,22 . 107
Página 46
7.
23
8.
Podemos resolver esse problema aplicando o Teorema de Pitágoras.
SatTerraTerraSolSatSol DDD 222
9816
162
16162
16182
22829
222
10.39,110.9,1310.04,194
10.04,194
10.96,110.196
10.96,110.96,1
)10.4,1()10.4,1(
SatTerra
SatTerra
SatTerra
SatTerra
SatTerra
SatTerraTerraSolSatSol
D
D
D
D
D
DDD
A distância entre a Terra e Saturno é de aproximadamente 1 390 000 000 km.
Páginas 47 - 48
9.
a) É da ordem de 1010 .
b) É da ordem de 1025 kg.
c) É da ordem de 10–27 g.
d) É da ordem de 104 m.
e) É da ordem de 1010 anos.
24
AJUSTES
Caderno do Professor de Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada
página.
13
Matemática – 8a série, 1o bimestre
esses dois conjuntos. Os elementos da inter-seção possuem as propriedades de A e de B
simultaneamente. Escrevemos A ∩ B.
Exemplo: os diagramas mostram que alguns
números ímpares são primos, como, por exem-
plo, 3, 5, 7, etc. O 9 é ímpar, mas não é primo.
Ímpares Primos
3. Reunião ou união: a ou b. O conjunto da reunião entre A e B contém todos os ele-mentos de A e de B. Escrevemos A ∪ B.
Exemplo: a reunião dos múltiplos de dois e
dos múltiplos de três. A interseção são os múl-
tiplos de seis.
M(2) M(3)
Pares Primos
Pares
Animais
Ímpares
Minerais
M(5)
M(10)
4. Diferença: algum a não é b. Os elemen-
tos da diferença entre os conjuntos A e
B são aqueles que pertencem a A e não
pertencem a B. Escrevemos A – B.
Exemplo: a figura representa os números pares
que não são primos. Trata-se da diferença entre os
conjuntos. Pares – Primos = {0, 4, 6, 8, 10, ...}.
5. Complementar: caso particular da dife-
rença entre dois conjuntos, quando um
deles é subconjunto do outro. Contém
os elementos de A que não pertencem
ao subconjunto B.
C B AAB = – A – B
Exemplo: o complementar dos múltiplos
de 10 em relação aos múltiplos de 5 são 5, 15,
25, 35, 45, ...
6. Conjuntos mutuamente exclusivos ou dijuntos: nenhum a é b. Se nenhum ele-mento de um conjunto A pertence a outro conjunto B, então esses conjuntos são mu-tuamente exclusivos. A interseção entre os dois conjuntos é vazia. A ∩ B = ∅.
Exemplo: os números pares e os números
ímpares são mutuamente exclusivos, pois não
possuem elemento em comum.
Para representarmos as relações entre dois
ou mais conjuntos, recorremos a mais diagra-
mas. Por exemplo:
Mamíferos
48
Podemos resolver esse problema aplicando o
Teorema de Pitágoras.
D D DSol Sat Sol Terra Terra Sat- - -2 2 2= +
(1,4 . 109)2 = (1,4 . 108)2 + DTerra Sat–2
DTerra Sat-2
= 1,96 . 1018 – 1,96 . 1016
DTerra Sat-2
= 196 . 1016 – 1,96 . 1016
DTerra Sat-2
= 194,04 . 1016
DTerra Sat- , ,6 8194 04 10 13 9 10= . .� =
= 1,39 . 109
A distância entre a Terra e Saturno é de
aproximadamente 1 390 000 000 km.
Ordem de grandeza
Em muitas situações, quando trabalha-
mos com medidas muito grandes ou muito
pequenas, não há necessidade de conhecer
com precisão todos os algarismos que com-
põem o número. Nesses casos, basta conhe-
cer a potência de 10 que mais se aproxima
de um determinado valor. Essa potência é
denominada ordem de grandeza do número
que expressa a medida.
Exemplos:
a) o raio orbital médio do planeta Júpiter mede aproximadamente 778 547 200 km. Esse número pode ser escrito como 7,785472 . 108 km. Como 7 está mais próximo de 10 do que de 1, podemos aproximá-lo para 10, resultando no produto 10 . 108. Portanto, sua ordem de grandeza é de 109.
b) a ordem de grandeza do número 0,000031 é 10–5. Isso porque, escreven-do o número em notação científica, 3,1 . 10–5, notamos que o 3 está mais próximo do 1 do que do 10. Portanto, aproximamos o número para baixo, re-sultando em 1 . 10–5.
Conhecendo as ordens de grandezas de
diversas medidas, podemos facilmente dis-
tinguir qual é a menor ou a maior, bastando
comparar os expoentes das potências de 10.
Retomando a tabela da atividade 6, que infor-
ma as distâncias médias dos planetas ao Sol,
podemos constatar que a distância Terra-Sol é
da ordem de 108 km, enquanto a de Júpiter
é da ordem de 109 km, ou seja, é cerca de
10 vezes mais distante.
Atividade 8
Dê a ordem de grandeza das seguintes
medidas:
a) população mundial: aproximadamente 6,6 bilhões em 2007.
1010
b) massa da Terra: 5,9742 . 1024 kg
1025 kg
Atividade 7
Com base na tabela anterior, imagine o se-
guinte problema: Em determinado instante,
Sol, Terra e Saturno formam um triângu-
lo retângulo com o ângulo reto na Terra.
Neste momento, qual é a distância entre
Saturno e a Terra?