1

Caro Professor,

Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010.

As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes.

Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.

Na primeira parte deste documento, você encontra as orientações das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.

Bom trabalho!

Equipe São Paulo faz escola.

2

Caderno do Aluno de Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 2

Páginas 3 - 5

1. Segue possível solução:

Nesse caso, note que na primeira linha sempre teremos o número de bolinhas igual

ao número que representa a figura, e na segunda linha o total de bolinhas será sempre

um a menos que o número da figura. Usando a letra n para representar o número da

figura, o total de bolinhas pode ser representado por n + (n – 1).

2. Segue possível solução:

Agora o número de colunas é igual ao número da figura e temos duas bolinhas em

cada coluna, exceto em uma delas (última coluna), que terá apenas uma bolinha. Se

preenchermos a coluna que tem apenas uma bolinha com mais uma bolinha,

podemos calcular o total de bolinhas multiplicando o número de colunas pelo de

linhas e subtraindo a bolinha adicional ao final da conta. Usando letras, o total de

bolinhas da figura n será 2n – 1.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

ARITMÉTICA COM ÁLGEBRA: AS LETRAS COMO NÚMEROS

3

3. Segue solução que leva em consideração as soluções apresentadas nas atividades 1

e 2.

Uma vez que as duas expressões obtidas são equivalentes, n + (n – 1) tem de ser

idêntico a 2n – 1, o que significa dizer que ambas as expressões devem ser válidas

para qualquer n. Decorre, portanto, que n + n tem de ser igual a 2n.

4. Segue possível solução:

Fechando retângulos de n linhas e três colunas, devemos acrescentar ainda n – 1

bolinhas.

Nesse caso, a fórmula seria 3n + (n – 1).

Completando a figura com uma bolinha, fechamos retângulos de n linhas por quatro

colunas.

A fórmula agora será 4n – 1.

5. Comparando 4n – 1 com 3n + (n – 1), segue que 3n + n tem de ser igual a 4n.

6.

Resolução 1

4

Resolução 2

Na resolução 1, organizamos a figura em n linhas por n + 2 colunas,

(1: 1 linha – 3 colunas; 2: 2 linhas – 4 colunas; 3: 3 linhas – 5 colunas, etc.).

Já na resolução 2, temos a organização em quadrados com n² bolinhas mais o dobro

de n

(1: 1 + 2; 2: 4 + 4; 3: 9 + 6; 4: 16 + 8, etc.). Com isso, chegamos à expressão

n(n + 2) na resolução 1 e à expressão geral n² + 2n na resolução 2.

7. Como n(n + 2) é equivalente a n² + 2n, segue que n . n = n² e que n . 2 = 2n.

Página 6

1.

Respostas possíveis:

4n

4(n+1) – 4

4 + 4 (n – 1)

(n + 1)2 – (n – 1)2

5

Desafio!

Página 7

1. Solução 1: é possível observar que a cada número n da figura corresponde um

quadrado de n + 1 linhas e n + 1 colunas. A fórmula será (n + 1)2.

Numericamente, é possível observar a validade dessa fórmula:

1: (1 + 1)2; 2: (2 + 1)2; 3: (3 + 1)2; 4: (4 + 1)2; ...; n: (n + 1)2.

Solução 2: nesse caso formamos um quadrado de n linhas por n colunas, dois

retângulos de n por 1 e devemos acrescentar ainda uma bolinha. Temos, portanto, a

fórmula: n2 + 2n +1.

Com isso, estabelecemos a equivalência entre (n + 1)2 e n2 + 2n + 1.

2. Para resolver o problema, vamos reagrupar as bolinhas de forma diferente:

Agora, completando os retângulos, teremos:

6

Observe que, para formar esse último quadro, necessitamos:

• Acrescentar a diagonal, indicada em vermelho, que possui uma bolinha a mais que o número da figura.

• Acrescentar uma quantidade igual à que queremos contar numa forma espelhada, com relação à diagonal, indicada na cor verde.

• Portanto, temos quadrados de n + 1 linhas por n + 1 colunas, formados pelos acréscimos das n + 1 bolinhas (diagonal) e da imagem espelhada de bolinhas que queremos contar.

Assim, o total de bolinhas da figura n será dado por 2

)1()1( 2 nn.

Páginas 8 - 10

1.

2. Uma possível solução é:

7

a)

b)

3. É possível obter as seguintes soluções:

8

Páginas 12 - 14

1. A área da figura (a) pode ser assim calculada:

Assim, essa situação nos permite escrever que x(a + 7 + y) = ax + 7x + yx.

Para a Figura (b), temos duas possibilidades:

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

PRODUTOS NOTÁVEIS: SIGNIFICADOS GEOMÉTRICOS

9

Figura b

2. Aqui devemos observar que, como o 3 é um fator comum em ambas as parcelas, uma

das dimensões do retângulo deve ser 3, e a outra, a soma de a com b. Portanto, a

figura será:

Uma expressão equivalente à dada no exercício é 3(a+b). Com isso, observamos que

3(a + b) = 3a + 3b, o que evidencia a propriedade distributiva da multiplicação em

relação à adição.

10

3. Nesse caso, o fator comum é o x; portanto, ele será a medida do lado comum na

construção do retângulo; a outra medida deve ser (y – 3). Essa situação pode ser

interpretada geometricamente como:

Pensando na área do retângulo de lados x e y, podemos observar que:

Portanto, x(y – 3) = xy – 3x, o que evidencia a propriedade distributiva da

multiplicação em relação à subtração.

4. Para resolver essa situação, propomos que você discuta com a turma que esse produto

pode ser interpretado como a área de um retângulo de medidas de lados (x + a) e

(x + b). Decompondo a figura pelas medidas x, a e b, encontramos: um quadrado de

lado x, um retângulo de lados x e a, um retângulo de lados x e b e um retângulo de

lados a e b.

Dessa forma, podemos escrever: (x + a).(x + b) = x2 + xa + xb + ab.

11

O aparecimento, nessa expressão, da soma xa + xb pode ser interpretado como

(a + b)x, pois, conforme o que foi discutido anteriormente, podemos realocar os

retângulos da seguinte maneira...

...obtendo a seguinte configuração:

Portanto, (x + a).(x + b) = x2 + (a + b)x + ab. Nessa expressão, identificamos que, no

desenvolvimento de (x + a).(x + b), a quantidade de x, isto é, o coeficiente de x, é a

soma dos números (a + b) e o termo independente é o produto dos mesmos termos

a.b.

5. Pensando nesse produto como a área de um retângulo, a medida de um lado será

(x – a), e a de outro, (x – b). Isso pode ser formado a partir de um quadrado de lado

x, como mostra a figura:

12

A área do quadrado inteiro corresponde a x2; para chegarmos ao valor de

(x – a).(x – b), devemos retirar os retângulos de áreas ax e bx e acrescentar uma vez a

área do retângulo de lado ab, que foi retirada duas vezes (uma na área ax e outra na

área bx). Geometricamente temos:

Chegamos, então, à expressão (x – a).(x – b) = x2 – xa – xb + ab. Vale observar que

essa expressão é equivalente a (x – a).(x – b) = x2 – (a + b)x + ab, o que, mais uma

vez, nos permite concluir que o coeficiente de x, embora negativo, refere-se à soma

(a + b) e o termo independente ao produto a . b.

13

6.

a) (x + 3).(x + 5) = x2 + (3 + 5)x + 3 . 5 = x2 + 8x + 15.

b) (x – 7).(x – 10) = x2 – (7 + 10)x + 7 . 10 = x2 – 17x + 70.

7.

Páginas 15 - 16

1.

a) (x + 1).(x + 1) = x2 + (1 + 1)x + 1 . 1 = x2 + 2x + 1

b) (x – 3).(x – 6) = x2 – (3 + 6)x + 3 . 6 = x2 – 9x + 18

2.

14

3.

4.

a)

b)

15

Desafio!

Páginas 16 - 17

1.

A área do quadrado interno de lado (a – b) vale (a – b)2. Ela equivale à área do

quadrado maior (a2), subtraída das áreas dos retângulos de lados a e b (a . b).

Contudo, é preciso adicionar a área do quadrado de lado b (b2), pois o mesmo foi

retirado duas vezes ao subtrairmos os retângulos do quadrado maior. Essa operação

pode ser visualizada geometricamente na figura a seguir:

2. O produto notável (x – 5)2 pode ser representado geometricamente da seguinte forma:

16

Páginas 17 - 20

1.

a)

b)

2.

9 – x2 = (3 + x).(3 – x)

17

3. 1a solução: agora o aluno pode pensar que temos a “diferença de dois quadrados”, um

com área 16x2 e outro com área 9y2. Portanto, deve concluir que o lado do quadrado

maior é 4x, e o do quadrado menor, 3y. Procedendo conforme o modelo, podemos

encontrar como solução:

Concluindo que 16x2 – 9y2 = (4x + 3y).(4x – 3y).

2a solução: outra forma que você pode encontrar ou sugerir aos alunos é a que se

segue. Toma-se um quadrado de lado 4x e em seu interior um quadrado de lado 3y.

Em seguida, observe que a diferença dos quadrados (16x2 – 9y2) significa a sobra do

retângulo com medidas 4x e (4x – 3y), 3y e (4x – 3y).

18

Portanto, podemos concluir que 16x2 – 9y2 = (4x + 3y).(4x – 3y).

4. A área do quadrado de lado c vale c2. Os triângulos de lado a, b e c possuem área

igual a 2

.ba. O quadrado menor, como vemos na figura, tem lados iguais a b – a;

portanto, sua área é (b – a)2. A área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos

triângulos e do quadrado menor.

Portanto: c2 = 4 . (2

.ba) + (b – a)2

c2 = 2ab + b2 – 2ab + a2

c2 = b2 + a2.

A solução desse problema é uma demonstração do Teorema de Pitágoras, que tem

como enunciado: em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à

19

soma dos quadrados dos catetos. Nesse momento, você não precisa enunciar esse

teorema, uma vez que ele é objeto de estudo da 7a série do Volume 4.

5. Seguindo a abordagem de uso de tabelas para o desenvolvimento de

...,, 321 bababa , pode-se concluir que:

876253443526788 ..8..28..56..70..56..28..8 bbababababababaaba

4322344 464 babbabaaba

20

Páginas 22 - 27

1.

a) 9 cm.

b) 57 cm.

c) 270 cm².

d) 154 cm².

e) x + 3.

f) m – 3.

g) Perímetro: (I) e (VI); área: (II), (III), (IV) e (V).

h) 70 cm².

i) Os polinômios (III) e (IV) são idênticos, e vale a pena chamar a atenção para o

fato de que eles obedecem à condição de serem iguais para qualquer valor de y que

se imaginar. Inclusive, pode-se pedir que os alunos calculem alguns valores

numéricos positivos, negativos, fracionários ou decimais para verificação.

j) Os polinômios (II) e (III) não são idênticos. Apesar de terem o mesmo valor

numérico para y = 0, eles têm valores diferentes para outros valores de y, ainda que

ambos os polinômios possam representar a área do mesmo retângulo VASO.

2.

a) A e C.

b) B e D.

c) 84 cm².

d) 169 cm².

e) Nesse caso, para verificar se eles são idênticos, os alunos poderão atribuir a x

apenas valores positivos por se tratar de medida de lado de retângulo. Todavia, você

deve pedir que não sejam atribuídos apenas valores naturais.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

ÁLGEBRA: FATORAÇÃO E EQUAÇÕES

21

3.

a) 20 e 23.

b) 304.

c)

d) P = 2x + 2x + 2x + 3 + 2x + 3 = 8x + 6

e) A área do retângulo pode ser obtida pela expressão (2x + 3) . 2x, que é idêntica a

4x2 + 6x. Você pode pedir aos alunos que verifiquem a identidade com base em

alguns valores atribuídos a x, a fim de atribuir significado ao conceito de valor

numérico de um polinômio.

Páginas 27 - 30

1.

a) 5.

b) (a + 3)2 = 64.

c) (I), (II), (IV) e (V).

d) –11.

e) (I), (II), (III) e (IV).

f) (I), (II) e (IV).

g) As equações (I), (II) e (IV) são equivalentes.

Páginas 30 - 33

1. Se o número é x, temos a seguinte expressão:

(5x + 15) ÷ (x + 3) = 5(x + 3) ÷ (x + 3) = 5.

Observação: Professor, comente que o número pensado não poderia ser – 3.

2. Se o número é x, temos a seguinte expressão:

22

(2x2 + 4x) ÷ 2x = 2x(x + 2) ÷ 2x = x + 2.

3. Se os números são x e y, temos a seguinte expressão:

(x2 – y2) ÷ (x + y) = [(x – y).(x + y)] ÷ (x + y) = x – y.

Como x e y são consecutivos, x – y = 1

4. O que se está calculando nesse exercício é o resultado de 42

63

x

x, que é igual a

2

3,

de acordo com a seguinte simplificação: 2

3

)2(2

)2(3

42

63

x

x

x

x. No entanto,

considere com os alunos que 2x – 4 deve ser diferente de 0 e, portanto, x não pode

ser 2.

5. Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a . b = 36 e a + b = 15. Embora

a solução desse exercício possa ser resolvida por cálculo mental, é interessante

explorar alguns aspectos dessa situação: como o produto é positivo, os dois números

têm o mesmo sinal, ou ambos são positivos ou ambos são negativos, e nenhum deles

será 0, pois senão o produto seria 0. Estudando os possíveis números positivos,

podemos decompor o 36 como: 36 . 1, 18 . 2, 12 . 3 e 9 . 4. Montando uma tabela

Observamos que os números serão 12 e 3.

23

Página 33

1. Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a . b = –27 e a + b = – 6. Agora,

como o produto é negativo, os números deverão ter sinais diferentes. Como a soma é

negativa, o número negativo terá valor absoluto maior que o positivo. Estudando os

possíveis números, podemos decompor o –27 como:

Observamos que os números serão 3 e – 9.

2. Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a . b = 0 e a + b = 8. Agora,

como o produto é 0, um dos números será 0 e, como a soma é 8, o outro número será

8. Portanto, os números são 0 e 8.

Páginas 33 - 35

1.

a) 4 ou – 4.

b) 8.

c) – 4.

d) 0 ou –1.

2.

a) 8.

b) 0 ou 5.

c) 2 ou 5.

24

d) – 5.

e) 4 ou –4.

f) 1 ou 3.

3.

a) (x + 0).(x + 16) = x(x + 16) = 0; soluções: 0 ou –16.

b) (x + 5).(x – 5) = 0; soluções: 5 ou –5.

c) (x + 3).(x – 3) = 0; soluções: 3 ou –3.

d) 02

1.

2

1

xx ; soluções:

2

1

2

1ou .

e) (x – 3).(x – 3) = (x – 3)2 = 0 solução: 3.

f) (x + 6).(x + 6) = (x + 6)2 = 0 solução: – 6.

g) (x – 3).(x – 1) = 0, portanto, x = 3 ou x = 1.

h) (x – 2).(x – 5) = 0, portanto, x = 2 ou x = 5.

25

Desafio!

Página 39

Chamando de Sn a soma 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + n, podemos

notar que as somas 1 + n, 2 + (n – 1), 3 + (n – 2), 4 + (n – 3), e assim por diante, dão

sempre 1 + n; poderíamos concluir que as n parcelas seriam equivalentes a 2

n parcelas

iguais a 1 + n, disso resultando que o valor de Sn seria igual a )1(.2

nn

, ou seja,

2

)1(.

nnSn .

Tal raciocínio seria perfeito se soubéssemos que n é um número par, mas isso nem

sempre ocorre.

Para chegar a uma conclusão sobre o valor de Sn que seja válida quer n seja par, quer

n seja ímpar, podemos raciocinar de outra maneira. Certamente Sn pode ser escrita das

duas formas indicadas a seguir:

Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + n

Sn = n + (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) + ... + 4 + 3 + 2 + 1.

Disso segue que, somando os primeiros membros e os segundos membros das duas

igualdades, temos: 2 Sn = (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + ... + (1 + n) + (1 + n) +

(1 + n) + (1 + n) = n . (1 + n).

Logo,

2

1.

nnS n , e isso independe do fato de n ser par ou ímpar.

Poderíamos imaginar uma forma triangular, como nos exemplos anteriores,

representando a soma Sn; reunindo duas formas triangulares e formando uma forma

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

ARITMÉTICA E GEOMETRIA: EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DE ALGUMAS IDEIAS FUNDAMENTAIS

26

retangular com n linhas, em que cada linha tem n + 1 bolinhas, chegando ao mesmo

resultado para Sn.

Páginas 40 - 44

1.

a) 2 . 5 = 10.

b) 2 . 100 = 200.

c) 2 . 7 – 1 = 13.

d) 2 . 30 – 1 = 59.

e) 2n.

f) 2n – 1.

2. 81

3. Desenvolver a fórmula até chegar à resposta, como está apresentada no Caderno do

Professor: 2)12(...531 nnS in

4.

a) A soma )2(...642 nS pn é igual ao dobro da soma dos n primeiros

naturais, ou seja, )2(...642 nS pn = 2(1 + 2 + 3 +...+ n). Como já vimos que

a soma dos n primeiros naturais é igual a 2

)1.( nn, resulta que

nnnnnn

S pn

2)1.(

2

)1.(.2 .

b) Para S2n, temos: S2n =

2

12.2 nn = 2n2 + n.

Somando os valores de inS e de p

nS , obtemos, então, o mesmo valor que o de S2n.

5. 540º

27

Páginas 44 - 45

1. 1 080º

2. No caso do quilógono, com 1 000 lados, o número de triângulos em que é possível

dividi-lo, traçando as diagonais a partir de um dos vértices, é igual a 998

(excetuando-se os dois lados cuja interseção é o vértice de onde partem as diagonais,

a cada um dos outros lados corresponde um triângulo); logo, a soma dos ângulos

internos do quilógono é igual a 998 . 180º, ou seja, 179 640º.

3. (n – 2) . 180º. Lembramos que a fórmula da soma dos ângulos internos de um

polígono convexo foi discutida na 6a série e está sendo retomada na 7a série.

Páginas 46 - 47

1.

a) Um pentágono tem cinco diagonais.

Para verificar isso, basta notar que, de cada um dos vértices do pentágono, é possível

traçar duas diagonais, uma vez que, unindo-se o vértice considerado aos vértices

adjacentes, não temos uma diagonal, mas sim um lado. Assim, sendo cinco vértices,

teremos, aparentemente, um total de dez diagonais. Na verdade, esse número precisa

ser dividido por dois, uma vez que cada diagonal é contada duas vezes: a diagonal

AB é contada a partir do vértice A e a partir do vértice B. Logo, o número de

diagonais do pentágono é cinco.

28

b) Raciocinando analogamente, o número de diagonais de um hexágono pode ser

calculado da seguinte forma:

• de cada vértice partem três diagonais (descontando-se o próprio vértice e os

dois adjacentes);

• o número de diagonais será igual à metade de 6 . 3, ou seja, será igual a 9.

c) Analogamente, o número N de diagonais de um polígono de n lados será tal que:

)3.(.2

1 nnN .

2. Aqui tratamos um problema muito comum de contagem. O entendimento do

problema e a análise das condições necessárias à sua solução devem ser o ponto de

partida. No caso, devemos considerar que, quando uma pessoa A aperta a mão de

outra pessoa B, é o mesmo que quando B aperta a mão de A. Outra condição do

problema é que A não cumprimenta a si mesmo; portanto, para n pessoas, cada

pessoa dará n – 1, apertos de mãos.

Uma estratégia que pode ser utilizada na resolução desse problema é partir de um

número menor de pessoas. Por exemplo, sendo duas pessoas, só haverá um aperto de

mãos; com três pessoas, esse número passa para três apertos; para quatro pessoas,

serão seis apertos, e assim por diante. Desse modo, busca-se encontrar uma

regularidade entre o número de pessoas e o número de apertos de mãos.

Outro raciocínio é pensarmos que cada uma das sete pessoas apertará a mão de

outras seis. Serão ao todo 7 . 6 cumprimentos, mas aqui estão sendo contadas todas

as repetições (A – B e B – A). Portanto, o total de 7 . 6 cumprimentos deverá, então,

ser dividido por 2. O total de apertos de mãos distintos é, pois, 2

6.7, ou seja, é igual

a 21.

3. O número de apertos de mãos é, nesse caso, igual a 2

)1.( nn.

 

29

AJUSTES

Caderno do Professor de Química – 7ª série/8º ano – Volume 2

Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada

página.

12

Nesse caso, note que na primeira linha sem-

pre teremos o número de bolinhas igual ao nú-

mero que representa a e figura e, na segunda li-

nha, o total de bolinhas será sempre um a menos

que o número da figura. Usando a letra n para

representar o número da figura, o total de boli-

nhas pode ser representado por n+(n – 1).

2. Identificando a regularidade por colunas

Agora, o número de colunas é igual ao nú-

mero da figura e temos duas bolinhas em cada

coluna, exceto em uma delas (última coluna)

que terá apenas uma bolinha. Se preencher-

mos a coluna que tem apenas uma bolinha

com mais uma bolinha, podemos calcular o

total de bolinhas multiplicando-se o número

de colunas pelo de linhas e subtraindo a boli-

nha adicional ao final da conta. Usando letras,

o total de bolinhas da figura n será 2n – 1.

Uma vez que as duas expressões obtidas são

equivalentes, n + (n – 1) tem de ser idêntico a

2n – 1, o que significa dizer que ambas expres-

sões devem ser válidas para qualquer n. Decorre,

portanto, que n + n tem de ser igual a 2n.

Veja agora outra sequência e algumas das

soluções possíveis:

1 2 3 4 5...

Fechando retângulos de n linhas e 3 colunas,

devemos acrescentar ainda n – 1 bolinhas.

Nesse caso, a fórmula seria 3n + (n – 1).

Completando a figura com uma bolinha, fe-

chamos retângulos de n linhas por 4 colunas.

A fórmula, que agora seria 4n – 1, pode ser

comparada com a anterior de onde se conclui

que 3n + n tem de ser igual a 4n.

Veremos, a seguir, um exemplo em que po-

demos trabalhar a multiplicação de letras:

Na resolução 1, organizamos a figura em n li-nhas por n + 2 colunas, (1: 1 linha – 3 colunas; 2: 2 linhas – 4 colunas; 3: 3 linhas – 5 colunas, etc.). Já na resolução 2, a organizamo-la em quadra-dos com n² bolinhas, mais o dobro de n (1: 1 + 2; 2: 4 + 4; 3: 9 + 6; 4: 16 + 8, etc.).

Resolução 1

1 2 3 4 5

...

1 2 3 4 5

...

1 2 3 4 5

...

1 2 3 4

...

1 2 3 4

...