20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture04

Количество всех слов ШтурмаОбобщения слов Штурма

Анна Фрид

ИМ им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск

Лекция 4, 16.10.2011

Лекция 4 Количество всех слов Штурма. Обобщения 1/35

Определение слов Штурма

y = σx + ρ, 0 ≤ σ, ρ < 1.

1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

w = w1w2 · · ·wn = bnσ + ρc − b(n − 1)σ + ρc.

или

wn = dnσ + ρe − d(n − 1)σ + ρe.Лекция 4 Количество всех слов Штурма. Обобщения 2/35

Эквивалентные определения

TheoremДля слова x над алфавитом {0, 1} следующие условия эквивалентны:

px(n) = n + 1 ∀n;x — уравновешенное непериодичное слово;x — механическое слово с иррациональным наклоном σ.

В случае выполнения любого из этих условий слово x называетсясловом Штурма.


Задача

ВопросСколько всего слов длины n над алфавитом {0, 1} являютсяподсловами слов Штурма?

Ответ: Липатов, 1982 (как количество уравновешенных слов)

Mignosi, 1991

Berstel, Pocchiola, 1993 - геометрическая техника, о которой пойдетречь.


Задача



Mignosi, 1991



Задача



Mignosi, 1991



Задача



Mignosi, 1991



Чему равен первый символ слова Штурма?

Рассмотрим прямую y = σx + ρ, 0 < σ, ρ < 1, и порождаемое ей словоШтурма.

0

σ + ρ < 1 =⇒ w1 = 0.


Чему равен первый символ слова Штурма?

Рассмотрим прямую y = σx + ρ, 0 < σ, ρ < 1, и порождаемое ей словоШтурма.

1

σ + ρ > 1 =⇒ w1 = 1.


Первый символ: двойственная картинка

y

xσ

1

10

ρ

σ + ρ = 1: первый символ слова зависит от положения точки (ρ, σ)относительно этой прямой.


Первые два символа: двойственная картинка

x

y

0 σ

ρ1

1

Второй символ: добавляются прямые 2σ + ρ = 1, 2σ + ρ = 2.


Первые два символа: двойственная картинка

x

y

0 σ

ρ1

1

Второй символ: добавляются прямые 2σ + ρ = 1, 2σ + ρ = 2.


Двойственная картинка

y

x

1

10 σ

ρ

Точки сетки соответствуют прямым на двойственной картинке,Прямые на сетке — точкам на двойственной картинке.


Грани двойственной картинки

y

x

1

10 σ

ρ

Системы воротец соответствуют граням двойственной картинки.



y

x

1

10 σ

ρ




y

x

1

10 σ

ρ




y

x

ρ1

10 σ




y

x

1

10 σ

ρ



Смысл двойственной картинки

LemmaКоличество всех слов Штурма длины n равно количеству гранейдвойственной картинки порядка n.

1

10 σ

ρ


Что мы знаем о гранях таких картинок?

v − e + f = 1.


Что мы знаем о гранях таких картинок?

v − e + f = 1.


Подсчет количества граней

f = 1 + e − v

= 1 +∑v∈V

(d(v)

2− 1

),

d(v) — степень вершины.Обозначим через c(v) количество прямых, проходящих через вершинуv (горизонтальных или диагональных).

y

x


Подсчет суммы

f = 1 +∑v∈V

(d(v)

2− 1

)= 1 +

∑corners

(d(v)

2− 1

)+

∑up+down

(d(v)

2− 1

)+∑

center

(d(v)

2− 1

)

= 1 + n + 2∑down

(c(v) + 1

2− 1

)+∑

center

(c(v)− 1)

= 1 + n +∑

down+center

(c(v)− 1).



y

x

f = 1 + n +∑

down+center

(c(v)− 1) = 1 + n +∑

0<q/p<1,p≤n

· · ·



y

x

f = 1 + n +∑

down+center

(c(v)− 1) = 1 + n +∑

0<q/p<1,p≤n

(n + 1− p).



f = 1 + n +∑

0<q/p<1,p≤n

(n + 1− p)

= 1 + n +n∑

p=2

ϕ(p)(n + 1− p)

= 1 +n∑

p=1

ϕ(p)(n + 1− p)

=n3

π2+ O(n2 log n),

посколькуn∑

p=1

ϕ(p) =3n2

π2+ O(n log n).

Здесь ϕ(m) — функция Эйлера (количество чисел, взаимно простых сданным и не превосходящих его).



f = 1 + n +∑

0<q/p<1,p≤n

(n + 1− p)

= 1 + n +n∑

p=2

ϕ(p)(n + 1− p)

= 1 +n∑

p=1

ϕ(p)(n + 1− p)

=n3

π2+ O(n2 log n),


p=1

ϕ(p) =3n2

π2+ O(n log n).




f = 1 + n +∑

0<q/p<1,p≤n

(n + 1− p)

= 1 + n +n∑

p=2

ϕ(p)(n + 1− p)

= 1 +n∑

p=1

ϕ(p)(n + 1− p)

=n3

π2+ O(n2 log n),


p=1

ϕ(p) =3n2

π2+ O(n log n).




f = 1 + n +∑

0<q/p<1,p≤n

(n + 1− p)

= 1 + n +n∑

p=2

ϕ(p)(n + 1− p)

= 1 +n∑

p=1

ϕ(p)(n + 1− p)

=n3

π2+ O(n2 log n),


p=1

ϕ(p) =3n2

π2+ O(n log n).



Количество слов Штурма

Theorem (Липатов 82, Mignosi 91, Berstel, Pocchiola 93)Количество всех слов Штурма длины n равно

1 +n∑

p=1

ϕ(p)(n + 1− p) =n3

π2+ O(n2 log n).


Вращательные слова

Пусть даны три константы α, β, γ от 0 до 1. Определим словоw = w0w1w2 · · · :

wi =

{1 при {iβ + γ} < α,0 в противном случае

α

00 0 10 0 1

1−α

y= x+γβ

x

y

1


Вращательные слова

Вращательные слова изучал, например, Rote (1992).Количество подслов в каждом из них — не больше 2n.

ВопросСколько всего вращательных слов с данной шириной α полосы?

Ответ [Cassaigne, Frid, 2007]Мы знаем, сколько граней в двойственной картинке. Для α, близких к1/2, этого достаточно, далее — нет.


Двойственность для вращательных слов

p13

p01

y

x

p

p

p00

11

12

p10

p01*

β

γ0

0 1α

−1

−α

p*

p*

p* p*

11

00

1312


Двойственная картинка порядка 4

γ β


Количество граней

При условии, что α иррационально, количество граней в такойкартинке порядка n + 1 равно

dα(n) = 2 +n(n + 1)(n + 2)

3+ 2

n∑p=1

(n − p + 1)ϕ(p).

Но здесь это не более чем верхняя оценка!


Количество граней

При условии, что α иррационально, количество граней в такойкартинке порядка n + 1 равно

dα(n) = 2 +n(n + 1)(n + 2)

3+ 2

n∑p=1

(n − p + 1)ϕ(p).

Но здесь это не более чем верхняя оценка!


Симметрия

βγ

(a,−b)

α

−α

(1−a,−{ +b})

aα(n) ≤ dα(n − 1)/2 + 1 =: g(n).


Несимметричные сложности

Грани, дающие одинаковые слова, в картинках нечетного порядка

k−1,2*p

*pk2

*p12

*pk,k+1

*p23γ

β

*p

*p

*p

11

k−1,k

k−2,k−1

−1

(0,−α)

k−1−10 1

− 0 1k

− 10k

− 0k+1

(1/2,−α)

(1/2,−1/2)


Несимметричные сложности

Грани, дающие одинаковые слова, в картинках четного порядка

*pk2

k−1,2*p

*p11

*pk,k+1

*pk−1,k

*pk−2,k−1

*p12

*p23

γ

β

−1

(0,−α)

− 0 1k

− 10k

− 0k+1

(1/2,−α)

(1/2,−1/2)


Точное значение

TheoremДля всякого иррационального α ∈ (0, 4; 0, 5) имеем aα(1) = 2,aα(2) = 4, aα(3) = 8, aα(4) = 16, aα(5) = 30 и

aα(n + 1) =

{g(n)− 4, при нечетном n,g(n)− 3, при четном n.

Здесь

g(n) =n(n + 1)(n + 2)

6+

n∑p=1

(n − p + 1)ϕ(p) + 2,

aα(n) = (1/6 + 1/π2)n3 + O(n2 log n).


Точное значение

TheoremДля всякого иррационального α ∈ (0, 4; 0, 5) имеем aα(1) = 2,aα(2) = 4, aα(3) = 8, aα(4) = 16, aα(5) = 30 и

aα(n + 1) =

{g(n)− 4, при нечетном n,g(n)− 3, при четном n.

Здесь

g(n) =n(n + 1)(n + 2)

6+

n∑p=1

(n − p + 1)ϕ(p) + 2,

aα(n) = (1/6 + 1/π2)n3 + O(n2 log n).


Точные значения

TheoremДля всякого иррационального α ∈ (1/3, 1/2) имеем

aα(n + 1)− g(n) ≤ Const.

А вот при α < 1/3 — непонятно.Известно только, что Θ(n3) (Ф., 2005).

(α и 1− α симметричны, интервала до 1/2 достаточно)














А теперь очевидный вопрос

Нерешенная задачаСколько всего вращательных слов длины n — для всех α, β и γ сразу?

Нужно рисовать кубик...


А теперь очевидный вопрос

Нерешенная задачаСколько всего вращательных слов длины n — для всех α, β и γ сразу?

Нужно рисовать кубик...


После перерыва

Комбинаторные функции сложности бесконечных слов

Чем я занимаюсь


Documents

20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture04