2012.20.12 НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Ловеч

РЕПУБЛИКА БЪЛГАРИЯ Министерство на образованието, младежта и науката Регионален инспекторат по образованието – Ловеч

ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ – 20.12.2012г.

ТЕМА ЗА IV КЛАС Задача 1. Да се пресметне стойността на израза (a : 7 + 4. b) + с – 12.8, ако:

a е неизвестното събираемо в израза a + 2000 = 1567 + 250.4

b = 4867 – 2345 – 20.(3 + 9 : 3) – 2400;

с e разликата на М и Р, ако

М = 11.2+12.3+13.4+14.5+15.6,

Р = 11.1+12.2+13.3+14.4+15.5

Задача 2.

В един голям квадрат са поместени три по-малки квадрата с

обиколка съответно 12 дм, 28 дм и 40 дм. Намерете лицето на

големия квадрат в квадратни метри, ако знаете, че то е равно на

страната на квадрата, умножена по себе си.

Задача 3. За Коледа Боби решил да купи коледни играчки, които да дари на 70 деца

от детско селище. През изтеклата година той събрал 18 лева в три касички. В първата

имало само монети от 10 стотинки, във втората – от 20 стотинки, а във третата - от 50

стотинки. В третата касичка имало толкова лева, колкото в първите две общо. Ако

броят на монетите във втората касичка е два пъти по-голям от броя на монетите в

първата, намерете колко на брой са всички монети. Дали ще стигнат тези монети на

Боби, ако за всяка от тях той купи играчка за всяко дете?

Всяка задача се оценява със 7 точки.

Време за работа – 4 часа.

Желаем Ви успех!

КРИТЕРИИ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ И КРАТКИ РЕШЕНИЯ НА ТЕМИТЕ ОТ ОБЩИНСКИ КРЪГ НА 62-та НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

ІV клас

Зад.1

за намиране на а в израза a + 2000 = 2567, a = 567 1 точка

за намиране на b = 2 2 точки

за намиране на М-Р= 65 3 точки

по една точка за вярно намерено М= 270, Р=205, М-Р=65

За пресмятане на израза

(567 : 7 + 4 .2) + 65 – 96 = (81 + 8) + 65 – 96 = 58 1 точка

Зад.2

за намиране на страните на малките квадрати:

3 дм, 7 дм и 10 дм (по една точка за всяка вярно намерена страна) 3 точки

за намиране на страната на големия квадрат

3+7+10= 20 дм 2 точки

за намиране на лицето – 4 кв. метра 2 точки

Зад.3

Решение:

В третата касичка имало толкова лева,

колкото в първите две общо – т.е. – 9лв 1 точка

9лв.(900ст.) : 50 ст.= 18 монети в ІІІ касичка 1 точка

х.10 + 2.х.20= 900

50.х=900

х=18 монети в І касичка 2 точки

18.2=36 във втората касичка 1 точка

За 18 + 36 + 18= 72 монети 1 точка

За извода, че 72 > 70, т.е., че за всяко дете ще има монета за подарък 1 точка

При посочен само отговор без обосновани разсъждения се дават само 3 точки на задача

Всяко друго вярно решение, различно от предложеното, се оценява с максимален брой точки. За областен кръг се класират учениците получили най-малко 16 точки.


ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

ОБЩИНСКИ КРЪГ – 20.12.2012г.

ТЕМА ЗА V КЛАС Задача 1. а) Пресметнете стойността на израза

( )433,2 3,2 : 0,056 0,8.0,06 122,2 : 4 0,65A = − − − − .

б) Намерете неизвестното число x от равенството 70,2 : 16,25 : 2,5.2x = и го сравнете с

числото А.

Задача 2. Ако променим едната страна на правоъгълник с

3 см, а другата оставим без промяна, ще се получи

квадрат с лице 81 кв. см. Квадрат с два пъти по-малка

страна от страната на получения квадрат е вписан в

правоъгълника по показания начин и външната част на квадрата е затъмнена. Да се

пресметне обиколката и лицето на затъмнената част.

Задача 3. Разстоянието от дома на Цанко до училището му е 1200 метра. Една сутрин

той тръгнал към училището със скорост 4 метра в секунда. Две минути по-късно кучето

му Нерон се затичало след него със скорост 10 метра в секунда. На колко метра от

училището кучето Нерон ще настигне Цанко?





20. 12. 2012 г. V клас

1 зад. а) ( )433,2 3,2 : 0,056 0,8.0,06 122,2 : 4 0,65 2A = − − − − =

3,5 т. - по 0,5 т. на действие

б) 5,4x = 3 точки

За сравняване на x и А 0,5 точка

2 зад. . .. 81 9кв квS а а a= = ⇒ = см 1 точка

І сл. . .9 ; 6пр пра см b см= = 1 точка

( ). 2 9 6 4.4,5 30 18 48фигP см= + + = + = 1 точка

. 6.9 4,5.4,5 54 20,25 33,75фигS = − = − = кв. см 1 точка

ІІ сл. . .9 ; 12пр пра см b см= = 1 точка

( ). 2 12 9 4.4,5 42 18 60фигP см= + + = + = 1 точка

. 12.9 4,5.4,5 108 20,25 87,75фигS = − = − = кв. см 1 точка

3 зад. До тръгването на кучето Цанко е изминал 480 метра 1 точка

За намиране 2 минути = 2.60 сек. = 120 секунди 1 точка

До настигането са изминали 480 : (10-4) = 80 сек. 2 точки

За това време Цанко е изминал още 4 . 80 = 320 метра 2 точки

И се намирал от училище на 1200 – ( 480 + 320) = 400 метра 1 точка





ТЕМА ЗА VІ КЛАС Задача 1. Пресметнете числената стойност на израза

( ) ( )20132012 45 0,25A B C+ ⋅ − − ⋅ − , където

5 4

9 1 2 5A

− + −= −

− − − − ;

( )14 : 2,4 : 0,6

91

7 : 2,4 : 0,64

B

− − + − = − −

; ( )

124 5 15

10 7

17.2 .16. 2 5. .2

82.2 .2

C

− − = .

Задача 2. Петя прочела една книга за четири дни. През първия ден прочела 42

страници. През втория ден прочела 6

7 от прочетеното през първия ден. Оказало се, че

прочетените страници през втория ден са 90% от прочетените през третия ден, а тези през четвъртия ден са 50% от прочетените през първия ден. Колко страници има книгата?

Задача 3. Даден е успоредник ABCD. Диагоналите AC и BD се пресичат в точка О,

която е тяхна среда. Точка М е среда на ОВ, а точка N е среда на МС.

а) Докажете, че SAOD = SBOC;

б) Докажете, че SAOB = SBOC = SDOC = SAOD;

в) Намерете колко процента от лицето на успоредника ABCD е лицето на триъгълника

DMN.





20. 12. 2012 г.

VІ клас

1зад. Пресметнато А = 1 1,5точки

Пресметнато В = -1 1,5 точки

Пресметнато С = 2 2 точки

Изчисляване на израза 2 точки

2зад.

ІІ ден - 6

7от 42 36⇒ стр. 2 точки

ІІІ ден - 90%от x са 36 40x = Стр. 6 от 26 3 точки

ІV ден – 21 стр. 1 точка

Общо: 139 стр. 1 точка

3зад. а) Доказано , че SABD = SABC 1 точка

Доказано, че SAOD = SBOC 1 точка

б) Доказано, че SAOB = SBOC = SDOC = SAOD; 2 точки

в) Доказано, че SBOM = SCOM = S, SDOC = 2S 0,5 точки

Доказано, че SDBC = 4S, S DMC = 3S 0,5 точки

Доказано, че SDMN = SDNC = S1 0,5 точки

Намерено S1 = 1,5 S 0,5 точки

Намерено SDMN = (3/16) SABCD 0,5 точки

Намерено SDMN = 18,75% SBMN 0,5 точки



Общински кръг на олимпиада по математика – VІІ клас

1. Стойността на израза 2 22013 2012− е: А) 1; Б) 2013; В) 4025; Г) 24025 . 2. Правите a и b са успоредни. По данните на чертежа мярката на ъгъл α е: А) 20°; Б) 30°; В) 32°; Г) 60°.

3. Нормалният вид на многочлена ( )20,5 x− − е:

А) 20,25 x x+ + ; Б) 20,25 x x− − − ; В) 20,25 x x− + ; Г) 20,25 2x x+ + . 4. На чертежа DAC∠ е външен за ABC∆ . Мярката на

ABH∠ е: А) 128°; Б) 38°; В) 48°; Г) 52°. 5. Ъглите 0120MON =∢ и NOP∢ са съседни. Мярката на MOP∢ е: А) 1800; Б) 600; В) 900; Г) 1200. 6. На чертежа →MO и →PO са ъглополовящи, съответно на PMN∠ и MPN∠ . Мярката на MNP∠ е: А) 74°; Б) 53°; В) 16°; Г) 32°.

7. Ако 2 2 13x y+ = и 6xy = , то ( )2x y− е равно на:

А) 1;− Б) 36; В) 7; Г) 1.

C

A

H

B

.

128°

N M

P

O

106°

8. На чертежа ∠ MON е изправен. Ако γβα :: =3:4:5 то разликата βγα −+ )( е: А) 30°; Б) 35°; В) 60°; Г) 90°.

9. Числената стойност на израза ( ) ( ) ( )3 3 2 2: 3x y xy xy x y+ − − при 2x = − и 1y = е:

А) 8− ; Б) 6;− В) 8; Г) 10. 10. На чертежа �102=∠AOC , �50=∠BOC и →OL е ъглополовяща на AOB∠ . Големината на LOC∠ е: А) 260; Б) 510; В) 520; Г) 760. 11. Стойността на израза 05 263,1.)2(3 −+−−=A е: А) 35;− Б) 29;− В) 3;− Г) 29.

12. Изразът

−−− aaa3

1)1.(

3

1 е тъждествено равен на:

А) 13

1

3

1 2 −+ aa Б) a3

1 В) aa

3

2

3

1 2 − Г) 2

3

1a

13. На чертежа →CM и →CP са ъглополовящи съответно на ACB∠ и на съседния му BCD∠ .

CMB∠ е равен на: А) 90º; Б) 44º; В) 34º; Г) 23º. 14. Изразът )5(4)52( 2 +−+ xxx е тъждествено равен на: А) 22 25;x− + Б) 20 25;x + В) 25; Г) 22 10.x− + 15. На чертежа ABCD е трапец ( CDAB || ) и 2∢ е три пъти по-голям от 1∡ . Да се намери ADC∢ . А) 45º; Б) 60º; В) 120º; Г) 135º.

γ

β

α

N

О

М

B

O A

L C

C

B A M P 46°

D

D C

B A 1

2

16. Едната страна на правоъгълник е с 3 cm по-къса от другата. Изразете лицето на правоъгълника в квадратни сантиметра чрез x, където с x е означена по-късата му страна.

А) 2 3x x− Б) ( )2 3 : 2x x− В) ( )2 3 : 2x x+ Г) 2 3x x+

Отговорът на следващите задачи запишете в листа за отговоризапишете върху листа за отговори 17. Ъглополовящите на външните ъгли при върховете А и В на ∆АВС при пресичането си сключват ъгъл от 70°. Да се намери големината на ACB∢ .

18. Даден е многочленът ( ) ( )3 21 4 3x x x x− − − − . В дясната колона на таблицата срещу номера на всяко твърдение запишете „ДА”, ако твърдението е вярно и „НЕ”, ако то не е вярно. Номер Твърдение Вярно ли е?

1. Нормалният вид на многочлена е от трета степен. ДА / НЕ 2. Ако 0x = , стойността на многочлена е 0 . ДА / НЕ 3. Многочленът е тъждествено равен на ( )( )1 1x x− + . ДА / НЕ

19. Четири четки за рисуване струват 8,20 лв., а три скицника – 7,20 лв. Колко лева общо струват две четки и два скицника? 20. На чертежа ba || , β е с 28° по-голям от α и →l е ъглополовяща на POQ∠ . Да се намери x . 21. Фигурата на чертежа е съставена от правоъгълника ABCD, квадрата MADP и полуокръжността PFM. Ако F е среда на полуокръжността, CB = 8 см и АВ = 12см

намерете: а) лицето на цялата фигура б) обиколката на цялата фигура в) лицето на защрихованата част 22. Яна трябва да прочете една книга от 200 страници. Първия ден тя прочела 20% от книгата, а втория ден прочела още 50% от останалата част. а) Колко страници е прочела Яна втория ден? б) Какъв процент от книгата е прочела Яна за двата дни?

β

Q

O P .

α x l

Запишете подробни решения на задача № 23 и № 24

23. Строителна фирма употребила през първия месец за строежа на определен обект 2

7 от

предвидения за построяването на обекта цимент, а през втория месец – 20% от останалия цимент. За третия месец останали да се изразходват 20 т повече цимент, отколкото са употребени през пърите два месеца. Да се намери колко тона цимент: А) е употребила фирмата за построяването на обекта; Б) трябва да се изразходват допълнително през третия месец, така че употребените количества през първия, втория и третия месец да се отнасят както 2 : 1 : 5. 24. Да се намери най-малката стойност на израза 2 22 2 4 5x xy y x− + + + и съответните стойности на x и y , за които тя се достига.

О Ц Е Н Я В А Н Е Задача № точки от №1 до №4 вкл. 2 от №5 до №10 вкл. 3 от №11 до №17 вкл. 4 18.1 1 18.2 1 18.3 1 От №19 до №20 вкл. 4 21 а 2 21 б 2 21 в 3 22 а 3 22 б 3 23 а 4 23 б 7 24 11

Максимален брой точки 100. До областен кръг ще бъдат допуснати учениците с най-малко 73. Време за работа – 4 часа. Желаем Ви успех!

ЛИСТ ЗА ОТГОВОРИ Общински кръг на олимпиада по математика за 7 клас – 20.12.2012г.

Трите имена ………………………………………………… Училище ………………………………… гр. /с/……………………….

За да отбележите своя отговор, срещу номера на съответната задача зачертайте със знака Х буквата на избрания от вас отговор. Ако след това прецените, че първоначалния отговор не е верен и искате да го поправите, запълнете квадратчето с грешния отговор и зачертайте със знака Х буквата на друг отговор, който приемате за верен.

Задача №

Отговор Точки

1. А Б В Г 2. А Б В Г 3. А Б В Г 4. А Б В Г 5. А Б В Г 6. А Б В Г 7. А Б В Г 8. А Б В Г 9. А Б В Г 10. А Б В Г 11. А Б В Г 12. А Б В Г 13. А Б В Г 14. А Б В Г 15. А Б В Г 16. А Б В Г 17.

18. 1 18. 2 18. 3 19. 20.

21. а

21. б

21. в

22. а

22. б

Подробни решения на задачи № 23 и № 24


20. 12. 2012 г.

VIІ клас

За проверяващите учители – верни oтговори и критерии

Задача №

Отговор Точки

1. А Б В Г 2 2. А Б В Г 2 3. А Б В Г 2 4. А Б В Г 2 5. А Б В Г 3 6. А Б В Г 3 7. А Б В Г 3 8. А Б В Г 3 9. А Б В Г 3 10. А Б В Г 3 11. А Б В Г 4 12. А Б В Г 4 13. А Б В Г 4 14. А Б В Г 4 15. А Б В Г 4 16. А Б В Г 4 17. 040 4

18. 1 НЕ 1 18. 2 НЕ 1 18. 3 ДА 1 19. 8,90 лв 4 20. 032 4

21. а 160 8π+

2

21. б 48 4π+

2

21. в 32 4π+

3

22. а 80 страници

3

22. б 60%

3

Задача 23.

А) І месец - 2

7x тона 1 точка

ІІ месец - 1

7x тона 1 точка

ІІІ месец - 3

207

x + тона 1 точка

2 1 320

7 7 7x x x x+ + + = 1 точка

140x = тона 1 точка Б) І месец – 40 тона 1 точка ІІ месец – 20 тона 1 точка ІІІ месец – 80 тона 1 точка За да е в сила пропорцията 2 : 1 : 5 на количествата цимент, през третия месец трябва да се изразходи пет пъти повече цимент, отколкото през втория – т.е. 100 тона 2 точки Следователно допълнително през третия месец са нужни още 20 тона. 1 точка Задача 24.

( )22 2 22 2 4 5 4 5x xy y x x y x x− + + + = − + + + 2 точки

( ) ( ) ( )2 2 22 4 5 2 1x y x x x y x− + + + = − + + + 2 точки

За определяне на максималната стойност – 1 3 точки За 0, 2 0x y x− = + = 2 точки За 2x y= = − 2 точки




ТЕМА ЗА VІІІ КЛАС Задача 1. Дадено е уравнението 0232 22 =−++− aaaхх

а) Решете уравнението при а = 3;

б) За кои стойности на параметъра а , корените 1x и 2x на уравнението са

цели числа?

Задача 2. Даден е равнобедрен трапец АВСD, АВ > CD и АВ || CD . Точки M, P, N и Q

са среди съответно на АВ, ВС, СD, DA. Отсечката МР = а сm, а ∢QMN = °75 .

а) Намерете ъгъла между диагоналите срещу основата на трапеца.

б) Намерете лицето на трапеца.

Задача 3. Дадена е функцията bаххf +=)(

а) Намерете коефициентите а и b, ако знаете, че графиката на )(хf минава през

точка ( )1; 1А − − и е успоредна на графиката на 43)( −= ххg ;

б) При намерените a и b решете уравнението Вxffхf =−

−++ )(.23

1.2)2( ,

където 35435459

311 +−⋅++⋅+=В





20. 12. 2012 г.

VІІІ клас

Зад. 1. а) Заместено а = 3 и получено уравнение 01092 2 =+− хх 1 точка

Решено уравнение 01092 2 =+− хх и получени корени 21 =х и2

52 =х 2 точки

б) Намерена ( )24−= aD , D≥0 за всяко а 1точка

Получени корени 11 −= ах и 122 += а

х 1 точка

Направен извод, че от ZaZх ∈⇒∈1 1 точка

Направен извод, че от aZх ⇒∈2 - четно число 1 точка Забележка: Ако ученик първо е решил параметричното уравнение и след това е заместил а = 3, за да намери корените на уравнението, за а) се присъждат пълните 3 точки. Зад. 2. а) Доказано, че MPNQ е успоредник 1 точка Доказано, че MPNQ е ромб 1 точка

Обосновано, че ∢QMР = °150 0,5 точки Обосновано, че ъгълът между диагоналите срещу основата е °150 0,5 точки б) Обосновано, че АС = ВD = 2а 1 точка Построени СK ║ DВ ( K∈AB → ) и KН⊥ АC ( Н∈AС→ ) или направени подобни допълнителни построения, водещи към решението 1 точка

Обосновано, че ∢KCH = °30 и KH = 2

1CK= a 1 точка

Доказано, че 2

2

.a

KHACSS AKCABCD === 1 точка

Зад. 3. а) Обосновано, че а = 3 1 точка Обосновано, че b = 2 1 точка

б) Намерено 2=В 2 точки

Намерено 1)3

1( =−f 1 точка

Намерено 83)2( +=+ ххf 1 точка

Решено уравнение и намерено 3

4=x 1 точка





ТЕМА ЗА ІХ КЛАС Задача 1. Намерете всички реални решения на системата:

( )

2

22

2 0

8 2

y xy

x x y

− + =

− = +

Задача 2. Решете уравнението:

2

2

1 1

2 2

x x

m x m mx m

+ − =− −

, където m е реален параметър.

Задача 3. Даден е ABC∆ , в който 45ABC = �∡ . Върху страната BC е взета точка D ,

такава чеCD 2DB= и 60ADC = �∡ .

a) да се докаже, че центърът на описаната около ABC∆ окръжност лежи върху

AD ;

б) да се намерят градусните мерки на дъгите �AB и �BC от тази окръжност.





20. 12. 2012 г.

ІX клас

Зад 1. За

2

2 2

2

2 2 4

xy y

x y xy

= +

+ + = и разпадане на две системи :

2

2 2

2 0

2 2 4

0

y xy

x y xy

xy

− + =+ + =≥

и

2

2 2

2 0

2 2 4

0

y xy

x y xy

xy

+ + =+ + =≤

................................................................................................................2 точки

За установяване, че 0x y= = не е решение ......................................................................2 точки

За решаване на втората система ........................................................................................2 точки

За Отг: ( ) ( )2 2; 2 2 2; 2− − ...................................................................... 1 точка

Зад.2 Д.О: 0; 2m mx≠ ≠ …………………………………………………………… 1 точка

За получаване на квадратно уравнение ( ) 21 2 1 0m x x m− + + + = 1 точка

При 1 1 . .m x D O= ⇒ = − ∈ ; При 1 2

11 ; 1

1

mm x x

m

+≠ ⇒ = = −−

2 точки

Отговор: При 0m = ⇒ уравнението не е дефинирано При { }1; 1;2 1m x= − ⇒ = −

При 1

21

mm x

m

+= − ⇒ =−

3 точки

m≠ {±1; ±2} { } 1 2

11; 2 ; 1

1

mm x x

m

+≠ ± ± ⇒ = = −−

Зад.3. а) Построена е симетралата на AB и е доказано, че OA=OB 1точка Доказано е, че OBD∆ е равнобедрен и ОD=BD 1точка Построена е отсечката OP (P среда на CD) Построена е отсечката OP (P среда на CD) и е доказано, че ODP∆ е равностранен 2точки Доказано е, че OCOBCOPOBD =⇒∆≅∆ , но OB = OA следва, чe О е център на описаната окръжност 1точка б) Намерени са ъглите 60A = °∡ и 75C = °∡ 1точка

Намерени са дъгите � 150AB = ° и � 120BC = ° 1точка Всяко друго вярно решение, различно от предложеното, се оценява с максимален брой точки. За областен кръг се класират учениците получили най-малко 16 точки.




ТЕМА ЗА Х КЛАС

Задача 1. а) Докажете равенството: 3 320 14 2 20 14 2 4+ + − =

б) Решете неравенството: 1

1 1

2 1 1 2х x−>− −

Задача 2. Дадена е квадратната функция ( ) ( ) ( )21 4 2 5f x k x k x k= − − + + + , където k е

параметър.

а) Да се намери за кои стойности на k уравнението ( ) 0f x = има реални

корени.

б) Да се намери за кои стойности на k неравенството ( ) 0f x > е изпълнено за

всяко x .

Задача 3. В триъгълник АВС точката М дели страната АВ в отношение 2:3 считано от

върха А. Правата СМ пресича описаната около АВС∆ окръжност в точката D. Ако

1BC BD= = ст, да се намери дължината на страната АВ.





20. 12. 2012 г.

X клас

Зад.1. а) 3 320 14 2 20 14 2+ + − =

= ( ) ( )3 33 32 2 2 2+ + − = 2 точки

= 2 2 2 2+ + − = 4 1 точка

б) 1

1 1

2 1 1 2х x−>− −

Полагаме 2x = y , у > 0 1 точка

1

1 1

1 1 .2y y −>− −

, 1 2

01 2y y

− >− −

0,5 точки

( )( )4 3

1 2

y

y y

−− −

>0, y ≠ 1; y ≠ 2

1 точка

4

13

y< < , y >2

4

1 23

x< < , 2x >21, x >1

( )4

320; log 1;x

∈ ∪ +∞

1,5 точки

Зад.2.

а) D ≥ 0, За намиране на 27 4 36D k k= − − + 1 точка

За намиране на k1 = 2 и 2

18

7k = − 1 точка

За определяне на 18

;27

k ∈ −

и k ≠ 1 1 точка

За определяне на ( ]18;1 1;2

7k

∈ − ∪ 1 точка

б) ( ) 0f x > за всяко x когато а > 0 и D < 0

0

0

a

D

>< ⇒ 2

1 0

7 4 36 0

k

k k

− >

+ − > ⇒ ( )

1

18; 2;

7

k

k

>

∈ −∞ − ∪ +∞

⇒ ( )2;k ∈ +∞ 3 точки

Зад. 3 За означаване АМ = 3х и ВМ = 2х 1точка За намиране BCD BDC=∡ ∡ 1точка За намиране BAC BDC=∡ ∡ 1точка За доказване СВМАВС ∆∆ ~ 1,5точки

За съставяне на пропорцията ВМ

ВС

СВ

АВ = и намиране на 10

1=х 2 точки

За намиране на стАВ2

10= 0,5 точки





ТЕМА ЗА ХІ КЛАС Задача 1. Три числа, x, y и z , първото от които е

( )8

1log75.

409

8132

5log26log35log6log3

75

93

−−+=x ,

образуват аритметична прогресия. Ако към второто число прибавим по-малкия корен

на уравнението 2433.243 85 22

=− −+−+ xxxx , ще се получат три числа, които образуват

геометрична прогресия. Да се намерят числата x, y и z.

Задача 2. Дадено е уравнението 021sin32cos. =−++ mxxm , където m е реален

параметър.

а) Да се реши уравнението при m =1.

б) Да се намерят стойностите на параметъра m , така че уравнението да има

решение.

Задача 3. В ( )090 , , 2ABC ACB AC BC AC a= < =△ ∢ . Права, минаваща през върха С,

сключва ъгъл ϕ с катета АС и отсича от хипотенузата отсечка с дължина, равна на

7

2от дължината на хипотенузата, считано от върха А. Да се намери лицето на ABC△ .





20. 12. 2012 г.

XІ клас

Зад.1. Намерена стойността на х = 2 2 точки

Направено полагане (напр. yxx =−+ 82

3 ) и решаване на показ. уравнение или чрез еквивалентни преобразувания до получаване на ур. 482 =−+ xx 1 точка Решаване на уравнението и намиране на корените х1 = - 4 и х2 = 3 1 точка Съставяне на геометричната прогресия и

образуване на уравнението ( ) ( )2224 2 −=− yy 1 точка Решаване на уравнението и намиране на корените у1 = 10 и у2 = 2 1точка Намиране на числата x = 2; y = 10; z = 18 0,5 точки или x = 2; y = 2; z = 2 0,5 точки Зад.2. а) Образуване на уравнението 01sin32cos =−+ xx и преобразуване до 0sin3sin2 2 =+− xx 1 точка

направено разлагане и намиране на корените 0 и 2

3 1 точка

намиране на решението х = к π , к ∈Z и установяване, че 2

3sin =x няма реш. 1 точка

б) Получено уравнение 22 sin 3sin 1 0m x x m− + − = 1 точка направено полагане yx =sin и установяване, че за да има решение уравнението е необходимо [ ]1;1−∈y 0,5 точки

Ако ( ) 132 2 −+−= mymyyf , то за да има реш. ур. е НД

поне един от корените на уравнението ( ) 0=yf да е в интервала [ ]1;1− Изследване на случая m = 0 и установяване, че има решение 0,5 точки Образуване на системите от ДУ

( )( )

02

14

31

01.2

01.2

0

≠

<<−

≥≥−

≥

mm

fm

fm

D

и ( ) ( )

02

01.1

≠≤−

m

ff и решаването им 1,5 точки

Решението на първата система е

+∈4

222;

3

4m , а на втората е

∪

−∈3

4;00;

3

2m

Обединяване на решенията и намиране на отговора

+−∈4

222;

3

2m 0,5 точки

Зад.3. Ако правата през C пресича хипотенузата в т К ,

за означаване АК = 2

7

cи КВ =

5

7

c,

въвеждане на помощен ъгъл ∢ KAC α=∡ 1точка

тогава∢AKC=180 ( )α ϕ− +� (или използване на други помощни означения) 1 точка

Използване на синусова теорема в ∆AKC 1 точка и намиране, че 5BC atgϕ= 3 точки

Намиране лицето на ∆ АВС 25S a tgϕ= 1 точка Всяко друго вярно решение, различно от предложеното, се оценява с максимален брой точки. За областен кръг се класират учениците получили най-малко 16 точки.




ТЕМА ЗА ХІІ КЛАС

Задача 1. Дадена е функцията ( ) ( ) ( ) ( )3

2 22 2 1 4 10 273

xf x p x p x p p= + − + − + − + .

Да се намерят стойностите на параметъра p , за които:

а) графиката на функцията ( )xf минава през точка ( )0;3−M ;

б) допирателната към графиката на функцията ( )xf в точка ( )0;3−M сключва с

положителната посока на абсцисната ос ъгъл с мярка �135 ;

в) функцията ( )xf е растяща за всяко 4x > .

Има ли стойности на параметъра p , за които функцията ( )xf удовлетворява и

трите предишни условия?

Задача 2. В четириъгълна пирамида с основа успоредник две от околните стени са

перпендикулярни на равнината на основата и сключват помежду си ъгъл �120 . Другите

две околни стени сключват с равнината на основата съответно ъгли от �45 и �60 . Ако

височината на пирамидата е h намерете основните ú ръбове и обема.

Задача 3. В четириъгълника ABCD с ъгли ∢ABC = �90 и ∢BAD = �30 е вписана

окръжност с радиус r и около него може да се опише окръжност. Правоъгълникът

MNPQ е вписан в четириъгълника ABCD така, че върховете му M и N лежат на

страната АВ, точка P лежи на ВС и точка Q лежи на AD. Да се намери най-голямата

стойност на лицето на правоъгълника MNPQ.





20. 12. 2012 г.

XІІ клас

Зад. 1. а) За съставено квадратно уравнение ( ) 03 =−f и намерени

стойности на параметъра 41 =p и 4

212 =p 2 точки.

б) За намерена първа производна на функцията ( )xf ,

съставено уравнението ( ) �1353 tgf =−′ и намерено 4

21=p 2 точки.

в) За обосновка, че функцията може да е или само растяща или да има един локален максимум и един локален минимум, намерена първа производна и изследвана за екстремуми и обобщен извод, че при

10

1≥p функцията е растяща за всяко 4>x 2 точки.

За извода, че трите условия са изпълнени за 4

21=p 1 точка.

Зад. 2 За определяне на ъглите на основата �120 и съответно �60 1 точка.

За намиране на един от основните ръбове ha3

2= 2 точки.

За намиране на другия основeн ръб hb3

32= 2 точки.

За намиране на лицето на основата 2

3

2hB = 1 точка.

За намиране на обема на пирамидата 3

9

2hV = 1 точка.

Зад3. За доказване, че четириъгълникът ABCD е делтоид, изразяване на страните му чрез радиуса на вписаната окръжност,

а именно ( )33+= rAB и съответно ( )33−= rBC 1,5 точки. За съставяне на функция за лицето на правоъгълника MNPQ 2 точки. За изследване на съставената функция за максимум (с производна или със свойствата на квадратната функция) 1,5 точки. За определена най-голяма стойност на лицето на

правоъгълника съответно ( ) 2.3212 r− 2 точки


Documents

2012.20.12 НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Ловеч