eebooklibrary.files.wordpress.com · 2013-02-09 · iii រម ភកថ សសួីម្តិតអ្តនកស ិកជទ ្រស Ôញី ់ប ន់ ! េសៀវេភ

w w w . m a t h t o d a y . w o r d p r e s s . c o m

ភគ ២

គណតវទយ របករណេរត ម របករណ ជបន -សងហបរ-ចន-រស នង េវៀត ម

េរៀបេរៀងេ យ លម ផលគន

គណតវទយៃថងេនះ

i

រក សទឋ េ យ លម ផលគន Tel: 017 768 246

www.mathtoday.wordpress.com

ii

គណះកមមករនពនធ នង េរៀបេរៀង

លម ផលគន នង អង ស ង

គណះកមមកររតតពនតយបេចចកេទស

េ ក យង ធរ េ ក លម ឆន

េ ក ែសន ពសដឋ

គណះកមមកររតតពនតយអកខ វរទឋ

េ ក លម មគគសរ

ករយកពយទរ

េ ក អង ស ង

iii

រមភកថ សសតមតតអនកសក ជទរស ញ ប ន ! េសៀវេភ គណតវទយេរជសេរសែដលេ កអនកកពងែតកន នេនះ ខ ញបទបនេរៀបចេឡើងសរមបទកជឯក រសរមបអនកសក ែដលមន បណងេរត មរបឡងយក របករណេទសក េនបរេទស នង សរមប េរត មរបឡង របករណចលរគះ ថ នឧតតមសក ននកនងរបេទស។ េយើងខ ញបនេរជសេរសល តពេសសៗមកេធវើដេ ះរ យ យងព ត រ រពមទងមនល តអនវតតនសរមបអនកសក ហវក តេ ះរ យេ យ ខ លនឯង។ េយើងខ ញសងឃមថ េសៀវេភមយកបលេនះ នង ចចលរមផតលនវ គនត នង វធ រសតថមៗកនងករេ ះរ យល តគណតវទយករត

របករណ ចេពះេ កអនកសក ជពខនេឡើយ ។ ជទបញច បខ ញបទសមជនពរចេពះេ កអនក សមមនសខភពលអ មនរបជញ ឈល សៃវ នង ទទលបនេជគជយកនងរគបភរកចច ។ បតដបងៃថងទ២៧ឧសភ ឆន ២០១២

អនកនពនឋ នង រ វរជវ

លម ផលគន Tel:017768246 Email:[email protected] Website: www.mathtoday.wordpress.com

គណតវទយ របករណ

េរៀបេរៀងេ យ លម ផលគន Page1

វញញ ទ០១

សរមបរយះេពល២េមង

I-េគឲយសមករ 3 2x 2x x 7 0 មនឬសប ងេ យ , , ។

ចរគណនតៃមលេលខ 2 2 2

1 1 1A

(1 ) (1 ) (1 )

។

II-ចរេរប បេធៀបចនន 3 33 3a 3 3 3 3 នង 3b 2 3 ។

III-េគឲយ ងេតរកល n

xn

(n 1)

I e sin x.dx

ែដល n 1,2,3, ... ។

ក/ចរគណន 1I ។

ខ/បងហ ញថ n(I )ជសវតធរណមរតរចទញរក nI ជអនគមនៃនn។

គ/គណនផលបក n 1 2 nS I I ... I ជអនគមនៃនn។

ឃ/ទញរកលមតៃន nS កល n ។

IV-ចររ យថបលែដលមនក R មនមឌ 34V R

3

។



ដេ ះរ យ

I-គណនតៃមលេលខ 2 2 2

1 1 1A

(1 ) (1 ) (1 )

ង 3 2f (x) x 2x x 7 មនឬសប ងេ យ , , ។

េគ ចសរេសរ f (x) (x )(x )(x )

េគបន lnf (x) ln(x ) ln(x ) ln(x )

េធវើេដរេវេលើអងគទងពរៃនសមភពេនះេគបន ៖

f '(x) 1 1 1

f (x) x x x

។

េធវើេដរេវមតងេទៀតេលើសមភពេនះេគបន ៖

2

2 2 2 2

f ''(x)f (x) [f '(x)] 1 1 1

f (x) (x ) (x ) (x )

យក x 1 េគបន 2

2 2 2 2

f ''(1)f(x) [f '(1)] 1 1 1

f (1) (1 ) (1 ) (1 )

េគទញបន 2

2

f ''(1)f (1) [f '(1)]A

f (1)

។

េគមន f (1) 1 2 1 7 7



2f '(x) 3x 4x 1 េនះ f '(1) 3 4 1 0

េហើយ f ''(x) 6x 4 េនះ f ''(1) 6 4 2

េគបន 2

2

(2)( 7) 0 2A

( 7) 7

ដចេនះ 2 2 2

1 1 1 2A

(1 ) (1 ) (1 ) 7

។

II-េរប បេធៀបចនន 3 33 3a 3 3 3 3 នង 3b 2 3

រេបៀបទ១ ៖ ង 3 3x 3 3 នង 3 3y 3 3

េគមន x y េនះ 2 2x y

េគបន x y 0 (1) នង 2 2x y 0 (2)

គណវសមភព (1) នង (2) អងគ នង អងគេគបន ៖

2 2(x y)(x y ) 0 សមមល 3 3 2 2x y x y xy

គណអងគទងពរនង 3 េគបន ៖

3 3 2 2 3 3 33(x y ) 3x y 3xy (x y) (x y )

េគទញ 3 3 34(x y ) (x y) ឬ 3 33x y 4(x y ) (3)



ជនស 3 3x 3 3 នង 3 3y 3 3 កនង (3) េគបន ៖

3 33 3 3 3 333 3 3 3 4(3 3 3 3) 2 3

ដចេនះ a b ។

រេបៀបទ២ ៖ ឧបមថ a b ពត

េគបន 3 33 3 33 3 3 3 2 3

សមមល 3 3

3 33 3

1 1 23 3

ងអនគមន 3 3f (x) 1 x 1 x

េដរេវ 2 23 3

1 1f '(x)

3 (1 x) 3 (1 x)

េបើ f '(x) 0 សមមល 2 23 3

1 10

3 (1 x) 3 (1 x)

នឲយ 2 23 3(1 x) (1 x) ឬ 1 x 1 x េនះ x 0 ។

េបើ f '(x) 0 សមមល 2 23 3

1 10

3 (1 x) 3 (1 x)



នឲយ 2 23 3(1 x) (1 x) ឬ 1 x 1 x េនះ x 0 ។

ងសញញ ៃន f '(x) ៖

ម ងេនះេគបន x 0 : f (x) 2

យក 3 3

x3

េគបន 3 3

f ( ) 23

ឬ 3 3

3 33 3

1 1 23 3

ដចេនះ a b ។

III-េគឲយ ងេតរកល n

xn

(n 1)

I e sin x.dx

ែដល n 1,2,3, ... ។

ក/គណន 1I ៖

េបើ n 1 េនះ x1

0

I e sinx.dx

x 0

f '(x)

f (x)



ង xu e

dv sin x.dx

នឲយ

xdu e .dx

v cos x

េគបន៖

x x

1 00

x1

0

I e cosx e cosx.dx

I 1 e e cosx.dx

ង xu e

dv cosx.dx

នឲយ

xdu e .dx

v sin x

េគបន

x x

1 00

1 1

I 1 e e sin x e sinx.dx

I 1 e I

ដចេនះ 1

1 e 1 eI

2 2e

។

ខ/បងហ ញថ n(I )ជសវតធរណមរត ៖

មន n

xn

(n 1)

I e sin x.dx

េនះ (n 1)

xn 1

n

I e sin x.dx



ង x t េនះ dx dt

ចេពះ x n េនះ t (n 1) នង x (n 1) េនះ t n

េគបន n n

t tn 1

(n 1) (n 1)

I e sin( t).dt e e sint.dt

n 1 nI e I នឲយ n(I )ជសវតធរណមរត ។

ទញរក nI ជអនគមនៃនn៖

មរបមនត n 1 n 1n 1

1 eI I q ( e )

2

។

គ/គណនផលបក n 1 2 nS I I ... I ជអនគមនៃនn៖

េគបន n n n

n 1

1 q 1 e 1 ( e ) 1 ( e )S I

1 q 2 1 e 2

ឃ/ទញរកលមតៃន nS កល n ៖

េគបន n

nn n

1 ( e ) 1limS lim

2 2

េរពះ n

nlim( e ) 0

។

ដចេនះ nn

1limS

2 ។



IV-រ យថបលែដលមនក R មនមឌ 34V R

3

៖

េយើងដងថបលកគជសលដបរវតតនបងករពរងវលៃផទរក ខណឌ

េ យរងវងផចត O ក R ជវញអក បសស ។

សមកររងវងផចត O ក R គ ៖

2 2 2x y R ឬ 2 2 2y R x

មឌរបសបលគ ៖

R

2

R

V y dx

R2 2

R

R32

R

3 33 3 3

(R x ).dx

xR x

3

R R 4(R ) ( R ) R

3 3 3

ដចេនះ 34V R

3

។



វញញ ទ០២


I-េ ះរ យសមករខងេរកមកនង IR ៖

2 2 2

2 2 2 2

x 5x 5 x 5x 4 7 x 5x 2

x 5x 2 x 5x 3 x 5x 2 x 5x 3

II-េគឲយអនគមន f (x) កនតេ យ ៖

x 12 f (x 1) f ( ) x 1

1 2x

ចេពះរគប 1

x2

នង 1x

2

ចរកនតរកអនគមន f (x) ។

III-េគឱយ ងេតរកល 2

n 3n

0

I sin xcos x.dx

ែដល n IN

ក. ចរគណន nI ជអនគមនៃន n ។

ខ. ចរគណនផលបក n

n k 0 1 2 nk 0

S I I I I ......... I

ជអនគមនៃន n ។ រចទញរកតៃមលៃនលមត nnlim S

។



ដេ ះរ យ

I-េ ះរ យសមករ

ង 2y x 5x សមករ ចសរេសរ ៖

y 5 y 4 7 y 2(1)

y 2 y 3 y 2 y 3

សមករ 1 មននយកល y 5 ។

កនងលកខខណឌ េនះសមករ ចសរេសរ ៖

2 2

(y 5)(y 3) (y 4)(y 2) 7

y 2y 15 y 2y 8 7 (2)

ង 2z y 2y 8 0 សមករ(2) ចសរេសរ ៖

2

2 2

z 7 z 7

2z 7 2 z(z 7) 49

z 7z 28 z (0 z 28)

z 7z 784 56z z

49z 784 z 16



េ យ 0 z 28 នឲយ z 16 ( យក )

េគទញ 2y 2y 8 16 ឬ 2y 2y 24 0

មនឬស 1 2y 4 , y 6

េ យ y 5 នឲយេគទញបន y 6 ជឬសសមករ(1)

េ យ 2y x 5x េគបន 2x 5x 6

ឬ 2x 5x 6 0 េគទញឬស 1 2x 1 , x 6 ។

II-កនតរកអនគមន f (x) ៖

េគមន x 12 f (x 1) f ( ) x 1 (1)

1 2x

ចេពះរគប 1

x2

យក t 1x 1

1 2t

នឲយ t

x1 2t

ជសកនង (1) េគបន ៖

t1t 1 t1 2t2f ( ) f ( ) 2

2t1 2t 1 2t11 2t

t 1 2 5t2f ( ) f (t 1) (2)

1 2t 1 2t



យក x t ជសកនង (1) េគបន t 12f (t 1) f ( ) t 1

1 2t

ឬ t 14f (t 1) 2f ( ) 2t 2 (3)

1 2t

បកសមករ (2) នង (3)េគបន ៖

22 5t 4t t 23f (t 1) 2t 2

1 2t 1 2t

េគទញ 24t t 2

f (t 1)3(2t 1)

យកt 1 x ឬ t x 1

េគបន2 24(x 1) (x 1) 2 4x 7x 1

f (x)3(2x 2 1) 3(2x 1)

ដចេនះ 24x 7x 1

f (x)3(2x 1)

។



III-ក. គណន nI ជអនគមនៃន n

2n 3

n0

2 2n 2 n 2

0 0

2n n 2

0

I sin xcos x.dx

sin xcos x.cosx.dx sin x(1 sin x)cosx.dx

(sin x sin x)cosx.dx

ង U sinx េនះ dU cos x.dx េបើx [0, ]2

េនះU [0 , 1 ]

1 1 1n 2 n n 2

n0 0 0

1 1

n 1 n 3

0 0

I U (1 U ).dU U .dU U .dU

1 1U U

n 1 n 3

1 1 n 3 n 1 2

n 1 n 3 (n 1)(n 3) (n 1)(n 3)

ដចេនះ n

2I

(n 1)(n 3)

។



ខ. គណនផលបក n

n k 0 1 2 nk 0

S I I I I ......... I

មសរមយខងេលើេយើងមន ៖

n

2 1 1I

(n 1)(n 3) n 1 n 3

1 1 1 1

n 1 n 2 n 2 n 3

n

nk 0

n n

k 0 k 0

1 1 1 1S

k 1 k 2 k 2 k 3

1 1 1 1

k 1 k 2 k 2 k 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) .... ( ) ( ) ( ) .... ( )

2 2 3 n 1 n 2 2 3 3 4 n 2 n 3

1 1 1 3 11

n 2 2 n 3 2 n 2

1 (n 1)(3n 8)

n 3 2(n 2)(n 3)

ដចេនះ n

(n 1)( 3n 8 )S

2(n 2 )(n 3 )

នង nn

3lim S

2 ។



វញញ ទ០៣


I-េគឱយ ងេតរកល a n

n 3 30

x .dxI , a 0

x a

ក. ចរកនតតៃមលរបស n េដើមបឱយ nI មន រសយនង a ។

ខ. គណន nI ចេពះតៃមល n ែដលបនរកេឃើញខងេលើ ។

II-េគឱយសវត n 2 2

1 1S 1

n (n 1)

ែដល n IN ។

ក‐ចេពះរគប n IN ចរបងហ ញថ n

1 1S 1

n n 1

។

ខ‐គណនផលបក

n 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 11 1 ..... 1

1 2 2 3 n (n 1)



III-ចរកនតរគបតៃមល x កនងចេនល ះ [2

;0] េ យដងថ ៖

24

xcos

13

xsin

13

IV-ក. ចរគណនតៃមលរបកដៃន 10

sin នង

10cos

ខ. ចររ យថ 10

sin)yx(4)yx(x 22222

រគបចនន IRy,x ។

ដេ ះរ យ

I-ក. កនតតៃមលរបស n េដើមបឱយ nI មន រសយនង a

េយើងមន a n

n 3 30

x .dxI , a 0

x a

េយើង ង x a.t នឱយ dx a.dt

េហើយចេពះ x 0,a នឱយ t 0,1



េគបន 1 1n n

n 2n 3 3 3

0 0

(a.t) .a.dt t .dtI a .

(at) a t 1

មទនកទនងេនះ េដើមបឱយ nI មន រសយនង a លះរ ែត

n 2 0 ឬ n 2 ។

ដចេនះ េដើមបឱយ nI មន រសយនង a េគរតវឱយ n 2 ។

ខ. គណន nI ចេពះតៃមល n ែដលបនរកេឃើញខងេលើ

ចេពះ n 2 េគបន 1 2

2 30

x dxI

x 1

ង 3U x 1 នឱយ 2dU 3x .dx

េហើយចេពះ x 0,1 នឱយ U 1 , 2

េយើងបន 2

2

2 11

1 dU 1 1I ln | U | ln 2

3 U 3 3 ។

ដចេនះ 2

1I ln 2

3 ។



II-ក.បងហ ញថ n

1 1S 1

n n 1

េយើងមន n 2 2

1 1S 1

n (n 1)

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

n (n 1) (n 1) n n (n 1) n 2n 1 n

n (n 1) n (n 1)

n (n 1) 2n(n 1) 1 [n(n 1) 1]

n (n 1) n (n 1)

n(n 1) 1 1 1 11 1

n(n 1) n(n 1) n n 1

ដចេនះ n

1 1S 1

n n 1

។

ខ‐គណនផលបក ៖

េគបន n

n k2 2 2 2 2 2k 1

1 1 1 1 1 11 1 ..... 1 (S )

1 2 2 3 n (n 1)

2n

k 1

1 1 1 (n 1) 1 n(n 2)1 n 1

k k 1 n 1 n(n 1) n 1

ដចេនះ n

n(n 2)

n 1

។



III-កនតរគបតៃមល x កនងចេនល ះ [2

;0]

)1(24xcos

13

xsin

13

េគពនតយ

43sin

12sin

4

26

2

1.

2

2

2

2.

2

3

3cos

4sin

4cos

3sin

េហើយ

43cos

12cos

4

26

2

2.

2

3

2

2.

2

1

2sin

3sin

4cos

3cos



សមករ )1( ចសរេសរេទជ ៖

x2sinx12

sin

xcosxsin212

cosxsinxcos12

sin

2xcos

12cos

xsin12

sin

2xcos

4

26

xsin4

26

2xcos22

13

xsin22

13

េ យ 2

x0

េនះេគទញបន

x2x12

x2x12

េគទញ 12

x

ឬ 36

11x

( េផទ ងផទ តនងលកខខណឌ ែដលឲយ )

ដចេនះ }36

11;

12{x

។



IV-ក. គណនតៃមលរបកដៃន 10

sin នង

10cos

េគមន 10

3

210

2

េគបន 10

3cos)

10

3

2sin(

10

2sin

មរបមនតរតេកណមរត ៖

acosasin2a2sin នង acos3acos4a3cos 3

)10

sin1(4310

sin2

10cos43

10sin2

10cos4

10cos3

10cos

10sin2

10

3cos

10cos

10sin2

2

2

3

ឬ 0110

sin210

sin4 2

ង 0

10sint

េគបន 0541',01t2t4 2



េគទញឬស 04

51t1

( មនយក )

4

51t, 2

ដចេនះ 4

51

10sin

។

េ យ 110

cos10

sin 22

នឲយ 4

5210)

4

51(1

10cos 2

ដចេនះ 4

5210

10cos

។

ខ. រ យថ 10

sin)yx(4)yx(x 22222

ងអនគមន 10

sin)yx(4)yx(x)y;x(f 22222

េគបន ៖

222222 )

4

51)(yx(4yxy2xx)y;x(f



IRy,x,0y2

15x

2

15

y2

15xy2x

2

15

y2

51xy2x

2

51

2

53)yx(yxy2x2

16

526)yx(4yxy2x2

2

22

22

2222

2222

ដចេនះ 10

sin)yx(4)yx(x 22222 ។



វញញ ទ០៤


I-េ ះរ យសមករ ៖

2 3 36 x 6 xlog (54 x ) 5 log (54 x ) 6 0 .

II-េគឲយ 1z នង 2z ជចននកផលចពរែដល 1|z||z| 21

នង 1z.z 21 ។

ចររ យថ 21

21

zz1

zz

ជចននពតមយ ។

III-េគឱយសវត ងេតរកល 1

n 2n

0

I x 1 x .dx ែដល n IN ។

ក. ចររកទនកទនងរ ង nI នង n 2I

ខ. គណនផលគណ n n n 1P I .I , n 1 ជអនគមនៃន n ។

គ. គណនផលបក n

n k 1 2 nk 1

S P P P ......... P

ជអនគមនៃន n



រចទញរកតៃមលៃនលមត nnlim S

។

ឃ. រករបមនតគណន nI ជអនគមនៃន n ។

ដេ ះរ យ

I-េ ះរ យសមករ ៖ 2 3 36 x 6 xlog (54 x ) 5log (54 x ) 6 0 (1) .

លកខខណឌ

354 x 0

6 x 0

6 x 1

សមមល

3x 3 2

x 6

x 5

ឬ 3x 3 2

x 5

ង 36 xy log (54 x ) សមករ (1) ចសរេសរ ៖

2y 5y 6 0 , 25 24 1 េគទញឬស 1 2y 2 , y 3

‐ចេពះ y 2 េគបន 36 xlog (54 x ) 2

3 2

3 2

3 2

2

54 x (6 x)

54 x 36 12x x

x x 12x 18 0

(x 3)(x 2x 6) 0



េគទញឬស 1 2 3x 3 , x 1 7 , x 1 7

‐ចេពះ y 3 េគបន 36 xlog (54 x ) 3

3 3

2

2

(54 x ) (6 x)

18x 108x 162 0

18(x 3) 0

េគទញឬស x 3 ។

II-រ យថ 21

21

zz1

zz

ជចននពតមយ

ង 21

21

zz1

zzZ

េនះ 21

21

z.z1

zzZ

េ យ 1|z|z.z 2111 េនះ

11 z

1z េហើយដចគន

22 z

1z

េគបន Z1zz

zz

z

1.

z

11

z

1

z

1

Z12

12

21

21

េ យ ZZ េនះ 21

21

zz1

zzZ

ជចននពត ។



III-ក. រកទនកទនងរ ង nI នង n 2I

េយើងមន 1

n 2n

0

I x 1 x .dx នង 1

n 2 2n 2

0

I x . 1 x .dx

ង 2

n

U 1 x

dV x .dx

នឱយ

2

n n 1

xdU .dx

1 x1

V x .dx xn 1

េយើងបន 1 1 n 2

n 1 2n 2

0 0

1 1 xI x . 1 x .dx

n 1 n 1 1 x

1 1n n n 2 n n 2

n 2 20 0

1 1nn 2

n 20 0

1n 1

n n20

1 x (x x ) 1 x x (1 x )I .dx .dx

n 1 n 11 x 1 x

1 x .dx 1I x 1 x .dx

n 1 n 11 x

1 xdx 1I x . I

n 1 n 11 x

ង

n 1

2

U x

xdxdV

1 x

នឱយ n 2

2

dU (n 1)x .dx

V 1 x




n 1 2 n 2 2n n

00

1 1I x 1 x (n 1) x 1 x .dx I

n 1 n 1

េគទញ n n 2 n(n 1)I (n 1)I I នឱយ n n 2

n 1I I

n 2

ដចេនះ ទនកទនងរ ង nI នង n 2I

គ n n 2

n 1I I , n 2

n 2

។

ខ. គណនផលគណ n n n 1P I .I , n 1 ជអនគមនៃន n

េយើងមន n n n 1P I .I នឱយ n 1 n 1 nP I .I

េ យ n n 2

n 1I I

n 2

នឱយ n 1 n 1

nI .I

n 3

េគទញ n 1 n 1 n n

n nP I .I P

n 3 n 3 ( េរពះ n n n 1P I .I )

នេ យ n 1

n

P n n n 1 n 2. .

P n 3 n 1 n 2 n 3

។

េយើងបន (n 1) (n 1)

k 1

k 1 k 1k

P k k 1 k 2. .

P k 1 k 2 k 3



(n 1) (n 1) (n 1) (n 1)k 1

k 1 k 1 k 1 k 1k

32 n

1 2 n 1

n

1

P k k 1 k 2

P k 1 k 2 k 3

PP P 1 2 n 1 2 3 n 3 4 n 1. .... . .... . .... . ....

P P P 2 3 n 3 4 n 1 4 5 n 2

P 1 2 3. .

P n n 1 n 2

នឱយេគទញ n 1 0 1

6 6P .P .I .I

n(n 1)(n 2) n(n 1)(n 2)

េ យ 11

2 20

00

x 1I 1 x .dx 1 x arcsinx

2 2 4

នង 11 3

2 2 21

0 0

1 1I x 1 x .dx (1 x )

3 3

េគបន n

6 1 1P . . .

n(n 1)(n 2) 4 3 2 n(n 1)(n 2)

ដចេនះ n

1P .

2 n(n 1)(n 2)

។

គ. គណនផលបក n

n k 1 2 nk 1

S P P P ......... P

េយើងមន ៖



n

1 1 1P .

2 n(n 1)(n 2) 4 n(n 1) (n 1)(n 2)

េយើងបន n

nk 1

1 1S

4 k(k 1) (k 1)(k 2)

1 1 1 1 1 1( ) ( ) .....

4 1.2 2.3 2.3 3.4 n(n 1) (n 1)(n 2)

1 1 n(n 3).

4 2 (n 1)(n 2) 8 (n 1)(n 2)

ដចេនះ n

n(n 3)S .

8 (n 1)(n 2)

នង nnlim S

8

។

ឃ. រករបមនតគណន nI ជអនគមនៃន n

មសរមយខងេលើេយើងមន n n 2

n 1I I , n 2

n 2

‐ករណ n 2p 1 ( ចននេសស )

េយើងបន 2p 1 2p 1

2pI .I

2p 3 ឬ

2p 1

2p 1

I 2p

I 2p 3

េគទញ 2p 13 5 7

1 3 5 2p 1

II I I 2 4 6 2p. . ..... . . .....

I I I I 5 7 9 2p 3



2p 1

1

I 2 4 6 2p. . .....

I 5 7 9 2p 3

នឱយ 2p 1 1

2.4.6....2pI .I

5.7.9....(2p 3) េ យ

ដចេនះ 2 p 1

2 .4 .6 ....2p 1I .

5 .7 .9 ....( 2p 3 ) 3 ។

‐ករណ n 2p ( ចននគ )

េយើងបន 2p 2p 2

2p 1I .I

2p 2

ឬ 2p

2p 2

I 2p 1

I 2p 2

េគទញ 2p62 4

0 2 4 2p 2

III I 1 3 5 2p 1. . ..... . . .....

I I I I 4 6 8 2p 2

2p

0

I 1 3 5 2p 1. . .....

I 4 6 8 2p 2

នឱយ 2p 1 0

1.3.5....(2p 1)I .I

4.6.8....(2p 2)

េ យ 0I4

ដចេនះ 2p 1

1.3.5....(2p 1)I .

4.6.8....(2p 2) 4

។

3

1I1



វញញ ទ០៥



3

2 2 3 2 3

3 x(3 x)

11 log (9x x ) log (9x x )

3 .

II-ចរបងហ ញថ b b

a a

f (x).dx f (a b x).dx

អនវតតន ៖ ចរគណន ងេតរកល 3

0

I ln(1 3 tanx).dx

III-េគឲយសមករ 3 2(E) : x mx 7(m 5)x 14m 90 0

ក. េ ះរ យសមករេនះចេពះ m 6 ។

ខ. កនត m េដើមបឲយសមករមនឬសប 1 2 3x , x , x

េផទ ងផទ តទនកទនង 3 3 31 2 3x x x 73

រចគណនឬសទងបេនះ ។



IV-េគេ យ ងេតរកល ៖

(n 1)a

n 2na

dxI

cos x

នង (n 1) a

n 2a

dxJ ,n IN,a 0

cos x

។

ក‐បងហ ញថ 1 2 3 n nI I I .... I J ។

ខ‐គណន nI នង nJ ជអនគមនៃន n ។

គ‐េរបើលទឋផលខងេលើចរបរងមផលបក ៖

n

1 1 1S .........

cosacos2a cos2acos 3a cos na cos n 1 a

។

ដេ ះរ យ


. 3

2 2 3 2 3

3 x(3 x)

11 log (9x x ) log (9x x ) (1)

3

លកខខណឌ 2 39x x 0

3 x 0

3 x 1

សមមល x 0 , x 9

x 3

x 2

ឬ x 3

x 0

x 2



សមករ(1) ចសរេសរ ៖

2 2 3 2 33 x 3 x

2 2 3 2 33 x 3 x

22 33 x

2 33 x

2 3 3

2 3 2 3

1 21 log (9x x ) log (9x x )

9 3

log (9x x ) 6 log (9x x ) 9 0

log (9x x ) 3 0

log (9x x ) 3

9x x (3 x)

9x x 27 27x 9x x

27x 27 0

ដចេនះសមករមនឬស x 1 ។

II-បងហ ញថ b b

a a

f (x).dx f (a b x).dx

ង t a b x dt dx

េបើ x a t b នង x b t a

េយើងបន b a a b

a b b a

f (x).dx f(a b t)( dt) f (a b t).dt f (a b t).dt

ដចេនះ b b

a a

f (x).dx f (a b x).dx ។



គណន ងេតរកល 3

0

I ln(1 3 tan x).dx

មរបមនតខងេលើេយើង ចសរេសរ ៖

3 3

0 0

3 3

0 0

3 3

0 0

3 tanxI ln 1 3 tan( x) .dx ln 1 3. .dx

3 1 3 tanx

4I ln .dx ln4 ln(1 3 tanx) .dx

1 3 tanx

2I ln4 dx ln(1 3 tanx).dx ln2 I

3

22I ln 2

3

នឱយ I ln2

3

ដចេនះ 3

0

I ln(1 3 tan x).dx ln 23

។

III-ក. េ ះរ យសមករ

ចេពះ m 6 សមករ ចសរេសរ ៖



3 2

3 2 2

2

2

x 6x 7x 6 0

x 3x 3x 9x 2x 6 0

x (x 3) 3x(x 3) 2(x 3) 0

(x 3)(x 3x 2) 0

េគទញឬស 1 2 3

3 17 3 17x 3 , x ; x

2 2

។

ខ. កនតតៃមលរបស m

េគមន 3 2(E) : x mx 7(m 5)x 14m 90 0

ែដល m ជប ែមរត ។

េបើ 1 2 3x , x , x ជឬសរបសសមករេនះ មរទសតបទែវយតេគមន ៖

1 2 3

1 2 2 3 3 1

1 2 3

x x x m (1)

x x x x x x 7(m 5) (2)

x x x 14m 19 (3)

មប បេគមន 3 3 31 2 3x x x 73 (4)

េ យេគមន ៖



3 3 3 3a b c 3abc (a b c) 3(a b c)(ab bc ca)

េគ ចសរេសរ 373 3(14m 90) m 3m 7(m 5)

3 2

3 2

3

73 42m 270 m 21m 105m

m 21m 147m 343 0

(m 7) 0

ដចេនះេគទញបន m 7 ។

ចេពះ m 7 សមករសរេសរ ៖ 3 2

3 2 2

2

2

x 7x 14x 8 0

x x 6x 6x 8x 8 0

x (x 1) 6x(x 1) 8(x 1) 0

(x 1)(x 6x 8) 0

(x 1)(x 2)(x 4) 0

េគទញឬស 1 2 3x 1 , x 2 , x 4 ។

IV-ក‐បងហ ញថ 1 2 3 n nI I I .... I J

(n 1)a (n 1)a2a 3a

1 2 3 n 2 2 2 2a 2a na a

dx dx dx dxI I I .... I ...

cos x cos x cos x cos x



ដចេនះ 1 2 3 n nI I I .... I J ។

ខ‐គណន nI នង nJ ជអនគមនៃន n

េយើងបន ៖

(n 1)a(n 1)a

n 2nana

dx sinaI tanx tan(n 1)a tan(na)

cos x cos(na).cos(n 1)a

នង (n 1)a(n 1)a

n 2aa

dx sin(na)J tanx tan(n 1)a tana

cos x cosa.cos(n 1)a

ដចេនះ n n

sina sin(na)I , J

cos(na)cos(n 1)a cosa.cos(n 1)a

។

គ‐គណនផលបក

n

n n

k nk 1 k 1

1 1 1S .........

cosacos2a cos2acos3a cos na cos n 1 a

1 1 1 sin(na)I .J

coska.cos(k 1)a sina sina sinacosacos(n 1)a

ដចេនះ n

sinnaS

sinacosacos(n 1)a



វញញ ទ០៦


I-េគឱយែខ េកង 2(x 1)(H):y

x 2

នងចនច I ( 2 ; 2 ) ។

ចរកនតរកសមកររងវង(C) មនផចត I េហើយបះនងែខ េកង (H) ។

II-េគឧបមថ mS នង nS ជផលបក m តដបង នង n តដបង

េរៀងគន ៃនសវតនពវនតមយែដល 2

m2

n

S m; ( m n)

S n ។

ង mU ជតទ m នង nU ជតទ n ។បងហ ញថ m

n

U 2m 1

U 2n 1

III-េគមន ងេតរកល 2

4

dxI

sinx

នង 2

3

4

dxJ

sin x

ក‐កនតពរចននពត a , b េដើមបឱយ 1 asin x bsin x

sin x 1 cosx 1 cosx

។

ខ‐គណន ងេតរកល I រចទញរកតៃមល J ។



IV-េគឲយសវតៃនចននពត )u( n កនតេ យ ៖

1u0 នង 1u4u6u4

uu

n

2

n

3

n

4

n1n រគប INn

ចរបងហ ញថ 4

n1n u

11

u

11

រគប INn

រចគណន nu ជអនគមនៃន n ។

ដេ ះរ យ

I-កនតរកសមកររងវង (C)

េគមន 2(x 1)

(H):yx 2

នងចនច I ( 2 ; 2 )

មរបមនតសមកររងវង (C) មនផចត I(2 ; 2 ) សរេសរ ៖

2 2 2(C) : (x 2) (y 2) R ែដល R ជកៃនរងវង ។

សមករ បសសចនចរបសពវរ ង (H) នង (C) សរេសរ ៖



2

2 2

2

2 2

2 2 22

2(x 1)(x 2) 2 R

x 2

2x 2 2x 4(x 2) R

x 2

4(x 2) R , X (x 2)

(x 2)

24X R

X នឱយ 2 2X R X 4 0 (1)

េដើមបឱយរងវង (C) បះនងែខ េកង (H) លះរ ែតសមករ (1)

មនឬសឌបេពលគេគរតវឱយ 4R 16 0 នឱយ

4R 16 2 ។

សមកររងវង (C) ចសរេសរ ៖

2 2

2 2

(x 2) (y 2) 4

x 4x 4 y 4y 4 4 0

ដចេនះ 2 2(C) : x y 4x 4y 4 0 ។



II-បងហ ញថ m

n

U 2m 1

U 2n 1


m2

n

S m

S n េ យ 1 m 1 n

m n

m(U U ) n(U U )S ; S

2 2

េគបន 2

1 m2

1 n

m(U U ) 2 m

2 n(U U ) n

នឱយ 1 m

1 n

U U m(1)

U U n

េ យ m 1 n 1U U (m 1).d , U U (n 1).d

ែដល d ជផលសងរមៃនសវត។

យក m 1 n 1U U (m 1).d , U U (n 1).d ជសកនង (1) េគបន

1

1

2U (m 1).d m

2U (n 1)d n

ឬ 1 12U n n(m 1)d 2U m m(n 1)d

េគទញ 1

n(m 1)d m(n 1)d d(mn n mn m) dU

2(m n) 2(m n) 2

េរពះ m n ។

េយើងបន m n

d 2m 1 d 2n 1U (m 1)d .d. ;U (n 1).d .d

2 2 2 2



េគបន m

n

2m 1.dU 2m 12

2n 1U 2n 1.d2

េបើ d 0 ។

ដចេនះ m

n

U 2m 1

U 2n 1

។

III-ក‐/កនតបចននពត a, b

េយើងបន 1 asinx bsinx

sinx 1 cosx 1 cosx

2

2

1 asin x(1 cosx) bsin x(1 cosx)

sin x 1 cos x1 sin x(a acos x b bcosx)

sin x sin x1 (a b) (a b)cosx

sin x sin x

េគទញបន a b 1

a b 0

នឱយ 1a b

2

ដចេនះ 1 1

a , b2 2

។



ខ‐គណន ងេតរកល I រចទញរកតៃមល J

ចេពះ 1 1a , b

2 2 េគមន 1 1 sin x 1 sin x

sin x 2 1 cosx 2 1 cosx

េគបន 2

4

1 sinx 1 sinxI .dx

2 1 cosx 2 1 cosx

2 2

4 4

1 sinx 1 sinx.dx .dx

2 1 cosx 2 1 cosx

2 2

4 4

2 2

4 4

1 (1 cosx)' 1 (1 cosx)'I .dx .dx

2 (1 cosx) 2 (1 cosx)

1 1ln |1 cosx | ln |1 cosx |

2 2

1 1 1 1ln1 ln(1 ) ln1 ln(1 )

2 22 2

1 2 1 2 1 1 2 1ln( ) ln( ) ln( ) ln( 2 1)

2 22 2 2 1

ដចេនះ I ln(1 2 ) ។



មយងេទៀត 2 2

3 2

4 4

dx 1 dxJ .

sin x sinx sin x

ង 2

1u

sin xdx

dvsin x

នឱយ 2

2

cosxdu

sin xdx cosx

v cot xsin x sin x

េគបន 222

2 3

44

cosx cos xJ .dx

sin x sin x

22 2 2

3 3

4 4 4

1 sin x dx dxJ 2 .dx 2

sin x sin x sinx

J 2 J I នឱយ 2 IJ

2 2 េ យ I ln(1 2)

ដចេនះ 2 1J ln(1 2 )

2 2 ។



IV-បងហ ញថ 4

n1n u

11

u

11


n

n

2

n

3

n

1n u

1u4u6u41

u

11

4

n4

n

4n

4

n

n

2

n

3

n

4

n

u

11

u

)1u(

u

1u4u6u4u

ដចេនះ 4

n1n u

11

u

11

។

គណន nu ជអនគមនៃន n


n1n u

11

u

11

េគបន

n1n u

11ln4

u

11ln

ង

nn u

11lnv នឲយ

1n1n u

11lnv

េគបន n1n v4v ។



ទនកទនងេនះបញជ កថ )v( n ជសវតធរណមរតមន

េរសង 4q នងត 2lnu

11lnv

00

( េរពះ 1u0 ) ។

មរបមនត 2ln4q.vv nn0n ។

េ យ

nn u

11lnv

េគទញ 2ln4u

11ln n

n

នឲយ

n4

n

2u

11

ដចេនះ 12

1u n4n

។



វញញ ទ០៧


I-ក‐កនតចននពត a នង b េដើមបឱយ 1 acosx bcosx

cosx 1 sinx 1 sinx

ចេពះរគប x 0,4

។

ខ‐គណន ងេតរកល 4

0

dxI

cos x

។

II-េគដងថ 2x

6

0

f (2t 1).dt 4x ។ ចររកអនគមន f (x) ។

IIIគណន )xx1).....(xx1)(xx1(P1nn 22422

n

IV-េគឲយសវតៃនចននពត )U( n កនតេ យ 4

nsin.2U

n

n

ែដល n IN ។

ក‐ចរបងហ ញថ 4

nsin

4

ncos

4

)1n(cos.2



ខ‐ទញឲយបនថ 4

)1n(cos)2(

4

ncos)2(U 1nn

n

គ‐គណនផលបក ៖

n321n U.........UUUS ជអនគមនៃន n ។

ដេ ះរ យ

I-ក/កនតចននពត a នង b

េគបន 1 acosx bcosx

cosx 1 sinx 1 sin x

2

2

acosx 1 sinx bcosx 1 sin x1

cosx 1 sinx 1 sinx

cosx a asinx b bsinx1

cosx 1 sin x

cosx a b a b sin x1

cosx cos x

a b a b .sinx1

cosx cosx

េគទញបន a b 1

a b 0

នឱយ 1

a21

b2



ដចេនះ 1 1

a ,b2 2

។

ខ‐គណន ងេតរកល 4

0

dxI

cosx

មស យខងេលើ ចេពះ 1a

2 នង 1

b2

េគមន ៖

1 acosx bcosx

cosx 1 sinx 1 sin x

ចេពះរគប x 0,

4

។

4 4

0 0

dx 1I .dx

cos x cos x

4 4 4

0 0 0

4 4

0 0

4 40 0

cos x cos x 1 cos x 1 cos x.dx .dx .dx

2 1 sin x 2 1 sin x 2 1 sin x 2 1 sin x

1 sin x ' 1 sin x '1 1.dx .dx

2 1 sin x 2 1 sin x

1 1ln 1 sin x ln 1 sin x

2 2

1 2 1ln 1 ln1 ln

2 2 2

21 ln1

2

1 2 2 1 2 2ln ln ln( 2 1)

2 2 2 2



II-រកអនគមន f (x)

េគមន 2x

6

0

f (2t 1).dt 4x

ង g(t) f (2t 1) នង G(t) ជរពមទវៃន g(t) ។

េគបន 2x

6

0

g(t).dt 4x

2x 6

0

2 6

G(t) 4x

G(x ) G(0) 4x

េធវើេដរេវេលើអងគទងពរៃនទនកទនងេនះេគបន ៖

2 52x.G'(x ) 24x នឱយ 2 4G'(x ) 12x េ យ G'(t) g(t)

េគទញ 2 4g(x ) 12x ែត g(t) f (2t 1)

េគបន 2 4f (2x 1) 12x ង 22x 1 y នឱយ 2 y 1x

2

នឱយ 2

2y 1f (y) 12 3(y 1)

2

ដចេនះ 2f (x) 3(x 1)



III-គណន

)xx1).....(xx1)(xx1(P1nn 22422

n

េគមន )aa1)(aa1(a)a1(aa1 2222242

េគទញ 2

422

aa1

aa1aa1

យក k2xa

េគបន 1kk

2k1k1kk

22

2222

xx1

xx1xx1

2

22n

0k 22

22

n xx1

xx1

xx1

xx1P

2n1n

1kk

2k1k

ដចេនះ 2

22

n xx1

xx1P

2n1n

។

IV-ក/បងហ ញថ 4

nsin

4

ncos

4

)1n(cos.2

មរបមនត bsinasinbcosacos)bacos(

េយើងបន ៖



)4

sin4

nsini

4cos

4

n(cos2

)44

ncos(2

4

)1n(cos2

4

nsin

4

ncos)

4

nsin

2

2

4

ncos

2

2(2

4

)1n(cos2

ដចេនះ 4

nsin

4

ncos

4

)1n(cos.2

។

ខ‐ទញឲយបនថ 4

)1n(cos)2(

4

ncos)2(U 1nn

n


nsin

4

ncos

4

)1n(cos.2

នឲយ 4

)1n(cos2

4

ncos

4

nsin

គណអងគទងពរនង n)2(

េគបន 4

)1n(cos)2(

4

ncos)2(

4

nsin)2( 1nnn

ដចេនះ 4

)1n(cos)2(

4

ncos)2(U 1nn

n

។



គ‐គណនផលបក n321n U.........UUUS

េយើងបន

4

)1n(cos)2(

4cos2

4

)1k(cos)2(

4

kcos)2(S

1n

n

1k

1kkn

ដចេនះ 4

)1n(cos)2(1S 1n

n

។



វញញ ទ០៨


I-េគឲយ )x( n នង )y( n ជសវតចននពតកនតេលើ IN

េ យ 1y,5x 00 នងទនកទនងកេនើន ៖

2

nn

3

n1n yx3xx នង 3

nn

2

n1n yyx3y រគប INn

ចរគណន nx នង ny ជអនគមនៃន n ។

II-េគឱយ f ជអនគមនជបេលើ 0,1 ។

ចរបងហ ញថ 0 0

x.f (sinx).dx f (sinx).dx2

?

អនវតតនៈ ចរគណន 20

xsinx.dxI

1 cos x

។

III-េ ះរ យរបពនឋសមករ

18)y

11()

x

11()

y

1

x

1(

9y1

x1

3333



IV-េគឲយអនគមន IRx,)x1xln()x(f 2

ចររ យបញជ កថ )b1

b

a1

a(f)

ba1

ba(f

ចេពះរគប 0b,0a ។

ដេ ះរ យ

I-គណន nx នង ny ជអនគមនៃន n

េគមន )1(yx3xx 2

nn

3

n1n

នង )2(yyx3y 3

nn

2

n1n

បកសមករ )1( នង )2( េគបន ៖

)yxln(.3)yxln(

)yx(yx

nn1n1n

3nn1n1n

ទនកទនងេនះបញជ កថ })yxln({ nn ជសវតធរណមរតមន

េរសង 3q នងតដបង 6ln)yxln( 00 ។

េគបន 6ln3)yxln( nnn



េគទញ )3(6yxn3

nn

ដកកសមករ )1( នង )2( េគបន ៖

)yxln(.3)yxln(

)yx(yx

nn1n1n

3nn1n1n

ទនកទនងេនះបញជ កថ })yxln({ nn ជសវតធរណមរតមន

េរសង 3q នងតដបង 4ln)yxln( 00 ។

េគបន 4ln3)yxln( nnn នឲយ )4(4yx

n3nn

បកសមករ )3( នង )4( េគបន nn 33n 46x2

េគទញ 2

46x

nn 33

n

។

ដកសមករ )3( នង )4( េគបន nn 33n 46y2

េគទញ 2

46y

nn 33

n

។

ដចេនះ 2

46x

nn 33

n

នង

2

46y

nn 33

n

។



II-បងហ ញថ 0 0


ង x t នឱយ dx dt

នង ចេពះ x 0, នឱយ t ,0

េគបន 0

0

x.f (sin x).dx ( t).f sin( t) .dt

0 0 0 0

x.f (sin x).dx ( t).f (sin t).dt f (sin t).dt t.f (sin t).dt

0 0 0

x.f (sin x).dx f (sin x).dx x.f (sin x).dx

នឱយេគទញបន 0 0


។

អនវតតនៈ គណន 20

xsinx.dxI

1 cos x

េគមន 2 2 20 0 0

x.sinx.dx sinx.dx sinx.dxI x.

1 cos x 2 sin x 2 2 sin x



ង z cosx នឱយ dz sin x.dx

េហើយចេពះ x 0, េនះ z 1, 1

េគបន 1 2

1

2 11

dzI arctan z

2 1 z 2 2 4 4 4

។

ដចេនះ 2

20

x sin x.dxI

1 cos x 4

។


18)y

11()

x

11()

y

1

x

1(

9y

1

x

1

3333

េ យេរបើឯកលកខណះភព

)ac)(cb)(ba(3cba)cba( 3333 3

3 3 33 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) 1 3(1 )(1 )( )

x yx y x y x y

3

3 3

1 1(1 ) 1 9 3(18) 64

x y



េគទញ 3 3

1 11 4

x y ឬ

3 3

1 13

x y

េគបន 3

3 3

1 1( ) 27

x y

3 33 3

3

3

1 1 3 1 1( ) 27

x y x. y x y

39 (3) 27

xy

11 3

xy

1xy

8

េគបនរបពនឋ

8

1xy

9y

1

x

1

ឬ

8

1xy

8

9yx

បនទ បពេ ះរ យសមករែវយត 08

1z

8

9z2

េគទទលបនគចេមលើយ ( 8

1y,1x ) ឬ ( 1y,

8

1x ) ។



IV-រ យបញជ កថ )b1

b

a1

a(f)

ba1

ba(f

េយើងមន IRx,)x1xln()x(f 2


2

2

2

x1x

x12

x21

x1x

)'x1x()x('f

222

2

x1

1

)x1)(x1x(

xx1)x('f

េ យ IRx,0x1

1)x('f

2

ដចេនះអនគមន )x(f ជអនគមនេកើនជនចចេលើ IR។

មយងេទៀតចេពះរគប 0b,0a េគមន ៖

a1

a

ba1

a

នង

b1

b

ba1

b

េគទញ b1

b

a1

a

ba1

b

ba1

a

ឬ b1

b

a1

a

ba1

ba



េ យ រែតអនគមន )x(f ជអនគមនេកើនជនចចេលើ IR

េហតេនះ មលកខណះអនគមនេកើនេគបន៖

b1

b

a1

a

ba1

ba

នឲយ )b1

b

a1

a(f)

ba1

ba(f

ដចេនះ )b1

b

a1

a(f)

ba1

ba(f

ចេពះរគប 0b,0a ។

I-

II

ក

ខ

េរៀបេរៀង

-េគឲយស

ង t

ចរគណ

aA

I-េគឱយ

ក. ចរបងហ

ខ. អនវតត

ងេ យ ល

សមករ a

tan ន

ណនតៃ

(sina 2

f ជអ

ងហ ញថ

តតន ៖ គ

គណ

លម ផលគ

bxax2

ង tan

ៃមលៃនកេ

b)

នគមនគ

a

a

f (x).

1 q

ណន I

ណតវទយ

លគន

វញញ

សរមបរ

0cx

ជឬស

ន ម ៖

sin(

គេលើ a

x0

.dxf

q

2

2

coI

1

យ

ញញ ទ

រយះេពល

0a,0

សរបសស

cos()

a,a ។

f (x).dx ,

x

osx.dx

3

របករណ

០៩

ល២េមង

ca,0

សមករខ

)

។

, q 0 ,

ណ

។

ខងេលើ

(cosc 2

q 1

Pa

។

)

។

age63



III-ចននគតវជជមន n ែចកនង 8 ឱយសណល 1 ។

ចនន nេនះែចកនង 5 ឱយសណល 2 ។

ក‐េបើចនន n េនះែចកនង 4០ ឱយសណលបនម ន ?

ខ‐រកចនន n េនះេ យដងថ 4000n3940 ។

IV-ចរកនតរកអនគមន )x(f នង )x(g េបើេគដងថ៖

2x)1x3(g2)1x2(f

នង 1x2x2)2x6(g)3x4(f 2 ចេពះរគប IRx ។

ដេ ះរ យ

I-គណនតៃមលៃនកេន ម ៖

)(cosc)cos()sin(b)(sinaA 22

េ យ tan នង tan ជឬសរបសសមករេគបន ៖



a

ctan.tan

a

btantan

េយើងបន ac

b

ca

b

a

c1

a

b

tantan1

tantan)tan(

េយើងបន )(cosc)cos()sin(b)(sinaA 22

c)ac(

)ac(c)ac(bab

b)ac(

)ac(

cac

b

)ac(

ab

b)ac(

)ac(

c)tan(b)(tana)(tan1

1

c)tan(b)(tana)(cosA

2

222

22

2

2

2

2

22

2

22

22

ដចេនះ c)(cosc)cos()sin(b)(sinaA 22

II-ក.បងហ ញថ a a

xa 0

f (x).dxf (x).dx , q 0 ,q 1

1 q

។

េគមន a 0 a

x x xa a 0

f (x).dx f (x).dx f (x).dx1

1 q 1 q 1 q



ង x t នឱយ dx dt នងចេពះ x a,0 នឱយ t a ,0

េគបន 0 0 a at x

x t t xa a 0 0

f (x).dx f ( t).dt q .f ( t)dt q f ( x).dx

1 q 1 q 1 q 1 q

េ យ f (x) ជអនគមនគេនះ f ( x) f (x) , x a,a

េគទញបន 0 a x

x xa 0

f (x).dx q .f (x).dx 2

1 q 1 q

យក (2) េទជសកនង (1) េគបន ៖ a a a a ax x

x x x xa 0 0 0 0

f (x).dx q .f (x).dx f (x).dx (q 1)f (x).dxf (x).dx

1 q 1 q 1 q 1 q

ដចេនះ a a

xa 0

f (x).dxf (x).dx , q 0 ,q 1

1 q

។

ខ. អនវតតន ៖ គណន 2

x

2

cosxI .dx

1 3

េ យ cosx ជអនគមនគេនះេគបន ៖

2

20

0

I cos x.dx sin x 1 0 1

។ ដចេនះ I 1 ។



III-ក. េបើចនន n េនះែចកនង 40 ឱយសណលបនម ន ?

ឧបមថ n ែចកនង 8 ឱយផលែចក INq1 នងសណល 1

នង ចនន n េនះែចកនង 5 ឱយផលែចក INq2 នងសណល 2

មអគលត េយើងបន )16(

)15(

2q5n

1q8n

2

1

ឬ

)2(32q80n16

)1(15q120n15

2

1

បកសមករ (1) នង (2)

េយើងបន 17q4017q120q80n 12

ែដល 12 q3q2q ។ មទនកទនង 17q40n បញជ កថ

េបើចនន nេនះែចកនង 40 ឱយសណល 17r

ខ. រកចនន n េនះេ យដងថ 4000n3940

េយើងមន 17q40n េ យ 4000n3940

េគទញ 400017q403940



ឬ 40

17100n

40

398

េ យ INq នឱយេគទញបន }100,99{q

េហើយ }4017,3977{n ។

IV-កនតរកអនគមន )x(f នង )x(g

េគមន )1(x)1x3(g2)1x2(f 2

នង )2(1x2x2)2x6(g)3x4(f 2

េយើង ង 3t41x2 នឱយ 1t2x

យក 1t2x ជសកនង (1) េគបន ៖

)3(1t4t4)2t6(g2)3t4(f

)1t2(1)1t2(3g21)1t2(2f2

2

េបើេគយក tx ជសកនង(2) េគបន

)4(1t2t2)2t6(g)3t4(f 2



ម (3) នង (4) េគបនរបពនឋ

)4(1t2t2)2t6(g)3t4(f

)3(1t4t4)2t6(g2)3t4(f2

2

ដកសមករ(3)នង(4)េគបន

t6t6)2t6(g3 2 នឱយ 2t2)2t6(g 2

យក 2t6x នឱយ 6

2xt

េហើយ 18

)8x)(4x(2)

6

2x(2)x(g 2

ម (4)នឱយ 1t2t2)2t2()3t4(f 22

នឱយ 1t2)3t4(f យក 3t4x នឱយ 4

3xt

េគទញ 2

1x1)

4

3x(2)x(f

ដចេនះ 18

)8x)(4x()x(g,

2

1x)x(f

។



វញញ ទ១០


I-េគឲយែខ េកង xm

1m4mx4x)x(fy:)C(

22

mm

ចរបងហ ញថមនែខ េកងពរៃនរគ រែខ េកង )C( m

ែដលកត មចនច )y;x(M 000 ចេពះរគប 200 IRy;x ។

mជប ែមរត ។

II-កនងបលងកផលច )j,i,O( េគឱយបនចនច D,C,B,A

ែដលមន ហវកេរៀងគន

i45Z,i54Z,i61Z CBA នង i32ZD ។

ចររ យថចតេកណ ABCDចរកកនងរងវងមយែដលេគនង

បញជ កផចតនង ករបស ។




900

16.5

400

15.4

yx

yx

IV-េគឲយអនគមន 1x3x3

1x3x3x)x(f

2

23

កនតចេពះរគប IRx ។

ចេពះរគបចននពតវជជមន a នង b ចររ យបញជ កថ ៖

ba2

abba1f

2

ba1f ។

ដេ ះរ យ

I-ករបងហ ញ ៖

េបើ 0 mM (C ) េគបន 2 2

0 00

0

x 4mx 4m 1y

m x

សមមល 2 20 0 0 0y (m x ) x 4mx 4m 1



)1(01yxxm)x4y(m4

1m4mx4xyxmy

002

0002

20

20000

ឌសរគមណងៃនសមករ )1( សរេសរ ៖

IRy,x;0)1x(16)x4y(

)1x(16)x16yx8y(

16yx16x16x16yx8y

)1yxx(16)x4y(

002

02

00

20

2000

20

002

02

0002

0

002

02

00

េ យ 0 នឲយសមករ )1( មនឬសពរេផ ងគន ជនចច ។

ដចេនះមនែខ េកងពរៃនរគ រែខ េកង )C( m ែដលកត ម

ចនច )y;x(M 000 ចេពះរគប 200 IRy;x ។

II-រ យថចតេកណ ABCDចរកកនងរងវង

េយើង ង 0cbyaxyx:)c( 22

ជសមកររងវងចរកេរករតេកណ ABC ។

េយើងបន )c(A នឱយ 0cb6a61 22



ឬ )1(37cb6a

)c(B នឱយ 0cb5a454 22

ឬ )2(41cb5a4

)c(C នឱយ 0cb3a2)3()2( 22

ឬ )3(13cb3a2

េយើងបនរបពនឋសមករ

13cb3a2

41cb5a4

37cb6a

បនទ បពេ ះរ យរបពនឋេនះេគបនចេមលើយ

23c,2b,2a ។

សមកររងវងចរកេរករតេកណ ABC ចសរេសរ ៖

023y2x2yx:)c( 22

ឬ 25)1y()1x(:)c( 22

មយងេទៀតេ យយកកអរេ េន Dជសកនងសមករ



25)13()12(:)c( 22

េផទ ងផទ តេនះនឱយ )c(D ។

េ យបនចនច D,C,B,A សថតេនេលើរងវងមនសមករ

25)1y()1x(:)c( 22 ែតមយេនះនឱយចតេកណABCD

ចរកកនងរងវង )c( មនផចត )1,1(I នង ក 5R ។

III-េ ះរ យរបពនឋសមករ ៖

900

16.5

400

15.4

yx

yx

េយើងមន )400

1ln()5.4(ln yx

ឬ )1(5ln24ln25lny4lnx

េហើយ )900

1ln()6.5ln( yx

ឬ )2(5ln26ln26lny5lnx



ម )2(&)1( េគបនរបពនឋ ខងេរកម

)5ln(

)6ln(

5ln26ln26lny5lnx

5ln24ln25lny4lnx

)4(5ln25ln.6ln26ln.5lny5lnx

)3(6ln.5ln26ln.4ln26ln.5lny6ln.4lnx22

បកសមករ )4(&)3( េគបន

)5ln.6ln.4(ln2x)6ln.4ln5(ln 22 នឱយ 2x

មសមករ 400

15.4 yx េគទញ

400

15.4 y2

នឱយេគទញ 2y ។ដចេនះ 2y,2x ។

IV-រ យបញជ កថ

ba2

abba1f

2

ba1f

េយើងមន 1x3x3

1x3x3x)x(f

2

23

កនតចេពះរគប IRx

IRx,0)1x3x3(

)1x(x3

)1x3x3(

x3x6x3

)1x3x3(

)1x3x3x)(3x6()1x3x3)(3x6x3()x('f

22

22

22

234

22

2322



ដចេនះ )x(f ជអនគមនេកើនេលើ IR ។

មយងេទៀតេយើងសនមតថ ba2

abba1

2

ba1

េគបន abba1

ba2

ba1

2

b1

1

a1

1

ba1

2

)b1)(a1(

)b1()a1(

ba1

2

េ យ a1

1

ba1

1

នង b1

1

ba1

1

រគប a នង b។

េគទញ b1

1

a1

1

ba1

2

នឲយba2

abba1

2

ba1

ពត។

ដចេនះ មលកខណះអនគមនេកើនេគទញបន ៖

ba2

abba1f

2

ba1f ។



វញញ ទ១១


I-េគឲយ P(x) ជពហធដេរកទប ។

េគដងថ 2)x(P ែចក ចនង 2)1x( េហើយ 2)x(P ែចក ច

នង 2)1x( ។ចរកនតរកពហធ )x(P ។

II-ចរេ ះរ យរបពនឋសមករ

1723.28

171273.4y21xx

y1yx

III-េគឲយ 632a0 នង )2a(2

5aa

n

2n

1n

ចេពះរគប 0n ។

ចររ យថ 23

2cota

3n

n

ចេពះរគប INn ។



ដេ ះរ យ

I-កនតរកពហធ )x(P ៖

មប បេគ ចសរេសរ

)2()dcx()1x(2)x(P

)1()bax()1x(2)x(P2

2

េគបន

02)1(P

02)1(P នឲយ

2)1(P

2)1(P

េ យេធវើេដរេវេលើ )1( នង )2( េគបន ៖

2

2

)1x(c)dcx)(1x(2)x('P

)1x(a)bax)(1x(2)x('P

)4()1x(c)dcx(2)[1x()x('P

)3()]1x(a)bax(2)[1x()x('P

ម )3( នង )4( បញជ កថ )x('P ែចក ចនង )1x)(1x(

េគទញ )1x)(1x(k)x('P

( េរពះ )x(P ជពហធដេរកទ៣ )

េគបន r)x3

x(kdx).1x(k)x(P

32



ចេពះ 1x េគបន

2rk3

2)1(P

2rk3

2)1(P

េ ះរ យរបពនឋេនះេគបន 0r,3k

ដចេនះ x3x)x3

x(3)x(P 3

3

។

II-េ ះរ យរបពនឋសមករ ៖

)2(1723.28

)1(171273.4y21xx

y1yx

េ យបកសមករ (1) នង (2) អងគនងអងគេគបន ៖ x x y 1 x 1 2y y

x 3 x 2 y x y 2 y 3

x y 3

x y

8 4 .3 2 .3 27 343

(2 ) 3(2 ) (3 ) 3(2 )(3 ) (3 ) 343

(2 3 ) 343

2 3 7 (3)

មយងេទៀតដកសមករ(1) នង (2) អងគនងអងគេគបន ៖



y x 1 2y x y 1 x

y 3 y 2 x y x 2 x 3

y x 3

x y

27 2 .3 4 .3 8 1

(3 ) 3(3 ) (2 ) 3(3 )(2 ) (2 ) 1

(3 2 ) 1

2 3 1 (4)

ម 3 នង 4 េយើងបនរបពនឋ ៖

)4(132

)3(732yx

yx

បកសមករ 3 នង 4 េគបន 82.2 x នឲយ

ដកសមករ 3 នង 4 េគបន 63.2 y នឲយ 1y ។

ដចេនះ x 2 , y 1 ។

III-រ យបញជ កថ 23

2cota

3n

n

ចេពះ 0n េគបន 224

cota0



26

264

4

264

261

)43

sin(

)43

cos(1

12sin

12cos1

24cos

24sin2

24cos2

24sin

24cos

24cot

2

6322

4

348)26(4

4

)26()26(4

24cot

2

េគទញ 632a0

េហតេនះ 23

2cota

3n

n

ពតចេពះ 0n ។

សនមតថ ពតដលតទ k គ 23

2cota

3k

k

ពត



េយើងនងរ យថ ពតដលតទ 1k គ ៖

23

2cota

2k

1k

ពត ។

េយើងមន )2a(2

5aa

k

2k

1k

េ យ 23

2cota

3k

k

េនះ

3

2cot2

523

2cot

a3k

23k

1k

2

2

2cot2

13

2cot

3

2cot2

13

2cot4

3

2cot

a

3k

3k2

3k

3k3k2

1k



េ យេរបើរបមនត acot2

1acota2cot

2

េគបន 23

2cota

2k

1k

ពត ។

ដចេនះ 23

2cota

3n

n

។



វញញ ទ១២


I-េគឱយ n n

1 1A i i , n IN

3 3

។

ចរបងហ ញថ n 1

n

2 nA i . .sin

3( 3)

ចេពះរគប n IN ។

II-េគឱយចននគតវជជមន n ។

េគដងថ n ែចកនង 7 ឱយសណល 5 េហើយ n ែចកនង 8

ឱយសណល 3 ។

ក. េតើចនន n េនះែចកនង 56 ឱយសណលបនម ន ?

ខ. រកចនន n េនះេ យដងថ 5616 n 5626 ។



III-េគឱយ ងេតរកល

1

0 20

dtI

1 t t

នង 1 n

n 20

tI .dt , ( n IN )

1 t t

ក. ចរគណនតៃមលៃន 0I រច រ យថ n(I ) ជសវតចះ។

ខ. រ យបញជ កថ n n 1 n 2

1I I I

n 1 ។

គ. ទញឱយបនថ n

1 1I , n 2

3(n 1) 3(n 1)

។

ទញរកលមត nnlim (nI )

។

IV-េគឲយ 1 2 3 4 5a ,a ,a ,a ,a ជចននពតែដលេផទ ងផទ តសមករ

3 51 2 42 2 2 2 2 2

a aa a a 1

k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k

ចេពះ k 1,2,3,4,5 ។

ចរកនតតៃមល 3 51 2 4a aa a a

37 38 39 40 41 ។



ដេ ះរ យ

I-បងហ ញថ n 1

n

2 nA i . .sin

3( 3)

ចេពះរគប n IN ។

េយើងមន n n

1 1A i i , n IN

3 3

ង 1 1 i. 3 2 1 3 2Z i i cos i.sin

2 2 3 33 3 3 3

មរបមនតដមរេគបន n n

n

n

1 2 n nZ i cos i.sin

3 33 ( 3)

េហើយ n

n

n

2 n nZ cos i.sin

3 3( 3)

េគទញ n n

n n

2 n n 2 n nA cos i.sin cos i.sin

3 3 3 3( 3) ( 3)

n n 1

n n

2 n n n n 2 ncos i.sin cos i.sin i. .sin

3 3 3 3 3( 3) ( 3)

ដចេនះ n 1

n

2 nA i . .sin

3( 3 )

។



II-ក. េតើចនន n េនះែចកនង 56 ឱយសណលបនម ន ?

មសមមតកមមេគដងថ n ែចកនង 7 ឱយសណល 5 នឱយមន

1q IN ែដល 1n 7q 5 (1)

េហើយមយងេទៀត n ែចកនង 8 ឱយសណល 3 េនះនឱយមន

2q IN ែដល 2n 8q 3 (2)

ម (1) នង (2) េគបនរបពនឋ 1

2

n 7q 5 (1)

n 8q 3 (2)

ឬ 1

2

8n 56q 40 (3)

7n 56q 21 (4)

ដកសមករ (3 ) នង (4) េគបន 1 2n 56(q q ) 19

ង 1 2q q q , q IN

េគបន n 56q 19 ។

ទនកទនងេនះមននយថចនន n េនះែចកនង 56 ឱយសណល 19



ខ. រកចនន n េនះេ យដងថ 5616 n 5626

េគមន n 56q 19 នឱយ 5616 56q 19 5626

ឬ 5597 5607

q56 56

ឬ 53 7

99 q 10056 56

នឱយ q 100 ។

ចេពះ q 100 េគបន n 5600 19 5619 ។

III-ក. គណនតៃមលៃន 0I រច រ យថ n(I ) ជសវតចះ

េយើងបន 1 1

0 220 0

dt dtI

3 11 t t ( t)4 2

ង 1U t

2 នឱយ dU dt

េហើយចេពះ t 0,1 េនះ 1 3U ,

2 2

េគបន 3 32 2

011 2 222

dU 2 2UI arctan

3 3 3( ) U

2



2 2 1 2

arctan 3 arctan3 63 3 3 3 3 3

។

ដចេនះ 1

0 20

dtI

1 t t 3 3

។

មយងេទៀតេគមន 1 n

n 20

tI .dt

1 t t

នង 1 n 1

n 1 20

tI .dt

1 t t

ចេពះរគប t 0,1 េគមន n 1 nt t នឱយ n 1 n

2 2

t t

1 t t 1 t t

េគទញ 1 1n 1 n

2 20 0

t t.dt .dt

1 t t 1 t t

ឬ n 1 nI I , n IN ។

ដចេនះ n(I ) ជសវតចះ ។

ខ. រ យបញជ កថ n n 1 n 2

1I I I

n 1

េយើងបន 1 1 1n n 1 n 2

n n 1 n 2 2 2 20 0 0

t dt t dt t dtI I I

1 t t 1 t t 1 t t

1 1n n 1 n 2 n 2

2 20 0

11n n 1

00

(t t t )dt t (1 t t ).dt

1 t t 1 t t

1 1t dt t

n 1 n 1



ដចេនះ n n 1 n 2

1I I I

n 1 ។

គ. ទញឱយបនថ n

1 1I , n 2

3(n 1) 3(n 1)

េយើងមន )I( n ជសវតចះ ។ មលកខណៈៃនសវតចះេយើងមន ៖

n n 1 n 2 n n 2 n 1 nI I I 3I I I I

េ យ n n 1 n 2

1I I I

n 1 នឱយ n 2 n 1 n

1I I I

n 1

េគទញ n

1 13I

n 1 n 1

នឱយ n

1 1I , n 2

3(n 1) 3(n 1)

។

ដចេនះ n

1 1I , n 2

3(n 1) 3(n 1)

។

ទញរកលមត nnlim (nI ) :

មន n

1 1I , n 2

3(n 1) 3(n 1)

នឱយ n

n nnI

3(n 1) 3(n 1)

។ ដចេនះ nn

1lim nI

3 ។



IV-កនតតៃមល 3 51 2 4a aa a a

37 38 39 40 41

ងអនគមន

5

3 51 2 4

p 0

a aa a a 1f (x) (x p) 1

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x

ែដល x x 1 , 4 , 9 , 16 , 25

េគបន f (1) f (4) f (9) f (16) f (25) 0

នឲយអនគមន f ចសរេសរមយែបបេទៀតជ ង

f (x) c(x 1)(x 4)(x 9)(x 16)(x 25) 2

ម (1) េគទញបន៖ x 0limf(x) 1 2 3 4 5 (0 1) 120

ម (2) េគទញបន៖

2

x 0limf (x) c.( 1)( 4)( 9)( 16)( 25) (120) c

េគបនសមករ 2 1(120) .c 120 c

120



េគបន 1f (x) (x 1)(x 4)(x 9)(x 16)(x 25)

120

េបើ 35.32.27.20.11x 36 f (36) (3)

120

ម (1)េបើ x 36 េគបន

51 2 aa a 1f (36) 36.37.38.39.40.41( ... ) (4)

37 38 41 36

ម (3) នង (4) េគទញបន

51 2 aa a 1 35.32.27.20.11...

37 38 41 36 120.36.37.38.39.40.41

ដចេនះ 3 51 2 4a aa a a 18746537 38 39 40 41 6744582

។



វញញ ទ១៣


I-គណនផលបក

!n.n.....!3.3!2.2!1.1Sn

ែដល 1.2.3)....2n)(1n(n!n ។

II-េ ះរ យរបពនឋសមករ

byaxyx

bayx44

3

ែដល a នង b ជចននពតែដល 0ba ។

III-េគឲយសវត }a{ n កនតេ យ ៖

1a0 នង 4a....a.aa n101n ចេពះរគប 1n ។

ចរបងហ ញថ 2aa 1nn ចេពះរគប 1n ។



IV-េគឲយ ងេតរកល 4

nn

0

I tan x.dx

ែដល n 0 , 1 , 2, ...

ក/រ យថ n(I ) ជសវតចះ រចគណន n n 2I I ជអនគមនៃនn។

ខ/បងហ ញថ n

1 1I

2(n 1) 2(n 1)

រគប n 2 ។

គ/គណនលមត nnlim (nI )

។

ដេ ះរ យ

I-គណនផលបក

!n.n.....!3.3!2.2!1.1Sn

េគមន !k.]1)1k[(!k.k

!k)!1k(!k.k

!k!k).1k(!k.k

េគបន !n)!1n(...)!3!4()!2!3()!1!2(Sn

ដចេនះ 1)!1n(Sn ។



II-េ ះរ យរបពនឋសមករ

byaxyx

bayx44

3

សមមល 1

y

yxbyax

)yx(ba44

3

443

44

3

yx)yx(y)yx(a

yxbyax

)yx(ybyay

េ យ 0ba េនះ 0yx

េគទញ 23443

xy3xyx

yx)yx(ya

េហើយ 323 yyx3a)yx(b

េគបនរបពនឋ

byyx3

axy3x32

23

នឲយ

3

3

bayx

bayx

ដចេនះ 2

babay;

2

babax

3333

។

III-បងហ ញថ 2aa 1nn

េយើងសេងកតេឃើញថរគប INk េគមន 0ak ។



េគមន 4a....a.aa n101n

េគបន 4a.....a.aa 1n102n

2

n102n

n102

n102n

n10n102n

)2a.....aa(a

4)a....a.a(4)a.....aa(a

4)4a.....a.a)(a.....a.a(a

េគទញ 2a.....aaa n102n

2)4a(a 1n2n ឬ 2aa 2n1n

ដចេនះ 2aa 1nn ។

IV- ក/រ យថ n(I ) ជសវតចះ

រគប x [0, ]4

េគមន 0 tanx 1

េគបន n 1 nn IN : cot x cot x នឲយ 4 4

n 1 n

0 0

tan x tan x.dx

ដចេនះ n(I ) ជសវតចះ ។



គណន n n 2I I ជអនគមនៃនn៖

េគបន 42 n

n n 20

I I (1 tan x) tan x.dx

ង 2u tan x du (1 tan x).dx

ចេពះ x [0, ]4

េនះ u [0 , 1]

េគបន 11

n n 1n n 2

00

1 1I I u du u

n 1 n 1

ដចេនះ n n 2

1I I

n 1

។

ខ/បងហ ញថ n

1 1I

2(n 1) 2(n 1)

រគប n 2 ៖

មន n n 2

1I I

n 1

េនះ n 2 n

1I I

n 1

រគប n 2 ។

េ យ n(I ) ជសវតចះេនះេគបន n 2 n n 2I I I

េគទញ n n 2 n 2 nn

I I I II

2 2

ដចេនះ n

1 1I

2(n 1) 2(n 1)

រគប n 2 ។



គ/គណនលមត nnlim (nI )

៖

េ យ n

1 1I

2(n 1) 2(n 1)

រគប n 2

គណអងគទងពរៃនវសមភពនង n េគបន ៖

n

n nnI

2(n 1) 2(n 1)

េ យ

n n

n n 1lim lim

2(n 1) 2(n 1) 2

ដចេនះ nn

1lim (nI )

2 ។

Documents

eebooklibrary.files.wordpress.com · 2013-02-09 · iii រម ភកថ សសួីម្តិតអ្តនកស ិកជទ ្រស Ôញី ់ប ន់ ! េសៀវេភ