Bases MatemáticasAula 17 – Convergência e Limite de Sequências

Rodrigo Hausen

v. 2014-9-4 1/29

Sequências convergentesExemplo: considere a sequência (1/n)∞n=1.

O que o seu gráfico no R2 diz sobre o seu comportamento?

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

2 4 6 8 10 12

(1, 1)

(2, 12)

(3, 13)

f(x) = 1x

Para valores suficientemente grandes de n, os termos de(1/n)∞n=1 se aproximam de zero.O que são “valores suficientemente grandes”? O que é “seaproximar” de um número?

v. 2014-9-4 2/29

Sequências convergentesExemplo: considere a sequência (1/n)∞n=1.

O que o seu gráfico no R2 diz sobre o seu comportamento?

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

2 4 6 8 10 12

(1, 1)

(2, 12)

(3, 13)

f(x) = 1x

Para valores suficientemente grandes de n, os termos de(1/n)∞n=1 se aproximam de zero.

O que são “valores suficientemente grandes”? O que é “seaproximar” de um número?

v. 2014-9-4 2/29

Sequências convergentesExemplo: considere a sequência (1/n)∞n=1.

O que o seu gráfico no R2 diz sobre o seu comportamento?

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

2 4 6 8 10 12

(1, 1)

(2, 12)

(3, 13)

f(x) = 1x

Para valores suficientemente grandes de n, os termos de(1/n)∞n=1 se aproximam de zero.O que são “valores suficientemente grandes”? O que é “seaproximar” de um número?

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Valores suficientemente grandes

Seja p(n) uma proposição, onde n ∈ N.

(por exemplo: p(n) = “n2 > 10000n”)

Considere esta outra proposição:

p(n) é verdadeira para valores suficientemente grandes de n

O que isto quer dizer?

Existe N ∈ N tal que, para todo n > N, p(n) é verdadeira.

v. 2014-9-4 3/29

Valores suficientemente grandes

Seja p(n) uma proposição, onde n ∈ N.(por exemplo: p(n) = “n2 > 10000n”)

Considere esta outra proposição:

p(n) é verdadeira para valores suficientemente grandes de n

O que isto quer dizer?

Existe N ∈ N tal que, para todo n > N, p(n) é verdadeira.

v. 2014-9-4 3/29

Valores suficientemente grandes

Seja p(n) uma proposição, onde n ∈ N.(por exemplo: p(n) = “n2 > 10000n”)

Considere esta outra proposição:

p(n) é verdadeira para valores suficientemente grandes de n

O que isto quer dizer?

Existe N ∈ N tal que, para todo n > N, p(n) é verdadeira.

v. 2014-9-4 3/29

Valores suficientemente grandes

Seja p(n) uma proposição, onde n ∈ N.(por exemplo: p(n) = “n2 > 10000n”)

Considere esta outra proposição:

p(n) é verdadeira para valores suficientemente grandes de n

O que isto quer dizer?

Existe N ∈ N tal que,

para todo n > N, p(n) é verdadeira.

v. 2014-9-4 3/29

Valores suficientemente grandes

Seja p(n) uma proposição, onde n ∈ N.(por exemplo: p(n) = “n2 > 10000n”)

Considere esta outra proposição:

p(n) é verdadeira para valores suficientemente grandes de n

O que isto quer dizer?

Existe N ∈ N tal que, para todo n > N,

p(n) é verdadeira.

v. 2014-9-4 3/29

Valores suficientemente grandes

Seja p(n) uma proposição, onde n ∈ N.(por exemplo: p(n) = “n2 > 10000n”)

Considere esta outra proposição:

p(n) é verdadeira para valores suficientemente grandes de n

O que isto quer dizer?

Existe N ∈ N tal que, para todo n > N, p(n) é verdadeira.

v. 2014-9-4 3/29

Valores suficientemente grandes

Exemplo 1: É verdade que n2 > 10000n para valoressuficientemente grandes de n?

Queremos saber o seguinte: “existe N ∈ N tal que n2 > 10000npara todo n > N?”

Vejamos para quais valores de n a desigualdade é válida:

n2> 10000n

n2− 10000n > 0

n(n − 10000) > 0

Veja que a desigualdade é sempre válida para n > 10000. Portanto,n2 > 10000n para valores suficientemente grandes de n. ∎

Ainda falta definir o que é “se aproximar” de um número.

v. 2014-9-4 4/29

Valores suficientemente grandes

Exemplo 1: É verdade que n2 > 10000n para valoressuficientemente grandes de n?

Queremos saber o seguinte: “existe N ∈ N tal que n2 > 10000npara todo n > N?”

Vejamos para quais valores de n a desigualdade é válida:

n2> 10000n

n2− 10000n > 0

n(n − 10000) > 0

Veja que a desigualdade é sempre válida para n > 10000. Portanto,n2 > 10000n para valores suficientemente grandes de n. ∎

Ainda falta definir o que é “se aproximar” de um número.

v. 2014-9-4 4/29

Valores suficientemente grandes

Exemplo 1: É verdade que n2 > 10000n para valoressuficientemente grandes de n?

Queremos saber o seguinte: “existe N ∈ N tal que n2 > 10000npara todo n > N?”

Vejamos para quais valores de n a desigualdade é válida:

n2> 10000n

n2− 10000n > 0

n(n − 10000) > 0

Veja que a desigualdade é sempre válida para n > 10000. Portanto,n2 > 10000n para valores suficientemente grandes de n. ∎

Ainda falta definir o que é “se aproximar” de um número.

v. 2014-9-4 4/29

Valores suficientemente grandes

Exemplo 1: É verdade que n2 > 10000n para valoressuficientemente grandes de n?

Queremos saber o seguinte: “existe N ∈ N tal que n2 > 10000npara todo n > N?”

Vejamos para quais valores de n a desigualdade é válida:

n2> 10000n

n2− 10000n > 0

n(n − 10000) > 0

Veja que a desigualdade é sempre válida para n > 10000. Portanto,n2 > 10000n para valores suficientemente grandes de n. ∎

Ainda falta definir o que é “se aproximar” de um número.

v. 2014-9-4 4/29

Valores suficientemente grandes

Exemplo 1: É verdade que n2 > 10000n para valoressuficientemente grandes de n?

Queremos saber o seguinte: “existe N ∈ N tal que n2 > 10000npara todo n > N?”

Vejamos para quais valores de n a desigualdade é válida:

n2> 10000n

n2− 10000n > 0

n(n − 10000) > 0

Veja que a desigualdade é sempre válida para n > 10000.

Portanto,n2 > 10000n para valores suficientemente grandes de n. ∎

Ainda falta definir o que é “se aproximar” de um número.

v. 2014-9-4 4/29

Valores suficientemente grandes

Exemplo 1: É verdade que n2 > 10000n para valoressuficientemente grandes de n?

Queremos saber o seguinte: “existe N ∈ N tal que n2 > 10000npara todo n > N?”

Vejamos para quais valores de n a desigualdade é válida:

n2> 10000n

n2− 10000n > 0

n(n − 10000) > 0

Veja que a desigualdade é sempre válida para n > 10000. Portanto,n2 > 10000n para valores suficientemente grandes de n. ∎

Ainda falta definir o que é “se aproximar” de um número.

v. 2014-9-4 4/29

Valores suficientemente grandes

Exemplo 1: É verdade que n2 > 10000n para valoressuficientemente grandes de n?

Queremos saber o seguinte: “existe N ∈ N tal que n2 > 10000npara todo n > N?”

Vejamos para quais valores de n a desigualdade é válida:

n2> 10000n

n2− 10000n > 0

n(n − 10000) > 0

Veja que a desigualdade é sempre válida para n > 10000. Portanto,n2 > 10000n para valores suficientemente grandes de n. ∎

Ainda falta definir o que é “se aproximar” de um número.v. 2014-9-4 4/29

Aproximações

Exemplo 2: Quanto vale√2?

A sua representação exata em algarismos decimais não tem fim:1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . .

Os seguintes valores são aproximações racionais para√2:

q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414⋮

Toda vez que representamos um número irracional com umaquantidade finita de algarismos decimais depois da vírgula,cometemos um erro de aproximação.

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Aproximações

Exemplo 2: Quanto vale√2?

A sua representação exata em algarismos decimais não tem fim:1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . .

Os seguintes valores são aproximações racionais para√2:

q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414⋮

Toda vez que representamos um número irracional com umaquantidade finita de algarismos decimais depois da vírgula,cometemos um erro de aproximação.

v. 2014-9-4 5/29

Aproximações

Exemplo 2: Quanto vale√2?

A sua representação exata em algarismos decimais não tem fim:1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . .

Os seguintes valores são aproximações racionais para√2:

q1 = 1,4

q2 = 1,41q3 = 1,414⋮

Toda vez que representamos um número irracional com umaquantidade finita de algarismos decimais depois da vírgula,cometemos um erro de aproximação.

v. 2014-9-4 5/29

Aproximações

Exemplo 2: Quanto vale√2?

A sua representação exata em algarismos decimais não tem fim:1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . .

Os seguintes valores são aproximações racionais para√2:

q1 = 1,4q2 = 1,41

q3 = 1,414⋮

Toda vez que representamos um número irracional com umaquantidade finita de algarismos decimais depois da vírgula,cometemos um erro de aproximação.

v. 2014-9-4 5/29

Aproximações

Exemplo 2: Quanto vale√2?

A sua representação exata em algarismos decimais não tem fim:1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . .

Os seguintes valores são aproximações racionais para√2:

q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414

⋮

Toda vez que representamos um número irracional com umaquantidade finita de algarismos decimais depois da vírgula,cometemos um erro de aproximação.

v. 2014-9-4 5/29

Aproximações

Exemplo 2: Quanto vale√2?

A sua representação exata em algarismos decimais não tem fim:1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . .

Os seguintes valores são aproximações racionais para√2:

q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414⋮

Toda vez que representamos um número irracional com umaquantidade finita de algarismos decimais depois da vírgula,cometemos um erro de aproximação.

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Erro de aproximação

Problema 1: Dado n, qual é o erro cometido ao tomarmos√2

como uma de suas aproximações qn?

Geralmente, usamos a letra grega ε (epsilon) para representar erros:

ε1 = q1 −√2 = 1,4 − 1,414213562 . . . = − 0,014213562

ε2 = q2 −√2 = 1,41 − 1,414213562 . . . = − 0,004213562

ε3 = q3 −√2 = 1,414 − 1,414213562 . . . = −0,000213562

Note que ∣εn∣ <110n .

Tamanho do erro de aproximação: ∣εn∣ = ∣qn −√2∣

v. 2014-9-4 6/29

Erro de aproximação

Problema 1: Dado n, qual é o erro cometido ao tomarmos√2

como uma de suas aproximações qn?

Geralmente, usamos a letra grega ε (epsilon) para representar erros:

ε1 = q1 −√2 =

1,4 − 1,414213562 . . . = − 0,014213562

ε2 = q2 −√2 = 1,41 − 1,414213562 . . . = − 0,004213562

ε3 = q3 −√2 = 1,414 − 1,414213562 . . . = −0,000213562

Note que ∣εn∣ <110n .

Tamanho do erro de aproximação: ∣εn∣ = ∣qn −√2∣

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Erro de aproximação

Problema 1: Dado n, qual é o erro cometido ao tomarmos√2

como uma de suas aproximações qn?

Geralmente, usamos a letra grega ε (epsilon) para representar erros:

ε1 = q1 −√2 = 1,4 − 1,414213562 . . . =

− 0,014213562

ε2 = q2 −√2 = 1,41 − 1,414213562 . . . = − 0,004213562

ε3 = q3 −√2 = 1,414 − 1,414213562 . . . = −0,000213562

Note que ∣εn∣ <110n .

Tamanho do erro de aproximação: ∣εn∣ = ∣qn −√2∣

v. 2014-9-4 6/29

Erro de aproximação

Problema 1: Dado n, qual é o erro cometido ao tomarmos√2

como uma de suas aproximações qn?

Geralmente, usamos a letra grega ε (epsilon) para representar erros:

ε1 = q1 −√2 = 1,4 − 1,414213562 . . . = − 0,014213562

ε2 = q2 −√2 = 1,41 − 1,414213562 . . . = − 0,004213562

ε3 = q3 −√2 = 1,414 − 1,414213562 . . . = −0,000213562

Note que ∣εn∣ <110n .

Tamanho do erro de aproximação: ∣εn∣ = ∣qn −√2∣

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Erro de aproximação

Problema 1: Dado n, qual é o erro cometido ao tomarmos√2

como uma de suas aproximações qn?

Geralmente, usamos a letra grega ε (epsilon) para representar erros:

ε1 = q1 −√2 = 1,4 − 1,414213562 . . . = − 0,014213562

ε2 = q2 −√2 =

1,41 − 1,414213562 . . . = − 0,004213562

ε3 = q3 −√2 = 1,414 − 1,414213562 . . . = −0,000213562

Note que ∣εn∣ <110n .

Tamanho do erro de aproximação: ∣εn∣ = ∣qn −√2∣

v. 2014-9-4 6/29

Erro de aproximação

Problema 1: Dado n, qual é o erro cometido ao tomarmos√2

como uma de suas aproximações qn?

Geralmente, usamos a letra grega ε (epsilon) para representar erros:

ε1 = q1 −√2 = 1,4 − 1,414213562 . . . = − 0,014213562

ε2 = q2 −√2 = 1,41 − 1,414213562 . . . =

− 0,004213562

ε3 = q3 −√2 = 1,414 − 1,414213562 . . . = −0,000213562

Note que ∣εn∣ <110n .

Tamanho do erro de aproximação: ∣εn∣ = ∣qn −√2∣

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Erro de aproximação

Problema 1: Dado n, qual é o erro cometido ao tomarmos√2

como uma de suas aproximações qn?

Geralmente, usamos a letra grega ε (epsilon) para representar erros:

ε1 = q1 −√2 = 1,4 − 1,414213562 . . . = − 0,014213562

ε2 = q2 −√2 = 1,41 − 1,414213562 . . . = − 0,004213562

ε3 = q3 −√2 = 1,414 − 1,414213562 . . . = −0,000213562

Note que ∣εn∣ <110n .

Tamanho do erro de aproximação: ∣εn∣ = ∣qn −√2∣

v. 2014-9-4 6/29

Erro de aproximação

Problema 1: Dado n, qual é o erro cometido ao tomarmos√2

como uma de suas aproximações qn?

Geralmente, usamos a letra grega ε (epsilon) para representar erros:

ε1 = q1 −√2 = 1,4 − 1,414213562 . . . = − 0,014213562

ε2 = q2 −√2 = 1,41 − 1,414213562 . . . = − 0,004213562

ε3 = q3 −√2 = 1,414 − 1,414213562 . . . = −0,000213562

Note que ∣εn∣ <110n .

Tamanho do erro de aproximação: ∣εn∣ = ∣qn −√2∣

v. 2014-9-4 6/29

Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de

√2 por qn é sempre menor do que ε para

valores grandes de n?

Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo

n > N?

Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que

10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.

Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n

) < log10(1/9873)− n < log10(1) − log10(9873)

− n < − log10(9873)n > 3,9944 . . .

Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3. Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −

√2∣ < ε.

v. 2014-9-4 7/29

Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de

√2 por qn é sempre menor do que ε para

valores grandes de n?

Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo

n > N?

Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que

10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.

Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n

) < log10(1/9873)− n < log10(1) − log10(9873)

− n < − log10(9873)n > 3,9944 . . .

Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3. Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −

√2∣ < ε.

v. 2014-9-4 7/29

Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de

√2 por qn é sempre menor do que ε para

valores grandes de n?

Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo

n > N?

Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que

10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.

Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n

) < log10(1/9873)− n < log10(1) − log10(9873)

− n < − log10(9873)n > 3,9944 . . .

Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3. Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −

√2∣ < ε.

v. 2014-9-4 7/29

Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de

√2 por qn é sempre menor do que ε para

valores grandes de n?

Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo

n > N?

Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que

10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.

Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n

) < log10(1/9873)

− n < log10(1) − log10(9873)− n < − log10(9873)

n > 3,9944 . . .Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3. Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −

√2∣ < ε.

v. 2014-9-4 7/29

Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de

√2 por qn é sempre menor do que ε para

valores grandes de n?

Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo

n > N?

Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que

10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.

Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n

) < log10(1/9873)− n < log10(1) − log10(9873)

− n < − log10(9873)n > 3,9944 . . .

Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3. Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −

√2∣ < ε.

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Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de

√2 por qn é sempre menor do que ε para

valores grandes de n?

Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo

n > N?

Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que

10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.

Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n

) < log10(1/9873)− n < log10(1) − log10(9873)

− n < − log10(9873)

n > 3,9944 . . .Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3. Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −

√2∣ < ε.

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Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de

√2 por qn é sempre menor do que ε para

valores grandes de n?

Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo

n > N?

Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que

10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.

Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n

) < log10(1/9873)− n < log10(1) − log10(9873)

− n < − log10(9873)n > 3,9944 . . .

Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3. Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −

√2∣ < ε.

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Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de

√2 por qn é sempre menor do que ε para

valores grandes de n?

Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo

n > N?

Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que

10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.

Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n

) < log10(1/9873)− n < log10(1) − log10(9873)

− n < − log10(9873)n > 3,9944 . . .

Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3.

Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −

√2∣ < ε.

v. 2014-9-4 7/29

Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de

√2 por qn é sempre menor do que ε para

valores grandes de n?

Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo

n > N?

Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que

10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.

Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n

) < log10(1/9873)− n < log10(1) − log10(9873)

− n < − log10(9873)n > 3,9944 . . .

Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3. Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −

√2∣ < ε.

v. 2014-9-4 7/29

Erro de aproximaçãoProblema 2’: (Generalizando) Dado ε > 0, podemos encontrar Ntal que o tamanho do erro de aproximação de

√2 por qn é menor

do que ε para todo n > N?

Queremos saber se, dado ε > 0, é possível fazer ∣qn −√2∣ < ε para

todo n > N?

Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que

10−n < ε para todo n > N, resolvemos o problema.

Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < ε é equivalente a

log10(10−n) < log10(ε)

− n < log10(ε)

n > − log10(ε)

Se − log10(ε) < 0, tome N = 0; caso contrário, tomeN = ⌊− log10(ε)⌋ + 1. Se n > N então ∣qn −

√2∣ < ε.

v. 2014-9-4 8/29

Erro de aproximaçãoProblema 2’: (Generalizando) Dado ε > 0, podemos encontrar Ntal que o tamanho do erro de aproximação de

√2 por qn é menor

do que ε para todo n > N?

Queremos saber se, dado ε > 0, é possível fazer ∣qn −√2∣ < ε para

todo n > N?

Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que

10−n < ε para todo n > N, resolvemos o problema.

Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < ε é equivalente a

log10(10−n) < log10(ε)

− n < log10(ε)

n > − log10(ε)

Se − log10(ε) < 0, tome N = 0; caso contrário, tomeN = ⌊− log10(ε)⌋ + 1. Se n > N então ∣qn −

√2∣ < ε.

v. 2014-9-4 8/29

Erro de aproximaçãoProblema 2’: (Generalizando) Dado ε > 0, podemos encontrar Ntal que o tamanho do erro de aproximação de

√2 por qn é menor

do que ε para todo n > N?

Queremos saber se, dado ε > 0, é possível fazer ∣qn −√2∣ < ε para

todo n > N?

Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que

10−n < ε para todo n > N, resolvemos o problema.

Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < ε é equivalente a

log10(10−n) < log10(ε)

− n < log10(ε)

n > − log10(ε)

Se − log10(ε) < 0, tome N = 0; caso contrário, tomeN = ⌊− log10(ε)⌋ + 1. Se n > N então ∣qn −

√2∣ < ε.

v. 2014-9-4 8/29

Erro de aproximaçãoProblema 2’: (Generalizando) Dado ε > 0, podemos encontrar Ntal que o tamanho do erro de aproximação de

√2 por qn é menor

do que ε para todo n > N?

Queremos saber se, dado ε > 0, é possível fazer ∣qn −√2∣ < ε para

todo n > N?

Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que

10−n < ε para todo n > N, resolvemos o problema.

Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < ε é equivalente a

log10(10−n) < log10(ε)

− n < log10(ε)

n > − log10(ε)

Se − log10(ε) < 0, tome N = 0; caso contrário, tomeN = ⌊− log10(ε)⌋ + 1. Se n > N então ∣qn −

√2∣ < ε.

v. 2014-9-4 8/29

Erro de aproximaçãoProblema 2’: (Generalizando) Dado ε > 0, podemos encontrar Ntal que o tamanho do erro de aproximação de

√2 por qn é menor

do que ε para todo n > N?

Queremos saber se, dado ε > 0, é possível fazer ∣qn −√2∣ < ε para

todo n > N?

Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que

10−n < ε para todo n > N, resolvemos o problema.

Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < ε é equivalente a

log10(10−n) < log10(ε)

− n < log10(ε)

n > − log10(ε)

Se − log10(ε) < 0, tome N = 0; caso contrário, tomeN = ⌊− log10(ε)⌋ + 1. Se n > N então ∣qn −

√2∣ < ε.

v. 2014-9-4 8/29

Erro de aproximaçãoProblema 2’: (Generalizando) Dado ε > 0, podemos encontrar Ntal que o tamanho do erro de aproximação de

√2 por qn é menor

do que ε para todo n > N?

Queremos saber se, dado ε > 0, é possível fazer ∣qn −√2∣ < ε para

todo n > N?

Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que

10−n < ε para todo n > N, resolvemos o problema.

Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < ε é equivalente a

log10(10−n) < log10(ε)

− n < log10(ε)

n > − log10(ε)

Se − log10(ε) < 0, tome N = 0; caso contrário, tomeN = ⌊− log10(ε)⌋ + 1. Se n > N então ∣qn −

√2∣ < ε.

v. 2014-9-4 8/29

Erro de aproximaçãoProblema 2’: (Generalizando) Dado ε > 0, podemos encontrar Ntal que o tamanho do erro de aproximação de

√2 por qn é menor

do que ε para todo n > N?

Queremos saber se, dado ε > 0, é possível fazer ∣qn −√2∣ < ε para

todo n > N?

Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que

10−n < ε para todo n > N, resolvemos o problema.

Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < ε é equivalente a

log10(10−n) < log10(ε)

− n < log10(ε)

n > − log10(ε)

Se − log10(ε) < 0, tome N = 0; caso contrário, tomeN = ⌊− log10(ε)⌋ + 1.

Se n > N então ∣qn −√2∣ < ε.

v. 2014-9-4 8/29

Erro de aproximaçãoProblema 2’: (Generalizando) Dado ε > 0, podemos encontrar Ntal que o tamanho do erro de aproximação de

√2 por qn é menor

do que ε para todo n > N?

Queremos saber se, dado ε > 0, é possível fazer ∣qn −√2∣ < ε para

todo n > N?

Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que

10−n < ε para todo n > N, resolvemos o problema.

Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < ε é equivalente a

log10(10−n) < log10(ε)

− n < log10(ε)

n > − log10(ε)

Se − log10(ε) < 0, tome N = 0; caso contrário, tomeN = ⌊− log10(ε)⌋ + 1. Se n > N então ∣qn −

√2∣ < ε.

v. 2014-9-4 8/29

Sequências convergentes

DefiniçãoDados L ∈ R e uma sequência (an)

∞n=1, dizemos que a sequência

(an)∞n=1 converge para L se

para todo ε > 0 dado, é verdade que∣an − L∣ < ε para todo n suficientemente grande.

v. 2014-9-4 9/29

Sequências convergentes

DefiniçãoDados L ∈ R e uma sequência (an)

∞n=1, dizemos que a sequência

(an)∞n=1 converge para L se para todo ε > 0 dado,

é verdade que∣an − L∣ < ε para todo n suficientemente grande.

v. 2014-9-4 9/29

Sequências convergentes

DefiniçãoDados L ∈ R e uma sequência (an)

∞n=1, dizemos que a sequência

(an)∞n=1 converge para L se para todo ε > 0 dado, é verdade que

∣an − L∣ < ε

para todo n suficientemente grande.

v. 2014-9-4 9/29

Sequências convergentes

DefiniçãoDados L ∈ R e uma sequência (an)

∞n=1, dizemos que a sequência

(an)∞n=1 converge para L se para todo ε > 0 dado, é verdade que

∣an − L∣ < ε para todo n suficientemente grande.

v. 2014-9-4 9/29

Sequências convergentes

Exemplo 3: Demonstre que a sequência (1/n)∞n=1 converge para 0.

Dado ε > 0, é possível achar N ∈ N tal que ∣1/n − 0∣ < ε para todon > N?Como 1/n > 0, temos que as seguintes desigualdades sãoequivalentes:

∣1/n − 0∣ < ε

1/n < ε

1 < nε1/ε < n

Tome N = ⌊1/ε⌋ + 1. Para todo n > N > 1/ε temos que ∣1/n − 0∣ < ε.∎

v. 2014-9-4 10/29

Sequências convergentes

Exemplo 3: Demonstre que a sequência (1/n)∞n=1 converge para 0.

Dado ε > 0, é possível achar N ∈ N tal que ∣1/n − 0∣ < ε para todon > N?

Como 1/n > 0, temos que as seguintes desigualdades sãoequivalentes:

∣1/n − 0∣ < ε

1/n < ε

1 < nε1/ε < n

Tome N = ⌊1/ε⌋ + 1. Para todo n > N > 1/ε temos que ∣1/n − 0∣ < ε.∎

v. 2014-9-4 10/29

Sequências convergentes

Exemplo 3: Demonstre que a sequência (1/n)∞n=1 converge para 0.

Dado ε > 0, é possível achar N ∈ N tal que ∣1/n − 0∣ < ε para todon > N?Como 1/n > 0, temos que as seguintes desigualdades sãoequivalentes:

∣1/n − 0∣ < ε

1/n < ε

1 < nε1/ε < n

Tome N = ⌊1/ε⌋ + 1. Para todo n > N > 1/ε temos que ∣1/n − 0∣ < ε.∎

v. 2014-9-4 10/29

Sequências convergentes

Exemplo 3: Demonstre que a sequência (1/n)∞n=1 converge para 0.

Dado ε > 0, é possível achar N ∈ N tal que ∣1/n − 0∣ < ε para todon > N?Como 1/n > 0, temos que as seguintes desigualdades sãoequivalentes:

∣1/n − 0∣ < ε

1/n < ε

1 < nε

1/ε < n

Tome N = ⌊1/ε⌋ + 1. Para todo n > N > 1/ε temos que ∣1/n − 0∣ < ε.∎

v. 2014-9-4 10/29

Sequências convergentes

Exemplo 3: Demonstre que a sequência (1/n)∞n=1 converge para 0.

Dado ε > 0, é possível achar N ∈ N tal que ∣1/n − 0∣ < ε para todon > N?Como 1/n > 0, temos que as seguintes desigualdades sãoequivalentes:

∣1/n − 0∣ < ε

1/n < ε

1 < nε1/ε < n

Tome N = ⌊1/ε⌋ + 1.

Para todo n > N > 1/ε temos que ∣1/n − 0∣ < ε.∎

v. 2014-9-4 10/29

Sequências convergentes

Exemplo 3: Demonstre que a sequência (1/n)∞n=1 converge para 0.

Dado ε > 0, é possível achar N ∈ N tal que ∣1/n − 0∣ < ε para todon > N?Como 1/n > 0, temos que as seguintes desigualdades sãoequivalentes:

∣1/n − 0∣ < ε

1/n < ε

1 < nε1/ε < n

Tome N = ⌊1/ε⌋ + 1. Para todo n > N

> 1/ε temos que ∣1/n − 0∣ < ε.∎

v. 2014-9-4 10/29

Sequências convergentes

Exemplo 3: Demonstre que a sequência (1/n)∞n=1 converge para 0.

Dado ε > 0, é possível achar N ∈ N tal que ∣1/n − 0∣ < ε para todon > N?Como 1/n > 0, temos que as seguintes desigualdades sãoequivalentes:

∣1/n − 0∣ < ε

1/n < ε

1 < nε1/ε < n

Tome N = ⌊1/ε⌋ + 1. Para todo n > N > 1/ε

temos que ∣1/n − 0∣ < ε.∎

v. 2014-9-4 10/29

Sequências convergentes

Exemplo 3: Demonstre que a sequência (1/n)∞n=1 converge para 0.

Dado ε > 0, é possível achar N ∈ N tal que ∣1/n − 0∣ < ε para todon > N?Como 1/n > 0, temos que as seguintes desigualdades sãoequivalentes:

∣1/n − 0∣ < ε

1/n < ε

1 < nε1/ε < n

Tome N = ⌊1/ε⌋ + 1. Para todo n > N > 1/ε temos que ∣1/n − 0∣ < ε.∎

v. 2014-9-4 10/29

Sequências convergentes: notação

As seguintes notações são equivalentes:(an)

∞n=1 converge para L

an → Llim

n→∞an = L

Se limn→∞

an = L, dizemos que L é o limite de an.

Dizemos que uma sequência (an)∞n=1 é convergente se existe L tal

que limn→∞

an = L.

Dizemos que uma sequência é divergente se ela não éconvergente.

v. 2014-9-4 11/29

Sequências convergentes: notação

As seguintes notações são equivalentes:(an)

∞n=1 converge para L

an → L

limn→∞

an = L

Se limn→∞

an = L, dizemos que L é o limite de an.

Dizemos que uma sequência (an)∞n=1 é convergente se existe L tal

que limn→∞

an = L.

Dizemos que uma sequência é divergente se ela não éconvergente.

v. 2014-9-4 11/29

Sequências convergentes: notação

As seguintes notações são equivalentes:(an)

∞n=1 converge para L

an → Llim

n→∞an = L

Se limn→∞

an = L, dizemos que L é o limite de an.

Dizemos que uma sequência (an)∞n=1 é convergente se existe L tal

que limn→∞

an = L.

Dizemos que uma sequência é divergente se ela não éconvergente.

v. 2014-9-4 11/29

Sequências convergentes: notação

As seguintes notações são equivalentes:(an)

∞n=1 converge para L

an → Llim

n→∞an = L

Se limn→∞

an = L, dizemos que L é o limite de an.

Dizemos que uma sequência (an)∞n=1 é convergente se existe L tal

que limn→∞

an = L.

Dizemos que uma sequência é divergente se ela não éconvergente.

v. 2014-9-4 11/29

Sequências convergentes: notação

As seguintes notações são equivalentes:(an)

∞n=1 converge para L

an → Llim

n→∞an = L

Se limn→∞

an = L, dizemos que L é o limite de an.

Dizemos que uma sequência (an)∞n=1 é convergente se existe L tal

que limn→∞

an = L.

Dizemos que uma sequência é divergente se ela não éconvergente.

v. 2014-9-4 11/29

Sequências convergentes: notação

As seguintes notações são equivalentes:(an)

∞n=1 converge para L

an → Llim

n→∞an = L

Se limn→∞

an = L, dizemos que L é o limite de an.

Dizemos que uma sequência (an)∞n=1 é convergente se existe L tal

que limn→∞

an = L.

Dizemos que uma sequência é divergente se ela não éconvergente.

v. 2014-9-4 11/29

Sequências convergentes

Exemplo 4: Demonstre que (n

n + 1)∞

n=1é convergente.

Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.

n n/n+1

10 0,90909090 . . .100 0,99009900 . . .1000 0,99900099 . . .10000 0,99990000 . . .100000 0,99999000 . . .

Parece que limn→∞

nn + 1

= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!

v. 2014-9-4 12/29

Sequências convergentes

Exemplo 4: Demonstre que (n

n + 1)∞

n=1é convergente.

Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.

n n/n+1

10 0,90909090 . . .

100 0,99009900 . . .1000 0,99900099 . . .10000 0,99990000 . . .100000 0,99999000 . . .

Parece que limn→∞

nn + 1

= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!

v. 2014-9-4 12/29

Sequências convergentes

Exemplo 4: Demonstre que (n

n + 1)∞

n=1é convergente.

Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.

n n/n+1

10 0,90909090 . . .100 0,99009900 . . .

1000 0,99900099 . . .10000 0,99990000 . . .100000 0,99999000 . . .

Parece que limn→∞

nn + 1

= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!

v. 2014-9-4 12/29

Sequências convergentes

Exemplo 4: Demonstre que (n

n + 1)∞

n=1é convergente.

Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.

n n/n+1

10 0,90909090 . . .100 0,99009900 . . .1000 0,99900099 . . .

10000 0,99990000 . . .100000 0,99999000 . . .

Parece que limn→∞

nn + 1

= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!

v. 2014-9-4 12/29

Sequências convergentes

Exemplo 4: Demonstre que (n

n + 1)∞

n=1é convergente.

Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.

n n/n+1

10 0,90909090 . . .100 0,99009900 . . .1000 0,99900099 . . .10000 0,99990000 . . .

100000 0,99999000 . . .

Parece que limn→∞

nn + 1

= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!

v. 2014-9-4 12/29

Sequências convergentes

Exemplo 4: Demonstre que (n

n + 1)∞

n=1é convergente.

Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.

n n/n+1

10 0,90909090 . . .100 0,99009900 . . .1000 0,99900099 . . .10000 0,99990000 . . .100000 0,99999000 . . .

Parece que limn→∞

nn + 1

= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!

v. 2014-9-4 12/29

Sequências convergentes

Exemplo 4: Demonstre que (n

n + 1)∞

n=1é convergente.

Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.

n n/n+1

10 0,90909090 . . .100 0,99009900 . . .1000 0,99900099 . . .10000 0,99990000 . . .100000 0,99999000 . . .

Parece que limn→∞

nn + 1

= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!

v. 2014-9-4 12/29

Sequências convergentes

Exemplo 4: Demonstre que (n

n + 1)∞

n=1é convergente.

Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.

n n/n+1

10 0,90909090 . . .100 0,99009900 . . .1000 0,99900099 . . .10000 0,99990000 . . .100000 0,99999000 . . .

Parece que limn→∞

nn + 1

= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!

v. 2014-9-4 12/29

Sequências convergentes

Exemplo 4: Demonstre que (n

n + 1)∞

n=1é convergente.

Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.

n n/n+1

10 0,90909090 . . .100 0,99009900 . . .1000 0,99900099 . . .10000 0,99990000 . . .100000 0,99999000 . . .

Parece que limn→∞

nn + 1

= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!

v. 2014-9-4 12/29

(continuação)

Demonstração de que limn→∞

nn + 1

= 1

Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.

∣an − 1∣ = ∣n

n + 1− 1∣ = ∣

nn + 1

−n + 1n + 1

∣ = ∣−1

n + 1∣ =

1n + 1

Como n > 0, observe que 1n+1 < 1

n ,logo, se1n < ε, também teremos

1n+1 < 1

n < ε.

Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε

para todo n > N.

Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim

n→∞

nn + 1

= 1 ∎

v. 2014-9-4 13/29

(continuação)

Demonstração de que limn→∞

nn + 1

= 1

Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.

∣an − 1∣ =

∣n

n + 1− 1∣ = ∣

nn + 1

−n + 1n + 1

∣ = ∣−1

n + 1∣ =

1n + 1

Como n > 0, observe que 1n+1 < 1

n ,logo, se1n < ε, também teremos

1n+1 < 1

n < ε.

Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε

para todo n > N.

Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim

n→∞

nn + 1

= 1 ∎

v. 2014-9-4 13/29

(continuação)

Demonstração de que limn→∞

nn + 1

= 1

Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.

∣an − 1∣ = ∣n

n + 1− 1∣ =

∣n

n + 1−n + 1n + 1

∣ = ∣−1

n + 1∣ =

1n + 1

Como n > 0, observe que 1n+1 < 1

n ,logo, se1n < ε, também teremos

1n+1 < 1

n < ε.

Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε

para todo n > N.

Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim

n→∞

nn + 1

= 1 ∎

v. 2014-9-4 13/29

(continuação)

Demonstração de que limn→∞

nn + 1

= 1

Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.

∣an − 1∣ = ∣n

n + 1− 1∣ = ∣

nn + 1

−n + 1n + 1

∣ =

∣−1

n + 1∣ =

1n + 1

Como n > 0, observe que 1n+1 < 1

n ,logo, se1n < ε, também teremos

1n+1 < 1

n < ε.

Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε

para todo n > N.

Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim

n→∞

nn + 1

= 1 ∎

v. 2014-9-4 13/29

(continuação)

Demonstração de que limn→∞

nn + 1

= 1

Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.

∣an − 1∣ = ∣n

n + 1− 1∣ = ∣

nn + 1

−n + 1n + 1

∣ = ∣−1

n + 1∣ =

1n + 1

Como n > 0, observe que 1n+1 < 1

n ,logo, se1n < ε, também teremos

1n+1 < 1

n < ε.

Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε

para todo n > N.

Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim

n→∞

nn + 1

= 1 ∎

v. 2014-9-4 13/29

(continuação)

Demonstração de que limn→∞

nn + 1

= 1

Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.

∣an − 1∣ = ∣n

n + 1− 1∣ = ∣

nn + 1

−n + 1n + 1

∣ = ∣−1

n + 1∣ =

1n + 1

Como n > 0, observe que 1n+1 < 1

n ,logo, se1n < ε, também teremos

1n+1 < 1

n < ε.

Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε

para todo n > N.

Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim

n→∞

nn + 1

= 1 ∎

v. 2014-9-4 13/29

(continuação)

Demonstração de que limn→∞

nn + 1

= 1

Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.

∣an − 1∣ = ∣n

n + 1− 1∣ = ∣

nn + 1

−n + 1n + 1

∣ = ∣−1

n + 1∣ =

1n + 1

Como n > 0, observe que 1n+1 < 1

n ,

logo, se 1n < ε, também teremos

1n+1 < 1

n < ε.

Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε

para todo n > N.

Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim

n→∞

nn + 1

= 1 ∎

v. 2014-9-4 13/29

(continuação)

Demonstração de que limn→∞

nn + 1

= 1

Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.

∣an − 1∣ = ∣n

n + 1− 1∣ = ∣

nn + 1

−n + 1n + 1

∣ = ∣−1

n + 1∣ =

1n + 1

Como n > 0, observe que 1n+1 < 1

n ,logo, se1n < ε, também teremos

1n+1 < 1

n < ε.

Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε

para todo n > N.

Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim

n→∞

nn + 1

= 1 ∎

v. 2014-9-4 13/29

(continuação)

Demonstração de que limn→∞

nn + 1

= 1

Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.

∣an − 1∣ = ∣n

n + 1− 1∣ = ∣

nn + 1

−n + 1n + 1

∣ = ∣−1

n + 1∣ =

1n + 1

Como n > 0, observe que 1n+1 < 1

n ,logo, se1n < ε, também teremos

1n+1 < 1

n < ε.

Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε

para todo n > N.

Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim

n→∞

nn + 1

= 1 ∎

v. 2014-9-4 13/29

(continuação)

Demonstração de que limn→∞

nn + 1

= 1

Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.

∣an − 1∣ = ∣n

n + 1− 1∣ = ∣

nn + 1

−n + 1n + 1

∣ = ∣−1

n + 1∣ =

1n + 1

Como n > 0, observe que 1n+1 < 1

n ,logo, se1n < ε, também teremos

1n+1 < 1

n < ε.

Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε

para todo n > N.

Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim

n→∞

nn + 1

= 1 ∎

v. 2014-9-4 13/29

Sequências convergentes

Exemplo 5: Demonstre que limn→∞

2n − 6n + 1

= 2.

v. 2014-9-4 14/29

Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.

Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n

é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.

Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?

Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1

− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0

Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎

v. 2014-9-4 15/29

Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.

Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n

é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.

Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?

Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1

− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0

Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎

v. 2014-9-4 15/29

Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.

Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n

é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.

Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N.

O que acontece se tomarmos ε = 1?

Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1

− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0

Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎

v. 2014-9-4 15/29

Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.

Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n

é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.

Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?

Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1

− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0

Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎

v. 2014-9-4 15/29

Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.

Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n

é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.

Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?

Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε

∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1

− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0

Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎

v. 2014-9-4 15/29

Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.

Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n

é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.

Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?

Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1

∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1

− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0

Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎

v. 2014-9-4 15/29

Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.

Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n

é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.

Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?

Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1

∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0

Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎

v. 2014-9-4 15/29

Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.

Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n

é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.

Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?

Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1

− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0

Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎

v. 2014-9-4 15/29

Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.

Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n

é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.

Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?

Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1

− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1

− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0

Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎

v. 2014-9-4 15/29

Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.

Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n

é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.

Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?

Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1

− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0

Ou seja, 0 < L < 2

e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎

v. 2014-9-4 15/29

Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.

Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n

é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.

Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?

Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1

− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0

Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎

v. 2014-9-4 15/29

Sequências convergentes

Exemplo 7: Demonstre que ( 1n)

∞

n=1 converge para 0, mas nãoconverge para 1.

Já demonstramos limn→∞

1n= 0.

Resolução de que não converge para 1 na lousa.

v. 2014-9-4 16/29

Sequências convergentes

Exemplo 7: Demonstre que ( 1n)

∞

n=1 converge para 0, mas nãoconverge para 1.Já demonstramos lim

n→∞

1n= 0.

Resolução de que não converge para 1 na lousa.

v. 2014-9-4 16/29

Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R

tais que:lim

n→∞an = L1 e lim

n→∞an = L2

Ou seja, dado ε > 0, existe

m

:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1

N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2

Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.

Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)

v. 2014-9-4 17/29

Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R

tais que:lim

n→∞an = L1 e lim

n→∞an = L2

Ou seja, dado ε > 0, existe

m

:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1

N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2

Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.

Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)

v. 2014-9-4 17/29

Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R

tais que:lim

n→∞an = L1 e lim

n→∞an = L2

Ou seja, dado ε > 0, existe

m

:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1

N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2

Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.

Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)

v. 2014-9-4 17/29

Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R

tais que:lim

n→∞an = L1 e lim

n→∞an = L2

Ou seja, dado ε > 0, existem:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1

N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2

Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.

Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)

v. 2014-9-4 17/29

Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R

tais que:lim

n→∞an = L1 e lim

n→∞an = L2

Ou seja, dado ε > 0, existem:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1

N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2

Seja N = max{N1,N2},

logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.

Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)

v. 2014-9-4 17/29

Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R

tais que:lim

n→∞an = L1 e lim

n→∞an = L2

Ou seja, dado ε > 0, existem:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1

N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2

Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.

Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ =

∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)

v. 2014-9-4 17/29

Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R

tais que:lim

n→∞an = L1 e lim

n→∞an = L2

Ou seja, dado ε > 0, existem:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1

N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2

Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.

Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣

≤

≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)

v. 2014-9-4 17/29

Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R

tais que:lim

n→∞an = L1 e lim

n→∞an = L2

Ou seja, dado ε > 0, existem:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1

N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2

Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.

Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣

< ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)

v. 2014-9-4 17/29

Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R

tais que:lim

n→∞an = L1 e lim

n→∞an = L2

Ou seja, dado ε > 0, existem:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1

N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2

Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.

Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,

ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)

v. 2014-9-4 17/29

Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R

tais que:lim

n→∞an = L1 e lim

n→∞an = L2

Ou seja, dado ε > 0, existem:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1

N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2

Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.

Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.

Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)

v. 2014-9-4 17/29

Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R

tais que:lim

n→∞an = L1 e lim

n→∞an = L2

Ou seja, dado ε > 0, existem:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1

N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2

Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.

Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)

v. 2014-9-4 17/29

Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)

∞n=1 e (bn)

∞n=1 sequências

convergentes tais que limn→∞

an = A e limn→∞ bn = B. Então:

1) limn→∞

(an + bn) = A +B

2) limn→∞

(an − bn) = A −B3) lim

n→∞(an ⋅ bn) = A ⋅B

4) Se c é uma constante real, limn→∞

(c ⋅ an) = c ⋅A5) Se B ≠ 0, então lim

n→∞(an/bn) = A/B

6) então limn→∞

∣an∣ = ∣A∣

7) Se k é ímpar, então limn→∞

k√an =k√A

8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim

n→∞k√an =

k√A

Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1

e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!

v. 2014-9-4 18/29

Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)

∞n=1 e (bn)

∞n=1 sequências

convergentes tais que limn→∞

an = A e limn→∞ bn = B. Então:

1) limn→∞

(an + bn) = A +B2) lim

n→∞(an − bn) = A −B

3) limn→∞

(an ⋅ bn) = A ⋅B4) Se c é uma constante real, lim

n→∞(c ⋅ an) = c ⋅A

5) Se B ≠ 0, então limn→∞

(an/bn) = A/B6) então lim

n→∞∣an∣ = ∣A∣

7) Se k é ímpar, então limn→∞

k√an =k√A

8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim

n→∞k√an =

k√A

Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1

e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!

v. 2014-9-4 18/29

Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)

∞n=1 e (bn)

∞n=1 sequências

convergentes tais que limn→∞

an = A e limn→∞ bn = B. Então:

1) limn→∞

(an + bn) = A +B2) lim

n→∞(an − bn) = A −B

3) limn→∞

(an ⋅ bn) = A ⋅B

4) Se c é uma constante real, limn→∞

(c ⋅ an) = c ⋅A5) Se B ≠ 0, então lim

n→∞(an/bn) = A/B

6) então limn→∞

∣an∣ = ∣A∣

7) Se k é ímpar, então limn→∞

k√an =k√A

8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim

n→∞k√an =

k√A

Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1

e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!

v. 2014-9-4 18/29

Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)

∞n=1 e (bn)

∞n=1 sequências

convergentes tais que limn→∞

an = A e limn→∞ bn = B. Então:

1) limn→∞

(an + bn) = A +B2) lim

n→∞(an − bn) = A −B

3) limn→∞

(an ⋅ bn) = A ⋅B4) Se c é uma constante real, lim

n→∞(c ⋅ an) = c ⋅A

5) Se B ≠ 0, então limn→∞

(an/bn) = A/B6) então lim

n→∞∣an∣ = ∣A∣

7) Se k é ímpar, então limn→∞

k√an =k√A

8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim

n→∞k√an =

k√A

Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1

e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!

v. 2014-9-4 18/29

Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)

∞n=1 e (bn)

∞n=1 sequências

convergentes tais que limn→∞

an = A e limn→∞ bn = B. Então:

1) limn→∞

(an + bn) = A +B2) lim

n→∞(an − bn) = A −B

3) limn→∞

(an ⋅ bn) = A ⋅B4) Se c é uma constante real, lim

n→∞(c ⋅ an) = c ⋅A

5) Se B ≠ 0, então limn→∞

(an/bn) = A/B

6) então limn→∞

∣an∣ = ∣A∣

7) Se k é ímpar, então limn→∞

k√an =k√A

8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim

n→∞k√an =

k√A

Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1

e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!

v. 2014-9-4 18/29

Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)

∞n=1 e (bn)

∞n=1 sequências

convergentes tais que limn→∞

an = A e limn→∞ bn = B. Então:

1) limn→∞

(an + bn) = A +B2) lim

n→∞(an − bn) = A −B

3) limn→∞

(an ⋅ bn) = A ⋅B4) Se c é uma constante real, lim

n→∞(c ⋅ an) = c ⋅A

5) Se B ≠ 0, então limn→∞

(an/bn) = A/B6) então lim

n→∞∣an∣ = ∣A∣

7) Se k é ímpar, então limn→∞

k√an =k√A

8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim

n→∞k√an =

k√A

Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1

e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!

v. 2014-9-4 18/29

Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)

∞n=1 e (bn)

∞n=1 sequências

convergentes tais que limn→∞

an = A e limn→∞ bn = B. Então:

1) limn→∞

(an + bn) = A +B2) lim

n→∞(an − bn) = A −B

3) limn→∞

(an ⋅ bn) = A ⋅B4) Se c é uma constante real, lim

n→∞(c ⋅ an) = c ⋅A

5) Se B ≠ 0, então limn→∞

(an/bn) = A/B6) então lim

n→∞∣an∣ = ∣A∣

7) Se k é ímpar, então limn→∞

k√an =k√A

8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim

n→∞k√an =

k√A

Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1

e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!

v. 2014-9-4 18/29

Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)

∞n=1 e (bn)

∞n=1 sequências

convergentes tais que limn→∞

an = A e limn→∞ bn = B. Então:

1) limn→∞

(an + bn) = A +B2) lim

n→∞(an − bn) = A −B

3) limn→∞

(an ⋅ bn) = A ⋅B4) Se c é uma constante real, lim

n→∞(c ⋅ an) = c ⋅A

5) Se B ≠ 0, então limn→∞

(an/bn) = A/B6) então lim

n→∞∣an∣ = ∣A∣

7) Se k é ímpar, então limn→∞

k√an =k√A

8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim

n→∞k√an =

k√A

Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1

e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!

v. 2014-9-4 18/29

Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)

∞n=1 e (bn)

∞n=1 sequências

convergentes tais que limn→∞

an = A e limn→∞ bn = B. Então:

1) limn→∞

(an + bn) = A +B2) lim

n→∞(an − bn) = A −B

3) limn→∞

(an ⋅ bn) = A ⋅B4) Se c é uma constante real, lim

n→∞(c ⋅ an) = c ⋅A

5) Se B ≠ 0, então limn→∞

(an/bn) = A/B6) então lim

n→∞∣an∣ = ∣A∣

7) Se k é ímpar, então limn→∞

k√an =k√A

8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim

n→∞k√an =

k√A

Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1

e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!

v. 2014-9-4 18/29

Propriedades Algébricas do Limite: Aplicação

Exemplos de aplicação (solução na lousa):

8.27 Demonstre que limn→∞

n + 1n

= 1

8.28 Demonstre que limn→∞

1nk = 0 para todo k ∈ N∗

8.29 Determine limn→∞

2n2 + 1n2 + 3

8.30 Determine limn→∞

4n4 + 2n3 + 35n4 + 3

8.33 Determine limn→∞

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

n⎛

⎝

√

3 + 1n−√3⎞

⎠

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

v. 2014-9-4 19/29

Propriedades Algébricas do Limite: Aplicação

Exemplos de aplicação (solução na lousa):

8.27 Demonstre que limn→∞

n + 1n

= 1

8.28 Demonstre que limn→∞

1nk = 0 para todo k ∈ N∗

8.29 Determine limn→∞

2n2 + 1n2 + 3

8.30 Determine limn→∞

4n4 + 2n3 + 35n4 + 3

8.33 Determine limn→∞

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

n⎛

⎝

√

3 + 1n−√3⎞

⎠

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

v. 2014-9-4 19/29

Propriedades Algébricas do Limite: Aplicação

Exemplos de aplicação (solução na lousa):

8.27 Demonstre que limn→∞

n + 1n

= 1

8.28 Demonstre que limn→∞

1nk = 0 para todo k ∈ N∗

8.29 Determine limn→∞

2n2 + 1n2 + 3

8.30 Determine limn→∞

4n4 + 2n3 + 35n4 + 3

8.33 Determine limn→∞

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

n⎛

⎝

√

3 + 1n−√3⎞

⎠

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

v. 2014-9-4 19/29

Propriedades Algébricas do Limite: Aplicação

Exemplos de aplicação (solução na lousa):

8.27 Demonstre que limn→∞

n + 1n

= 1

8.28 Demonstre que limn→∞

1nk = 0 para todo k ∈ N∗

8.29 Determine limn→∞

2n2 + 1n2 + 3

8.30 Determine limn→∞

4n4 + 2n3 + 35n4 + 3

8.33 Determine limn→∞

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

n⎛

⎝

√

3 + 1n−√3⎞

⎠

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

v. 2014-9-4 19/29

Propriedades Algébricas do Limite: Aplicação

Exemplos de aplicação (solução na lousa):

8.27 Demonstre que limn→∞

n + 1n

= 1

8.28 Demonstre que limn→∞

1nk = 0 para todo k ∈ N∗

8.29 Determine limn→∞

2n2 + 1n2 + 3

8.30 Determine limn→∞

4n4 + 2n3 + 35n4 + 3

8.33 Determine limn→∞

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

n⎛

⎝

√

3 + 1n−√3⎞

⎠

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

v. 2014-9-4 19/29

Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.

Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)

Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1

∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1

Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}

Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎

v. 2014-9-4 20/29

Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.

Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)

Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1

∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1

Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}

Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎

v. 2014-9-4 20/29

Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.

Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)

Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1

∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1

Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}

Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎

v. 2014-9-4 20/29

Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.

Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)

Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,

portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1∣an∣ − ∣L∣ < 1

∣an∣ < ∣L∣ + 1Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}

Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎

v. 2014-9-4 20/29

Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.

Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)

Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1

∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1

Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}

Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎

v. 2014-9-4 20/29

Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.

Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)

Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1

∣an∣ − ∣L∣ < 1

∣an∣ < ∣L∣ + 1Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}

Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎

v. 2014-9-4 20/29

Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.

Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)

Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1

∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1

Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}

Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎

v. 2014-9-4 20/29

Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.

Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)

Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1

∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1

Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita.

Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}

Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎

v. 2014-9-4 20/29

Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.

Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)

Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1

∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1

Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN ,

portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}

Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎

v. 2014-9-4 20/29

Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.

Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)

Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1

∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1

Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}

Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎

v. 2014-9-4 20/29

Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.

Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.

Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)

Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1

∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1

Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}

Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎

v. 2014-9-4 20/29

Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:

Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.

A sua contrapositiva também é:

Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.

As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:

(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n

( n2

n+1)∞

n=1diverge, pois n2

n + 1>

n2

n + n>n2e (n/2)∞n=1 não é

restrita superiormente

v. 2014-9-4 21/29

Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:

Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.

A sua contrapositiva também é:

Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.

As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:

(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita

(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n

( n2

n+1)∞

n=1diverge, pois n2

n + 1>

n2

n + n>n2e (n/2)∞n=1 não é

restrita superiormente

v. 2014-9-4 21/29

Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:

Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.

A sua contrapositiva também é:

Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.

As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:

(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita

superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n

( n2

n+1)∞

n=1diverge, pois n2

n + 1>

n2

n + n>n2e (n/2)∞n=1 não é

restrita superiormente

v. 2014-9-4 21/29

Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:

Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.

A sua contrapositiva também é:

Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.

As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:

(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente

(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n

( n2

n+1)∞

n=1diverge, pois n2

n + 1>

n2

n + n>n2e (n/2)∞n=1 não é

restrita superiormente

v. 2014-9-4 21/29

Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:

Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.

A sua contrapositiva também é:

Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.

As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:

(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita

superiormente pois 2n > npara todo n

( n2

n+1)∞

n=1diverge, pois n2

n + 1>

n2

n + n>n2e (n/2)∞n=1 não é

restrita superiormente

v. 2014-9-4 21/29

Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:

Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.

A sua contrapositiva também é:

Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.

As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:

(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n

( n2

n+1)∞

n=1diverge, pois n2

n + 1>

n2

n + n>n2e (n/2)∞n=1 não é

restrita superiormente

v. 2014-9-4 21/29

Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:

Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.

A sua contrapositiva também é:

Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.

As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:

(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n

( n2

n+1)∞

n=1diverge,

pois n2

n + 1>

n2

n + n>n2e (n/2)∞n=1 não é

restrita superiormente

v. 2014-9-4 21/29

Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:

Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.

A sua contrapositiva também é:

Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.

As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:

(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n

( n2

n+1)∞

n=1diverge, pois n2

n + 1>

n2

n + n

>n2e (n/2)∞n=1 não é

restrita superiormente

v. 2014-9-4 21/29

Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:

Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.

A sua contrapositiva também é:

Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.

As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:

(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n

( n2

n+1)∞

n=1diverge, pois n2

n + 1>

n2

n + n>n2

e (n/2)∞n=1 não érestrita superiormente

v. 2014-9-4 21/29

Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:

Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.

A sua contrapositiva também é:

Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.

As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:

(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n

( n2

n+1)∞

n=1diverge, pois n2

n + 1>

n2

n + n>n2e (n/2)∞n=1 não é

restrita superiormentev. 2014-9-4 21/29

Relação entre sequência restrita e convergente

Vimos que é verdade que:

Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.

Mas nem toda sequência restrita é convergente. Ex: ((−1)n)∞

n=1

Quais sequências restritas são convergentes?

Depende do conjuntode números com o qual estamos trabalhando.

Propriedade da convergência monótona: Seja K um conjuntode números. Dizemos que K satisfaz a propriedade de convergênciamonótona se, para toda (an)

∞n=1 tal que an ∈ K, temos que:

an é restrita e monótona ⇒ an converge para L ∈ K

v. 2014-9-4 22/29

Relação entre sequência restrita e convergente

Vimos que é verdade que:

Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.

Mas nem toda sequência restrita é convergente. Ex: ((−1)n)∞

n=1

Quais sequências restritas são convergentes? Depende do conjuntode números com o qual estamos trabalhando.

Propriedade da convergência monótona: Seja K um conjuntode números. Dizemos que K satisfaz a propriedade de convergênciamonótona se, para toda (an)

∞n=1 tal que an ∈ K, temos que:

an é restrita e monótona ⇒ an converge para L ∈ K

v. 2014-9-4 22/29

Raiz de 2, revisitadaA representação decimal de

√2 é infinita:

1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . ..

Seja (qn)∞n=1 a sequência cujo termo qn é:

se n = 1, qn = 1,4se n > 1, qn = (1,d1d2 . . .dn)10, onde di é o i-ésimo algarismoapós a vírcula da representação decimal de

√2

q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414⋮

q12 = 1,414213562373q13 = 1,4142135623730q14 = 1,41421356237309⋮

Adicionamos a qn um algarismo (possivelmente nulo) após oúltimo algarismo à direita da vírgula de qn−1.

v. 2014-9-4 23/29

Raiz de 2, revisitadaA representação decimal de

√2 é infinita:

1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . ..

Seja (qn)∞n=1 a sequência cujo termo qn é:

se n = 1, qn = 1,4

se n > 1, qn = (1,d1d2 . . .dn)10, onde di é o i-ésimo algarismoapós a vírcula da representação decimal de

√2

q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414⋮

q12 = 1,414213562373q13 = 1,4142135623730q14 = 1,41421356237309⋮

Adicionamos a qn um algarismo (possivelmente nulo) após oúltimo algarismo à direita da vírgula de qn−1.

v. 2014-9-4 23/29

Raiz de 2, revisitadaA representação decimal de

√2 é infinita:

1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . ..

Seja (qn)∞n=1 a sequência cujo termo qn é:

se n = 1, qn = 1,4se n > 1, qn = (1,d1d2 . . .dn)10, onde di é o i-ésimo algarismoapós a vírcula da representação decimal de

√2

q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414⋮

q12 = 1,414213562373q13 = 1,4142135623730q14 = 1,41421356237309⋮

Adicionamos a qn um algarismo (possivelmente nulo) após oúltimo algarismo à direita da vírgula de qn−1.

v. 2014-9-4 23/29

Raiz de 2, revisitadaA representação decimal de

√2 é infinita:

1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . ..

Seja (qn)∞n=1 a sequência cujo termo qn é:

se n = 1, qn = 1,4se n > 1, qn = (1,d1d2 . . .dn)10, onde di é o i-ésimo algarismoapós a vírcula da representação decimal de

√2

q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414⋮

q12 = 1,414213562373q13 = 1,4142135623730q14 = 1,41421356237309⋮

Adicionamos a qn um algarismo (possivelmente nulo) após oúltimo algarismo à direita da vírgula de qn−1.

v. 2014-9-4 23/29

Raiz de 2, revisitadaA representação decimal de

√2 é infinita:

1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . ..

Seja (qn)∞n=1 a sequência cujo termo qn é:

se n = 1, qn = 1,4se n > 1, qn = (1,d1d2 . . .dn)10, onde di é o i-ésimo algarismoapós a vírcula da representação decimal de

√2

q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414⋮

q12 = 1,414213562373q13 = 1,4142135623730q14 = 1,41421356237309⋮

Adicionamos a qn um algarismo (possivelmente nulo) após oúltimo algarismo à direita da vírgula de qn−1.

v. 2014-9-4 23/29

Raiz de 2, revisitada

A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4,

q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:

q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n

Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de

√2 a medida

que n cresce.

Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!

Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?

v. 2014-9-4 24/29

Raiz de 2, revisitada

A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41,

q3 = 1,414, . . . ,q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:

q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n

Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de

√2 a medida

que n cresce.

Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!

Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?

v. 2014-9-4 24/29

Raiz de 2, revisitada

A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414,

. . . ,q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:

q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n

Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de

√2 a medida

que n cresce.

Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!

Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?

v. 2014-9-4 24/29

Raiz de 2, revisitada

A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,

q12 = 1,414213562373,

q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:

q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n

Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de

√2 a medida

que n cresce.

Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!

Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?

v. 2014-9-4 24/29

Raiz de 2, revisitada

A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,

q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,

q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:

q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n

Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de

√2 a medida

que n cresce.

Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!

Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?

v. 2014-9-4 24/29

Raiz de 2, revisitada

A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,

q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . .

tem as seguintes propriedades:

q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n

Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de

√2 a medida

que n cresce.

Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!

Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?

v. 2014-9-4 24/29

Raiz de 2, revisitada

A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,

q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:

q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n

Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de

√2 a medida

que n cresce.

Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!

Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?

v. 2014-9-4 24/29

Raiz de 2, revisitada

A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,

q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:

q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)

∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n

Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de

√2 a medida

que n cresce.

Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!

Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?

v. 2014-9-4 24/29

Raiz de 2, revisitada

A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,

q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:

q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)

qn ∈ Q para todo n

Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de

√2 a medida

que n cresce.

Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!

Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?

v. 2014-9-4 24/29

Raiz de 2, revisitada

A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,

q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:

q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n

Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de

√2 a medida

que n cresce.

Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!

Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?

v. 2014-9-4 24/29

Raiz de 2, revisitada

A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,

q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:

q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n

Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de

√2 a medida

que n cresce.

Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!

Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?

v. 2014-9-4 24/29

Raiz de 2, revisitada

A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,

q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:

q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n

Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de

√2 a medida

que n cresce.

Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!

Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?

v. 2014-9-4 24/29

Raiz de 2, revisitada

A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,

q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:

q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n

Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de

√2 a medida

que n cresce.

Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!

Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?

v. 2014-9-4 24/29

Definição axiomática dos números reaisPropriedade da convergência monótona: Seja K um conjuntode números. Dizemos que K satisfaz a propriedade deconvergência monótona se, para toda sequência monótona(an)

∞n=1 tal que an ∈ K, temos que:

an é restrita ⇒ an converge para L ∈ K

Definição (definição axiomática dos reais)O conjunto R é o conjunto de números que satisfaz todas asprpopriedades abaixo:

(1) satisfaz os axiomas de corpo para a soma e multiplicação;(2) possui uma ordem total “≤”;(3) satisfaz a propriedade da convergência monótona.

A propriedade da convergência monótona é um dos “molhossecretos” que diferenciam os reais dos racionais.

v. 2014-9-4 25/29

Definição axiomática dos números reaisPropriedade da convergência monótona: Seja K um conjuntode números. Dizemos que K satisfaz a propriedade deconvergência monótona se, para toda sequência monótona(an)

∞n=1 tal que an ∈ K, temos que:

an é restrita ⇒ an converge para L ∈ K

Definição (definição axiomática dos reais)O conjunto R é o conjunto de números que satisfaz todas asprpopriedades abaixo:

(1) satisfaz os axiomas de corpo para a soma e multiplicação;(2) possui uma ordem total “≤”;(3) satisfaz a propriedade da convergência monótona.

A propriedade da convergência monótona é um dos “molhossecretos” que diferenciam os reais dos racionais.

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Definição axiomática dos números reaisPropriedade da convergência monótona: Seja K um conjuntode números. Dizemos que K satisfaz a propriedade deconvergência monótona se, para toda sequência monótona(an)

∞n=1 tal que an ∈ K, temos que:

an é restrita ⇒ an converge para L ∈ K

Definição (definição axiomática dos reais)O conjunto R é o conjunto de números que satisfaz todas asprpopriedades abaixo:

(1) satisfaz os axiomas de corpo para a soma e multiplicação;(2) possui uma ordem total “≤”;(3) satisfaz a propriedade da convergência monótona.

A propriedade da convergência monótona é um dos “molhossecretos” que diferenciam os reais dos racionais.

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Relação entre sequência restrita e convergente

Consequência direta da definição dos reais pela propriedade daconvergência monótona:

Teorema (8.25 – Teorema da Convergência Monótona)Nos conjunto dos números reais, toda sequência monótona erestrita é convergente.

Demonstração: como os reais, por definição satisfazem apropriedade da convergência monótona, então toda sequênciamonótona e restrita é convergente. ∎

Comentário: na definição axiomática dos números reais, a propriedade (3) nemsempre é a propriedade da convergência monótona. Caputi & Miranda definemos reais usando um enunciado diferente do Axioma de Completude (final daseção 3.3.1). As duas definições de números reais são equivalentes.

v. 2014-9-4 26/29

Relação entre sequência restrita e convergente

Consequência direta da definição dos reais pela propriedade daconvergência monótona:

Teorema (8.25 – Teorema da Convergência Monótona)Nos conjunto dos números reais, toda sequência monótona erestrita é convergente.

Demonstração: como os reais, por definição satisfazem apropriedade da convergência monótona, então toda sequênciamonótona e restrita é convergente. ∎

Comentário: na definição axiomática dos números reais, a propriedade (3) nemsempre é a propriedade da convergência monótona. Caputi & Miranda definemos reais usando um enunciado diferente do Axioma de Completude (final daseção 3.3.1). As duas definições de números reais são equivalentes.

v. 2014-9-4 26/29

Relação entre sequência restrita e convergente

Consequência direta da definição dos reais pela propriedade daconvergência monótona:

Teorema (8.25 – Teorema da Convergência Monótona)Nos conjunto dos números reais, toda sequência monótona erestrita é convergente.

Demonstração: como os reais, por definição satisfazem apropriedade da convergência monótona, então toda sequênciamonótona e restrita é convergente. ∎

Comentário: na definição axiomática dos números reais, a propriedade (3) nemsempre é a propriedade da convergência monótona. Caputi & Miranda definemos reais usando um enunciado diferente do Axioma de Completude (final daseção 3.3.1). As duas definições de números reais são equivalentes.

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O Número de Euler

Demonstramos na aula passada que a sequência cujo termo geral éen = (1 + 1

n)n é crescente e restrita.

Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela éconvergente.

Definimos o número de Euler, ou simplesmente e, como sendo:

e = limn→∞

(1 + 1n)

n

Como demonstramos na aula passada que 2 ≤ en < 3, entãotambém temos que 2 ≤ e < 3. Sua representação decimal é:

e = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936...Função exponencial de base natural:

exp ∶ R→ (0;+∞) tal que exp(x) = ex

Função logaritmo natural:ln ∶ (0;+∞)→ R tal que ln(y) = exp−1(y)

v. 2014-9-4 27/29

O Número de Euler

Demonstramos na aula passada que a sequência cujo termo geral éen = (1 + 1

n)n é crescente e restrita.

Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela éconvergente.

Definimos o número de Euler, ou simplesmente e, como sendo:

e = limn→∞

(1 + 1n)

n

Como demonstramos na aula passada que 2 ≤ en < 3, entãotambém temos que 2 ≤ e < 3. Sua representação decimal é:

e = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936...Função exponencial de base natural:

exp ∶ R→ (0;+∞) tal que exp(x) = ex

Função logaritmo natural:ln ∶ (0;+∞)→ R tal que ln(y) = exp−1(y)

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O Número de Euler

Demonstramos na aula passada que a sequência cujo termo geral éen = (1 + 1

n)n é crescente e restrita.

Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela éconvergente.

Definimos o número de Euler, ou simplesmente e, como sendo:

e = limn→∞

(1 + 1n)

n

Como demonstramos na aula passada que 2 ≤ en < 3, entãotambém temos que 2 ≤ e < 3. Sua representação decimal é:

e = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936...Função exponencial de base natural:

exp ∶ R→ (0;+∞) tal que exp(x) = ex

Função logaritmo natural:ln ∶ (0;+∞)→ R tal que ln(y) = exp−1(y)

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O Número de Euler

Demonstramos na aula passada que a sequência cujo termo geral éen = (1 + 1

n)n é crescente e restrita.

Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela éconvergente.

Definimos o número de Euler, ou simplesmente e, como sendo:

e = limn→∞

(1 + 1n)

n

Como demonstramos na aula passada que 2 ≤ en < 3, entãotambém temos que 2 ≤ e < 3.

Sua representação decimal é:

e = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936...Função exponencial de base natural:

exp ∶ R→ (0;+∞) tal que exp(x) = ex

Função logaritmo natural:ln ∶ (0;+∞)→ R tal que ln(y) = exp−1(y)

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O Número de Euler

Demonstramos na aula passada que a sequência cujo termo geral éen = (1 + 1

n)n é crescente e restrita.

Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela éconvergente.

Definimos o número de Euler, ou simplesmente e, como sendo:

e = limn→∞

(1 + 1n)

n

Como demonstramos na aula passada que 2 ≤ en < 3, entãotambém temos que 2 ≤ e < 3. Sua representação decimal é:

e = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936...

Função exponencial de base natural:exp ∶ R→ (0;+∞) tal que exp(x) = ex

Função logaritmo natural:ln ∶ (0;+∞)→ R tal que ln(y) = exp−1(y)

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O Número de Euler

Demonstramos na aula passada que a sequência cujo termo geral éen = (1 + 1

n)n é crescente e restrita.

Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela éconvergente.

Definimos o número de Euler, ou simplesmente e, como sendo:

e = limn→∞

(1 + 1n)

n

Como demonstramos na aula passada que 2 ≤ en < 3, entãotambém temos que 2 ≤ e < 3. Sua representação decimal é:

e = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936...Função exponencial de base natural:

exp ∶ R→ (0;+∞) tal que exp(x) = ex

Função logaritmo natural:ln ∶ (0;+∞)→ R tal que ln(y) = exp−1(y)

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O Número de Euler

Demonstramos na aula passada que a sequência cujo termo geral éen = (1 + 1

n)n é crescente e restrita.

Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela éconvergente.

Definimos o número de Euler, ou simplesmente e, como sendo:

e = limn→∞

(1 + 1n)

n

Como demonstramos na aula passada que 2 ≤ en < 3, entãotambém temos que 2 ≤ e < 3. Sua representação decimal é:

e = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936...Função exponencial de base natural:

exp ∶ R→ (0;+∞) tal que exp(x) = ex

Função logaritmo natural:ln ∶ (0;+∞)→ R tal que ln(y) = exp−1(y)

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Para casa

Pegar o PDF do Capítulo 8 apenas no sitehttp://compscinet.org/bases-sa

Ler capítulo 8 até seção 8.2.1(incluindo a seção “O número e”, após os exercícios)Fazer os exercícios 8.1 a 8.25Fazer as listas 9 e 10Fazer texto de consulta para a prova

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Texto de consulta para a prova

Máximo 6 folhas de A4, ou 3 folhas de papel almaço (12páginas)Não pode ser em folha de caderno!Escrito em caneta azul ou preta. Não pode lápis nem xerox.Não pode ter página em branco (jogue a folha fora ou rasurea página)Coloque seu nome em todas as folhasGrampeie as folhasO texto de consulta é individual!Quem não seguir estas instruções não poderá usar o seu textode consulta na prova. Se insistir em usar, considerarei comocola (= F na disciplina)Pode colocar o que quiser: definições, fórmulas, exemplos, etc.

v. 2014-9-4 29/29