Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Trigonometri
Baggrund – lidt græsk Beregninger på standardtrekanter
Beregninger på retvinklede trekanter Beregninger på trekanter
Trigonometri - baggrund Trigonometri er den del af geometrien, der hænger meget sammen med trekanter og bruges ved beregning af vinkler og sidelængder i trekanter.
Trigonometri kommer af græsk:
meter betyder måler (speedometer måler speed/hastighed, voltmeter måler volt mm.)
metri betyder måling
geo betyder jord (geografi, geometri. Altså betyder geo-metri egentlig jordmåling - og det var det, man brugte geometri til i oldtiden)
trigon betyder trekant (så trigono-metri er altså trekantmåling)
Enhedstrekant:
For at få styr på trigonometrien er vi nødt til at indføre den såkaldte standardtrekant:
En enhedstrekant er en retvinklet trekant, hvor hypotenusen har længden 1.
1
Standardtrekanter
Standardtrekant:
For at få styr på trigonometrien er vi nødt til at indføre den såkaldte enhedstrekant:
En enhedstrekant er en retvinklet trekant, hvor hypotenusen har længden 1.
- Og så er det ligegyldigt, hvordan trekanten så ellers ser ud!
Husk – at hypotenusen er den længste side i trekanten – siden over for den rette vinkel!
1
1
Standardtrekanter
Siderne i en retvinklet trekant:
Du har tidligere lært, at de to sider op til den rette vinkel i en retvinklet trekant kaldes for kateter, mens den længste side kaldes hypotenusen.
Kateterne er de to korteste sider i trekanten.
I en standardtrekant har hypotenusen længden 1, mens de to kateter begge er mindre end 1.
Nu vil du imidlertid lære, at også de to kateter har forskellige navne!
C
A
B
Katete
Katete
Standardtrekanter
I en enhedstrekant med vinklen A gælder følgende navngivning af de 2 kateter:
1
C
A
B
Standardtrekanter
I en standardtrekant med vinklen A gælder følgende navngivning af de 2 kateter:
Længden af den hosliggende katete kaldes for cos(A), cosinus til A.
Med hosliggende katete menes ”den katete, der ligger hos A” – altså den katete, der går hen til A, eller har A som det ene endepunkt.
1
C
A
B
Standardtrekanter
I en standardtrekant med vinklen A gælder følgende navngivning af de 2 kateter:
Længden af den hosliggende katete kaldes for cos(A), cosinus til A.
Med hosliggende katete menes ”den katete, der ligger hos A” – altså den katete, der går hen til A, eller har A som det ene endepunkt.
Huskeregel: hos ~ cos
Standardtrekanter
1
C
A
B
cos(A)
… og længden af den modstående katete kaldes for sin(A), sinus til A.
Med modstående katete menes ”den katete, der ligger modsat A” – altså den katete, der ligger over for A, og ikke har A som det ene endepunkt.
Standardtrekanter
1
C
A
B sin(A)
Altså:
cos(A) = længden af den hosliggende katete til A og
sin(A) = længden af den modstående katete til A
Standardtrekanter
1
C
A
B sin(A)
cos(A)
Altså:
cos(A) = længden af den hosliggende katete til A og
sin(A) = længden af den modstående katete til A
På samme måde kunne vi have valgt at tale om cosinus og sinus med udgangspunkt i den anden vinkel, B:
Standardtrekanter
1
C
A
B
Altså:
cos(A) = længden af den hosliggende katete til A og
sin(A) = længden af den modstående katete til A
På samme måde kunne vi have valgt at tale om cosinus og sinus med udgangspunkt i den anden vinkel, B:
cos(B) = længden af den hosliggende katete til B og
Standardtrekanter
1
C
A
B cos(B)
Altså:
cos(A) = længden af den hosliggende katete til A og
sin(A) = længden af den modstående katete til A
På samme måde kunne vi have valgt at tale om cosinus og sinus med udgangspunkt i den anden vinkel, B:
cos(B) = længden af den hosliggende katete til B og
sin(B) = længden af den modstående katete til B
Standardtrekanter
1
C
A
B
sin(B)
cos(B)
På denne måde kan vi se, at:
cos(A) = sin(B) og
sin(A) = cos(B)
Standardtrekanter
1
C
A
B
sin(B)
cos(B)
cos(A)
sin(A)
På denne måde kan vi se, at:
cos(A) = sin(B) og
sin(A) = cos(B)
Da standardtrekanten er retvinklet, betyder det, at vinkel A + vinkel B er i alt 90o, og derfor at vinkel B = 90o – A.
Standardtrekanter
1
C
A
B
På denne måde kan vi se, at:
cos(A) = sin(B) og
sin(A) = cos(B)
Da standardtrekanten er retvinklet, betyder det, at vinkel A + vinkel B er i alt 90o, og derfor at vinkel B = 90o – A.
Derfor kan vi slutte os til, at
cos(v) = sin(90o – v) og
Standardtrekanter
1
C
A
B
sin(90o-v)
cos(v) v
På denne måde kan vi se, at:
cos(A) = sin(B) og
sin(A) = cos(B)
Da standardtrekanten er retvinklet, betyder det, at vinkel A + vinkel B er i alt 90o, og derfor at vinkel B = 90o – A.
Derfor kan vi slutte os til, at
cos(v) = sin(90o – v) og
sin(v) = cos(90o – v)
Standardtrekanter
1
A
B sin(v)
cos(90o-v) C
sin(90o-v)
cos(v) v
Endelig opererer man med tangens:
Standardtrekanter
1
C
A
B
cos(v)
sin(v)
v
Endelig opererer man med tangens:
Ved tangens forstås…
tan(A) =
Standardtrekanter
længden af modstående katete længden af hosliggende katete
1
C
A
B
cos(v)
sin(v)
v
Endelig opererer man med tangens:
Ved tangens forstås…
tan(A) = Dvs, at
tan(A) =
Standardtrekanter
længden af modstående katete længden af hosliggende katete
sin(A) cos(A)
1
C
A
B
cos(v)
sin(v)
v
Endelig opererer man med tangens:
Ved tangens forstås…
tan(A) = Dvs, at
tan(A) =
Tangens vil vi komme tilbage til senere!
Standardtrekanter
længden af modstående katete længden af hosliggende katete
sin(A) cos(A)
1
C
A
B
cos(v)
sin(v)
v
De 3 funktioner:
cos(A) – cosinus til A,
sin(A) – sinus til A og
tan(A) – tangens til A kaldes trigonometriske funktioner.
Trigonometriske funktioner
De 3 funktioner:
cos(A) – cosinus til A,
sin(A) – sinus til A og
tan(A) – tangens til A kaldes trigonometriske funktioner. På din lommeregner findes 3 taster til udregning af trigonometriske værdier, nemlig tasterne sin, cos og tan:
Trigonometriske funktioner
Teorien fra standardtrekanter kan nu overføres til alle vilkårlige, retvinklede trekanter:
Retvinklede trekanter
c
C
A
B
b
a
Teorien fra standardtrekanter kan nu overføres til alle vilkårlige, retvinklede trekanter: cos(A) = =
Retvinklede trekanter
hosliggende katete hypotenusen
b c
c
C
A
B
b
a
Teorien fra standardtrekanter kan nu overføres til alle vilkårlige, retvinklede trekanter: cos(A) = = … mens sin(A) = =
Retvinklede trekanter
hosliggende katete hypotenusen
b c
modstående katete hypotenusen
a c
c
C
A
B
b
a
Teorien fra standardtrekanter kan nu overføres til alle vilkårlige, retvinklede trekanter: cos(A) = = … mens sin(A) = =
Retvinklede trekanter
hosliggende katete hypotenusen
b c
modstående katete hypotenusen
a c
Det svarer fuldstændig til tidligere, hvor hypotenusen jo var = 1, og man derfor ikke kunne se, at der blev divideret med denne (at dividere med 1 ændrer ikke resultatet!)
c
C
A
B
b
a
Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm.
Beregn længden af de to andre sider.
Retvinklede trekanter
A
B a
20o
12 cm
C
b
Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm.
Beregn længden af de to andre sider.
Siden b:
Retvinklede trekanter
A
B a
20o
cos(A) = 12 cm b c
C
b
Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm.
Beregn længden af de to andre sider.
Siden b:
Retvinklede trekanter
A
B a
20o
cos(A) = => b = cos(A)·c b c 12 cm
C
b
Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm.
Beregn længden af de to andre sider.
Siden b:
Retvinklede trekanter
A
B a
20o
cos(A) = => b = cos(A)·c
b = cos(20o)·12 cm
b c
12 cm
C
b
Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm.
Beregn længden af de to andre sider.
Siden b:
Retvinklede trekanter
A
B a
20o
cos(A) = => b = cos(A)·c
b = cos(20o)·12 cm = 0,940·12 cm
b c
12 cm
C
b
Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm.
Beregn længden af de to andre sider.
Siden b:
Retvinklede trekanter
12 cm
A
B a
20o
cos(A) = => b = cos(A)·c
b = cos(20o)·12 cm = 0,940·12 cm
b ≈ 11,3 cm
b c
C
11,3 cm
Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm.
Beregn længden af de to andre sider.
Siden b:
Siden a:
Retvinklede trekanter
cos(A) = => b = cos(A)·c
b = cos(20o)·12 cm = 0,940·12 cm
b ≈ 11,3 cm
b c
sin(A) = a c
12 cm
A
B
20o
C a
11,3 cm
Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm.
Beregn længden af de to andre sider.
Siden b:
Siden a:
Retvinklede trekanter
cos(A) = => b = cos(A)·c
b = cos(20o)·12 cm = 0,940·12 cm
b ≈ 11,3 cm
b c
sin(A) = => a = sin(A)·c a c
12 cm
A
B
20o
C a
11,3 cm
Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm.
Beregn længden af de to andre sider.
Siden b:
Siden a:
Retvinklede trekanter
12 cm
A
B 4,1 cm
20o
cos(A) = => b = cos(A)·c
b = cos(20o)·12 cm = 0,940·12 cm
b ≈ 11,3 cm
b c
sin(A) = => a = sin(A)·c
b = sin(20o)·12 cm = 0,342·12 cm
b ≈ 4,1 cm
a c
C
11,3 cm
Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm.
a. Beregn længden af hypotenusen.
Retvinklede trekanter
5,5 cm
A
B 38o
C
b c
Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm.
a. Beregn længden af hypotenusen.
Retvinklede trekanter
cos(B) = a c
5,5 cm
A
B 38o
C
b c
Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm.
a. Beregn længden af hypotenusen.
Retvinklede trekanter
cos(B) = => c = a c a
cos(B)
5,5 cm
A
B 38o
C
b c
Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm.
a. Beregn længden af hypotenusen.
Retvinklede trekanter
cos(B) = => c =
c = cm
a c
a cos(B)
5,5 cos(38o)
5,5 cm
A
B 38o
C
b c
Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm.
a. Beregn længden af hypotenusen.
Retvinklede trekanter
cos(B) = => c =
c = cm = cm
a c
a cos(B)
5,5 cos(38o)
5,5 0,788
5,5 cm
A
B 38o
C
b c
Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm.
a. Beregn længden af hypotenusen.
Retvinklede trekanter
cos(B) = => c =
c = cm = cm
c ≈ 7 cm
a c
a cos(B)
5,5 cos(38o)
5,5 0,788
5,5 cm
A
B 38o
C
b 7,0 cm
Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm.
b. Beregn herefter længden af kateten b.
Retvinklede trekanter
5,5 cm
A
B 38o
C
b 7,0 cm
Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm.
b. Beregn herefter længden af kateten b.
Retvinklede trekanter
sin(B) = b c
5,5 cm
A
B 38o
C
b 7,0 cm
Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm.
b. Beregn herefter længden af kateten b.
Retvinklede trekanter
sin(B) = => b = sin(B)·c b c
5,5 cm
A
B 38o
C
b 7,0 cm
Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm.
b. Beregn herefter længden af kateten b.
Retvinklede trekanter
sin(B) = => b = sin(B)·c
b = sin(38o)·7 cm
b c
5,5 cm
A
B 38o
C
b 7,0 cm
Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm.
b. Beregn herefter længden af kateten b.
Retvinklede trekanter
sin(B) = => b = sin(B)·c
b = sin(38o)·7 cm = 0,616·7 cm
b c
5,5 cm
A
B 38o
C
b 7,0 cm
Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm.
b. Beregn herefter længden af kateten b.
Retvinklede trekanter
sin(B) = => b = sin(B)·c
b = sin(38o)·7 cm = 0,616·7 cm
c ≈ 4,3 cm
b c
5,5 cm
A
B 38o
C
4,3 cm 7,0 cm
Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm.
b. Beregn herefter længden af kateten b.
Retvinklede trekanter
5,5 cm
A
B 38o
sin(B) = => b = sin(B)·c
b = sin(38o)·7 cm = 0,616·7 cm
c ≈ 4,3 cm
(Her kunne man også have brugt den pythagoræiske læresætning!)
b c
C
4,3 cm 7,0 cm
Vi har nu set, at man kan finde manglende sidelængder i en retvinklet trekant ved hjælp af cosinus og sinus.
Retvinklede trekanter
c
C
A
B
b
a
Vi har nu set, at man kan finde manglende sidelængder i en retvinklet trekant ved hjælp af cosinus og sinus. Vi vil nu se, at man også kan gå den omvendte vej: at finde vinkler i en retvinklet trekant – også ved hjælp af vores kendskab til cosinus og sinus.
Retvinklede trekanter
c
C
A
B
b
a
Vi har nu set, at man kan finde manglende sidelængder i en retvinklet trekant ved hjælp af cosinus og sinus. Vi vil nu se, at man også kan gå den omvendte vej: at finde vinkler i en retvinklet trekant – også ved hjælp af vores kendskab til cosinus og sinus.
Til dette skal vi bruge ”omvendte trigonomiske funktioner”: omvendt cosinus og omvendt sinus.
Retvinklede trekanter
c
C
A
B
b
a
Vi har nu set, at man kan finde manglende sidelængder i en retvinklet trekant ved hjælp af cosinus og sinus. Vi vil nu se, at man også kan gå den omvendte vej: at finde vinkler i en retvinklet trekant – også ved hjælp af vores kendskab til cosinus og sinus.
Til dette skal vi bruge ”omvendte trigonomiske funktioner”: omvendt cosinus og omvendt sinus.
De omvendte trigonomiske funktioner har mange navne, og du skal derfor være opmærksom på, at du kan finde forskellige navne for funktionerne – både i bøger og på forskellige lommeregnere.
Retvinklede trekanter
c
C
A
B
b
a
Nogle af de navne for de omvendte trigonometriske funktioner, som du vil træffe på er:
Retvinklede trekanter
c
C
A
B
b
a
Trigonometrisk funktion:
Den omvendte trigonometriske funktion kan hedde:
cos(A) cos-1(x) arccos(x) INV cos(x)
sin(A) sin-1(x) arcsin(x) INV sin(x)
tan(A) tan-1(x) arctan(x) INV tan(x)
I denne powerpoint bruges betegnelsen cos-1(x), som ligeledes bruges på TI30-lommeregneren
Og så videre til eksempel 3: I en retvinklet trekant er siden a = 5 cm og siden c er 13 cm.
Beregn størrelsen af vinkel A og vinkel B.
Retvinklede trekanter
13 cm
A
B 5 cm C
b
Eksempel 3: I en retvinklet trekant er siden a = 5 cm og siden c er 13 cm.
Beregn størrelsen af vinkel A og vinkel B.
Vinkel A:
Retvinklede trekanter
sin(A) = a c 13 cm
A
B 5 cm C
b
Eksempel 3: I en retvinklet trekant er siden a = 5 cm og siden c er 13 cm.
Beregn størrelsen af vinkel A og vinkel B.
Vinkel A:
Retvinklede trekanter
sin(A) = => sin(A) = a c 5 13
13 cm
A
B 5 cm C
b
Eksempel 3: I en retvinklet trekant er siden a = 5 cm og siden c er 13 cm.
Beregn størrelsen af vinkel A og vinkel B.
Vinkel A:
Retvinklede trekanter
sin(A) = => sin(A) =
sin(A) = 0,3846
a c
5 13
13 cm
A
B 5 cm C
b
Eksempel 3: I en retvinklet trekant er siden a = 5 cm og siden c er 13 cm.
Beregn størrelsen af vinkel A og vinkel B.
Vinkel A:
Retvinklede trekanter
sin(A) = => sin(A) =
sin(A) = 0,3846
A = sin-1(0,3846)
a c
5 13
13 cm
A
B 5 cm C
b
Eksempel 3: I en retvinklet trekant er siden a = 5 cm og siden c er 13 cm.
Beregn størrelsen af vinkel A og vinkel B.
Vinkel A:
Retvinklede trekanter
sin(A) = => sin(A) =
sin(A) = 0,3846
A = sin-1(0,3846) ≈ 22,6o
a c
5 13
13 cm
A
B 5 cm C
b
22,6o
Eksempel 3: I en retvinklet trekant er siden a = 5 cm og siden c er 13 cm.
Beregn størrelsen af vinkel A og vinkel B.
Vinkel A:
Vinkel B:
Retvinklede trekanter
sin(A) = => sin(A) =
sin(A) = 0,3846
A = sin-1(0,3846) ≈ 22,6o
a c
5 13
cos(B) = a c
13 cm
A
B 5 cm C
b
24,6o
Eksempel 3: I en retvinklet trekant er siden a = 5 cm og siden c er 13 cm.
Beregn størrelsen af vinkel A og vinkel B.
Vinkel A:
Vinkel B:
Retvinklede trekanter
13 cm
A
B 5 cm
sin(A) = => sin(A) =
sin(A) = 0,3846
A = sin-1(0,3846) ≈ 22,6o
a c
cos(B) = => cos(B) = a c C
b 5 13
5 13
24,6o
Eksempel 3: I en retvinklet trekant er siden a = 5 cm og siden c er 13 cm.
Beregn størrelsen af vinkel A og vinkel B.
Vinkel A:
Vinkel B:
Retvinklede trekanter
13 cm
A
B 5 cm
sin(A) = => sin(A) =
sin(A) = 0,3846
A = sin-1(0,3846) ≈ 22,6o
a c
cos(B) = => cos(B) =
cos(B) = 0,3846
a c
C
b 5 13
5 13
24,6o
Eksempel 3: I en retvinklet trekant er siden a = 5 cm og siden c er 13 cm.
Beregn størrelsen af vinkel A og vinkel B.
Vinkel A:
Vinkel B:
Retvinklede trekanter
13 cm
A
B 5 cm
sin(A) = => sin(A) =
sin(A) = 0,3846
A = sin-1(0,3846) ≈ 22,6o
a c
cos(B) = => cos(B) =
cos(B) = 0,3846
B = cos-1(0,3846)
a c
C
b 5 13
5 13
24,6o
Eksempel 3: I en retvinklet trekant er siden a = 5 cm og siden c er 13 cm.
Beregn størrelsen af vinkel A og vinkel B.
Vinkel A:
Vinkel B:
Retvinklede trekanter
13 cm
A
B 5 cm
sin(A) = => sin(A) =
sin(A) = 0,3846
A = sin-1(0,3846) ≈ 22,6o
a c
cos(B) = => cos(B) =
cos(B) = 0,3846
B = cos-1(0,3846) ≈ 67,4o
a c
C
b 5 13
5 13
24,6o
67,4o
En af de vigtigste formler med trigonometriske funktioner er den såkaldte idiotformel. Den har fået sit navn, fordi den er så nem at bevise, at selv en idiot kan forstå det!!!
Idiotformlen
1
C
A
B
cos v
sin v
v
En af de vigtigste formler med trigonometriske funktioner er den såkaldte idiotformel. Den har fået sit navn, fordi den er så nem at bevise, at selv en idiot kan forstå det!!!
Formlen siger:
(cos(v))2 + (sin(v))2 = 1
Idiotformlen
1
C
A
B
cos v
sin v
v
En af de vigtigste formler med trigonometriske funktioner er den såkaldte idiotformel. Den har fået sit navn, fordi den er så nem at bevise, at selv en idiot kan forstå det!!!
Formlen siger:
(cos(v))2 + (sin(v))2 = 1 I standardtrekanten gælder: Da cosv er kateten b og sinv er kateten a, er formlen en omskrivning af Pythagoras:
a2 + b2 = 12
Idiotformlen
1
C
A
B
cos v
sin v
v
En af de vigtigste formler med trigonometriske funktioner er den såkaldte idiotformel. Den har fået sit navn, fordi den er så nem at bevise, at selv en idiot kan forstå det!!!
Formlen siger:
(cos(v))2 + (sin(v))2 = 1 I standardtrekanten gælder: Da cosv er kateten b og sinv er kateten a, er formlen en omskrivning af Pythagoras:
a2 + b2 = 12
Eller – skrevet lidt pænere:
cos2v +sin2v = 1
Idiotformlen
1
C
A
B
cos v
sin v
v
Vi har indtil nu kun set, at man kan finde manglende sidelængder i en retvinklet trekant ved hjælp af cosinus og sinus. Dvs. at vi endnu ikke har mødt vinkler større end 90o – og i vilkårlige trekanter kan vi jo godt støde på vinkler mellem 90o og 180o – de såkaldte stumpe vinkler. I eksemplet til højre er vinkel B således større end 90o
Vi må derfor udvide definitionen af sinus, cosinus og tangens.
Vilkårlige trekanter
c
C A
B
b
a
For stumpe vinkler (vinkler mellem 90o og 180o) gælder der følgende:
sin(v) = sin(180o-v) Altså er sin(147o) = sin(180o-147o) = sin (33o) = 0,5446
Vilkårlige trekanter
147o
For stumpe vinkler (vinkler mellem 90o og 180o) gælder der følgende:
sin(v) = sin(180o-v) Altså er sin(147o) = sin(180o-147o) = sin (33o) = 0,5446
cos(v) = - cos(180o-v) Altså er cos(154o) = -cos(180o-154o) = -cos(26o) = -0,8988
Vilkårlige trekanter
147o
154o
For stumpe vinkler (vinkler mellem 90o og 180o) gælder der følgende:
sin(v) = sin(180o-v) Altså er sin(147o) = sin(180o-147o) = sin (33o) = 0,5446
cos(v) = - cos(180o-v) Altså er cos(154o) = -cos(180o-154o) = -cos(26o) = -0,8988
tan(v) = - tan(180o-v) Altså er tan(117o) = -tan(180o-117o) = -tan(63o) = -1,9626
Vilkårlige trekanter
147o
154o
117o
I en vilkårlig trekant er der altid en sammenhæng mellem en vinkel og den modstående side (siden overfor). Jo større vinklen er, desto længere er siden også!
Sinus-relationerne
c
C A
B
b
a
I en vilkårlig trekant er der altid en sammenhæng mellem en vinkel og den modstående side (siden overfor). Jo større vinklen er, desto længere er siden også!
Største vinkel i trekanten på denne side er vinkel B – og derfor er siden overfor, siden b, den længste.
Sinus-relationerne
c
C A
B
b
a
I en vilkårlig trekant er der altid en sammenhæng mellem en vinkel og den modstående side (siden overfor). Jo større vinklen er, desto længere er siden også!
Største vinkel i trekanten på denne side er vinkel B – og derfor er siden overfor, siden b, den længste.
Tilsvarende er C den mindste vinkel i trekanten, og siden c derfor den korteste side.
Sinus-relationerne
c
C A
B
b
a
I en vilkårlig trekant er der altid en sammenhæng mellem en vinkel og den modstående side (siden overfor).
Sammenhængen beskrives ved sinusrelationen:
Sinus-relationerne
c
C A
B
b
a
b sin(B)
a sin(A)
c sin(C) = =
I en vilkårlig trekant er der altid en sammenhæng mellem en vinkel og den modstående side (siden overfor).
Sammenhængen beskrives ved sinusrelationen:
Sinus-relationerne
c
C A
B
b
a
b sin(B)
a sin(A)
c sin(C) = =
Med kendskabet til sinusrelationerne kan man nu finde vinkler og sider i vilkårlige trekanter, hvis man kender størrelsen af en vinkel og længden af dens modstående side!
Eksempel 4: I en trekant kendes B = 40o, C = 65o og a er 7,5 cm.
Beregn længden af siderne b og c.
Sinus-relationerne
c
C A
B
b
a = 7,5 cm
40o
65o
Eksempel 4: I en trekant kendes B = 40o, C = 65o og a er 7,5 cm.
Beregn længden af siderne b og c.
Først beregnes vinkel A = 180o- 40o- 65o = 75o
Sinus-relationerne
c
C A
B
b
a = 7,5 cm
40o
65o 75o
Eksempel 4: I en trekant kendes B = 40o, C = 65o og a er 7,5 cm.
Beregn længden af siderne b og c.
Først beregnes vinkel A = 180o- 40o- 65o = 75o
Herefter bruges sinusrelationen til at finde siden b:
Sinus-relationerne
b sin(B) =
a sin(A) c
C A
B
b
a = 7,5 cm
40o
65o 75o
Eksempel 4: I en trekant kendes B = 40o, C = 65o og a er 7,5 cm.
Beregn længden af siderne b og c.
Først beregnes vinkel A = 180o- 40o- 65o = 75o
Herefter bruges sinusrelationen til at finde siden b:
Sinus-relationerne
b sin(B) =
a sin(A) => sin(A)
sin(B) b = a · c
C A
B
b
a = 7,5 cm
40o
65o 75o
b = 7,5 ·
Eksempel 4: I en trekant kendes B = 40o, C = 65o og a er 7,5 cm.
Beregn længden af siderne b og c.
Først beregnes vinkel A = 180o- 40o- 65o = 75o
Herefter bruges sinusrelationen til at finde siden b:
Sinus-relationerne
b sin(B) =
a sin(A) => sin(A)
sin(B) b = a ·
sin(75o) sin(40o)
c
C A
B
b
a = 7,5 cm
40o
65o 75o
b = 7,5 · = 7,5 ·
Eksempel 4: I en trekant kendes B = 40o, C = 65o og a er 7,5 cm.
Beregn længden af siderne b og c.
Først beregnes vinkel A = 180o- 40o- 65o = 75o
Herefter bruges sinusrelationen til at finde siden b:
Sinus-relationerne
b sin(B) =
a sin(A) => sin(A)
sin(B) b = a ·
sin(75o) sin(40o)
0,9659 0,6428
c
C A
B
b
a = 7,5 cm
40o
65o 75o
b = 7,5 · = 7,5 · = 4,99 cm
Eksempel 4: I en trekant kendes B = 40o, C = 65o og a er 7,5 cm.
Beregn længden af siderne b og c.
Først beregnes vinkel A = 180o- 40o- 65o = 75o
Herefter bruges sinusrelationen til at finde siden b:
Sinus-relationerne
b sin(B) =
a sin(A) => sin(A)
sin(B) b = a ·
sin(75o) sin(40o)
0,9659 0,6428
c
C A
B
b ≈ 5 cm
a = 7,5 cm
40o
65o 75o
b = 7,5 · = 7,5 · = 4,99 cm
Eksempel 4: I en trekant kendes B = 40o, C = 65o og a er 7,5 cm.
Beregn længden af siderne b og c.
Først beregnes vinkel A = 180o- 40o- 65o = 75o
Herefter bruges sinusrelationen til at finde siden b:
- samt siden c:
Sinus-relationerne
b sin(B) =
a sin(A) => sin(A)
sin(B) b = a ·
sin(75o) sin(40o)
0,9659 0,6428
c sin(C) =
a sin(A)
c
C A
B
b ≈ 5 cm
a = 7,5 cm
40o
65o 75o
b = 7,5 · = 7,5 · = 4,99 cm
Eksempel 4: I en trekant kendes B = 40o, C = 65o og a er 7,5 cm.
Beregn længden af siderne b og c.
Først beregnes vinkel A = 180o- 40o- 65o = 75o
Herefter bruges sinusrelationen til at finde siden b:
- samt siden c:
Sinus-relationerne
b sin(B) =
a sin(A) => sin(A)
sin(B) b = a ·
sin(75o) sin(40o)
0,9659 0,6428
c sin(C) =
a sin(A) => sin(A)
sin(C) c = a ·
c
C A
B
b ≈ 5 cm
a = 7,5 cm
40o
65o 75o
b = 7,5 · = 7,5 · = 4,99 cm
Eksempel 4: I en trekant kendes B = 40o, C = 65o og a er 7,5 cm.
Beregn længden af siderne b og c.
Først beregnes vinkel A = 180o- 40o- 65o = 75o
Herefter bruges sinusrelationen til at finde siden b:
- samt siden c:
Sinus-relationerne
b sin(B) =
a sin(A) => sin(A)
sin(B) b = a ·
sin(75o) sin(40o)
0,9659 0,6428
c sin(C) =
a sin(A) => sin(A)
sin(C) c = a ·
sin(75o) sin(65o) c = 7,5 · =
c
C A
B
b ≈ 5 cm
a = 7,5 cm
40o
65o 75o
b = 7,5 · = 7,5 · = 4,99 cm
Eksempel 4: I en trekant kendes B = 40o, C = 65o og a er 7,5 cm.
Beregn længden af siderne b og c.
Først beregnes vinkel A = 180o- 40o- 65o = 75o
Herefter bruges sinusrelationen til at finde siden b:
- samt siden c:
Sinus-relationerne
b sin(B) =
a sin(A) => sin(A)
sin(B) b = a ·
sin(75o) sin(40o)
0,9659 0,6428
c sin(C) =
a sin(A) => sin(A)
sin(C) c = a ·
sin(75o) sin(65o) c = 7,5 · = 7,5 · 0,9659
0,9063
c
C A
B
b ≈ 5 cm
a = 7,5 cm
40o
65o 75o
b = 7,5 · = 7,5 · = 4,99 cm
Eksempel 4: I en trekant kendes B = 40o, C = 65o og a er 7,5 cm.
Beregn længden af siderne b og c.
Først beregnes vinkel A = 180o- 40o- 65o = 75o
Herefter bruges sinusrelationen til at finde siden b:
- samt siden c:
Sinus-relationerne
b sin(B) =
a sin(A) => sin(A)
sin(B) b = a ·
sin(75o) sin(40o)
0,9659 0,6428
c sin(C) =
a sin(A) => sin(A)
sin(C) c = a ·
sin(75o) sin(65o) c = 7,5 · = 7,5 · = 7,04 cm 0,9659
0,9063
c ≈ 7 cm
C A
B
b ≈ 5 cm
a = 7,5 cm
40o
65o 75o
b = 7,5 · = 7,5 · = 4,99 cm
Eksempel 4: I en trekant kendes B = 40o, C = 65o og a er 7,5 cm.
Beregn længden af siderne b og c.
Først beregnes vinkel A = 180o- 40o- 65o = 75o
Herefter bruges sinusrelationen til at finde siden b:
- samt siden c:
Sinus-relationerne
b sin(B) =
a sin(A) => sin(A)
sin(B) b = a ·
sin(75o) sin(40o)
0,9659 0,6428
c sin(C) =
a sin(A) => sin(A)
sin(C) c = a ·
sin(75o) sin(65o) c = 7,5 · = 7,5 · = 7,04 cm 0,9659
0,9063
C ≈ 7 cm
C A
B
b ≈ 5 cm
a = 7,5 cm
40o
65o 75o
Og husk så lige igen, at sinusrelationerne kan kun bruges, hvis vi kender en vinkel og dens modstående side i trekanten!
Vi kan nu indføre en ny formel for beregning af arealet af en vilkårlig trekant – ved hjælp af sinus: Arealet = T
T = = =
Arealet af en trekant
·b·c·sin(A) 1 2 ·a·c·sin(B) 1 2 ·a·b·sin(C) 1 2
C A
B
b = 5 cm
a = 7,5 cm
65o
c
Vi kan nu indføre en ny formel for beregning af arealet af en vilkårlig trekant – ved hjælp af sinus: Arealet = T
T = = =
Hvis du altså kender 2 sider i trekanten samt vinklen mellem de to sider, kan arealet beregnes ved formlen ovenfor!
Dette gælder f.eks. i eksemplet til højre herfor…
Arealet af en trekant
·b·c·sin(A) 1 2 ·a·c·sin(B) 1 2 ·a·b·sin(C) 1 2
C A
B
b = 5 cm
a = 7,5 cm
65o
c
Eksempel 5: I en trekant kendes: C = 65o, a = 7,5 cm og b = 5 cm.
Beregn længden arealet af trekanten.
Arealet af en trekant
C A
B
65o
c a = 7,5 cm
b = 5 cm
Eksempel 5: I en trekant kendes: C = 65o, a = 7,5 cm og b = 5 cm.
Beregn længden arealet af trekanten.
T =
Arealet af en trekant
·a·b·sin(C) 1 2
C A
B
b = 5 cm
a = 7,5 cm
65o
c
Eksempel 5: I en trekant kendes: C = 65o, a = 7,5 cm og b = 5 cm.
Beregn længden arealet af trekanten.
T = =
Arealet af en trekant
·a·b·sin(C) 1 2 ·7,5·5·sin(65o) 1 2
C A
B
b = 5 cm
a = 7,5 cm
65o
c
Eksempel 5: I en trekant kendes: C = 65o, a = 7,5 cm og b = 5 cm.
Beregn længden arealet af trekanten.
T = =
=
Arealet af en trekant
·a·b·sin(C) 1 2 ·7,5·5·sin(65o) 1 2 ·7,5·5·0,9063 1 2
C A
B
b = 5 cm
a = 7,5 cm
65o
c
Eksempel 5: I en trekant kendes: C = 65o, a = 7,5 cm og b = 5 cm.
Beregn længden arealet af trekanten.
T = =
= = 16,99 cm2
Arealet af en trekant
C A
B
b = 5 cm
a = 7,5 cm
65o
·a·b·sin(C) 1 2 ·7,5·5·sin(65o) 1 2 ·7,5·5·0,9063 1 2
c
Et krav for at kunne bruge sinusrelationerne var, at vi kendte en vinkel og dens modstående side.
Hvis dette ikke er tilfældet, må vi i stedet bruge cosinus-relationerne.
Cosinus-relationerne
Dette gør sig f.eks. gældende, hvis vi kender de 3 sider, men ingen vinkler.
4 cm
C A
B
9 cm
8 cm
Cosinus-relationerne lyder: eller… eller…
Cosinus-relationerne
cos(A) = b2 + c2 – a2
2·b·c
Altså kan man beregne størrelsen af alle vinklerne i trekanten ved hjælp af cosinus-relationerne
cos(B) = a2 + c2 – b2
2·a·c
cos(C) = a2 + b2 – c2
2·a·b
4 cm
C A
B
9 cm
8 cm
Cosinus-relationerne Eksempel 6: I en trekant kendes a = 8 cm, b = 9 cm og c = 4 cm.
Beregn vinklerne i trekanten.
4 cm
C A
B
9 cm
8 cm
Cosinus-relationerne Eksempel 6: I en trekant kendes a = 8 cm, b = 9 cm og c = 4 cm.
Beregn vinklerne i trekanten.
Vinkel A findes ved cosinus-relationen:
cos(A) = b2 + c2 – a2
2·b·c
4 cm
C A
B
9 cm
8 cm
Cosinus-relationerne Eksempel 6: I en trekant kendes a = 8 cm, b = 9 cm og c = 4 cm.
Beregn vinklerne i trekanten.
Vinkel A findes ved cosinus-relationen:
cos(A) = b2 + c2 – a2
2·b·c
cos(A) = 92 + 42 – 82
2·9·4
=>
4 cm
C A
B
9 cm
8 cm
Cosinus-relationerne Eksempel 6: I en trekant kendes a = 8 cm, b = 9 cm og c = 4 cm.
Beregn vinklerne i trekanten.
Vinkel A findes ved cosinus-relationen:
cos(A) = b2 + c2 – a2
2·b·c
cos(A) = 92 + 42 – 82
2·9·4
=>
cos(A) = 81 + 16 – 64
72
=>
4 cm
C A
B
9 cm
8 cm
Cosinus-relationerne Eksempel 6: I en trekant kendes a = 8 cm, b = 9 cm og c = 4 cm.
Beregn vinklerne i trekanten.
Vinkel A findes ved cosinus-relationen:
cos(A) = b2 + c2 – a2
2·b·c
cos(A) = 92 + 42 – 82
2·9·4
=>
cos(A) = 81 + 16 – 64
72
=>
cos(A) = = 0,4583 33
72
=> 4 cm
C A
B
9 cm
8 cm
Cosinus-relationerne Eksempel 6: I en trekant kendes a = 8 cm, b = 9 cm og c = 4 cm.
Beregn vinklerne i trekanten.
Vinkel A findes ved cosinus-relationen:
cos(A) = b2 + c2 – a2
2·b·c
cos(A) = 92 + 42 – 82
2·9·4
=>
cos(A) = 81 + 16 – 64
72
=>
cos(A) = = 0,4583 33
72
=>
A = cos-1(0,4583)
4 cm
C A
B
9 cm
8 cm
Cosinus-relationerne Eksempel 6: I en trekant kendes a = 8 cm, b = 9 cm og c = 4 cm.
Beregn vinklerne i trekanten.
Vinkel A findes ved cosinus-relationen:
cos(A) = b2 + c2 – a2
2·b·c
cos(A) = 92 + 42 – 82
2·9·4
=>
cos(A) = 81 + 16 – 64
72
=>
cos(A) = = 0,4583 33
72
=>
A = cos-1(0,4583) = 62,7o
4 cm
C A
B
9 cm
8 cm
62,7o
Cosinus-relationerne
4 cm
C A
B
9 cm
8 cm
Eksempel 6: I en trekant kendes a = 8 cm, b = 9 cm og c = 4 cm.
Beregn vinklerne i trekanten.
Vinkel B findes på samme måde (eller ved at bruge sinus-relationen):
cos(B) = a2 + c2 – b2
2·a·c
cos(B) = 82 + 42 – 92
2·8·4
=>
cos(B) = 64 + 16 – 81
64
=>
cos(B) = = -0,0156 -1
64
=>
B = cos-1(-0,0156) = 100o
62,7o
100o
Ofte ser man cosinus-relationerne skrevet på en anden form (ved at bytte om på de enkelte led):
a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos(A) eller…
b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B) eller…
c2 = a2 + b2 – 2·a·b·cos(C)
Cosinus-relationerne
c
C A
B
b
a
Ofte ser man cosinus-relationerne skrevet på en anden form (ved at bytte om på de enkelte led):
a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos(A) eller…
b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B) eller…
c2 = a2 + b2 – 2·a·b·cos(C)
Cosinus-relationerne
Denne måde at skrive cosinus-relationerne på kalder man standard-formen.
Den bruges, når man kender en vinkel og 2 sider, der ikke er over for (modstående til) vinklen.
c
C A
B
b
a
Cosinus-relationerne Eksempel 7: I en trekant kendes a = 8,5 cm, c = 6 cm og vinkel B = 60o.
Beregn længden af siden b.
6 cm
C A
B
b
8,5 cm
60o
Cosinus-relationerne Eksempel 7: I en trekant kendes a = 8,5 cm, c = 6 cm og vinkel B = 60o.
Beregn længden af siden b.
Siden beregnes ved cosinus-relationen:
6 cm
C A
B
b
8,5 cm
60o
Cosinus-relationerne Eksempel 7: I en trekant kendes a = 8,5 cm, c = 6 cm og vinkel B = 60o.
Beregn længden af siden b.
Siden beregnes ved cosinus-relationen:
b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B)
6 cm
C A
B
b
8,5 cm
60o
Cosinus-relationerne Eksempel 7: I en trekant kendes a = 8,5 cm, c = 6 cm og vinkel B = 60o.
Beregn længden af siden b.
Siden beregnes ved cosinus-relationen:
b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B)
b2 = 8,52 + 62 - 2·8,5·6·cos(60o)
6 cm
C A
B
b
8,5 cm
60o
Cosinus-relationerne Eksempel 7: I en trekant kendes a = 8,5 cm, c = 6 cm og vinkel B = 60o.
Beregn længden af siden b.
Siden beregnes ved cosinus-relationen:
b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B)
b2 = 8,52 + 62 - 2·8,5·6·cos(60o)
b2 = 72,25 + 36 - 2·8,5·6·0,5 6 cm
C A
B
b
8,5 cm
60o
Cosinus-relationerne Eksempel 7: I en trekant kendes a = 8,5 cm, c = 6 cm og vinkel B = 60o.
Beregn længden af siden b.
Siden beregnes ved cosinus-relationen:
b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B)
b2 = 8,52 + 62 - 2·8,5·6·cos(60o)
b2 = 72,25 + 36 - 2·8,5·6·0,5
b2 = 72,25 + 36 - 51 = 57,25 6 cm
C A
B
b
8,5 cm
60o
Cosinus-relationerne Eksempel 7: I en trekant kendes a = 8,5 cm, c = 6 cm og vinkel B = 60o.
Beregn længden af siden b.
Siden beregnes ved cosinus-relationen:
b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B)
b2 = 8,52 + 62 - 2·8,5·6·cos(60o)
b2 = 72,25 + 36 - 2·8,5·6·0,5
b2 = 72,25 + 36 - 51 = 57,25
b = √57,25
6 cm
C A
B
b
8,5 cm
60o
Cosinus-relationerne Eksempel 7: I en trekant kendes a = 8,5 cm, c = 6 cm og vinkel B = 60o.
Beregn længden af siden b.
Siden beregnes ved cosinus-relationen:
b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B)
b2 = 8,52 + 62 - 2·8,5·6·cos(60o)
b2 = 72,25 + 36 - 2·8,5·6·0,5
b2 = 72,25 + 36 - 51 = 57,25
b = √57,25 = 7,6
6 cm
C A
B
7,6 cm
8,5 cm
60o
Cosinus-relationerne Eksempel 7: I en trekant kendes a = 8,5 cm, c = 6 cm og vinkel B = 60o.
Beregn længden af siden b.
Siden beregnes ved cosinus-relationen:
b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B)
b2 = 8,52 + 62 - 2·8,5·6·cos(60o)
b2 = 72,25 + 36 - 2·8,5·6·0,5
b2 = 72,25 + 36 - 51 = 57,25
b = √57,25 = 7,6
6 cm
C A
B
7,6 cm
8,5 cm
60o
- Og nu kan de resterende vinkler så beregnes ved hjælp af f.eks. sinus-relationen
Konstruktion af trekanter Fra din tidligere lærdom kan du måske huske, at man kan konstruere trekanter på baggrund af de 4 trekanttilfælde, nemlig når man kender:
Konstruktion af trekanter Fra din tidligere lærdom kan du måske huske, at man kan konstruere trekanter på baggrund af de 4 trekanttilfælde, nemlig når man kender:
1. en vinkel og de 2 hosliggende sider
50o
6 cm
11 cm
Konstruktion af trekanter Fra din tidligere lærdom kan du måske huske, at man kan konstruere trekanter på baggrund af de 4 trekanttilfælde, nemlig når man kender:
1. en vinkel og de 2 hosliggende sider
2. en side og 2 vinkler
50o
11 cm
78o
Konstruktion af trekanter
11 cm
6 cm 10 cm
Fra din tidligere lærdom kan du måske huske, at man kan konstruere trekanter på baggrund af de 4 trekanttilfælde, nemlig når man kender:
1. en vinkel og de 2 hosliggende sider
2. en side og 2 vinkler
3. alle 3 sider
Konstruktion af trekanter Fra din tidligere lærdom kan du måske huske, at man kan konstruere trekanter på baggrund af de 4 trekanttilfælde, nemlig når man kender:
1. en vinkel og de 2 hosliggende sider
2. en side og 2 vinkler
3. alle 3 sider
4. en vinkel samt en hosliggende og en modstående side
11 cm
50o
10 cm
Konstruktion af trekanter Fra din tidligere lærdom kan du måske huske, at man kan konstruere trekanter på baggrund af de 4 trekanttilfælde, nemlig når man kender:
1. en vinkel og de 2 hosliggende sider
2. en side og 2 vinkler
3. alle 3 sider
4. en vinkel samt en hosliggende og en modstående side
11 cm
10 cm 50o
Problemet ved trekanter af denne type er, at de kan have to løsninger; dvs. at der er 2 forskelligt udseende trekanter, der opfylder betingelserne!
Konstruktion af trekanter Fra din tidligere lærdom kan du måske huske, at man kan konstruere trekanter på baggrund af de 4 trekanttilfælde, nemlig når man kender:
1. en vinkel og de 2 hosliggende sider
2. en side og 2 vinkler
3. alle 3 sider
4. en vinkel samt en hosliggende og en modstående side
11 cm
8 cm
50o
Man kan også komme ud for, at trekanten slet ikke kan konstrueres ud fra de givne betingelser – når den modstående side er ”for kort”
Konstruktion af trekanter Fra din tidligere lærdom kan du måske huske, at man kan konstruere trekanter på baggrund af de 4 trekanttilfælde, nemlig når man kender:
1. en vinkel og de 2 hosliggende sider
2. en side og 2 vinkler
3. alle 3 sider
4. en vinkel samt en hosliggende og en modstående side
På samme måde kan man beregne de manglende sider og vinkler i en trekant ved hjælp af trigonometrien, ved hjælp af sinus- og cosinusrelationerne:
… her bruges cosinus-relationen på standard-formen (eksempel 7)
… den sidste vinkel beregnes og herefter bruges sinus-relationen (eksempel 4)
… her bruges cosinus-relationen (eksempel 6)
… her bruges cosinus-relationen (eksempel 8 på de næste sider)
Eksempel 8: I en trekant kendes a = 9 cm, b = 10 cm og vinkel A = 50o.
Beregn længden af siden c.
Siden beregnes ved cosinus-relationen:
”Sinus-fælden”
10 cm C A
B
c 9 cm
50o
Eksempel 8: I en trekant kendes a = 9 cm, b = 10 cm og vinkel A = 50o.
Beregn længden af siden c.
Siden beregnes ved cosinus-relationen:
a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos(A)
”Sinus-fælden”
10 cm C A
B
c 9 cm
50o
Eksempel 8: I en trekant kendes a = 9 cm, b = 10 cm og vinkel A = 50o.
Beregn længden af siden c.
Siden beregnes ved cosinus-relationen:
a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos(A)
92 = 102 + c2 - 2·10·c·cos(50o)
”Sinus-fælden”
10 cm C A
B
c 9 cm
50o
Eksempel 8: I en trekant kendes a = 9 cm, b = 10 cm og vinkel A = 50o.
Beregn længden af siden c.
Siden beregnes ved cosinus-relationen:
a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos(A)
92 = 102 + c2 - 2·10·c·cos(50o)
81 = 100 + c2 - 12,8558·c
”Sinus-fælden”
10 cm C A
B
c 9 cm
50o
Eksempel 8: I en trekant kendes a = 9 cm, b = 10 cm og vinkel A = 50o.
Beregn længden af siden c.
Siden beregnes ved cosinus-relationen:
a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos(A)
92 = 102 + c2 - 2·10·c·cos(50o)
81 = 100 + c2 - 12,8558·c
c2 - 12,8558·c + 19 = 0
”Sinus-fælden”
10 cm C A
B
c 9 cm
50o
Eksempel 8: I en trekant kendes a = 9 cm, b = 10 cm og vinkel A = 50o.
Beregn længden af siden c.
Siden beregnes ved cosinus-relationen:
a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos(A)
92 = 102 + c2 - 2·10·c·cos(50o)
81 = 100 + c2 - 12,8558·c
c2 - 12,8558·c + 19 = 0
”Sinus-fælden”
10 cm C A
B
c 9 cm
50o OUPS!
Eksempel 8: I en trekant kendes a = 9 cm, b = 10 cm og vinkel A = 50o.
Beregn længden af siden c.
Siden beregnes ved cosinus-relationen:
a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos(A)
92 = 102 + c2 - 2·10·c·cos(50o)
81 = 100 + c2 - 12,8558·c
c2 - 12,8558·c + 19 = 0
”Sinus-fælden”
Vi ender i en såkaldt andengradsligning, som vi ikke kan løse på nuværende tidspunkt. Men den har to løsninger! – og det betyder, at der er to forskellige værdier af c, der passer med de øvrige oplysninger for trekanten!
Løsningerne er: c=1,7 cm og/eller c=11,2 cm
10 cm C A
B
c 9 cm
50o
Eksempel 8 – en ”om’er”: I en trekant kendes a = 9 cm, b = 10 cm og vinkel A = 50o.
Beregn længden af siden c.
Så prøver vi med sinus-relationen:
”Sinus-fælden”
b sin(B) =
a sin(A) =>
10 cm C A
B
c 9 cm
50o
Eksempel 8 – en ”om’er”: I en trekant kendes a = 9 cm, b = 10 cm og vinkel A = 50o.
Beregn længden af siden c.
Så prøver vi med sinus-relationen:
”Sinus-fælden”
b sin(B) =
a sin(A) =>
sin(B)·a = b·sin(A) => 10 cm C A
B
c 9 cm
50o
Eksempel 8 – en ”om’er”: I en trekant kendes a = 9 cm, b = 10 cm og vinkel A = 50o.
Beregn længden af siden c.
Så prøver vi med sinus-relationen:
”Sinus-fælden”
b sin(B) =
a sin(A) =>
b·sin(A) a sin(B) =
sin(B)·a = b·sin(A) =>
=> 10 cm C A
B
c 9 cm
50o
Eksempel 8 – en ”om’er”: I en trekant kendes a = 9 cm, b = 10 cm og vinkel A = 50o.
Beregn længden af siden c.
Så prøver vi med sinus-relationen:
”Sinus-fælden”
b sin(B) =
a sin(A) =>
b·sin(A) a sin(B) =
sin(B)·a = b·sin(A)
10·sin(50o) 9
sin(B) = = 10·0,7660 9
= 7,660 9
= 0,8511
=>
=>
=> 10 cm C A
B
c 9 cm
50o
Eksempel 8 – en ”om’er”: I en trekant kendes a = 9 cm, b = 10 cm og vinkel A = 50o.
Beregn længden af siden c.
Så prøver vi med sinus-relationen:
”Sinus-fælden”
b sin(B) =
a sin(A) =>
b·sin(A) a sin(B) =
sin(B)·a = b·sin(A)
10·sin(50o) 9
sin(B) = = 10·0,7660 9
= 7,660 9
= 0,8511
B = sin-1(0,8511) = 58,3o
=>
=>
=> 10 cm C A
B
c 9 cm
50o
Eksempel 8 – en ”om’er”: I en trekant kendes a = 9 cm, b = 10 cm og vinkel A = 50o.
Beregn længden af siden c.
Så prøver vi med sinus-relationen, og får:
”Sinus-fælden”
B = sin-1(0,8511) = 58,3o
Fra vores løsning af samme opgave ved hjælp af cosinus-relationen ved vi, at der er 2 løsninger. Den anden løsning må være:
B = 180o - sin-1(0,8511) = 121,7o
10 cm C A
B
c 9 cm
50o
Eksempel 8 – en ”om’er”: I en trekant kendes a = 9 cm, b = 10 cm og vinkel A = 50o.
Beregn længden af siden c.
Så prøver vi med sinus-relationen, og får:
”Sinus-fælden”
B = sin-1(0,8511) = 58,3o
Fra vores løsning af samme opgave ved hjælp af cosinus-relationen ved vi, at der er 2 løsninger. Den anden løsning må være:
B = 180o - sin-1(0,8511) = 121,7o
10 cm C A
B
c 9 cm
50o
Sinus-relationen er altså farlig at bruge i disse tilfælde, da den ikke vil fange disse dobbeltløsninger!
Trigonometri
Sinus-relationer
Cosinus-relationer
Sinus
Cosinus
Tangens Standard-trekant