s1f1bf36b56e7b396.jimcontent.com · 2016-06-11 · Memorias de VII Jornada de Investigación del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática

Memorias de VII Jornada de Investigación del Departamento de Matemática y VI Jornada

de Investigación en Educación Matemática

Universidad Pedagógica Experimental Libertador

Instituto Pedagógico de Maracay. 2013

Editores: Andrés González

Julia Sanoja de Ramírez

Rolando García

Zoraida Paredes

Diseño de Portada: Angélica María Martínez

Reproducción en CD: CEINEM-NT

Derechos Reservados

© Instituto Pedagógico “Rafael Alberto Escobar Lara”

UPEL Maracay

Se autoriza la reproducción total o parcial, con fines académicos, previa cita a la fuente

ISBN: 978-980-7335-27-0

Depósito Legal: LFX46020130044180

Digitalizado en Maracay, Estado Aragua, Venezuela/ Noviembre 2013

Ediciones SIP. Subdirección de Investigación y Postgrado.

Centro de Investigación en Educación Matemática usando Nuevas Tecnologías (CEINEM-

NT). Avenida Las Delicias. Edificio de Matemática. Piso 3. Maracay. 2013

Venezuela.

Publicación arbitrada por el Comité Académico de VII Jornada de Investigación del

Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática,

UPEL Maracay

MEMORIAS

VII JORNADA DE INVESTIGACIÓN DEL

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y

VI JORNADA DE INVESTIGACIÓN EN

EDUCACIÓN MATEMÁTICA

UPEL MARACAY, NOVIEMBRE 2013

Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013

AUTORIDADES RECTORALES

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR

Raúl López Sayago

Rector

Doris Pérez

Vicerrectora de Docencia

Moraima Esteves

Vicerrector de Investigación y Postgrado

María Teresa Centeno

Vicerrectora de Extensión

Liuval Moreno de Tovar

Secretaria

AUTORIDADES DEL INSTITUTO PEDAGÓGICO

“RAFAEL ALBERTO ESCOBAR LARA”

UPEL Maracay

Francisca Fumero Castillo

Directora (e)

Claudia Nuñez

Subdirectora de Docencia (e)


Subdirectora de Investigación y Postgrado

Francisco Valdivieso

Subdirector de Extensión

Yngrid Castillo

Secretaria (e)


COORDINADORA INSTITUCIONAL

INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO


Subdirectora de investigación y Postgrado

Gabriela Gardié

Coordinadora General de investigación

Irama López

Coordinadora General de Postgrado

Scarlet Kiriloff

Coordinadora del Doctorado en Educación

Ingrid Camacho

Coordinadora del Programa de

Promoción y Difusión de la Investigación

Fredy Enrique González

Coordinador del Doctorado en Educación Matemática


6

COMITÉ ORGANIZADOR

Andrés González

Angélica Martínez

Belén Arrieche

César Yraci

Dimáxi Diaz

Efraín Brizuela

Jenny Guillén

Julia Sanoja

Marisol Sarmiento

Martha Iglesias

Rolando García

Yerikson Suárez

Zoraida Paredes


7

ÁRBITROS

Andrés González

Angélica María Martínez

Audy Salcedo

Belén Arrieche

Fabiola Czwienczek

Fredy González

José Ortíz

José Rafael Rodríguez

Julia Sanoja

Luis Capace

Martha Iglesias

Nelly León

Oscar Ramírez

Rocío Báez

Rolando García

Ruth Torres

Yerikson Suárez

Zoraida Paredes


8


9

ÍNDICE GENERAL

pp.

PRESENTACIÓN 11

PARTE I: RESÚMENES 13

PARTE II: EXTENSOS 81

ÍNDICE DE AUTORES 299


10


11

PRESENTACIÓN

El desarrollo de la actividad investigativa exige la existencia de espacios de

intercambio académico, como los eventos de distinto nivel y modalidad, donde se

produzcan encuentros entro profesores y estudiantes investigadores con pares académicos

provenientes de distintas instituciones educativas (escuelas, liceos, instituciones de

educación superior, entre otras) nacionales e internacionales.

Por ello, desde el Departamento de Matemática de la UPEL Maracay, se ha dado

continuidad a la realización de las Jornadas de Investigación del Departamento de

Matemática de la UPEL Maracay, lográndose - para el año 2013- celebrar ya su séptima

edición. Esto ha permitido dar a conocer las actividades investigativas que en al ámbito de

la Educación Matemática se llevan a cabo en distintas instancias como: Tres (3)

conferencias, un Foro, nueve (9) Mesas de Ponencias y una Muestra Didáctica conformada

por siete (7) diferentes materiales y recursos.

Asimismo, se considera indispensable ofrecer alternativas para la divulgación de la

producción intelectual investigativa en torno a la Educación Matemática, generada en la

UPEL, más allá del tiempo y espacio que dura y ocupa el evento. En este sentido, el

Comité Académico de la VII Jornada de Investigación del Departamento de Matemática y

la VI Jornada de Investigación en Educación Matemática - celebrada en la UPEL Maracay

durante los días 14 y 15 de noviembre del presente año - convocó a los ponentes

participantes a presentar los resúmenes y extensos de sus productos de investigación y

gestionó un proceso de arbitraje, doble ciego, por parte de pares académicos, con el

propósito de preparar y publicar las Memorias del evento. En este sentido, nos complace

poner a disposición de la comunidad académica las Memorias de la VII Jornada de

Investigación del Departamento de Matemática y la VI Jornada de Investigación en

Educación Matemática, organizadas en dos partes: (I) Resúmenes y (II) Extensos,

lográndose publicar 15 ponencias en extensos, siendo esto un logro significativo.

Esto ha permitido que los investigadores consolidados compartan con investigadores

noveles la oportunidad de escribir y publicar sus trabajos, lo cual consideramos puede

contribuir al desarrollo y puesta en práctica de competencias investigativas y, a mediano y

largo plazo, a mejorar la calidad de nuestras producciones.


12


13

PARTE I: RESÚMENES


14


15

ÍNDICE

pp.

RESÚMENES CONFERENCIAS 19

Aproximaciones teóricas para desarrollar competencias de aprendizaje en

informática, como eje transversal del currículo de la Especialidad de Informática

de la Upel

Jenny Guillén

21

Educación y tecnología ¿hacia dónde apunta el asunto?

Gabriela Gardié

22

Papel de la teoría en la investigación En educación matemática

Fredy Enrique González 23

RESÚMENES FORO 25

¿Cómo se investiga en Socioepistemología?

Fredy Enrique González 27

Indagaciones en Educación Matemática. Perspectivas desde el Pensamiento

Numérico y Algebraico

José Ortiz Buitrago 28

Perspectivas de la investigación en Educación Estadística

Julia Elena Sanoja 29

Aportes de la línea de investigación “perspectivas del enfoque Semiótico

Antropológico” a la Educación Matemática en Venezuela.

Mario Arrieche Alvarado

30

RESÚMENES PONENCIAS 33

Teorema de Thales: una propuesta didáctica

Odalys Báez, Andrea González, Génesis Gudiño,

Liliana Noguera y Martha Iglesias 35

Casas de bahareque: Una visión etnomatemática a partir de su construcción

Robert Lira y Martha Iglesias 37

Blog: el mundo de Pitágoras en la era tecnológica

Andrea Osorio, Carmen Gil, Wolghan Gómez, Evelyn Romero, Yerikson Suárez

y Martha Iglesias

38

La estadística y los libros de texto de matemática

Julia Sanoja y Oscar Ramírez 39

Pitágoras y el teorema de la mujer casada. Una propuesta didáctica

Andrea Osorio, Carmen Gil, Wolghan Gómez, Evelyn Romero y Martha Iglesias 40

Formación permanente de los docentes de matemática. Una propuesta didáctica

Jimmy Sánchez Chacón y Martha Iglesias Inojosa 41

Límite de una sucesión de números reales y límite de las funciones reales de una

variable real: análisis de contenido

Rolando García 42

La circunferencia y el círculo. Una propuesta didáctica

Snnaider Ramirez, Zuleidy Torres, Kelly Váldez y Martha Iglesias 43


16

Aproximación a la repitencia en álgebra desde la perspectiva del docente

Zoraida Paredes 45

Número racional en actividades extraescolares realizadas por estudiantes de 4to

año

Gustavo Pedriquez y Andrés González 46

Volumen de cuerpos geométricos. Análisis de un proceso de estudio en

educación media general mediante los criterios de idoneidad cognitiva y

mediacional.

Yraima Ramos y Angélica Martínez

48

La circunferencia y el círculo en educación primaria desde la idoneidad

cognitiva, mediacional y ecológica

Erika Gabriela Valera Herrera y Angélica María Martínez

49

Significados institucionales y personales de los objetos matemáticos puestos en

juego en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática

Angélica María Martínez y Mario Arrieche 50

Consideraciones sobre la enseñanza de la matemática en el contexto de la

educación especial


52

Significados institucionales de referencia del conjunto de los números naturales

en la formación de profesores de matemática

Mary Carmen Arrieche Aristiguieta y Mario José Arrieche Alvarado 54

Procesos de transición del pensamiento aritmético al pensamiento algebraico

Andrés González R 56

Significados institucionales de la ecuación de segundo grado

Mary G. Núñez L y Belén Arrieche 57

Construir, explorar y conjeturar en geometría

Belén Arrieche y Martha Iglesias 58

La demostración en geometría . Desde una perspectiva epistemológica

Martha Iglesias Inojosa y José Ortiz Buitrago 59

El sesgo de equiprobabilidad en profesores de matemática en formación

Yerikson Suárez y Fredy González 61

Lenguaje matemático y aprendizaje algebraicamente significativo del espacio

vectorial R3

Marlyocer Sequera M. y Andrés González R

62

Seguridad informática, técnicas criptográficas y fundamentos matemáticos

Marisol Sarmiento y Jenny Guillen 64

Análisis semiótico y didáctico de un proceso de estudio sobre las razones

trigonométricas

Fernando Tesorero y Mario Arrieche 65

Organizaciones matemáticas y didácticas de los practicantes-docentes. Caso

ecuación de 2do grado con una incógnita. Estudio dirigido a los estudiantes de

práctica profesional iii de la mención matemática en la facultad de ciencias de la

educación-universidad de Carabobo

Vanesa Pacheco y Antonino Viviano

66

El estudio de la parábola en los libros de texto de matemática desde una

perspectiva cognitiva y didáctica

Leonela Rodríguez y Martha Iglesias 67


17

Autoescritura: estrategia para la formación inicial de profesores de matemática

Fredy González 69

Accesibilidad digital: alfabetización, inclusión e igualdad para la población con

diversidad funcional visual

Dilia Caballero, Ingrid Camacho y Juan Guzmán 70

RESÚMENES DE MUESTRA DIDÁCTICA 71

Diseño de revistas digitales para la divulgación de la geometría

Adriana Mejías; Karol Ramírez;

Miguel Zambrano y Yerikson Suárez 73

Las construcciones con regla y compás en ambientes de Geometría dinámica

Richlenys Davis, Rebeca Mogollón y Martha Iglesias 74

Historia de la Matemática y web 2.0: diseño de líneas del tiempo.

Fernando Puppo, Freddy Castro;

Pedro Vivas y Yerikson Suárez.

75

Educaplay: herramienta web 2.0 para la evaluación en Matemática

Héctor Blanco, Alvin Díaz;

Mayerlin Romero y Yerikson Suárez. 76

La papiroflexia como recurso para la enseñanza de la Geometría

Jorge Gideón, Katherine Gómez;

Jonander Rivas, Yerikson Suárez

77

Papirogeometría…más allá del plegado de papel en la escuela

Erika Gabriela Valera 78

Kit para integrar tecnologia al aprendizaje de robótica, matemática y lenguaje

Jenny Guillén; Marisol Sarmiento;

Ludmilan Zambrano y Oscar Chang 79

PARTE II: EXTENSOS 81



18


19

CONFERENCIAS


20


21

APROXIMACIONES TEÓRICAS PARA DESARROLLAR COMPETENCIAS DE

APRENDIZAJE EN INFORMÁTICA, COMO EJE TRANSVERSAL DEL

CURRÍCULO DE LA ESPECIALIDAD DE INFORMÁTICA DE LA UPEL

Jenny M. Guillén C [email protected]

UPEL Maracay

RESUMEN

En este trabajo se proponen aproximaciones teóricas para desarrollar competencias de

aprendizaje en el abordaje de la Informática como eje transversal del currículo de la

Especialidad de Informática de la UPEL , describiendo el componente teórico y

ontoepistemológico explicito en los programas sinópticos de los cursos del componente de

Formación Especializada, en cuanto a los contenidos en el área de la Tecnología

Informática y develando la Teoría en Uso del docente de dicha Especialidad a fin de

estructurar su perfil competencial para el abordaje de la Informática. Se sustentó en la

Teoría de la Acción (Argyris Schön, 1989), (Habermas, 1989), con la Teoría de la Acción

Comunicativa, Morin (2000, 2001,2003) con la Teoría de la complejidad y los fundamentos

de la UNESCO (2004) en relación con las TIC. Se utilizo una metódica plural y emergente.

Su episteme se ubica en el enfoque cualitativo, educacional- critico y constructivo-

reflexivo. Desde el punto de vista paradigmático, en la investigación utilizó el método de la

construcción y reconstrucción de la Teoría en Uso y el enfoque de la Teoría Fundamentada

(Glasser y Strauss, 1992) y Strauss y Corvit (1999,2002) y el muestreo teórico. Los

informantes clave fueron los docentes de la UPEL que se desempeñan en la Especialidad de

Informática en los institutos que Administran dicha Especialidad. Se detectó inconsistencia

entre la teoría explicita (programas Sinópticos del componente de formación especializada)

y, en Uso (actuación del docente) en cuanto al abordaje de la Informática, respondiendo a

su “conveniencia” lo cual dista mucho de la formación de un docente en torno a lo

competencial. Se recomienda implementar acciones enmarcadas en lo complejo desde una

plataforma en línea o presencial, que se convierta en el eje transversal del currículo de

Informática y que se aborde en orden a las competencias informacionales.

Palabras Clave: Pensamiento Complejo, Competencias TIC e Informática, Modelos

Educativos.

mailto:[email protected]


22

EDUCACIÓN Y TECNOLOGÍA ¿HACIA DÓNDE APUNTA EL ASUNTO?

Gabriela Gardié

[email protected]

UPEL Maracay – NICRED

RESUMEN

La tecnología está presente en todos los ámbitos del quehacer humano, desde el privado

y personal hasta el laboral y público; va desde el uso de un horno micro-ondas hasta el de

un teléfono celular, pasando por computadoras, geolocalizadores, entre otros.

Evidentemente, la educación no escapa a su influencia y ésta genera cambios en el modo de

asumir el proceso de enseñanza y de aprendizaje, nacen nuevos enfoques y métodos

pedagógicos, así pues, el propósito de esta conferencia es exponer cuáles de estos avances

están impactando en el ámbito educativo y las consecuencias de este hecho. En su

contenido abordaremos la computación en nube, la realidad aumentada, la robótica

educativa, los cursos masivos en línea conocidos como MOOCS y los videojuegos.

Observaremos cómo los elementos tecnológicos, pensados en primera instancia para

aumentar la eficiencia de las empresas, juegan hoy día un papel relevante en lo que se ha

denominado “la educación del futuro” según lo expone Downes (2012), pensada más allá

de las paredes de los recintos educativos para satisfacer las demandas de la sociedad en

cuanto al aprendizaje para la vida, la educación no formal e informal, que como sabemos,

se han constituido en una deuda a saldar con la sociedad actual.

Palabras Clave: Educación, MOOCS, Realidad Aumentada, Videojuegos, Robótica

REFERENCIAS

Downes, S. (2012). La condición semántica: conectivismo y aprendizaje abierto. [Video en

línea]. Disponible en: http://redesoei.ning.com/ video/la-condicion-semantica-

conectivismo-y-aprendizaje-abierto-stephen [Consulta: 15, Agosto 2013]


http://redesoei.ning.com/%20video/la-condicion-semantica-conectivismo-y-aprendizaje-abierto-stephen

http://redesoei.ning.com/%20video/la-condicion-semantica-conectivismo-y-aprendizaje-abierto-stephen


23

PAPEL DE LA TEORÍA EN LA INVESTIGACIÓN EN EDUCACIÓN

MATEMÁTICA

Fredy Enrique González

[email protected]

UPEL-Maracay- NIEM

RESUMEN

Uno de los indicios de robustez de un campo disciplinario es la presencia de teorías

relativas a sus asuntos específicos de interés indagatorio que ofrezcan explicaciones,

interpretaciones y/o comprensiones plausibles de sus correspondientes objetos de estudio;

este es el caso de la Educación Matemática, ámbito éste que muestra hoy evidencias de

consolidación como espacio para la producción profesional de saberes y conocimientos

relacionados con los procesos de enseñanza, aprendizaje, estudio y evaluación de la

Matemática. En esta conferencia se hará referencia a las diversas perspectivas teóricas y

desde las cuales se desarrolla la investigación en Educación Matemática; para ello se hará

mención a los siguientes aspectos: ¿Qué es una teoría? ¿Cuál es su papel en la

investigación? ¿Cuáles son las perspectivas teóricas contemporáneas de la investigación en

Educación Matemática? Y ¿qué presencia tiene estas teorías en la investigación venezolana

en Educación Matemática? Reiterando que la consolidación disciplinaria de la Educación

Matemática está vinculada con los desarrollos teóricos que tienen lugar en su interior, y

asumiendo a la investigación como uno de los medios contribuyentes al desenvolvimiento

disciplinario, se examinan las diferentes aproximaciones teóricas que, en el ámbito

internacional, se han venido instituyendo en el seno de la Educación Matemática; para esto

fueron revisados los programas de investigación en Educación Matemática que ha

identificado Font (2002) así como los trabajos de Bikner – Ahsbahs & Prediger (2006);

Harel (2010); Lester (2010); Lerman (2006); Sriraman, & English (2005, 2006); Trigueros,

Sacristán & Guerrero (2008), entre otros.

Palabras Clave: Etnomatemática, TAD, Socioepistemología, EOS, Educación Matemática

Crítica, Enculturización Matemática.



24


25

FORO


26


27

¿CÓMO SE INVESTIGA EN SOCIOEPISTEMOLOGÍA?

Fredy González

UPEL-Maracay-NIEM

RESUMEN

La Exposición comenzará haciendo referencia a las notas distintivas esenciales de la

metodología de investigación que ponen en juego quienes suscriben la aproximación

socioepistemológica de la Matemática Educativa. El asunto será desarrollado teniendo

como base el trabajo de Montiel & Buendía (2012) quienes, por reconstrucción

retrospectiva, elaboraron una propuesta metodológica para la investigación

socioepistemológica. Primero, se hace referencia a cuestiones generales de metodología de

investigación; luego, se mencionan los componentes de una matriz global de referencia en

la concepción de una investigación socioepistemológica; después se explicitan las premisas

fundamentales de la investigación en Socioepistemología; luego se pasa a la concepción

relativa a la unidad de análisis de la investigación socioepistemológica; finalmente, se

presentan sus procedimientos metodológicos, a saber: La Unidad de Análisis en una

investigación Socioepistemológica se concibe como una congráficoción constituida por un

escenario en cuyo seno tienen lugar prácticas sociales asociadas con procesos de

producción, uso y transmisión de conocimientos, protagonizadas por sujetos que

interactúan entre si, como consecuencia de su participación en las actividades constitutivas

de las referidas prácticas; por tanto, esta modalidad investigativa se inicia con un examen

de las actividades constituyentes de las Prácticas de Uso, Transmisión y Producción de

conocimientos matemáticos en escenarios diversos; a continuación, Problematiza el saber

matemático puesto en juego en dichas prácticas; es decir, lo considera como un saber en

acción (no hecho, sino haciéndose) y no como un producto estático; en consecuencia,

reconoce la historicidad de dicho saber y su dependencia de las condiciones, circunstancias,

posibilidades y necesidades que requieren su uso, y por ende, generan la posibilidad o

necesidad de su emergencia; lo anterior, se manifiesta como un análisis histórico

epistemológico, lo cual implica examinar las condiciones de producción y los significados

que le son atribuidos al saber en función de los usos posibles bajo tales condiciones.

Palabras Clave: Matemática Educativa; Enfoque Sociocultural; Prácticas Sociales.


28

INDAGACIONES EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA. PERSPECTIVAS DESDE EL

PENSAMIENTO NUMÉRICO Y ALGEBRAICO

José Ortiz Buitrago

[email protected]

Unidad de Investigación del Ciclo Básico

Universidad de Carabobo. Campus La Morita

RESUMEN

La línea de investigación pensamiento numérico y algebraico (LIPNA), parte de la

consideración que existe una diversidad de vínculos entre el conocimiento numérico y el

algebraico y las bases teóricas y metodológicas para su estudio tienen elementos comunes.

En LIPNA, se desarrolla una indagación y estudio en Didáctica de la Matemática sobre los

fenómenos de enseñanza, aprendizaje y utilización de conceptos numéricos, algebraicos y

analíticos, tanto en el medio educativo como en el medio social. El marco conceptual, en el

que se sitúa el pensamiento numérico y algebraico, contempla la valoración del currículo

como un plan de formación con diferentes niveles de reflexión e implementación.

Asimismo, hay una marcada preocupación por las cuestiones derivadas de la evaluación en

matemáticas. En este marco también encontramos indagación respecto a la formación

inicial y permanente del profesorado de matemáticas. Un aspecto actual en LIPNA lo

constituye el desarrollo de investigaciones que involucran las TIC en contextos de

modelización matemática. El campo de reflexión comienza en la aritmética escolar y las

nociones básicas de número, avanza por los sistemas numéricos superiores y continúa con

el estudio sistemático de las relaciones y estructuras numéricas, la teoría de números, el

inicio del álgebra, los procesos infinitos que dan lugar al sistema de los números reales y

los conceptos básicos del análisis. En fin de cuentas, el trabajo investigativo va dirigido a

ofrecer y consolidar en las instituciones una educación matemática de calidad, con

implicaciones actuales y futuras. Eso conlleva la perspectiva de lograr autonomía

intelectual en los estudiantes y una formación matemática que fomente la comprensión y

transformación de la realidad. Los resultados parecen indicar que hay una inmensa deuda

pendiente. En este trabajo se muestran algunos trabajos en desarrollo y otros realizados en

el marco de LIPNA.

Palabras clave: Investigación en Educación Matemática, Pensamiento Numérico y

Algebraico. Trabajos de investigación



29

PERSPECTIVAS DE LA INVESTIGACIÓN EN EDUCACIÓN ESTADÍSTICA

Julia Elena Sanoja

[email protected]

UPEL Maracay – CEINEM-NT

RESUMEN

La Enseñanza de la Estadística es objeto de estudio de diversas investigaciones en

distintos países, debido a su importancia, ampliamente reconocida, en la formación general

del ciudadano. En este orden de ideas, Batanero (2000) expresa que “La estadística ha

jugado un papel primordial en el desarrollo de la sociedad moderna, al proporcionar

herramientas metodológicas generales para analizar la variabilidad, determinar relaciones

entre variables, diseñar en forma óptima estudios y experimentos y mejorar las predicciones

y toma de decisiones en situaciones de incertidumbre”. Sin embargo, en Venezuela, es un

campo poco explorado y con grandes necesidades en la formación didáctica de los

profesores que imparten dichos contenidos, en la formación de profesionales y usuarios de

la estadística, en el desarrollo de una alfabetización estadística en el ciudadano, así como el

empleo de tecnología así como la modelización en los procesos de enseñanza y aprendizaje.

Es por ello que esta línea de investigación busca investigar acerca de: (1) Situación actual

de la enseñanza de la estadística los diferentes niveles del sector educativo; (2) Las

prácticas actuales en formación inicial de profesores respecto a la enseñanza de la

estadística; (3) Inserción de la tecnología en la educación estadística; (4) la modelización en

la educación estadística; (5) Desarrollo del Pensamiento estadístico; (5) la formación de

profesores en ejercicio en educación estadística.

Palabras clave: Educación estadística, alfabetización estadística, investigación, tecnología


30

APORTES DE LA LÍNEA DE INVESTIGACIÓN “PERSPECTIVAS DEL

ENFOQUE SEMIÓTICO ANTROPOLÓGICO” A LA EDUCACIÓN

MATEMÁTICA EN VENEZUELA

Mario José Arrieche Alvarado

[email protected]

UPEL Maracay - NIEM

RESUMEN

La Educación Matemática en Venezuela se encuentra en pleno proceso de desarrollo y

de consolidación como disciplina científica, el cual ha sido impulsado por la conformación

de Asociaciones, tanto a nivel regional como nacional, integradas por todos los

profesionales que laboran en la enseñanza de la Matemática de los diferentes niveles del

Sistema Educativo y que se encargan de organizar, coordinar y realizar Simposios,

Congresos, Jornadas y toda clase de eventos correspondientes a esta ciencia;

constituyéndose estos últimos en escenarios propicios para divulgar y valorar la

producción científica generada de los grupos de investigación que coordinan las líneas de

investigación que conforman los núcleos y centros de investigación existentes en nuestro

país, citándose por ejemplo las líneas de Arrieche (2003), Ortiz (2003), González (2003),

Rojas (2003) adheridas al Núcleo de Investigación en Educación Matemática “Dr. Emilio

Medina” de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador sede Maracay. Esta trabajo

tiene como propósito fundamental dar a conocer a la Comunidad Educadores matemáticos

de la región los productos investigativos que se han generado hasta el momento y los que

actualmente están en desarrollo, insertados la Línea de investigación perspectivas del

enfoque semiótico antropológico para la Didáctica de la Matemática cuyos sustentos

teóricos se basan en el enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática

(Godino, 2003)). El trabajo se realizó tomando como base la descripción de la línea de

investigación en referencia y sus productos investigativos. Con la expresión “enfoque

semiótico-antropológico” se describe el modelo teórico para la Didáctica de la Matemática

que adopta la noción de significado como clave para analizar la actividad matemática y los

procesos del conocimiento matemático. La idea impulsora de este modelo consiste en tratar

de articular dentro de un sistema coherente las dimensiones epistemológicas, cognitivas e

instruccionales puestas en juego en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas,

adoptando nociones semióticas como enfoque integrador, el cual considera como objeto o

entidad matemática todo aquello que puede ser indicado, todo lo que puede señalarse o a lo

cual puede hacerse referencia, cuando hacemos, comunicamos o aprendemos matemáticas.

Entre los aportes referidos, consideramos en esta ponencia los productos investigativos,

citándose por ejemplo el proyecto Macro de Arrieche (2012), financiado por FONACIT,

Intitulado “Significados institucionales y personales de los objetos matemáticos puestos en

juego en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática” y algunas de las

investigaciones concluidas y en proceso, realizadas en el marco de este enfoque, desde el

año 2002 en adelante (Arrieche, 2002), Meléndez (2005), González (2005), Figueroa

(2005), Contreras (2006), Díaz (2006), Hernández (2007), Aponte (2007), Capace (2008),

Martínez (2007), Arrieche (2010), Arrieche ( 2012) y Mota (2012).



31

REFERENCIAS

Aponte, A. (2007). Significados personales de las ecuaciones de primer grado en la

Educación Básica. Trabajo de Grado de Maestría. Universidad de Carabobo, Valencia.

Arrieche, M. (2002). La teoría de conjuntos en la formación de maestros: facetas y factores

condicionantes del estudio de una teoría matemática. Tesis doctoral. Departamento

de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada.

Arrieche, M. (2003). Perspectivas del enfoque semiótico-antropológico para la Didáctica de

la Matemática. Paradigma, 24 (2) :151-160.

Arrieche, M. (2010). Significados institucionales y personales de las funciones en la

formación de profesores de Educación Básica. Trabajo de Ascenso no publicado.

Departamento de Matemática de la Universidad Pedagógica Experimental

Libertador-Maracay

Arrieche, M. (2012). Significados institucionales y personales de los objetos matemáticos

puestos en juego en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática”.

Proyecto de Investigación financiado por FONACIT. Universidad Pedagógica

Experimental Libertador-Maracay.

Capace, L. (2008). La integral en la formación técnica universitaria: Dimensiones presentes

en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Tesis doctoral. Universidad Pedagógica

Experimental Libertador, Maracay.

Contreras, Y. (2006). Análisis de la evaluación del aprendizaje matemático en la Educación

Básica Trabajo de Grado de Maestría. Universidad Pedagógica Experimental

Libertador, Maracay.

Díaz, L. (2006). Significados personales de las transformaciones en el Plano a nivel de

Educación Básica. Trabajo de Grado de Maestría. Universidad Pedagógica


Figueroa, T. (2005). La resolución de problemas como herramienta de diagnóstico del

proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática en la Educación diversificada.

y profesional. Trabajo de Grado de Maestría. Universidad Pedagógica Experimental


Godino, J.D. (2003). Teoría de las funciones semióticas :enfoque ontosemiótico de la

cognición e instrucción matemática. Memoria presentada para optar a una plaza de

catedrático en el Departamento de Didáctica de la Universidad de Granada.

González, F. (2003). Educación Matemática. Comunicación presentada en la I Jornadas de

Investigación en Educación Matemática de la UPEL-Maracay.



González, Y. (2005). Significados institucionales y personales de las fracciones en la

Educación Básica Trabajo de Grado de Maestría. Universidad Pedagógica


Hernández, O. (2007). Significados institucionales de las funciones en la Educación Básica.

Trabajo de Grado de Maestría. Universidad Pedagógica Experimental Libertador,

Maracay.

Martínez, A. (2008). Significados personales de las ecuaciones de segundo grado en la

formación inicial de profesores de Matemática. Trabajo de grado de Maestría.

Universidad Pedagógica Experimental Libertador, Maracay.


32

Mota, D. (2012). Significados institucionales de los polinomios en la Educación media

general. Trabajo de Grado de Maestría. Universidad de Carabobo, Valencia.

Ortiz, J. (2003). Línea de investigación Pensamiento numérico y algebraico. Comunicación

presentada en la I Jornadas de Investigación en Educación Matemática de la UPEL-

Maracay.

Rojas, J. (2003). Línea de investigación Perspectivas de la nurolinguística a la Educación

Matemática. Comunicación presentada en la I Jornadas de Investigación en

Educación Matemática de la UPEL-Maracay


33

PONENCIAS


34


35

TEOREMA DE THALES: UNA PROPUESTA DIDÁCTICA

Odalys Báez

[email protected]

Andrea González, Génesis Gudiño, Liliana Noguera

Martha Iglesias

[email protected]

UPEL-Maracay-CEINEM-NT

RESUMEN

La Matemática, como ciencia formal, se estructura de forma axiomática y se apoya en el

desarrollo del pensamiento lógico deductivo para la deducción y validación del

conocimiento matemático; además, se divide en áreas tales como: Aritmética, Álgebra,

Análisis, Estadística y Geometría; siendo ésta última la que permite establecer relaciones

espaciales con el entorno; cualidad que el docente puede aprovechar para acercar a sus

estudiantes con el saber matemático durante toda su formación académica, poniendo en

práctica estrategias didácticas que motiven a los estudiantes a construir y explorar gráficos

y cuerpos geométricos, identificar características invariantes en una construcción

geométrica, formular conjeturas y tratar de validarlas. Por ello, desde una perspectiva

investigativa, haciendo uso de la noción de análisis didáctico (Gómez y Rico, 2002;

Iglesias, 2008), se diseñó y desarrolló una propuesta didáctica, partiendo de la elaboración

de un mapa de enseñanza y aprendizaje sobre el Teorema de Thales y la identificación de

las habilidades asociadas a los niveles de razonamiento geométrico propuestos en el modelo

de Van Hiele, con el propósito de que los estudiantes (9no grado de Educación Básica)

reconozcan las definiciones implicadas en el Teorema de Thales y la aplicación del mismo

en la resolución de problemas. Esta propuesta integra la actividad Lúdica Educativa, la cual

estimula el aprendizaje a través de la alegría, el placer, el gozo, la satisfacción, logrando

captar la atención de los estudiantes y explotando sus habilidades; se usaron dos juegos:

Encuentra mi Pareja (tipo memoria) y Aceptando el Reto (tipo Rally). Por otra parte, se

incorpora el uso de un Software de Geometría Dinámica como el Cabrí Géomètre II Plus, el

cual facilita la elaboración de gráficos, permitiendo a los estudiantes su exploración,

propiciando tanto la visualización de las relaciones existentes entre los objetos que

conforman una construcción como la resolución de problemas geométricos en un ambiente

digital. También se integró el uso de Videos Educativos, como apoyo y complemento a las

explicaciones dadas por el docente.

Palabras Clave: Teorema de Thales, Lúdica Educativa, Software de Geometría Dinámica,

Videos Educativos.

REFERENCIAS

Gómez, P. y Rico, L. (2002). Análisis didáctico, conocimiento didáctico y formación inicial

de profesores de matemáticas de secundaria. Documento no publicado. Granada:

Universidad de Granada.




36

Iglesias, M. (2008). Proyecto Docente en el área de Geometría y su Didáctica. Trabajo de

ascenso no publicado. Universidad Pedagógica Experimental Libertador, Instituto

Pedagógico Rafael Alberto Escobar Lara, Maracay.


37

CASAS DE BAHAREQUE:

UNA VISIÓN ETNOMATEMÁTICA A PARTIR DE SU CONSTRUCCIÓN

Robert Lira

[email protected]

U.E.N.C. “El Paují” – Espacio Educativo Valle de San Isidro

Martha Iglesias

[email protected]


RESUMEN

En los últimos tiempos, la Etnomatemática ha logrado posicionarse entre los campos de

estudios existentes y más importantes para el estudio de la Matemática. Desde una visión

etnomatemática se pueden relacionar diferentes aspectos socioculturales y medio

ambientales con las ideas matemáticas que las personas desarrollan en su cotidianidad. Esta

investigación estuvo orientada a encontrar y develar la Matemática que se encuentra

presente en la construcción de casas de bahareque por parte de los habitantes del Valle de

San Isidro, el cual es un caserío ubicado entre la Colonia Tovar y El Consejo (Estado

Aragua); para ello se procuró interpretar los productos culturales a través de su relación con

conceptos matemáticos. Se trató de un estudio cualitativo centrado en la Etnomatemática a

través de un trabajo de campo. Para llevarlo a cabo se realizaron observaciones y

conversaciones con personas mayores del sector y practicantes de labores cotidianas, así

como la elaboración de casas a escala con los participantes del estudio. Seguidamente, se

analizó la información recabada por medio de triangulación y análisis de contenido para

llegar a comprender el fenómeno de las Matemáticas Contextualizadas presentes en el

sector, teniendo como referencia para interpretar la información a la Etnomatemática

conceptualizada por DÁmbrosio (2002) y las Actividades Matemáticas Humanas de

Bishop (1999). Entre los resultados encontrados se tiene que las personas usan

intuitivamente conocimientos matemáticos, los cuales les han ayudado en sus acciones de

trabajo, ya que, realizan cálculos y estimaciones en los procedimientos, trabajan con

diferentes magnitudes para medir longitudes y hacen uso de diferentes artefactos para la

realización de las mismas, llegando a utilizar gráficos o relaciones geométricas en la

construcción de sus casas.

Palabras Clave: Etnomatemática, Actividades Matemáticas Humanas, Matemáticas

contextualizadas, construcción de casas de bahareque.

REFERENCIAS

Bishop, A. (1999). Enculturación Matemática: La educación matemática desde una

perspectiva cultural (G. Sánchez Barberán, Trad.). Barcelona, España: Ediciones Paidos

Ibérica, S.A.

DÁmbrosio, U. (2002). Why Ethnomathematics? Or what is Ethnomathematics and how

can it help children in schools. [Documento en línea]. Disponible:

http://vello.sites.uol.com.br/what.htm [Consulta: 2008, Diciembre 20]




38

BLOG: EL MUNDO DE PITÁGORAS EN LA ERA TECNOLÓGICA

Andrea Osorio

[email protected]

Carmen Gil

Wolghan Gómez

Evelyn Romero

Yerikson Suárez

Martha Iglesias

[email protected]


RESUMEN

El avance de la era tecnológica en el manejo de la información y la comunicación es

inevitable y genera cambios socio-culturales cuyas consecuencias forman parte inherente

de la educación actual; prueba de ello son los estudiantes de esta era, los llamados nativos

digitales: aquellos individuos que han crecido inmersos en la tecnología digital y hacen uso

cotidiano de las redes sociales para acceder a la información y comunicarse con otras

personas (García, Portillo, Romo y Benito, 2007). Por consiguiente, la adaptación a los

cambios y formación de los profesores para la adecuada incorporación de estas

herramientas tecnológicas en la educación es indispensable para su efectividad en el

proceso de enseñanza y aprendizaje de cualquier disciplina y, en particular, de la

Matemática. Por ello, se propone la utilización y creación del Blog: El Mundo de Pitágoras,

con el propósito de permitir que los estudiantes de tercer año de educación media

interactúen con lo visto en las clases de Matemática, establezcan dudas acerca de este tema,

propongan información de interés en relación al teorema de Pitágoras y sean partícipes de

su propio conocimiento. Para lograr estos objetivos, este blog cuenta con un diseño que

muestra el título, una breve descripción del mismo, el perfil de sus creadores, el archivo con

todas las publicaciones cargadas cronológicamente y las actividades didácticas propuestas

por sus administradores. Cada una de estas actividades tiene una intencionalidad didáctica

específica y, por ende, una estructura que favorece el aprendizaje de los estudiantes como el

manejo efectivo del blog; dicha estructura comprende los objetivos de la actividad, la forma

de trabajo, la evaluación a aplicar y el establecimiento del lugar y los materiales a utilizar

por los estudiantes.

Palabras Clave: Tecnologías de Información y Comunicación, Blog, Teorema de

Pitágoras.

REFERENCIAS

García, F., Portillo, J. Romo, J. y Benito, M. (2007). Nativos digitales y modelos de

aprendizaje [Documento en línea] Ponencia presentada en el IV Simposio

Pluridisciplinar sobre Diseño, Evaluación y Desarrollo de Contenidos Reutilizables.

Bilbao: Universidad del País Vasco. Disponible en:

http://spdece07.ehu.es/actas/Garcia.pdf





39

LA ESTADÍSTICA Y LOS LIBROS DE TEXTO DE MATEMÁTICA

Julia Elena Sanoja de Ramírez

[email protected]


Oscar Ramírez

UNESR

RESUMEN

El presente trabajo se planteó como objetivo Caracterizar los contenidos de Estadística

presentes en los libros textos de Matemática, de la Educación Primaria, desde los

organizadores del currículo. La fundamentación teórica que sustenta la investigación se

centra en los Organizadores Curriculares (Rico, 1997) y los Organizadores Curriculares

Específicos para contenidos de Estadística de Martin (2002). La investigación se desarrolló

bajo un enfoque cualitativo, asumiendo como unidad de análisis a los libros de texto de

Matemática de 4°, 5° y 6° grado de educación primaria, la técnica de análisis fue el análisis

de contenido (Bardín, 2002), para ello se diseñó el instrumento RCELTM que permitió

realizar el recuento de categorías. Se evidenció lo poco que le dedican dentro de todo el

libro a los contenidos de Estadística, los cuales son presentados al final del mismo; las

editoriales le restan importancia al organizador curricular errores y dificultad, así como al

de la historia. En cuanto a los organizadores específicos, los libros de texto no reflejan la

relación entre Estadística y Probabilidad, así como tampoco las aplicaciones de los

conceptos estadísticos para conjeturar y tomar decisiones.

Palabras Clave: Libros de Texto, Estadística, Organizadores del Currículo.

REFERENCIAS

Bardin, L. (2002 Análisis de contenido.3ª ed. Madrid, España: Akal.

Martín, C (2002). Criterios para el análisis de libros de texto desde la perspectiva de la

Didáctica de la Matemática. Aplicación a la Estadística y Probabilidad. En M. C.

Penalva, G. Torregrosa y J. Valls (eds.), Aportaciones de la Didáctica de la Matemática

a diferentes perfiles profesionales (373–385). Alicante, España: Universidad de

Alicante

Rico, L. (1997). Los Organizadores del Currículo de Matemáticas. En L. RICO (Coord.), La

Educación Matemática en la Enseñanza Secundaria (39–59). Barcelona: ICE

Universidad de Barcelona – Horsori.



40

PITÁGORAS Y EL TEOREMA DE LA MUJER CASADA.

UNA PROPUESTA DIDÁCTICA

Andrea Osorio

[email protected],

Carmen Gil; Wolghan Gómez; Evelyn Romero

Martha Iglesias

[email protected]


RESUMEN

En la práctica educativa actual, el estudio de la Matemática tiende a ser rechazado por

los estudiantes, por diversas razones, entre ellas: la falta de motivación e interés hacia el

estudio, la forma de enseñar de los profesores, el carácter abstracto de las nociones

matemáticas, la carencia de adecuados hábitos de estudio y materiales didácticos

apropiados, etc. Además, los docentes de Matemática suelen enfatizar en los contenidos

aritméticos y algebraicos, descuidando el estudio de la Geometría; situación que no le

permite a los estudiantes percatarse de la relación existente entre los contenidos

geométricos con el mundo que nos rodea. Por ello, los profesores de Matemática requieren

diseñar, desarrollar o simplemente gestionar estrategias didácticas que den respuesta a las

necesidades formativas de los estudiantes y, por ende, de la sociedad, teniendo en cuenta

los fines de la Educación Matemática. Por ello, a partir del desarrollo de un mapa de

enseñanza y aprendizaje para determinar el alcance del contenido geométrico a ser

estudiado (Orellana Chacín, 2002) y la aplicación del modelo de razonamiento geométrico

(Van Hiele, 1959) para establecer las habilidades geométricas que se pretenden sean

alcanzadas por los estudiantes, se diseñó una propuesta didáctica orientada a la enseñanza y

el aprendizaje del Teorema de Pitágoras (3er año de educación media) y centrada en el uso

de un juego didáctico PITAGORAS_MANIA (adaptación del reto a saber), el cual fue

diseñado con la intención de estimular la creatividad y socialización entre los estudiantes,

así como la puesta en práctica del contenido matemático y su comprensión. Asimismo, se

consideró el uso de un Blog denominado El Mundo de Pitágoras el cual ofrece a los futuros

educadores de Matemática oportunidades para desarrollar habilidades geométricas

relacionadas con la comprensión y aplicación del Teorema de Pitágoras y su demostración

matemática en ambientes con énfasis lúdico y tecnológicos Así, se espera que el Juego más

el uso de las tecnologías de información y comunicación propicien el aprendizaje

significativo en el estudiantado, reconociendo además al docente como un actor del proceso

educativo en sus roles de planificador, facilitador y evaluador de los aprendizajes

Palabras Clave: Teorema de Pitágoras, estrategias didácticas y aprendizaje significativo.

REFERENCIAS

Orellana Chacín, M. (2002). ¿Qué enseñar de un Tópico o de un Tema? Enseñanza de la

Matemática 11(2), 21- 42.

Van Hiele, P.M. (1959). La pensée de l'enfant et la géométrie. Bulletin de l'APMEP 198,

pp. 199-205. Traducido al español por Ricardo Barroso. Disponible en:

http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/aprengeom/aprgeorefer.html





41

FORMACIÓN PERMANENTE DE LOS DOCENTES DE MATEMÁTICA. UNA

PROPUESTA DIDÁCTICA

Jimmy Sánchez Chacón

[email protected]

UEN Manuel María Villalobos

Martha Iglesias Inojosa

[email protected]


RESUMEN

En este estudio se presenta una propuesta didáctica dirigida a la formación permanente

de los docentes de Matemática, con el propósito de contribuir a la solución de la

problemática relacionada con la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría en Educación

Media General. Para ello, mediante un trabajo de campo, se identificaron las necesidades

formativas de los profesores que laboran en la U.E.N. Manuel María Villalobos (Carrizal,

Estado Miranda), así como también se revisaron algunas propuestas formativas reportadas

en revistas especializadas o memorias de eventos científicos, logrando establecer las bases

teóricas y metodológicas que sustentaron el diseño de un curso de Geometría y su

Didáctica. La propuesta estuvo orientada a dar a conocer herramientas teóricas y

metodológicas susceptibles de ser empleadas en el diseño de actividades didácticas con

contenidos geométricos, para hacer uso adecuado de un software de Geometría Dinámica

como el Cabri Geometry II Plus. Recomendándose la puesta en práctica del curso por

considerarlo como un escenario propicio para la investigación en Educación Matemática

Palabras Clave: Formación Permanente del Docente, Geometría y su Didáctica, Propuesta

Didáctica.




42

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN DE NÚMEROS REALES Y LÍMITE DE LAS

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL: ANÁLISIS DE CONTENIDO

Rolando García


RESUMEN

Las investigaciones sobre el concepto límite de sucesiones o límite de funciones reales

de una variable real han estado orientadas por cuatro grandes campos: el epistemológico, el

cognitivo, de corte histórico y el didáctico, así lo aseguran Camacho, Díaz, Locia y Navarro

(2009). La presente investigación tiene como propósito realizar el análisis de contenido del

tópico matemático Límite, tanto de sucesiones de números reales como de funciones reales

de una variable real. Este análisis de contenido se llevó a cabo con la noción que plantean

Gómez y Rico (2002), la cual distingue tres tipos de significados: la estructura conceptual,

los sistemas de representación y los fenómenos asociados. En primer lugar se describen los

sistemas de representación de la noción de límite y luego los fenómenos asociados

presentes en 15 libros de texto universitarios impresos, estos fenómenos son descritos y

definidos de acuerdo a lo planteado por Claros, Coriat y Sánchez (2007): (a) Aproximación

simple intuitiva para sucesiones, (b) Aproximación doble intuitiva para funciones, (c) Ida y

vuelta para sucesiones y funciones. En seguida con un proceso denominado

descomposición genética del concepto planteado por Azcárate y Camacho (2003) que se

logra a través de: la comprensión que posee el investigador sobre el concepto en cuestión,

las investigaciones previas realizadas sobre el concepto en estudio (en esta investigación se

consideraron las investigaciones publicadas en las Actas Latinoamericanas de Matemática

Educativa ALME desde 1998 hasta 2009) y las observaciones de 3 estudiantes de la

especialidad de Matemática de la UPEL - Maracay, se completó la estructura conceptual de

este tópico tan importante para el Análisis Matemático. Lográndose así establecer

relaciones entre los sistemas de representación (Gráfico, Simbólico, Tabular y Verbal) y los

fenómenos de aproximación intuitiva y los de ida y vuelta tanto para límite de sucesiones

como para límite de funciones.

Palabras Clave: Descomposición genética del concepto límite, Didáctica del Análisis,

Libros de texto.

REFERENCIAS

Azcárate, C y Camacho, M. (2003). Sobre la investigación en didáctica del análisis

matemático. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana. Revista en línea X (2).

Disponible: http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol10/matias-carmen.pdf

Consulta: 2011, Enero 7 .

Camacho, N., Díaz, M., Locia, E., Navarro, C. (2009). Formación del concepto de límite

mediante dos registros de representación: representaciones gráficas y el uso

algebraico. Documento en línea . Ponencia publicada en el Acta Latinoamericana de

Matemática Educativa 22, México. Disponible: www.clame.org.mx Consulta: 2011,

Enero 6 .

http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol10/matias-carmen.pdf

http://www.clame.org.mx/


43

LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO. UNA PROPUESTA DIDÁCTICA

Snnaider Ramirez

[email protected]

Zuleidy Torres

Kelly Váldez

Martha Iglesias

[email protected]

UPEL-Maracay

RESUMEN

El estudio de la Geometría ofrece diversas posibilidades para experimentar, mediante el

uso adecuado de materiales manipulables, sus métodos, conceptos, propiedades y

problemas. Actualmente existen muchos materiales que pueden utilizarse en el trabajo de

aula para enseñar los temas geométricos; algunos de ellos han sido creados

específicamente para estudiar Geometría y otros pueden ser adaptados para utilizarse en su

enseñanza; sin embargo, son pocos los docentes que están al tanto de ello o que se animan a

emplearlos en sus clases. Por ello, este trabajo estuvo dirigido a diseñar una propuesta para

la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría de la Circunferencia y el Círculo (8vo grado

de Educación Básica), teniendo como referente la noción de análisis didáctico (Gómez,

2007; Iglesias, 2008), el cual en la fase de planificación abarca tres componentes y la

búsqueda de respuesta a una serie de interrogantes: (1) Análisis de contenido: ¿Cuáles

aspectos se abordarán sobre la Geometría de la Circunferencia y el Círculo teniendo en

cuenta el mapa de enseñanza y aprendizaje?, ¿Cuáles relaciones se pueden establecer entre

los aspectos elegidos?. (2) Análisis Cognitivo: ¿Cuáles serán las habilidades geométricas

asociadas a los niveles de razonamiento geométrico se espera sean desarrolladas por los

estudiantes cuando estudien el tema relacionado con circunferencia y círculo? (3) Análisis

de la Instrucción: ¿Cuáles son las estrategias, materiales y recursos didácticos idóneos para

organizar la enseñanza del referido a la Geometría de la Circunferencia y el Círculo en

octavo grado de Educación Básica? Como respuesta a estas interrogantes, se diseñó una

propuesta que abarcaba asuntos como la representación de la circunferencia y el círculo en

el mundo real, la relación existente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro,

una reseña histórica del número Pi ( ), la identificación y trazado de los elementos de una

circunferencia y un circulo y el dibujo y cálculo con tecnología para inscribir polígonos en

una circunferencia. Para ello, se planteó el uso de materiales didácticos manipulables y la

incorporación de un software de Geometría Dinámica como el Cabri Geometry II.

Palabras Clave: Didáctica de la Geometría, Materiales didácticos y Software de Geometría

Dinámica.

REFERENCIAS

Gómez, P. (2007). Análisis didáctico. Una conceptualización de la enseñanza de las

matemáticas (capítulo 2). En P. Gómez (Ed.), Desarrollo del conocimiento

didáctico en un plan de formación inicial de profesores de matemáticas de




44

secundaria (pp. 31-116). Granada: Departamento de Didáctica de la Matemática de

la Universidad de Granada.

Iglesias, M. (2008). Proyecto Docente en el área de Geometría y su Didáctica. Trabajo

de ascenso no publicado. Universidad Pedagógica Experimental Libertador,

Instituto Pedagógico Rafael Alberto Escobar Lara, Maracay.


45

APROXIMACIÓN A LA REPITENCIA EN ÁLGEBRA DESDE LA PERSPECTIVA

DEL DOCENTE

Zoraida Paredes


RESUMEN

La formación inicial de los docentes de Matemática constituye un área de interés en

Educación Matemática y, dentro de ella, cobra importancia la formación en las distintas

áreas, entre las cuales se encuentra el Álgebra que, según su naturaleza formal y rigurosa,

ha originado grandes cifras de repitencia y en algunos casos deserción del curso y hasta de

la carrera. Esta situación no es ajena a la Universidad Pedagógica Experimental Libertador

(UPEL), ya que, en la especialidad de Matemática, se están generando altos índices de

reprobados, especialmente en el área de Álgebra. Es por ello que, con este trabajo, se

pretendió determinar las posibles causas de la repitencia académica en Álgebra desde la

perspectiva de los docentes. El estudio es de tipo descriptivo y se desarrolló con profesores

de la especialidad de Matemática de la UPEL – Maracay, adscritos al área de Álgebra, a

quienes se les aplicó un cuestionario y, luego, se seleccionaron dos docentes y se les realizó

una entrevista en profundidad, la cual se analizó aplicando la Teoría Fundamentada. Según

los resultados del cuestionario, el bajo rendimiento que presentan los estudiantes de la

especialidad de Matemática en los cursos del área de álgebra, está asociado a la aceptación

de estudiantes con bajo nivel académico y, por otra parte, el componente motivacional que

de alguna manera influye en este bajo rendimiento, lo cual coincide con lo mencionado por

Arrieche (2006) y Garbanzo (2007). Del análisis de las entrevistas surgieron dos categorías:

(a) los procesos pedagógicosque comprenden todos aquellos factores que influyen en la

preparación del docente para la planificación, desarrollo y evaluación del proceso de

enseñanza y aprendizaje del álgebra y que influyen de manera favorable o desfavorable en

el rendimiento académico de los estudiantes y (b) causas directas asociadas al bajo

rendimiento académico, que comprenden la primera instancia u origen a partir de la

cual se desarrolla un evento o situación específica que traen como consecuencia un

bajo rendimiento académico.

Palabras Clave: Repitencia académica, deserción escolar, enseñanza y aprendizaje del

Álgebra

REFERENCIAS

Arrieche, M. (2006). Factores condicionantes del rendimiento académico en matemática de

los estudiantes de básica, media, diversificado, profesional y superior. Ponencia

presentada en la XIX Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa (RELME),

Montevideo-Uruguay.

Garbanzo, M (2007). Factores asociados al rendimiento académico en estudiantes

universitarios, una reflexión desde la calidad de la educación superior pública. Revista

Educación, Revista en línea , 31(1), 43-63. Disponible: http://redalyc.

uaemex.mx/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=44031103. Consulta: 2012, Julio 7


46

NÚMERO RACIONAL EN ACTIVIDADES EXTRAESCOLARES

REALIZADAS POR ESTUDIANTES DE 4TO AÑO

Gustavo Pedríquez

Andrés González

UPEL-Maracay

RESUMEN

Con la finalidad de enriquecer la Educación Matemática en Venezuela, se realizará una

investigación basada en el problema de interpretación del Conjunto Q, mostrado por

estudiantes de 4to año de bachillerato, además se pretende evaluar el vínculo que

manifiestan los jóvenes entre el conjunto precisado y las actividades que realicen

habitualmente en su entorno, es decir, trabajo de economía informal, deportes, práctica de

música, danza entre otras. Además, se mostrará la construcción didáctica y axiomática del

Conjunto Q, así como su ubicación y competencia dentro del programa de Educación

Media vigente. Asimismo, los cimientos relevantes del examen responden a; Gairin (1998)

el cual afirma que la edificación del concepto de número racional es efectiva cuando se

integran y modulan conocimientos previos del conjunto de Números Naturales y Enteros, y,

Reverand (2004) cuyo estudió se pronunció acerca de la capacidad de importación de

procedimientos aritméticos realizados fuera del medio escolar hacia la aritmética dentro del

mismo. De esta manera, el trabajo de investigación se sustenta en la etnomatemática,

término que según DÁmbrosio define como el arte o técnica de explicar, comprender,

conocer y percibir lo que está arraigado en los elementos culturales, en este orden de ideas,

se adoptará el enfoque expuesto por Reverand (2005) que manifiesta “…tiene como objeto

de estudio las actividades matemáticas que llevan a cabo los alumnos fuera del contexto

escolar…”. Así la etnomatemática en sí misma conduce al método hacia el enfoque

cualitativo, por tal motivo se realizarán exámenes sucesivos con la observación que

Spradley (citado por Rojas B, 2012 p. 74) denomina “observación de participación

moderada” aquí, el observador mantiene un balance entre estar dentro y fuera del escenario

en estudio. Aparte, se piensa que los jóvenes no reconocen el potencial matemático

contenido en las actividades extraescolares que desarrollan.

Palabras Clave: Comprensión, Etnomatemática, Número Racional, Pensamiento

Numérico y Algebraico

REFERENCIAS

Beyer, W. (2005) Matemáticas, desarrollo humano, cultura y naturaleza. En D. Mora

(Coord.).Didáctica Crítica, Educación Crítica de las Matemáticas y Etnomatemática.

(pp. 277-313). Bolivia; La Paz.

Reverand, E. (2005) Cognición, Cultura y Etnomatemática. En D. Mora (Coord.).Didáctica

Crítica, Educación Crítica de las Matemáticas y Etnomatemática. (pp. 353-369).

Bolivia; La Paz.

Reverand, E. (2004). Niveles de Comprensión en Educación Básica. [Resumen en línea].

Tesis doctoral, Universidad central de Venezuela, Caracas. Disponible:


47

http://www.postgrado.ucv.ve/doctoradopsicologia/tesisreverand.htm [Consulta: 2012,

Julio 16]

Rojas, B. (2012) Investigación cualitativa, fundamentos y praxis. Venezuela; Caracas.

FEDUPEL


48

VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS.

ANÁLISIS DE UN PROCESO DE ESTUDIO EN EDUCACIÓN MEDIA GENERAL

MEDIANTE LOS CRITERIOS DE IDONEIDAD COGNITIVA Y MEDIACIONAL

Yraima Ramos

[email protected]

Angélica Martínez.

[email protected]

UPEL-Maracay

RESUMEN

La presente investigación está centrada en el análisis de un proceso de estudio sobre el

Volumen de Cuerpos Geométricos mediante los criterios de Idoneidad Cognitiva y

Mediacional en un curso de primer año de Educación Media General, con la finalidad de

evaluar los significados personales de los estudiantes sobre el volumen de sólidos y si la

estrategia didáctica puesta en juego fue efectiva para el aprendizaje. El trabajo se

fundamenta teóricamente en el Enfoque Ontosemiótico de la Cognición e Instrucción

Matemática (Godino, Batanero y Font, 2009); donde se destaca la importancia de indagar

sobre los criterios que determinan en qué medida un proceso de instrucción matemática se

convierte en idóneo o apto para el aprendizaje. El esquema metodológico a seguir se

fundamenta en el paradigma mixto el cual, según Hernández, Fernández y Baptista (2006),

es un proceso que recolecta, analiza y vincula datos cuantitativos y cualitativos en un

mismo estudio para responder al planteamiento de un problema. El diseño está estructurado

en distintas fases: En la fase epistemológica se aplicará el estudio documental y cualitativo.

La fase instruccional se enfocará mediante el estudio de casos, siendo éste de carácter

cualitativo por el Análisis Semiótico a fin de clarificar los conflictos y funciones

semióticas; y a la vez cuantitativo por el análisis porcentual dado a las respuestas obtenidas

en el cuestionario. La recolección de datos, según sea la fase del proyecto, se realizará a

través de técnicas como: análisis documental, encuesta, entrevista semi-estructurada y

observación participante, empleando instrumentos como: cuestionarios, guión de preguntas,

grabadoras, cuadernos de notas, entre otros. Se espera con el desarrollo de esta

investigación contribuir de manera positiva a mejorar los procesos de estudio sobre

Volumen dirigidos a estudiantes de Educación Media General y dar un aporte didáctico al

campo de la geometría.

Palabras Clave: Volumen, cuerpos geométricos, idoneidad cognitiva y mediacional.

REFERENCIAS

Godino J. D., Batanero C., Font V. (2009). Un enfoque ontosemiótico del conocimiento y

la instrucción matemática. [Documento en línea]. Disponible:

http://www.ugr.es/local/jgodino/indice_eos.htm. [Consulta 2012, Noviembre 22].

Hernández, R., Fernández, C. y Baptista, P. (2006). Metodología de la Investigación.

México: McGraw – Hill Interamericana.



http://www.ugr.es/local/jgodino/indice_eos.htm.%20Consulta%202012


49

LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO EN EDUCACIÓN PRIMARIA DESDE

LA IDONEIDAD COGNITIVA, MEDIACIONAL Y ECOLÓGICA.

Erika Gabriela Valera Herrera

[email protected]

Angélica María Martínez.

[email protected]

UPEL- Maracay

RESUMEN

El estudio de la circunferencia y el círculo, proporciona una serie de herramientas en el

proceso enseñanza y aprendizaje de la geometría en los niños(as) de educación primaria en

el país. Con tal iniciativa el siguiente proyecto tiene el interés de analizar un proceso de

estudio sobre la circunferencia y el círculo mediante los criterios de Idoneidad cognitivo,

mediacional y ecológico con estudiantes de 5to grado en la Escuela Básica Estadal “José

María Benítez”, del estado Aragua, acorde con el enfoque ontosemiótico del conocimiento

e instrucción matemática (EOS) (Godino y Batanero, 1994), modelo teórico en el que se

basa esta investigación. Metodológicamente, se trata de un estudio cualitativo, donde se

usarán como técnicas de recolección de información la observación participante y la

entrevista. En tanto, para la interpretación de los resultados, se considerará el análisis

semiótico y didáctico del proceso de instrucción matemática (Godino, Bencomo, Font y

Wilhemi, 2007). Para lograr todo lo anterior, se establecerán dos fases, una preliminar

(descriptiva- exploratoria) y una terminal (explicativa-interpretativa); a fin de explicar en

primer lugar, desde el aspecto cognitivo, si lo pretendido e implementado por el docente

durante las clases ha generado en los estudiantes un aprendizaje; en segundo lugar, desde el

aspecto mediacional, determinar el grado de adecuación de recursos como: La Canaima y

del geoplano circular; y por último, desde el aspecto ecológico, establecer el nivel de

adaptación del proceso de estudio de la circunferencia y el círculo al proyecto educativo de

los Espacios Permanentes Para El Desarrollo Cultural Endógeno (E.P.D.C.U.E.) y Canaima

Educativa.

Palabras Clave: Idoneidad didáctica, circunferencia y círculo, Educación Primaria.

REFERENCIAS

Godino, J. y Batanero, C. (1994). Significado Institucional y Personal de los Objetos

matemáticos. Recherches en didactique des Mathématiques, 14(3), 325-355.

Godino, J., Bencomo, D., Font, V. y Wilhemi, M. (2007). Análisis y Valoración de la

Idoneidad Didáctica de Procesos de Estudio de las Matemáticas. Paradigma,

27(2),221-252



50

SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES Y PERSONALES DE LOS OBJETOS

MATEMÁTICOS PUESTOS EN JUEGO EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA Y

APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA


[email protected]

Mario Arrieche

[email protected]

UPEL-Maracay

RESUMEN

El significado que los profesores y estudiantes asignan a los distintos objetos

matemáticos puestos en juego en cada contexto de estudio, puede ser factor influyente en la

intensificación de la problemática existente en la enseñanza y aprendizaje de la matemática

en los distintos niveles educativos del país; ante esto, resulta de interés abordar la presente

investigación, que tiene como objetivo identificar, describir, explicar, interpretar y analizar

los significados institucionales y personales de los objetos matemáticos puestos en juego en

los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática. Para lograrlo se estimará la

clasificación de tres dimensiones o categorías: epistemológica, cognitiva e instruccional

(Godino y Batanero, 1994; Arrieche, 2002, Capace, 2008), en el marco del enfoque

ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática (EOS), donde se tienen otras

nociones, como: las idoneidades didácticas. Metodológicamente, se combinará el estudio

documental y cualitativo en la faceta epistemológica; para la faceta instruccional se

considerará el estudio de casos de experiencias de enseñanza seguido por los criterios

derivados del análisis semiótico; mientras para la faceta cognitiva, se tendrá un enfoque

cuantitativo y experimental combinado con un enfoque cualitativo e interpretativo, siendo

la encuesta la técnica a aplicar. Los posibles hallazgos responderán sistemáticamente a las

interrogantes formuladas en trabajos de grado de estudiantes de Maestría en Enseñanza de

la Matemática y Doctorado en Educación de algunas universidades del país, en el contexto

tanto de educación básica como universitaria, al estudiar objetos matemáticos, entre ellos:

círculo, volumen de cuerpos geométricos, polinomios, conjuntos numéricos. Cabe destacar

que este trabajo se encuentra en fase de proyecto y está acreditado en el Programa de

Estímulo a la Innovación e Investigación (PEII), por lo que los aportes educativos

esperados, tanto al implementar nuevas tecnologías y recursos, como al analizar

reflexivamente posibles mejoras curriculares, instruccionales y didácticas, serán de gran

alcance.

Palabras Clave: significados institucionales, significados personales, enfoque

ontosemiótico, enseñanza-aprendizaje de la matemática

REFERENCIAS

Arrieche (2002). La Teoría de Conjuntos en la formación de maestros. Facetas y factores

condicionantes del estudio de una teoría matemática. Tesis Doctoral. Departamento de

Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.




51

Capace, L. (2008). La integral en una variable real en la formación técnica universitaria:

Dimensiones presentes en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Tesis Doctoral.

Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Instituto Pedagógico “Rafael

Alberto Escobar Lara”. Maracay

Godino, J. D. y Batanero, C. (1994). Significado institucional y personal de los objetos

matematicos. Recherches en Didactique des Mathématiques, 14 (3): 325-355


52

CONSIDERACIONES SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN

EL CONTEXTO DE LA EDUACIÓN ESPECIAL


[email protected]

UPEL-Maracay

RESUMEN

Ante la creciente población que presenta alguna discapacidad (Vásquez, 2006), ya sea

físico-motora, cognitiva o sensorial, se plantea su inclusión en diversos espacios educativos

lo cual implica tanto de las instituciones como de los docentes, adecuar los espacios físicos

y buscar la capacitación necesaria para brindarles una adecuada atención (Blanco, 2001).

Por esto mismo, viene al caso cuestionarse particularmente lo qué puede hacerse en el

campo de la enseñanza de la matemática: ¿cuáles son los avances en torno a adaptar

curricularmente esta asignatura a las necesidades de los estudiantes con discapacidad?,

¿existen propuestas didácticas para hacer más accesible el conocimiento de esta disciplina a

dichos estudiantes?, ¿qué se viene gestando desde la Educación Matemática como campo

científico para investigar esta problemática?. Dar respuestas a estas interrogantes, requiere

de quienes somos educadores en el área de la matemática ser más acuciosos y abordar

investigaciones acordes a esta temática para propiciar el enlace entre nuestra labor docente

y los retos que implican la atención a estudiantes con discapacidad. Por todo lo anterior, se

presenta este reporte con el propósito de propiciar la enseñanza y aprendizaje de la

matemática a personas con discapacidad, basado en el Encuentro de Educación Matemática

y Educación Especial, realizado en el Pedagógico de Maracay, y en la experiencia personal

de enseñar matemática a estudiantes ciegos, sordos y a quienes conforman el programa de

Educación Especial en el mismo instituto. Metodológicamente, la información se ha

recopilado a través de la observación participante y de la revisión documental, pero como el

presente trabajo aún se encuentra en fase de proyecto, las conclusiones estarán dadas por

los avances y propuestas manifestadas desde el encuentro, junto con algunas sugerencias

didácticas al tratar temas de matemática en la atención e inclusión a personas con

discapacidad (Ley para las Personas con Discapacidad, 2007).

Palabras Clave: enseñanza de la matemática, Educación Especial, personas con

discapacidad, inclusión.

REFERENCIAS

Blanco, R. (2001), “La atención a la diversidad en el aula y las adaptaciones del currículo”,

en Álvaro Marchesi, César Coll y Jesús Palacios (comps.), Desarrollo psicológico y

educación. 3. Trastornos del desarrollo y necesidades educativas especiales, Madrid,

Alianza (Psicología y educación), pp. 411-437.

Ley para las Personas con Discapacidad. (2007). Gaceta Oficial de la República

Bolivariana de Venezuela, 38.598. Enero 5, 2007.

Vásquez, Armando (2006). "La discapacidad en América Latina", Organización

Panamericana de la Salud: Discapacidad, lo que todos debemos saber. [Documento en


http://www.paho.org/Spanish/DD/PUB/Discapacidad-SPA.pdf


53

línea]. Disponible en: http://www.paho.org/Spanish/DD/PUB/Discapacidad-SPA.pdf.

[Consulta 2011, Octubre 8]

http://www.paho.org/Spanish/DD/PUB/Discapacidad-SPA.pdf


54

SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES DE REFERENCIA DEL CONJUNTO DE LOS

NÚMEROS NATURALES EN LA FORMACIÓN DE PROFESORES DE

MATEMÁTICA

Mary Carmen Arrieche Aristiguieta

[email protected]


[email protected]

UPEL-Maracay

RESUMEN

Este artículo tiene como propósito fundamental mostrar el avance de una investigación,

centrada en reconstruir los significados institucionales de referencia del conjunto de los

números naturales en la formación de profesores de matemática de la Universidad

Pedagógica Experimental Libertador-Maracay, Venezuela. Para tal fin se pondrá en

funcionamiento la noción de congráficoción epistémica en torno a este objeto matemático,

razón por la que estará fundamentada teóricamente por el Enfoque Ontosemiótico del

Conocimiento e Instrucción Matemática (Godino, Batanero y Font, 2006 y Godino, 2003)

donde se destaca la importancia de analizar la faceta epistemológica, porque no sólo

permite recabar información sobre los sistemas de prácticas utilizadas para solucionar

situaciones-problemas, en relación a marcos institucionales específicos, sino que además

rescata las técnicas, los lenguajes, los conceptos, proposiciones, procedimientos y

argumentos, puestas en juego en cada momento y circunstancia, siendo la relación de estos

aspectos lo que origina las congráficociones epistémicas (Arrieche, 2010). Para lo anterior,

se realiza un estudio documental sobre diversas propuestas de construcción de los números

naturales (Arrieche, 2002), citándose por ejemplo a Peano, Dedekind y Frege, gracias a la

revisión y lectura de diversas fuentes, entre ellas tesis doctorales, libros de filosofía de la

Matemática, artículos de revistas de Educación Matemática, relacionadas con el tema.

Finalmente, se darán algunas conclusiones de tipo didáctico para rescatar su importancia en

el campo educativo, pues se pueden plantear estrategias innovadoras a través del uso de

diversos enfoques de construcción del conjunto numérico en estudio, entre otros aportes, ya

que gracias al estudio de estas congráficociones epistémicas y de las entidades primarias, se

puede concretar el significado de un objeto o noción matemática estudiada y tomar

decisiones de tipo instructivo o curricular eficaces para la selección de los sistemas de

prácticas matemáticas que mejor se adapten a un proyecto educativo.

Palabras Clave: Números naturales, congráficoción epistémica, desarrollo histórico,

formación de profesores de matemática.

REFERENCIAS

Arrieche, M. (2002). La Teoría de Conjuntos en la Formación de Maestros: Facetas y

Factores Condicionantes en el Estudio de una Teoría Matemática. Tesis Doctoral.

Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada.



mailto:maryarrieche



55

Departamento de Matemática de la Universidad Pedagógica Experimental

Libertador-Maracay

Godino, J.D. (2003). Teoría de las funciones semióticas: enfoque ontosemiótico de la



Godino, J.D., Contreras, A. y Font, V. (2006). Análisis del proceso de instrucción

basado en el enfoque ontológico-semiótico de la cognición e instrucción

matemática. Recherches en Didactique des Mathematiques, 26 (1), 39-88


56

PROCESOS DE TRANSICIÓN DEL PENSAMIENTO ARITMÉTICO AL

PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Andrés González R

[email protected]

UPEL-Maracay-NIEM

RESUMEN

El NCTM concibe el Álgebra como un conocimiento importante en sus Estándares. Un

óptimo dominio del Pensamiento Algebraico (PA) está estrechamente relacionado con un

uso eficaz del lenguaje algebraico caracterizado por el uso de letras y símbolos para denotar

objetos matemáticos. En este contexto estos objetos pueden ser representados de formas

diversas (sinonimia) y es usual que una notación particular esté asociada a distintos

conceptos (polisemia). Sin embargo, diversos Estudios reportan las dificultades que tienen

los estudiantes en la transición del nivel de Educación Primaria al de Educación Media, una

de éstas la constituye el cambio producido por la “nueva” Matemática cargada de

simbología. Además, en los primeros niveles de escolaridad del sistema educativo

venezolano preocupan los hallazgos de García (2001) quien analizando los textos

educativos observó la ausencia de competencias en PA. Por lo anterior, en este trabajo

reportamos un avance de un estudio documental comparativo en el que los libros de texto

constituirán la unidad de análisis, el objetivo es estudiar cómo se abordan algunos objetos

matemáticos tales como las ecuaciones y el signo de igualdad en los libros de textos

escolares del 6 grado y el primer año de Educación Secundaria a fin de responder: ¿Cómo

consideran los libros de texto venezolanos la transición del pensamiento aritmético hacia el

pensamiento algebraico?. Forma parte de un estudio más amplio que busca analizar los

aspectos que caracterizan esa transición en los escolares venezolanos. Las conclusiones

esperadas están en conexión directa con los objetivos planteados: concientización de la

complejidad de los objetos propios del álgebra escolar, comprensión de la conexión entre el

lenguaje natural y el algebraico, en particular el rol del simbolismo en éste último.

Finalmente, la necesidad de tomar en cuenta la existencia de un hilo conductor dinámico,

complejo y multidimensional entre los procesos escolares aritméticos y algebraicos.

Palabras Clave: Pensamiento matemático, Educación Básica, Álgebra escolar

REFERENCIAS

Andonegui, M. (2009). La Matemática de primer año de bachillerato. XIII Escuela

Venezolana para la Enseñanza de la Matemática.

García, Y. (2001). Análisis de contenido del texto escolar de Matemática según las

exigencias educativas del nuevo milenio. Pixel-Bit: Revista de medios y educación, 16

[Artículo en línea]. Disponible: http://www.sav.us.es/pixelbit/pixelbit/articulos/n16

/n16art/art162.htm. [Consulta: Octubre 03, 2013]

Kieran, C. y Filloy, Y. (1989). El aprendizaje del álgebra escolar desde una perspectiva

psicológica. Enseñanza de las Ciencias, 7(3), 229-240.

Rojano, T. (2010). Modelación concreta en álgebra: balanza virtual, ecuaciones y sistemas

matemáticos de signos. Números: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 75, 5-20.


http://dialnet.unirioja.es/servlet/revista?codigo=2300

http://www.sav.us.es/pixelbit/pixelbit/articulos/n16%20/n16art/art162.htm

http://www.sav.us.es/pixelbit/pixelbit/articulos/n16%20/n16art/art162.htm


57

SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Mary G. Núñez L

[email protected]

Belén Arrieche

[email protected]


RESUMEN

El presente estudio es un proyecto que se encuentra en las primeras etapas de desarrollo

y está centrado en realizar un análisis de los significados institucionales (referencia,

pretendido e implementado) en torno a la ecuación de segundo grado del tercer año de

educación básica. El trabajo está inserto en la Línea de Investigación Perspectiva del

Enfoque Semiótico Antropológico para la Didáctica de la Matemática (Arrieche 2003),

cuyos fundamentos teóricos se encuentran en el Enfoque Ontosemiótico de la Cognición e

Instrucción Matemática (Godino, 2003). Para el análisis del significado de referencia se

realizará un estudio histórico-epistemológico que permita describir todos aquellos aspectos

implicados en el origen y desarrollo de la ecuación de segundo grado; para el pretendido se

analizará el libro de texto empleado por los docentes y en cuanto al implementado se

caracterizará la práctica docente en torno al objeto de estudio. El esquema metodológico a

seguir se fundamentará en un paradigma de tipo cualitativo. Se empleará como técnica de

recolección de datos la observación no participante. Los sujetos de la investigación serán

una docente de 3er año de Educación Básica del Liceo Nacional José Andrés Castillo

(Montalbán –Estado Carabobo) y el libro de texto de matemática de 3er año. La

información obtenida se someterá a un análisis semiótico que permite determinar los

posibles conflictos semióticos y de esta manera se pretende contribuir a mejorar los

factores que intervienen en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la ecuación de

segundo grado.

Palabras Clave: Ecuación de segundo grado, Significados Institucionales, Análisis

Semiótico, Conflicto Semiótico

REFERENCIAS

Arrieche, M. (2003). Línea de Investigación Perspectivas del Enfoque Semiótico-

Antropológico para la Didáctica de la Matemática (LIPESA). Paradigma, 24(2), 151-

160.

Godino, J. D. (2003). Teoría de las funciones semióticas en didáctica de la

Matemática. Departamento en Didáctica de la Matemática. Universidad de

Granada.

.




58

CONSTRUIR, EXPLORAR Y CONJETURAR EN GEOMETRÍA

Belén Arrieche Alvarado

[email protected]


[email protected]


RESUMEN

En esta ponencia se presenta una herramienta didáctica construida mediante el doblado

de papel (Franco y Varner, 1999). Este recurso fue presentado con la intención de ser

utilizado para medir ciertos ángulos, cuando no se cuenta con un transportador; sin

embargo, se mostrará que puede ser explotado, aún más, para el reforzamiento de algunos

tópicos relacionados a las nociones geométricas de ángulos y triángulos. Además, se

señalarán algunas habilidades geométricas (Hoffer, 1981) que los estudiantes pueden

desarrollar, mediante la construcción y exploración de este recurso didáctico. Por otra parte,

conociendo que los software de Geometría Dinámica son un conjunto de programas

computarizados que crean un ambiente de aprendizaje donde los estudiantes exploran las

gráficos geométricas, descubren ciertas propiedades y formulan conjeturas (Iglesias, 2000),

se emplea el Cabri Géomètre II Plus para mostrar la construcción con regla y compás de

esta herramienta triangular, basándose en la trisección de un ángulo recto. Se describe –

paso a paso – el procedimiento empleado, dejando ver su equivalencia con la construcción

con doblado de papel. Finalmente, podemos decir que se logró construir un recurso

didáctico con un material de fácil acceso que se puede implementar en distintos niveles

educativos, que además de mejorar el ambiente de aprendizaje, evita que los conceptos

aprendidos por los estudiantes no se queden únicamente en el proceso memorístico, sino

que trascienda a su realidad inmediata. La metodología utilizada permite que el estudiante

experimente un constante proceso de descubrimiento y construcción de conocimientos a

través de la manipulación de material didáctico (papel) como herramienta facilitadora del

aprendizaje de la Geometría.

Palabras Clave: Doblado de papel, ángulos, triángulos, habilidades geométricas

REFERENCIAS

Franco, B y Varner, D. (1999). Unfolding Mathematics With Unit Origami. Emeryville,

CA: Key Curriculum Press.

Hoffer, A. (1981). Geometry is More Than Proof. Mathematics Teacher, enero 1981, 11 –

18. Traducción de Ricardo Barroso. Disponible en:

http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/aprengeom/aprgeorefer.html.

Iglesias, M. (2000). Curso de Resolución de Problemas Geométricos Asistido por

Computadora. Trabajo de grado de maestría no publicado. Universidad Pedagógica

Experimental Libertador, Instituto Pedagógico Rafael Alberto Escobar Lara, Maracay.





59

LA DEMOSTRACIÓN EN GEOMETRÍA

DESDE UNA PERSPECTIVA EPISTEMOLÓGICA


[email protected]

UPEL-Maracay


[email protected]

UC-Núcleo Aragua

RESUMEN

En este trabajo se ha pretendido presentar una aproximación al estudio de la

demostración en Geometría desde una perspectiva epistemológica, teniendo como

referencia dos asuntos esenciales de la Teoría del Conocimiento, como lo son la forma de

conocimiento y el criterio de verdad; para ello, se han planteado en el campo de la

Matemática y de la Educación Matemática las siguientes interrogantes: ¿El conocimiento

matemático es racional o puede ser intuitivo? ¿Cómo se sabe que el conocimiento

matemático es verdadero? En la búsqueda de respuesta a estas interrogantes se han revisado

algunas investigaciones sobre intuición y demostración mencionadas por D’Amore (2006)

y entre las cuales destacan los trabajos realizados por Fischbein (1987), Duval (1999),

Balacheff (2000) y Harel y Sowder (2007); encontrándose que la introducción del método

axiomático contribuyó a la evolución de la Matemática como disciplina científica y,

además, trajo consigo a los métodos de demostración como formas aceptadas de validación

de las verdades matemáticas. Sin embargo, en el ámbito educativo, esto ha ocasionando una

sobrevaloración de los llamados contextos de justificación, descuidando así lo relacionado

con el descubrimiento del conocimiento matemático. Esto último pareciera estar asociado a

un conjunto de procesos como construir, explorar, visualizar, conjeturar y verificar, los

cuales conducirían a sentir la necesidad de justificación; siendo esta necesidad lo que

impulsaría a los profesores y estudiantes a dar una explicación, presentar una prueba o

realizar una demostración formal. Asimismo, estos autores destacan las relaciones

existentes entre la intuición, la demostración y la argumentación; obligándonos a tener en

cuenta aspectos relacionados con las intuiciones matemáticas, las prácticas argumentativas

y las acciones de proceso y producto propias de la actividad demostrativa a la hora de

analizar las acciones y las producciones de los estudiantes para profesor de Matemática

cuando resuelvan un problema geométrico en un ambiente de Geometría Dinámica.

Palabras Clave: Teoría del Conocimiento, procesos de justificación, verdades

matemáticas.

REFERENCIAS

Balacheff, N. (2000). Procesos de Prueba en los alumnos de Matemática. Bogotá: Una

Empresa Docente de la Universidad de los Andes.

D’Amore, B. (2006). Didáctica de la Matemática. Bogotá: Cooperativa Editorial

Magisterio.




60

Duval, R. (1999). Argumentar, demostrar, explicar: ¿continuidad o ruptura cognitiva?

México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Fischbein, E. (1987). Intuition in science and mathematics: an educational approach.

Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Harel, G. y Sowder, L. (2007). Toward Comprehensive Perspectives on the Learning and

Teching of Proof. En F. Lester (ed.), Second Handbook of Research on Mathematics

Teaching and Learning. A Project of the National Council of Teachers of Mathematics

(2 volumes). Charlotte, NC: Information Age Publishing.


61

EL SESGO DE EQUIPROBABILIDAD EN PROFESORES DE MATEMÁTICA EN

FORMACIÓN

Yerikson Suárez Huz

[email protected]

Fredy E. González

[email protected]

UPEL-Maracay

RESUMEN

La sociedad contemporánea actual demanda de sus ciudadanos, el desarrollo de

capacidades y destrezas vinculadas al razonamiento probabilístico, debido a que el

reconocimiento de la incertidumbre, como una característica de la realidad, y aprender a

manejarse con ella, son fundamentales en el desempeño intelectual de los individuos del

siglo XXI (Azcárate, Cardeñoso y Porlán, 1998). Sin embargo, las concepciones previas de

los estudiantes constituyen obstáculos para la comprensión de los conceptos asociados a la

teoría de la Probabilidad, lo cual dificulta el proceso de aprendizaje de estos temas

(Batanero, 2006; Borovcnik y Kapadia, 2010). Precisamente, una de las líneas de

investigación más relevantes y prolíficas en relación con el razonamiento probabilístico

está referida al estudio de las preconcepciones y a la presencia de sesgos en dicho

razonamiento. El propósito del estudio aquí reportado y realizado con estudiantes para

profesor de Matemática en la UPEL-Maracay fue identificar y caracterizar la presencia de

uno de estos sesgos, el denominado sesgo de equiprobabilidad, el cual está referido a la

suposición, sin ningún tipo de justificación, de que todos los sucesos asociados a cualquier

experimento aleatorio tienen la cualidad de ser equiprobables (Lacoutre, citado por Serrano,

Batanero, Ortíz y Cañizares, 1998; Barragues y Guisasola, 2006). Se trató de una

investigación de campo, de carácter descriptivo-interpretativo; apoyada en una indagación

documental y concebida como un estudio de caso múltiple que asumió como referente

teórico la idea de sesgo de equiprobabilidad sustentada por Kahneman, Slovic y Tversky

(1982). Los sujetos de estudio fueron 20 estudiantes, futuros profesores de Matemática, a

quienes se les aplicó un cuestionario de preguntas abiertas y cerradas. Se pudo verificar que

en los sujetos estudiados hay una marcada presencia del sesgo de equiprobabilidad, el cual

les genera dificultades para la comprensión del concepto de probabilidad.

Palabras Clave: Sesgo de Equiprobabilidad, Educación Estadística, Razonamiento

Probabilístico, Sesgos y Heurísticas.


62

LENGUAJE MATEMÁTICO Y APRENDIZAJE ALGEBRAICAMENTE

SIGNIFICATIVO DEL ESPACIO VECTORIAL R3

Marlyocer Sequera M.

[email protected]

UC

Andrés González R

[email protected]

UPEL-Maracay-NIEM

RESUMEN

En la actualidad la comprensión de contenidos abstractos en el álgebra escolar vinculado

con la comunicación dentro del aula, se ha convertido en asunto de interés indagatorio tanto

en el Subsistema de Educación Básica, especialmente en Educación Media General, como

en Educación Universitaria, acerca de esto, autores se han referido con interrogantes como:

¿Constituye las matemáticas un lenguaje?, también con sintaxis de las formas matemáticas

escritas referidas por Pimm (2002). En paralelo, se han realizado investigaciones acerca de

los orígenes del lenguaje matemático, las dimensiones conformadas en él (Beyer, 2006),

también Arias (2009) señaló los errores en el lenguaje matemático empleado por los

docentes cuando resuelven problemas, permitiéndonos considerar la importancia de un

buen uso del lenguaje matemático que influye, eventualmente, en el aprendizaje; lo que

posiblemente genere en los estudiantes dificultades de naturaleza diferente, por el hecho de

transferir de lenguaje natural o cotidiano al matemático formal. Este trabajo, que es un

proyecto en desarrollo, pretende determinar la relación entre el lenguaje natural y el

lenguaje matemático en el proceso de enseñanza y aprendizaje del Espacio Vectorial R3.

Dada la naturaleza del problema, la indagación se enmarca en una perspectiva cualitativa ya

que permite una mirada más amplia del asunto considerado, de tal manera que tanto los

instrumentos como la técnica de recolección de datos se corresponderán con tal enfoque,

los sujetos de estudio serán los estudiantes de 5to año de la Unidad Educativa María

Auxiliadora del municipio San José, estado Carabobo, las conclusiones esperadas estarán

en relación directa con los objetivos y el propósito del problema considerado,lo que

contribuiría a dar relevancia a la comunicación en el aula para el desarrollo de capacidades

como la abstracción, la generalización, la categorización y, en general, al pensamiento

algebraicamente significativo.

Palabras Clave: Lenguaje Matemático, Aprendizaje Algebraicamente significativo,

Espacio Vectorial.

REFERENCIAS

Arias, H.(2009). Errores presentes en el lenguaje matemático en los docentes de educación

básica en la resolución de problemas. [Versión Completa en línea] Trabajo de Grado

de maestría no publicado, Universidad del Zulia, Facultad de Humanidades y

Educación. Disponible en: http://tesis.luz.edu.ve/tde_busca/

arquivo.php?codArquivo=1772. [Consulta: 2013, febrero, 28]

http://tesis.luz.edu.ve/tde_busca/


63

Beyer, W (2006). El Laberinto del Significado: La comunicación en el Aula de Matemática.

En: Mora, D y Serrano, W. (Comps.), Lenguaje, Comunicación y Significado en

Educación Matemática (pp. 61-157). Bolivia: Grupo de Investigación y Difusión en

Educación Matemática

Pimm, D. (2002) El lenguaje matemático en el aula. (3era ed). (P. Manzano, trad.) Madrid:

Ediciones Morata.


64

SEGURIDAD INFORMÁTICA, TÉCNICAS CRIPTOGRÁFICAS Y

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS COMO CONTENIDOS DE APRENDIZAJE

Marisol Sarmiento

Jenny Guillén

UPEL-Maracay

RESUMEN

En la sociedad que surgió tras la revolución industrial a finales del siglo XIX, el recurso

básico era la energía y su objetivo extender y ampliar la fuerza del cuerpo humano, de este

modo se inventaron máquinas que ahorraban trabajo físico y gran parte de los hombres y

mujeres de ese mundo desarrollado, se liberaron de penosas tareas manuales. En la

sociedad que se gesta a finales del siglo XX el recurso básico es el conocimiento y el

objetivo se centra en la actividad humana, en el acceso y uso de la información y en la

interacción de los individuos, ello tras la aparición de Internet, donde la tecnología que

antes era utilizada sólo en proyectos empresariales, militares o de gobierno ha cobrado

mayor importancia en su aplicación para la sociedad del conocimiento (Sarmiento, 2007).

Uno de estos proyectos es la seguridad informática, definida como la necesidad de

implantar mecanismos de protección que reduzcan al mínimo los riesgos asociados a los

incidentes de confianza y resguardo de información (Gonzalo, 1998). Este artículo,

proporcionara una visión general de los aspectos más relevantes de la seguridad

informática, observando esta disciplina desde un punto de vista estratégico y táctico. Para

ello destacaremos, el uso de los algoritmos criptográficos desarrollados a partir de

fundamentos matemáticos y de las técnicas de la criptografía (simétricas y asimétricas).

Como sustento teórico De Nápoli (2005) y Pino (1997) que han establecido “…Toda

encriptación se encuentra basada en un algoritmo, quien codifica un mensaje en texto plano

por medio de un método matemático para convertirlo en un texto cifrado…”(s/n), en cuyo

caso para poder descifrar el mensaje es necesario conocer además una clave o llave “KEY”,

visión que permitirá conocer las amenazas y las contramedidas ha considerarse en toda

organización, desde los estudios de la computación y la informática.

Palabras Clave: Seguridad informática, algoritmos criptográficos, técnicas de

encriptación, fundamentos matemáticos.

REFRENCIAS

De Nápoli, P. (2005). Una Introducción Matemática a la Criptografía. Computec. Editorial Ra-Ma.

Madrid

Gonzalo, M. (1998). Seguridad informática para Empresas y Particulares. [Documento en línea]. Disponible: http:// www.iec.csic.es/CRIPTONOMICON/siep.html. [Consulta: 2005, Octubre

18].

Pino, C. (1997), Seguridad Informática. Técnicas criptográficas. Computec. Editorial Ra-Ma. Madrid

Sarmiento, M. (2007). “El Docente en Servicio y las Tecnologías de la Información y de la

Comunicación. Necesidad de Formación”. UPEL – IPMAR. Trabajo de Ascenso no publicado.


65

ANÁLISIS SEMIÓTICO Y DIDÁCTICO DE UN PROCESO DE ESTUDIO SOBRE

LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Fernando J Tesorero

[email protected]

Mario Arrieche

[email protected]

UPEL-Maracay

RESUMEN

Este proyecto de investigación se centra en el análisis de u proceso de estudio sobre las

razones trigonométricas en un curso de cuarto año de Educación Media general del Sistema

Educativo Venezolano, mediante un análisis semiótico y didáctico. El estudio se

fundamenta en el enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática

(Godino, 2003), en el cual se basan los sustentos teóricos de la línea de investigación

“Perspectivas de enfoque semiótico-antropológico para la didáctica de la matemática”

(Arrieche, 2002). En la enseñanza de las Razones Trigonométricas en el nivel referido, los

docentes presentan algunas dificultades en las estrategias utilizadas, que posiblemente

están obstaculizando a los estudiantes el aprendizaje de de este tema. En este sentido lo

que se quiere es Evaluar un proceso de estudio sobre las Razones Trigonométricas, que

permita determinar y describir los significados institucionales puestos en juego e

identificar posibles conflictos semióticos en la interacción didáctica. La técnica se basa en

un modelo ontológico y semiótico para la cognición e instrucción matemática que se

presenta previamente, y se ejemplifica mediante el análisis del proceso de estudio de las

Razones Trigonométricas en un libro de texto y un análisis didáctico. La investigación se

basa en un modelo metodológico cualitativo y descriptivo para el estudio del problema, el

cual permite desarrollar el tema con una observación no participante. Los informantes

claves de interés en esta investigación es el Docente, libro de texto y un grupo de

estudiantes de cuarto año de Educación Media General de la Escuela Básica “Don Rufino

González” Santa Cruz de Aragua. La expectativa de este trabajo es facilitar la enseñanza y

aprendizaje de las Razones Trigonométricas respecto a la revisión de los libros de texto y la

actuación del docente durante el desarrollo del objeto matemático.

Palabras Clave: Razones Trigonométricas, Análisis Semiótico, Análisis Didáctico,

Conflicto Semiótico.

REFERENCIAS

Godino, J. D. (2003). Teoría de las funciones semiótica en didáctica de la


Granada.

Arrieche, M. (2002). La Teoría de Conjuntos en la Formación de Maestros. Facetas y

factores condicionantes del estudio de una Teoría Matemática. Tesis Doctoral.

Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.




66

ORGANIZACIONES MATEMÁTICAS Y DIDÁCTICAS DE LOS

PRACTICANTES-DOCENTES. CASO ECUACIÓN DE 2DO GRADO CON UNA

INCÓGNITA. ESTUDIO DIRIGIDO A LOS ESTUDIANTES DE PRÁCTICA

PROFESIONAL III DE LA MENCIÓN MATEMÁTICA EN LA FACULTAD DE

CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN-UNIVERSIDAD DE CARABOBO

Vanesa Pacheco

Antonino Viviano

Universidad de Carabobo

RESUMEN

El propósito de esta investigación fue reconstruir las organizaciones matemáticas (OM)

y organizaciones didácticas (OD), aplicando la Teoría antropológica de lo didáctico

propuesta por Yves Chevallard, de las ecuaciones de segundo grado con una incógnita,

desde las prácticas profesionales de los estudiantes de la Mención Matemática en la

Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo. El enfoque fue

sistémico dentro del paradigma interpretativo y el tipo fue de campo y documental,

orientado por el método etnográfico y la teoría fundamentada. Los sujetos de estudios

fueron dos estudiantes cursantes de la asignatura práctica profesional III de la mención

Matemática durante el período lectivo I-2012, que realizaron sus prácticas en la Escuela

Técnica Industrial Francisco González Guinán, dictando 3er año. La reconstrucción de las

OM para las OD desde la praxis docente de las practicantes arroja que a pesar de que éstas

intentan llevar a cabo un proceso de estudio conforme a la construcción de la OM

“Ecuación de segundo grado con una incógnita” y su OD, éstas no lo logran gestar. Las

practicantes muestran la forma general de la ecuación de segundo grado como un elemento

ostensivo que carece de justificación tecnológica-teórica; no presentan los elementos

matemáticos que la conforman, es así como se pierde el significado estructural de la

ecuación de segundo grado, lo que se contrapone con el esbozo de la Organización

Matemática de Referencia (OMR). Queda también que una OM debe apuntar a destacar que

las tareas, técnicas y tecnología que usan las practicantes docentes en el proceso de estudio

pueden desprenderse de una OMR, sin embargo, mientras la OMR muestra cierta

completitud, en las clases de las practicantes tiende a existir la incompletitud y la ausencia

de los momentos didácticos, los cuales son fundamentales para la didáctica de la

matemática como disciplina científica que busca construir y reconstruir de manera efectiva

el proceso de estudio.

Palabras clave: Organización Matemática y Organización Didáctica, Práctica Docente,

Ecuación de segundo grado con una incógnita, Etnografía.


67

EL ESTUDIO DE LA PARÁBOLA EN LOS LIBROS DE TEXTO DE

MATEMÁTICA DESDE UNA PERSPECTIVA COGNITIVA Y DIDÁCTICA

Leonela Rodríguez

[email protected]

Martha Iglesias

[email protected]

UPEL-Maracay

RESUMEN

Las fallas en la enseñanza de las secciones cónicas, posiblemente, sean por la manera

cómo se ha presentado el tema en educación media, lo cual ocurre, según Vílchez (2007),

por la escasa formación del profesor, o por la carencia de materiales y recursos didácticos

que le permitan al docente un mejor desempeño en su praxis educativa, o por contar con

textos escolares como guía, mal redactados y presentados con errores conceptuales en los

contenidos geométricos. Esto incidiría en el futuro desempeño de los estudiantes en la

Universidad; algunos de ellos tienen habilidades para resolver las ecuaciones algebraicas de

las secciones cónicas, pero no abordan, ni comprenden el concepto de éstas como lugares

geométricos. De acuerdo con lo antes expuesto y la situación en la que se encuentra el

aprendizaje de la Geometría, en especial el tema de la Parábola en los estudiantes de quinto

año de educación media general de la U.E.N. “Dr. José María Vargas” ubicada en San

Miguel Estado Aragua, el presente trabajo de investigación pretende analizar los

conocimientos y habilidades geométricas que tendrían que poner en práctica por los

estudiantes de 5to año de educación media general, cuando realizan las actividades

propuestas en el libro de Matemática de la Colección Bicentenario, orientadas al estudio de

la parábola. Para ello, se llevará una investigación que abarcará tres etapas: (a) una

investigación documental orientada a identificar los objetivos y contenidos geométricos

contemplados en el currículo vigente en educación media; (b) una investigación de campo

dirigida a la descripción de las actividades propuestas en los libros de texto seleccionados

por los docentes y el libro de Matemática de la Colección Bicentenario, y (c) una

investigación proyectiva, cuyo propósito es diseñar una unidad didáctica centrada en el

tema de la Parábola, teniendo en cuenta la noción de análisis didáctico planteado por

Gómez (2007).

Palabras Clave: Secciones cónicas, libros de texto y análisis didáctico.

REFERENCIAS


matemáticas (capítulo 2). En P. Gómez (Ed.), Desarrollo del conocimiento didáctico

en un plan de formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria (pp. 31-

116). Granada: Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de

Granada.

Vilchez, N. (2007). Enseñanza de la Geometría con utilización de Recursos Multimedia.

Aplicación a la primera etapa de Educación Básica. [Documento en línea]. Disponible:




68

http://www.tesisenxarxa.net/TDX-061910141631/index.html [Consulta: 2012, Octubre

1]

http://www.tesisenxarxa.net/TDX-061910141631/index.html


69

AUTOESCRITURA: ESTRATEGIA PARA LA FORMACIÓN INICIAL DE

PROFESORES DE MATEMÁTICA

Fredy González

UPEL-Maracay-NIEM

RESUMEN

La formación inicial de profesores de Matemática en Venezuela ha sido reiteradamente

cuestionada por las deficiencias que ostenta, entre las que pueden mencionarse los

siguientes: carácter aditivo del currículo y divorcio entre teoría y práctica (González, 2003);

en este estudio se pretendió ensayar una estrategia para superarlas, basada en la producción

de Relatos Narrativos Escritos sobre experiencias vividas por un grupo Estudiantes para

Profesor de Matemática (EPPM) en una universidad pública venezolana de formación

docente; para ello; se implementó un estudio cualitativo, de carácter fenomenológico

interpretativo. Se encontró que los EPPM, participantes en el estudio, pasaron de la

descripción a la explicación comprensiva; haciéndose conscientes y superando la

informalidad de los conceptos espontáneos e implícitos, y avanzaron hacia la

congráficoción de una conceptualización de lo que significa ser un profesional de la

educación matemática, es decir, de la formación matemática de los ciudadanos.

Palabras Clave: Educación Matemática, Mirada Profesional, Epistemología de la Práctica

REFERENCIAS

González, F. E. (2003). La dinámica P2MA una opción didáctica frente a la enseñanza

tradicional de la matemática. Investigación y Postgrado, 18(2), 43 – 76


70

ACCESIBILIDAD DIGITAL: ALFABETIZACIÓN, INCLUSIÓN E IGUALDAD

PARA LA POBLACIÓN CON DIVERSIDAD FUNCIONAL VISUAL

Dilia Caballero

Ingrid Camacho

Juan Guzmán

UPEL-Maracay

RESUMEN

Entre los grandes retos que supone la pujante sociedad de conocimiento se encuentra el

acceso a la educación por parte de todas las personas en los diferentes rincones del planeta.

Resulta imperativo desmoronar todas las barreras que soportan el analfabetismo, la

exclusión y la desigualdad, flagelos que vejan uno de los derechos fundamentales para la

vida y progreso de las naciones, la educación. Por consiguiente, esta investigación persigue

develar los aportes de la accesibilidad digital en pro de la alfabetización, inclusión e

igualdad de la población con diversidad funcional visual. El estudio se cimienta en los

postulados de Pirela (2004), Garzón y Román (2011), apegados a la incorporación de las

TIC en la educación; además de los fundamentos de UNESCO (2002) y Flores (2010),

alineados a la inclusión de personas con discapacidad, a los sectores productivos. Desde la

perspectiva metodológica, se enmarca en la revisión documental apoyada en el análisis

crítico. Las consideraciones parciales reflejan que la accesibilidad digital para las personas

con diversidad funcional visual: incrementa su calidad de vida, promueve el acercamiento

al conocimiento, a la información y por ende facilita su inserción a los quehaceres

laborales; reivindica los derechos y el cumplimiento de las políticas del Estado; fortalece la

investigación científica-educativa en aras del estudio de la funcionalidad, la ergonomía y el

contacto usuario-dispositivo en términos de activación de los canales sensoriales;

consolidando la sensibilización social en torno a la adecuación de espacios tecnológicos

prestos a la inclusión social y la igualdad, entre otros.

Palabras Clave: Accesibilidad Digital, Inclusión, Diversidad funcional Visual.


71

MUESTRA DIDÁCTICA


72


73

DISEÑO DE REVISTAS DIGITALES PARA LA DIVULGACIÓN DE LA

GEOMETRÍA

Adriana Mejías

Karol Ramírez

Miguel Zambrano.

Yerikson Suárez

[email protected]

UPEL-Maracay

RESUMEN

El desarrollo de actividades divulgativas en Matemática, que sean amenas y accesibles a

cualquier audiencia, es una tarea inherente a los profesores de Matemática. Por ello, el

propósito de la siguiente ponencia es describir una experiencia de aprendizaje basada en el

diseño de revistas divulgativas digitales en la actividad de extensión acreditable Club de

Geometría de la especialidad de Matemática de la UPEL-Maracay. Tal experiencia fue

llevada a cabo por futuros profesores de Matemática con la intención de ampliar y

complementar la formación de estos en Geometría. La creación de revistas digitales ofrece,

entre otras ventajas, favorecer la interactividad, diseño atractivo, incorpora elementos

multimedios, imágenes full color y de gran tamaño, sin que esto repercuta en costos (Calvo-

Rubio y Vila, 2009; Palomo, Ruiz y Rodríguez, 2006). Además, permite el desarrollo de

autonomía, creatividad y de habilidades de escritura y redacción a la hora de seleccionar los

tópicos y contenidos geométricos y el abordaje de los mismos en el contexto de una

publicación divulgativa. Para la elaboración de la revistas digitales los participantes del

club llevaron a cabo un conjunto de fases: (1) Selección del tópico o contenidos

geométricos a tratar en la revista, así como de las secciones que la conforman, (2)

Desarrollo de una investigación documental y a través de la Web, (3) Elección de recursos

tecnológicos para la construcción de la revista (Publisher, Word, Power Point), (4)

Montaje, diagramación y desarrollo de artículos y secciones de la revista, (5) publicación

a través de herramientas web 2.0 como Issuu o Slideshare, y (5) posterior difusión en un

grupo de la red social facebook creado con el fin de interactuar con los miembros del club

de geometría. Algunos temas abordados en la revistas versan sobre fractales, software de

geometría dinámica y desarrollo de contenidos geométricos específicos como cuadriláteros,

triángulos, sólidos.

Palabras Clave: Geometría, Revistas escolares, Herramientas Web 2.0, Divulgación de la

Matemática.



74

LAS CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS EN AMBIENTES DE

GEOMETRÍA DINÁMICA

Richlenys Davis

[email protected]

Rebeca Mogollón

[email protected]

Martha Iglesias

[email protected]

UPEL-Maracay

RESUMEN

Las Construcciones con Regla y Compás han ocupado un puesto relevante en la

enseñanza de la Geometría tanto por su utilidad práctica como su contribución al desarrollo

teórico. Cabe recordar que Euclides, matemático griego, nos legó una manera de organizar

el conocimiento aritmético y geométrico, haciendo uso del método axiomático; de esta

manera, en la antigua Grecia, la Geometría abandonó su carácter empírico – práctico,

adquiriendo así un carácter lógico – deductivo. En los Elementos de Euclides, las

construcciones con regla y compás no tenían por objetivo la realización efectiva de la

construcción, sino mostrar por un encadenamiento lógico de proposiciones que algo es

construible con regla y compás. Es necesario tener en cuenta las siguientes reglas: (a) La

regla es ilimitada, sin marcas y tiene sólo un borde; el compás es un instrumento que sólo

traza circunferencias de centro dado pasando por un punto dado. (b) Ningún instrumento ha

de usarse para transportar distancias. Esto significa que la regla no puede marcarse, y que el

compás ha de tener la característica que si una de sus patas se levanta del papel, el

instrumento se cierra. A diferencia del compás euclídeo, el compás moderno conserva su

abertura y por tanto puede utilizarse para transportar distancias. Las tres primeras

proposiciones del Libro I servirán para ilustrar la metodología de trabajo empleada en los

Elementos de Euclides y el uso de la regla y el compás en un ambiente de Geometría

Dinámica: estas proposiciones son: (I.1) Construir un triángulo equilátero sobre una recta

finita dada. (I. 2) Poner en un punto dado (como extremo) una recta igual a una recta dada.

(I.3) Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a la menor.

Palabras Clave: Geometría Euclidiana, Construcciones Geométricas, Geometría

Dinámica.





75

HISTORIA DE LA MATEMÁTICA Y WEB 2.0: DISEÑO DE LÍNEAS DEL

TIEMPO

Fernando Rodríguez

Freddy Castro

Pedro Vivas

Yerikson Suárez

[email protected]

UPEL-Maracay

RESUMEN

La Historia de la Matemática debería constituir parte indispensable del cúmulo de

conocimientos del estudiante y del profesor de Matemáticas de cualquier nivel educativo

(Cárdenas, Mesa y Fernández, 2006), debido a que, entre otras razones, proporciona una

visión dinámica acerca del desarrollo y progreso de la Matemática. El empleo de ésta en el

aula de clase, según Maz (1999), puede basarse en presentar hechos anecdóticos, biografías

de matemáticos y sus aportes a la evolución de tal disciplina. Por tanto, un posible modo de

incorporar estos elementos en la enseñanza es a través de líneas del tiempo, consideradas

como representaciones gráficas de una serie de sucesos, organizados cronológicamente, y

cuyo uso podría resultar útil por constituirse en una posible estrategia de apoyo al proceso

de enseñanza-aprendizaje de la Matemática y su desarrollo histórico. Actualmente, gracias

al uso de las TIC y por medio de las herramientas WEB 2.0 (Rodríguez, 2008), es posible

diseñar líneas de tiempo en formato digital, permitiéndose de esta manera, la incorporación

de imágenes, recursos multimedia, enlaces, textos, videos y audios, entre otros. Con el fin

de promover el uso de este recurso para la enseñanza de la Matemática por medio de su

historia, se propone una actividad de carácter divulgativo, basada en el diseño y

presentación de líneas de tiempo de diversas áreas de la Matemática, elaboradas por un

grupo de futuros profesores de Matemática de la UPEL-Maracay que han participado en un

proceso de formación y capacitación en el uso de las TIC en la enseñanza de la Matemática.

El diseño de las líneas del tiempo se basó en una indagación documental y una revisión a

través de la Web para recabar algunos aspectos históricos relativos a un tópico matemático

determinado y el uso de aplicaciones en línea para la construcción de las mismas.

Palabras Clave: Historia de la Matemática, líneas de tiempo, Web 2.0.


76

EDUCAPLAY: HERRAMIENTA WEB 2.0 PARA LA EVALUACIÓN EN

MATEMÁTICA

Héctor Blanco

Alvin Díaz

Mayerlin Romero

Yerikson Suárez

[email protected]

UPEL-Maracay

RESUMEN

Entre algunas de las necesidades detectadas en el ámbito educativo, destaca la de

impulsar el desarrollo de prácticas innovadoras en torno al uso de las Tecnologías de

Información y Comunicación (TIC) en el proceso de enseñanza-aprendizaje (Carneiro,

Toscano, Díaz; 2009). Particularmente, Montoya y Flores (2011) sugieren que para la

enseñanza de la Matemática, se necesita diseñar actividades que involucren el uso de las

TIC, bajo estándares pedagógicos bien definidos. Hoy en día es posible contar con

aplicaciones y recursos de la Web 2.0 que le permiten a los docentes de Matemática generar

actividades multimedia que sean empleadas en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Una

de esas herramientas es Educaplay, la cual puede ser utilizada para la evaluación de

contenidos matemáticos, ya que, la misma es una plataforma educativa en línea que

permite la creación y uso de una gran variedad de actividades interactivas con fines

formativos, tales como adivinanzas, crucigramas, sopas de letras, orden de palabras,

elaboración de test y relaciones, entre otras. Algunas de las ventajas más relevantes que

brinda esta herramienta tecnológica es su acceso gratuito, el hecho de no requerir de la

instalación de software, su interfaz atractiva, permitir la integración de voz, audio, video y

escritura; y la posibilidad de compartir las actividades en entornos virtuales de aprendizaje,

páginas web y edublogs. Por todo lo anterior, y a través de una muestra didáctica, se

proponen un conjunto de actividades de carácter divulgativo, con el propósito de dar a

conocer a la comunidad de educadores matemáticos, sobre el potencial didáctico de

Educaplay, sus posibilidades de llevar a cabo actividades de evaluación y autoevaluación, y

el manejo adecuado del mismo. Las actividades propuestas son producto de una

experiencia de aprendizaje con futuros profesores de Matemática y están apoyadas

metodológicamente en una indagación documental.

Palabras Clave: Evaluación en Matemática, Educaplay, WEB 2.0, TIC



77

LA PAPIROFLEXIA COMO RECURSO PARA LA ENSEÑANZA DE LA

GEOMETRÍA

Jorge Gideón

Katherine Gómez

Jonander Rivas

Yerikson Suárez

[email protected]

UPEL-Maracay

RESUMEN

Actualmente existen una variedad de recursos y materiales concretos susceptibles de ser

empleados en la enseñanza de la Matemática; algunos de ellos son aprovechados en el

ámbito de la Geometría, puesto que ofrecen numerosas posibilidades para experimentar y

dilucidar acerca de sus métodos, conceptos, propiedades y problemas (Villarroel y

Sgreccia, 2011). Dentro de tal diversidad de recursos, la papiroflexia u origami, se presenta

al profesor de Matemática como una herramienta pedagógica que puede ser empleada en el

desarrollo de contenidos geométricos, tanto a nivel conceptual como procedimental (Grupo

PI, 2009), puesto que permite el desarrollo, por parte de quien la practica, de la

psicomotricidad, la exactitud y precisión en el trabajo; además de promover la creatividad,

la exploración, el poder experimentar y conjeturar. Por ejemplo, a través de la papiroflexia

es posible, estudiar algunos temas relevantes de la Geometría Espacial como el de los

poliedros. Sin embargo, puede llegar a ser particularmente complejo el diseño de estos por

medio de la papiroflexia tradicional, lo cual es una de las razones por la cual surge la

papiroflexia modular (Blanco y Otero, 2005), ya que gracias a la misma es posible construir

y estudiar algunos sólidos. De todo la anterior surgen las preguntas ¿Cómo se puede

emplear la papiroflexia modular en la enseñanza de la Geometría?, ¿Cuál es el potencial

didáctico de este recurso? Para dar respuesta a ellas, y a través de una muestra didáctica

sustentada metodológicamente en una revisión documental, se proponen un conjunto de

actividades divulgativas que promueven el uso de la papiroflexia modular en la

construcción de sólidos y algunas implicaciones de su uso en el contexto escolar a la hora

de enseñar estos temas de Geometría.

Palabras Clave: Papiroflexia, Origami, Geometría, Recursos Didácticos



78

PAPIROGEOMETRÍA…MÁS ALLÁ DEL PLEGADO DE PAPEL EN LA

ESCUELA

Erika Gabriela Valera Herrera.

[email protected]

UPEL- Maracay

RESUMEN

Esta es una exposición que pretende transparentar el proceso creativo de la papiroflexia

aplicada a la enseñanza de tópicos geométricos en mi experiencia docente con niños de 1er,

4to y 5to grado, y muy bien pueden adaptarse al resto de los grados de primaria, explicando

conceptos aparentemente obvios pero generalmente desconocidos u olvidados por los

estudiantes. El utilizar papiroflexia (Azzità, E. y Schultz, W., 2011), da una alternativa

distinta para brindar a los estudiantes un modo diferente y divertido de aprender geometría

haciendo uso del plegado de papel más allá de usarlo simplemente para hacer figuritas para

regalar o jugar sin mayor sentido y provecho. Una hoja de papel puede darnos las

condiciones para que nuestros niños y niñas se apropien de conceptos y representaciones

geométricas de forma concreta, además de ser un reto de creatividad a la inteligencia de los

educandos, donde se trabaje el doblaje de una sola pieza de papel, hasta el doblado y

ensamblaje de varias piezas de papel como especie de lego para hacer; cuerpos

geométricos, animales, flores y objetos, sin dejar de un lado los elementos geométricos

presentes cuando se pliega el papel para hacer los doblados tales como; segmento de recta,

lado, ángulos, vértice, ángulos, ángulos internos, área, perímetro, áreas congruentes,

ángulos congruentes, cubo, pirámides, icosaedros, dodecaedro, entre otros, según sea el

grado en que se esté trabajando, el nivel de complejidad va a depender de las características

y las necesidades de los estudiantes considerando los contenidos del Currículo Básico

Nacional, (Ministerio de Educación, 1996).

Palabras clave: Educación Primaria, Papiroflexia, Geometría, Didáctica.



79

KIT PARA INTEGRAR TECNOLOGIA AL APRENDIZAJE DE ROBOTICA,

MATEMATICA Y LENGUAJE

Jenny Guillén

[email protected]

Marisol Sarmiento

Ludmilan Zambrano

UPEL Maracay

Oscar Chang,

UCV

[email protected]

RESUMEN

MAYTU IRIMA 3.0 es un kit robot didáctico desarrollado para estimular el aprendizaje

de la ciencia Robótica en niños y jóvenes. El nombre MAYTU nace de la combinación de

dos sonidos MAY del nombre del Cacique Maracay, y TU, silaba del nombre del Cacique

Turiamo. IRIMA da significancia a su color Azul. Su finalidad es lograr que niños(as),

jóvenes y docentes tengan contacto cercano con un robot y se motiven respecto a esta

actividad. Fue diseñado y construido en la República Bolivariana de Venezuela, por equipo

de investigadores liderado por la Dra. Jenny Guillén y financiado por el Ministerio del

Poder Popular para la Ciencia, Tecnología e Innovación, a través del FONACIT (Proyecto

PEII), como recurso de apoyo al aprendizaje del Subsistema de Educación Básica

Venezolana (LOE,2009 - edades 7 a 16 años-). Este logro del primer objetivo del proyecto

de un autentico brazo robot articulado con cuatro grados de libertad, es exitoso ya que usos

a mayor escala funcionan con hasta seis grados de libertad. MAYTU está equipado con

cuatro servomotores independientes, incorporando a través de cableado el actuador de

control que lo regula, emulando la metáfora del brazo humano: el movimiento del codo, del

antebrazo y de la muñeca así como la apertura y cierre de la pinza; podrá agarrar, liberar,

levantar, bajar y girar. Su luz LED cambia de colores RGB según la actividad. Se

suministra con su mando por cable y PIC reprogramable en modalidades: manipulada y

autónoma, integrando y transfiriendo tecnologías con métodos tecno pedagógicos en Áreas

de Lenguaje Natural, Técnico, y de Señas relacionados al Diseño Curricular para

Matemática y Lenguaje agregando inteligencia artificial; posee manuales educativos. Sus

piezas y diseño son de tecnología 3D. Dotado de tarjeta electrónica y circuitos, sonido

natural y recarga de energía es liviano, físico, compacto e itinerante.

Palabras Claves: Robot, Matemática, Proyecto PEII, Tecnología, Integración.




80


81

PARTE II: EXTENSOS


82


83

ÍNDICE

pp.

CONFERENCIAS 85

Aproximaciones teóricas para desarrollar competencias de aprendizaje en

informática, como eje transversal del currículo de la Especialidad de

Informática de la Upel

Jenny Guillén

87

Educación y tecnología ¿hacia dónde apunta el asunto?

Gabriela Gardié 99

FORO 109

Aportes de la línea de investigación “perspectivas del enfoque Semiótico

Antropológico” a la Educación Matemática en Venezuela.

Mario Arrieche Alvarado 111

Perspectivas de la investigación en Educación Estadística

Julia Elena Sanoja 126

PONENCIAS 137

Teorema de Thales: una propuesta didáctica

Odalys Báez, Andrea González, Génesis Gudiño,

Liliana Noguera y Martha Iglesias

139

Casas de bahareque: Una visión etnomatemática a partir de su

construcción

Robert Lira y Martha Iglesias 151

Blog: el mundo de pitágoras en la era tecnológica

Andrea Osorio, Carmen Gil, Wolghan Gómez, Evelyn Romero,

Yerikson Suárez y Martha Iglesias

162

La estadística y los libros de texto de matemática

Julia Sanoja y Oscar Ramírez 174

Pitágoras y el teorema de la mujer casada. Una propuesta didáctica

Andrea Osorio, Carmen Gil, Wolghan Gómez, Evelyn Romero,

Yerikson Suárez y Martha Iglesias 194

Formación permanente de los docentes de matemática. Una propuesta

didáctica

Jimmy Sánchez Chacón y Martha Iglesias Inojosa

205

La circunferencia y el círculo. Una propuesta didáctica

Snnaider Ramirez, Zuleidy Torres,

Kelly Váldez y Martha Iglesias 217

La demostración en geometría. Desde una perspectiva epistemológica

Martha Iglesias Inojosa y José Ortiz Buitrago 230

El sesgo de equiprobabilidad en profesores de matemática en

formación

Yerikson Suárez y Fredy González

248

Seguridad informática, técnicas criptográficas y fundamentos 263


84

matemáticos

Marisol Sarmiento y Jenny Guillen

Análisis semiótico y didáctico de un proceso de estudio sobre las

razones trigonométricas

Fernando Tesorero y Mario Arrieche 277

Autoescritura: estrategia para la formación inicial de profesores de

matemática

Fredy González

285



85

CONFERENCIAS


86


87

APROXIMACIONES TEÓRICAS PARA DESARROLLAR COMPETENCIAS DE

APRENDIZAJE EN INFORMÁTICA, COMO EJE TRANSVERSAL DEL

CURRÍCULO DE LA ESPECIALIDAD DE INFORMÁTICA DE LA UPEL

Jenny M. Guillén C

[email protected]

UPEL Maracay

RESUMEN

En este trabajo se proponen aproximaciones teóricas para desarrollar competencias de

aprendizaje en el abordaje de la informática como eje transversal del currículo de la

especialidad de informática de la upel , describiendo el componente teórico y

ontoepistemológico explicito en los programas sinópticos de los cursos del componente de

formación especializada, en cuanto a los contenidos en el área de la tecnología informática

y develando la teoría en uso del docente de dicha especialidad a fin de estructurar su perfil

competencial para el abordaje de la informática. Se sustentó en la teoría de la acción

(argyris schön, 1989), (habermas, 1989), con la teoría de la acción comunicativa, morin

(2000, 2001,2003) con la teoría de la complejidad y los fundamentos de la unesco (2004)

en relación con las tic. Se utilizo una metódica plural y emergente. Su episteme se ubica en

el enfoque cualitativo, educacional- critico y constructivo-reflexivo. Desde el punto de vista

paradigmático, en la investigación utilizó el método de la construcción y reconstrucción de

la teoría en uso y el enfoque de la teoría fundamentada (glasser y strauss, 1992) y strauss y

corvit (1999,2002) y el muestreo teórico. Los informantes clave fueron los docentes de la

upel que se desempeñan en la especialidad de informática en los institutos que administran

dicha especialidad. Se detectó inconsistencia entre la teoría explicita (programas sinópticos

del componente de formación especializada) y, en uso (actuación del docente) en cuanto al

abordaje de la informática, respondiendo a su “conveniencia” lo cual dista mucho de la

formación de un docente en torno a lo competencial. Se recomienda implementar acciones

enmarcadas en lo complejo desde una plataforma en línea o presencial, que se convierta en

el eje transversal del currículo de informática y que se aborde en orden a las competencias

informacionales.

Palabras clave: pensamiento complejo, competencias tic e informática, modelos educativos.

INTRODUCCIÓN

En referencia a los procesos de aprendizaje, Villa y Poblete (2007) plantean que en

la actualidad las competencias se convierten en la piedra angular, ya que el plan curricular

se formula y se explicita en competencias genéricas o transversales y en competencias

específicas. Los cuatro elementos para lograr las competencias son: (1) Estrategias y



88

metodologías de enseñanza-aprendizaje, (2) Modalidades, (3) Seguimiento, y (4)

Evaluación.

Es importante destacar, que el manejo de las TIC se encuentra dentro de los

contenidos de las unidades curriculares que conforman la Especialidad de Informática,

según la revisión del pensum de estudio de la Especialidad; situación que se diferencia de

otras especialidades, que no incorporan una asignatura Introductoria a la Informática con

contenidos de ofimática u otras formalidades, por lo tanto la institución pareciera que

asume que los estudiantes deben poseer las competencias o adquirirlas por sus propios

medios, tendiéndose quizá a confundir las que pudieran traer aquellos nativos digitales con

las necesarias para una persona que se está formando en la docencia.

Actualmente, teniendo en cuenta que el aprendizaje basado en competencias (ABC)

es un enfoque pedagógico, asumido colectivamente y basado en la vinculación e

interrelación de las materias (cursos), que contribuyen, aportando conocimientos científicos

o técnicos y desarrollando competencias genéricas y específicas; dimensiones en las cuales

el estudiante es el verdadero motor de su aprendizaje, es por lo que se necesita la auto

motivación, control de su esfuerzo, y desarrollo de estrategias cognitivas y meta cognitivas,

que le ayuden al aprendizaje y a la reflexión sobre su aprendizaje. .

PROBLEMÁTICA DE LA INVESTIGACIÓN

Existen agentes principales en el cambio, que de distinto modo intervienen en el

proceso de enseñanza y aprendizaje como son: los directivos, docentes y comunidad

estudiantil, quienes deben coadyuvar esfuerzos para concretar las políticas educativas en el

contexto de las TIC. Las interrogantes claves en este sentido son: ¿Cuál es la Política de la

UPEL sobre la innovación y la formación?, ¿Existe en la Universidad un plan estratégico

que recoge la innovación como un eje clave?, ¿Se formula y se dota de medios y recursos a

los Institutos para la formación y actualización del profesorado?.

Sin la participación activa, constructiva, concensuada, colaborativa, creativa, de este

conglomerado, no se podrá llevar a cabo ninguna reforma, ningún plan de estudio, ninguna

innovación pedagógica; implementar un sistema nuevo de aprendizaje, renovar


89

metodologías, incorporar tecnologías, requiere un cambio organizativo e institucional, que

va más allá del profesorado, del estudiante y de la comunidad.

En tal sentido, surgen nuevas interrogantes ¿Qué características presenta el

componente teórico y ontoepistemológico de los cursos de la Especialidad de Informática

en cuanto a los contenidos en el área de la Tecnología Informática?, ¿Qué teoría en uso

utiliza el docente de la Especialidad de Informática de la UPEL?, ¿Qué competencias posee

este docente?, ¿Cuál es su perfil competencial para el abordaje de la Informática en el

proceso de enseñanza y aprendizaje?

Ahora bien, en el contexto estudiantil se debe desarrollar un proceso de “aprender a

aprender”, “aprender a emprender” y “aprender a enseñar”, para que, de manera autónoma

y consciente, descubra y desarrolle competencias que puede adquirir en sus estudios

universitarios; competencias que le ayudarán a mejorar como ser humano individual y

social y, para el buen desempeño de su profesión.

Esto es, competencia para el abordaje de las TIC, por lo que valdría la pena

preguntarse ¿Está el estudiante formado para iniciar un aprendizaje autónomo?, ¿Tiene el

estudiante las capacidades básicas para llevar a cabo este tipo de aprendizaje?, ¿Cuenta con

competencias básicas y específicas, para desarrollar el perfil de egreso de su especialidad?,

¿Es posible superar las debilidades de los estudiantes en el manejo de las TIC?, ¿Tiene la

Universidad respuestas satisfactorias a las necesidades del estudiante, en cuanto a su

formación competencial?. Y por último la pregunta que transversaliza a la presente

investigación ¿La integración de formulaciones teóricas permitirá el desarrollo de

competencias generales y específicas en los docentes para el abordaje de la Informática?

Objetivos de la Investigación

General

Construir aproximaciones Teóricas para desarrollar Competencias de aprendizaje en el

abordaje de la Informática como eje transversal del currículo de la Especialidad de

Informática en la UPEL.


90

Específicos

Describir el componente Teórico y Ontoepistemológico explícito en los programas

sinópticos de los cursos de la Especialidad de Informática en cuanto a los

contenidos en el área de la Tecnología Informática.

Develar la teoría en Uso de los Docentes de la Especialidad de Informática, en

cuanto a las Competencias en el área de la Informática.

Estructurar el Perfil Competencial del Docente “Formador de Formadores” de la

UPEL, para el abordaje de la Informática.

Integrar Formulaciones Teóricas como primera aproximación a una Teoría

Sustantiva para el desarrollo de Competencias en Informática en Docentes de la

Especialidad de Informática de la UPEL.

RESUMEN DE ELEMENTOS TEÓRICOS Y ENFOQUE METODOLÓGICO

Se sustentó en la Teoría de la Acción (Argyris Schön, 1989), (Habermas, 1989), con

la Teoría de la Acción Comunicativa, Morin (2000, 2001,2003) con la Teoría de la

complejidad y los fundamentos de la UNESCO (2004) en relación con las TIC. Se utilizo

una metódica plural y emergente. Su episteme se ubica en el enfoque cualitativo,

educacional- critico y constructivo-reflexivo. Desde el punto de vista paradigmático, en la

investigación utilizó el método de la construcción y reconstrucción de la Teoría en Uso y el

enfoque de la Teoría Fundamentada (Glasser y Strauss, 1992) y Strauss y Corvit

(1999,2002) y el muestreo teórico. Los informantes clave fueron docentes de la UPEL que

se desempeñan en la Especialidad de Informática en los institutos que Administran dicha

Especialidad. En la gráfico a continuación se detallan:


91

Gráfico 1. Vision integral del modelo de la investigacion.

FASES DE LA INVESTIGACIÓN

Esta investigación se desarrollo en diferentes momentos o trayectos a saber:

a) Definición de la temática, b)Inmersión de la investigadora en el objeto de estudio,

c)Estructuración de la teoría base y complementaria y las técnicas e instrumentos a utilizar,

d) Construcción del guión de la entrevista semiestructurada (preguntas directrices) que se

aplico a los informantes clave (docentes) , e)Elaboración de matrices dimensionales para

recabar verbalizaciones e identificación de indicadores, categorías, subcategorías, f)

Aplicación de pasos del Método Comparativo Continuo, Strauss y Corbin (2002) y el

muestreo teórico (contraste continuo),g) Análisis de información, contraste entre teoría

explícita, obtenida del análisis de los textos clave (programas sinópticos, perfil de

formación y la teoría en uso), obtenida de los informantes clave, a través de la entrevista

semi estructurada), h)Contraste del comportamiento de informantes clave (verbalizaciones)

con el Modelo I y II de la teoría de la Acción de Argyris y Schon (1989), i) Construcción de


92

la teoría emergente, como teoría sustantiva que oriente el desarrollo de Competencias

Tecnológicas en docentes de la Especialidad de Informática de la UPEL, j) Formulación de

Conclusiones, Recomendaciones.

DE LOS HALLAZGOS Y DE LO EMERGENTE

Retomando el planteamiento del Paradigma Educacional-Critico y Sistémico-Complejo

, en estas décadas cercanas al Siglo XX es conveniente tener presente una razón histórica

proveniente de la Declaración de los derechos humanos , 1948 considerando que un

ciudadano debe ofrecer servicios como actor social y los planteamientos que desde 1996

para el Siglo XXI motivó Delor’s; es así como en esta segunda década del Siglo XXI lo

reciente son los cambios en lo comunicacional ya que involucra las formas de expresiones

humanas y los medios utilizados donde la Educación Basada en Competencias tiene una

visión abierta – dialéctica de los contextos culturales, escenarios y propuestas formativas;

supra el potencial reduccionista laboral y económico e involucra la educación permanente,

en una educación integradora donde la relación docente-alumno deba ser crítica, reflexiva,

creativa, constructiva y considerando un elemento adicional como lo son los medios

informáticos y telemáticos, manteniendo sus ventajas que según el autor Martínez, 1999.

Son: su capacidad expresiva, su interactividad, su flexibilidad, su economía, su

adaptabilidad, su eficiencia.

En cuanto a las Competencias Tecnológicas requeridas los informantes claves

señalaron que son aquellas que para lograr transferencia integran conocimiento, actitud,

habilidad y destreza ubicándose por analogía o asociación complementaria; estableciendo

que las competencias cognitivas se asocian al conocer, las personales básica al ser, las

comunicacionales al convivir, las actitudinales al saber actuar, las metodológicas al

emprender y las procedimentales al hacer o saber hacer. Igualmente entre los rasgos

personales del docente para realizar una integración efectiva y práctica se considera a sí

mismo:

Comprometido con o para un Proyecto educativo tecnológico.

En Actualización permanente.

Demuestra el Interés por su rol ante la sociedad.


93

Crea un ambiente de aprendizaje presencial o virtual, o mixto.

Manifiesta actitud positiva hacia la informática.

Gestor de acciones para solucionar problemas.

Es guía de proyectos científicos tecnológicos o forma parte de ellos.

De modo grafico se aproximan sus tres niveles de abstracción en la fig. 2.

Gráfico 2. Heurística perfil competencial docente informática propuesto.

DESCRIPCIÓN DEL MODELO EMERGENTE

Competencias Tecnológicas Básicas: las personales básica al Ser.

Competencias Tecnológicas Específicas

Tecnológicas especificas “esencia”.

Pensamientos reflexivos, críticos, transformador.

Permite incorporar conocimiento nuevo.

Confía más en la razón que en la emoción con forma multidisciplinar.

Es dinámico y promueve la creatividad.

Investigativa: actor social.

Dominio Ontológico: visión del mundo de la realidad – sociedad – tecnología que

maneja el docente de informática “conocer” y saber “como ser”.

Dominio Epistemológico: postulados del docente. Manejar medios y paquetes de

software y hardware.

Competencias Tecnológicas Procedimentales


94

Permite la Transferencia Tecnológica del conocimiento a la praxis, siendo que dicho

docente asume el empoderamiento de las competencias, con énfasis en:

Transformar la realidad.

Manejo idóneo de las TIC.

Manejo instrumental de las TIC.

Incorporar acciones creativas en manejo de TIC´S.

Dominio de técnicas informáticas.

Manejo adecuado de las evaluaciones en la enseñanza con TIC´S.

Dominio de estructuras de cursos, metáforas, foros, chats, blogs, video conferencias,

video, radio y TV educativas entre otros recursos disponibles en Redes para

distintas plataformas libres o privadas.

Competencias Tecnológicas Actitudinales: las competencias sociales

Este aspecto lo podemos caracterizar como las competencias sociales en “Saber

cómo ser”, “Saber cómo actuar”, es decir empleando elementos de valores como

Solidaridad, paz, ambiente armónico, elemento humano, perspectiva social del

conocimiento, bien colectivo, respeto al discurso, respeto a la diversidad; ello con el fin de

generar:

Autoconfianza.

Auto motivación.

Comunicación interpersonal.

Relación con los pares.

Disposición a ayudar, respeto, humildad, vocación de servicio, gestionar conflictos.

Se sugiere entonces involucrar valores, contextos y actores sociales para un ser

proactivo que se muestre:

Respetuoso del discurso.

Critico.

Investigativo.

Reflexivo.

Andragogo.

Heurístico.

Interprete del aprender del otro sin importar su nivel de formación.

Competencias Tecnológicas – Metodológicas

Son aquellas que desarrollan el pluralismo metodológico, encontrándose unas

subcategorías en los hallazgos como fueron: los métodos, la formación docente. El

ambiente, los procesos. Se ha sugerido para este caso incorporar las competencias

tecnológicas en el perfil del egresado sustentada en estructura: Axiomática, Teórica,

Epistemológica, Ontológicas, Metodológicas, Comunicativa, Estéticas, Ética. Todo ello

bajo un enfoque: holístico y transdisciplinario. El componente metodológico permitirá tener

Autores y Actores Sociales tomadores de decisiones, defensores de sus convicciones,


95

catalizadores de posibles frustraciones del contexto. El perfil tecnológico metodológico del

docente de Informática debe propiciar:

Ser observador permanente.

Manejar el pluralismo metodológico en sustitución de la aplicación de un solo

método.

Manejar rutas de indagación.

Manejar lo emergente.

Manejar la diversidad.

Aplicar técnicas de recolección y análisis de datos e información en el área de la

tecnología.

Lo nuevo en la manera de comunicarnos

Ha emergido una categoría denominada Tecnologías Comunicacionales (2n), donde se

ha planteado que existan ,asumiendo una metáfora del contexto de manera binaria no

excluyente de acuerdo a la lógica booleana, 2 Dimensiones: competencia lingüística,

competencia escritural, cuya superficie de sustento se construye a través de: lo fonológico -

morfológico, semántico, argumentativo (no lineal), sintáctico pragmático, tendencias que

por afinidad tiene un carácter similar al término multimedia en las tecnologías, donde se

maneja su propia lingüística, sociolingüística, pragmática y psicolingüística. Su cualidad

heurística implica:

Innovación.

Desarrollo del pensamiento divergente y la creatividad.

Resolución de problemas.

Aprendizaje por descubrimiento.

Ahora bien ¿Como demostraría un docente de informática su perfil competencial

tecnológico comunicacional?, la respuesta sería manisfestando cotidianamente:

Expresiones claras y socializadoras.

Pensamiento abierto y divergente.

Discursividad

Fluidez en la comunicación oral y escrita.

Argumentatividad de sus acciones.

Critico constructivo.

Líder contingencial.

Promotor de cambio social en el área tecnológica.

A MODO DE CIERRE UN SISTEMA DE GESTIÓN COMUNICACIONAL DE

COMPETENCIAS

Se identifica por su Modelado Dinámico, la presencia de lo heurístico, ser abierto y

flexible, manteniendo tres (03) niveles de abstracción, pluralista emergente – complejo ,

competencial y competitivo apreciado en la fig. 3.


96

Gráfico 3. Perfil competencial del docente de informática de la upel propuesto

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99

EDUCACIÓN Y TECNOLOGÍA ¿HACIA DÓNDE APUNTA EL ASUNTO?

Gabriela Gardié

[email protected]

@gabrielagardie

UPEL Maracay – NICRED

RESUMEN

La tecnología está presente en todos los ámbitos del quehacer humano, desde el

privado y personal hasta el laboral y público; va desde el uso de un horno micro-ondas

hasta el de un teléfono celular, pasando por computadoras, geolocalizadores, entre otros.

Evidentemente, la educación no escapa a su influencia y ésta genera cambios en el modo de

asumir el proceso de enseñanza y de aprendizaje, nacen nuevos enfoques y métodos

pedagógicos, así pues, el propósito de esta conferencia es exponer cuáles de estos avances

están impactando en el ámbito educativo y las consecuencias de este hecho. En su

contenido abordaremos la computación en nube, la realidad aumentada, la robótica

educativa, los cursos masivos en línea conocidos como MOOCS y los videojuegos.

Observaremos cómo los elementos tecnológicos, pensados en primera instancia para

aumentar la eficiencia de las empresas, juegan hoy día un papel relevante en lo que se ha

denominado “la educación del futuro” según lo expone Downes (2012), pensada más allá

de las paredes de los recintos educativos para satisfacer las demandas de la sociedad en

cuanto al aprendizaje para la vida, la educación no formal e informal, que como sabemos,

se han constituido en una deuda a saldar con la sociedad actual.

Descriptores: Educación, MOOCS, Realidad Aumentada, Videojuegos, Robótica.

CONFERENCIA

Hablar de tecnología es hablar de un mundo en constante cambio, algunos de ellos,

relativamente violentos; sin embargo, cuando discurrimos entre la tecnología y la

educación, estos cambios parecen desacelerarse y difuminarse en un mar aparentemente

tranquilo.

Refiere Fernández (2013) que “el avance en el mundo digital es gobernado por la

Ley de Moore: El número de transistores que se pueden integrar en un chip se duplica cada

18 meses” (Ciudadanos – 6). Algo que parece, relativamente sencillo, tiene una importancia

transcendental porque nos abre los ojos a la velocidad de transformación de la tecnología y

ello, necesariamente, impacta en nuestro quehacer educativo porque demanda cambios en

los perfiles laborales, cambios curriculares, nuevos modelos educativos, la discusión de



100

otras teorías de conocimiento y de aprendizaje, nacen enfoques pedagógicos, formas de

comunicación, valores éticos, formas de entretenimiento y de vivir. En una suerte de

espiral sin fin, estos cambios exigen nuevas tecnologías, las cuales, a su vez, exigen nuevos

perfiles laborales que deben ser satisfechos con nuevos diseños curriculares y dan origen a

modelos y enfoques pedagógicos, a otras formas de interacción, otros valores, etc.

Los educadores no debemos perder de vista que los avances tecnológicos no están

dirigidos, en primera instancia, al ámbito educativo; al contrario, surgen para satisfacer

demandas empresariales bien sea para aumentar la producción, disminuir costos, maximizar

inversiones, apalancar la empresa, generar nuevos modos de marketing y la obtención de

nuevos targets; quizás por eso sentimos que las universidades van siempre un paso atrás;

sin embargo, nuestra responsabilidad no es crear tecnología, es ajustarla, es darle el mejor

uso posible en el contexto educativo y satisfacer demandas sociales de diversa naturaleza.

Considero importante que iniciemos con un concepto interesante conocido como

cloud computing, es decir: computación en nube o servicios en la nube, informática en la

nube, nube de cómputo o nube de conceptos, como quiera que la llamemos, nació para

satisfacer la necesidad de respaldar, digitalmente, el enorme volumen de datos que

diariamente se produce en el mundo. La idea de respaldar, de tener acceso constante a estos

datos y de protegerlos de intrusos y de malware es lo que originó ésta nueva forma de

trabajar. Es importante destacar que, según lo expone Real (2010), la computación en nube

comenzó como un servicio provisto en Internet a gran escala por compañías como Google,

Amazon AWS, Microsoft y otros que construyeron su propia infraestructura, quienes,

incluso, desarrollaron su propia infraestructura para ellos mismos y para, posteriormente,

comercializar la idea.

La computación en nube, es decir, el espacio virtual para almacenamiento, impulsó

la creación de nuevas herramientas tecnológicas dirigidas a propiciar el acceso a los datos

sin restricción de tiempo ni de espacio, lo que a su vez, impulsó el trabajo colaborativo en

redes, nuevas formas de producción, nuevos mercados y modificó las redes sociales. A este

respecto, Mitra (2011) señala que con la computación en nube “toda nuestra información

relevante, ya sean documentos, aplicaciones, software de edición, etc., están

permanentemente a nuestra disposición, independientemente de donde nos


101

encontremos, y podemos acceder a ellos en cualquier momento mientras tengamos una

conexión a Internet” (s/p).

Esta nueva manera de hacer las cosas le dio un giro a nuestra vida y dotó de otra

perspectiva a la Educación a Distancia (EaD) con soporte electrónico o Elearning, el mismo

concepto de las tecnologías que evolucionaron para permitir el resguardo de los datos en

espacios virtuales es el empleado para soportar los espacios virtuales de aprendizaje.

En nuestro caso, Arias (2012), señala que en Venezuela, la mayoría de las

instituciones trabajan con la modalidad presencial e indica que en el país:

La mayoría de las universidades mantienen la hegemonía de la modalidad

presencial. Esto es debido a tres grandes problemas que en la actualidad enfrenta

la Educación Superior en el país para la implementación de modalidades de

estudios no convencionales, los cuales son de índole económico, político y de

recursos humanos (p. 66).

No obstante, en el seno de las universidades venezolanas se hacen esfuerzos por

cambiar esta realidad, hemos visto como podemos ofrecer a nuestros participantes aulas

virtuales, materiales didácticos digitales, mejorar el contacto con nuestros participantes

utilizando las redes sociales y el microbloging entre otras herramientas.

De las aulas o entornos virtuales pasamos a los entornos personales de aprendizaje

(PLE por sus siglas en ingles). Attwell (2007) nos explica que los PLE nacieron de los

movimientos y la presión ejercida por las comunidades para el aprendizaje informal, el

aprendizaje no formal y el aprendizaje para la vida, además del aprovechamiento de los

estilos de aprendizaje, se sostiene en las tecnologías de información y comunicación,

software social y el aprendizaje ubicuo.

Por su parte, Van Harmelen (en Attwell, 2007) argumenta que un PLE puede ser

definido como un sistema que le permite a los participantes tomar el control y administrar

su propio proceso de aprendizaje, por ello, un PLE debe incluir no sólo los contenidos sino

también un soporte de ayuda para determinar las metas de aprendizaje individuales y las

evaluaciones de los logros de aprendizaje.

Los entornos virtuales de aprendizaje y los PLE suelen estar limitados por motivos

tecnológicos y por los procesos administrativos de las instituciones que los ofertan; sin

embargo, en poco tiempo y debido a la presión de la sociedad, se dio un salto cuántico y en

el año 2008 nacen los MOOCS, es decir, los Cursos en Línea Masivos y Abiertos (Massive


102

Open Online Course). Tal como lo señalan Santamaría (2012) y Downes (2012), con los

MOOCS se pretende mejorar la oferta de cursos de pregrado, el aprendizaje para la vida, el

aprendizaje no formal y el informal, asimismo, se basa en que el conocimiento debe ser

libre para que llegue a más personas. Asimismo, estos autores señalan que el término fue

acuñado por Dave Cormier y Bryan Alexander cuando el número de inscritos a su curso

“Connectivism and Connective Knowledge” aumentó a casi dos mil trescientos (2300)

estudiantes. Estos autores indican que cuando se habla de un MOOC, hablamos de un curso

cuya matrícula puede estar por encima de 160.000 participantes.

Otro aspecto interesante de los MOOCS es que, al ser un curso masivo, los

contenidos no deben tener “color local”, por ello deben plantearse desde una perspectiva

globalizadora considerando que cualquier persona que esté interesada puede participar en

él. Claro está, como cualquier persona puede participar, en un mismo curso pueden

coincidir participantes de diferentes países con distintos niveles educativos y con sus

propias expectativas.

Otro aspecto a considerar es que, precisamente, al ser masivos, cada participante tiene

sus propias necesidades de conocimiento y sus propias expectativas de aprendizaje, por

ello, cada curso tiene estructura de red, es decir, no existe un contenido inicial y un

contenido final ni prelaciones, cada participante diseña su propio camino de aprendizaje.

Evidentemente, la generación y mantenimiento de un MOOC demanda un soporte

tecnológico bien establecido, con “granjas de servidores” y un servicio de conexión a

Internet de banda ancha estable con excelente velocidad de conexión además de un recurso

humano con preparación en diversas áreas, por ello, no es un esfuerzo que pueda asumir

una sola institución educativa, por ello vemos los proyectos generados en conjunto por la

Universidad Estatal de Utah, la Universidad de Stanford, la Universidad Yale, la

Universidad de Princeton, la Universidad de Michigan, el Instituto Tecnológico de

Massachusetts, la Universidad de Berkeley - California ; así como el Instituto Tecnológico

de Monterrey en conjunto con la Universidad Rey Juan Carlos. También destacan, en

nuestro idioma, la Universidad Politécnica de Madrid con el soporte de la Red Temática de

Criptografía y Seguridad de la Información, la Universidad de Granada y la Universidad

Nacional de Educación a Distancia de España.


103

En los actuales momentos, los generadores de los MOOC y las instituciones que los

sostienen están discutiendo nuevos aspectos de infraestructura y de movilidad para hacerlos

más accesibles con aplicaciones en los celulares, mejorar los sistemas de administración de

archivos en la nube y solventar algunos inconvenientes que se generan con los picos de

descarga masiva de contenidos, sobre todo los asociados al consumo de electricidad y de

ancho de banda.

Otro asunto a discutir en torno a los MOOCS trata de las dos teorías de aprendizaje

asociadas a ellos: Educación Disruptiva y el Conectivismo. Hasta los momentos, ambas

han sido tratadas como enfoques pedagógicos y no como nuevas teorías.

Al respecto, Santamaría (2012) comenta que la Educación Disruptiva tiene como base

el rompimiento de los modelos pedagógicos y los esquemas de aprendizaje tradicionales.

Se trata de “romper” lo establecido buscando nuevas vías de acción fuera de las paredes de

las universidades por cuanto se considera que éstas no dan respuestas a las necesidades de

formación informales y no formales, las cuales tienen, hoy día, mayor demanda que la

formación tradicional y formal. Aunado a ello, existe la necesidad de aprender desde las

comunidades y en sus propias interacciones, situación ésta que es ajena a las universidades

y no puede ser reproducida en ellas.

Por su parte, Downes (2012) sostiene, en cuanto al Conectivismo que:

El conocimiento personal, partiendo del individuo, se hace de una red, que

alimenta de información a organizaciones e instituciones, que a su vez

retroalimentan información en la misma red, que finalmente termina proveyendo

nuevo aprendizaje al individuo. Este ciclo de desarrollo del conocimiento

permite a los aprendices mantenerse actualizados en el campo en el cual han

formado conexiones. (s/p).

No obstante, los MOOCS no son lo único nuevo en cuanto a educación y tecnología

se refiere; así pues, echemos un vistazo a otros desarrollos tecnológicos que se has asociado

al campo educativo con interesantes resultados:

Desde hace muchos años, el hombre ha iniciado la construcción de autómatas con la

finalidad de divertir al público, posteriormente, con el desarrollo tecnológico, estos

autómatas primitivos se convirtieron en el punto de partida de los robots, creaciones

tecnológicas automatizadas empleadas en la industria con fines productivos (brazos

mecánicos para soldadura); con fines bélicos (los exploradores para ubicar campamentos,

brazos mecánicos controlados a distancia para desarmar explosivos) con fines de


104

exploración y de investigación (orugas submarinas y los enviados a explorar Marte), con

fines médicos (Da Vinci que realiza micro-cirugías).

Los robots dan un salto al ámbito educativo y se comienza a hablar de la robótica

educativa, esto es, en palabras de Del Mar (2010):

El conjunto de actividades pedagógicas que apoyan y fortalecen áreas específicas

del conocimiento y desarrollan competencias en el alumno, a través de la

concepción, creación, ensamble y puesta en funcionamiento de robots.

El objetivo de la enseñanza de la robótica es lograr una adaptación de los alumnos

a los procesos productivos actuales, en donde la Automatización (Tecnología que

está relacionada con el empleo de sistemas mecánicos, electrónicos y basados en

computadoras; en la operación y control de la producción) juega un rol muy

importante. (s/p).

Importantes universidades venezolanas, en donde destacan la Universidad Simón

Bolívar y la Universidad Católica Andrés Bello, han incursionado con mucho éxito en la

robótica. En el primer caso, desde la facultad de ingeniería se han construido brazos

mecánicos y orugas exploratorias, ello con el financiamiento de empresas que invierten en

los laboratorios de la universidad, tal es el caso de Toyota Corp.

Por su parte, desde la Universidad Católica Andrés Bello, se generó un proyecto para

acercar la robótica a las escuelas bajo las premisas de que, con la robótica educativa los

participantes (niños y jóvenes) pueden aprender experimentando (aprendizaje por

experiencia), ser más organizados, pueden desarrollar habilidades de trabajo en grupo y de

aprendizaje cooperativo, entre otros. Aunado a ello, los docentes propician un acercamiento

diferente a las matemáticas, la física, la informática, la lengua, la geografía, el cuidado

medio ambiental, entre otros. Hoy día, este proyecto ha salido fuera de las fronteras de

Venezuela y abarca otros países como Costa Rica.

Otro desarrollo tecnológico interesante que nació para satisfacer la industria del

entretenimiento son los videojuegos y éstos también se han hecho un espacio en el ámbito

educativo. Es importante destacar que los videojuegos, en la actualidad, no se juegan en

solitario, al contrario, se aprovecha de las características de las redes sociales en términos

de compartir intereses y hobbies, integración, conformación de grupos más fuertes que el

individuo, entre otros.


105

Ahora bien, pudiéramos preguntarnos cuál es el impacto de los videojuegos en la

educación y la respuesta se hace difícil ya que no es evidente. Al respecto, Peña, J.;

Fernández, E. y Kiriloff, S. (2012) señalan que:

Los videojuegos permiten aumentar la motivación para el aprendizaje de diversas

materias como las matemáticas y las ciencias. Además pueden ser utilizados

como entrenamiento eficaz en programas de tipo viso-motor, desarrollo del

pensamiento reflexivo, mejora de las habilidades de los pilotos de avión, reducir

el número de errores de razonamiento, conseguir un mayor control de los tiempos

de reacción, y servir de enfrentamiento ante situaciones vitales que pueden ser

simuladas, como es el caso de la resolución de problemas, tema en el que se

muestran muy eficaces. (p. 33)

Asimismo, Castronova (citado en Peña, J.; Fernández, E. y Kiriloff, S. (2012)

indica que:

El uso de los mundos virtuales y video juegos es muy positivo en determinados

aprendizajes y entrenamientos, tal y como se demuestra en el terreno del

tratamiento de los problemas de aprendizaje, la ayuda para resolver problemas,

para responder a cuestiones relacionadas con la escuela, las drogas, la familia,

aspectos morales (p. 33)

Aunado a ello, el uso de los videojuegos bajo la técnica de la inmersión permite que

el participante entre en contacto con roles, los cuales deberá asumir, para cumplir las tareas

encomendadas, deberá trabajar en equipo desarrollando habilidades de liderazgo, tendrá un

aprendizaje colaborativo y desarrollará algunas destrezas asociadas con la motricidad fina,

la agudeza visual y la velocidad mental para la toma de decisiones.

Sin embargo, algunos investigadores, tal como lo indican Peña, J.; Fernández, E. y

Kiriloff, S. (2012), señalan que los videojuegos también tienen elementos negativos:

Uno de los puntos negativos de los videojuegos se centra, en la personalidad de

los jugadores cuyos efectos se pueden incitar a la violencia y la discriminación de

género (Escofet A, Rubio M. 2007). La mayoría de los videojuegos fomentan las

actitudes violentas y agresivas, que como se ha comprobado tienden a repetirse

en la conducta de los niños y adolescentes.

Es también evidente la existencia de estereotipos donde las gráficos femeninas,

aparecen en menor proporción, y cuando lo hacen tienden a ser representadas en

actitudes pasivas, dominadas o secundarias, mientras que los varones están más

representados, en actitudes más activas y dominadoras. (p. 34).

Por ello, es necesario hacer hincapié en el rol mediador del docente y la necesidad de

seleccionar con mucho cuidado el videojuego y los roles de inmersión que serán ejecutados



106

Por último pero no menos importante, la Realidad Aumentada da un salto desde el

campo de la mercadotecnia y cae en el campo educativo. ¿De qué se trata?

Azuma (1997) indica que la realidad aumentada:

Es el término que se usa para definir una visión directa o indirecta de un entorno

físico del mundo real, cuyos elementos se combinan con elementos virtuales para

la creación de una realidad mixta en tiempo real. Consiste en un conjunto de

dispositivos que añaden información virtual a la información física ya existente,

es decir, añadir una parte sintética virtual a lo real. (s/p).

De acuerdo con este autor, la Realidad Aumentada:

Combina elementos reales y virtuales.

Es interactiva en tiempo real.

Está registrada en 3D.

Curiosamente, otros desarrolladores como Milgram y Kishino citados por Azuma

(1997) definen la realidad como un continuo que abarca desde el entorno real a un entorno

virtual puro. Entre medio hay Realidad Aumentada (más cerca del entorno real) y

Virtualidad Aumentada (está más cerca del entorno virtual).

La Realidad Aumentada también puede definirse como la incorporación de datos e

información digital en un entorno real, por medio del reconocimiento de patrones que se

realiza con el uso de unas aplicaciones tecnológicas diseñadas para tal fin. Cabe señalar que

la Realidad Aumentada se ha desarrollado a pasos agigantados y está abarcando ámbitos

como el de los videojuegos, mass media, arquitectura, medicina y, por supuesto, educación.

Respecto a la vinculación de la Realidad Aumentada con la educación, Muñoz (2013)

explica que:

a) Los libros de texto mejorarían su nivel de interactividad, permitiendo

visualizar objetos en 3D, integrando ejercicios en donde el alumno/a pudiese

explorar dichos objetos desde todas las perspectivas posibles. Por ejemplo,

pensemos en principios básicos de anatomía, en artefactos de ingeniería o en

obras de arte que pudiésemos ver desde diferentes ángulos.

b) La realidad aumentada también permitiría conocer información sobre

ubicaciones físicas concretas o, inclusive, que profesores, alumnos y familias

puedan crear itinerarios, escenarios y experiencias basadas en la

geolocalización.

c) Es una tecnología que puede resultar muy interesante para que los más

pequeños exploren su realidad más cercana desde otra perspectiva.

d) También es posible integrar la RA a través de metodologías de trabajo más

activas y de corte constructivista como WebQuests, mejorando la motivación

del alumnado y contribuyendo al aprendizaje por descubrimiento.


107

e) Desde el punto de vista del e-learning, puede integrarse en cursos on-line para

la adquisición de aprendizajes prácticos e inclusive incorporarse a través de

juegos virtuales basados en el reconocimiento gestual y la geolocalización.

f) Otra de las ventajas de uso de realidad aumentada es su integración con

diversas áreas curriculares como matemáticas, ciencias, educación física,

idiomas, conocimiento del medio, etc. (s/p).

Ahora bien, dado que el título de esta conferencia es “EDUCACIÓN Y

TECNOLOGÍA ¿HACIA DÓNDE APUNTA EL ASUNTO?” pudiésemos intentar dar

algunas respuestas en el caso de Venezuela y éstas solamente serían aproximaciones.

Algunos elementos a considerar para responder, son los siguientes:

a) La tecnología en el ámbito educativo requiere de fuertes inversiones debido al alto

costo de los equipos, incluso, cuando se trata de hardware y software libre,

satisfacer los requerimientos y el mantenimiento que demandan requiere inversión.

La visión de la universidad venezolana, hasta el momento, es que la tecnología es

un costo y, normalmente, está subutilizada.

b) Existe la necesidad de contar con un talento humano que realice las adaptaciones

tecnológicas al ámbito educativo, que pueda hacer las evaluaciones del impacto que

tiene el uso de la tecnología en estos espacios. Hasta el momento, esta oferta laboral

no resulta atractiva para las nuevas generaciones de profesionales que tienen las

competencias para ello.

c) Es preciso contar con leyes y normativas más flexibles que les permitan a las

organizaciones de educación universitaria responder de manera más efectiva a las

demandas sociales. Aunado a ello, es necesario abrir espacios de discusión e

incorporar los nuevos paradigmas, enfoques y teorías de aprendizaje asociados al

uso de las tecnologías como forma de producción y validación académica.

d) Existe la necesidad de formar nuevos profesionales con perfiles laborales

actualizados, lo cual demanda nuevos diseños curriculares y docentes con otra

formación más allá de las disciplinas básicas.

Evidentemente, cada uno de nosotros tendrá su propia respuesta a esta pregunta un

tanto incómoda.

REFERENCIAS

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109

FORO


110


111

APORTES DE LA LÍNEA DE INVESTIGACIÓN “PERSPECTIVAS DEL

ENFOQUE SEMIÓTICO ANTROPOLÓGICO” A LA EDUCACIÓN

MATEMÁTICA EN VENEZUELA


[email protected]

Universidad Pedagógica Experimental Libertador-Maracay-Venezuela

Núcleo de Investigación en Educación Matemática “Dr, Emilio Medina” (NIEM)

RESUMEN

El desarrollo de la Educación Matemática en Venezuela es evidenciado por la




Rojas (2003 adheridas al Núcleo de Investigación en Educación Matemática “Dr. Emilio

Medina” de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador sede Maracay. Esta

ponencia tiene como propósito fundamental dar a conocer a la Comunidad Educadores

matemáticos de la región los productos investigativos que se han generado hasta el

momento y los que actualmente están en desarrollo, realizados bajo el enfoque

ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática (Godino, 2003). Intitulada

“Aportes de la línea de investigación perspectivas del enfoque semiótico antropológico a la

Educación Matemática en Venezuela”, línea, que se sustenta en los sustentos del enfoque

semiótico antropológico para la Didáctica de la Matemática, y que actualmente se conoce

con el nombre de enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática,

registrada en la coordinación general de investigación de la UPEL-Maracay, y propuesta

por Arrieche (2003).

Palabras clave: Educación Matemática, disciplina científica, enfoque ontosemiótico,

Educador matemático.

INTRODUCCIÓN

La Educación Matemática en Venezuela se encuentra en pleno proceso de desarrollo

y de consolidación como disciplina científica, el cual ha sido impulsado por la

conformación de Asociaciones, tanto a nivel regional como nacional, integradas por todos

los profesionales que laboran en la enseñanza de la Matemática de los diferentes niveles del

Sistema Educativo y que se encargan de organizar, coordinar y realizar Simposios,

Congresos, Jornadas y toda clase de eventos correspondientes a esta ciencia;

constituyéndose estos últimos en escenarios propicios para divulgar y valorar la



112




Rojas (2003 adheridas al Núcleo de Investigación en Educación Matemática “Dr. Emilio

Medina” de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador sede Maracay. Esta

conferencia tiene como propósito fundamental dar a conocer a la Comunidad de

Educadores matemáticos de Latinoamérica los productos investigativos que se han

generado hasta el momento, y los que actualmente están en desarrollo, realizados bajo el

enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática (Godino, 2003);Intitulada

“Aportes del enfoque ontosemiótico a la Educación Matemática en Venezuela”, enfoque,

en cuyos fundamentos teóricos se sustenta la Línea de investigación perspectivas del

enfoque semiótico antropológico para la Didáctica de la Matemática, y que actualmente se

conoce con el nombre de enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática,

registrada en la coordinación general de investigación de la UPEL-Maracay, y propuesta

por Arrieche (2003). El trabajo se realizó tomando como base la descripción de la línea de

investigación en referencia y sus productos investigativos.

Cabe destacar que en este trabajo destacaremos más los aportes dados a los

postgrados, existentes en el país, relacionados con la Educación matemática en cuanto a

trabajos de grado de especialización, maestría y tesis doctorales.

DESCRIPCIÓN DE LA LÍNEA DE INVESTIGACIÓN: PERSPECTIVAS DEL

ENFOQUE SEMIÓTICO ANTROPOLÓGICO PARA LA DIDÁCTICA DE LA

MATEMÁTICA (LIPESA)

La línea de investigación (LIPESA) que proponemos se centra en el área de

conocimiento Didáctica de la Matemática, considerada ésta como el campo más general de

la Educación Matemática, y una de sus principales finalidades es identificar y resolver los

problemas que surgen en la enseñanza, el aprendizaje y la comunicación de conocimientos

matemáticos para optimizar los procesos correspondientes.

Consideramos que la investigación en Didáctica de la Matemática debe afrontar el

problema del análisis de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en


113

toda su complejidad, situados en el seno de los sistemas didácticos. Aunque una

investigación particular tenga que centrarse en aspectos específicos (análisis

epistemológico y/o cognitivo de un concepto, o un reducido campo de problemas), no se

debe perder de vista la perspectiva sistémica, y tratar de desarrollar modelos teóricos que

articulen las facetas epistemológica, cognitiva Experimental Libertador e instruccional.

La solución de problemas de investigación en Didáctica de la Matemática (y en

cualquier otra área de conocimiento), con criterios de calidad científica, precisa realizar un

trabajo sistemático y disciplinado que garantice la validez y fiabilidad de las afirmaciones

pretendidas, es decir, debe estar guiada por una metodología adecuada de investigación y

por instrumentos teóricos adaptados a las peculiaridades de la investigación requerida. En

tal sentido, en esta línea de investigación se pretende analizar las relaciones entre teoría,

problemas y métodos de investigación en Didáctica de la Matemática, particularizada en el

caso del enfoque que Godino y Batanero (1994) denominan “semiótico-antropológico” en

Didáctica de la matemática en el que vienen trabajando desde 1993 en el seno del grupo de

investigación “Teoría y Métodos de investigación en Educación Matemática” de la

Universidad de Granada-España y que actualmente se conoce con el nombre de enfoque

ontosemiótico (EOS) de la cognición e instrucción Matemática (Godino, 2003, Godino,

Contreras y Font, 2006). (Véase la página Web:

http://www.ugr.es/local/jgodino/semioesp/indices.htm).

Con la expresión “enfoque semiótico-antropológico” se describe el modelo teórico para

la Didáctica de la Matemática que adopta la noción de significado como clave para analizar

la actividad matemática y los procesos del conocimiento matemático. No se trata de un

modelo teórico acabado sino de un sistema de nociones en proceso de elaboración y

desarrollo cuya idea impulsora consiste en tratar de articular dentro de un sistema

coherente las dimensiones epistemológicas, cognitivas e instruccionales puestas en juego en

la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, adoptando nociones semióticas como

enfoque integrador.

Entre las nociones teóricas adoptadas que usaremos en el estudio de las tres

dimensiones mencionadas, propuestas en este modelo para el análisis didáctico, están las

de "significado institucional y personal de un objeto matemático" (Godino y Batanero,

1994). Tales significados se conciben como los sistemas de prácticas (operativas y


114

discursivas) realizadas por una persona (o en el seno de una institución) para resolver un

campo de problemas matemáticos. En el análisis de los significados institucionales de un

objeto matemático interesa distinguir cuatro tipos: de referencia, pretendido, implementado

y evaluado (Godino, 2003, p.138).

Significado de referencia: Es lo que representa el objeto para las instituciones

matemáticas y didácticas. Son las prácticas operativas y discursivas inherentes al objeto

matemático que se fija como objeto institucional y que es el producto de las orientaciones

de los expertos y del análisis de los currículos.

Significado pretendido: Es el sistema de prácticas que se planifican sobre un objeto

matemático para un cierto proceso de instrucción.

Significado implementado: Es el sistema de prácticas (operativas y discursivas) que

efectivamente tiene lugar en la clase de matemática, las cuales servirán de referencia

inmediata para el estudio de los alumnos y las evaluaciones de los aprendizajes.

Significado institucional evaluado: Son las tareas o cuestiones que incluyen las pruebas de

evaluación y pautas de observaciones de los aprendizajes.

En cuanto al significado personal (el del estudiante) es posible hablar de significado

global, declarado y logrado (Godino, 2003, p.139).

Significado global: Es la totalidad del sistema de prácticas personales que es capaz de

manifestar potencialmente el alumno para resolver un campo de problemas.

Significado declarado: Da cuenta de las prácticas efectivamente expresadas a propósito de

las pruebas de evaluación propuestas, incluyendo los aciertos y los desaciertos desde la

perspectiva institucional.

Significado personal logrado: Se corresponde con las prácticas manifestadas y que son

conformes con la pauta institucional establecida. El significado declarado en desacuerdo

con el establecido institucionalmente es lo que usualmente se denominan errores de

aprendizaje.

Los sistemas de prácticas que una institución considera apropiados para resolver

un tipo de tareas son denominados por Chevallard, Bosch y Gascón (1997) una

praxeología matemática, noción que podemos asimilar con la que Godino y Batanero

denominan "significado institucional de un objeto matemático". La interpretación de las

praxeologías como significados de los objetos matemáticos (teorías, contenidos u


115

organizaciones matemáticas) supone la adopción de una epistemología de tipo pragmatista

y relativista (en consonancia con la filosofía de las matemáticas de Wittgenstein). Estas

entidades se conciben como sistemas formados por distintos elementos agrupables en dos

categorías:

(a) Dimensión praxémica (praxis), formada por el campo de problemas, las técnicas

(operaciones, procedimientos) y los elementos notacionales o lingüísticos puestos en

juego.

(b) Dimensión discursiva (logos), formada por los conceptos, propiedades y

argumentaciones que regulan, organizan y estructuran los componentes praxémicos.

La noción de praxeología nos proporciona una herramienta potente para analizar la

variedad de significados atribuidos a un contenido matemático cualquiera. Para

seleccionar los aspectos de dicho contenido viables en un nivel y contexto educativo es

necesario disponer de las diversas posibilidades e identificar sus elementos constituyentes,

así como tener en cuenta las relaciones ecológicas entre los objetos matemáticos

involucrados (Godino, 1993).

Por otra parte, para describir y explicar los logros y dificultades de los estudiantes

tenemos que analizar con suficiente detalle el proceso de estudio, los patrones de

interacción docente-discente a lo largo del proceso, así como la trama compleja de objetos

matemáticos y relaciones que constituyen el conocimiento pretendido. Con dicho fin las

nociones de "praxeología didáctica" y "función semiótica" pueden ser herramientas

conceptuales útiles.

La noción de praxeología didáctica (Chevallard, 1997) se corresponde con la de

praxeología matemática, pero en este caso el componente praxémico se refiere a las tareas

del profesor y del alumno, las técnicas de estudio, y de ayuda al estudio. Para el profesor,

en el momento de la planificación de la enseñanza, se trata de diseñar una praxeología

matemática viable y en el momento de realización de la instrucción se trata de decidir y

aplicar las técnicas de ayuda al estudio mejor adaptadas.

Un aspecto integrante de la praxeología didáctica es la distribución en el tiempo de

las diversas funciones docentes y discentes en conjunción con los distintos componentes

de las praxeologías matemáticas. Se necesita describir el diálogo efectivamente ocurrido

entre profesor y estudiante a propósito de cada componente del saber matemático, o prever


116

posibles alternativas para tales diálogos e interacciones. Los distintos elementos que

componen la praxeología matemática escolar deberán ser abordados por el docente y

discente de acuerdo con patrones de interacción definidos distribuidos en el tiempo, lo que

constituye una trayectoria didáctica.

Cabe destacar que la noción de función semiótica pretende tener en cuenta la

naturaleza esencialmente relacional de la actividad matemática y de los procesos de

difusión del conocimiento matemático. Se dice que se establece una función semiótica

entre dos entidades (ostensivas o no ostensivas) cuando entre ambas se establece una

dependencia representacional o instrumental, esto es, una de ellas se "pone en lugar de la

otra", o una de ellas "es usada por la otra". Esta noción permite formular en términos

semióticos, y de una manera general y flexible el conocimiento matemático y explicar en

términos de conflictos semióticos las dificultades y errores de los estudiantes.

Por otra parte, en consonancia con el interaccionismo simbólico, el modelo teórico

que se propone para la Didáctica de la Matemática, considera como objeto o entidad

matemática "todo aquello que puede ser indicado, todo lo que puede señalarse o a lo cual

puede hacerse referencia, cuando hacemos, comunicamos o aprendemos matemáticas"

(Godino, 2001, p.6). Para analizar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las

matemáticas se considera necesario explicitar los distintos tipos de objetos mediante los

cuales describir la actividad matemática y los productos resultantes de la misma.

En el trabajo citado, Godino, propone los siguientes tipos de entidades:

1) Lenguaje (términos, expresiones, notaciones, gráficos). En un texto vienen dados en

forma escrita o gráfica pero en el trabajo matemático pueden usarse otros registros

(oral, gestual). Mediante el lenguaje (ordinario y específico matemático) se describen

otros objetos no lingüísticos.

2) Situaciones (problemas más o menos abiertos, aplicaciones extra matemáticas o intra

matemáticas, ejercicios); son las tareas que inducen la actividad matemática.

3) Acciones del sujeto ante las tareas matemáticas (operaciones, algoritmos, técnicas de

cálculo, procedimientos).

4) Conceptos, dados mediante definiciones o descripciones (número, punto, recta, media,

función)

5) Propiedades o atributos de los objetos mencionados, que suelen darse como enunciados


117

o proposiciones.

6) Argumentaciones que se usan para validar y explicar las proposiciones (sean deductivas

o de otro tipo).

Estos seis tipos de objetos, que podemos calificar de matemáticos porque se ponen

en juego en la actividad matemática, son los constituyentes primarios de otros objetos más

complejos u organizaciones matemáticas, como los sistemas conceptuales, teorías, etc.

Las entidades lingüísticas tienen un papel representacional – se ponen en lugar de

las restantes- y también instrumental, o sea deben contemplarse además como instrumentos

de la actividad matemática. Aunque mucha actividad matemática es mental, poco

podríamos avanzar en el trabajo matemático si no tuviéramos el recurso de la escritura, la

palabra y los restantes registros materiales.

Las situaciones-problemas matemáticos son las promotoras y contextualizadoras de la

actividad matemática, y junto con las acciones (algoritmos, operaciones, procedimientos)

constituyen el componente práctico de las matemáticas, la acción dirigida a un fin. Parece

apropiado describir a estos dos componentes (situaciones-problemas y acciones) como

praxis según propone Chevallard (1997).

Los otros tres componentes (conceptos-definiciones, proposiciones, argumentaciones)

desempeñan un papel normativo en las matemáticas. Son el resultado de una actividad

reflexiva y regulativa de la praxis; conjuntamente se pueden describir como los

componentes teóricos o discursivos (logos).

Este agrupamiento de las entidades matemáticas en praxis y logos no quiere decir que

entre dichos componentes no existan relaciones de interdependencia. El lenguaje está

presente de manera intrínseca y constitutiva tanto en la praxis como en el logos; el logos

encuentra su razón de ser en la praxis y ésta se desarrolla y rige por el logos.

Las entidades matemáticas, según el juego de lenguaje en que participan, pueden ser

consideradas desde las siguientes facetas o dimensiones duales (Godino, 2001):

1 personal - institucional

2 ostensiva - no ostensiva

3 concreta – abstracta

4 elemental - sistémica

5 expresión - contenido


118

En el EOS se define trayectoria muestral como la que describe la secuencia

particular de cada función que ha tenido lugar en el tiempo y especifica seis de estas

funciones (Godino, 2003, pp.180 -181):

Trayectoria epistémica es la distribución a lo largo del tiempo de enseñanza de los

componentes del significado institucional implementados. Estos componentes se refieren a

problemas, acciones, lenguaje, definiciones, propiedades y argumentos se van sucediendo

en cierto orden en el proceso de instrucción.

Trayectoria docente es la distribución en el tiempo de instrucción de las funciones, tareas y

acciones correspondientes al docente.

Trayectoria discente es la distribución de las funciones y acciones que desempeñan los

estudiantes (una para cada estudiante).

Trayectoria mediacional representa la distribución de los recursos tecnológicos usados

durante la instrucción, tales como: libros, apuntes, manipulativos, software, etc.

Trayectoria cognitiva es la cronogénesis de los significados personales de los estudiantes.

Trayectoria emocional es la distribución temporal de los estados emocionales, valores,

afectos y sentimientos de cada alumno con relación a los objetos matemáticos y el proceso

seguido.

Cada una de estas trayectorias es una realización de un proceso estocástico, puesto

que el proceso de instrucción tiene característica no determinista. Estas trayectorias una vez

implementadas, pueden ser valoradas en su idoneidad1 didáctica mediante los criterios que

presentan Godino, Contreras y Font (2006) y que seguidamente presentamos.

Idoneidad epistémica: Es el grado de representatividad de los significados institucionales

implementados durante un proceso de enseñanza y aprendizaje, respecto a los significados

de referencia.

Idoneidad cognitiva: Con ella se valora en qué medida los significados implementados

están en la zona de desarrollo potencial de los estudiantes (Vygostski, 1934) , así también

1 Según el diccionario de la RAE, idóneo, quiere decir adecuado y apropiado para algo. En este caso se

refiere al grado en que un proceso de estudio matemático (o una parte del mismo) permite el logro de los fines

pretendidos.


119

valora el grado de cercanía de los significados personales alcanzados por los estudiantes de

acuerdo a los pretendidos o implementados.

Idoneidad interaccional: Valora el grado en que las congráficociones y trayectorias

didácticas permiten: a) Determinar posibles conflictos semióticos y b) resolver los

conflictos que se presentan durante el proceso de enseñanza y aprendizaje, con la aplicación

de la negociación de significados. Idoneidad mediacional: Con este criterio se valora la

disponibilidad y adecuación de recursos materiales y temporales fundamentales para el

desarrollo del proceso de instrucción y cognición.

Idoneidad emocional: Este criterio sirve para valorar el interés y motivación del alumnado

por el proceso de estudio y los objetos matemáticos puestos en juego.

Idoneidad ecológica: El grado de adaptación que tiene el proceso de estudio al proyecto

educativo de la universidad, las orientaciones curriculares, las condiciones del entorno

social, etc.

Desde el punto vista metodológico, en las investigaciones desarrolladas dentro del

enfoque semiótico-antropológico se deben combinar diversos métodos y técnicas según

las distintas facetas de la investigación, dependiendo del problema abordado en las

mismas. Al igual que cada problema (o campos de problemas) matemático requiere sus

conceptos y técnicas específicas para su solución, se considera emplear en cada caso los

enfoques y técnicas de recogida y análisis de datos pertinentes al problema didáctico

planteado. En consecuencia, se debe combinar el estudio documental en la componente

epistemológica con diversas técnicas y enfoques en las partes experimentales, tanto

cognitivas como instruccionales. En el estudio de la evolución de los significados

personales de los estudiantes como consecuencia de un proceso instruccional se puede

utilizar el método experimental y cuasi-experimental, donde el control de variables, el

tamaño de las muestras y su representatividad deben conferir una gran potencia y

fiabilidad a los resultados del análisis estadístico de los datos. Por otro lado, y puesto que

este enfoque nos indica las tendencias existentes en la población, pero no muestra toda la

riqueza de la variabilidad individual, se debe completar el estudio mediante técnicas de

tipo cualitativo. Particularmente, el estudio de casos nos permite mostrar la consistencia

de los significados personales sobre los objetos puestos en juego. Asimismo, la

observación y registro de los episodios instruccionales muestra la complejidad semiótica


120

de los procesos elementales de estudio de las matemáticas.

La línea de investigación Perspectiva del Enfoque Semiótico-antropológico para la

Didáctica de la Matemática (LIPESA) nos permite implementar un método denominado

“análisis semiótico” (Arrieche, 2002) como herramienta para interpretar los significados de

un objeto matemático, que puede aportar explicaciones para las dificultades de los procesos

de estudio de dicho objeto basadas en la complejidad semiótica de las tareas demandadas y

la negociación de tales significados. Este tipo de análisis puede ser útil para describir

procesos de comunicación e interpretación del conocimiento matemático en el seno de los

sistemas didácticos, así como identificar factores condicionantes de los mismos.

OBJETIVOS GENERALES DE LA LÍNEA

Teniendo presente el Sistema de Referencia antes esbozado esta Línea se propone

impulsar estudios que permitan:

(1) Caracterizar los distintos significados institucionales asociados a un contenido

matemático e identificar criterios de diseño de praxeologías matemáticas en cualquiera

de los contextos y niveles educativos existentes en el país (dimensión epistémica).

(2) Caracterizar las distintas praxeologías didácticas relativas a los significados

institucionales de pretendidos e identificar criterios de diseño y optimización de tales

praxeologías en cualquiera de los contextos y niveles educativos existentes en el país

(dimensión instruccional).

(3) Caracterizar los significados personales de los estudiantes relativos a los distintos

elementos de los significados institucionales implementados en cualquiera de los

contextos y niveles educativos existentes en el país y su explicación en términos de los

significados de referencia y las praxeologías didácticas puestas en juego en el proceso

de estudio (dimensión cognitiva).

(4) La utilización de la técnica de análisis semiótico para caracterizar los significados

sistémicos (o praxeológicos) y elementales puestos en juego en el proceso de estudio de

un tema matemático en cualquiera de los niveles educativos existentes en el país.

(5) Evaluar los procesos de enseñanza y aprendizaje de los diferentes contenidos

matemáticos que conforman los programas de matemática en los niveles educativos


121

existente del Sistema Educativo Venezolano, mediante los criterios de Idoneidad

didáctica del EOS.

(6) Elaborar y difundir documentos de orientación para la enseñanza y aprendizaje de la

Matemática.

(7) Contribuir al desarrollo teórico y metodológico del campo de la Educación Matemática

con productos sólidos y reconocidos a nivel nacional e internacional.

PRODUCTOS INVESTIGATIVOS DE LA LINEA DE INVESTIGACIÓN LIPESA

En este apartado haremos referencia a los trabajos de grado de especialización,

maestría y tesis doctorales, concluidos y en proceso, insertados en la línea de investigación

referida y desarrollados en el marco del enfoque ontosemiótico.

Trabajos concluidos

Año Título de trabajo Autor(Tutor)

2002

La teoría de conjuntos en la formación de maestros: Facetas y

factores condicionantes del estudio de una teoría matemática.

Tesis doctoral,

Mario Arrieche

(Juan Díaz Godino)

2004

Significados personales de las fracciones en estudiantes del

primer año de ciencias en estudiantes del Liceo Nacional José

Félix Ribas del Municipio Ribas, proyecto de investigación de

quinto año de secundaria,

Mary Arrieche

(Mario Arrieche)

2005

El papel de la aritmética en la formación matemática de los

estudiantes en la Educación Básica

Trabajo de grado de Maestría,

Marcos Mayma

(Mario Arrieche)

La resolución de problemas como herramienta de diagnóstico

del proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática en

Educación diversificada y profesional,


(Mario Arrieche)

Los vectores del plano en la formación matemática de los

estudiantes de Educación Básica.


Silvia Briceño,

2006

Significados personales de los números enteros en la

Educación Básica, Trabajo de grado de Maestría

Ely Quintana.

(Mario Arrieche)

EL uso de los sistemas dinámicos en el proceso de enseñanza

y aprendizaje de las transformaciones del plano.


Lucía Díaz (Mario

Arrieche)

Significados institucionales de las funciones en Educación Orlando Mendoza


122

Básica. Trabajo de grado de Maestría, (Mario Arrieche)

Significados institucionales de la parábola,


Yovana Urdaneta

(Mario Arrieche)

Análisis de la evaluación del proceso de enseñanza y

aprendizaje de la Educación Bäsica


Yaleni Contreras

(Mario Arrieche)

2007

Análisis cognitivo y didáctico de los polinomios en la

Educación Básica.

Trabajo de grado de Maestría.

Jesús Alvarez

(Mario Arrieche

Significados personales de las funciones en Educación Básica.


Jenny Romero

(Mario Arrieche)

Significados institucionales de las gráficos planas en la

Educación Básica.

Trabajo de Trabajo de grado de Maestría.

Mary Carmen

Navas (Mario

Arrieche)

Significados personales de los números naturales en

Educación Básica.


Anihányela Benítez

(Mario Arrieche)

2008

Significados personales de las ecuaciones de primer grado con

una incógnita en la Educación Básica.


Ada Aponte (Mario

Arrieche)

La integral en la formación del técnico superior universitario.

Dimensiones presentes en los procesos de enseñanza y

aprendizaje.

Tesis doctoral.

Luis Capace (Mario

Arrieche)

Significados institucionales de geometría del triangulo en la

formación inicial de profesores de matemática.

Trabajo de ascenso,

Belén Arrieche

(Mario Arrieche)

Significados personales de la ecuación de segundo grado en la

formación inicial de profesores de matemática.


Angélica Martínez

(Mario Arrieche)

Significados personales del conjunto de los números naturales

en la Educación Básica.


Lorena Carruido

(Mario Arrieche)

Significado Institucional referencial de la factorización de

polinomios en la Educación Básica.


Ángel Alcocer

(Mario Arrieche)

Análisis de un proceso de estudio sobre la elipse mediante los

criterios de idoneidad didáctica. Trabajo de grado de

Maestría,

Yarítza Pérez

(Mario Arrieche)

Significados de personales del límite de una función en la

formación de profesores de química


César García

(Mario Arrieche)

Criterio de la idoneidad epistémica de la función afín en

Educación Básica.


Ángela Chiavorolli

(Mario Arrieche)

La hoja de cálculo electrónica y su idoneidad motivacional en Wendy Mendoza


123

el aprendizaje de la estadística.


(Mario Arrieche)

El proceso de instrucción estadística en docentes de

educación integral mediante el criterio de la idoneidad

mediacional.


Marlene Alvarenga

(Mario Arrieche)

Transición del pensamiento aritmético al algebraico en

séptimo grado de Educación Básica,


Heidi Castillo

(Mario Arrieche)

Significados institucionales de las fracciones en sexto grado

de Educación Básica,

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Anyela Florez

(Mario Arrieche)

2010

Significados personales de las funciones en la formación de

Licenciados en Educación Matemática.

Trabajo de grado de Especialización.

Leonard Sánchez

(Mario Arrieche

2012

Significados institucionales de los Polinomios en segundo de

Educación media general.


Dorenis Mota

(Mario Arrieche)

Trabajos en proceso

Año Título de trabajo Autor(Tutor)

2011

Evaluación de un proceso de estudio sobre la integral de

línea mediante los criterios de Idoneidad didáctica.

Proyecto de Tesis doctoral.

Hengleend Rincón

(Mario Arrieche)

Significado institucional referencial de las inecuaciones

en la Educación media general.

Proyecto de grado de Maestría.

Víctor Sosa (Mario

Arrieche)

Significados institucionales de los números complejos

en cuarto año de Educación media general.


Pedro Oca (Mario

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Análisis de un proceso de estudio sobre las funciones

mediante los criterios de Idoneidad didáctica.


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Arrieche)

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Significados institucionales y personales de los objetos

matemáticos puestos en juego en los procesos de

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Proyecto Macro, financiado por FONACIT,

Coordinado por DR.

Mario Arrieche.

Análisis semiótico y didáctico de un proceso de estudio

sobre las razones razones trigonométricas,

Proyecto de grado de Maestría,

Fernando Tesorero

(Mario Arrieche)

Evolución histórica del conjunto de los números Mary Arrieche (Luis


124

naturales como aporte didáctico y epistemológico a la

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Capace)

Significados institucionales de la ecuación de segundo

grado en segundo año de Educación media general.


Mary Núñez (Belén

Arrieche)

Análisis de un proceso de estudio sobre el conjunto de

los números enteros mediante los criterios de Idoneidad

didáctica,


Yraima Ramos (Mario

Arrieche)

Análisis de un proceso de estudio sobre la

circunferencia mediante los criterios de Idoneidad

didáctica,


Erica Valera (Angélica

Martínez)

Congráficociones cognitivas de los estudiantes de

Educación media general en torno a las ecuaciones

logarítmicas,

Trabajo de grado de Maestría

Luis Leonardo Aular

(Angélica Martínez)

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de la UPEL-Maracay.


126

PERSPECTIVAS DE LA INVESTIGACIÓN EN EDUCACIÓN ESTADÍSTICA

Julia Elena Sanoja

[email protected]

UPEL Maracay – CEINEM-NT

RESUMEN

La Enseñanza de la Estadística es objeto de estudio de diversas investigaciones en

distintos países, debido a su importancia, ampliamente reconocida, en la formación general

del ciudadano. En este orden de ideas, Batanero (2000) expresa que “La estadística ha

jugado un papel primordial en el desarrollo de la sociedad moderna, al proporcionar

herramientas metodológicas generales para analizar la variabilidad, determinar relaciones

entre variables, diseñar en forma óptima estudios y experimentos y mejorar las predicciones

y toma de decisiones en situaciones de incertidumbre”. Sin embargo, en Venezuela, es un

campo poco explorado y con grandes necesidades en la formación didáctica de los

profesores que imparten dichos contenidos, en la formación de profesionales y usuarios de

la estadística, en el desarrollo de una alfabetización estadística en el ciudadano, así como el

empleo de tecnología así como la modelización en los procesos de enseñanza y aprendizaje.

Es por ello que esta línea de investigación busca investigar acerca de: (1) Situación actual

de la enseñanza de la estadística los diferentes niveles del sector educativo; (2) Las

prácticas actuales en formación inicial de profesores respecto a la enseñanza de la

estadística; (3) Inserción de la tecnología en la educación estadística; (4) la modelización en

la educación estadística; (5) Desarrollo del Pensamiento estadístico; (5) la formación de

profesores en ejercicio en educación estadística.

Palabras clave: Educación estadística, alfabetización estadística, investigación, tecnología

DESCRIPCIÓN GENÉRICA DE LA LÍNEA

La dinámica del mundo actual y la sociedad tecnológica en que vivimos, le exige al

ciudadano tener la capacidad de leer, analizar e interpretar información de diversa índole:

económica, política, deportiva, educativa, entre otras. Es la Estadística la que le provee

estas competencias, esto hace que sea una materia necesaria en la formación del ciudadano;

tal como expresa Batanero (2002) “la Estadística se considera hoy día como parte de la

herencia cultural necesaria para el ciudadano educado” (p. 2).

En esta orden de ideas, Cockcroft (1985) asegura que la estadística es una materia

cultural imprescindible en la formación del individuo. Por otra parte, Ottaviani (1999)

manifiesta que los estadísticos sienten la necesidad de difundir el conocimiento estadístico

no sólo como un conjunto de técnicas cuantitativas, sino también como cultura que


127

proporciona la capacidad de abstracción que hace posible extraer información de conjunto

de datos.

Es así como vemos que la enseñanza de la Estadística está presente en los curricula de

todos los niveles del sector educativo, desde el Pre-escolar hasta la Educación Superior.

Batanero (2002), Garfield y Ahlgren (1998), León (1998) y Sanoja (2007), señalan que la

Estadística está incorporada, en forma generalizada, en los diferentes niveles educativos,

debido a su carácter instrumental; además por el valor en el desarrollo del pensamiento y

razonamiento estadístico, en una sociedad caracterizada por la disponibilidad de

información y la necesidad de analizarla y tomar decisiones ante tanta incertidumbre. No

escapa a este hecho la educación venezolana, donde en todos los niveles del sector

educativo se ha incluido la Estadística, específicamente desde 1980 se incluye como tema

dentro del programa de matemática en toda la escuela primaria y el bachillerato, y en

educación superior existe en las diferentes carreras uno o más cursos de Estadística.

Al respecto Holmes (2002) justifica las razones de la necesidad de la enseñanza de la

estadística desde el nivel de primaria:

La estadística es una parte de la educación general deseable para los futuros

ciudadanos adultos, quienes precisan adquirir la capacidad de lectura e

interpretación de tablas y gráficos estadísticos que con frecuencia aparecen en los

medios informativos.

Es útil para la vida posterior, ya que en muchas profesiones se precisan unos

conocimientos básicos del tema.

Su estudio ayuda al desarrollo personal, fomentando un razonamiento crítico,

basado en la valoración de la evidencia objetiva.

Ayuda a comprender los restantes temas del currículo, tanto de la educación

obligatoria como posterior, donde con frecuencia aparecen gráficos, resúmenes o

conceptos estadísticos.

Sin embargo la enseñanza de la estadística no debe ser vista como una mera

transmisión de técnicas, fórmulas, conocimiento, sino un medio para el mejor

entendimiento del hombre, de sus realidades y de su interrelación. Por su parte, Da Ponte

(2008) expresa que para enseñar Estadística es necesario saber de Estadística, esto es

conocer los elementos esenciales del pensamiento estadístico, incluyendo la formulación de


128

preguntas, recolección de los datos, análisis de los datos e interpretación de resultados,

apropiados al contexto en que se enseña. Al respecto, Wild y Pfannkuch (1998) expresan:

“pensamiento estadístico es la encarnación del sentido común. Nosotros lo reconocemos en

cuanto lo vemos, o tal vez verdaderamente, su ausencia es a menudo claramente obvia. Con

frecuencia se utiliza en oposición a la aplicación mecánica de las técnicas estadísticas. (p.

335). Sin duda en la enseñanza de la estadística es necesario que el profesor modele el

pensamiento estadístico para este sea desarrollado por el estudiante.

Garfield y Ben-Zvi (2008) expresan que el pensamiento estadístico “incluye el saber

cómo y porqué utilizar un determinado método, medida, diseño o modelo estadístico, la

comprensión profunda de las teorías que explican los procesos y métodos estadísticos, así

como comprender las restricciones de las Estadísticas y al inferencia Estadística” (p. 34).

Esto muestra la necesidad de una enseñanza de la estadística considerando los componentes

fundamentales que sustentan del pensamiento estadístico, definidos por Wild y Pfannkuch

(1997, p. 276): (1) Reconocer la necesidad de los datos; (2) Transnumeración; (3)

Consideración de la variación; (4) Razonamiento con modelos estadísticos; y (5)

Integración de la Estadística y el contexto; debido a que en una sociedad inundada de datos,

se requiere de diferentes formas de pensar, necesarias para explorar y analizar de manera

efectiva los datos.

Por otro lado, la alfabetización estadística ayuda al desarrollo personal, fomentando un

razonamiento crítico, basado en la valoración de la evidencia objetiva; debemos ser capaces

de interactuar en un mundo de información cargado de incertidumbre, que requiere

capacidades para leer y producir información cuantitativa sea esta gráfica o simbólica; esto

hace que nos apropiemos de la filosofía del pensamiento estadístico por ser un proceso de

pensamiento que permite cuantificar y controlar la variación presente en los datos, así como

la comprensión e interpretación objetiva de fenómenos o hechos de la vida. Al respecto,

Gal (2002) caracteriza la alfabetización estadística como la capacidad de interpretar,

evaluar críticamente y comunicarse sobre la información estadística.

Por todo ello, vemos como la Enseñanza de la Estadística es objeto de estudio de

diversas investigaciones en distintos países, (Allen, 2003; Álvarez y Valecillos, 2001;

Bakker, 2004; Barile, 2005; Gil, 1999; Kendall, 1968; McLean, 2001; Moore, 1997;

O´Brien, 2006) debido a la necesidad que el ciudadano adquiera una alfabetización


129

estadística. Siendo la alfabetización estadística una competencia necesaria que está muy

relacionada con la sociedad tecnológica de hoy día. Batanero (2000) expresa que “La

estadística ha jugado un papel primordial en el desarrollo de la sociedad moderna, al

proporcionar herramientas metodológicas generales para analizar la variabilidad,

determinar relaciones entre variables, diseñar en forma óptima estudios y experimentos y

mejorar las predicciones y toma de decisiones en situaciones de incertidumbre”.

Para Batanero (2001) gran parte de la actividad estadística puede ser descrita como

proceso de modelización. Por ende, para la enseñanza de la estadística la modelización

matemática podría contribuir a comprender con más profundidad los conceptos estadísticos,

a comprender mejor el mundo a nuestro alrededor. En este sentido, García y Ortiz (2007)

nos indican que “la modelización contribuye al estudio de situaciones del mundo físico,

natural y social, mediante la elaboración de modelos”. Su aplicación como estrategia de

enseñanza y aprendizaje es cada día más empleada por los educadores matemáticos por ser

un instrumento de aprendizaje significativo. Diferentes trabajos de investigación en

Educación Estadística, tales como los presentados por Küchenhoff (2008), Lesh, Caylor y

Gupta (2007), Konold, Harradine y Kazak (2007), Maxara y Biehler (2006) y O´Brien

(2006) entre otros, centran su atención en la modelización matemática como una estrategia

de enseñanza y aprendizaje.

La construcción de modelos, su comparación con la realidad, su perfeccionamiento

progresivo intervienen en cada fase de la resolución de problemas estadísticos, no sólo en el

análisis de datos en situaciones prácticas, sino también en el trabajo de desarrollo teórico.

Al respecto Konold, Harradine y Kazak (2007) y Batanero (2001) manifiestan que un

ejemplo notable de modelización estadística a partir de un problema práctico son las

distribuciones de probabilidad, que permiten describir de forma sintética el comportamiento

de las distribuciones empíricas de datos estadísticos y hacer predicciones sobre su

comportamiento. Por consiguiente, la modelización forma parte inseparable de la actividad

estadística. Al respecto McLean (2001), indica que la modelización juega un papel muy

importante en el pensamiento estadístico.

Por su parte, Moore (1997) considera que la enseñanza de la estadística no debe estar

aislada de un ambiente tecnológico, este permitirá alcanzar las capacidades de

comunicación, tratamiento de la información, resolución de problemas; "La Estadística


130

combinan la actividad en un entorno computacional significativo con el ejercicio de su

juicio en la elección de métodos y la interpretación de los resultados" (Moore, 1997, p.96).

La tecnología abre nuevas posibilidades educativas que relativizan la importancia de ciertas

destrezas muy arraigadas en la educación tradicional.

Para Chance, Ben-Zvi, Garfield y Medina (2008) “el impacto de la tecnología sobre la

práctica de estadística es irrefutable, así como ha sido poderoso el impacto de la tecnología

sobre la didáctica de la Estadística” (p. 3). Es por ello, que la tecnología da cabida a la

exploración de situaciones reales donde se manejan grandes conjuntos de datos y la

visualización de los efectos aleatorios en los mismos, así como permitir el descubrimiento

de situaciones tan complejas que con el uso del papel y lápiz serían muy tediosas, creando

así un nuevo ambiente de aprendizaje que ayuda al desarrollo del pensamiento estadístico.

Vale decir, que la inserción de la tecnología - como es el caso de las calculadoras

graficadoras y las hojas de cálculo - en las clases de estadística ayuda a los estudiantes en el

desarrollo de una comprensión más profunda y una conceptualización más rica. (Barile,

2005; Billotti, 1998; Kissane, 1998; Lipson, 1998 y Situmeang, 1998). Las TIC´s le

permiten al estudiante ahorrar tiempo en el cálculo matemático y disponer de un mayor

tiempo para el análisis de los resultados, la comprensión de los conceptos estadíst icos, así

como facilita la realización de las gráficas para conocer el comportamiento de los datos. En

virtud de ello, posibilita la realización de experimentos interactivos mediante simulaciones

y visualizaciones exploratorias de situaciones de la cotidianidad, que ayudan al estudiante a

conceptualizar la Estadística.

Al respecto, Garfield (1995) expresa que “el uso de las nuevas tecnologías en la

enseñanza de la estadística mejora la calidad de la enseñanza, motiva el proceso de

aprendizaje, entusiasma a los estudiantes a un aprendizaje en forma participativa y de

retroalimentación de su propia práctica, además proporciona un incentivo psicológico a los

estudiantes cuando tienen que trabajar mucho” (p. 3). Por lo que, el considerar la inserción

de las TIC´s en los procesos de enseñanza y aprendizaje conlleva a que se tome en cuenta

en cuenta el componente afectivo.

En este sentido, el concepto de actitud toma tanta importancia como el conocimiento en

sí de una materia específica, tal como lo señala Auzmendi (1992), “cualquier programa que

se proclame pedagógico debe considerar la educación de las actitudes, con su perspectiva


131

de futuro que contemple un conocimiento profundo de los factores socioculturales,

educativos y profesionales” (p. 48

Investigaciones como las de Batanero (2000), Ben-Zvi y Friedlander (2002), Bilotti-

Aliaga (2007) Estrada (2002) nos señalan la necesidad de considerar en la enseñanza de la

estadística elementos tales como:

La introducción de las TIC´S, para el manejo de la información.

El uso de las calculadoras graficadoras y Software estadístico, debido a que facilitan

la exploración, comprensión y análisis de los datos y de las propiedades de ciertas

medidas estadísticas.

El modelo de razonamiento estadístico de Wild y Pfannkuch, ha ser considerado

para el proceso de enseñanza-aprendizaje en la resolución de problemas de la

estadística y asociado de manera directa con la modelización.

El componente afectivo

Todas estas razones impulsan la investigación y el desarrollo curricular en el campo

especifico de la estadística. Es por ello que esta línea de investigación busca investigar

acerca de: (1) Situación actual de la enseñanza de la estadística los diferentes niveles del

sector educativo; (2) Las formación inicial y permanente de profesores de matemática y

educación integral, respecto a la enseñanza de la estadística Las prácticas actuales en

formación inicial de profesores respecto a la enseñanza de la estadística; (3) Inserción de la

tecnología en la educación estadística; (4) la modelización en la educación estadística; (5)

Desarrollo del Pensamiento estadístico; (6) la formación de profesores en ejercicio en

educación estadística

OBJETIVOS GENERALES DE LA LÍNEA

1. Realizar indagación respecto a la formación inicial y permanente del profesorado de

matemáticas y educación integral en la enseñanza de la estadística.

2. Desarrollar investigaciones que involucren el empleo de: calculadoras graficadoras, uso

de paquetes estadísticos y TIC`s en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la

estadística.


132

3. Estudiar las dificultades, obstáculos y errores que se dan en el aprendizaje de la

estadística.

4. Implementar propuestas didácticas basadas en el Modelo de Razonamiento Wild y

Pfannkuch y orientadas a la enseñanza y aprendizaje de la Estadística.

5. Implementar propuestas didácticas que involucren el empleo de las nuevas tecnologías

y orientadas a la enseñanza y aprendizaje de la Estadística.

6. Estudiar sobre la concepción, el cambio conceptual y los aspectos afectivos en el

aprendizaje de la estadística.

7. Elaborar y difundir documentos de orientación para la enseñanza y aprendizaje de la

Estadística

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137

PONENCIAS


138


139

TEOREMA DE THALES: UNA PROPUESTA DIDÁCTICA

Odalys Báez

[email protected]

Andrea González, Génesis Gudiño, Liliana Noguera

Martha Iglesias

[email protected]


RESUMEN


desarrollo del pensamiento lógico deductivo para la deducción y validación del

conocimiento matemático; además, se divide en áreas tales como: Aritmética, Álgebra,

Análisis, Estadística y Geometría; siendo ésta última la que permite establecer relaciones

espaciales con el entorno; cualidad que el docente puede aprovechar para acercar a sus

estudiantes con el saber matemático durante toda su formación académica, poniendo en

práctica estrategias didácticas que motiven a los estudiantes a construir y explorar gráficos

y cuerpos geométricos, identificar características invariantes en una construcción

geométrica, formular conjeturas y tratar de validarlas. Por ello, desde una perspectiva

investigativa, haciendo uso de la noción de análisis didáctico (Gómez y Rico, 2002;

Iglesias, 2008), se diseñó y desarrolló una propuesta didáctica, partiendo de la elaboración

de un mapa de enseñanza y aprendizaje sobre el Teorema de Thales y la identificación de

las habilidades asociadas a los niveles de razonamiento geométrico propuestos en el modelo

de Van Hiele, con el propósito de que los estudiantes (9no grado de Educación Básica)

reconozcan las definiciones implicadas en el Teorema de Thales y la aplicación del mismo

en la resolución de problemas. Esta propuesta integra la actividad Lúdica Educativa, la cual

estimula el aprendizaje a través de la alegría, el placer, el gozo, la satisfacción, logrando

captar la atención de los estudiantes y explotando sus habilidades; se usaron dos juegos:

Encuentra mi Pareja (tipo memoria) y Aceptando el Reto (tipo Rally). Por otra parte, se

incorpora el uso de un Software de Geometría Dinámica como el Cabrí Géomètre II Plus, el

cual facilita la elaboración de gráficos, permitiendo a los estudiantes su exploración,

propiciando tanto la visualización de las relaciones existentes entre los objetos que

conforman una construcción como la resolución de problemas geométricos en un ambiente

digital. También se integró el uso de Videos Educativos, como apoyo y complemento a las

explicaciones dadas por el docente.

Palabras Clave: Teorema de Thales, Lúdica Educativa, Software de Geometría Dinámica,

Videos Educativos.

INTRODUCCIÓN


desarrollo del pensamiento lógico para la deducción y validación del conocimiento

matemático tal como lo señalan Nagel y Newman (2000):




140

El método axiomático consiste en aceptar sin prueba ciertas proposiciones

como axiomas o postulados (por ejemplo, el axioma de que entre dos puntos

sólo puede trazarse una línea recta), y en derivar luego de esos axiomas todas

las demás proposiciones del sistema, en calidad ya de teoremas. Los axiomas

constituyen los cimientos del sistema; los teoremas son la superestructura, y se

obtienen a partir de los axiomas sirviéndose, exclusivamente, de los principios

de la lógica (p.p. 18 y 19)

Además, la Matemática se divide en áreas tales como: Aritmética, Álgebra, Análisis,

Estadística y Geometría; siendo ésta última la que permite establecer relaciones espaciales

con el entorno, según lo indicado por Villani (1998):

Descripción e interacción con el espacio en el cual vivimos, es La Geometría

considerada como una herramienta para el entendimiento, la tal vez la parte de

las matemáticas más intuitiva, concreta y ligada a la realidad. Por otra parte, la

geometría como una disciplina, se apoya en un proceso extenso de

formalización, el cual se ha venido desarrollando por más de 2000 años en

niveles crecientes de rigor, abstracción y generalidad (p. 337)

Ésta es una cualidad que el docente puede aprovechar para acercar a sus estudiantes con

el saber matemático durante toda su formación académica, poniendo en práctica estrategias

didácticas que motiven a los estudiantes a construir y explorar gráficos y cuerpos

geométricos, identificar características invariantes en una construcción geométrica,

formular conjeturas y tratar de validarlas; sin embargo, Nagel y Newman (2000), destacan

que

Todo el que haya estudiado geometría elemental recordará. Sin duda, que ésta

es enseñada como una disciplina deductiva. No se la presenta como una ciencia

experimental, cuyos teoremas deban ser aceptados por hallarse de acuerdo con

lo que enseña la observación (p.18).

Por la antes expuesto, la enseñanza de la Geometría exige, por una parte, propiciar

experiencias de aprendizaje orientadas al desarrollo de habilidades geométricas como

reconocimiento de gráficos y cuerpos geométricos por su forma y tamaño, visualización de

los elementos que congráficon una construcción geométrica, establecer semejanzas y

diferencias entre gráficos y cuerpos geométricos, construcción de objetos geométricos a

partir de ciertas condiciones dadas, etc. y, por otra, dar justificaciones lógicamente válidas

y, así, progresivamente ir aproximándose a la prueba o demostración formal (Perry

Carrasco, Camargo Uribe, Samper de Caicedo y Rojas Morales, 2006).


141

Por ello, desde una perspectiva investigativa, haciendo uso de la noción de análisis

didáctico (Gómez y Rico, 2002; Iglesias, 2008), se diseñó y desarrolló una propuesta

didáctica, partiendo de la elaboración de un mapa de enseñanza y aprendizaje sobre el

Teorema de Thales y la identificación de las habilidades asociadas a los niveles de

razonamiento geométrico propuestos en el modelo de Van Hiele, con el propósito de que

los estudiantes (9no grado de Educación Básica) reconozcan las definiciones implicadas en

el Teorema de Thales y la aplicación del mismo en la resolución de problemas.

REFERENTES TEÓRICOS

Para llevar a cabo el diseño de la propuesta didáctica se aplicó la noción de análisis

didáctico, la cual, según Gómez (2005), “se caracteriza por su especificidad a un concepto

matemático concreto. Solamente cuando se profundiza en esa especificidad, es posible

reconocer los múltiples significados del concepto” (p. 2). En este caso, el concepto

matemático seleccionado fue el de semejanza de gráficos geométricas, tomando como

referencia el Teorema de Thales. Además, este autor añade que

A la hora de planificar una hora de clase o una unidad didáctica, el profesor de

matemáticas debe estar en capacidad de resolver dos problemas relacionados

con esta característica de los conceptos en las matemáticas escolares. Primero,

él debe ser capaz de identificar y organizar los múltiples significados del

concepto en cuestión. Segundo, él debe seleccionar aquellos que serán objeto de

la instrucción (p. 2).

Para abordar estos dos asuntos, en la fase de planificación o diseño, el análisis didáctico

comprende - como se muestra en la gráfico 1 – tres componentes:

1) El análisis de contenido, el cual está orientado a develar los diferentes significados

del tema matemático seleccionado a la luz de la noción de los organizadores curriculares y,

luego, establecer el alcance del contenido en relación con el programa de estudio y los

materiales de referencia como los libros de texto. Para facilitar el análisis de un tema

matemático, Iglesias (2008) ha considerado conveniente elaborar un mapa de enseñanza y

aprendizaje, herramienta propuesta por Orellana Chacín (2002) para establecer cuáles

aspectos deben ser considerados a la hora de planificar su enseñanza: (a) Fundamentos

matemáticos, (b) Relación con otros temas matemáticos, (c) Relación con otras ciencias y

el mundo real, (d) Exploración gráfica y numérica, previa a la formalización de los


142

conceptos y teoremas, (e) Dibujo a mano alzada y cálculo manual, (f) Dibujo y cálculo con

tecnología, (g) Resolución de problemas, (h) Desarrollo histórico del tema, (i) Utilización

de materiales (especialmente en Geometría), juegos y matemática recreativa.

2) El análisis cognitivo, el cual está dirigido a establecer las competencias

matemáticas que se espera sean desarrolladas y puestas en práctica por los estudiantes,

según las exigencias del curso y nivel educativo. Dado que esta unidad didáctica está

centrada en la enseñanza y el aprendizaje de un tema geométrico, se ha tenido en cuenta el

modelo de Van Hiele (1959), el cual plantea que el razonamiento geométrico evoluciona a

través de cinco (5) niveles, a saber reconocimiento, análisis, clasificación, deducción lógica

y rigor lógico, en la medida que realiza tareas que le exigen desarrollar y poner en práctica

habilidades asociadas a estos niveles. Así, para llevar a cabo una prueba o demostración

formal, tarea que se ubica en el nivel 4 de deducción lógica, es necesario que los

estudiantes sean capaces de reconocer un objeto geométrico y los elementos que lo

componen, descubrir las relaciones existentes entre los elementos que intervienen en la

construcción de un objeto geométrico, establecer una cadena de deducciones partiendo de

las condiciones dadas (hipótesis) y lo que le piden demostrar (tesis), etc.; es decir, es

necesario que los estudiantes hayan alcanzado un conjunto de habilidades asociadas a los

tres rimeros niveles de razonamiento geométrico. También se han tenido en consideración a

las cinco fases de aprendizaje propuestas en el modelo de Van Hiele: información,

orientación dirigida, explicitación, orientación libre e integración.

3) El análisis de la instrucción, el cual tiene como propósito el diseño de las

actividades didácticas (incluyendo la selección de materiales y recursos), en función del

alcance del tema tratado y los objetivos de aprendizaje.

Gráfico 1. Componentes del Análisis Didáctico en la fase de diseño de una unidad

didáctica


143

En el próximo apartado, se darán a conocer algunos rasgos relevantes de la propuesta

didáctica diseñada, teniendo en cuenta los tres componentes del análisis didáctico en su fase

de planificación, enfatizando en el uso del mapa de enseñanza y aprendizaje como

herramienta que facilita el análisis de contenido y la aplicación del modelo de razonamiento

de Van Hiele.


Para dar inicio al análisis de contenido, se revisaron los programas de estudio (7mo, 8vo

y 9no grado) correspondientes a la asignatura de Matemática, con el propósito de identificar

los contenidos y objetivos vinculados con el área de Geometría, como se muestra en el

siguiente cuadro:

Cuadro 1

Contenidos geométricos desarrollados en el área de matemática en educación básica

7mo Grado 8vo Grado 9no Grado

Resolución de problemas que

involucren relaciones entre los

elementos de una circunferencia o

de un círculo.

Proyección ortogonal de puntos y

segmentos sobre una recta.

Teoremas de Pitágoras, Thales y

Euclides: En esta etapa, se espera

el estudiante sea capaz de

entender la demostración de estos

teoremas y, además, aplicarlos en la resolución de problemas

geométricos.

Elementos de un triángulo:

reconocer, distinguir y clasificar

los diferentes tipos de triángulos,

según las longitudes de sus lados

y las medidas de sus ángulos.

Isometrías en el plano: realizar

traslaciones, rotaciones y

simetrías de puntos, segmentos y

gráficos en el plano.

Relación entre cuadriláteros y sus

elementos: identificar diferentes

tipos de cuadriláteros y

clasificarlos según la relación de

paralelismo existente o no entre

sus lados opuestos.

Ángulos y Paralelismo: Diferentes

tipos de ángulos que se forman

cuando dos o más rectas son

cortadas por una secante y las

relaciones de congruencia entre

estos tipos de ángulos cuando dos o más rectas paralelas son

cortadas por una secante.

Relación entre polígonos

regulares de cinco o más lados y

sus elementos.

Cálculo de áreas de gráficos

planas y volúmenes de cuerpos

geométricos.


144

Observándose que el estudio de los teoremas de Pitágoras, Thales y Euclides en 9no

grado de Educación Básica requiere que el estudiante maneje, por lo menos, definiciones y

propiedades relacionadas con la Geometría del Triángulo.

Seguidamente, previa revisión de algunos libros de texto, se tomó la decisión de

trabajar, como se muestra en la gráfico 2, con los siguientes aspectos en el mapa de

enseñanza y aprendizaje del Teorema de Thales: (a) Fundamento matemático, (b) Mundo

real, (c) Desarrollo histórico y su utilización para la enseñanza del tópico o del tema, (d)

Utilización de materiales (especialmente en Geometría. Juegos y matemática recreativa, y

e) Didáctica del tema.

Gráfico 2. Mapa de enseñanza y aprendizaje del Teorema de Thales

En el Cuadro 2, se muestra una síntesis de los contenidos y objetivos asociados a cada

uno de los aspectos que conforman este mapa de enseñanza y aprendizaje, siguiendo el

orden en el cual serán abordados:

Teorema de

Thales

(1) Fundamento Matemático

(3) Mundo Real

Modelos Matemáticos

Problemas aplicados

(8) Desarrollo histórico y su

utilización para la enseñanza

del tópico o del tema (9) Utilización de materiales

(especialmente en

Geometría). Juegos y

matemática recreativa

(10) Didáctica del tema en

consideración


145

Cuadro 2

Resumen de los aspectos tratados en el mapa de enseñanza y aprendizaje del Teorema

de Thales

Aspecto Objetivo Contenido

Historia de la Geometría Dar a conocer una breve reseña

histórica de la Geometría en la

antigua Grecia y los aportes de

Thales de Mileto.

Geometría Griega y

Biografía de Thales

de Mileto.

Fundamento Matemático Establecer las definiciones de

razones y proporciones.

Enunciar e ilustrar la aplicación de

los criterios de semejanza de

triángulos.

Razones,

proporcionalidad y

Semejanza de

Triángulos.

Aplicación en el mundo real Presentar imágenes semejantes a

objetos animados o inanimados del

entorno.

Gráficos semejantes.

Construcciones a

escala.

Utilización de materiales.

Juego y matemática

recreativa

Reconocer la semejanza y la

proporcionalidad en distintas

gráficos planas.

Proporcionalidad y

semejanza geométrica

Seguidamente, se procedió a establecer las habilidades asociadas a los tres primeros

niveles de razonamiento geométrico establecidos en el modelo de Van Hiele, siguiendo la

propuesta realizada por Hoffer (1981):

Cuadro 3

Habilidades Geométricas que se pretende sean alcanzadas por los estudiantes de 9no

grado de Educación Básica abordan el estudio del Teorema de Pitágoras

Habilidades

Geométricas

Reconocimiento Análisis

Visuales Reconoce formas geométricas en los

objetos que lo rodean al igual que los

dibujos y las construcciones que

observa.

Identifica las partes que conforman una

gráfico plana (por ejemplo, vértices,

lados y ángulos internos de un polígono)

o un cuerpo geométrico (por ejemplo,

vértices, aristas y caras).

Verbales Utiliza de manera adecuada términos

geométricos cuando describe objetos del entorno.

Describe relaciones entre los elementos

que conforman una gráfico, haciendo uso del lenguaje apropiado.

De Dibujo Realizar trazos finos en la construcción

de objetos geométricos con cierto

grado de complejidad.

Dibuja una gráfico que satisfaga las

condiciones dadas (por ejemplo, dibuja

un triángulo conociendo las longitudes

de sus tres lados).

Lógicas Descompone una gráfico en

diferentes partes, logrando así formar

gráficos más sencillas.

Establece relaciones de congruencia y

semejanza entre dos o más gráficos

dadas, atendiendo a su forma y tamaño.


146

Finalmente, teniendo en cuenta el alcance del contenido geométrico y los objetivos de

aprendizaje, se procedió al diseño de las actividades de enseñanza y aprendizaje, teniendo

en cuenta los siguientes materiales y recursos didácticos:

1) Videos educativos: Según Salmerón Sánchez (2012), “una grabación en vídeo para

que sea didáctica, necesita de una preparación previa, precedida de una explicación previa

sobre lo que se pretende con ese vídeo y además con ejercicios y actividades antes, durante

y después de su visionado” (pp. 35 y 36). Además, este autor agrega que cualquier video se

puede utilizar como recurso didáctico, siempre que el docente sea capaz de adaptarlo a los

requerimientos de la asignatura. Por ello, haciendo uso de la plataforma www.youtube.com,

al buscar videos relacionados con el Teorema de Thales, se encontraron unos 12.000

resultados, entre los cuales se ubican videos como la canción que el grupo musical Les

Luthiers le dedicó a este tema geométrico, pasando por grabaciones de clases dadas por

diversos profesores, hasta la demostración del teorema realizada por estudiantes de

educación media o secundaria. Por ello, se seleccionó un video, preparado teniendo como

fondo musical la canción compuesta por el grupo Les Luthiers, en el cual se parte de la

observación de imágenes y construcciones de la ciudad de Buenos Aires (pero similares a

algunas que pudieran ubicarse en ciudades venezolanas), con el propósito de identificar

rectas paralelas, rectas paralelas cortadas por una secante, segmentos proporcionales, etc.,

hasta llegar a la demostración del Teorema de Thales.

2) Software de Geometría Dinámica: En esta propuesta, se decidió trabajar con el

Cabry Geometry II Plus, ya que, es un software de Geometría Dinámica que ha venido

siendo utilizado en los cursos de Geometría correspondientes a la especialidad de

Matemática en la Universidad Pedagógica Experimental Libertador, Instituto Pedagógico

de Maracay y, por ende, su manejo y utilidades han sido asimiladas por los diseñadores de

esta propuesta didáctica. En esta ocasión, se decidió emplear el Cabry II Plus como una

pizarra electrónica, mediante la cual se podrían mostrar construcciones geométricas con

regla y compás relacionadas con el trazado de rectas paralelas y las construcciones de

triángulos semejantes, incluyendo la división de un segmento en n partes iguales. Además,

con el software, es posible marcar ángulos y medirlos, así como medir las longitudes de

segmentos y, haciendo uso de la calculadora, calcular la razón entre las longitudes de dos

segmentos dados.

http://www.youtube.com/


147

3) Juego didáctico: Según Chacón (2008), la actividad lúdica es un ejercicio que

proporciona alegría, placer, gozo y satisfacción, captando la atención de los estudiantes y

permitiendo combinar la participación, la comunicación, el trabajo en equipo, la creatividad

y la obtención de conocimientos en el aula. Para esta autora, el juego didáctico es una

estrategia que

posee un objetivo educativo, se estructura como un juego reglado que incluye

momentos de acción pre-reflexiva y de simbolización o apropiación abstracta-

lógica de lo vivido para el logro de objetivos de enseñanza curriculares, cuyo

objetivo último es la apropiación por parte del jugador, de los contenidos

fomentando el desarrollo de la creatividad (p. 1).

Además, Chacón (2008) indica que en cualquier juego didáctico es necesario

destacar tres elementos: (a) el objetivo didáctico, (b) las acciones lúdicas y (c) las

reglas del juego. Por ello, en el Cuadro 4, se presenta una síntesis del juego

“Encuentra mi Pareja” (tipo memoria), atendiendo a los mencionados elementos:

Cuadro 4

Descripción del juego “Encuentra mi Pareja”

Título Área de

conocimiento

Contenidos

Encuentra mi Pareja Matemática Proporcionalidad y

Semejanza geométrica

Objetivo

Lúdico

Reconocer pares de segmentos proporcionales o pares de gráficos

semejantes, entendidas estás como gráficos que tienen la misma

forma y no necesariamente el mismo tamaño.

Acciones

Lúdicas En una superficie plana, se colocan volteadas, por lo menos, treinta (30)

tarjetas con gráficos geométricas, cada uno de los estudiantes escogerá un par

de tarjetas, procurando formar una pareja ya sea de segmentos proporcionales (para lo cual quizá tenga que calcular la razón entre sus longitudes para decidir

si son proporcionales) o gráficos semejantes (para lo cual necesita aplicar algún

criterio de semejanza para triángulos). El docente debe procurar que cada uno de los estudiantes explique la razón por la cual las gráficos que escogió son

semejantes o los segmentos son proporcionales.

Reglas

de Juego

Similares al juego tipo memoria

Asimismo, se diseñó el juego “Aceptando el Reto” (tipo Rally), con la finalidad de

evaluar los aprendizajes alcanzados por los estudiantes de 9no grado de Educación Básica,

en cuando al estudio de la semejanza de triángulos y los criterios de semejanza AA, LAL y


148

LLL, así como el enunciado y la demostración del Teorema de Thales y su aplicación en la

resolución de triángulos (ver Cuadro 5).

Cuadro 5

Descripción del Juego “Aceptando el Reto”

Título Área de

conocimiento

Contenidos

Aceptando el

Reto

Matemática Proporcionalidad y Semejanza

geométrica; enunciado,

demostración y aplicación del

Teorema de Thales

Objetivo

Lúdico Establecer el enunciado del Teorema de Thales (Estación 1).

Reconocer gráficos semejantes, a partir de la observación de

tarjetas con diversas imágenes del entorno cercano (estación 2).

Aplicar el Teorema de Thales en la resolución de triángulos

(Estación 3).

Reconstruir la demostración del Teorema de Thales, teniendo

como referencia las fichas obtenidas, una vez superado el reto, en las

estaciones previas (Estación 4).

Acciones

Lúdicas En la institución, se dispondrán cuatro (4) estaciones; en cada una de ellas se

propondrá un reto a cada uno de los equipos participantes, el cual deberá

superar en un tiempo determinado. Cabe señalar que cada equipo estará integrado por cuatro (4) estudiantes, uno (1) por cada una de las estaciones, para

que todos participen. Si logran superar el reto propuesto, recibirán una tarjeta

con un fragmento de la demostración del Teorema de Thales, las cuales son necesarias obtenerlas para completar el rally.

Reglas

de Juego

Similares al juego tipo Rally, con cuatro estaciones.

CONCLUSIONES

Con el diseño de esta propuesta didáctica, se ha evidenciado la utilidad del análisis

didáctico como una herramienta que facilitó la toma de decisiones en cuanto al alcance del

tema tratado (biografía de Thales de Mileto y sus aportes al desarrollo de la Geometría en la

Grecia Antigua; razones y proporciones; gráficos semejantes, criterios de semejanza para

triángulos; enunciado, demostración y aplicaciones del Teorema de Thales), las habilidades

geométricas que se pretende sean desarrolladas y puestas en práctica por los estudiantes y la


149

planificación de estrategias didácticas que combinaron el uso de un video educativo (con

fines informativos y motivacionales), el uso del Cabri Geometry II Plus como herramienta

para realizar construcciones geométricas con regla y compás y efectuar mediciones (tareas

reproducibles haciendo uso del juego geométrico) y de los juegos didácticos, valiéndose de

la adaptación a estructuras conocidas como los juegos tipo memoria o tipo rally. Por lo

tanto, en el proceso de formación inicial de los profesores de Matemática, es necesario que

ejecute tareas vinculadas al diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas con

contenido matemático, teniendo en consideración los programas de estudio para el área de

Matemática, los libros de texto más empleados por los docentes, algunos referentes teóricos

como el mapa de enseñanza y aprendizaje propuesto por Orellana Chacín (2002) y el

modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele (1959), con el propósito de desarrollar y

poner en juego su conocimiento profesional matemático y didáctico.

REFERENCIAS

Chacón, P. (2008). El Juego Didáctico como estrategia de enseñanza y aprendizaje. ¿Cómo

crearlo en el aula? Nueva Aula Abierta nº 16. Disponible en:

http://www.grupodidactico2001.com/PaulaChacon.pdf

Gómez, P. (2005). El análisis didáctico en la formación inicial de profesores de

matemáticas de secundaria. Comunicación presentada en el Seminario Análisis

Didáctico en Educación Matemática. Málaga. Disponible en:

http://funes.uniandes.edu.co/394/1/GomezP05-2797.PDF.

Gómez, P. y Rico, L. (2002). Análisis didáctico, conocimiento didáctico y formación inicial

de profesores de matemáticas de secundaria. Documento no publicado. Granada:

Universidad de Granada.




Nagel, E. y Newman, J.R. (1999). El Teorema de Gӧ del. Tercera edición. Madrid:

Editorial Tecnos.


Matemática 11(2), 21-42.

Perry Carrasco, P., Camargo Uribe, L., Samper de Caicedo, C. y Rojas Morales, C. (2006).

Actividad demostrativa en la formación inicial del profesor de matemáticas.

Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional.

http://www.grupodidactico2001.com/PaulaChacon.pdf

http://funes.uniandes.edu.co/394/1/GomezP05-2797.PDF


150

Salmerón Sánchez, M. (2012). Uso y selección de videos educativos en el ámbito escolar.

Revista Digital Enfoques Educativos nº 87, 34 – 55. Disponible en:

http://www.enfoqueseducativos.es/enfoques/enfoques_87.pdf




Villani, V. (1998). Discussion Document for an ICMI Study. En C. Mammana y V. Villani

(Comps.), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century. An ICMI

Study (pp. 337-346). The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.

http://www.enfoqueseducativos.es/enfoques/enfoques_87.pdf



151

CASAS DE BAHAREQUE:

UNA VISIÓN ETNOMATEMÁTICA A PARTIR DE SU CONSTRUCCIÓN

Robert Lira

[email protected]

U.E.N.C. “El Paují” – Espacio Educativo Valle de San Isidro

Martha Iglesias

[email protected]


RESUMEN

En los últimos tiempos, la Etnomatemática ha logrado posicionarse entre los campos de

estudios existentes y más importantes para el estudio de la Matemática. Desde una visión

etnomatemática se pueden relacionar diferentes aspectos socioculturales y medio

ambientales con las ideas matemáticas que las personas desarrollan en su cotidianidad. Esta

investigación estuvo orientada a encontrar y develar la Matemática que se encuentra

presente en la construcción de casas de bahareque por parte de los habitantes del Valle de

San Isidro, el cual es un caserío ubicado entre la Colonia Tovar y El Consejo (Estado

Aragua); para ello se procuró interpretar los productos culturales a través de su relación con

conceptos matemáticos. Se trató de un estudio cualitativo centrado en la Etnomatemática a

través de un trabajo de campo. Para llevarlo a cabo se realizaron observaciones y

conversaciones con personas mayores del sector y practicantes de labores cotidianas, así

como la elaboración de casas a escala con los participantes del estudio. Seguidamente, se

analizó la información recabada por medio de triangulación y análisis de contenido para

llegar a comprender el fenómeno de las Matemáticas Contextualizadas presentes en el

sector, teniendo como referencia para interpretar la información a la Etnomatemática

conceptualizada por DÁmbrosio (2002) y las Actividades Matemáticas Humanas de

Bishop (1999). Entre los resultados encontrados se tiene que las personas usan

intuitivamente conocimientos matemáticos, los cuales les han ayudado en sus acciones de

trabajo, ya que, realizan cálculos y estimaciones en los procedimientos, trabajan con

diferentes magnitudes para medir longitudes y hacen uso de diferentes artefactos para la

realización de las mismas, llegando a utilizar gráficos o relaciones geométricas en la

construcción de sus casas.

Palabras clave: Etnomatemática, Actividades Matemáticas Humanas, Matemáticas

contextualizadas, construcción de casas de bahareque.

SITUACIÓN INVESTIGADA

Las primeras ideas matemáticas trabajadas por el hombre estaban relacionadas con el

espacio y el número; de esta forma, las distintas civilizaciones que han existido sobre la

tierra han creado y trabajado ideas matemáticas relacionadas con la Geometría y la

Aritmética, al principio de forma rudimentaria y luego desarrollando conceptos más




152

avanzados (Boll, 1973; Sotelo Álvarez, 1987). Esto le permitió al hombre ir creando

símbolos, sistemas y técnicas con los que comprendían el entorno y actuaba sobre éste.

Así se ha visto que culturas muy antiguas desarrollaron y sistematizaron gran parte de

los conocimientos matemáticos que se conocen hoy en día, los cuales fueron fruto del

trabajo de los hombres al relacionarse con el medio y la búsqueda de respuestas a ciertas

necesidades e inquietudes. Las acciones y los productos que han dejado las diversas

culturas en el mundo forma parte del legado de la humanidad y, en la actualidad, se han ido

develando matemáticas ocultas, las cuales no tuvieron trascendencia cuando se fueron

sistematizando los conocimientos matemáticos; conocimientos que nacieron por las mismas

actividades realizadas por el hombre en el entorno inmediato.

Asimismo, DÁmbrosio (2002) dice que “muchas personas sin escolaridad tratan con

números y con mediciones en la vida cotidiana”, comprendiendo de esta manera la forma

natural con que los seres humanos hacen matemática sin haber estudiado en algún

programa escolar. De igual modo, las experiencias de la vida diaria pueden proporcionar

oportunidades para el aprendizaje de la matemática; esto por la misma necesidad de

convivir y resolver situaciones de su entorno cultural y con la firme intención de realizar

procesos que son vistos como cotidianos e inherentes a ellos, y que, en muchas

oportunidades, pasan inadvertidos por estos mismos actores (Schliemann, 1991).

En este orden de ideas, Bishop (1999) reflexiona sobre las acciones que realizan los

humanos y las llama actividades matemáticas humanas, las cuales son aquellas actividades

y procesos que conducen al desarrollo de ideas matemáticas y éstas tienden a ser

universales en todas las culturas; este autor las ubica o clasifica en seis (06) categorías, las

cuales caracterizan los fenómenos sociales; éstas son: contar, diseñar y construir, medir,

ubicar, reproducir y jugar y, por último, explicar. Estos modos de actuación que tienen los

seres humanos son los que los ayudan a resolver los problemas que se les van presentando

en su quehacer cotidiano y ahí mismo es donde se va construyendo la matemática que es

afín a ellos.

Por lo antes mencionado, los investigadores encontraron un motivo que los llevó a

realizar este estudio sobre la base de la existencia de ideas matemáticas presentes en las

acciones cotidianas de los habitantes del Valle de San Isidro; región que posee

características particulares por su aislamiento debido a factores topográficos y territoriales,


153

pero que dentro de su dinámica cultural presenta una gran riqueza de elementos

susceptibles de ser estudiados; entre ellos, éste que se desarrolló buscando los elementos

matemáticos presentes en algunas actividades cotidianas de la región.

A partir de lo planteado comenzaron a surgir una serie de interrogantes que de alguna

manera llevan a reflexionar sobre las matemáticas contextualizadas, las cuales son de

utilidad para resolver situaciones que forman parte de la cotidianidad y entorno de los

habitantes del Valle de San Isidro. Es por ello que se hizo una indagación sobre las

actividades cotidianas en esta localidad y una de la más resaltante fue la construcción de

viviendas, las cuales son de bahareque, construidas con elementos encontrados en el mismo

entorno.

Durante el desarrollo de este estudio y desde una visión etnomatemática, emergieron

diversas interpretaciones sobre algunas ideas matemáticas encontradas y que han resultado

eficientes en las construcciones de estas viviendas.

Objetivo General

Analizar las actividades matemáticas puestas en práctica en las construcciones de

viviendas desarrolladas por los habitantes del Valle de San Isidro – Colonia Tovar.

Objetivos Específicos

Describir los procedimientos cotidianos en las actividades de construcción de viviendas

que realizan los habitantes del Valle de San Isidro.

Identificar las actividades matemáticas que están implícitas en los procedimientos de

construcción de viviendas realizadas por los habitantes del Valle de San Isidro.

Analizar los contenidos matemáticos encontrados en las construcciones de casas de

bahareque desarrolladas por las personas del Valle de San Isidro.


154

MARCO REFERENCIAL INTERPRETATIVO

Para poder comprender las situaciones encontradas en las construcciones de las

viviendas y las otras actividades encontradas en el Valle de San Isidro, se tomaron en

consideración dos importantes posturas las cuales sirvieron como sustento tanto al trabajo

de campo como al ejercicio interpretativo. Estas son:

Etnomatemática: el término fue acuñado por Ubiratan DÁmbrosio, a fin de explicar las

matemáticas que son producidas por los grupos culturales; la conceptualiza como el

conocimiento que se genera como producción socio-cultural y, por lo tanto, puede ser

(re)construida y apropiada para la solución de problemas y mejoramiento de la calidad de

vida (DÁmbrosio, 2004). Es así como las prácticas realizadas por los seres humanos

pueden ser matematizadas y reconocidas como herramientas para la vida.

Actividades matemáticas humanas

Se reconoce la Matemática como producto cultural proveniente de las actividades

sociales, en donde los grupos van desarrollando acciones con la finalidad de ir

relacionándose armónicamente y satisfacer sus necesidades; esto trae como consecuencia

que progresivamente se desarrollen y apliquen otros procedimientos, que llevan a producir

matemáticas.

Bishop (1999) presenta seis (06) actividades que conceptualizan y categorizan todos los

procesos desarrollados por los grupos sociales; las agrupa a su vez en tres campos de

estudio, estos son:

• Ideas relacionadas con números: contar y medir.

Contar: se refiere a los sistemas de contar que emplean los grupos sociales, los cuales

tienen diferentes bases de numeración; dentro de esta categoría, también se encuentran los

métodos de simbolización de tales números, las frases numéricas y los materiales

empleados para representar números.

Medir: se ocupa de comparar, ordenar y cuantificar cualidades, en donde el entorno

circundante es el que dará las pautas para proporcionar las cualidades a medir (longitud,

área o superficie, volumen, peso, tiempo, etc.) con las correspondientes unidades de


155

medida; principalmente es un método comparativo que surge por la necesidad de comparar

dos o más cosas.

• Estructuración espacial: localizar y diseñar.

Localizar: es una actividad universal en donde se realiza la codificación y simbolización

del entorno espacial; entre las nociones que se trabajan y desarrollan se tienen las nociones

geométricas (dirección, orden, finitud, lateralidad, métrica, dimensión, etc.).

Diseñar: el principal objetivo de esta actividad es conocer la tecnología, los objetos y los

artefactos que puede diseñar el hombre para la vida doméstica; se destaca acá como el

hombre le impone una estructura particular a la naturaleza.

• Relación entre individuos con el entorno: jugar y explicar.

Jugar: es una actividad que tiene gran cantidad de procedimientos matemáticos, los cuales

se consideran importantes para el estudio, ya que, para llevarlos a cabo se tienen reglas que

guiarán los procedimientos a seguir en los juegos.

Explicar: su principal función es la de explicar las relaciones existentes entre unos

fenómenos y la búsqueda de una teoría explicativa; la representación de similitudes es lo

que se destaca en esa actividad, ya que los hombres van buscando algo que los lleve a

comprender y entender los fenómenos que hay a su alrededor.

METODOLOGÍA DEL PROCESO INVESTIGATIVO

Principalmente, el estudio se centró en ver cómo las personas llevan a cabo sus

prácticas cotidianas, qué sentido tiene para ellos estas prácticas e intentar develar las

matemáticas que se encuentren implícitas en sus propios actos. También, se debe destacar

que la realización de la investigación se ubicó en el ámbito de la Etnomatemática, en donde

se sugiere la necesidad de conocer qué hacen las personas, cómo lo hacen y para qué hacen

diversas actividades, develando el significado de las acciones, y poder esclarecer las

matemáticas subyacentes en las mismas.

Para la realización de la investigación se acudió a la Etnomatemática como programa

de investigación, con la finalidad de orientar el proceso para dar a conocer esas prácticas

etnomatemáticas, y con el fin de interpretar diversos fenómenos o productos culturales

existentes a través de la visión de las matemáticas académicas, esto como una forma de


156

relacionarla con conceptos conocidos que tienen validez dentro de las acciones y productos

de la localidad del Valle de San Isidro. Para ello se tomó como vías de interpretación las

siguientes metodologías empíricas que caracterizan la investigación etnomatemática:

• La etnomatemática descriptiva, que describe como miembros de una cultura usan

intuitivamente matemáticas en su vida diaria.

• La etnomatemática matematizadora, la cual propone la traducción del material cultural

a una terminología matemática, o relacionarlo con los conceptos matemáticos existentes.

La interpretación de la información se hizo de modo cualitativo a través de un trabajo de

campo. El estudio estuvo centrado en aspectos socioculturales, producto de las

realizaciones de los mismos habitantes del Valle de San Isidro, los cuales se recopilaron en

diferentes descripciones, conversatorios con los propios actores y autores de actividades en

el sector; se realizaron grabaciones de la puesta en práctica de algunas actividades que

permitieron tener una documentación mas exhaustiva para su posterior interpretación de

acuerdo a la realidad encontrada. Las personas que se tomaron en consideración para el

estudio fueron adultos de la comunidad y eran los que realizaban actividades con mayor

esfuerzo. También tenemos que se realizaron descripciones detalladas de los productos

culturales, llámense casas, siembras de la región, y el juego de bola sin tener injerencia en

la realización de los mismos, esto de acuerdo al momento del proceso investigativo. En los

siguientes gráficos se resume la actividad investigativa llevada a cabo en este estudio:

Gráfico 1. Procedimiento metodológico de la investigación


157

Gráfico 2. Procedimiento metodológico-investigativo para el análisis de las prácticas

etnomatemáticas del Valle de San Isidro

MATEMATIZACIÓN DE LO COTIDIANO

En los principales hallazgos encontrados del estudio realizado a las casas de la

localidad (producto cultural), así como también a la construcción de las mismas (proceso),

tanto en tamaño real como a escalas, se identificaron diversas ideas matemáticas y se

interpretaron con la visión de la funcionalidad de estas ideas en la efectividad de soluciones

habitacionales dentro de la región.

En la identificación de la actividad de diseñar tiene trascendencia la abstracción de

elementos naturales, ya que, los mismos habitantes convierten los materiales que tienen a

su alcance, a través de diversos procesos, en productos que servirán para la construcción de

la vivienda y, además, le imprimen un diseño en función del propósito por el cual se

construye la vivienda. También, se tiene que el procedimiento de construcción se vincula

con la actividad del diseño, porque ésta guiará la construcción de la casa, en ese cómo es

donde se pone de manifiesto el carácter práctico.

Otro aspecto a destacar son las gráficos geométricas que se identifican en el diseño y

construcción de las casas, llegándose a observar el empleo de diseños comunes. Tales

gráficos tienen una funcionalidad dentro de la vivienda. Así se tiene que, inicialmente se


158

construye un cuadrado, el cual será la sala, luego se van construyendo las demás

habitaciones; la visualización del cuadrado se nota en el plan destinado para la casa.

Existe un modo de construir el cuadrado y es colocando las marcas de horcones de igual

distancia en el piso, se establecen estas marcas como guías que sirven para realizar el

cuadrado; es todo un proceso en donde se trata de encontrar las propiedades de esta gráfico

geométrica para su utilidad en las viviendas.

En las casas que se han visitado, se puede ver que el cuadrado está presente en la

construcción de la sala, variando solamente de tamaño de una casa a otra. Esto pudiera

relacionarse con la noción de semejanza, debido a que los cuadrados son semejantes entre

sí.

Así también tenemos presencia de otras gráficos geométricas que se forman por la

misma construcción, estas tienen que ver con el empleo de diseños comunes como puertas

y ventanas, y otras gráficos que están presentes en las casas de acuerdo a la utilidad en las

mismas. En el entramado de madera de las estructuras de las casas, se identifican gráficos

de cuadriláteros como el trapecio, rectas paralelas cortadas por una secante, rectas en

dirección vertical, horizontal u oblicua.

En la construcción de la casa, se siguen diversos procedimientos, según un plan que se

hace, aquí los horcones juegan un papel fundamental, ya que con el uso de los mismos es

que se desarrolla el proceso. De forma intuitiva, se debe comenzar haciendo un cuadrado en

el terraplén destinado para la casa, luego en los vértices se levantarán los horcones que

indicarán las esquinas, posteriormente se colocan los horcones del caballete; así ya hay una

planificación que se cumple.

En la actividad de medir, se destaca la longitud de horcones como aspecto a ser

estudiado, ya que ésta es la principal característica que se pone en evidencia cuando se

desarrolla la construcción de las casas, debido a que el material empleado con mayor

frecuencia son los palos. Entonces, se está en constante proceso de comparación de

longitudes para determinar la longitud de los mismos de acuerdo a la utilidad que tendrán

en la construcción; de igual modo, la habilidad para medir está presente en el momento de

la colocación de los horcones y varas en la casa, esto va permitiendo tener una armonía en

la construcción, incluyendo la conservación de distancia para la colocación de varas de la

pared. Otro aspecto a destacar es que prestan atención al grosor de las varas ya que debe ser


159

uniforme tanto para las paredes como para el techo. Las frases comparativas se dan a cada

momento, pues, el mismo proceso de medir va determinando las acciones a seguir.

Para conocer el cómo determinan el punto medio de un segmento que conforma un lado

del cuadrado siguen un procedimiento novedoso para los investigadores: se coloca el

extremo del palo en un punto se supone sea el centro y, luego, se gira el palo haciendo el

balanceo y su longitud se compara con la mitad de un lado del cuadrado. Pueden

presentarse tres situaciones. (a) Que el palo y la mitad de un lado del cuadrado tengan la

misma longitud, lo cual garantiza que el punto seleccionado es el punto medio del lado del

cuadrado. (b) Que la longitud del palo sea mayor que la longitud de la mitad de un lado del

cuadrado. (c) Que la longitud del palo sea menor que la longitud de la mitad de un lado del

cuadrado. En otras palabras, en las situaciones (b) y (c) hay un excedente o un déficit

respectivamente de la longitud del palo con respecto a la mitad de la longitud del lado

considerado; en caso de excedente se hace una marca y para el déficit se completa con una

pequeña vara. Seguidamente, usando la marca supuesta para el punto medio, nuevamente se

gira el palo repitiendo el balanceo, cuando se llega al otro extremo se compara, de existir la

misma longitud ya se ha encontrado el punto medio, en caso que la distancia del excedente

o déficit sea diferente a la supuesta otra mitad, se hace un nuevo ajuste para repetir el

proceso hasta encontrar el punto medio. El procedimiento de rotación que se realiza es

parecido cuando se trabaja con el compás. El proceso de conseguir el punto medio tiene

relación con la actividad matemática de medir y localizar.

En la actividad de localizar se pone de manifiesto el papel fundamental que juega la

ubicación de los principales horcones y varas para el levantamiento de la casa; así, las varas

empleadas para la construcción de las paredes interiores y exteriores se ubican en posición

horizontal.

Cuando se indagó el porqué la disposición horizontal, esto viene dado por el apoyo que

brindan al momento de “embarrar”. En una conversación realizada con uno de las personas

participantes del estudio, se le preguntó si se podía envarar la casa con la disposición

vertical y dijo que el barro se caería, con la dirección oblicua no tendría resistencia para el

momento de colocar el barro. Con tales negaciones de colocar varas en modo oblicuo ya se

establece que la conformación de varas se repetirá de modo horizontal.


160

Para envarar en disposición horizontal, establecen una adecuación de distancia de

separación entre las varas, aquí se pone en evidencia el uso de medida para separar las

varas. En una conversación con uno de los más experimentado en la construcción de

viviendas acerca del envarado horizontal, este comentó que se emplea como separación de

las varas cuatro (04) dedos, esta medida no es estándar pero tiende a ser similar en las

demás casas, por el mismo motivo comentado que es para sostener el barro.

CONCLUSIONES

A partir de la descripción de los procedimientos que siguen los habitantes del Valle de

San Isidro al construir sus casas de bahareque y la identificación de las actividades

matemáticas implícitas en tales procedimientos, se encontraron ideas matemáticas

asociadas a las actividades matemáticas humanas mencionadas por Bishop (1999), las

cuales se relacionaron con conceptos matemáticos, esto como vía para poder tener una base

que lleve al diseño de una propuesta didáctica basada en la Etnomatemática, con el

propósito de comprender el fenómeno de las matemáticas contextualizadas.

Entre los principales hallazgos del estudio de la construcción de las viviendas de

bahareque en el Valle de San Isidro, se pueden mencionar:

Diseñar: a través de gráficos geométricas construidas, empleo de diseños comunes,

transformación de materiales imprimiéndoles una forma y modelo (visualización de

gráficos geométricas, construcción de gráficos geométricas).

Medir: a través de la comparación de longitudes del tamaño de los horcones (procedimiento

para medir, estimación de longitudes, instrumentos de medición, orden, longitud, lenguaje

matemático contextualizado).

Explicar: frases argumentativas sobre el diseño y funcionalidad de las casas (lenguaje,

clasificación).

Localizar: ubicación de los diferentes palos en la estructura de las casas, dirección de los

palos (rectas paralelas, rectas perpendiculares, oblicuas, pendiente de una recta, sistema de

referencia).

Contar: cantidad de palos para construir la casa (numeración, uso de números, conteo,

fracciones).


161

REFERENCIAS

Bishop, A. (1999). Enculturación Matemática: La educación matemática desde una perspectiva cultural (G. Sánchez Barberán, Trad.). Barcelona, España: Ediciones Paidos Ibérica, S.A.

Boll, M. (1966). Historia de las Matemáticas. (A. A. de Alba, Trad.). Distrito Federal, México:

Editorial Diana, S.A. DÁmbrosio, U. (2002). Why Ethnomathematics? Or what is Ethnomathematics and how can it

help children in schools. [Documento en línea]. Disponible:

http://vello.sites.uol.com.br/what.htm [Consulta: 2008, Diciembre 20] DÁmbrosio, U. (2004). O programa Etnomatemática: história, metodología e padagogia.

[Documento en línea]. Disponible: http://sites.uol.com.br/vello/ program.htm [Consulta: 2010,

Mayo 9]

Schliemann, A. (1991). La compresión del análisis combinatorio: desarrollo, aprendizaje escolar y experiencia diaria. (R. C. de Cendrero, Trad.). En: En la vida diez, en la escuela cero. Distrito

Federal, México: Siglo XXI Editores, s.a. de c.v.

Sotelo Álvarez, M. (1987). Historia de los números. Caracas: Editorial Algoritmo.


162

BLOG: EL MUNDO DE PITÁGORAS EN LA ERA TECNOLÓGICA

Andrea Osorio

[email protected]

Carmen Gil, Wolghan Gómez, Evelyn Romero

Yerikson Suárez

Martha Iglesias

[email protected]


RESUMEN

El avance de la era tecnológica en el manejo de la información y la comunicación es

inevitable y genera cambios socio-culturales cuyas consecuencias forman parte inherente

de la educación actual; prueba de ello son los estudiantes de esta era, los llamados nativos

digitales: aquellos individuos que han crecido inmersos en la tecnología digital y hacen uso

cotidiano de las redes sociales para acceder a la información y comunicarse con otras

personas (García, Portillo, Romo y Benito, 2007). Por consiguiente, la adaptación a los

cambios y formación de los profesores para la adecuada incorporación de estas

herramientas tecnológicas en la educación es indispensable para su efectividad en el

proceso de enseñanza y aprendizaje de cualquier disciplina y, en particular, de la

Matemática. Por ello, se propone la utilización y creación del Blog: El Mundo de Pitágoras,

con el propósito de permitir que los estudiantes de tercer año de educación media

interactúen con lo visto en las clases de Matemática, establezcan dudas acerca de este tema,

propongan información de interés en relación al teorema de Pitágoras y sean partícipes de

su propio conocimiento. Para lograr estos objetivos, este blog cuenta con un diseño que

muestra el título, una breve descripción del mismo, el perfil de sus creadores, el archivo con

todas las publicaciones cargadas cronológicamente y las actividades didácticas propuestas

por sus administradores. Cada una de estas actividades tiene una intencionalidad didáctica

específica y, por ende, una estructura que favorece el aprendizaje de los estudiantes como el

manejo efectivo del blog; dicha estructura comprende los objetivos de la actividad, la forma

de trabajo, la evaluación a aplicar y el establecimiento del lugar y los materiales a utilizar


Palabras clave: Tecnologías de Información y Comunicación, Blog, Teorema de Pitágoras.

INTRODUCCIÓN

A lo largo de la historia la educación ha sido considerada el pilar y eje director del

proceso sociocultural; esto por ser un medio en el cual los individuos adquieren las

herramientas necesarias para su integración a la sociedad mediante el inquebrantable

intercambio de información, propiciando el proceso de enseñanza - aprendizaje.




163

Uno de los cambios socioculturales de mayor repercusión son los ocasionados por el

avance de la era tecnológica en el manejo de la información y la comunicación cuyas

consecuencias forma parte inherente de la educación actual; prueba de ello son los

estudiantes de esta era, los llamados nativos digitales: aquellos individuos que han crecido

inmersos en la tecnología digital y hacen uso cotidiano de las redes sociales para acceder a

la información y comunicarse con otras personas (García, Portillo, Romo y Benito, 2007).

Particularmente en Venezuela a mediados de los años ochenta comienzan a llegar las

primeras computadoras, dando paso así a la Era de la Tecnología, debido a ello es como

poco a poco fuimos haciéndonos usuarios de celulares, computadoras, fax, televisión,

internet y una diversidad de artefactos y programas; convirtiéndose en una parte

indispensable de nuestra vida. Dichos avances han permitido comunicarnos de manera más

avanzada y personalizada.

A todas estas herramientas tecnológicas que se usan como medio para la

comunicación y procesamiento de la información, se le conoce como Tecnología de

Comunicación e Información (TIC). Ha sido tan grande su repercusión en la sociedad y en

la educación que el acceso a las TIC y la formación requerida para su empleo idóneo se

encuentran establecidos en la Constitución de la República Bolivariana de Venezuela

(C.R.B.V):

Artículo 108. Los medios de comunicación social, públicos y privados, deben

contribuir a la formación ciudadana. El Estado garantizará servicios públicos de

radio, televisión y redes de bibliotecas y de informática, con el fin de permitir el

acceso universal a la información. Los centros educativos deben incorporar el

conocimiento y aplicación de las nuevas tecnologías, de sus innovaciones,

según los requisitos que establezca la ley.

Además, en el Artículo 110 de la C.R.B.V, se declara como asunto de interés público a

la ciencia, la tecnología y la innovación y, por ello, “para el fomento y desarrollo de esas

actividades, el Estado destinará recursos suficientes y creará el sistema nacional de ciencia

y tecnología de acuerdo con la ley. El sector privado deberá aportar recursos para los

mismos”. Esto se ha venido materializando, a partir de la promulgación de la Ley Orgánica

de Ciencia, Tecnología e Innovación (LOCTI), en la creación de establecimientos que

garanticen el acceso a las TIC, como los infocentros, CBIT, bibliotecas virtuales, etc.

Esto se puede visualizar en el proyecto Canaima Educativo, el cual tiene por objetivo

“apoyar la formación integral de las niñas y los niños, mediante la dotación de una


164

computadora portátil escolar con contenidos educativos a los maestros y estudiantes del

subsistema de educación primaria” (Ministerio del Poder Popular para la Ciencia,

Tecnología e Innovación, s/f). Asimismo, las TIC están contempladas tanto como tema de

estudio como recurso didáctico en el Currículo Nacional Bolivariano (CNB) y las mismas

las clasifican en: (a) La informática (computadora, software, multimedia, discos compactos,

y bases de datos); (b) Tecnología audiovisual (videos en sus diferentes formatos) y (c)

Telecomunicaciones (la televisión, los programas, teleconferencias, red, web o internet, con

todas sus posibilidades y radio).

Actualmente, en el ámbito de las telecomunicaciones destaca el uso de la Web, la cual,

según Macías y Michán (2009), “es una de las formas de distribuir la información a través

de internet, evolucionando para mejorar la calidad de la telecomunicación” (p.18-19). Cabe

señalar que, en función al desarrollo de la Web, los expertos han identificado dos etapas:

(a) La Web 1.0, dedicada a la publicación de contenidos, sin participación abierta de los

usuarios, (b) La Web2.0, la cual sigue facilitando la publicación de contenidos y consultas

en línea, pero que propicia la construcción e intercambio de conocimientos por medio de la

interacción en línea. Entre las herramientas de la Web 2.0, destacan los wikis, el twitter, los

blogs, entre otros.

En cuanto a los Blog es una publicación en forma de diario o foro virtual donde se da a

conocer información general sobre un tema específico, ofreciendo la oportunidad de emitir

comentarios, publicar artículos, etc.

En el campo educativo, según Valero (2009) se distinguen varios tipos de blogs: (a)

Blogs profesionales de los docentes, los cuales muestran la experiencia, los conocimientos

y la información profesionales de un educador; (b) blogs de estudiantes, los cuales incluyen

tareas y actividades aconsejadas por los docentes, pero a la vez implican la búsqueda y la

creación de conocimiento por parte del estudiante según sus propios intereses, y (c) blogs

de aula, los cuales suelen ser colectivos, porque el docente participa en ellos con los

estudiantes, ya sea publicando tareas y actividades educativas, o publicando junto a sus

alumnos artículos de las misma características.

Por consiguiente, la adaptación a los cambios y formación de los profesores para la

adecuada incorporación de estas herramientas tecnológicas en la educación es indispensable

para su efectividad en el proceso de enseñanza y aprendizaje de cualquier disciplina y, en


165

particular, de la Matemática. Por ello, se propone la creación y utilización del Blog de aula:

El Mundo de Pitágoras, con el propósito de permitir que los estudiantes de tercer año de

educación media interactúen con lo visto en las clases de Matemática. Una de las ventajas

del uso de las TIC es que despierta o aumenta el interés de los estudiantes hacia el tema de

estudio mediante la interacción con su profesor y sus compañeros, debido a que el blog le

ofrece y permite a los estudiantes la interacción por medio de ventanillas de comentarios,

ya sea para proponer información de interés en relación al teorema de Pitágoras y plantear

dudas o inquietudes, o responder a las preguntas formuladas. De esta manera, los

estudiantes se hacen partícipes de su propio conocimiento, en la medida que haciendo uso

de la informática, abordan el estudio de un tema matemático.

DISEÑO DEL BLOG

Para determinar el alcance del contenido geométrico a ser estudiado en este blog (el

teorema de Pitágoras), se elaboró un mapa de enseñanza y aprendizaje (Orellana Chacín,

2002) y se aplicó el modelo de razonamiento geométrico (Van Hiele, 1957) para establecer

las habilidades geométricas que se pretenden sean alcanzadas por los estudiantes.

Asimismo, se estableció que el blog contara con un diseño estructural conformado por

una página principal, la cual contiene el título del Blog en su parte superior y una breve

reseña ubicada en una ventana debajo del título, donde se le da la bienvenida a los

estudiantes que accedan al blog. Además, esta página se encuentra dividida en tres

columnas organizadas de la siguiente manera: (a) Columna izquierda, cuenta con un reloj

digital y debajo de ella una pestaña para acceder al perfil del coordinador de la página; (b)

Columna derecha, se encuentra con un gagdet de conteo de seguidores, seguidamente de

ello se observa una ventana donde se publicarán hechos históricos de diversas índoles,

como parte de la cultura general del estudiantado y, luego, se mencionan cronológicamente

los archivos publicados en el blog ; (c) Columna central, la cual será la protagonista del

blog, ya que, la misma se refiere a todas las publicaciones y los links para acceder a ellas,

además dispone de una ventana de comentarios para que los visitantes puedan expresar sus

inquietudes, dudas y apreciaciones acerca del tema visto. En el siguiente gráfico, se muestra

una vista de la página principal del blog intitulado “El Mundo de Pitágoras”


166

Gráfico1. Vista de la página principal del blog “El Mundo de Pitágoras”

En la parte inferior se hallan diversos gadget para la diversión de los estudiantes, con

ello se espera mantener el interés de los visitantes en la revisión periódica del blog; entre

estos gadgets se encuentran una calculadora científica, los chistes del día y los refranes del

día.


167

Gráfico2. Vista de los gadgets

En cuanto a la utilidad del Blog Mundo de Pitágoras estas se reflejarán en las actividades

publicadas en el blog, conservando el siguiente formato:

Cuadro 1

Utilidades de las TIC

Actividad Ejemplo

El objetivo de la

actividad o ejercicio.

Establecer con toda claridad qué se busca lograr

con esa actividad o ejercicio.

En el caso del teorema, el estudiante

podrá explicar ¿qué es?, ¿quién fue

su creador?, ¿cuál es su

demostración?.

La forma de trabajo Es necesario que de manera puntual se

especifique qué y cómo se utilizará la TIC.

Buscar la información en los

siguientes espacios y anotar en una

hoja los datos relevantes, (es

importante que se consulte por lo

menos en dos fuentes de

información, cuando se realice una

consulta).

Evaluación

Toda actividad de aprendizaje tiene que tener una

evaluación, autoevaluación o confirmación de lo aprendido, con la revisión de un tercero. Por

ejemplo: al finalizar las actividades de consulta o

de uso de la TIC el estudiante podrá presentar sus

resultados a su profesor.

El estudiante presentará sus

resultados directamente a su

profesor asesor.

Material y lugar

Elementos que se requieren para llevar a cabo la

actividad, espacios en la sala y TIC que se

utilizarán.

Computadoras, internet y/o

software, sala de usos múltiples y

de cómputo.


168

Basados en lo señalado en el cuadro 1, se presentarán las cuatro (4) actividades que

inicialmente fueron incorporadas al este blog: (a) A través del tiempo, (b) Recordemos; (c)

Demostrando, y (d) Pitágoras y nuestro mundo.

Cuadro 2

Descripción de la actividad nº 1: A través del tiempo

Pantalla

El objetivo de la actividad o

ejercicio.

Que el estudiante conozca el origen del teorema de Pitágoras

y su recorrido a lo largo del tiempo. Por lo que podrá

responder a preguntas tales como:

*¿Quién fue Pitágoras?

*¿Cómo surge el teorema de Pitágoras?

*¿Cuáles fueron las civilizaciones donde se evidenció el uso

del teorema?

La forma de trabajo

Que el estudiante busque, en el blog, la información

denominada “A través del tiempo”, la lea y, en el cuaderno

de Matemática, haga una síntesis de esta lectura. También se

le recomienda buscar otras fuentes de información para

complementar la lectura realizada.

Evaluación

Cada uno de los estudiantes realizará la lectura de su

resumen y, además, se les pedirá que den su opinión sobre el

tema estudiado.

Material y lugar

Computadora con conexión a internet y cuaderno de la

asignatura.

Ya sea desde la comodidad del hogar, o de una sala de usos

múltiples como los cybers, o la sala de informática de la

institución.


169

Cuadro 3

Descripción de la actividad nº 2: Recordemos

Pantalla

El objetivo de la

actividad o

ejercicio.

Que el estudiante repase los conocimientos previos y necesarios para

la comprensión del Teorema de Pitágoras. Por lo que podrá responder

a preguntas tales como:

a) ¿Qué es un triángulo rectángulo?

b) ¿Cuáles son las propiedades de los triángulos?

c) ¿Qué es un teorema?

d) ¿Cuáles son los elementos de un teorema?

e) ¿Cuál es la importancia del teorema de Pitágoras?

La forma de trabajo Que el estudiante busque, en el blog, la información denominada

“¡Recordemos!”, la lea y, en el cuaderno de Matemática, haga una

síntesis de esta lectura. También se le recomienda buscar otras fuentes

de información para complementar la lectura realizada.

Evaluación El docente dirigirá una discusión sobre los temas relacionados con la

Geometría del Triángulo y el Teorema de Pitágoras, para reforzar lo

presentado en el blog; de esta manera, se podrá apreciar el dominio de

los conocimientos geométricos por parte de los estudiantes.

Material y lugar Computadora con conexión a internet y cuaderno de la asignatura.

Ya sea desde la comodidad del hogar, o de una sala de usos múltiples

como los cybers, o la sala de informática de la institución.

Aula de clases.


170

Cuadro 4

Descripción de la actividad nº 3: Demostrando

Pantalla

El objetivo de la actividad o

ejercicio.

Que el estudiante analice y comprenda una de las

demostraciones del teorema de Pitágoras; por medio de una

construcción interactiva. De esta manera el estudiante podrá:

a) Entender el enunciado del teorema.

b) Asimilar de manera eficaz lo planteado en el teorema.

c) Conjeturar y validar algunos aspectos de la

demostración.

La forma de trabajo Que el estudiante busque, en el blog, la información

denominada “Demostración”, la lea y, en una hoja blanca,

responda a las interrogantes planteadas en la demostración.

Evaluación Revisión de las respuestas dadas por los estudiantes,

procurando mediante una discusión dirigida clarificar dudas

o corregir algún error cometido.

Material y lugar Computadora con conexión a internet y hojas blancas.



institución.

Aula de clases.


171

Cuadro 5

Descripción de la actividad nº 4: Pitágoras y nuestro mundo

Pantalla

El objetivo de la

actividad o ejercicio.

Conocer la relación existente entre el teorema de Pitágoras, el

teorema de Euclides y el Teorema de Tales.

Establecer el uso que se le ha dado al teorema de Pitágoras en la

arquitectura y en la jerga mundial. De esta manera podrá:

*Establecer semejanzas y diferencias entre los teoremas

mencionados anteriormente.

*Explorar las construcciones y deducir su relación matemática

(teorema de Pitágoras).

La forma de trabajo Que el estudiante busque, en el blog, la información denominada

“Pitágoras y nuestro mundo”, la lea y, en el cuaderno de

Matemática, haga una síntesis de esta lectura. También se le

recomienda buscar otras fuentes de información para

complementar la lectura realizada.

Evaluación Peguntas realizadas a lo largo de la clase acerca del teorema de

Pitágoras y la relación con la cotidianidad.

Material y lugar Computadora con conexión a internet y cuaderno de la

asignatura.



institución.

Aula de clases.


172

CONSIDERACIONES FINALES

Es necesario entender que cada actividad que se proponga en un blog educativo debe

contar con una estructura determinada; en este caso, la estructura presentada en los Cuadros

2 al 5, ya que, de esta manera, se establecerá claramente los objetivos de aprendizaje a

alcanzar y el cómo se espera que los estudiantes lo logren. Procurando así delinear un

escenario de actuación docente, en dónde se conozcan las acciones a seguir para un

funcionamiento eficaz y uso adecuado del blog por parte de los usuarios. Así, pues, el blog

será un medio para atender las necesidades e interés de los estudiantes, abordar el estudio

de los temas contemplados en el programa de la asignatura y plantear actividades didácticas

tecnológicamente mediadas.

Asimismo, es indispensable que los docentes orienten a sus estudiantes en el uso

adecuado del blog, para evitar que se distraigan por la diversidad de programas y sitios

Web existentes y que, por lo general, no estén relacionados con el contenido matemático

estudiado. Por ello, puede afirmarse que la calidad del aprendizaje no lo garantiza el uso de

las herramientas tecnológicas, sino que la misma facilita de cierto modo el aprendizaje de

un determinado objetivo siempre que vaya acompañado con una adecuada planeación

didáctica.

Con las TIC podemos reforzar el aprendizaje, desarrollar las habilidades necesarias para

el uso de la tecnología y el auto aprendizaje; de esta manera, la incorporación de las

tecnologías es eficaz, si se conoce el alcance y funcionamiento de la TIC, si se definen con

claridad los conocimientos que se pretenden sean aprendidos, si se establecen ejercicios del

uso de las TIC relacionados con el mundo real, y si se enseña al estudiante a ser

autodidacta.

REFERENCIAS

Constitución de las República Bolivariana de Venezuela. (2009) [Documento en línea]

Disponible: http://www.tsj.gov.ve/legislacion/enmienda2009.pdf

[Consulta: 2013, Enero 23].

García, F., Portillo, J. Romo, J. y Benito, M. (2007). Nativos digitales y modelos de

aprendizaje [Documento en línea] Ponencia presentada en el IV Simposio

Pluridisciplinar sobre Diseño, Evaluación y Desarrollo de Contenidos Reutilizables.

Bilbao: Universidad del País Vasco. Disponible en:

http://www.tsj.gov.ve/legislacion/enmienda2009.pdf


173

http://spdece07.ehu.es/actas/Garcia.pdf [Consulta: 2013, Febrero 25].

Macías L, Michán L. (2009). Los recursos de la web 2.0 para el manejo de la información

académica. [Revista en línea]. Disponible:

http://fuente.uan.edu.mx/publicaciones/01-

01/los_recursos_de_la_web_2.0_para_el_manejo_de_informacion_academica.pdf

[Consulta: 2013, Enero 21].

Ministerio del Poder Popular para la Ciencia, Tecnología e Innovación. (s/f). ¿Qué es el

proyecto Canaima Educativo? [Página Web en Línea] Disponible:

http://www.canaimaeducativo.gob.ve/index.php?option=com_content&view=category

&layout=blog&id=14&Itemid=282 [Consulta: 2013, Enero 21]



Valero, A. (2009). ¿Qué es un blog educativo? [Página Web en Línea]. Disponible:

http://salonvirtual.upel.edu.ve/pluginfile.php/19635/mod_resource/content/0/Blogs/Blo

gs_Educativos.pdf. [Consulta: 2013, Enero 15]

Van Hiele, P.M. (1957): El problema de la comprensión. En conexión con la comprensión

de los escolares en el aprendizaje de la geometría. Tesis de Doctorado No

Publicada, Universidad Real de Utrecht: Utrecht, Holanda. Disponible en:

http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/aprengeom/archivos2/VanHiele57.pdf

[Consulta: 2012, Octubre 15]


http://www.canaimaeducativo.gob.ve/index.php?option=com_content&view=category&layout=blog&id=14&Itemid=282

http://www.canaimaeducativo.gob.ve/index.php?option=com_content&view=category&layout=blog&id=14&Itemid=282

http://salonvirtual.upel.edu.ve/pluginfile.php/19635/mod_resource/content/0/Blogs/Blogs_Educativos.pdf

http://salonvirtual.upel.edu.ve/pluginfile.php/19635/mod_resource/content/0/Blogs/Blogs_Educativos.pdf

http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/aprengeom/archivos2/VanHiele57.pdf


174

LA ESTADÍSTICA Y LOS LIBROS DE TEXTO DE MATEMÁTICA

Julia Elena Sanoja de Ramírez

[email protected]


Oscar Ramírez

UNESR

RESUMEN

El presente trabajo se planteó como objetivo Caracterizar los contenidos de Estadística

presentes en los libros textos de Matemática, de la Educación Primaria, desde los

organizadores del currículo. La fundamentación teórica que sustenta la investigación se

centra en los Organizadores Curriculares (Rico, 1997) y los Organizadores Curriculares

Específicos para contenidos de Estadística de Martin (2002). La investigación se desarrolló

bajo un enfoque cualitativo, asumiendo como unidad de análisis a los libros de texto de

Matemática de 4°, 5° y 6° grado de educación primaria, la técnica de análisis fue el análisis

de contenido (Bardín, 2002), para ello se diseñó el instrumento RCELTM que permitió

realizar el recuento de categorías. Se evidenció lo poco que le dedican dentro de todo el

libro a los contenidos de Estadística, los cuales son presentados al final del mismo; las

editoriales le restan importancia al organizador curricular errores y dificultad, así como al

de la historia. En cuanto a los organizadores específicos, los libros de texto no reflejan la

relación entre Estadística y Probabilidad, así como tampoco las aplicaciones de los

conceptos estadísticos para conjeturar y tomar decisiones.

Palabras Clave: Libros de Texto, Estadística, Organizadores del Currículo.

INTRODUCCIÓN

La Educación es el pilar fundamental para la transformación social, se constituye en un

verdadero motor que impulsa el desarrollo nacional, al capacitar mejor a los individuos para

su participación en la sociedad, tal como lo establece la Constitución de la República

Bolivariana de Venezuela (1999) en su artículo 102 “ … y está fundamentada en el respeto

a todas las corrientes del pensamiento, con la finalidad de desarrollar el potencial creativo

de cada ser humano y el pleno ejercicio de su personalidad en una sociedad democrática

….”. Para el desarrollo de este potencial creativo en el individuo, en cualquier nivel

educativo venezolano, existe un currículo establecido que sirve de marco de referencia

donde se recogen las intenciones educativas que deberán desarrollar los profesores y

alumnos en las aulas de clase. Particularmente en la Educación Primaria, el Currículo



175

Nacional Bolivariano (C.N.B) (M.P.P.E., 2007) es este marco de referencia, para su

desarrollo los profesores y alumnos emplean una variedad de medios instruccionales, entre

los que se encuentra el libro de texto, el cual es el elemento central de esta investigación y

que de aquí en adelante referiremos como “los libros de texto”.

Ahora bien, en los contenidos que establece el C.N.B (M.P.P.E., 2007), vemos como la

enseñanza de la Estadística en la educación primaria venezolana, está incorporada como un

tema dentro de Matemática. En cuanto a su enseñanza propone un tratamiento muy

diferente, una enseñanza centrada en el análisis de los datos para conocer y entender el

contexto donde se desenvuelve el niño. En vista de ello los libros de texto deben estar en

consonancia con los planteamientos del C.N.B.

En el informe Cockcroft (1985), se afirma que "los libros de texto constituyen una

ayuda inestimable para el profesor en el trabajo diario del aula" (p. 114). El libro de texto

no es sólo un medio de enseñanza, sino también una manera de entender el desarrollo

curricular. Parece obvio pensar que los libros de texto deben diseñarse de manera que

trasmitan los principios y valores que promueven los cambios curriculares, de manera que

profesores y alumnos queden impregnados por ellos durante la práctica educativa. Los

libros de texto deben facilitar la construcción del conocimiento y promover aspectos

sociales del aprendizaje. Rico (1990), haciendo referencia al papel tradicional que en

ocasiones ha desempeñado el profesor, afirma:

El profesor conserva, mantiene y transmite el saber institucionalizado en los

manuales, donde aparece seleccionado y adecuadamente estructurado. El libro

proporciona seguridad y continuidad en los puntos de vista, facilita la imagen de

que el conocimiento es algo localizado, que se puede encontrar fácilmente y con

respecto al cual el único trabajo posible consiste en su asimilación. Su

determinación ya está hecha, y su base fundamentalmente es "científica", apoyada

por la tradición y la experiencia. Como el libro supone un gran esfuerzo de

síntesis, planificación, estructuración y acomodación de contenidos, por encima

de la capacidad del profesor medio, se considera el paradigma del conocimiento

que hay que transmitir (p. 22).

Sin embargo es el profesor quien debe, entre otras tareas, organizar y desarrollar dicho

currículo y para ello tiene que tomar una serie de decisiones referidas al diseño, análisis y

selección de unidades didácticas. Una fuente potencial para esto la constituyen los libros de

texto. Para Holgado (2000) el libro de texto es “un cuerpo de conocimientos derivado de


176

una reconstrucción social del mundo exterior, provisto de una lógica interna y articulado en

torno a temas específicos” (p. 298).

Los sistemas educativos los muestran como el medio por excelencia para la adquisición

de los contenidos curriculares, siendo la base de la propia actuación del profesor, limitada -

en la mayoría de los casos - a reproducir/transmitir los saberes reflejados en sus páginas.

Así la escuela primaria será un mero agente transmisor de un conjunto de saberes

elaborados fuera de la misma. Su mayor o menor preponderancia en la enseñanza responde

a los principios y valores educativos –manifiestos o latentes- inmersos en la formación del

individuo. Al mismo tiempo refleja la manera de concebir la propia disciplina y su lugar en

el currículo. Su protagonismo en la formación del niño y de los profesores en particular no

puede ser analizado sin contar con una visión amplia del fenómeno, donde se integran e

interrrelacionan factores e intereses que afectan tanto al ámbito interno como externo del

proceso educativo.

Es, por lo tanto, un hecho que el profesor en la actualidad utiliza los libros de texto

como uno de los elementos centrales y básicos del trabajo diario en las escuelas. Porque

seguramente a través de ellos pervive una metodología pedagógica muy bien asentada, unos

intereses económicos y unas pautas de control eficaz sobre la escolaridad de tal forma que

los libros de texto congráficon el currículo y, además, las prácticas escolares. (Brewer,

1986; Cobb, 1987; Gimeno, 1991, 1994; Grinberg, 2002; Parcerisa, 1996).

Es así como vemos que los libros de texto son pilar fundamental en el proceso de

enseñanza y aprendizaje, y la Estadística no escapa de ello. Esto debido a que a pesar de

que a lo largo del currículo C.N.B. están presentes los contenidos de Estadística en toda la

primaria, los profesores no imparten dicho contenido o lo hacen de manera superficial, por

diversas razones, solventando esta falla a través de la asignación de un trabajo que deben

desarrollar los niños (León 1998 y Sanoja 2010), siendo los libros de texto de Matemática

la fuente de conocimiento para dichos trabajos.

Esto nos lleva a preguntarnos ¿cuál es la situación de los contenidos de Estadística

dentro de los libros de texto?,

Es una realidad indiscutible que los libros de texto han sido, desde su existencia, un

medio básico en enseñanza, e incluso hoy día a pesar de la proliferación de otros medios

posibles a utilizar, ocupa un lugar predominante en los procesos de organización y


177

selección de los contenidos que serán enseñados en el contexto del aula. Su especificidad

radica en que en tanto que es producido por fuera de las organizaciones que componen la

escuela primaria, debe situarse a mitad de camino entre el diseño curricular oficial y las

necesidades y demandas que surgen del y en el espacio áulico. Es decir que si bien, no

forma parte del organigrama escolar, constituye una herramienta clave de los procesos de

enseñanza y aprendizaje que ocurren en el contexto del aula.

Los libros de texto en la escuela primaria son utilizados por los profesores y alumnos

para mediar sus procesos formativos. En la escuela primaria resultan ser más accesibles que

muchos otros medios de aprendizaje; pueden llegar a todos los lugares, ser utilizados y

reutilizados tantas veces como se requiera en la labor educativa, se convierten en un

generador de procesos pedagógicos, cognitivos, psicológicos y culturales. Desde esta

perspectiva, los libros de texto han servido como programa cotidiano para desarrollar el

trabajo del profesor. Holgado (2000) señala que los libros de texto les sirven a los

profesores no sólo para introducir y describir conceptos, sino que también les provee del

contenido de las lecciones, los proyectos y actividades a través de los cuales pueden

explicar, desarrollar y reforzar ideas. Por consiguiente, los libros de texto proponen un

camino, un enfoque y una fundamentación teórica que median los procesos de construcción

del conocimiento.

La relación existente entre el currículo oficial, los libros de texto y otros materiales

curriculares influyen de forma considerable en la calidad y eficacia del proceso educativo.

Los libros de texto pueden entenderse como una forma de desarrollo del currículo, además

de un medio para la enseñanza, debiendo por tanto transmitir los principios y valores que

promueven el cambio y la innovación. Constituyéndose así como la principal o única

fuente de organización del trabajo en las aulas escolares, por consiguiente la elección de

uno u otro puede ser determinante para el modelo educativo que se vaya a aplicar en el

aula. Al respecto, Grinberg (2002) expresa que los libros de texto constituyen un elemento

organizador de las experiencias de aprendizaje, además dan seguridad a los padres, a los

alumnos y a los mismos profesores porque este recurso indica cuáles son los objetivos, los

contenidos y las actividades a realizarse en el aula de tal manera que los tome como guía

para lograr flexibilidad y autonomía ante la posible rigidez del currículum, y también para

cumplir totalmente con el programa del grado respectivo.


178

Para Azcárate, Serradó y Cardeñoso (2004) una de las principales fuentes de

información que utilizan los profesores de Matemáticas en la preparación del proceso de

enseñanza y aprendizaje del conocimiento estadístico son los libros de texto.

En función a ello y teniendo en cuenta que los cuatro elementos generales que

componen el currículo: objetivos, contenidos, metodología y evaluación, deben estar

presentes en los libros de texto, vemos como los planteamientos de Rico (1997) sobre los

organizadores del currículo de Matemática así como Martin (2002) sobre los organizadores

curriculares específicos para Estadística, nos permiten dar una mirada a los libros de texto

de Matemática, específicamente en los contenidos de Estadística. Para Rico (1997) los

Organizadores de Currículo permiten dar una mirada a los libros de texto como elementos

que tradicionalmente han organizado las unidades didácticas y en función a ello los define

como “aquellos conocimientos que adoptamos como fundamentales para articular el diseño,

desarrollo y evaluación de unidades didácticas” (p.45).

El análisis de la presencia y desarrollo de los organizadores del currículo en los libros

de texto puede ayudar a los profesores a realizar una selección adecuada de los textos, a

efectuar un análisis comparativo y reflexivo de los mismos, a planificar y desarrollar mejor

los aspectos de las componentes del currículo en cada unidad didáctica. Por lo que, al

considerar los libros de texto como la guía primordial para el profesor, se hace necesario

conocer los organizadores del currículo implícitos en sus propuestas, esto es de vital

importancia para comprender el tipo de intervención que promueven y poder reflexionar

sobre sus consecuencias y su evolución. A su vez, resulta interesante develar qué es lo que

dicen y lo que omiten los libros de texto que, obligatoriamente, entran en contacto con los

alumnos y alumnas, así como develar las tendencias didácticas que subyacen en éste.

En los libros de texto subyace implícitamente no sólo una concepción del saber

estadístico a enseñar, sino además las relaciones que se pueden establecer entre el

estudiante y el saber mediatizadas por el texto. En este orden de ideas, Cañizares, Estepa y

Batanero (2000) señalan la importancia de los libros de texto como material didáctico y el

interés de su análisis para detectar posibles desajustes en el tratamiento de la Estadística.

Es por ello, que esta investigación se dedica a estudiar los contenidos de Estadística

presentes en los libros de texto de Matemática para la escuela primaria, específicamente en

4°, 5° y 6° grado de primaria.


179

Hacer un estudio crítico de los libros de texto, implica problematizar y desentrañar estas

cuestiones que operan como restricciones didácticas para el estudio de un conocimiento

estadístico específico.

Todo lo anteriormente expresado, nos lleva a preguntarnos:

¿Qué elementos caracterizan la estructura de los contenidos de Estadística en los libros de

texto de Matemática para la Educación Primaria?

Objetivo de la Investigación

Caracterizar los contenidos de Estadística presentes en los libros textos de Matemática, para

la Educación Primaria, desde los organizadores del currículo.

MARCO REFERENCIAL

Quispe, Gallardo y González (2010) en su reporte de investigación fundamente el

análisis en la dimensión fenómeno-epistemológica de un modelo operativo para la

interpretación de la comprensión en Matemáticas. Se pone la atención sobre los

significados, las representaciones e ilustraciones, la fenomenología y la orientación

metodológica. y el estudio de Bodí y Valls (2002) se llevó a cabo mediante el análisis de la

presencia y desarrollo de los denominados por Rico (1997) organizadores del currículo de

Matemáticas, elementos que permitan una adecuada programación, el conocimiento

objetivo de las unidades didácticas, que además de procedimientos y conceptos, faculten la

planificación y desarrollo estructurado de las distintas unidades didácticas. El análisis de

los distintos organizadores en los textos de Matemáticas, resulta fundamental para una

planificación correcta del currículo en el aula o en la elección de un libro escolar. Ambas

investigaciones sobre los libros de texto consideraron para su análisis los organizadores

curriculares, aportando a esta investigación orientaciones metodológicas en cuanto al

empleo de los organizadores del currículo para la construcción del instrumento así como

para el análisis de la información.

Por otra parte, los trabajos de Serrado, Cardeñoso y Azcárate (2008), León (2006), y

Cortés (2006) utilizan como técnica de Análisis de la Información: el análisis de contenido,


180

cada uno de estos trabajos emplea modalidades distintas del análisis de contenido para

realizar el análisis de la información, siendo esto orientaciones metodológicas muy

interesantes para esta investigación.

En lo que respecta a los aportes de Monterrubio y Ortega (2009) y García (1999), se

vinculan con la investigación al ofrecer fuentes referenciales en cuanto al diseño de

instrumentos para la valoración de libros de texto:

Además la importancia de las referencias obtenidas de esos trabajos, permitieron

enriquecer la búsqueda de información referente al tema de investigación. Dado que los

contextos son similares (Venezuela, Latinoamérica y España), hace que las experiencias de

estas investigaciones den un aporte significativo a la presente investigación.

El Libro de Texto

Si entendemos por libro de texto escolar todo libro dirigido a niños, adolescentes y

jóvenes escrito con una finalidad educativa podríamos incluir en esta categoría a los libros

concebidos directamente con esta finalidad y a aquellos que sin haber sido escritos

inicialmente para el mundo infantil y juvenil han llegado formar parte de este ámbito en la

práctica. Gimeno (1991) lo define como "cualquier instrumento u objeto que pueda servir

como recurso para que, mediante su manipulación, observación o lectura se ofrezcan

oportunidades de aprender algo, o bien con su uso se intervenga en el desarrollo de alguna

función de la enseñanza".

Los libros de texto juegan un papel importante en la enseñanza de las Matemáticas

debido a su estrecha relación con la enseñanza en clase. Se identifican los temas y el orden

de una manera que los profesores y estudiantes deben explorar. También se trata de

especificar cómo las lecciones en el aula pueden ser estructuradas con los ejercicios

adecuados y actividades. Por otra parte, los libros de texto tienen un lugar destacado en las

reformas curriculares y se considera como la herramienta más importante para la

implementación de un nuevo plan de estudios en muchos países (Valverde, Bianchi, Wolfe,

Schmidt y Houang, 2002). Así mismo, Cobo y Batanero (2004) afirman que los libros de

texto no son únicamente el medio para enseñar sino también una manera de entender el

desarrollo de los contenidos curriculares.


181

Los organizadores del currículo

Los organizadores del currículo propuestos por Rico (1997) ofrecen a los profesores un

buen marco conceptual para la enseñanza de la Matemática, permiten generar espacios de

reflexión que muestran la complejidad de los procesos de transmisión y construcción del

conocimiento matemático y proporcionan criterios para abordar y manejar esta

complejidad. La necesidad organizativa del currículo de Matemática de primaria no puede

ser reducida sólo a la disciplina Matemática, por lo que se hace preciso buscar otros

organizadores. En el Cuadro 1 se presenta de manera resumida los cinco organizadores del

currículo propuestos por Rico en 1997.

Cuadro 1.

Organizadores del Currículo

Organizadores Especificidad

Errores y

dificultades

Deben ser dirigidos al diseño de enseñanzas que los eviten. Se ponen

de manifiesto como conocimientos inadecuados, por ello su detección

se organiza mediante un escalonamiento de ejercicios, problemas y

actividades; también se tratan de controlar en las recomendaciones que

los autores van haciendo al lector para que ponga atención sobre

determinados aspectos o para que no confunda nociones similares.

Materiales y

recursos

Empleo de materiales manipulables y de diferentes recursos, como la

calculadora para la enseñanza de los contenidos son entes motivadores.

Sistemas de

representación y

modelos

Diferentes representaciones para los conceptos y procedimientos

matemáticos se presentan explícitamente, así como las conexiones

entre ellas, pero raras veces se insiste en que expresan diversas facetas

y propiedades de un mismo concepto. Así como La consideración del

conocimiento matemático como modelo también la podemos encontrar

con frecuencia; igualmente las modelizaciones surgen en los problemas

de aplicación.

Análisis

fenomenológico

y aplicaciones

Cada uno de los conceptos debiera estar en la base de los diferentes

ejercicios y actividades que se proponen o de las actividades de

motivación y ampliación; no es usual que los libros de texto hagan un

barrido explícito de las principales opciones fenomenológicas para un

determinado concepto pero está claro que, si se quiere presentar un

tópico matemático en toda su riqueza y pluralidad de significados, debe

considerarse en conexión con diferentes fenómenos y debe aplicarse a

otros campos diferentes del conocimiento.

Historia Empleo de la evolución histórica del concepto para motivar al alumno


182

No obstante, las características y especificidad de la enseñanza y aprendizaje de cada

tópico matemático, requiere no sólo una forma diferente de aplicar estos organizadores,

sino también disponer de unos organizadores específicos para cada uno de ellos que incidan

especialmente en sus particularidades. Por tal razón, el análisis de los temas de Estadística,

presentes en el libro de texto de Matemática, requiere que se considere además los

planteamientos de Moore (1997) y Wild y Pfannkuch (1999) en cuanto a centrar la

Estadística sobre las aplicaciones del análisis exploratorio de datos de áreas diversas, esto

lleva a Martín (2002) plantear otros organizadores curriculares específicos para Estadística

(Cuadro 2).

Cuadro 2.

Organizadores Curriculares Específicos para Estadística

Organizador Especificidad

Relación entre

Estadística y

Probabilidad

Integrar el estudio de la probabilidad y la Estadística, de forma que la

introducción gradual de los conceptos y notación probabilística sirva

para explicar Matemáticamente las regularidades observadas en los

datos recogidos, el empleo del concepto de frecuencia relativa, como

punto de partida en el estudio de la probabilidad.

Gestión de datos

estadísticos

Proporcionar a los alumnos las técnicas y procedimientos para

recoger y organizar datos estadísticos u obtenidos en la realización de

experiencias aleatorias: qué información interesa recoger y cómo

facilitar su anotación, valorar la utilidad de las tablas para organizar

los datos, la conveniencia o no de agrupar por intervalos, qué gráfico

será el más adecuado para presentar la información.

Aplicación de los

conocimientos

estadísticos para

conjeturar,

predecir y tomar

decisiones

A través del planteamiento de situaciones reales que involucren al

alumno, no solo en el cálculo sino también en al análisis e inferencia,

que arroje conclusiones

La Estadística y el currículo de la escuela primaria

El contenido de Estadística debe ser tal que responda a las necesidades de todas las

materias cognitivas del programa escolar. Debe permitir una formación integral del niño.

La introducción de la Estadística en el currículo de primaria debe ayudar en la promoción


183

de la alfabetización Estadística entre la población en general y ayudar a preparar a los

estudiantes para su prosecución en los estudios de bachillerato. Tal y como lo plantea el

Currículo Nacional Bolivariano, la enseñanza de la Estadística está interconectada con las

demás áreas del saber, y permite abordar el estudio de problemas y fenómenos reales del

entorno, regionales y de su cotidianidad.

En el contenido de Estadística de la escuela primaria venezolana (cuadro 3) se puede

observar el énfasis que se le da a la organización de los datos a través de tablas y

representaciones gráficas y como se pretende a través de estos que el estudiante adquiera la

habilidad de la interpretación de los datos. Al respecto, Pereira-Mendoza (1995) expresa

que estos elementos son fundamentales en el desarrollo de la comprensión de las medidas

de tendencia central, ellos pueden ayudar a desarrollar habilidades para el análisis de la

información gráfica.

Cuadro 3.

Contenido de Estadística en el currículo de la Educación Primaria venezolana

grado Contenido

Cuarto Interpretación y representación de datos estadísticos en diversos tipos de gráficos.

Identificación de fenómenos y hechos que se pueden predecir y fenómenos al azar.

Predicción de los estados de la materia por variaciones de la temperatura.

Quinto Interpretación y representación de datos estadísticos en diversos tipos de gráficos.



Predicción y verificación. Análisis de datos: la moda y el promedio. Resolución de

problemas cotidianos a través del uso de la Estadística.

Sexto Interpretación y representación de datos estadísticos en diversos tipos de gráficos.



Predicción y verificación. Análisis de datos: la moda y el promedio. Resolución de

problemas cotidianos a través del uso de la Estadística. Nota. Cuadro elaborado con datos tomados de Currículo del Subsistema educación primaria bolivariana por

Ministerio del Poder Popular para la Educación, 2007, Caracas: CENAMEC

METÓDICA

Paradigma: La presente investigación se planteó como objetivo: Caracterizar los

contenidos de Estadística presentes en los libros textos de Matemática, para la Educación

Primaria, desde los organizadores del currículo. Pero para dar respuesta a este la


184

investigación se desarrolló bajo el paradigma interpretativo-fenomenológico, debido a que

me permitió la interpretación de una realidad educativa concreta y compleja, como es la

enseñanza de la Estadística en la escuela primaria desde los libros de texto. Con un

abordaje metodológico cualitativo, el cual presenta una manera diferente de ver la realidad.

Se desarrolló bajo un proceso activo, sistemático y riguroso de indagación dirigida al

descubrimiento del conocimiento estadístico presente en el libro de texto de Matemática.

Para Taylor y Bogdan (1987) la metodología

designa el modo en que enfocamos los problemas y buscamos las respuestas (…) Los

métodos cualitativos, buscan analizar cómo y de qué manera los actores interpretan el

mundo y le dan sentido, a partir de idea, sentimientos y motivos internos (p. 123)

Contexto de la Investigación: Esta investigación tiene como contexto de investigación la

escuela primaria venezolana, presentando como unidad de análisis los libros de texto de

Matemática, de cuarto (4°), quinto (5°) y sexto (6°) grado, particularmente la sección de

Estadística de dichos libros de texto.

Unidad de análisis: Luego de haber realizado una consulta en once librerías de la ciudad

de Maracay, especializadas en material educativo, se detectó que existen diez (10)

editoriales con libros de texto de Matemática para la escuela primaria, y su selección, para

este estudio, se realizó en función a los siguientes criterios:

- Libros de texto que han sido elaborados conforme al programa educativo oficial

vigente en Venezuela, esto es según lo establecido en el Currículo Nacional

Bolivariano de la educación primaria (CENAMEC, 2007)

- Los más demandados en las listas escolares, de acuerdo a la información suministrada

en la consulta a las librerías

Según lo señalado, existen seis (6) editoriales susceptibles de ser seleccionadas, pero

para el momento de dicha selección se escogieron solo tres editoriales: Santillana, Tricolor

y Premier, por ser aquellas que para el momento del desarrollo de la investigación estaban

presentes en las librerías, para los tres grados en estudio (4°, 5° y 6°).

Instrumentos de Recolección de Información: De acuerdo al paradigma interpretativo

fenomenológico, el investigador se convierte en el principal instrumento de recogida de

información con la ayuda de técnicas que le permitan la adaptación y consecución de los

objetivos deseados. Tras la revisión de las fuentes bibliográficas y de diversos materiales,


185

relacionados con el análisis de los libros de texto, se emplearon como instrumentos de

recogida de información: Cuaderno de notas, permitió recabar la información proveniente

del análisis de los organizadores específicos, siguiendo las especificaciones propuestas por

Martin (2002) que señala la necesidad de considerar los planteamientos de Wild y

Pfannkuch (1999) y Moore (1997) en cuanto a centrar la Estadística sobre las aplicaciones

del análisis exploratorio de datos de áreas diversas, y un instrumento denominado

RCELTM (Reconocimiento del Contenido de Estadística en los Libros de Texto de

Matemática) que permitió reconocer el contenido de Estadística en los libros de texto de

acuerdo a los organizadores del currículo.

Técnica de Análisis: Para caracterizar los contenidos de Estadística presentes en los

libros de texto de Matemática se empleó la técnica de Análisis de Contenido Bardín, 2002),

por ser una técnica de interpretación de textos (escritos, grabados, pintados, filmados, entre

otros), cuyo denominador común de todos estos materiales es su capacidad para albergar un

contenido que leído e interpretado adecuadamente nos abre las puertas al conocimientos de

diversos aspectos y fenómenos de la vida social

ANÁLISIS DE RESULTADOS

Análisis de Contenido Descriptivo de Organizadores Generales

En primer lugar, en el cuadro 4, se presenta la proporción en que las editoriales le

asignan la cantidad de páginas a los contenidos de Estadística de los libros de texto, en este

aspecto no se diferencian los grados por presentar las mismas características en cuanto a los

indicadores señalados.

Cuadro 4

Páginas del libro de texto dedicadas a Estadística.

INDICADORES EDITORIAL

Santillana Tricolor Premier

Número de páginas del libro: 160 152 111

Número de Unidades del libro 9 5 5

Número de páginas dedicadas a Estadística 18 (11,25%) 21 (13,8%) 8 (7,21%)


186

Aquí puede se puede observar que la editorial Tricolor es la que dedica más páginas

(13,8 %) al contenido de Estadística, aún cuando si hiciese una distribución equitativa en

función a las cinco unidades en que se estructura el libro le correspondería a cada unidad el

20% de las páginas. En contraparte vemos como la editorial Premier le resta importancia a

los temas de Estadística al dedicarle solamente el 7,21% de las páginas del libro, donde si

hiciera una repartición equitativa en función a las cinco (5) unidades en que se estructura el

libro le correspondería a cada unidad el 20% de las páginas del libro.

Ahora bien, para el estudio del contenido de Estadística presente en los libros de texto de

Matemática de la escuela primaria a través de la técnica de análisis de contenido, en este

apartado, se empleó el reconteo de las categorías expresadas en el instrumento RCELTM,

mostrando la frecuencia de aparición; presencia (P) o ausencia (A); la contingencia,

entendida como la presencia en el mismo momento de dos o más categorías. En el cuadro 5

se presentan la frecuencia de la presencia o ausencia da cada categoría según los Aspectos

Generales presentes en los libros de texto.

Cuadro 5

Reconteo de las categorías de los Aspectos Generales presentes en los libros de texto

de Matemática

Categorías

Grado Grado Grado

4° 5° 6° 4° 5° 6° 4° 5° 6°

Editorial


P A P A P A P A P A P A P A P A P A

Contenidos

(12) 10 2 10 2 10 2 10 2 11 1 11 1 6 6 7 5 7 5

Actividades

(10) 8 2 6 4 7 3 5 5 6 4 6 4 2 9 2 9 2 9

Evaluación

(4) 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0

Se puede evidenciar en Santillana una alta presencia de las categorías en estudio, esto

nos indica que se detectan como elementos decisivos en el diseño de la unidad de

Estadística; de igual manera podemos ver este comportamiento en términos generales con

la editorial Tricolor, sin embargo en cuanto a la presencia de la categoría Actividades se

observa una frecuencia de presencia media. Preocupante es la situación que evidencia la


187

editorial Premier en cuanto a la presencia de las categorías, en lo que respecta a la categoría

Contenido se observa una frecuencia media, pero en la categoría Actividades presenta

grandes debilidades, se detectó la poca presencia de esta categoría en la unidad de

Estadística indicando esto que se le da poca importancia o casi nula a este organizador.

Por otra parte, vemos como las tres editoriales consideran necesario el proceso de

reflexión sobre lo que el niño ha aprendido el proponer actividades de evaluación, esto

queda evidenciado al presentar la frecuencia más alta en cuanto a presencia de la categoría

se refiere.

En el cuadro 6 se presentan la frecuencia de la presencia o ausencia da cada categoría

según los Aspectos Relativos a los Organizadores del Currículo presentes en los libros de

texto.

Cuadro 6

Reconteo de las categorías de los Aspectos Relativos a los Organizadores del

Currículo

Organizador

Grado Grado Grado

4° 5° 6° 4° 5° 6° 4° 5° 6°

Editorial


P A P A P A P A P A P A P A P A P A

Errores y

dificultad 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2

Materiales y

recursos 1 6 2 5 2 5 4 3 3 4 4 3 2 5 2 5 1 6

Sistemas de

representación

y

modelos

4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 3 2 3 2 3

Análisis

fenomenológico

y aplicaciones

5 0 4 1 5 0 4 1 4 1 5 0 0 5 0 5 0 5

Historia 0 3 0 3 0 3 2 1 2 1 2 1 0 3 0 3 0 3

Errores y dificultad. Es notorio como ninguna editorial presta atención a este

organizador como un elemento a considerar para el diseño de la unidad, esto se evidencia al

no tener presencia dentro del contenido desarrollado en el libro de texto, aún cuando este es

un organizador de gran ayuda, tal como lo refiere Rico (1997) por ser un factor motivador


188

en la exploración de los conceptos o que se emplee para clarificar conceptos, como por

ejemplo establecer las diferencias entre la media aritmética y la mediana por ser conceptos

que tienden a confundirlos.

Materiales y recursos. En la editorial Tricolor se evidencia la presencia de este

organizador, con una frecuencia media, al presentar actividades que involucran el uso de

materiales manipulables como dados, monedas, uso de la prensa para la búsqueda de

información; siendo este organizador un recurso didáctico motivador y/o ilustrativo que

conecta el aula con la realidad, además de permitir la exploración de los conceptos. Al

respecto Moore (1997), expresa que los materiales y recursos empleados para la enseñanza

de la Estadística ayudan a plantear situaciones problemáticas interesantes permitiendo el

desarrollo y comprensión de los conceptos de Estadística y probabilidad.

Vemos con preocupación cómo en las editoriales Santillana y Premier no hay presencia

de este organizador. Así como ninguna de las editoriales considera el uso de la calculadora

como recurso que facilita el cálculo y permite que el niño le dedique más tiempo al análisis

de la información y así comprender su entorno.

La función de los materiales y recursos es servir como instrumento para plantear nuevos

problemas o para favorecer una mayor reflexión en torno a problemas planteados, permite

al niño conectarse con experiencias y necesidades de su entorno.

Sistemas de representación y modelos. Este organizador tiene mayor presencia en las

editoriales Santillana y Tricolor, esto permite al niño organizar la información sobre un

concepto para poder pensar sobre ellos, expresar su comprensión, y utilizarla en situaciones

y problemas prácticos o en situaciones escolares convencionales. Se aprecia como en

menor presencia este organizador se evidencia en la editorial Premier.

Análisis fenomenológico y aplicaciones. Este organizador tiene mayor presencia en las

editoriales Santillana y Tricolor, se refleja en la presentación de las situaciones problemas

asociadas a la cotidianidad del niño, esto permite que el niño reconozca la importancia de la

Estadística para su desenvolvimiento en sociedad, percibe la vinculación de la Estadística

con otras áreas del saber. Por otro lado, se observa como en la editorial Premier es

inexistente este organizador, de vital importancia para el desarrollo de los contenidos de

Estadística.


189

Historia. Es notorio como el uso de la historia es inexistente en las editoriales Santillana

y Premier, solamente la editorial Tricolor emplea la historia haciendo referencia al tema o

como recurso anecdótico siendo esto un recurso motivador y enriquecedor para el niño al

ver cómo en otros tiempos se empleaba la Estadística y la probabilidad o bien para mostrar

sus orígenes.

Análisis de Contenido Descriptivo de Organizadores Específicos

En lo referente a los Organizadores Específicos se observó, en las tres editoriales, que

los Organizadores: Relación entre Estadística y Probabilidad y Aplicación de los

conocimientos estadísticos para conjeturar, predecir y tomar decisiones no aparecen

reflejados ni destacados a los largo del desarrollo de los temas.

Sin embargo se aprecia como el Organizador Específico Gestión de datos estadísticos,

aparece reflejado en las editoriales Santillana y Tricolor a través de las actividades que debe

desarrollar el niño, en las que debe aplicar técnicas y procedimientos para recoger y

organizar datos estadísticos, allí valorará la utilidad de las tablas de frecuencia para

organizar los datos, la conveniencia o no de agrupar por intervalos, qué gráfico será el más

adecuado para presentar la información. Estos son aspectos que difícilmente serán

analizados y observados por los niños si no se enfrentan a situaciones abiertas donde tengan

que realizar el proceso completo. Todos los niños deberían estar capacitados para formular

cuestiones que puedan resolverse a partir de un conjunto de datos estadísticos y

coleccionar, organizar, representar gráficamente los datos relevantes para contestarlas.

Por su parte, en los libros de texto de la editorial Premier no aparece reflejado este

organizador.

CONCLUSIONES

En función a los Organizadores del Currículo: Las editoriales ignoran por completo al

organizador errores y dificultades y en la mayoría de los casos se refieren a hechos y

técnicas, ello revela una metodología que escasamente utiliza el fundamental principio


190

pedagógico de enfrentar al estudiante con contradicciones y mostrar la necesidad de

coherencia en sus conclusiones.

El uso de materiales es pobre y escaso. El análisis fenomenológico y aplicaciones de los

conceptos estadísticos se utilizan de forma irregular, incluso entre las unidades didácticas

de un mismo texto. Sin embargo, las tres editoriales muestran diferencias en relación con la

riqueza y variedad de recursos que utilizan.

El uso de la historia como recurso se limita, en el caso de la editorial Tricolor, a breves

reseñas al principio o final del capítulo, puesto que las editoriales Santillana y Premier

ignoran la presencia e importancia de este organizador, siendo este un recurso enriquecedor

y a menudo muy motivador para los niños.

Los sistemas de representación y modelos son variados, ya que el propio desarrollo de

los contenidos oficiales lo requiere, pero las traslaciones de una representación a otra se

plantean habitualmente en la misma dirección; por ejemplo: conjunto de datos - tabla –

gráfico, sin embargo las tres editoriales obvian la modelización, aspecto contemplado en el

currículo oficial.

En función a los Organizadores Específicos del Currículo: En lo que se refiere al

tratamiento de la Estadística y la probabilidad, ninguna de las editoriales contempla la

vinculación entre las tablas de frecuencia y el concepto de probabilidad.

En el caso específico de la editorial Premier, los conocimientos seleccionados como

organizadores específicos no se reflejan en el desarrollo de las unidades didácticas. Tal

como señala Rico, Sierra y Castro (2000), la influencia de la disciplina Didáctica de la

Matemática en editoriales y casas comerciales que trabajan sobre libros de texto, es cuando

existe, minoritaria e inapreciable y no se ha producido la incorporación sistemática de

resultados de investigación en los libros de texto.

La editoriales Santillana y Tricolor inducen someramente al niño al desarrollo del

pensamiento estadístico al considerar el organizador Gestión de datos estadísticos.

Si los libros de texto son las herramientas que delimitan los contenidos sobre los que el

profesor ha de basar su enseñanza, y por ende los conocimientos que el niño va a adquirir,

entonces se debe hacer una selección adecuada de los mismos, por la importancia que

tienen para el proceso de enseñanza- aprendizaje.


191

Aún cuando todos los libros de textos de las tres editoriales contemplan en cada grado

los contenidos establecidos según el C.N.B. (2007), sin embargo no plasman el enfoque tal

y como está planteado en el currículo, una orientación de los contenidos hacia la resolución

de problemas.

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194

PITÁGORAS Y EL TEOREMA DE LA MUJER CASADA.

UNA PROPUESTA DIDÁCTICA

Andrea Osorio

[email protected],

Carmen Gil; Wolghan Gómez; Evelyn Romero

Martha Iglesias

[email protected]


RESUMEN

En la práctica educativa actual, el estudio de la Matemática tiende a ser rechazado por

los estudiantes, por diversas razones, entre ellas: la falta de motivación e interés hacia el

estudio, la forma de enseñar de los profesores, el carácter abstracto de las nociones

matemáticas, la carencia de adecuados hábitos de estudio y materiales didácticos

apropiados, etc. Además, los docentes de Matemática suelen enfatizar en los contenidos

aritméticos y algebraicos, descuidando el estudio de la Geometría; situación que no le

permite a los estudiantes percatarse de la relación existente entre los contenidos

geométricos con el mundo que nos rodea. Por ello, los profesores de Matemática requieren

diseñar, desarrollar o simplemente gestionar estrategias didácticas que den respuesta a las

necesidades formativas de los estudiantes y, por ende, de la sociedad, teniendo en cuenta

los fines de la Educación Matemática. Por ello, a partir del desarrollo de un mapa de

enseñanza y aprendizaje para determinar el alcance del contenido geométrico a ser

estudiado (Orellana Chacín, 2002) y la aplicación del modelo de razonamiento geométrico

(Van Hiele, 1959) para establecer las habilidades geométricas que se pretenden sean

alcanzadas por los estudiantes, se diseñó una propuesta didáctica orientada a la enseñanza y

el aprendizaje del Teorema de Pitágoras (3er año de educación media) y centrada en el uso

de un juego didáctico PITAGORAS_MANIA (adaptación del reto a saber), el cual fue

diseñado con la intención de estimular la creatividad y socialización entre los estudiantes,

así como la puesta en práctica del contenido matemático y su comprensión. Asimismo, se

consideró el uso de un Blog denominado El Mundo de Pitágoras el cual ofrece a los futuros

educadores de Matemática oportunidades para desarrollar habilidades geométricas

relacionadas con la comprensión y aplicación del Teorema de Pitágoras y su demostración

matemática en ambientes con énfasis lúdico y tecnológico. Así, se espera que el juego más

el uso de las tecnologías de información y comunicación propicien el aprendizaje

significativo en el estudiantado, reconociendo además al docente como un actor del proceso

educativo en sus roles de planificador, facilitador y evaluador de los aprendizajes.

Palabras clave: Teorema de Pitágoras, estrategias didácticas y aprendizaje significativo.

INTRODUCCIÓN

El estudio de la Matemática tiende a ser rechazado por los estudiantes, por diversas

razones, entre ellas: la falta de motivación e interés hacia el estudio, la forma de enseñar de

los profesores, el carácter abstracto de las nociones matemáticas, la carencia de adecuados




195

hábitos de estudio y materiales didácticos apropiados, etc. Al respecto, Sánchez (2008), al

referirse específicamente a la enseñanza de la Geometría, señala que

La práctica educativa actual dificulta que los conocimientos matemáticos sean

asimilados correctamente, debido en gran parte a que en la mayoría de las aulas

no son aplicadas estrategias didácticas adecuadas para conseguir los objetivos

geométricos de manera significativa, por lo que es necesario aplicar estrategias

y recursos en el aula para que los alumnos puedan tener ejemplos prácticos y

visuales de la teoría suministrada por el docente (p. 14).

Además, los docentes de Matemática suelen enfatizar en los contenidos aritméticos y

algebraicos, descuidando el estudio de la Geometría; situación que no le permite a los

estudiantes percatarse de la relación existente entre los contenidos geométricos con el

mundo que nos rodea. Cabe señalar que, en Venezuela, los temas geométricos están

presentes tanto en el currículo básico nacional como el currículo nacional bolivariano para

la educación básica; sin embargo, diversos autores reportan que es escaso el contenido

geométrico que se trabaja en el desarrollo de las clases (Sánchez, 2008; Linares, 2008;

Pérez, 2008); esto quizá, según Bressan, Bogisic y Crego (2000), se deba a la poca relación

que establece el docente entre la vida cotidiana y la geometría intuitiva, espacial y lógica,

así como la inseguridad que presenta el docente con respecto al dominio de conceptos

geométricos.

Debido a esto, los profesores de Matemática requieren diseñar, desarrollar o

simplemente gestionar estrategias didácticas que den respuesta a las necesidades formativas

de los estudiantes y, por ende, de la sociedad, teniendo en cuenta los fines de la Educación

Matemática. Por ello, este trabajo tiene como propósito diseñar una unidad didáctica

orientada a la enseñanza y el aprendizaje del Teorema de Pitágoras (3er año de educación

media) centrada en el uso de un juego didáctico denominado Pitagora´s-manía (adaptación

de reto al saber) y el uso de la tecnología a través de la elaboración y utilización de un Blog

en línea. Asimismo, con su diseño y puesta en práctica, se pretende ofrecerles a los

estudiantes oportunidades para desarrollar ciertas habilidades geométricas relacionadas con

el estudio del Teorema de Pitágoras, en ambientes con énfasis lúdico y tecnológico.

REFERENTES TEÓRICOS Y METODOLÓGICOS

En este trabajo se asumió el análisis didáctico – noción introducida por Rico (1997) y

definida por Gómez (2007; p. 18) como “un procedimiento con el que es posible explorar,


196

profundizar y trabajar con los diferentes y múltiples significados del contenido matemático

escolar, para efectos de diseñar, llevar a la práctica y evaluar actividades de enseñanza y

aprendizaje”.

En este sentido, Peñas y Flores (2005) destacan que en la formación del profesor de

Matemática intervienen referentes teóricos provenientes de la investigación en Educación

Matemática como de la reflexión sobre el quehacer docente y, por ello, a los futuros

profesores es necesario brindarles la oportunidad de poner en práctica su conocimiento

tanto matemático como didáctico en la ejecución de tareas apropiadas como el diseño y

desarrollo de unidades didácticas con contenido matemático. Este tipo de tarea exige que el

profesor reflexione y tome decisiones debidamente fundamentadas sobre el alcance de los

contenidos a ser estudiados, los fines que se persiguen, las actividades a ser cumplidas, los

materiales y recursos didácticos a ser empleados y el modo como se llevará a cabo la

evaluación de los aprendizajes.

De la acción reflexiva surge esta propuesta didáctica, la cual busca que los estudiantes

en plena formación matemática, superen la manera tradicional o algorítmica que se ha

implementado a lo largo de los años. En nuestro caso que el teorema de Pitágoras no sólo

quede en una simple fórmula, sino que sean capaces de relacionarlo con su entorno, su vida

diaria, con la tecnología y utilicen dichos conocimientos para solucionar cualquier

eventualidad que se le presente en su día a día.

El análisis didáctico contempla una fase de diseño, dividida en tres componentes, siendo

éstos: (a) Análisis de Contenido, (b) Análisis Cognitivo y (c) Análisis de la Instrucción.

Para llevar a cabo el análisis de contenido se usó el Mapa de Enseñanza y Aprendizaje

(MEA) propuesto por Orellana Chacín (2002) como una herramienta que facilita llevar a

cabo el análisis de contenido de un tema matemático en un determinado nivel educativo.

Cabe destacar que el profesor de Matemática, en atención a los distintos factores que

condicionan el proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, decide en cuáles

aspectos se centrará al momento de diseñar una unidad didáctica y, además, establecerá la

secuencia a seguir. Atendiendo a lo antes mencionado, la propuesta a seguir centrará su

atención en los siguientes aspectos:


197

Gráfico 1. Componentes del mapa de enseñanza y aprendizaje del Teorema de

Pitágoras.

El análisis cognitivo dirigido a la identificación de habilidades asociadas a los niveles de

razonamiento geométrico que se mencionan en el modelo de Van Hiele y que se espera

sean desarrolladas y puestas en práctica por los estudiantes cuando estudien el tema

relacionado con el Teorema de Pitágoras. Este modelo ayuda a entender la forma cómo se

aprende Geometría y, además, cómo propiciar un aprendizaje significativo de los

contenidos geométricos (Gutiérrez y Jaime, 1990; Corberán, 1994, Gutiérrez, 2000). Van

Hiele (1959) estableció que los estudiantes avanzan a través de una sucesión de cinco

niveles de razonamiento en la medida que aprenden un tema geométrico: reconocimiento,

análisis, clasificación, deducción y rigor lógico. Por lo general, educación media, interesa

que los estudiantes reconozcan gráficos y cuerpos geométricos, identifiquen los elementos

que conforman a los distintos objetos geométricos, establezcan relaciones entre estos

elementos y las apliquen en la resolución de problemas; es decir, se suelen considerar los

tres primeros niveles de razonamiento geométrico y, aunque, se trabaje con la verificación

empírica de propiedades, no es habitual que se aborde la demostración de teoremas como el

de Pitágoras. También es necesario tener en cuenta que las edades de los estudiantes de 3er

año de educación media están comprendidas entre 13 y 15 años y están desarrollando su


198

capacidad de abstracción y, por ello, pudieran aún presentar ciertas dificultades para

manejar la formalidad matemática, ya que el paso de un nivel a otro de razonamiento

geométrico se produce en forma progresiva a través del tiempo.

Además, en el modelo de Van Hiele, se señala que cualquier estrategia didáctica, que

permita conducir a los estudiantes de un nivel a otro, debe contemplar las siguientes fases:

información, orientación guiada, explicitación, orientación libre e integración; cada una de

ellas tiene una intencionalidad didáctica que se ha tenido en cuenta al momento de

organizar las estrategias de enseñanza y aprendizaje.

Por ello, el análisis de la instrucción está orientado al diseño de las actividades de

enseñanza y aprendizaje por parte del profesor de Matemática, teniendo como base el

análisis de contenido y el análisis cognitivo previamente realizado, lo cual, según Iglesias

(2008), significa seleccionar o elaborar los materiales y recursos didácticos a ser utilizados

durante la puesta en práctica de la unidad didáctica.

En este trabajo, el análisis de la instrucción se materializó a través del diseño de tres

subunidades didácticas centradas en el estudio del Teorema de Pitágoras, las cuales

guardan una estrecha relación con las fases de aprendizaje propuestas en el modelo de Van

Hiele, pretendiendo que los estudiantes alcancen las habilidades geométricas previstas por

medio de la realización de actividades de modelización matemática, actividades que

incorporan el uso de material didáctico manipulable y de un blog en línea. El desarrollo de

estas actividades, se ha estimado siete (7) sesiones de clases, de cuarenta (40) minutos de

duración cada una. Para el desarrollo de estas actividades, se ha considerado usar los

siguientes materiales o recursos didácticos: (a) Jugando con Ingenio, (b) Pitágora´s -

Manía, y (c) Blog. Cabe decir que el diseño y desarrollo del blog denominado El Mundo de

Pitágoras será dado a conocer en otra ponencia que será presentada en este evento.


En este apartado se describen las actividades didácticas planificadas para que los

estudiantes de 3er año de educación media aborden el estudio del Teorema de Pitágoras,

atendiendo a las fases de aprendizaje y niveles de razonamiento geométrico establecidos en

el modelo de Van Hiele. Además, teniendo en consideración lo expuesto en el mapa de


199

enseñanza y aprendizaje sobre el Teorema de Pitágoras, con esta propuesta se aspira que el

estudiante: (a) Reconozca que el teorema de Pitágoras se aplica a triángulos rectángulos. (b)

Calcule la longitud de un lado de un triángulo rectángulo, conociendo las longitudes de los

otros dos lados. (c) Visualice distintas demostraciones del Teorema de Pitágoras y

comience a familiarizarse con el uso del pensamiento lógico – deductivo en Matemática.

(d) Determine áreas de gráficos planas, mediante la aplicación del teorema de Pitágoras. (e)

Valorice la aplicación del Teorema de Pitágoras en situaciones de la vida cotidiana.

Nivel 1. Visualización o reconocimiento

Fase 1 (Información): En esta fase, el profesor introduce el tema a tratar y, mediante la

formulación de ciertas preguntas, tales como: ¿Qué forma tiene un trozo de pizza?, ¿qué

forma tienen las escuadras del juego geométrico?, ¿pueden reconocer en el aula de clase

algún otro objeto que tenga forma triangular?, ¿qué es un triángulo?, dibuja un triángulo e

identifica sus partes, ¿cómo se clasifican los triángulos?, etc., procura repasar los

conocimientos previos sobre el estudio de la Geometría del Triángulo, ya que, los mismos

son necesarios para el estudio del Teorema de Pitágoras.

Fase 2 (Orientación Guiada): El docente guiará a sus alumnos en la construcción de

diferentes tipos de triángulos, haciendo uso de materiales como papel, cartulina, foami,

cartón, etc., con la finalidad que identifiquen sus vértices, lados y ángulos internos y,

además, determinen las longitudes de sus lados y las medidas de sus ángulos internos y los

clasifiquen según los criterios establecidos. En particular, en el caso de los triángulos

rectángulos, es necesario que los estudiantes ubiquen el ángulo recto, determinen la medida

de los otros dos ángulos y se percaten que ambos son agudos e identifiquen el par de

catetos (lados que determinan el ángulo recto) y la hipotenusa (lado opuesto al ángulo

recto). Para facilitar el reconocimiento de un triángulo rectángulo y sus elementos, se

inscribirá un ángulo recto en una circunferencia (ver Gráfico 2), para que, al girarla, se

percaten que el ángulo recto se mantiene y el triángulo ∆ABC sigue siendo rectángulo.


200

Gráfico 2. Angulo recto inscrito en una circunferencia

Fase 3 (Explicitación): El docente, teniendo como referencia las actividades hasta ese

momento realizadas, propiciará un conversatorio, con el propósito de intercambiar ideas,

para ir afianzando los conocimientos geométricos en sus estudiantes, como también

clarificar dudas o atender las inquietudes que éstos tengan.

Fase 4 (Orientación Libre): Se le pedirá a los estudiantes que construyan con regla y

compás triángulos que satisfagan ciertas condiciones conocidas como LLL, LAL y ALA y,

además, identifiquen sus elementos y cuáles de los triángulos construidos son triángulos

rectángulos.

Fase 5 (Integración): El docente pedirá a sus estudiantes que elaboren un resumen

gráfico (mapa conceptual, mapa mental, cuadro resumen, etc.) en relación al tema tratado y

en función a lo que ellos han entendido, que expliquen los procedimientos usados, que

mencionen los instrumentos o materiales utilizados y cómo podrían relacionar lo que se ha

hecho con aspectos de la vida real.

Nivel 2. Análisis

Fase 1 (Información): Inicialmente, el docente hará una síntesis de las definiciones y

propiedades relacionadas con el estudio de los triángulos, teniendo en cuenta las

actividades antes descritas. Seguidamente, se presentará una reseña histórica sobre

Pitágoras de Samos, enfatizando en su vinculación con el teorema que lleva su nombre.


201

Fase 2 (Orientación Guiada): El docente enunciará el Teorema de Pitágoras y mostrará

cómo puede aplicarse para hallar la longitud de la hipotenusa, conocidas las longitudes de

los catetos o para hallar la longitud de un cateto, conocidas las longitudes de la hipotenusa

y del otro cateto en un triángulo rectángulo. Luego, mediante una hoja de trabajo, orientará

a los estudiantes para que realicen exploraciones geométricas relacionadas con el Teorema

de Pitágoras y, además, lo apliquen en la resolución de triángulos rectángulos.

Fase 3 (Explicitación): Con la finalidad, de aproximar a los estudiantes al estudio de la

demostración matemática, el docente introducirá a través de fichas nuevos términos como

teorema, hipótesis, tesis y demostración, procurando aclarar las dudas que pudieran surgir.

Se recomienda a modo de ejemplificación valerse de propiedades matemáticas conocidas


Fase 4 (Orientación Libre): Se darán a conocer algunas demostraciones del Teorema de

Pitágoras que suelen presentarse en los libros de texto e incentivando a los estudiantes para

que identifiquen hipótesis (lo dado) y tesis (lo que piden demostrar) y traten de comprender

el proceso demostrativo. Algunas demostraciones pueden mostrarse gráficamente o

mediante construcciones de gráficos geométricas realizadas con cartulina o cartón.

Fase 5 (Integración): Se conformarán pequeños grupos de trabajo (2 o 3 integrantes) y

a cada uno de estos grupos se les entregará un folleto denominado Jugando con Ingenio

(ver gráfico 3), similar a un “pasatiempo”, en el cual se proponen cinco (5) actividades

(sopa de letras, exploración, cruzadas, crucijuego y damero) y cuyo objetivo principal es

que los estudiantes a través de la realización de las mismas logren reforzar los

conocimientos adquiridos en las clases, haciendo uso de definiciones y propiedades

geométricas; así como también estimular la creatividad en un ambiente lúdico.


202

Gráfico 3. Imágenes del folleto Jugando con Ingenio.

Nivel 3. Relaciones, clasificación u ordenamiento

Fase 1 (Información): Una vez mostradas algunas demostraciones del teorema, se

enfocará el trabajo en la demostración realizada por Pitágoras de Samos, siendo ésta la más

comúnmente utilizada a nivel escolar, donde se reconocerán los conceptos básicos y, se

procederá mediante la demostración formal, a la deducción de su fórmula.

Fase 2 (Orientación Dirigida): El docente dará a conocer un juego didáctico

denominado Pitágora’s Manía (adaptación del juego conocido como Reto al Saber), con el

propósito que los estudiantes estén en la capacidad de comprender, relacionar y poner en

práctica lo aprendido durante las clases (aprendizaje significativo), así como también

estimular la creatividad, el pensamiento estratégico, la socialización y compañerismo al

estar involucrados todos los estudiantes del curso.

Fase 3 (Explicitación): El docente motivará a los estudiantes para que comenten, a

partir de sus vivencias, los resultados obtenidos (aciertos y equivocaciones) y, en caso de

ser necesario, aclarar dudas o responder las preguntas que pudieran surgir.

Fase 4 (Orientación Libre): El docente pedirá a sus estudiantes que traten de

identificar situaciones cotidianas, donde sería factible aplicar el Teorema de Pitágoras, para

luego discutirlas en clases.

Fase 5 (Integración): Como cierre del desarrollo de esta propuesta didáctica, el

docente, ayudado por sus alumnos, hará una síntesis del tema estudiado, destacando los

logros alcanzados en cuanto al dominio de los contenidos geométricos y la responsabilidad

y eficiencia demostrada en la realización de las actividades cumplidas.


203


En el diseño y desarrollo de esta propuesta didáctica, se ha tenido la oportunidad de

aplicar la noción de análisis didáctico como referente teórico que guió la ejecución de la

tarea; surgiendo así la necesidad de atender diferentes significados del tema geométrico

seleccionado (Teorema de Pitágoras), apoyándose en el mapa de enseñanza y aprendizaje,

así como la identificación de las habilidades geométricas que se pretendía alcanzarán los

estudiantes de 3er año cuando realizarán las actividades propuestas. Esto facilita la toma de

decisiones por parte de los diseñadores, ya que, existe una racionalidad que la justifica.

Asimismo, la matemática lúdica permite crear un ambiente que favorece el trabajo

colaborativo y la socialización entre compañeros de clases en un ambiente agradable, a la

vez que consolidan sus conocimientos sobre la Geometría del Triángulo y aplican el

Teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.

REFERENCIAS

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http://www.ugr.es/~pflores/textos/aRTICULOS/Investigacion/Pe%C3%B1as_Flores_2005.pdf

http://www.ugr.es/~pflores/textos/aRTICULOS/Investigacion/Pe%C3%B1as_Flores_2005.pdf



205

FORMACIÓN PERMANENTE DE LOS DOCENTES DE MATEMÁTICA. UNA


Jimmy Sánchez Chacón

[email protected]

UEN Manuel María Villalobos


[email protected]


RESUMEN

En este estudio se presenta una propuesta didáctica dirigida a la formación permanente

de los docentes de Matemática, con el propósito de contribuir a la solución de la


Media General. Para ello, mediante un trabajo de campo, se identificaron las necesidades

formativas de los profesores que laboran en la U.E.N. Manuel María Villalobos (Carrizal,

Estado Miranda), así como también se revisaron algunas propuestas formativas reportadas

en revistas especializadas o memorias de eventos científicos, logrando establecer las bases

teóricas y metodológicas que sustentaron el diseño de un curso de Geometría y su

Didáctica. La propuesta estuvo orientada a dar a conocer herramientas teóricas y

metodológicas susceptibles de ser empleadas en el diseño de actividades didácticas con

contenidos geométricos, para hacer uso adecuado de un software de Geometría Dinámica

como el Cabri Geometry II Plus. Recomendándose la puesta en práctica del curso por

considerarlo como un escenario propicio para la investigación en Educación Matemática.

Palabras clave: Formación Permanente del Docente, Geometría y su Didáctica, Propuesta

Didáctica.

INTRODUCCIÓN

La Matemática comprende diversas áreas de conocimiento, tales como la Aritmética, el

Álgebra, la Geometría y la Estadística y Probabilidad, entre otras; por ello, en los planes de

estudio correspondientes al área de Matemática, los contenidos tratados tradicionalmente se

han organizado en bloques temáticos asociados a las áreas de conocimiento antes

mencionadas.

En subsistema de Educación Básica, integrado por los niveles de Educación Inicial,

Educación Primaria y Educación Media, la Matemática juega un papel protagónico, por su

valiosa contribución al desarrollo del pensamiento lógico - matemático de los estudiantes,




206

procurando además que los conocimientos matemáticos se usen o apliquen en distintas

situaciones y en el contexto de la vida cotidiana.

Específicamente la Geometría es una disciplina de la Matemática que, según Silva y

Becerra (2007), permite que el estudiante pueda explorar, descubrir y formular conjeturas a

través de diversos recursos didácticos; asimismo permite realizar abstracciones y

comprender el entorno al momento que refuerza el desarrollo de las destrezas y habilidades

para establecer la relación entre los objetos de la vida cotidiana y los objetos matemáticos

(Sánchez, 2008).

Por lo tanto, el docente debe buscar la forma de enseñar la Geometría a través de

estrategias que conlleven calidad en los contenidos y puedan brindar al estudiante las

características anteriormente descritas; destacando que uno de las principales limitaciones

presentes en la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría es la de no ser un área de

conocimiento habitualmente incorporada por los docentes en sus planes de clases, tal como

se precisa más adelante en esta investigación.

Asimismo en diversos reportes de investigación (Moreno, 2006; Beyer, 2007; Sánchez,

2008; Pérez, 2008; Linares, 2008; Pérez, 2010 y Galvis, 2010) se señala que, en la

enseñanza de la Matemática, se han privilegiado los tópicos aritméticos y algebraicos,

dejando – en un segundo plano – el estudio de la Geometría, así como también de la

Estadística y Probabilidad, los autores consideran que para comprender y solucionar la


Media, es necesario atender la formación inicial y permanente de los docentes en el área de

Geometría y su Didáctica.

Por ello, se llevó a cabo una indagación preliminar, donde uno de los autores de este

trabajo entrevistó a sus colegas, teniendo como punto de partida las siguientes dos

interrogantes: (1) ¿Qué área de la Matemática impartes con mayor frecuencia? (2)

¿Lograste abordar los contenidos geométricos con detenimiento? A partir de las respuestas

obtenidas, se desarrollaba un conversatorio con los docentes sobre la enseñanza y el

aprendizaje de la Geometría en la Educación Media.

Observándose que los docentes privilegian la enseñanza de la Aritmética y del

Álgebra, enfatizando en los cálculos numéricos y algebraicos, y dejando relegada la

enseñanza de la Geometría, así como de la Estadística y la Probabilidad. Además, la


207

enseñanza de la Geometría se limitaba al estudio de algunos temas tales como el cálculo del

área de gráficos geométricas y el cálculo del volumen de cuerpos geométricos, congruencia

de ángulos y cálculos trigonométricos. En consecuencia se detecta que la enseñanza de la

Geometría Plana y del Espacio no es abordada de forma adecuada por la mayoría de los

docentes de Matemática de la mencionada institución.

Por lo antes mencionado, este trabajo tuvo como propósito principal diseñar un curso

en Geometría y su Didáctica para la formación permanente de los docentes de Matemática

que laboran en la U.E.N “Manuel María Villalobos”, considerando las necesidades de los

docentes y algunas propuestas didácticas para establecer las bases teóricas y metodológicas

que sustentaron el diseño de mencionado curso.

Esta investigación resalta la necesidad de establecer la relevancia de los contenidos

geométricos en la Educación Media, considerando que esta es una de las ramas principales

de la Matemática y una de la más olvidada en la escolaridad; se intenta mediante el diseño

de un curso en Geometría y su Didáctica para la formación permanente del docente en

servicio, aportar mecanismos que despierten en el docente el interés de enseñar Geometría

en escuelas y liceos, sin menospreciar las demás áreas de la Matemática.

MÉTODO

Esta investigación se ubicó en el campo de la Educación Matemática, ya que, se diseñó

un curso en Geometría y su Didáctica dirigido a los docentes de Matemática que trabajan

en la U.E.N. Manuel María Villalobos (Municipio Carrizal del Estado Miranda). Asimismo,

este trabajo se sitúa en el contexto de la línea de investigación en Pensamiento Geométrico

y Didáctica de la Geometría, adscrita al Centro de Investigación en Enseñanza de la

Matemática usando Nuevas Tecnologías (CEINEM – NT) que funciona en la UPEL

Maracay; línea dónde se han venido desarrollando algunos estudios acerca de la formación

profesional del profesor de Matemática en el área de Geometría y su Didáctica.

La investigación se enmarcó dentro de la modalidad de Proyecto Factible, apoyándose

en una Investigación de Campo que permitió describir y comprender la problemática

planteada teniendo como aspectos relevantes el desempeño de los docentes que trabajan en

la U.E.N. Manuel María Villalobos y sus necesidades formativas; así como también en una

Investigación Documental, debido a que se consideró necesario revisar diversos reportes


208

investigativos que dieron a conocer propuestas formativas en el área de Geometría y su

Didáctica, como: (1) Jugando con el Tangram y algo más (Silva y Becerra, 2007). (2)

Curso de Resolución de Problemas Geométricos Asistido por Computadora (Iglesias,

2000). (3) Estudio de las Funciones Trigonométricas y sus Inversas en un ambiente de

Geometría Dinámica. Una Propuesta Didáctica (García, Czwienczek e Iglesias, 2007). (4)

Proyecto Docente en el área de Geometría y su Didáctica (Iglesias, 2008). (5) Estudio de

las Cónicas en un Ambiente de Geometría Dinámica (García, 2010). (6) Evaluación de un

Programa de Formación para Docente en Servicio en el Área de Geometría y su Didáctica

(Pérez, 2011). (7) La Formación de Profesores de Matemáticas. Un Campo de Estudio y

Preocupación (García Blanco, 2005); tratando de establecer algunos referentes teóricos y

metodológicos que sustentaran el diseño del mencionado curso.

Los sujetos considerados para este trabajo fueron cinco (5) docentes de Matemática

que laboraron en la U.E.N. Manuel María Villalobos durante el año escolar 2010 – 2011, a

quienes se les realizó entrevistas para saber la manera cómo llevaron a cabo el proceso de

enseñanza de la Geometría en Educación Media y sus necesidades formativas en el área de

Geometría y su Didáctica. Además, la revisión de propuestas formativas en el área de

Geometría y su Didáctica – diseñadas y puestas en práctica por otros investigadores,

obligando a considerar ciertos aspectos susceptibles de ser analizados y que coadyuvaron a

concretar el diseño del curso en el área de Geometría y su Didáctica.

Cabe señalar que, para la recopilación y análisis de la información recabada en el

trabajo de campo, se privilegiaron técnicas asociadas a la investigación cualitativa. Para la

recopilación de la información, el investigador elaboró un guión de entrevista

semiestructurada, con las siguientes interrogantes: (1) ¿consideras que presentas algunas

debilidades en cuanto al manejo de las estrategias didácticas? En caso afirmativo, ¿cuáles

serían estas debilidades? (2) ¿cuáles serían tus fortalezas en cuanto al uso de estrategias

didácticas al momento de enseñar Matemática? (3) ¿a cuáles acostumbras darle mayor

importancia? (4) ¿Cuáles estrategias didácticas, así como materiales y recursos didácticos,

utilizas o te gustaría utilizar en la enseñanza de la Geometría? De tener la oportunidad de

participar en un curso de Geometría y su Didáctica, ¿qué te gustaría aprender?

Teniendo en cuenta los resultados de la indagación preliminar, las interrogantes y

objetivos que guiaron la investigación, se procuró profundizar en aquellos aspectos


209

referidos a: la problemática de la enseñanza de la Geometría en Educación Media, la

gestión de las clases de Geometría y las necesidades formativas en el área de la Geometría

y su Didáctica. Asimismo se utilizó una grabadora MP4 para no perder ningún detalle en

las conversaciones con los docentes. Los resultados obtenidos se presentan y discuten en

forma amplia en Sánchez Chacón, (2012).

Para el análisis de contenido de la revisión de propuestas didácticas, se utilizó como

instrumento un registro, el cuál se revisó exhaustivamente los contenidos de las

investigaciones reportadas en los antecedentes de este trabajo para así haber podido

identificar ciertos procesos y elementos didácticos que ayudaron al diseño del curso en

Geometría y su Didáctica.

RESULTADOS

La Propuesta

El diseño de esta propuesta didáctica materializada en un curso – taller con contenidos

geométricos surgió en atención a los objetivos de esta investigación y la misma se ajustó a

los resultados obtenidos por el desempeño de los docentes y sus necesidades formativas.

Fundamentación Didáctica

Este curso trata sobre ciertos temas de la Geometría del Triángulo y el mismo está

basado en la aplicación de la Geometría Dinámica, con cierto enfoque de resolución de

problemas y la utilización de un software manipulativo como lo es el Cabri II Plus. Con su

diseño se pretende brindarles a los docentes en servicio una oportunidad para mantenerse

activos e interesados en la enseñanza de la Geometría. Cabe destacar que la mayoría de las

propuestas didácticas analizadas trabajaron con el modelo de razonamiento geométrico de

Van Hiele y, por ende, las actividades elaboradas para los talleres de esta propuesta siguen

algunos aspectos de este modelo.


210

Objetivos Generales del curso

1. Realizar construcciones geométricas con regla y compás.

2. Explorar tales construcciones geométricas, con el propósito de identificar los objetos

geométricos involucrados y las relaciones entre ellos.

3. Establecer las definiciones y propiedades geométricas implicadas en tales

construcciones.

4. Plantear y resolver problemas geométricos relacionados con situaciones de la vida

cotidiana.

Medios, Recursos o Materiales

Los medios a utilizar en el curso son: (1) Medios impresos y hojas de trabajo. (2)

Medios audiovisuales como el video beam, empleado para presentarán diapositivas

elaboradas en PowerPoint. (3) Medios interactivos, especialmente el Cabri II, ya que, según

Iglesias (2000), el Cabri posee ciertas ventajas con respecto a otros medios: (a) Se realizan

construcciones geométricas de forma rápida y precisa. (b) Se pueden analizar varios casos

particulares en un corto lapso de tiempo. (c) Favorece la resolución de problemas y la

formulación de conjeturas. (d) Es una poderosa herramienta que puede facilitar el proceso

de enseñanza-aprendizaje de la Geometría.

Orientación

El curso está orientado a propiciar un ambiente de aprendizaje centrado en el uso de un

software de Geometría Dinámica que permita a los participantes realizar construcciones

geométricas, así como explorar, identificar propiedades en dichas construcciones, enunciar

conjeturas, hacer demostraciones, incrementar actitudes favorables hacia la resolución de

problemas geométricos, entre otros. Asimismo apoyar la formación permanente de los

docentes en servicio, propiciando actitudes favorables hacia la enseñanza de la Geometría y

así poder a futuro incorporar estrategias didácticas apropiadas en clases con sus estudiantes.


211

Actividades contempladas en el curso

Para el diseño de las actividades didácticas propuestas en cada uno de los talleres

contempladas en hojas de trabajo, se han organizado los contenidos en un mapa de

enseñanza y aprendizaje, teniendo en cuenta lo señalado por Orellana Chacín (2002); de

forma que tales actividades permitan a los docentes en servicio participar activamente en la

construcción de su propio conocimiento de la temática a trabajar. Tales actividades

estuvieron centradas en las características de la orientación mencionada anteriormente. Se

ha considerado dedicar cuatro (4) horas para el desarrollo de las actividades propuestas en

cada una de las hojas de las hojas de trabajo, para un total de veinte (20) horas. Además, al

inicio, se contempla una sesión de trabajo, para presentar la propuesta del curso – taller a

los participantes, así como para explorar el software a ser utilizado, con el propósito de

familiarizar a los docentes participantes en el uso del mismo.

Hojas De Trabajo

Se elaboraron cinco (5) hojas de trabajo contentivas de las actividades propuestas y las

mismas abarcaban los siguientes asuntos: (1) Construcción con regla y compás de ciertos

elementos básicos de la Geometría y la valoración de las construcciones a través del uso de

definiciones y propiedades geométricas. (2) Construcción y descripción de triángulos según

sus ángulos y los criterios de congruencia. (3) Construcción y descripción de la

concurrencia de los elementos del triángulo. (4) Construcción, descripción, manipulación,

exploración y reflexiones sobre los triángulos, Teselados, cálculos de áreas y perímetros y

el Teorema de Pitágoras. (5) Resolución de problemas geométricos e planteamiento de

otros problemas. A continuación, se muestra una de las (5) hojas de trabajo para tener idea

de las actividades contempladas en el curso.


212

Hoja de trabajo 1

Actividad nº 1: Trazado de una recta perpendicular en el punto medio de un

segmento.

1. Trace un segmento AB .

2. Con el compás teniendo una abertura mayor que la mitad de la longitud de AB (aquí

es necesario introducir un segmento auxiliar cuya longitud representa la abertura del

compás), haga centro en los puntos A y B sucesivamente y trace arcos de circunferencia

que se corten en los puntos C y D.

3. Trace la recta determinada por los puntos C y D. La recta CD

se denomina

mediatriz del segmento AB .

4. Determine el punto de intersección P de la recta CD

con el segmento AB . Tal

punto de intersección es el punto medio del segmento AB .

5. ¿Cómo puedes garantizar que P es punto medio del segmento AB y que la recta

CD

es perpendicular al segmento AB en P? y ¿Cómo puedes garantizar que la recta

CD

es la mediatriz del segmento AB ?

6. ¿Cuáles son los objetos iniciales y los objetos finales en esta construcción?

Actividad nº 2: Construcción de un ángulo que mida 90º (sin usar transportador)

1. Trace una semirrecta AB

(es decir, traza una semirrecta con origen en A y, luego,

marca un punto B, distinto de A, perteneciente a tal semirrecta).

2. Trace una recta L perpendicular a la semirrecta AB

en el punto A.

3. Ubique un punto C, distinto de A, en la recta L.

4. Marque el ángulo < CAB.

5. Mide el ángulo < CAB.

6. ¿Qué definiciones o propiedades geométricas sustentan esta construcción?


213

Actividad nº 3: Construcción de un ángulo que mida 60º.

1. Trace la semirrecta AB

y, seguidamente, trace el segmento AB (esto facilitará el

uso del botón compás)

2. Con el compás y considerando una abertura igual a la longitud AB, haga centro en

los puntos A y B sucesivamente y trace arcos que se cortan en el punto C.

3. Trace la semirrecta AC

.

4. Marque el ángulo < BAC.

5. Mide el ángulo < BAC.


Actividad nº 4: Construcción de un ángulo que mida 45º (sin usar transportador).


.

2. Trace una recta L perpendicular a la semirrecta AB

en el punto A.

3. Con el compás, haciendo centro en A y considerando una abertura igual a la longitud

AB, trace un arco de circunferencia que corte a la recta L en el punto C.

4. Trace la semirrecta BC

.

5. Marque el ángulo < CBA.

6. Mida el ángulo < CBA.


Actividad nº 5: Construcción de un ángulo que mida 150º (sin usar transportador)


.

2. Trace un ángulo recto con vértice en A; es decir: m < CAB = 90°. (Sugerencia:

Revisar la actividad n° 2 de esta hoja de trabajo).

3. Tomando como referencia la recta perpendicular que pasa por el punto A (es decir, la

recta AC

), trace un ángulo con vértice en A que mida 60º (m < CAD = 60°).

(Sugerencia: Revisar la actividad n° 3 de esta hoja de trabajo).

4. Marque el ángulo < DAB.


214

5. Mida el ángulo < DAB.



Las bases teóricas y metodológicas para el diseño del curso en Geometría y su didáctica

se basaron en algunas estrategias usadas en las propuestas ya analizadas en este trabajo,

resaltando las siguientes: (1) Modelo Didáctico – Metodológico de Luengo y otros (1997),

empleado para organizar los componentes de la propuesta (fundamentación didáctica,

contenidos a ser estudiados, objetivos de aprendizaje, actividades, materiales y recursos

didácticos y evaluación). (2) El Mapa de Enseñanza Aprendizaje de Orellana Chacín (2002)

permitió organizar y determinar el alcance de los contenidos geométricos a ser estudiados.

(3) Las hojas de trabajo con las actividades propuestas se diseñaron tomando en

consideración algunos aspectos contemplados en el Modelo de Razonamiento Geométrico

de Van Hiele. (4) El estudio de un contenido geométrico específico y susceptible de ser

relacionado con otros temas: Geometría del triángulo.

Este curso fue diseñado con la intención de despertar interés en los docentes en

servicio por la enseñanza y el aprendizaje de los contenidos geométricos y, de esta manera,

apoyar la formación permanente del docente de Matemática, pretendiendo con ello mejorar

la calidad de la enseñanza de la Geometría en la Educación Media.

Cabe destacar que, aunque el curso estuvo dirigido a docentes en servicio de la Unidad

Educativa Nacional Manuel María Villalobos, se considera que las actividades reflejadas en

los cinco (5) talleres propuestos, pudieran ser abordadas por los docentes en su formación

inicial, con el propósito al desarrollo del conocimiento geométrico, didáctico y de gestión

de clases.

REFERENCIAS

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Libertador, Instituto Pedagógico de Maracay “Rafael Alberto Escobar Lara”.


217

LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO. UNA PROPUESTA DIDÁCTICA

Snnaider Ramirez

[email protected]

Zuleidy Torres

Kelly Váldez

Martha Iglesias

[email protected]

UPEL-Maracay

RESUMEN

El estudio de la Geometría ofrece diversas posibilidades para experimentar, mediante el uso

adecuado de materiales manipulables, sus métodos, conceptos, propiedades y problemas.

Actualmente existen muchos materiales que pueden utilizarse en el trabajo de aula para

enseñar los temas geométricos; algunos de ellos han sido creados específicamente para

estudiar Geometría y otros pueden ser adaptados para utilizarse en su enseñanza; sin

embargo, son pocos los docentes que están al tanto de ello o que se animan a emplearlos en

sus clases. Por ello, este trabajo estuvo dirigido a diseñar una propuesta para la enseñanza y

el aprendizaje de la Geometría de la Circunferencia y el Círculo (2do año de educación

media), teniendo como referente la noción de análisis didáctico (Gómez, 2007; Iglesias,

2008), el cual en la fase de planificación abarca tres componentes y la búsqueda de

respuesta a una serie de interrogantes: (1) Análisis de contenido: ¿Cuáles aspectos se

abordarán sobre la Geometría de la Circunferencia y el Círculo teniendo en cuenta el mapa

de enseñanza y aprendizaje?, ¿Cuáles relaciones se pueden establecer entre los aspectos

elegidos?. (2) Análisis Cognitivo: ¿Cuáles serán las habilidades geométricas asociadas a los

niveles de razonamiento geométrico se espera sean desarrolladas por los estudiantes cuando

estudien el tema relacionado con circunferencia y círculo? (3) Análisis de la Instrucción:

¿Cuáles son las estrategias, materiales y recursos didácticos idóneos para organizar la

enseñanza del referido a la Geometría de la Circunferencia y el Círculo en 2do año de

educación media? Como respuesta a estas interrogantes, se diseñó una propuesta que

abarcaba asuntos como la representación de la circunferencia y el círculo en el mundo real,

la relación existente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, una reseña

histórica del número Pi ( ), la identificación y trazado de los elementos de una

circunferencia y un circulo y el dibujo y cálculo con tecnología para inscribir polígonos en

una circunferencia. Para ello, se planteó el uso de materiales didácticos manipulables y la

incorporación de un software de Geometría Dinámica como el Cabri Geometry II.

Palabras Clave: Didáctica de la Geometría, Materiales didácticos y Software de Geometría

Dinámica.




218

INTRODUCCIÓN

La Geometría ayuda a estimular y ejercitar habilidades de pensamiento y estrategias de

resolución de problemas. Da oportunidades para observar, comparar, medir, conjeturar,

imaginar, crear, generalizar y deducir. Tales oportunidades pueden ayudar a los estudiantes

a aprender cómo descubrir relaciones por ellos mismos y convertirse en mejores resolutores

de problemas. Es por ello que es de suma importancia que los docentes de Matemática

tomen en consideración la enseñanza de los contenidos geométricos.

La problemática abordada en este trabajo está centrada en la enseñanza y el aprendizaje

de la Geometría de la Circunferencia y el Círculo en la educación media y la misma se

presenta mediante algunas interrogantes que sirvieron de hilo conductor para la

investigación y, además, permitieron establecer los objetivos: ¿Cuáles aspectos se

abordarán sobre la Geometría de la Circunferencia y el Círculo teniendo en cuenta el mapa

de enseñanza y aprendizaje?, ¿Cuáles relaciones se pueden establecer entre los aspectos

elegidos?, ¿Cuáles serán las habilidades asociadas a los niveles de razonamiento

geométrico que se espera sean desarrolladas por los estudiantes cuando estudien el tema

relacionado con circunferencia y círculo?, ¿Cuáles son las estrategias, materiales y recursos

didácticos idóneos para organizar la enseñanza referida a la Geometría de la Circunferencia

y el Círculo en 2do año de educación media?.

Por lo antes mencionado, se decidió diseñar una unidad didáctica centrada en la

Geometría de la Circunferencia y el Círculo y dirigida a estudiantes de 2do año de

educación media. Para llevar a cabo el diseño de la unidad didáctica, se tomó como

referente a la noción de análisis didáctico, la cual fue introducida por Rico (1997) y

utilizada por Gómez (2007) como un procedimiento para organizar la enseñanza de la

Matemática. Según Gómez (2007), el análisis didáctico “es un procedimiento con el que es

posible explorar, profundizar y trabajar con los diferentes y múltiples significados del

contenido matemático escolar, para efectos de diseñar, llevar a la práctica y evaluar

actividades de enseñanza y aprendizaje” (p. 18). Cabe decir que, en la fase de diseño o

planificación de la unidad didáctica, se desarrollaron tres de los cuatro componentes del

análisis didáctico: análisis de contenido, análisis cognitivo y análisis de la instrucción.


219

En el análisis de contenido, se trabajó con el mapa de enseñanza y aprendizaje

propuesto por Orellana Chacín (2002), teniendo en consideración los siguientes aspectos:

(a) Fundamentación matemática, (b) Reseña histórica, (c) Relación con el mundo real, (d)

Relación con otros tópicos o temas matemáticos y (e) Dibujo y cálculo con tecnología. Para

el análisis cognitivo se utilizó el modelo de razonamiento geométrico propuesto, en 1957,

por los esposos Van Hiele y, finalmente, en el análisis de la instrucción se emplearon las

estrategias, materiales y recursos didácticos idóneos para el desarrollo del tema geométrico

considerado, procurando contribuir al logro de los objetivos de aprendizaje por parte de los

estudiantes.

Es necesario indicar que el procedimiento utilizado para llevar a cabo el diseño de esta

unidad didáctica, también se sustentó en la manera como Iglesias (2008) empleó el mapa de

enseñanza y aprendizaje y el modelo de Van Hiele para facilitar el análisis didáctico de

contenidos geométricos, cuando asumió el diseño de las unidades didácticas que conforman

el curso de Geometría I; curso correspondiente al componente de formación especializada

de la especialidad de Matemática en la Universidad Pedagógica Experimental Libertador,

Instituto Pedagógico de Maracay.

Objetivo general

Diseñar una unidad didáctica dirigida al estudio de la Geometría de la Circunferencia y

el Círculo en 2do año de educación media.

Objetivos específicos

1. Elaborar el mapa de enseñanza y aprendizaje referido a la Geometría de la

Circunferencia y el Círculo en 2do año de educación media.

2. Identificar las habilidades geométricas que se pretende sean desarrolladas por los

estudiantes durante el estudio del tema seleccionado.

3. Describir las estrategias didácticas a ser puestas en práctica durante el desarrollo de

la unidad didáctica referida a la Geometría de la Circunferencia y el Círculo en 2do año de

educación media.


220

ANÁLISIS DIDÁCTICO

A continuación, se mostrará cómo se llevó a cabo el análisis didáctico del tema

seleccionado, atendiendo a los tres componentes de la fase de diseño de una unidad

didáctica.

Análisis de contenido

Este es el primer componente del análisis didáctico y correspondiente a la fase de diseño

de una unidad didáctica y está orientado a develar la estructura conceptual y los distintos

significados del tema matemático seleccionado (Gómez, 2007). Por ello, se consideró

viable la elaboración de un mapa de enseñanza y aprendizaje (MEA) para la Geometría de

la Circunferencia y el Círculo, ya que, existe una correspondencia entre los aspectos

señalados por Orellana Chacín (2002) y la noción de organizadores curriculares (Segovia y

Rico, 2001), lo cual favorece el estudio del contenido matemático a la luz de sus diferentes

significados y que, en el caso de este trabajo, destacan: (a) Significado formal

(fundamentación matemática y relación con otros tópicos matemáticos), (b) Historia de la

Matemática (reseña histórica sobre la circunferencia y el círculo), (c) Modelos

matemáticos, procesos de modelización y fenomenología (relación con el mundo real); (d)

Sistemas de representación y uso de materiales y recursos (dibujo y cálculo con tecnología).

Además, el MEA permite diseñar y poner en práctica estrategias de enseñanza y

aprendizaje, tomando en cuenta distintos aspectos a enseñar de un tema matemático, así

como también sirve como guía didáctica a seguir en cuanto a la presentación de los

contenidos matemáticos.

En el Gráfico 1, se muestra el MEA para la Geometría de la Circunferencia y el Círculo,

en función a los cinco aspectos seleccionados, mencionando el alcance del contenido a ser

estudiado:


221

Gráfico 1. Mapa de Enseñanza y Aprendizaje para la Circunferencia y Círculo.


222

1. Relaciones con el mundo real: Se establecen las relaciones del tema sobre la

circunferencia y el círculo con situaciones cotidianas u objetos del entorno próximo al

estudiante; por ello, es recomendable dejar ver la utilidad del conocimiento geométrico,

mediante la presentación de problemas provenientes del mundo real, los cuales, por lo

general, son susceptibles de ser abordados con un enfoque de laboratorio. Por ejemplo,

mediante mediciones y cálculos, hallar la relación entre la longitud de una circunferencia y

su diámetro.

2. Historia de la Matemática: Se presenta una reseña histórica del número Pi ( ); de

esta manera, los estudiantes se percatarían del interés de distintas civilizaciones sobre el

estudio de la circunferencia y el círculo.

3. Fundamentación matemática: Se establecen las definiciones a utilizar y las

propiedades que serán empleadas en la resolución de problemas.

4. Relaciones con otros temas matemáticos: Se vincula el estudio de la circunferencia

y el círculo con el de los cuerpos redondos.

5. Dibujo y cálculo con tecnología: En este caso, se utiliza un software de Geometría

Dinámica como el Cabri Geometry II Plus.

Análisis cognitivo

Este es el segundo componente del análisis didáctico en la fase de diseño de una unidad

didáctica y el mismo está orientado a identificar las competencias matemáticas que se

espera sean desarrolladas o puestas en práctica por los alumnos, los posibles errores que

puedan cometer y las posibles dificultades que puedan llegar a confrontar, cuando se

enfrenten a las situaciones de enseñanza y aprendizajes diseñadas por el profesor y

orientadas al estudio de un tema matemático específico (Gómez, 2007; Iglesias, 2008).

En este caso, para llevarlo a cabo, se aplicó el modelo de razonamiento geométrico

propuesto por Van Hiele (1957), ya que se enfatizó en la identificación de las habilidades

asociadas los tres primeros niveles de razonamiento geométrico, los cuales son:

1. Reconocimiento: Los estudiantes reconocen por su apariencia global a distintos

objetos geométricos; especialmente, son capaces de identificar gráficos planas o cuerpos


223

geométricos al observar o manipular objetos físicos como ruedas, balones, CD’s, canchas

deportivas, etc.

2. Análisis: Los estudiantes identifican los elementos de una gráfico geométrica como

centro, radio, diámetro y cuerda de una circunferencia y establecen relaciones entre ellos.

3. Relaciones, clasificación u ordenamiento: Los estudiantes son capaces de

establecer definiciones y aplicar propiedades de una gráfico geométrica en la resolución de

problemas.

Además, atendiendo a la clasificación establecida por Hoffer (1981), se consideraron las

habilidades geométricas visuales, verbales, de dibujo y aplicadas relacionadas con el

estudio del tema seleccionado. En el Cuadro 1, se presenta un resumen de las habilidades

geométricas que se pretende sean desarrolladas o puestas en práctica por los estudiantes de

2do año de educación media, cuando realicen las actividades propuestas por el docente de

Matemática.

Cuadro 1

Habilidades asociados a los niveles de razonamiento geométrico


Relaciones,

Clasificación u

Ordenamiento.

Visuales

Identifica en objetos del

entorno dibujos y

construcciones propias a

las formas de

circunferencia, círculo y

esfera.

Reconoce algunos

elementos en estos objetos

geométricos tales como:

radio, diámetro, rectas

secantes y tangentes,

ángulos inscritos, etc.

Identifica ángulos

inscritos en una

circunferencia.

Reconoce las

posiciones relativas entre:

un punto y la

circunferencia, una recta

y la circunferencia.

Reconoce las posiciones

relativas entre dos

circunferencia.

Verbales

Utiliza adecuadamente las

palabras radio, diámetro y

centro de una

circunferencia.

Expresa en forma oral

y escrita los resultados

obtenidos.

Formula diferencias

entre la circunferencia y

el círculo.


224

Cuadro 1. (Cont.)

Análisis de la instrucción

Según Iglesias (2008), el análisis de la instrucción está orientado al diseño de las

actividades de enseñanza y aprendizaje por parte del profesor de Matemática, teniendo

como base el análisis de contenido y el análisis cognitivo previamente realizados. También,

en el análisis de la instrucción, el profesor de Matemática seleccionará o elaborará los

materiales y recursos didácticos a ser utilizados durante la puesta en práctica de la unidad

didáctica.

De esta modo, el análisis de la instrucción se materializó a través del diseño de cuatro

subunidades didácticas centradas en el estudio de la circunferencia y el círculo, las cuales

guardan una estrecha relación con las fases de aprendizaje propuestas en el modelo de Van


Relaciones,

Clasificación u

Ordenamiento.

De dibujo

Traza circunferencias y

círculos utilizando

diferentes estrategias.

Dibuja y recorta

gráficos planas.

Traza circunferencias

y círculos y reconoce sus

elementos.

Construye segmentos

circulares, sectores

circulares y ángulos

inscritos en la

circunferencia.

Traza rectas tangentes,

secantes y exteriores a

una circunferencia.

Construye

circunferencia

conociendo ciertos

elementos.

Traza polígonos

regulares inscritos

en una

circunferencia.

Aplicadas

Identifica y relaciona los

elementos de una

circunferencia: radio,

diámetro, cuerda y arco.

Resuelve

problemas en los

cuales utilizan las

relaciones entre los

elementos de

circunferencias y

círculos.

Resuelve

problemas de

cálculo de áreas,

perímetros y

volúmenes.


225

Hiele, pretendiendo que los estudiantes alcancen las competencias matemáticas previstas

por medio de la realización de actividades de modelización matemática, actividades que

incorporen el uso de material didáctico manipulable y de un software de geometría

dinámica, así como la proyección de un video relacionado con el número Pi ( ). Para el

desarrollo de estas actividades, se ha estimado siete (7) sesiones de clases, de cuarenta (40)

minutos de duración cada una.

Para el desarrollo de estas actividades, se ha considerado usar los siguientes

materiales o recursos didácticos: (a) Calculadora (ésta se utilizará para hallar el cociente

entre la longitud y el diámetro de una circunferencia), (b) Software de Geometría Dinámica

como el Cabri Geometry II Plus (se les mostrarán a los estudiantes construcciones

relevantes de la circunferencia, el círculo y los polígonos regulares y, luego, se les pedirá

que realicen construcciones de polígonos inscritos en una circunferencia), (c) Geoplano

circular (el mismo se utilizará para introducir la noción de rectas tangentes y rectas secantes

y, con ello, poder diferenciarlas), y (d) Objetos del entorno que tengan forma circular (estos

nos servirán para identificar los elementos de una circunferencia y del círculo, así como

distinguir entre circunferencia y círculo).

En el Cuadro 2, se muestra una síntesis del contenido e intencionalidad didáctica de las

actividades que se tienen previstas en cada una de las cuatro subunidades que conforman la

unidad didáctica sobre la circunferencia y el círculo.

Cuadro 2

Descripción de las actividades didácticas diseñadas para el estudio de la

circunferencia y el círculo

Denominación Contenido Intencionalidad

Didáctica

Actividades previstas

La Circunferencia y El

Círculo en el Mundo

Real

Representación de la

circunferencia y el

círculo en el mundo real. Relación existente entre

la longitud de una

circunferencia y el

diámetro; es decir,

existencia del número Pi

(π).

Entender el porqué de la

existencia del número Pi

( ), a través de la

relación existente entre

el diámetro y longitud de

una circunferencia.

Traer al aula de clase

objetos en forma

circular para efectuar mediciones y, luego,

calcular el cociente

dado por la longitud y

el diámetro de la

circunferencia, y

comprender con ello la

existencia del número

Pi (π).


226

Cuadro 2 (Cont,)

Denominación Contenido Intencionalidad

Didáctica

Actividades previstas

Reseña Histórica del

número .

Evolución histórica del

número .

Identificar los aportes de

distintas civilizaciones al estudio del número pi

( ).

Desarrollo de un guión

de observación de un video relacionado con

el número Pi ( ).

La Circunferencia, El

Círculo y sus Elementos

Circunferencia:

Definición, elementos,

longitud.

Rectas exteriores, rectas

tangentes y rectas

secantes a una circunferencia.

Círculo: Definición,

elementos, área, etc.

Propiciar el

reconocimiento de

relaciones y propiedades

entre los elementos de

una circunferencia y un

círculo.

Se realizarán

construcciones

geométricas de la

circunferencia y el

círculo, con la finalidad

de identificar sus elementos y las

relaciones existentes

entre éstos.

Dibujo y Cálculo con

tecnología

Construcción de

polígonos inscritos en

una circunferencia.

Inscribir polígonos

regulares en una

circunferencia, haciendo

uso de un software de

Geometría Dinámica

(SGD).

Establecer relaciones

entre los elementos de un polígono regular y la

circunferencia donde

está inscrito.

Uso de un SGD como

el Cabri Geometry II

Plus para efectuar

construcciones con

regla y compás.

Seguidamente, a modo de ilustración, se presentará una breve descripción de las

actividades propuestas en esta unidad didáctica sobre la circunferencia y el círculo. Así,

para la subunidad 1, La Circunferencia y El Círculo en el Mundo Real, se propone a los

estudiantes que busquen en su entorno objetos físicos donde se encuentren presentes la

circunferencia y el círculo y los traigan a clases, para calcar la forma circular del objeto en

papel y, así, facilitar la medición (con una cuerda o una cinta métrica) de la longitud de la

circunferencia trazada y de uno de sus diámetros (en cm). Con los datos obtenidos, se

procede a elaborar una tabla con tres columnas: longitud de la circunferencia, longitud del

diámetro correspondiente y el cociente dado por la longitud de la circunferencia y su

diámetro (aquí es útil el uso de la calculadora). Una vez construida esta tabla, cada

estudiante presentará sus resultados, con el propósito de establecer comparaciones y

relaciones entre los valores de la tercera columna y, así, de manera empírica, establecer la

relación existente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro y el número Pi ( ).


227

En la subunidad 2, Reseña Histórica del número π, se presenta a los estudiantes un video

relacionado con la reseña histórica del número π; previamente, con el propósito de captar su

atención, se conformarán cuatro grupos de trabajo denominados: Ramanujan, Arquímedes,

Ptolomeo y Euler. Posteriormente, por grupo, se realizará una ronda de preguntas

relacionadas con la información divulgada en el video sobre el número Pi (π) y las

implicaciones que ha tenido este tema matemático en la resolución de problemas de la vida

diaria.

En cuanto a la subunidad 3, La Circunferencia, El Círculo y sus Elementos, se propone a

los estudiantes que recorten tiras de cartulina de igual grosor (por ejemplo, de 1 cm de

grosor) y distintas longitudes que permitan construir circunferencias concéntricas, de

manera que la más interior no deje un “hueco” y las otras se ajusten perfectamente unas a

otras, tratando de formar un “círculo”. Luego se desenrollaran las tiras de cartulina,

colocándolas de mayor a menor para obtener una gráfico como se muestra en el siguiente

gráfico:

Gráfico 2. Gráfico formada con las tiras de cartulina

Obsérvese, en el Gráfico 2, que la gráfico formada se asemeja a un “triángulo

rectángulo” cuya área se supone que los estudiantes ya saben calcular; de modo que, la tira

con mayor longitud se corresponde a la circunferencia concéntrica más externa y

representaría la base del “triángulo” y se asume que su longitud es 2.π. r. Además, la altura

del triángulo son r cuerdas de radio 1 cm; es decir la altura es igual a r cm. Así, pues el área

del “triángulo” viene dada por A = [(2.π. r). r] / 2 = π.r2

, la cual coincide con el área del


228

“círculo” formado por las circunferencias concéntricas. Esta actividad fue planteada por

Fernández, Padilla, Santos y Velásquez (1996) en la obra intitulada “Circulando por el

Círculo”.

En la subunidad 4, Dibujo y Cálculo con Tecnología, haciendo uso del Cabri II Plus, se

le mostrará a los estudiantes como inscribir un triángulo en una circunferencia y, luego, se

les pedirá que indaguen y procuren - con regla y compás - inscribir un hexágono en una

circunferencia dada, teniendo además como referencia la construcción antes mostrada.


El diseño de unidades didácticas con contenido geométrico exige a los docentes de

Matemática del dominio tanto del conocimiento disciplinar como del conocimiento

didáctico asociado al conocimiento matemático y, por ello, se considera útil el manejo de

referentes teóricos como la noción de análisis didáctico, ya que, permite centrarse en

asuntos específicos relacionados con el tema a tratar (análisis de contenido), los objetivos

de aprendizaje (análisis cognitivo) definidos en términos de habilidades asociadas a los

niveles de razonamiento geométrico y las situaciones de enseñanza y aprendizaje (análisis

de la instrucción). Por ello, se considera que el diseño y desarrollo de una unidad didáctica

en Matemática debe abordarse desde una perspectiva investigativa en el ámbito de la

Educación Matemática y que los futuros docentes de Matemática deben apropiarse de

herramientas teóricas y metodológicas que les permitan efectuar estas tareas con eficiencia.

También es relevante resaltar la vigencia del modelo de razonamiento geométrico de

Van Hiele y la utilidad del mapa de enseñanza y aprendizaje propuesto por Orellana Chacín

(2002) al momento de determinar el alcance de un tema matemático como se ha mostrado

en este trabajo.

REFERENCIAS

Fernández M., Padilla F., Santos A. y Velázquez F. (1996). Circulado por el Círculo.

Madrid: Síntesis.





229


Granada.

Hoffer, A. (1981). Geometry is More Than Proof. Mathematics Teacher, enero 1981, 11 –

18. Traducción de Ricardo Barroso. Disponible en: http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/

aprengeom/aprgeorefer.html




Orellana, M. (2002). ¿Qué enseñar de un Tópico o de un Tema? Enseñanza de la


Rico, L. (1997). Los organizadores del currículo de matemáticas. En L. Rico, E. Castro, E.

Castro, M. Coriat, A. Marín, L. Puig, M. Sierra, M. Socas (Eds.), La educación

matemática en la enseñanza secundaria (pp. 39 – 59). Ice – Horsori.

Segovia, I. y Rico, L. (2001). Unidades Didácticas. Organizadores. En E. Castro (Ed.),

Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria (pp. 83 – 149). Madrid:

Síntesis, S.A.

Van Hiele, P.M. (1957). El problema de la comprensión. En conexión con la comprensión

de los escolares en el aprendizaje de la geometría. (Universidad Real de Utrecht:

Utrecht, Holanda). Director: Hans Freudenthal. Disponible en:http://www.uv.es/

Angel.Gutierrez/aprengeom/archivos2/VanHiele57.pdf

http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/%20aprengeom/aprgeorefer.html



http://www.uv.es/%20Angel.Gutierrez/aprengeom/archivos2/VanHiele57.pdf




230

LA DEMOSTRACIÓN EN GEOMETRÍA

DESDE UNA PERSPECTIVA EPISTEMOLÓGICA


[email protected]

UPEL-Maracay


[email protected]

UC-Núcleo Aragua

RESUMEN

Se presenta una aproximación al estudio de la demostración en Geometría desde una

perspectiva epistemológica, teniendo como referencia dos asuntos esenciales de la Teoría

del Conocimiento, como lo son la forma de conocimiento y el criterio de verdad; para ello,

se han planteado, en el campo de la Matemática y de la Educación Matemática, las

siguientes interrogantes: ¿El conocimiento matemático es racional o puede ser intuitivo?

¿Cómo se sabe que el conocimiento matemático es verdadero? En la búsqueda de respuesta

a estas interrogantes se han revisado algunas investigaciones sobre intuición y

demostración mencionadas por D’Amore (2006) y entre las cuales destacan los trabajos

realizados por Fischbein (1987), Duval (1999), Balacheff (2000) y Harel y Sowder (2007);

encontrándose que la introducción del método axiomático contribuyó a la evolución de la

Matemática como disciplina científica y, además, trajo consigo a los métodos de

demostración como formas aceptadas de validación de las verdades matemáticas. Sin

embargo, en el ámbito educativo, esto ha ocasionado una sobrevaloración de los llamados

contextos de justificación, descuidando así lo relacionado con el descubrimiento del

conocimiento matemático. Esto último pareciera estar asociado a un conjunto de procesos

como construir, explorar, visualizar, conjeturar y verificar, los cuales conducirían a sentir la

necesidad de justificación; siendo esta necesidad lo que impulsaría a los profesores y

estudiantes a dar una explicación, presentar una prueba o realizar una demostración formal.

Asimismo, estos autores destacan las relaciones existentes entre la intuición, la

demostración y la argumentación; obligándonos a tener en cuenta aspectos relacionados

con las intuiciones matemáticas, las prácticas argumentativas y las acciones de proceso y

producto propias de la actividad demostrativa a la hora de analizar las acciones y las

producciones de los estudiantes para profesor de Matemática cuando resuelvan un

problema geométrico en un ambiente de Geometría Dinámica.

Palabras clave: Teoría del Conocimiento, procesos de justificación, verdades matemáticas.

INTRODUCCIÓN

La Demostración Matemática se estudia desde diferentes perspectivas: Histórica

(evolución histórica de la Matemática y, en particular, de la Geometría y la demostración y




231

sus implicaciones en el proceso de enseñanza y aprendizaje), Epistemológica (rasgos

característicos del conocimiento matemático, fuentes o procedencia, criterios de validación

y relación entre el sujeto que conoce y el objeto matemático), Cognitiva (desarrollo del

pensamiento matemático, dificultades confrontadas, errores cometidos y competencias

matemáticas alcanzadas y puestas en práctica) y Didáctica (estrategias, materiales y

recursos didácticos que favorezcan el abordaje y la comprensión de la actividad

demostrativa).

En el contexto de la Línea de Investigación en Pensamiento Geométrico y Didáctica de

la Geometría adscrita al Centro de Investigación en Enseñanza de la Matemática usando

Nuevas Tecnologías (CEINEM – NT) de la Universidad Pedagógica Experimental

Libertador - Instituto Pedagógico de Maracay, se ha enfatizado en las perspectivas

cognitiva (la demostración como objeto de aprendizaje) y didáctica (la demostración como

objeto de enseñanza). Desde la perspectiva cognitiva, se ha venido estudiando la evolución

del Pensamiento Geométrico; entendido éste como la dinámica cognitiva que se produce

cuando una persona – sea docente, sea estudiante o sea un estudioso – está abordando una

tarea (resolver un problema, construir un modelo matemático, realizar una demostración)

que implica un objeto matemático directo (definiciones y proposiciones matemáticas) o

indirecto (los procesos de validación matemática como la demostración, entre otros)

asociado con la Geometría. Y, en cuanto a la perspectiva didáctica, la actividad

investigativa ha estado orientada a diseñar, poner en práctica y evaluar los resultados

(productos y procesos) de unidades didácticas con contenido geométrico, teniendo como

sustento distintos referentes teóricos y metodológicos.

No obstante, el énfasis en lo cognitivo y lo didáctico en los estudios hasta ahora

realizados o dirigidos por los autores, también es importante abordar el estudio de la

demostración matemática desde una perspectiva epistemológica, ya que, ésta es una

actividad propia y distintiva del quehacer matemático, por tratarse de un objeto matemático

indirecto relacionado con el carácter lógico – deductivo de la Matemática como disciplina

científica.

En este orden de ideas, en este trabajo se pretende dar a conocer una aproximación al

estudio de la demostración en Geometría desde una perspectiva epistemológica, teniendo

como referencia dos asuntos esenciales de la Teoría del Conocimiento como lo son las


232

formas del conocimiento humano y el criterio de la verdad (León Rugeles, 2011). Para ello,

se han planteado en el campo de la Matemática y de la Educación Matemática las

siguientes dos preguntas asociadas a los asuntos antes mencionados:

1. Formas del conocimiento matemático: ¿El conocimiento matemático es racional o

puede ser intuitivo?

2. El criterio de verdad del conocimiento matemático: ¿Cómo se sabe que el

conocimiento matemático es verdadero?

En la búsqueda de respuesta a estas interrogantes se han revisado algunas

investigaciones sobre intuición y demostración mencionadas por D’Amore (2006) en su

obra compilatoria intitulada Didáctica de la Matemática y entre las cuales destacan los

trabajos realizados por Fischbein (1987), Duval (1999), Balacheff (2000), Harel y Sowder

(2007) y complementado por los trabajos de Fetisov (1973), Perry Carrasco, Camargo

Uribe, Samper de Caicedo y Rojas Morales (2006) y Flores (2007).

También, cabe señalar que se ha seleccionado este trabajo, debido a la realización de un

proyecto de investigación, más ambicioso, donde se estudian las competencias matemáticas

y didácticas que ponen en práctica los profesores en formación cuando abordan la

demostración en Geometría.

¿QUÉ ES UNA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA?

Teniendo en cuenta la evolución histórica de la Matemática como disciplina científica,

se puede afirmar que tanto la inducción como la deducción han sido dos formas o caminos

de llegar al conocimiento matemático. La Matemática, en sus inicios, se caracterizó por su

carácter empírico – práctico, ya que se dedicaba a la resolución de problemas provenientes

de las prácticas cotidianas realizadas por los seres humanos (problemas de reparto,

medición de extensiones de tierra, construcción de templos y graneros, etc.), destacándose

así el uso instrumental del conocimiento matemático. De manera que el principal propósito

de los primeros matemáticos fue desarrollar algoritmos o procedimientos de cálculo que les

permitieran resolver situaciones de la vida cotidiana. Sin embargo, unos 300 años A.C, con

la publicación del libro Elementos - obra compilatoria del conocimiento aritmético y

geométrico existente para su época - el matemático griego Euclides introduce el llamado


233

método axiomático, el cual se convierte en el método privilegiado para organizar y validar

el conocimiento matemático. Así, pues, la Matemática abandona su carácter empírico –

práctico y se convierte en la disciplina lógico – deductiva por excelencia y se comienza a

distinguir entre la Matemática Pura y la Matemática Aplicada.

Refiriéndose al caso de la Geometría, Fetisov (1973) afirmó que

“Por supuesto, los primeros conocimientos geométricos del hombre se

obtuvieron por el método inductivo, a partir de un número muy grande de

observaciones y experimentos. No obstante, conforme creció el conjunto de

conocimientos geométricos, se descubrió que podían obtenerse muchas

verdades a partir de otras, por medio de la deducción, sin recurrir a las

observaciones o a los experimentos” (p. 16)

El uso del método deductivo para obtener nuevas proposiciones geométricas a partir de

otras conocidas sirvió como base para introducir la noción de sistema axiomático en

Matemática y, en particular, en Aritmética y Geometría. De esta manera, no es fortuito que,

históricamente, la Geometría Euclidiana sea la más connotada representante de una teoría o

un sistema axiomático. Por lo antes señalado, puede decirse que la Demostración

Matemática como objeto formal está asociada al desarrollo de una teoría axiomática cuyos

componentes son: (1) Conceptos no definidos o términos primitivos. (2) Postulados o

axiomas. (3) Conceptos definidos o definiciones propiamente dichas. (4) Teoremas, Lemas

y Corolarios. (5) Métodos de demostración (directos e indirectos); permitiendo decir que:

“Una demostración es una cadena de deducciones a través de las cuales se deduce la

veracidad de la proposición que debe probarse, a partir de axiomas y propiedades

previamente establecidas” (Fetisov, 1973, p. 17).

Asimismo, Balacheff (2000, p. 2) señala que “la demostración es una herramienta

esencial de prueba; ésta conduce a un ejercicio práctico, que hace posible la comunicación

y la evaluación a la vez” y seguidamente añade que “es también el objeto de estudio de la

lógica”; estos son los dos aspectos principales de la demostración en lo relativo a la

comunidad matemática.

Cabe señalar que la pregunta clave para un matemático al momento de iniciar el

desarrollo de una teoría axiomática es la siguiente: ¿Cuáles proposiciones se aceptan sin

demostración?, ya que, estas proposiciones serán los postulados o axiomas que servirán de

base para la construcción de la teoría; de modo que la verdad del conocimiento matemático


234

es absoluta en el seno de una teoría matemática, pero relativa al conjunto de axiomas

seleccionados; así, por ejemplo, las llamadas Geometrías No Euclidianas fueron

desarrolladas a partir de la aceptación de los primeros cuatro axiomas asumidos por

Euclides en su obra Elementos y la negación del célebre quinto postulado, en los esfuerzos

realizados, a través de varios siglos, por demostrar la independencia de este postulado (es

decir, por demostrar que el quinto postulado no podía deducirse a partir de los cuatro

postulados precedentes). Es necesario indicar que los primeros cuatro postulados admitidos

por Euclides hacen referencia a situaciones geométricas fáciles de aceptar como

verdaderas: (1) Por dos puntos diferentes sólo se puede trazar una única línea recta. (2)

Todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente. (3) Con un centro y un radio

dado sólo se puede trazar una única circunferencia. (4) Todos los ángulos rectos son

iguales; mientras que el quinto postulado hace referencia a una situación que no es fácil de

aceptar como evidente: “Si una recta corta a otras dos formando a un lado ángulos internos,

y la suma de estos es menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se

encontrarán de ese lado”. Actualmente, el quinto postulado es conocido como el postulado

de las paralelas y el enunciado equivalente más conocido establece que por un punto

exterior a una recta dada pasa una única recta paralela.

Además, los axiomas seleccionados deben satisfacer dos características relevantes:

Consistencia (en el seno de una teoría axiomática es imposible que sean verdaderas una

proposición p y su negación) e Independencia (Ningún axioma puede deducirse de los

precedentes).

También se ha señalado el asunto de la Completitud, pero Kurt Gӧ del, en 1931, publicó

un artículo, el cual ha sido considerado una de las más importantes contribuciones a la

lógica y a la Matemática de los últimos siglos; en este artículo, Gӧ del enuncia y demuestra

el Teorema de la Incompletitud de la Aritmética: “Todo sistema formal deductivo que

añada, cuando menos, al aparato de la lógica elemental los principios y reglas de la

Aritmética se enfrentará fatalmente con proposiciones bien construidas que no podrá ni

demostrar ni refutar y que, por lo tanto son “indecidibles”. En otras palabras, la presencia

de tales proposiciones delata que el sistema axiomático en cuestión es “incompleto”. Este

resultado tuvo consecuencias innegables en el quehacer matemático. Al respecto, el

reconocido matemático Von Neumann señaló que “el objeto de la lógica ha cambiado por


235

completo su naturaleza y posibilidades con esta aportación”; en el prólogo del libro

intitulado “El Teorema de Gӧ del” (Nagel y Newman, 2000, p. 11), se señala lo siguiente:

“Mas un descubrimiento científico de semejante magnitud no puede menos de tener

repercusiones filosóficas”, ya que “Gӧ del puso coto con su descubrimiento al imperialismo

de la razón lógica, representada por el logicismo de Russell o el formalismo de Hilbert”.

Al respecto, valdría la pena añadir que la existencia de tales proposiciones indecidibles

y el riego de toparse con ellas no le ha impedido a los matemáticos seguir esforzándose por

demostrar algunas conjeturas, tal como lo hizo Andrews Wiles, matemático británico, que

logró demostrar, en 1993, el llamado “último Teorema de Fermat” (No existe solución con

números enteros no nulos para la ecuación: xn + y

n = z

n si n es un entero más grande que

dos). Wiles se sintió, desde niño, fascinado por este enunciado matemático, y decidió

dedicarle su vida a la demostración del mismo. Duró ocho años desarrollando la

demostración, la cual ocupa más de cien páginas. Hubiera sido una tragedia personal para

Wiles, dedicar su vida a la demostración de una proposición indecidible.

Además, desde un punto de vista matemático, es preciso dar respuesta a ciertas

interrogantes: ¿Qué condiciones debe reunir una demostración? ¿Qué significa hacer una

demostración matemática? ¿Cómo se valida una demostración? Estos son elementos que es

importante tenerlos en cuenta. Y son preguntas asociadas a la perspectiva epistemológica.

De modo que hasta este apartado, se ha enfatizado en la demostración, teniendo en cuenta

el significado formal de la Matemática, estableciéndose que la demostración es una

herramienta de prueba, una manera de validar una proposición matemática; una proposición

matemática es verdadera si es un axioma o postulado en el seno de una teoría axiomática o

si es demostrada haciendo uso de los métodos conocidos. Además, la prueba debe ser

comunicada y, además, sometida a escrutinio por integrantes de la comunidad científica.

INTUICIÓN Y DEMOSTRACIÓN

Para Sierpinska y Lerman (1996, p. 3)

La epistemología se ocupa en sí misma con una 'reconstrucción racional' de los

procesos de pensamiento científico, esto es con la descripción de cómo los

procesos científicos se desarrollarían si 'factores irracionales' no interfirieran.

Las 'reconstrucciones racionales' quieren decir descripciones de los procesos de

pensamiento de los científicos, no cuando están descubriendo algo, sino cuando


236

están intentando comunicar y justificar sus descubrimientos. Esto es,

presentaciones del 'contexto de justificación' del pensamiento científico.

Entonces, hasta aquí, se ha enfatizado en lo que se conoce con el nombre de contexto de

justificación, pero se ha ignorado lo relacionado con el contexto de descubrimiento del

conocimiento matemático; contexto en el cual aparecen asuntos vinculados con la evidencia

empírica, la intuición y la convicción; al respecto, Sierpinska y Lerman (1996) expresan

que para los representantes del Fundacionalismo en la Filosofía de la Matemática “los

procesos de hechos del descubrimiento científico y del impacto sobre ellos de los factores

cognitivos, sociales e histórico-culturales pertenecen no a la epistemología sino a los

dominios empíricos de la psicología, sociología e historia del conocimiento” (p. 3). Por

ello, los asuntos vinculados al contexto de descubrimiento han venido siendo abordados por

la Psicología de la Educación Matemática, destacando los trabajos realizados por Efraim

Fischbein, los cuales tienen implicaciones didácticas significativas.

En relación a lo antes mencionado, D’Amore (2006) destaca que, en la historia del

pensamiento filosófico, existe un ir y venir entre las siguientes dos tesis: si es más perfecta

como forma de conocimiento la que deriva del intuir o la que deriva del razonar; es decir,

existe un ir y venir entre las tesis centradas en el contexto de justificación o las tesis

centradas en el contexto de descubrimiento del conocimiento matemático. Sin entrar en este

debate, es oportuno señalar que las investigaciones realizadas por Fischbein (1987) han

dejado en claro la relación existente entre intuición y demostración en el campo de la

Matemática y, además, como este asunto está vinculado a la necesidad de certeza que

tienen los seres humanos y, en particular, los hombres y mujeres dedicados a las ciencias; al

respecto, este autor expresa que

Es por la lucha para hacer explícita y para purificar la estructura formal,

deductiva de la ciencia que los científicos y filósofos han descubierto los

efectos fundamentales (tanto positivos como negativos) de los mecanismos

intuitivos de comprender, resolver, inventar y aprender. La contribución de los

matemáticos ha sido la más significativa, probablemente porque las

matemáticas, por su propia naturaleza, es la más adecuada para alcanzar una

estructura axiomatizada. Es en el curso del pensamiento matemático que las

cualidades de un modelo formal, ideal por un lado y las limitaciones concretas,

psicológicas, por el otro, parecen tan bruscamente contrastantes. (p. 8)


237

Dejando claro que la intuición es una forma de conocimiento que está relacionada con

ciertas tareas intelectuales como comprender la definición de un concepto, resolver un

problema, crear un algoritmo o procedimiento, realizar una demostración en Matemática;

así como la necesidad de conocer si las proposiciones intuitivamente aceptadas como

evidentes (sin recurrir a la demostración) son realmente verdaderas. Surgiendo así lo que se

conoce como “el problema de la evidencia”, el cual Fischbein (1987) describe de la

siguiente manera:

Al tratar de definir los conceptos utilizados y para construir estructuras

deductivas, los matemáticos han de tener el máximo cuidado para no depender

de lo intuitivo, de lo aceptado implícitamente, de la evidencia. (…). Tratando de

construir una estructura lógica – deductiva, los matemáticos tenían, en primer

lugar, que aceptar un grupo de proposiciones iniciales. El criterio utilizado fue

el de la (aparente) evidencia: si uno tiene que aceptar inicialmente algunas

proposiciones no probadas como puntos de partida, es evidente que uno trata de

elegir entre aquellas proposiciones que puedan ser aceptadas sin pruebas. (p. 8)

De manera tal que los matemáticos tienen que ser capaces de distinguir entre las

proposiciones directamente aceptables por evidentes (axiomas o postulados) y aquellas

propiedades que tienen que ser probadas (teoremas), con el propósito de estructurar una

teoría axiomática que satisfaga los requerimientos establecidos: consistencia e

independencia. Y esto representa un verdadero reto universal, ya que, a través de la historia

de la Matemática (y de las Ciencias en general), un conjunto de revoluciones científicas han

contribuido a “la noción de que la evidencia (es decir, la evidencia intuitiva) no es sinónimo

de certeza” (Fischbein, 1987, p. 10). Sin embargo, los matemáticos no pueden renunciar a

la evidencia intuitiva; ellos tienen que seguir arriesgándose y hacer uso de su intuición

matemática, especialmente al momento de resolver un problema y hacer una demostración,

tal como lo afirma Fischbein (1987, p. 56):

La intuición cumple, en el plano intelectual, la función desempeñada por la

percepción a nivel sensorial: la intuición es la antesala directa a la acción

cognitiva (mental o práctica). Se organiza la información en una estructura de

comportamiento significativo y creíble intrínsecamente.

De lo antes expuesto, se puede afirmar que la intuición se acepta como una particular

forma de conocimiento por lo que la idea, el concepto resulta inmediatamente presente a la

conciencia sin que eso dependa de algún proceso lógico y racional (D’Amore, 2006) y,


238

además, que la evidencia es una característica general del conocimiento intuitivo. Así, pues,

los matemáticos suelen recurrir a la intuición para seleccionar los axiomas o postulados que

aceptarán por evidencia y que les servirán de base para construir una teoría axiomática.

Asimismo, los matemáticos acostumbran hacer usos de modelos que favorecen la

comprensión de ciertas nociones matemáticas y que favorecen el desarrollo del

conocimiento intuitivo mediante el establecimiento de relaciones entre los objetos

matemáticos involucrados o el descubrimiento de ciertas propiedades invariantes.

Para comprender la relación entre intuición y demostración, es recomendable revisar los

trabajos de Balacheff (2000), en los cuales este autor, entre varios asuntos, ha analizado la

complejidad de la noción de prueba matemática a nivel teórico, con el fin de distinguir el

significado de los verbos explicar, probar y demostrar y sus implicaciones en las

investigaciones sobre el aprendizaje de la demostración; al respecto, Balacheff (2000)

señala que

Los verbos explicar, probar y demostrar son considerados frecuentemente como

sinónimos en la práctica de la enseñanza de las matemáticas; (…). Ellos

conducen a amalgamar diferentes niveles de actividad de los alumnos. Es

necesario distinguirlos. Trataremos de mostrar este fenómeno a través de la

complejidad del problema del aprendizaje de la demostración (p. 11).

Para precisar el significado de los términos explicación, prueba, demostración,

razonamiento y procesos de validación, Balacheff (2000) comienza señalando que

El paso inicial hace referencia a lo que los matemáticos llaman a menudo

“intuición”. Esta se remite a los significados, es decir, a la comprensión de la

validez de una aserción, no por medio de la lógica, sino a través de las

relaciones con el cuerpo de los conocimientos matemáticos (p. 11).

Realizada esta aclaratoria, Balachaeff (2000) procede a establecer las siguientes

definiciones:

Explicación: Ésta establece y garantiza la validez de una proposición, se arraiga en los

conocimientos y en lo que constituye la racionalidad (reglas de decisión de la verdad) de la

persona que la expresa (en términos lingüísticos, sujeto locutor), haciendo uso

esencialmente de la lengua natural. En la explicación, la verdad de una proposición ya ha

sido aceptada por el sujeto locutor, pero no necesariamente por la audiencia (o por los

integrantes de una comunidad).


239

Prueba: es una explicación reconocida y aceptada por una comunidad, una vez que la

misma ha sido dada a conocer o comunicada por el sujeto locutor. Dicha aceptación no es

definitiva, ya que, puede cambiar con el avance de los conocimientos y las reglas en las

cuales se sustenta.

Demostración: Es el tipo de prueba predominante en Matemática. Una demostración “se

trata de una serie de enunciados que se organizan siguiendo un conjunto bien definido de

reglas” (p. 13). Como forma discursiva, la demostración se caracteriza por el rigor formal y

el empleo del lenguaje simbólico; además, es un tipo de prueba que requiere ser validada

por la comunidad matemática para ser debidamente aceptada.

Razonamiento: Es la actividad intelectual no completamente explícita que se ocupa de la

manipulación de la información dada o adquirida, para producir una nueva información.

Procesos de validación: Es una forma de razonamiento cuando tenga como propósito

asegurarse de la validez de una proposición y producir una explicación, una prueba o una

demostración.

Una vez establecidas estas definiciones, Balacheff (2000) enfatiza en las dimensiones

sociales de los procesos de validación de las pruebas y de las demostraciones; al respecto,

este autor expresa que:

Uno de los principales medios que permiten transformar una situación de

decisión en una situación de prueba es someterla a debate para garantizar o

desconocer su validez. (…). En una situación de decisión, las operaciones

intelectuales del razonamiento hipotético – deductivo (…) pueden ser puestas

en práctica sin que, por consiguiente, sea producida una prueba. (…). Por el

contrario las situaciones en las cuales los estudiantes tienen que producir

soluciones comunes a un problema (…) necesitan la formación progresiva de

un lenguaje común, adecuado a los objetos y a las relaciones en juego. Necesita

también de la elaboración o el reconocimiento de un sistema común de decisión

y prueba para los grupos de trabajos constituidos (p. 17).

De esta manera, cualquier investigación que se pretenda realizar sobre el proceso de

enseñanza y aprendizaje de la demostración debería tener en cuenta los fenómenos socio-

afectivos que intervienen en todo proceso de interacción social y, además, pareciera

razonable pensar en una perspectiva socio-cognitiva a la hora de analizar las actividades y

producciones de los estudiantes cuando abordan procesos de validación de una proposición

matemática.


240

Asimismo, Balacheff (2000) menciona algunos elementos necesarios para emprender un

proceso de prueba para la solución de un problema:

1. La identificación de un riesgo generado por la incertidumbre en la motivación de un

individuo; es decir, la toma de conciencia del riesgo que implica admitir un enunciado

falso o rechazar uno verdadero.

2. El deseo de certidumbre; es decir, la búsqueda de la verdad o el deseo de saber.

Además, Balacheff (2000) ha realizado sus investigaciones sobre el aprendizaje de la

demostración en el contexto de la educación secundaria francesa, ya que, en la misma se

produce el paso de la Geometría Práctica a la Geometría Deductiva y, por ello, demuestra

su interés por los procesos de validación en el ámbito escolar y, en particular, por la

microgénesis de la prueba en el contexto de ciertas situaciones didácticas.

Por otra parte, Balacheff (2000) distingue entre el discurso argumentativo natural y el

discurso argumentativo formal, cuando establece que: “Distanciarse del “discurso

argumentativo natural” para elaborar un “discurso argumentativo formal” basado en un

lenguaje operativo, permite el cálculo de las proposiciones y las relaciones que garantizan

las pruebas de nivel elevado, sobre todo las demostraciones” (p. 20).

ARGUMENTACIÓN Y DEMOSTRACIÓN

Esto nos lleva a considerar las relaciones entre argumentación y demostración que han

sido investigadas por Duval (1999), quien tiene dos ámbitos de investigación, uno es el

campo de los registros semióticos; el otro es la diferencia entre argumentar y demostrar, en

sus aspectos didácticos.

Según Duval (1999), argumentar y demostrar son actividades diferentes al menos en la

mente del docente, pero no tan diferentes en las expectativas y en los primeros pasos de los

estudiantes. Ambas actividades tienen una base lingüística muy semejante y esta es una de

las razones por las cuales a los estudiantes les cuesta trabajo entender la diferencia entre las

dos actividades.

Duval (1999) distingue y estudia los dos tipos de pasajes que caracterizan el

funcionamiento de un proceso de razonamiento: (1) La inferencia, el pasaje de las

proposiciones dadas como premisas o hipótesis a una proposición dada como conclusión o


241

tesis y (2) La concatenación, la transición que lleva de un paso de razonamiento al

siguiente. Asimismo, este autor señala que en las argumentaciones las proposiciones no

tienen un reconocido estatuto operativo y que, por ende, la distinción entre contenido y

estatuto operativo de las proposiciones se tiene sólo en el razonamiento deductivo; y,

además, que en las argumentaciones, la inferencia se debe a relaciones semánticas entre

ellas, más cercanas a la retórica que a la lógica formal (como en el caso de las

demostraciones). Este autor destaca que existen diferencias notables de funcionamiento

entre el modo deductivo del razonar y el modo argumentativo:

1. El modo argumentativo aparece como más natural mientras que el razonamiento

deductivo se expresa, se hace, se desarrolla, se explica al interior del mismo discurso

natural.

2. Toda proposición tiene dos valores, uno lógico (V o F) y uno epistémico (evidente,

verosímil, incierto, conjetural, absurdo, etc.) y, por ello, no se garantiza que dos

proposiciones verdaderas tengan el mismo valor epistémico. En Matemática, nos

ocupamos, entre las proposiciones verdaderas, de las apodícticas (es decir aquellas cuya

certeza se debe a condiciones necesarias).

3. En el curso de la demostración, el valor epistémico de la proposición se mueve del

contenido al estatuto operativo; es decir, se resalta la función que cumple una

proposición en el seno de una teoría axiomática (axioma o teorema) o en el contenido de

una proposición molecular (hipótesis o tesis).

De modo que, en Matemática se debe examinar esta forma de lógica natural, dado que es

la usualmente recurrente en el discurso en lengua común, y es en lengua común que se hace

la Didáctica de la Matemática; sin embargo, la aceptación de esta forma de lógica en las

clases de matemática es relativamente reciente. Y es en tal contexto que Duval (1999)

busca entender si el pasaje de la argumentación a la demostración es un pasaje que crea una

ruptura cognitiva o si en cambio existe una especie de continuidad.

Además, Duval (1999) considera tres modalidades de razonamiento:

Argumentación: “una forma de razonamiento natural, que no se deja describir ni evaluar

según los clásicos criterios lógicos” (p. 3) y, la misma se halla estrechamente vinculada con

la justificación de una afirmación o una tesis.


242

Demostración: es un razonamiento válido, es una verdadera prueba y la única aceptable

en Matemática.

Explicación: “Da una o más razones para volver comprensible un dato (un fenómeno, un

resultado, un comportamiento, etc.)”. (p.9)

También, Duval (1999) introduce una distinción entre las argumentaciones retóricas y

las argumentaciones heurísticas. Para este autor, una argumentación retórica es una

argumentación para convencer al interlocutor o a sí mismo, mientras que una

argumentación heurística es una argumentación que se pone en acto en Matemática para

avanzar en la resolución de un problema. Al respecto, Duval (1999) resalta que

Una argumentación heurística requiere la capacidad de comprender o de

producir una relación de justificación entre proposiciones, que sea de naturaleza

deductiva y no sólo de naturaleza semántica. (p. 30)

Asimismo, Duval (1999) puntualiza que “una argumentación heurística debe implicar

algunos subprogramas de razonamiento válido, ¡aunque no se sepa aún como ligarlos para

llegar a un árbol deductivo completo que corresponda a una demostración!” (p.p. 29 y 30).

De modo que, es necesario que el profesor de Matemática tenga en consideración

diversas formas discursivas susceptibles de ser puestas en práctica por sus alumnos ante la

exigencia de justificación de una afirmación o una tesis; por ello, el profesor de Matemática

debe diseñar situaciones donde los estudiantes se vean exigidos a producir razones (dar

respuestas a preguntas del tipo ¿por qué?) y, además, a examinar la aceptabilidad de las

razones expuestas (dar respuestas a preguntas que requieren de una explicación).

A continuación, en el cuadro 1 se muestra una comparación entre argumentación y

demostración, teniendo en cuenta los aportes de D’Amore (2006).

En este cuadro se logra apreciar que la demostración – como proceso - puede ser

entendida como una práctica argumentativa orientada por las leyes de la lógica formal o

reglas de inferencia y dirigida a entender el porqué es válida una proposición matemática y

convencer a otros y quizá a uno mismo de su validez.


243

Cuadro 1

Comparación entre Argumentación y Demostración

Argumentación Demostración

Proporcionar argumentos, es decir razones a

favor o en contra de una determinada tesis.

Trata de la verdad de una conclusión, o por

lo menos su relación necesaria con las

premisas.

Para la retórica antigua, la argumentación

era vista como un discurso para convencer a

los demás.

Y la demostración para convencerse a sí

mismos, a su vez distinguida en

demostración para convencer (¿Es verdad?)

y demostración para entender (¿Por qué es

verdad?).

La argumentación es el corazón del discurso

persuasivo. En ella se aducen las pruebas y

se impugnan las tesis del adversario.

Una argumentación no tiene jamás el rigor

que obliga a una “buena” demostración. Su

validez es una cuestión de grado: es más o

menos fuerte.

Una demostración formal es correcta o no

es correcta, no hay vía intermedia. Y si es

correcta, es autosuficiente.

En una argumentación nos apoyamos en la

lógica natural.

En la demostración, en la lógica formal.

Una argumentación puede tomar en cuenta

el momento en el que se desarrolla.

La demostración al contrario es a-temporal.

En la argumentación se tiene la

presentación de varias tesis y su

verificación o refutación son simples

razonamientos, con ejemplos inmediatos o

con pruebas experimentales.

Y eso se halla en contraposición a las

demostraciones que requieren en cambio

razonamientos articulados y muchas veces

lejanos de la verificación intuitiva

inmediata.

Otros educadores matemáticos como Harel y Sowder (2007) han dirigido sus trabajos

hacia la prueba como instrumento de la cognición individual y atribuyen las respuestas de

los alumnos al funcionamiento de esquemas generales de la cognición cuya diferenciación

se proponen comprender.


244

En el contexto latinoamericano destacan las investigaciones realizadas por Perry

Carrasco, Camargo Uribe, Samper de Caicedo y Rojas Morales (2006) y Flores (2007), las

cuales se ubican en el contexto de la formación inicial y permanente de los profesores de

Matemática.

Perry Carrasco y otras (2006) desarrollaron una investigación que “pretendía identificar

experiencias significativas con potencial para aportar a la construcción de un ambiente de

aprendizaje favorable al desarrollo de la competencia demostrativa, en las que la geometría

dinámica pudiera jugar un papel importante” (p. 11). Para ello, estas investigadoras

formularon un constructo denominado actividad demostrativa desde la perspectiva de la

Educación Matemática, teniendo en consideración “el aprovechamiento de la justificación

como recurso para la comprensión de ideas geométricas y a la adquisición de herramientas

para la comunicación de éstas y para su validación” (pp. 22 y 23). En el mencionado

constructo, las autoras identifican acciones de proceso (visualización, exploración,

conjeturación y verificación) y acciones de producto (explicación, prueba y presentación

sistemática) y, además, proponen a la argumentación como el puente entre las acciones de

proceso y las acciones de producto y viéndola como “el razonamiento asociado a todas las

acciones, el cual podría considerar como el proceso mental que las estaba soportando” (p.

26).

Por un lado, las acciones de proceso están asociadas a la heurística y las mismas son

realizadas con un doble propósito:

Comprender el contenido geométrico implicado y buscar cómo justificar el

hecho geométrico que subyace a la solución del problema; es decir, tales

acciones, por un lado, deben generar la necesidad de justificar y, por otro,

proveer elementos para satisfacer esa necesidad, circunstancia que debe tener

como consecuencia que el estudiante se haga más responsable de la verdad (p.

58)

Y por el otro lado, las acciones de producto están relacionadas con la práctica de

justificar, lo cual obliga a movilizar el razonamiento argumentativo con el propósito de

formular explicaciones, pruebas o demostraciones formales.

Así, pues, Perry Carrasco y otras (2006) logran vincular los procesos y productos

asociados a la actividad demostrativa, especialmente en el ámbito educativo y, además,

resaltan el papel que juega el razonamiento argumentativo conjuntamente con el


245

razonamiento deductivo a la hora de validar una proposición matemática. En nuestro caso,

consideramos a la demostración en el contexto de una práctica argumentativa, la cual está

vinculada con procesos y productos propios del quehacer matemático. Por ello, la

demostración como proceso conlleva a la realización de un conjunto de acciones asociadas

a ciertas formas de razonamiento, con la finalidad de cumplir con las funciones asociadas a

la actividad demostrativa (De Villiers, 1993) como lo son: descubrir nuevos resultados o

reconocer patrones y regularidades al explorar una construcción geométrica, dar una

explicación o justificación de la validez de una proposición, verificar el cumplimiento de

ciertas relaciones entre objetos geométricos, comunicar ideas matemáticas y sistematizar

los hallazgos en el contexto de una teoría axiomática como lo es la Geometría Euclidiana.

Esto conduciría a la presentación de explicaciones, pruebas o demostraciones formales.

En este orden de ideas, Flores (2007) destaca que “la función de una práctica

argumentativa es convencer a otros individuos de un resultado o una conjetura” (p. 71) y,

por ello, introduce la noción de esquemas de argumentación en vez de la noción de

esquemas de pruebas utilizados por Balacheff (2000) y Harel y Sowder (2007). Según

Flores (2007), los esquemas de argumentación pueden ser autoritarios, simbólicos, fácticos,

empíricos y analíticos y, por lo general, “en un principio los esquemas de argumentación

suelen ser exclusivamente autoritarios, rituales y fácticos o una combinación de ellos.

Conforme se avanza en el desarrollo de las prácticas argumentativas los esquemas se

vuelven empíricos y analíticos” (p. 72). Asimismo, este autor señala que en los esquemas

de argumentación empíricos y analíticos es factible detectar el uso del razonamiento

deductivo. En consecuencia, él asume a la demostración o prueba como el resultado de una

práctica argumentativa que se apoya en esquemas analíticos cuyos razonamientos son

válidos desde el punto de vista de la lógica formal. Para nosotros, la propuesta de Flores es

considerada como apropiada, ya que, teniendo en cuenta el conjunto de acciones realizadas

por un individuo cuando resuelve un problema matemático (construcción, exploración,

formulación de conjeturas y verificación cuasi-empírica) y las formas de razonamiento que

pone en práctica (intuitivo, empírico y deductivo), es posible identificar, describir y

analizar los esquemas de argumentación que privilegia.


246


La introducción del método axiomático contribuyó a la evolución de la Matemática

como disciplina científica y, además, trajo consigo a los métodos de demostración directos

e indirectos como formas aceptadas de validación de las verdades matemáticas. La

Geometría Euclidiana es un ejemplo prototípico de una teoría axiomática, teniendo como

punto de partida los Elementos de Euclides; obra en la cual se introducen ciertos términos

geométricos no definidos y algunos axiomas (verdades evidentes y aceptadas sin

demostración) como puntos de partida para ir estableciendo nuevas definiciones y

demostrando un conjunto de teoremas, haciendo uso de las reglas de inferencia propias de

la lógica formal. Así, desde el punto de vista de las disciplinas científicas, la Matemática es

la ciencia formal por excelencia.

Sin embargo, en el ámbito educativo, esto ha ocasionando una sobrevaloración de los

llamados contextos de justificación, descuidando así lo relacionado con el descubrimiento

del conocimiento matemático. Esto último pareciera estar asociado a un conjunto de

acciones o procesos como construir, explorar, visualizar, conjeturar y verificar, las cuales

son acciones que conducirían a sentir la necesidad de justificación; siendo esta necesidad lo

que impulsaría a los profesores y estudiantes a dar una explicación, presentar una prueba o

realizar una demostración formal. Esta necesidad es la que compartimos, como un elemento

generador de interés, para abordar, o no, una demostración en el ámbito de la educación

matemática.

Asimismo, algunos autores destacan las relaciones existentes entre la intuición, la

demostración y la argumentación; obligándonos a tener en cuenta aspectos relacionados

con las intuiciones matemáticas, las prácticas argumentativas y las acciones de proceso y

producto propias de la actividad demostrativa a la hora de analizar las acciones y las

producciones de los estudiantes para profesor de Matemática cuando resuelvan un

problema geométrico en un ambiente de Geometría Dinámica. En nuestro grupo de

investigación se han realizado experiencias que contemplan estas relaciones y las cuales

han dado como resultado que la elaboración y exploración de construcciones con regla y

compás en un ambiente de Geometría Dinámica y la mediación oportuna del docente

propician que los estudiantes centren su atención en las relaciones existentes entre los


247

objetos geométricos (iniciales, auxiliares y finales) involucrados en tales construcciones,

surgiendo así la necesidad de validar sus conjeturas, ya sea mediante la verificación cuasi-

empírica, la presentación de una explicación o de una prueba formal.

REFERENCIAS

Balacheff, N. (2000). Procesos de Prueba en los alumnos de Matemática. Bogotá: Una

Empresa Docente de la Universidad de los Andes.

D’Amore, B. (2006). Didáctica de la Matemática. Bogotá: Cooperativa Editorial

Magisterio.

De Villiers, M. (1993). El Papel y la Función de la Demostración en Matemáticas.

Epsilon, 26, 15–29.

Duval, R. (1999). Argumentar, demostrar, explicar: ¿continuidad o ruptura cognitiva?

México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Fetisov, A.I. (1973). La Demostración en Geometría. México: Editorial Limusa –

Wiley, S.A.

Fischbein, E. (1987). Intuition in science and mathematics: an educational approach.

Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Flores, A.H. (2007). Esquemas de Argumentación en Profesores de Matemáticas del

Bachillerato. Educación Matemática, abril, 19 (1), 63-98.

Harel, G. y Sowder, L. (2007). Toward Comprehensive Perspectives on the Learning

and Teching of Proof. En F. Lester (ed.), Second Handbook of Research on

Mathematics Teaching and Learning. A Project of the National Council of Teachers

of Mathematics (2 volumes). Charlotte, NC: Information Age Publishing.

León Rugeles, F. (2011). Teoría del Conocimiento. Valencia: Universidad de Carabobo.

Nagel, E. y Newman, J.R. (1999). El Teorema de Gӧ del. Tercera edición. Madrid:

Editorial Tecnos.

Perry Carrasco, P., Camargo Uribe, L., Samper de Caicedo, C. y Rojas Morales, C.

(2006). Actividad demostrativa en la formación inicial del profesor de matemáticas.

Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional.

Sierpinska, A. y Lerman, S. (1996). Epistemologías de las Matemáticas y la Educación

Matemática. [Documento en Línea] Disponible en:

http://www.ugr.es/~jgodino/siidm/escorial/SIERLERM.html [Consulta: 2012,

Diciembre 12]

http://www.ugr.es/~jgodino/siidm/escorial/SIERLERM.html


248

EL SESGO DE EQUIPROBABILIDAD EN PROFESORES DE MATEMÁTICA EN

FORMACIÓN

Yerikson Suárez Huz

[email protected]

Fredy E. González

[email protected]

UPEL-Maracay

RESUMEN

La sociedad contemporánea actual demanda de sus ciudadanos, el desarrollo de

capacidades y destrezas vinculadas al razonamiento probabilístico, debido a que el

reconocimiento de la incertidumbre, como una característica de la realidad, y aprender a

manejarse con ella, son fundamentales en el desempeño intelectual de los individuos del

siglo XXI (Azcárate, Cardeñoso y Porlán, 1998). Sin embargo, las concepciones previas de

los estudiantes constituyen obstáculos para la comprensión de los conceptos asociados a la

teoría de la Probabilidad, lo cual dificulta el proceso de aprendizaje de estos temas

(Batanero, 2006; Borovcnik y Kapadia, 2010). Precisamente, una de las líneas de

investigación más relevantes y prolíficas en relación con el razonamiento probabilístico

está referida al estudio de las preconcepciones y a la presencia de sesgos en dicho

razonamiento. El propósito del estudio aquí reportado y realizado con estudiantes para

profesor de Matemática en la UPEL-Maracay fue identificar y caracterizar la presencia de

uno de estos sesgos, el denominado sesgo de equiprobabilidad, el cual está referido a la

suposición, sin ningún tipo de justificación, de que todos los sucesos asociados a cualquier

experimento aleatorio tienen la cualidad de ser equiprobables (Lacoutre, citado por Serrano,

Batanero, Ortíz y Cañizares, 1998; Barragues y Guisasola, 2006). Se trató de una

investigación de campo, de carácter descriptivo-interpretativo; apoyada en una indagación

documental y concebida como un estudio de caso múltiple que asumió como referente

teórico la idea de sesgo de equiprobabilidad sustentada por Kahneman, Slovic y Tversky

(1982). Los sujetos de estudio fueron 20 estudiantes, futuros profesores de Matemática, a

quienes se les aplicó un cuestionario de preguntas abiertas y cerradas. Se pudo verificar que

en los sujetos estudiados hay una marcada presencia del sesgo de equiprobabilidad, el cual

les genera dificultades para la comprensión del concepto de probabilidad.

Palabras Claves: Sesgo de Equiprobabilidad, Educación Estadística, Razonamiento

Probabilístico, Sesgos y Heurísticas.


249

EL PROBLEMA

Diversos estudios revelan la complejidad del aprendizaje de aspectos inherentes al

concepto de Probabilidad en los diversos niveles educativos. En este sentido, Sánchez y

Hernández (2000) indican que existe un consenso entre profesores e investigadores

respecto al hecho de que los temas vinculados con la Probabilidad constituyen un área

difícil de enseñar y aprender. Idea a su vez respaldada por Azcárate (2007), quien señala

que la Probabilidad “es un concepto de difícil comprensión, pues, en general, entra en clara

contradicción con el pensamiento determinista y causal dominante en nuestra educación”

(p.48). Una razón que justifique esta visión, aparentemente complicada y compleja, es que

la inserción de la Probabilidad en el contexto educativo pretende desplegar en los

estudiantes una forma de razonamiento diferente al lógico-deductivo y causal-determinista.

Al respecto Urrea (2005) indica que

Hay indicios de que la comprensión del concepto de probabilidad y de las ideas

básicas, relacionadas con éste, enfrentan la interferencia de varias dificultades

para que los estudiantes puedan llevar a cabo un razonamiento acorde a lo

establecido por la disciplina, estas dificultades se manifiestan en los estudiantes

por medio de diferentes sesgos (p. 208)

Lo anterior conduce al interés particular de aquellos aspectos cognitivos que están

relacionados con la comprensión de temas propios de la Probabilidad. En este orden de

ideas Kahneman, Tversky y Slovic (1982) refieren que las personas a la hora de expresar

juicios probabilísticos tienen y emplean sesgos, esto es, concepciones erróneas vinculadas

al razonamiento probabilístico.

Precisamente uno de los sesgos más estudiados y vinculado al enfoque clásico de

probabilidad es el sesgo de equiprobabilidad (Lacoutre, citado por Serrano, Batanero, Ortíz

y Cañizares, 1998; Barragues y Guisasola, 2006) y que está referido a la presuposición sin

ningún tipo de justificación de que todos los sucesos asociados a cualquier experimento

aleatorio tienen la cualidad de ser equiprobables, es decir, tienen la misma probabilidad de

ocurrir; aún y cuando esto no es necesariamente cierto o cuando no existen razones para

presumir de tal hipótesis.

Pero además del interés en estos aspectos propios del razonamiento probabilístico,

también es importante revisar aspectos relacionados con el ámbito escolar donde se debe


250

poner en evidencia el desarrollo y empleo del mismo, así como el abordaje de manera

adecuada las dificultades y errores que puedan persistir en los estudiantes a la hora de

recurrir a este modo de razonar, por lo que pareciese que se requiere entonces de

profesionales- que en general son los profesores de Matemáticas, pero que no se limita a

ellos solamente-con formación matemática sólida en torno a la teoría de la Probabilidad; así

como en todo lo vinculado al estudio, comprensión, abordaje didáctico y manejo

pedagógico asociado al razonamiento probabilístico; en atención a sus errores, dificultades,

obstáculos y sesgos.

Por lo tanto para mejorar la formación de los profesores en torno a la enseñanza de la

probabilidad; es necesario, entre otras cosas, que se cuente con una comprensión lo más

clara posible, acerca de cómo los docentes y futuros docentes abordan y resuelven

problemas asociados al concepto de Probabilidad. En particular Ortíz, Mohamed, Serrano y

Rodríguez (2009); señalan que es primordial reconocer los conocimientos y modos de

razonar de los futuros los profesores en torno al concepto de Probabilidad; pues esto

permitiría implementar un proceso de formación más adecuada para los futuros docentes;

no solo desde el punto de vista matemático-formal sino también desde el punto de vista

didáctico.

En Venezuela, la Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL) – a través

de sus diversos institutos - tiene la misión de preparar y capacitar a los docentes que

demanda el sistema educativo venezolano en sus distintos niveles y modalidades (UPEL,

1999). Específicamente en el Instituto Pedagógico de Maracay se ofrece la especialidad de

Matemática y dentro de su plan de estudios se oferta el curso de Probabilidad y Estadística

Inferencial y a través del cual los estudiantes para profesores de Matemática deben adquirir

conocimientos propios del campo de la Teoría de la Probabilidad. Sin embargo, no existen

estudios en torno a la identificación del sesgo de equiprobabilidad – entre otros sesgos –

por lo que el objetivo de la investigación que aquí se reporta, era identificar la presencia

del sesgo de equiprobabilidad en el razonamiento que hacen los futuros docentes de

Matemáticas de la UPEL Maracay, cuando resuelven problemas asociados al enfoque

clásico de la probabilidad, por considerarse necesario examinar e indagar de manera

profunda y sistemática algunos elementos propios del razonamiento probabilístico de estos.


251

MARCO TEÓRICO

Las personas, desde su niñez, poseen un conjunto de ideas intuitivas, preconcepciones

o juicios previos acerca del azar y la Probabilidad que son puestos el descubierto en el

razonamiento empleado en determinadas situaciones o planteamientos. A este respeto,

Bennett citado en Serradó, Cardeñoso y Azcárate (2005) indica que las preconcepciones

acerca del azar pueden en general anteceder al pensamiento formal, normativo e

institucionalizado y, que si son correctas, pueden ser de gran ayuda en el proceso de

aprendizaje; pero que de forma contraria, se pueden convertir en dificultades para la

correcta comprensión de los conceptos probabilísticos.

En general, se ha comprobado de manera empírica, a través de variados estudios

como Kahneman, Tversky, y Slovic, (1982), Sáenz de Castro (2002), Barragués, Guisasola

y Morais (2005) y Borovcnik y Kapadia (2010), que muchas veces tales ideas son

equivocadas o difieren de la teoría normativa, es decir, de los significados referenciales

asociados a la Probabilidad. Precisamente, una de las líneas de investigación más relevantes

y prolíferas en relación al razonamiento probabilístico es la referida al estudio de tales

preconcepciones y a la presencia de sesgos en dicho razonamiento, por ejemplo, autores

como Kahneman, Slovic y Tversky (Ob. cit) han señalado la presencia de errores

sistemáticos de tipo psicológico en la toma de decisiones por parte de los sujetos ante

situaciones de tipo probabilístico.

En consecuencia el uso de estrategias de tipo cognitivas empleadas de manera

inconscientes y que suprimen parte de la información del problema, tienden a reducir la

complejidad del mismo, de modo que sea comprensible a aquel quien lo trata de resolver;

pero ocasionado posibles errores y la presencia de sesgos en el razonamiento. Godino,

Batanero y Cañizares (1996) ya hacían referencia a estudios como los de Kahneman, Slovic

y Tversky en 1982; para apoyar “la existencia de ciertos errores sistemáticos y conductas

estereotipadas persistentes en la toma de decisiones ante situaciones de tipo probabilístico”

(p. 47). En opinión de quien llevó a cabo esta investigación, muchas veces el profesor no

está consciente de la presencia de estas concepciones erróneas en sus estudiantes; para así

promover estrategias didácticas adecuadas para su detección, concientización de parte de

los estudiantes y posterior corrección.


252

Para Salcedo (2006) “A los razonamientos incorrectos respecto a situaciones

probabilísticas se les conoce en la literatura especializada como sesgos en la interpretación

de la Probabilidad, se entiende por esto el conjunto de respuestas incorrectas que tienen un

origen similar” (p. 24). Uno de los sesgos identificados y ampliamente estudiado, por

ejemplo ver Serrano, Batanero, Ortíz y Cañizares (1998), es el sesgo de equiprobabilidad, y

está vinculado al hecho de que los individuos tienden a creer que todos los sucesos

asociados a cualquier experimento aleatorio tienen la misma posibilidad de ocurrir.

Así que los sujetos que manifiestan tal sesgo asocian que el hecho de que un

experimento sea aleatorio entonces, automáticamente cada uno de sus posibles resultados

tiene el mismo chance de ocurrencia. Salcedo (2006) apoya estos argumentos cuando

señala que, para ellos, pareciera confluir una conexión inmediata entre azar y lo aleatorio; y

la equiprobabilidad.

Barragués, Guisasola y Morais (2005); Sánchez (2009) y Batanero(2001) señalan un

conjunto de estudios llevados a cabo por un grupo de investigadores entre 1985 y 1992,

vinculados al cálculo de probabilidades; los cuales se realizaron en diversos contextos de la

pregunta, con diversas edades de los sujetos; y varios niveles de formación; se encontró que

la gran mayoría de los sujetos tenían la creencia de que al lanzar dos dados era igual de

probable obtener un cinco y un seis que obtener dos seises.

Tales resultados estarían ligados a la idea de que si un experimento es aleatorio,

entonces sus resultados deben tener la misma probabilidad; lo que hoy en día se conoce

como sesgo de equiprobabilidad. Además Sánchez (2009) indica que la presencia de dicho

sesgo puede ser no erradicada debido a una sobrestimación del enfoque clásico. También

Salcedo (2006) indica que “al parecer, este sesgo se debe a que las personas no logran

establecer conexiones entre los modelos combinatorios con experimentos aleatorios.” (p.

26). Este autor también señala que la presencia de este sesgo pueda deberse entre otras

cosas al hecho de que

…los contactos iniciales en la educación formal respecto a la probabilidad se

hace a través de su concepto clásico, el cual se basa en experimentos aleatorios

donde todos los eventos son igualmente probables. Generalmente, se inicia el

estudio de la probabilidad con experimentos aleatorios, cuyos resultados son

todos igualmente probables. (p. 26)


253

Venturiello (2008), así como Barragués y Guisasola (2006) señalan que este sesgo

se refiere a la certeza de los sujetos de que todos los sucesos involucrados a cierto

experimento aleatorio tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Es decir, en caso de no

existir una información cierta y manifiesta, y en ocasiones incluso aun existiendo esta

información, la presencia del sesgo de la equiprobabilidad ocasiona que una persona tienda

a asignar la misma probabilidad a las distintas alternativas que se proponen o sugieren.

En Barragués, Guisasola y Morais (2005), así como en Barragués y Guisasola (2006)

se analiza el sesgo de equiprobabilidad - entre otros sesgos y heurísticas- a la hora de

estudiar las formas de razonamiento utilizadas por un grupo de 110 estudiantes

universitarios de ingeniería en España. Para el estudio se recurre a la aplicación de un

cuestionario escrito con 6 enunciados abiertos, así como al desarrollo de entrevistas. Los

resultados señalan que en los dos ítems donde se estudio este sesgo en particular, la

mayoría de los estudiantes evidencian presencia del mismo; esto a pesar de haber recibido

formación académica en teoría de la Probabilidad. De esta investigación son tomados y

adaptados parte de los reactivos aplicados.

Un estudio similar es desarrollado por Urrea (2005) con 180 estudiantes

universitarios, pertenecientes a diversas carreras; algunos con formación en el área de

Probabilidad y otros sin ella. Se pone en evidencia nuevamente una alta presencia del sesgo

de equiprobabilidad (entre otros sesgos estudiados) y las dificultades que afrontan los

estudiantes al resolver problemas de probabilidad ya que se detecta que una proporción

importante de estudiantes incurren en una serie de desviaciones en su razonamiento en

comparación a lo que se considera como razonamiento normativo fundamentado en la

teoría. Fueron adaptados algunos ítems propuestos en su cuestionario para la presente

investigación, y también se tomaron como referentes parciales para este estudio el modo en

el cual se analizó la información recabada.

METODOLOGÍA

Metodológicamente, la investigación se sustenta en un enfoque cualitativo, y

constituye un estudio de caso, de carácter interpretativo, apoyado en una indagación

documental y en un trabajo de campo, considerando como sujetos de estudio un grupo de


254

estudiantes para profesores de Matemática del Instituto Pedagógico “Rafael Alberto

Escobar Lara” (Maracay, Edo. Aragua), núcleo de la Universidad Pedagógica Experimental

Libertador. Los sujetos de estudio de la investigación fueron seleccionados por medio de un

muestreo intencional, no probabilístico tomando en cuenta los siguientes dos criterios de

selección: (a) que no hayan sido cursantes de la asignatura de Estadística aplicada a la

Educación; o en su defecto que no hayan visto el contenido asociado a temas de

Probabilidad; y que así mismo no hayan cursado la asignatura de Probabilidad y Estadística

Inferencial; y (b) estudiantes que sí cursaron y aprobaron el curso de Probabilidad y

Estadística Inferencial.

En total, en el estudio participaron 20 estudiantes para profesores de Matemática con

un promedio de edad de 22 años y cursantes de entre el tercer y el noveno semestre; 10 de

género femenino y 10 de género masculino; 9 de estos estudiantes ya habían cursado y

aprobado la asignatura de Probabilidad y Estadística Inferencial; en tanto que 11 no lo

habían cursado ni visto contendidos de Probabilidad desde su ingreso a la especialidad.

Para indagar y obtener la información acerca de la presencia del sesgo de

equiprobabilidad en los futuros docentes de Matemática de la UPEL Maracay al resolver

situaciones que involucran el cálculo de probabilidades bajo su enfoque clásico se procedió

al diseño y aplicación de un instrumento - un cuestionario – con 5 preguntas cerradas y 5

abiertas que los sujetos deberían responder. El cuestionario escrito fue construido y

validados a la luz de los referentes teóricos descrito en el apartado anterior ya que para la

construcción del mencionado instrumento se seleccionaron, rediseñaron y adaptaron

preguntas contenidas en cuestionarios previamente aplicados por otros autores (Green,

1983; Cañizarez, 1997, Fischbein y Gazit, 1984) que aparecen como referencias de trabajos

clásicos dentro de la literatura especializada en estudios cognitivos acerca de la

comprensión de la probabilidad. En el cuadro 1 se muestran los ítems asociados al sesgo de

equiprobabilidad.


255

Cuadro 1

Ítems que abordan el sesgo de equiprobabilidad

Código del ítem Preguntas

1.4) Al lanzar simultáneamente 3 dados ¿Cuáles de los siguientes resultados es más fácil

que ocurra?

(a) Obtener de alguna forma 5, 3 y 6

(b) Obtener de alguna forma dos veces el 5 y una vez el 3

(c) Obtener 3 veces el 5

(d) Todos estos resultados son igualmente probables

1.5) Una ruleta está dividida en cinco áreas iguales, numeradas del 1 al 5 ¿Cuál de los

siguientes resultados es más probable que ocurra al girar la ruleta tres veces

(a) Obtener exactamente 2, 1 y 5 (en ese estricto orden)

(b) Obtener 2, 1 y 5

(c) Obtener de alguna forma dos veces el 1, y una vez el 5

(d) Las opciones (a), (b) y (c) son igual de probables

2.1) El semáforo que regula el tráfico en cierto cruce puede encontrarse en uno de los

siguientes estados: ROJO, VERDE y AMARILLO. ¿Cuál es la probabilidad de que en un

instante determinado el estado del semáforo sea ROJO o VERDE?

2.5) Un juego de la feria consta de dos ruletas como las que se muestran en la figura. Un

jugador gana un premio sólo si ambas flechas caen en el área sombreada, cuando se hace

girar una vez cada una de las flechas. ¿Consideras que el juego anterior es equitativo?

Justifica tu respuesta

Items tomado del cuestionario elaborado por Suárez (2013)


256

Con relación al procedimiento llevado a cabo, el mismo se estructuró en las siguientes

etapas: (a) Revisión documental preliminar, (b) Trabajo de Campo y (c) Organización,

sistematización, análisis e interpretación de la información.

RESULTADOS

Para el análisis de cada ítem se compararon las respuestas formuladas por los sujetos

de estudio con la respuesta normativa o institucionalizada delimitada por los referentes

teóricos. Se procedió a contrastarlas y a la interpretación de los argumentos empleados. Así

mismo, se analizó el desempeño global de los informantes a la hora de contestar los 4 ítems

que abordaban el sesgo de equiprobabilidad.

En el Cuadro 2 se pueden apreciar las opciones escogidas por los informantes claves,

donde se refleja que tan solo 3 estudiantes seleccionaron la opción correcta a, mientras que

13 individuos, lo cual representa el 65%, consideran que la opción correcta era la d, la cual

está asociada a la presencia del sesgo de equiprobabilidad. Por ejemplo la justificación del

participante P5 quien indica que “Todos estos resultados son igualmente probables porque

se está considerando el mismo espacio muestral, es decir, las 6 caras de los dados”, lo cual

pone en evidencia la no distinción del espacio muestral que se obtiene al lanzar un dado y

al lanzar 3 dados

Cuadro 2

Distribución de respuestas del ítem 1.4

Opción

escogida

Participantes Total %

a P8,P17,P20 3 15%

b P10 1 5%

c P9 1 5%

d P1,P2,P4,P5,P6,P7,P11,P12,P13,P15,P16,P18,P19 13 65%

No contesta P3,P14 2 10%

Total 20 100%

En el Cuadro 3 se pueden apreciar las opciones escogidas por los participantes para el

ítem 1.5 y donde se refleja que la opción correcta (b) es escogida tan solo por cuatro, lo que


257

representa el 20% del total de sujetos y la opción más seleccionada es la opción d con el

55%, siendo esta la que evidencia el sesgo de equiprobabilidad en los informantes. Este

ítem es similar al anterior; se ha cambiado es el experimento aleatorio. Se puede apreciar

que el número de sujetos que no contesta se eleva con respecto al cuestionamiento anterior,

por lo que parece que el contexto del planteamiento del experimento aleatorio pudiése

influir en la comprensión del mismo. Por ejemplo el participante P2 señala que “Todos

pueden ser probables porque están girando la ruleta tres veces y hay 5 áreas iguales

entonces en cada giro la probabilidad sería igual en cada área”; dándole mayor peso en el

argumento al hecho de tener áreas iguales lo que es sinónimo de equiprobables.

Cuadro 3

Distribución de respuestas del ítem 1.5

Opción

escogida


a ---- 0 0%

b P8,P9, P17,P20 4 20%

c ---- 0 0%

d P1,P2,P4,P5,P6,P11,P14,P15,P16,P18,P19 11 55%

No contesta P3,P7,P10,P12,P13 5 25%

Total 20 100%

En el Cuadro 4 se describe el comportamiento de las respuestas dadas al ítem 2.1,

siguiendo lineamientos propuestos por Barragues, Guisasola y Morais (2005). La categoría

“sesgo de equiprobabilidad” recoge aquellas respuestas en las que se asume de forma

implícita que la probabilidad de cada uno de los tres estados del semáforo es 0,33, lo cual

es notablemente lo poco razonable que, en general, resulta este supuesto a la hora de

abordar la situación planteada ya que no existiría a priori ninguna razón que justifique el

asumir este supuesto. El análisis detallado de la situación planteada establece y reconoce

que las probabilidades de cada uno de los estados del semáforo son desconocidas, pero que

se decide añadir de manera explícita la hipótesis de equiprobabilidad, esto es, se establece

explícitamente que P(R) = P(V) = P(A) = 1/3 y, en consecuencia, se obtiene que la

probabilidad del evento {R, V} está dada por P({R, V}) = P(R) + P(V) = 2/3.


258

Entre algunos razonamientos expuestos por los informantes claves y que reflejan la

presencia de dicho sesgo tenemos por ejemplo el informante clave P6 indica que “El

semáforo puede encontrarse en uno de los 3 estados, por lo tanto la probabilidad de que en

un instante determinado el estado del semáforo sea rojo es 1 de 3 por lo tanto su

probabilidad es 33,33%”; de manera similar explica de manera simbólica el sujeto P7 que

“Los tres eventos probabilísticos de este caso son A={semáforo en rojo} P(A)=1/3,

B={Semáforo en Verde} P(B)=1/3, C={Semáforo en Amarillo} P(C)=1/3”

Cuadro 4

Categorización de respuestas al ítem 2.1

Categoría de las

Respuestas


Respuesta correcta de

baja calidad

explicativa

P2,P16 2 10%

Respuesta Correcta --- 0 0%

Sesgo de

Equiprobabilidad

P1,P5,P6,P7,P8,P9,P11,P12,P14,P15,P20 11 55%

Respuesta

incodificable

P3,P4,P10 3 15%

No contesta P13,P17,P18,P19 4 20%

Total 20 100%

En el Cuadro 5 se aprecia el comportamiento de las respuestas proporcionadas por los

sujetos de estudio. Tan solo el 30% de los sujetos de estudio contestan correctamente ante

el problema planteado; pero nada más dos sujetos emiten argumentos del todo correctos

para justificar sus respuestas; mientras que el restante 70% contesta de manera incorrecta o

no se considera capaz de responder ante tal cuestionamiento.


259

Cuadro 5

Categorización de respuestas al ítem 2.5

Categoría de las

Respuestas


Respuesta correcta de

baja calidad

explicativa

P5,P6,P15 3 15%

Respuesta Correcta P1,P8,P20 3 15%

Respuesta incorrecta P2,P4,P7,P9,P11,P14,P16,P19 8 40%

Respuesta

incodificable

P10 1 5%

No contesta P3,P12,P13,P17,P18 5 25%

Total 20 100%

Con respecto al grupo de sujetos que contestan de manera incorrecta, los participantes

coinciden en afirmar que el juego si es equitativo debido al hecho de que en ambas ruletas

la mitad está sombreada y la otra mitad no, lo que les pudiese hacer pensar que esto

conlleva inmediatamente a la idea errónea de un juego justo puesto que hay la misma

posibilidad de caer en una o en otra zona; lo que se traduce en un desconocimiento o la no

consideración de los distintos casos posibles que se pueden presentar. Por ejemplo, el

informante P2 reseña que “Claro que es equitativo porque es la misma posibilidad, porque

la ruleta está a mitad”, pero no considera todos los casos posibles.

CONCLUSIONES

En función de las respuestas develadas por los informantes clave, se puede concluir

que en general, existe importante predominancia de este sesgo en los estudiantes para

profesores de Matemática de la UPEL Maracay, con base en el número de respuestas

asociadas a identificar el mismo. Además, se comprueba el hecho de que no solo se asigna

de manera discrecional la cualidad de ser equiprobable a un suceso determinado, sino que

se pudo constatar por medio de las respuestas, que es un error reiterativo el confundir el

hecho de que un evento simple tiene la misma probabilidad que el resto de los eventos

simples asociados a aun cierto experimento aleatorio, pero que a la hora de estudiar eventos

compuestos, la equiprobabilidad no es “heredada” por estos últimos.


260

Se puede concluir que la presencia de error es recurrente y persistente, ya que incluso

aquellos estudiantes para profesores de Matemática que recibieron formación en

Probabilidad evidencian la presencia del sesgo. De hecho, de todos los enunciados del

cuestionario, el ítem 3, que evaluaba la presencia de dicho sesgo, no obtuvo respuestas

correctas. En este caso se determinó que el sesgo de equiprobabilidad se reflejaba al

asignar, de manera a priori pero irracional, la misma probabilidad a diferentes eventos, aún

y cuando no existen razones aparentes que hagan suponer que tal asignación es correcta.

Pero no es la única forma en la cual dicho sesgo es exteriorizado por los sujetos de la

investigación. Otra forma, tiene que ver con la aparente confusión entre la equiprobabilidad

de los eventos o sucesos elementales, característica de los juegos de azar, con la no

equiprobabilidad de los eventos compuestos asociados a un cierto experimento aleatorio y

en conjunto los planteamientos asociados al estudio de este sesgo en los futuros docentes

fueron los que más respuestas incorrectas tuvieron.

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263

SEGURIDAD INFORMÁTICA, TÉCNICAS CRIPTOGRÁFICAS Y

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS COMO CONTENIDOS DE APRENDIZAJE

Marisol Sarmiento

Jenny Guillén

UPEL-Maracay

RESUMEN

En la sociedad que surgió tras la revolución industrial a finales del siglo XIX, el

recurso básico era la energía y su objetivo extender y ampliar la fuerza del cuerpo humano,

de este modo se inventaron máquinas que ahorraban trabajo físico y gran parte de los

hombres y mujeres de ese mundo desarrollado, se liberaron de penosas tareas manuales. En

la sociedad que se gesta a finales del siglo XX el recurso básico es el conocimiento y el

objetivo se centra en la actividad humana, en el acceso y uso de la información y en la

interacción de los individuos, ello tras la aparición de Internet, donde la tecnología que

antes era utilizada sólo en proyectos empresariales, militares o de gobierno ha cobrado

mayor importancia en su aplicación para la sociedad del conocimiento (Sarmiento, 2007).

Uno de estos proyectos es la seguridad informática, definida como la necesidad de

implantar mecanismos de protección que reduzcan al mínimo los riesgos asociados a los

incidentes de confianza y resguardo de información (Gonzalo, 1998). Este artículo,

proporcionara una visión general de los aspectos más relevantes de la seguridad

informática, observando esta disciplina desde un punto de vista estratégico y táctico. Para

ello destacaremos, el uso de los algoritmos criptográficos desarrollados a partir de

fundamentos matemáticos y de las técnicas de la criptografía (simétricas y asimétricas).

Como sustento teórico De Nápoli (2005) y Pino (1997) que han establecido “…Toda

encriptación se encuentra basada en un algoritmo, quien codifica un mensaje en texto plano

por medio de un método matemático para convertirlo en un texto cifrado…”(s/n), en cuyo

caso para poder descifrar el mensaje es necesario conocer además una clave o llave “KEY”,

visión que permitirá conocer las amenazas y las contramedidas ha considerarse en toda

organización, desde los estudios de la computación y la informática.

Palabras Clave: Seguridad informática, algoritmos criptográficos, técnicas de

encriptación, fundamentos matemáticos.

SEGURIDAD INFORMÁTICA

En palabras de Gonzalo (1998) la seguridad en informática (SI), persigue disminuir

los riesgos asociados al acceso y utilización de determinado sistema de forma no

autorizada. Este propósito implica la necesidad de aplicar la gestión de riesgo. Ello,

requiere evaluar y cuantificar los bienes a proteger, y en función de estos análisis,


264

implementar medidas preventivas más que correctivas, que excluyan estos riegos o los

reduzcan hasta niveles permisibles.

De esta manera, la SI, es la característica de cualquier sistema informático, la cual lo

hace libre de todo peligro, daño o riesgo. Quizás debido al propio avance del software y su

potencialidad para vulnerar la estabilidad de los sistemas, pareciese que estos no son del

todo infalibles. La seguridad persigue tres objetivos básicos; confidencialidad, que la

información sea accesible exclusivamente a las personas que estén autorizadas; integridad,

que la totalidad de la información esté protegida y también sus métodos de proceso y

disponibilidad, que el acceso a la información y los recursos esté garantizada para los

usuarios autorizados.

Asimismo, para Gonzalo (Ob. cit) existen tres principales elementos a proteger en

cualquier sistema informático son; el hardware, que puede verse afectado por caídas de

tensión, averías, entre otros, el software, al que le pueden afectar virus y, los datos. De estos

tres, el principal son los datos, ya que es el más amenazado y seguramente el más difícil de

recuperar.

Con base a lo anterior, ya sea en las empresas privadas, cuyo objetivo es obtener

beneficios económicos y el de las organizaciones públicas, ofrecer un servicio eficiente y

de calidad a los usuarios, ambas deben proteger los sistemas para evitar las potenciales

pérdidas que podrían ocasionar la degradación de su funcionalidad, el acceso a los sistemas

por parte de personas no autorizadas y garantizar la oferta de sus servicios de forma

eficiente y correcta.

En este particular, las organizaciones pueden y deben reducir la frecuencia y la

severidad de las pérdidas relacionadas con violaciones de la seguridad en sus sistemas; ya

que estos son vulnerables a multitud de amenazas que pueden ocasionar daños que resulten

en pérdidas significativas. Asimismo, los efectos de las diversas amenazas puedes ser muy

variados. Unos pueden comprometer la integridad de la información o de los sistemas, otros

pueden degradar la disponibilidad de los servicios y otros pueden estar relacionados con la

confidencialidad de la información. (Hernández, 1996).

En cualquier caso una correcta gestión de los riesgos debe implicar un profundo

conocimiento de las vulnerabilidades de los sistemas y de las amenazas que los pueden

explotar. Existe un gran abanico de medidas de seguridad que pueden reducir el riesgo de


265

pérdidas debidas a la aparición de incidentes en los sistemas informáticos. A continuación,

se mencionan las mismas y los sistemas de seguridad más frecuentes agrupándolas bajo dos

aspectos; medidas de gestión y técnicas, cuya clasificación es señalada por De Nápoli

(2005). Las primeras deben ser implantadas por los gestores de las organizaciones como

parte de los planes estratégicos y tácticos, mientras que las segundas se corresponden con

herramientas y sistemas técnicos diseñados para evitar, controlar o recuperar los daños que

pueden sufrir los sistemas por la aparición de determinadas amenazas de seguridad.

Los gestores de toda organización deberían contemplar la seguridad informática

como parte integral de las estrategias y tácticas corporativas. Una vez plasmada la

importancia de los sistemas para la consecución de los propios objetivos y los riesgos que

puede suponer para la empresa la pérdida de integridad de su información, la

indisponibilidad de sus sistemas o la violación de la confidencialidad de su información,

pueden plantearse con mayor rigor el resto de medidas encaminadas a servir a los objetivos

empresariales.

Ahora bien, las medidas técnicas, son de interés para este trabajo; existen innumerables

herramientas y sistemas de seguridad orientadas a preservar la integridad, confidencialidad

y disponibilidad de información y sistemas. Entre las técnicas más consolidadas se tienen

las copias de respaldo, los antivirus, los cortafuegos, los mecanismos de autenticación y la

criptografía.

Como medidas más avanzadas, se menciona la esteganografía, la detección de

vulnerabilidades y la detección de intrusos. Las técnicas esteganográficas tratan de ocultar

información. A diferencia de la criptografía, que trata de hacer indescifrable la información,

la esteganografía trata de evitar que siquiera se note su existencia. Por ejemplo las empresas

dedicadas a producir documentos digitales, pueden estar interesadas en incluir determinada

marca invisible de forma que sea demostrable su autoría y puedan perseguirse copias

ilegales. (De Nápoli, Ob. cit).

LA CRIPTOGRAFÍA Y SU FUNDAMENTACIÓN MATEMÁTICA

Las raíces etimológicas de la palabra criptografía son kryptos, que significa oculto y

graphos, que se traduce como escribir, lo que da una clara idea de su definición clásica “…


266

arte de escribir mensajes en clave secreta o enigmáticamente…” (Pino, 1997, p. 3). La

criptografía, es el arte de escribir mensajes ocultos, históricamente la criptografía tiene su

origen en aplicaciones militares, pero hoy en día se utiliza habitualmente en aplicaciones de

computación. (Wikipedia, 2007). Un algoritmo criptográfico es un método matemático para

convertir un mensaje en texto plano (que cualquiera puede leer) en un texto cifrado (que

sólo es legible para el que sabe como descifrarlo). Generalmente los algoritmos de

encriptación son públicamente conocidos, pero para poder descifrar el mensaje es necesario

conocer además una clave.

Para este Pino, los algoritmos de encriptación se usan todos los días en aplicaciones

y protocolos tales como; Secure Shell (SSH) definido como el acceso remoto a otras

computadoras, el HTTPS (Sitios web seguros, por ejemplo homebanking), el GPG The

GNU Privacy Guard usado por ejemplo para correo electrónico encriptado y, el IPSec

usado en redes privadas virtuales. Pino (Ob. cit) señala dos tipos de algoritmos; los

algoritmos convencionales privados o simétricos, conceptualizados como quien envía un

mensaje encriptado utiliza el mismo procedimiento y la misma clave que su receptor para

desencriptarlo y los algoritmos de clave pública o asimétrica, en el cual se utilizan claves

diferentes para encriptar y para desencriptar.

Los algoritmos de clave pública se basan en el hecho de que existen operaciones

matemáticas que se pueden realizar rápidamente en una computadora, para las que la

operación inversa (aunque teóricamente es posible) demanda un tiempo de procesamiento

tal que la hacen prácticamente imposible. Es decir dados dos números primos grandes p y

q, es muy fácil calcular N = pq. Pero conocido N, es prácticamente imposible calcular p y q

si ambos son suficientemente grandes. Otras aplicaciones de los algoritmos de llave

pública, son los algoritmos de clave pública resuelven el problema de la distribución de

claves y los algoritmos de clave pública también pueden usarse para autentificación (firma

digital).

Dos de los algoritmos criptográficos, más potentes (complejos en su aplicación, por

lo cual proporcionan mayor seguridad) son el algoritmo RSA y el algoritmo de intercambio

de claves de Diffie-Hellman; por lo cual resulta interesante explicar cómo funcionan. El

algoritmo RSA (por las siglas de sus creadores) fue inventado por Ron Rivest, Adi Shamir


267

y Len Adleman en 1977. El algoritmo de intercambio de claves de Diffie-Hellman fue

creado en 1976, ambos algoritmos emplean varias herramientas de la teoría de números.

Así como también, ambos algoritmos utilizan como función de una sola vía, la

función exponencial modular: x 7→ ax(mod n) que dado x devuelve el resto de ax módulo

n. Es posible calcular ax en forma muy eficiente utilizando el método de cuadrados

repetidos: por ejemplo al calcular 100119 (mod301), para ello, se escribe el exponente en

binario 19 = 24 + 2 + 1 = 100112. Y se explica de la siguiente manera.

Otra fundamentación matemática, presentada por Stein (1977) con respecto a la

teoría de números, son las Raíces Primitivas. Si p es un número primo, decimos que g es

una raíz primitiva módulo p, si gn módulo p recorre los valores 1, 2, . . . , p − 1 cuando n

recorre esos mismos valores. Por ejemplo: si se elije p = 23, g = 5 es una raíz primitiva ya

que tenemos la siguiente tabla de valores. Para todo primo p, existen raíces primitivas:

Grafico 1. Tabla de Valores Raíces Primitivas. Fuente: Fuente Pino (1997).

Otra explicación interesante, con este algoritmo, es Alicia elige al azar dos primos

enormes p y q, (p ≠q), y calcula N = pq. A los fijes de un ejemplo, se elije p = 17 y q = 41.

Entonces N = 697. También elige (al azar) e que no tenga factores en común con ƒ = ∂ (N)

= (p − 1) (q − 1). En nuestro ejemplo elegimos e = 231 ƒ = 640. Alicia hace públicos N y

e: son su clave pública. Alicia: Mi clave pública es el par (697,231).

El algoritmo de Diffie-Hellman Supongamos que dos personas, Alicia y Benito

deben ponerse de acuerdo en una clave pero no disponen de un canal seguro para

intercambiar la clave. Entonces pueden hacer lo siguiente: acuerdan (¡en público!) un

número primo p (grande) y una base g, idealmente una raíz primitiva de p. A modo de

ejemplo, supongamos que eligen p = 23 y g = 5. Cada uno por su lado. Alicia elige una

clave secreta a (por ejemplo a = 6), calcula ga (módulo p) y da a conocer el resultado a

Benito (¡en público!). En el ejemplo: 56 ≡ 8(mod 23).


268

Benito hace lo mismo, elije una clave secreta b (por ejemplo b = 15) calcula gb

(módulo p) y comunica el resultado a Alicia (¡en público!). En el ejemplo: 515

≡ 19(mod

23). Un secreto en común, se señala entonces que tanto Alicia como Benito pueden calcular

gab

módulo p: han quedado con un secreto en común. Alicia (que conoce a y gb calcula (g

b)

a

≡ gab

(mod p). En el ejemplo: 196 ≡ 2(mod 23). Mientras que Benito (que conoce g

a y b)

calcula: (ga)b

≡ gab

(mod p). En el ejemplo: 815

≡ 2(mod 23).

La seguridad del algoritmo de Diffie-Hellman depende de que conociendo por

ejemplo y = ga (o g

b) no sea posible determinar a (o b), no sea posible (desde el punto de

vista práctico) resolver la ecuación de congruencia: gx ≡ y (modp). Lo cual se denomina

Problema del logaritmo discreto. Si se nota que si g es una raíz primitiva de p este problema

siempre tiene una solución, pero no se conoce ningún algoritmo eficiente (esto es: con

complejidad polinomial en el número de bits de los datos) para resolverlo, si p y g son

grandes).

El Algoritmo de Euclides, para chequear que ƒ y e no tengan factores comunes, se

encuentra su máximo común divisor utilizando el algoritmo de Euclides (aprox. 325-265

AC):

640 = 231 ∗ 2 + 178 231 = 178 ∗ 1 + 53 178 = 53 ∗ 3 + 19

53 = 19 ∗ 2 + 15 19 = 15 ∗ 1 + 4 15 = 4 ∗ 3 + 3

4 = 3 ∗ 1 + 1 3 = 1 ∗ 3 + 0

Último resto no nulo = máximo común divisor.

Una consecuencia del algoritmo de Euclides. Los restos que aparecen en el

algoritmo de Euclides al calcular el máximo común divisor entre ƒ y e siempre se pueden

escribir en la forma a ƒ + de, donde a y d son dos enteros. En particular, esto es verdadero

para al máximo común divisor entre e y ƒ.

En este ejemplo:


269

Grafico 2. Resultados del algoritmo de Euclides. Fuente: Pino (1997).

El secreto de Alicia. Así pues, se ve que existen enteros c y d tales que: a ƒ + de =

mcd(e, ƒ) = 1. En este ejemplo: a = 61, d = −169.Por lo tanto, en particular existirá (¡y se

puede calcular!) un entero d tal que: de ≡ 1(mod ƒ). Alicia mantiene d en secreto: es su

clave privada. Como se prefiere no trabajar con números negativos, se hace un pequeño

truco: −169 ≡ −169 + 640 ≡ 471(mod 640) por lo tanto si elegimos d = 471 se seguirá

verificando la relación de ≡ 1(mod 640).

Los mensajes son números, es posible pensar el conjunto de números {0, 1, 2, . . .

,N − 1}como un alfabeto, y representar el mensaje como un número (o varios) de ese

alfabeto. Por lo tanto, se puede pensar que el mensaje a transmitir es un número m de la

aritmética modular módulo N. Encriptando con el RSA, cuando Benito quiere enviarle un

mensaje m a Alicia, busca su clave pública (e,N) y calcula c = me(mod N), c es el mensaje

cifrado. En el ejemplo, si Benito quiere enviar el mensaje m = 12 a Alicia, calcula 12e =

12231

≡ 466(mod 697) y envía el mensaje cifrado c = 466 a Alicia.

¡Alicia sabe matemática!. Para desencriptar el mensaje, Alicia utilizará el siguiente

teorema: (me)

d ≡ m(mod N). Prueba: Como hemos elegido d de modo que de ≡ 1(mod ƒ)

existe un entero k tal que de = 1 + kf = 1 + k(p − 1)(q − 1) por lo que (me)

d ≡ m

de ≡

m(m(p−1)

)k(q−1)

(mod p). Pero por el teorema de Fermat sabemos que módulo p,

m(p−1)

≡ 1 si p no divide a m

0 si p divide a m

Se deduce que en cualquier caso: (me)

d ≡ m(mod p). De modo similar: (m

e)

d ≡

m(mod q). Como p y q son primos distintos, deducimos que (me)

d ≡ m(mod N).

Como desencripta Alicia. Se deduce que Alicia puede decifrar el mensaje de Benito,

calculando cd (mod N). En ejemplo, Alicia recibe el mensaje c = 466 de Benito, y calcula

466471

≡ 12(mod 697). Sólo Alicia que conoce ƒ = ∂ (N) = (p − 1) (q − 1), puede

desencriptar el mensaje.


270

¿Es seguro?, la seguridad del Algoritmo RSA depende de que aún conociendo N,

no sea posible calcular los factores p y q, y por lo tanto ƒ. Es decir, depende de que no sea

posible (desde el punto de vista práctico) factorizar el número N. Actualmente no se conoce

ningún algoritmo eficiente (o sea, con complejidad polinomial en el número de bits del

número N) para factorizar números grandes, y se conjetura que tal algoritmo no existe. Se

nota, sin embargo que sí existe un algoritmo para decidir si un número es primo o no en

tiempo polinomial (¡sin calcular sus factores!).

El RSA-576 (RSA Security, Inc.), organiza un concurso para factorizar números

primos, con la finalidad de verificar la seguridad del RSA. Por ejemplo, el RSA − 576 (576

bits de longitud, 174 digitos decimales) ha sido factorizado Y sus factores primos son

p= 398075086424064937397125500550 386491199064362342526708406385189

575946388957261768583317

q= 472772146107435302536223071973 048224632914695302097116459852171

130520711256363590397527

De igual manera, Koblitz (1987) da a conocer los criptosistemas de clave privada,

siendo su característica más notable, que usa una sola clave para codificar y descodificar.

Los algoritmos de clave privada son altamente eficientes (siempre hablando en relación al

tamaño de la clave) y robustos, pero inseguros para los usos actuales y los posibles usos

futuros de la criptografía de seguridad informática.

Este mismo autor, señala que la criptografía simétrica era suficientemente difícil de

desencriptar para la criptografía clásica, pues todos los sistemas históricos hasta la llegada

de las computadoras eran criptosistemas simétricos, ya que eran suficientemente complejos

para la capacidad de resolución de la época, otra de las razones de su desuso actual es la

necesidad de transmisión de la clave al receptor deseado (ejemplo las máquinas Enigma

eran enviadas en tren, en cualquier momento podían ser interceptadas y por tanto muy

probablemente decodificadas) por un canal más o menos seguro según el caso.

Dentro de los criptosistemas simétricos existe una subdivisión según la manera de

cifrar y descifrar un mensaje: cifradores simétricos en flujo, cifradores simétricos por

bloques y los cifradores en resumen. Se tienen entonces, el Cifrado en flujo (Block cipher),

el cual se define como aquel cifrado con características simétricas (clave pública, de


271

pequeño tamaño y con algoritmos rápidos) que cifra el mensaje bit a bit. A continuación se

explican algunos de los subtipos más usuales. Cifrado síncrono y autosincronizante, en el

cifrado síncrono la secuencia pseudo aleatoria (clave) generada para cifrar y descifrar un

mensaje es independiente de éste, mientras que en los cifradores de flujo

autosincronizantes la secuencia de cifrado sí es función del mensaje. (Koblitz, Ob. cit).

Así, en el cifrado síncrono, el emisor y el receptor deben usar la misma clave (que,

además, debe estar sincronizada) para poder establecer la comunicación; por este motivo

utilizan señales de sincronización, que no son necesarias en el cifrado autosincronizante, ya

que al tener una realimentación, en caso de pérdida de sincronismo, éste puede recuperarse

transcurrido un tiempo.

Ahora bien, Morales (2005) explicado dos cifrados; el de Vernam y el Lineal

Perfecto. Este primero, fue desarrollado en los Estados Unidos y recibe el nombre del que

fuera su creador en 1917. Originalmente se usó en circuitos teletipo, siendo su diseño para

el cifrado en tiempo real y el descifrado de señales teletipo. Hace uso de la función OR-

exclusiva (XOR) para cifrar un mensaje dado con una clave determinada. Es un proceso

simétrico, pues usa la misma clave para el proceso de cifrado y el de descifrado. Las

versiones más recientes de cifradores Vernam usan claves generadas electrónicamente, que

son infinitamente largas y de naturaleza aleatoria, en principio, aunque por supuesto cada

usuario del sistema debe ser capaz de generar la misma secuencia usada como clave.

El segundo cifrador, fue introducido por Massey y Rueppel y es semejante al

estándar utilizado para el cifrado de la televisión en la European Broadcasting Universe. El

Cifrado en bloques (Block cipher), este tipo de cifrador es simétrico toma un número

determinado de bits como elemento base y los cifra en bloques iguales (normalmente de 64

bits). Existen numerosos ejemplo de cifradores en bloque por ejemplo (DES), para la

transmisión de datos confidenciales entre ordenadores se desarrolló a principios de la

década de 1970. LUCIFER, un sistema de cifrado basado tanto en la sustitución como en la

transposición, y en 1976 se elaboró la norma de cifrado de datos o DES (Data Encryption

Standard) sobre la base del primero. Fue, y todavía es, ampliamente usado, sobre todo, en el

campo financiero.

El DES transforma segmentos de mensaje de 64 bits en otros equivalentes de texto

cifrado, empleando una clave de 56 bits. Cada usuario elige una clave al azar, que sólo


272

comunica a aquellas personas autorizadas a conocer los datos protegidos. El mensaje real se

codifica y descodifica automáticamente mediante equipos electrónicos incorporados a las

computadoras emisoras y receptoras. Como existen más de 70.000 billones de

combinaciones de 56 bits, la probabilidad de descubrir la clave aleatoria parece mínima.

Así, es un método de cifrado altamente resistente frente a ataques criptoanalíticos

diferenciales.

Investigadores como Landaverde, Soto y Torres (2000), dan a conocer la eleva

resistencia del cifrado DES, al exponer que por medio de un reciente ataque contra un

mensaje con cifrado DES requirió el uso de cientos de computadoras durante 140 días. Pero

hay diseños de máquinas que, con un costo de un millón de dólares, podrían descifrar

mensajes DES en cuestión de minutos, actualmente el algoritmo DES está obsoleto. Luego

de esto el NIST (National Institute of Standards and Technology) propuso una competición

para desarrollar el estándar AES, hasta cuya resolución ha adoptado el sistema Triple- DES

como una solución temporal. Los cinco algoritmos finalistas para AES, elegidos entre un

total de quince, fueron MARS, RC6, Rijndael, Serpent y Twofish. Así, Rijndael es un

cifrador en bloque diseñado por John Daemen y Vincent Rijmencomo algoritmo candidato

al AES (Advanced Encryption Standard). Su diseño estuvo fuertemente influenciado por el

de un cifrador (block cipher Square), que también fue creado por John Daemen y Vincent

Rijmen y se centraba en el estudio de la resistencia al criptoanálisis diferencial y lineal.

El nombre del algoritmo es una combinación de los nombres de sus dos creadores.

El cifrador tiene longitudes de bloque y de clave variables y puede ser implementado de

forma muy eficiente en una amplia gama de procesadores y mediante hardware. Como

todos los candidatos del AES es muy seguro y hasta la fecha no se le han encontrado puntos

débiles. La longitud de la clave de Rijndael, si bien es variable, debe ser de 128, 192 o 256

bits, según los requisitos establecidos para el AES. Asimismo, la longitud del bloque puede

variar entre 128, 192 o 256 bits.

Lizárraga y Toledo (2001), describen el cifrado en resumen y el SHA-1. Este

primero, establece funciones hash (hash functions), estas funciones son básicas en la

programación y en la seguridad informática actual por su alta eficiencia y su gran rapidez

de ejecución. El funcionamiento de estas funciones es sencillo, mediante una clave crean un


273

“resumen” del mensaje que es único para cada mensaje y de un tamaño relativamente

pequeño, siendo este resumen complemente distinto al resumen de otro mensaje distinto.

Como ejemplos de algoritmos hash se ponen; el MD2 (Message Digest 2), el cual se

diseñó para computadoras con procesador de 8 bits, y hoy apenas se utiliza. Se conocen

ataques a versiones parciales de MD2. MD4 (Message Digest 4). Fue desarrollado por Ron

Rivest, de RSA Data Security. Su diseño es la base de otros hash, aunque se le considera

inseguro. Un ataque desarrollado por Hans Dobbertin permite generar colisiones (mensajes

aleatorios con los mismos valores de hash) en cuestión de minutos para cualquier PC. Por

ese motivo, está en desuso.

El segundo cifrado señalado por estos autores, es el SHA-1 (Secure Hash

Algorithm), fue desarrollado como parte del estándar hash seguro (Secure Hash Standard,

SHS) y el estándar de cifrado digital (Digital Signature Standard, DSS) por la Agencia de

Seguridad Nacional norteamericana (NSA). Aparentemente se trata de un algoritmo seguro

y sin fisuras, al menos por ahora. La primera versión, conocida como SHA, fue mejorada

como protección ante un tipo de ataque que nunca fue revelado.

El documento FIPS (Federal Information Processing Standard) expuesto por el

Grupo Inter México (S/F), que oficialmente lo describe afirma que los principios

subyacentes al SHA- 1 son similares a los del MD4 de Rivest. Su implementación puede

estar cubierta por patentes en Estados Unidos y fuera de ellos. A falta de ataques ulteriores,

se le puede considerar seguro. Es el algoritmo de firmado utilizado por el programa PGP

(un conocido programa comercial de cifrado usado casi siempre en codificación de correo

electrónico) en sus nuevas claves DH/DSS (que significa: cifrado mediante clave Diffie-

Hellman y firmado mediante función hash/ Digital Signatura Standard). Para la generación

de otro tipo de firmas digitales suelen usarse algoritmos basados en criptografía de clave

pública, sobre todo RSA y DSS.

A MANERA DE CONCLUSIÓN

En la práctica, que un programa de criptografía sea seguro o no, no depende sólo del

algoritmo matemático que emplea, sino de muchos detalles que hacen a su implementación.

Sólo pueden considerarse seguras las implementaciones de los algoritmos criptográficos


274

para las que está disponible el código fuente (o sea, el texto del programa en un lenguaje

comprensible para los seres humanos), porque sin él no es posible auditar el código para

verificar que el programa no tenga puertas traseras, u otros defectos que lo tornen inseguro.

Todo ello, representa una aproximación a la inclusión y uso de la criptografía como

técnica algorítmica que debería formar parte de los estudios de las carreras relacionadas a la

enseñanza de la Informática y la Matemática, al propiciar el desarrollo del pensamiento

matemático y algorítmico. Se dice entonces que en la revisión actual del pensum de estudio

de la Especialidad de Informática, se tienen cursos como introducción al cálculo,

introducción al algebra, introducción al algebra lineal, matemática discreta y calculo

diferencial; en cuyos contenidos se entre mezclan los fundamentos matemáticos, la teoría

de números y, el desarrollo de la lógica que a su vez deben servir de sustento teórico para

cursos del componente especializado de la misma, tales como introducción a la informática,

sistemas operativos, redes informáticas, por lo cual y en atención a los lineamientos de

formación integral se debería incorporar tales enseñanzas. Tal como es el caso del curos

Matemática discreta y su explicación desde los fundamentos matemáticos, de los grafos,

arboles, pilas y colas interrelacionadas con la estructura de datos en la programación.

Asimismo, en la especialidad de Matemática, los cursos que propugnan la

fundamentación matemática deben relacionarse con los contenidos de la criptografía como

sustento teórico explicativo, para el desarrollo del pensamiento matemático. Ya que hoy

día, este tema no se encuentra presente en los estudios de pregrado, sino solamente en

estudios de cuarto nivel. En la actualidad existen diversos simuladores que pudiesen

implementarse de manera gratuita para este uso, entre ellos se tiene Arce que combina el

más poderoso (actualizado) motor de cálculo matemático, con una interfaz de usuario

intuitiva. Todo ello, debe representar un avance para el Docente de Matemática y sus áreas

de estudio, al impulsar una protección real que garantice la seguridad informática y el

aumento del uso de la Red Internet, pero no solo sobre el beneficio económico, si no

científico, educativo, social y cultural.


275

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277

ANÁLISIS SEMIÓTICO Y DIDÁCTICO DE UN PROCESO DE ESTUDIO SOBRE

LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Fernando J Tesorero

[email protected]

Mario Arrieche

[email protected]

UPEL-Maracay

RESUMEN

Este proyecto de investigación se centra en el análisis de u proceso de estudio sobre las

razones trigonométricas en un curso de cuarto año de Educación Media general del Sistema

Educativo Venezolano, mediante un análisis semiótico y didáctico. El estudio se

fundamenta en el enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática

(Godino, 2003), en el cual se basan los sustentos teóricos de la línea de investigación

“Perspectivas de enfoque semiótico-antropológico para la didáctica de la matemática”

(Arrieche, 2002). En la enseñanza de las Razones Trigonométricas en el nivel referido, los

docentes presentan algunas dificultades en las estrategias utilizadas, que posiblemente

están obstaculizando a los estudiantes el aprendizaje de de este tema. En este sentido lo

que se quiere es Evaluar un proceso de estudio sobre las Razones Trigonométricas, que

permita determinar y describir los significados institucionales puestos en juego e

identificar posibles conflictos semióticos en la interacción didáctica. La técnica se basa en

un modelo ontológico y semiótico para la cognición e instrucción matemática que se

presenta previamente, y se ejemplifica mediante el análisis del proceso de estudio de las

Razones Trigonométricas en un libro de texto y un análisis didáctico. La investigación se

basa en un modelo metodológico cualitativo y descriptivo para el estudio del problema, el

cual permite desarrollar el tema con una observación no participante. Los informantes

claves de interés en esta investigación es el Docente, libro de texto y un grupo de

estudiantes de cuarto año de Educación Media General de la Escuela Básica “Don Rufino

González” Santa Cruz de Aragua. La expectativa de este trabajo es facilitar la enseñanza y

aprendizaje de las Razones Trigonométricas respecto a la revisión de los libros de texto y la

actuación del docente durante el desarrollo del objeto matemático.

Palabras Clave: Razones Trigonométricas, Análisis Semiótico, Análisis Didáctico,

Conflicto Semiótico.

OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN

.

La dinámica social del docente en un escenario del aprendizaje, en donde establece un

rol de mediador de experiencia de aprendizaje y estructuración del proceso lógico

matemático, es por estos que debe estar dirigida a cambios que llevan implícitos una

concepción de la enseñanza de una superficie de transmisión de conocimiento donde el

estudiante se convierta en un ente activo, pleno de interés, y entendimiento, lo que implica

la utilización de esquemas motivantes y atrayentes. Según Romero 2007 en su




278

investigación titulada Significados Personales de las funciones en estudiante de Educación

Básica menciona, que el objetivo principal de un educador es lograr que los estudiantes se

apropien de los contenidos que se le está enseñando, esto es logrado por la formación

profesional y la experiencia del docente.

Es importante la fase en donde el docente planifica actividades, estrategias y desarrolla

una clase, donde permita que los estudiantes adquiera un conocimiento, en tal sentido que

su aprendizaje sea significativo González 1997 señala que el profesor debe hacer una

revisión de la información previa, tanto en los contenidos como en los procedimientos y

formas de trabajo con los estudiantes, donde también debe diseñar un plan de clase que

incluya estrategias especificas.

Por esa razón se considera que el docente debe de tener un conocimiento previo con

respecto al contenido y planificación, esto juega un papel importante en el proceso de

enseñanza y aprendizaje. Quiroz, 2002, p.217 . Señala que gran parte de los fracasos

matemático de nuestro estudiantes tiene su origen en una introducción inadecuada hacías

los contenido o tema a desarrollar, generando una actitud negativa por parte del estudiante

hacia al tema y destruyendo sus propia potencialidades.

Esta investigación surge principalmente dos intereses, entre ellas tenemos, como el

docente trabaja el contenido de trigonometría específicamente las razones trigonométricas,

y que estrategias utiliza el docente para facilitarle a los estudiante el contenido. Esta noción

se presenta como un objeto que va emergiendo progresivamente, la trigonometría es

abordada por primera vez en cuarto año según el Currículo Del Sistema Educativo

Venezolano,

La experiencia de la investigación en la enseñanza de la matemática en cuarto año de

educación media general, le permite afirmar que los docentes muestran algunas dificultades

en lo que respecta la enseñanza y aprendizaje, ya que somete al contenido a unas estrategias

tradicional en donde el estudiante se le dificulta el aprendizaje. Así mismo se indica que

una de las razones que conlleva a la dificultad de comprensión de los alumnos, es que

algunos profesores tienen la creencia de que el tema a desarrollar es talmente nuevo para

los estudiantes, o por el contrario que esto domina todos los conocimientos previos y no

tiene nada que aprender.

En este sentido se piensa trabajar las razones trigonométricas como resolución de

problema en un contexto que en si misma puede ser utilizado como estrategias novedosa en

donde el estudiante se sienta motivado, así también donde se pueda obtener más y mejor

información acerca de los alumno en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las razones

trigonométrica. Dentro este mismo orden de ideas este interés de estudios está centrado en

la práctica que tiene el docente en la enseñanza y aprendizaje de las razones trigonométrica,

es por ello que surgen las siguientes interrogantes.

1. ¿Qué dificultades presenta el estudiante en la comprensión de las razones

trigonométrica sobre el contexto institucional de la educación básica?

2. ¿Qué dificultades presenta los estudiantes cuando se imparte el objeto matemático?

3. ¿Es adecuado el modo en que el docente transmite a los estudiantes el objeto

matemático razones trigonométricas?

4. ¿Los libros de texto que usa el docente plantean de manera precisa los conceptos,

ejemplo, procesos y brindan información clara sobre las razones trigonométricas?

5. ¿Qué patrones de interacción profesor-alumno son óptimo para facilitar el aprendizaje

de las Razones Trigonométrica?


279

Objetivo General

Analizar un proceso de estudio sobre las Razones Trigonométricas en un curso cuarto año

de Educación Media General mediante un análisis semiótico y didáctico.

Objetivos Específicos

1. Determinar los significados institucionales implementados por el docente sobre las

Razones Trigonométricas en un proceso de estudio en una sección de cuarto año de

Educación Media General de la U.E. “Don Rufino González”

2. Caracterizar los significados elementales y sistémicos (o praxeológicos), puestos en

juego en el libro de texto Figueroa J (1998), que utiliza el docente para impartir la

enseñanza de las razones trigonométricas en una sección de cuarto año de Educación

Media General de la U.E. “Don Rufino González”

3. Describir los patrones de interacción didáctica (Profesor- Alumno) en el proceso de

estudio de las Razones Trigonométricas de cuarto año de Educación Media General de

la U.E. “Don Rufino González”

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN

La investigación se engloba en un modelo metodológico del tipo cualitativo por qué

parte de una concepción integral de la realidad para el estudio del problema planteado. Y se

considera que el conocimiento matemático es producto de las interacciones humanas, y por

lo tanto está subordinado a ésta, en consecuencia, el significado que se le asigne a cada

tópico matemático viene influenciado por la institución donde esta se genere.

En palabras de Martínez (2006) el enfoque cualitativo de investigación: Trata de

identificar, básicamente, la naturaleza profunda de las realidades, su estructura dinámica,

aquella que da razón plena de su comportamiento y manifestaciones” (p. 66). Así mismo,

Buendía, Colas y Hernández (1998) considera que la investigación cualitativa “Supone una

adopción de una determinada concepción filosófica y científica, unas formas de trabajar

científicamente y formulas especificas de recogidas de análisis de datos, lo que origina un

nuevo lenguaje metodológico” (p. 228)

Se debe de tener en cuenta que la clasificación del tipo de investigación a utilizar viene

influenciada por el criterio que tome el investigador para hacer esa clasificación; en este

caso, la selección del tipo de investigación se hizo de acuerdo a los objetivos propuestos en

el estudio; de esta manera, para cada objetivo se selecciono el tipo de investigación que, a

juicio de investigador estuvo acorde con la naturaleza del mismo, de esta forma:

En ese sentido, el primer objetivo es “Determinar los Significados Institucionales

implementados por el docente sobre las Razones Trigonométricas”, se empleara una

investigación de carácter descriptivo, en relación a la visión que se asume de la realidad

como holística y cambiante, además, se concibe el conocimiento de una manera

constructivista y dialógica, en el cual, los resultados serán válidos para el contexto, o

institución en este caso, donde se desarrolle la investigación (Sandoval, 2002). En cuanto al


280

método se hará uso del hermenéutico, ya que el interés de este estudio es “descubrir los

significados de las cosas, interpretar lo mejor posible las palabras, los escritos, los textos y

los gestos” (Hurtado y Toro, 1997; p. 101) que en este caso giran en torno a un objeto

matemático: Razones Trigonométrica.

Con respecto al segundo objetivo en el cual se pretende Caracterizar los significados

elementales y sistémicos o praxeológicos, puesto en juego en el libro de texto Figueroa J

(1998), en el cual se tomará como referencia el libro de texto empleado por los docentes

para impartir tal contenido, se empleará la técnica del análisis semiótico de un texto,

propuesto por Godino (2002, 2003) y aplicada por Arrieche (2002), Ramos y Font (2008).

Con respecto a lo antes mencionado esta investigación se realizara mediante arqueo

documental, según Finol y Camacho (2006), se basa en analizar información sobre un

tópico específico, con el propósito de establecer relaciones, diferencias, etapas, postura o

estado actual del conocimiento, respecto al tema objeto de estudio; de esta manera, el

diseño estará orientado hacia la revisión bibliográfica, la cual, es definida por Tamayo

(2009) como aquella información que se obtiene de datos secundarios, lo que significa que

la información ya ha sido elaborada y obtenida por otros de acuerdo a los fines de éstos al

momento de recolectar los datos.

En cuanto al último objetivo es Describir los patrones de interacción didáctica

(Profesor- Alumno) en el proceso de estudio de las Razones Trigonométricas. se estará

empleando como tipo de investigación el Interaccionismo Simbólico (IS), ya que “una parte

sustancial de la investigación matemática se ocupa de estudiar las relaciones entre el

profesor, los estudiantes y la tarea matemática en las clases de matemática” (pg. 70), en

consecuencia, el IS supone que “las condiciones culturales y sociales” están

intrínsecamente relacionadas con el aprendizaje matemático (Godino y Llinares, 2000),

desde esa perspectiva, se partirá de considerar que existe una cultura en el aula en la que

interactúa el docente y el estudiante, por lo tanto, las reglas y convenios en torno al objeto

matemático emergerán de esa interacción, además el proceso de comunicación se sustenta

en los acuerdos (negociación) y significados compartidos.

El diseño a seguir, para este tipo de investigación, es de campo ya que tal como lo señala

Tamayo (2009) “cuando los datos se recogen directamente de la realidad, por lo cual

denominamos primarios, su valor radica en que permiten cerciorarse de las verdaderas

condiciones en que se han obtenido los datos” (p. 114), a su vez, dentro de este diseño, se

empleará el tipo de diseño de caso ya que se realizará “un estudio exhaustivo de uno o muy

pocos objetos de investigación, lo cual permite en conocer en forma amplia y detallada a

los mismos. Consiste, por lo tanto, en estudiar cualquier unidad de un sistema, para estar en

condiciones de conocer algunos problemas generales del mismo”. (Tamayo op. cit p. 114).

De este modo, los docentes de 4to año de Educación Media General serán representantes de

la Institución donde se lleva a cabo la investigación.

Cabe destacar, que desde este punto de vista, también se implementará un análisis

semiótico y didáctico de los apuntes del profesor en torno al contenido de las razones

Trigonométricas, a fin de contrastarlos con el análisis del texto empleado, teniendo en

cuenta el significado de referencia, y de esa manera determinar los posibles conflictos

semióticos potenciales que vayan surgiendo del estudio.

El criterio para la selección del texto está determinado, porque el último recurso en

cuanto a contenido que utilizan los docentes de 4to año de Educación Media General para

impertir las clases sobre Razones Trigonométricas en las instituciones educativas


281

venezolanas donde se realiza esta indagación, la Unidad Educativa “Don Rufino González”

ubicado en Santa Cruz Municipio José Ángel Lamas, Estado Aragua

PROCEDIMIENTO DE LA INVESTIGACIÓN

La investigación se llevará a cabo en tres fases:

Fase 1 Se caracterizaran los significados elementales y sistémico praxeológico puesto en

juego en el libro de texto.

Fase 2 Se describirán, y caracterizarán los elementos de significados puestos en juego por

los Docentes a través de una observación no participante.

Fase 3 Se realizará un análisis semiótico y didáctico de un proceso de estudio sobre las

Razones Trigonométrica.

Contexto de Investigación e Informantes Claves

La investigación se realizará en la Unidad Educativa “Don Rufino González” ubicada

en el Municipio José Ángel Lamas, del Estado Aragua, considerada como una de las

principales instituciones del municipio a nivel de Educación media general (7mo, 8vo y

9no, 1ro y 2do de Ciencias), por su capacidad, ya que atiende a una población estudiantil en

promedio de 620 estudiantes y cuenta con alrededor de 35 docentes.

Por la pretensión de la investigación de realizar un análisis semítico y didáctico sobre las

razones trigonométricas en curso de 4to año de Educación Media General, los informantes

clave de los dos docentes de matemática de un curso de 4to año de la Institución

mencionada, considerando que las clases grabadas siempre se realizarán tomando en cuenta

a un mismo grupo de estudiantes (Docente : 4to año sección D), por lo cual, también se

podría incluir a este grupo de estudiantes como informantes clave. Dichos informantes han

sido seleccionados de manera intencional de acuerdo a los intereses específicos del estudio

(Hurtado y Toro, 1997), donde los sujetos investigados permiten evidenciar el fenómeno a

estudiar según el juicio del investigador (Tamayo, 2009).

Cabe destacar que también será tomado el libro de texto empleado por los profesores de

matemática de 4to año (Figueroa, 1998) para impartir el contenido de trigonometría, de los

cuales se analizará todo lo concerniente a las razones trigonométricas de esa manera, estos

textos pueden considerarse como elementos importantes del presente trabajo y en

consecuencia es menester mencionarlos dentro de los sujetos que forman parte del mismo.

Técnicas, e Instrumentos de Recolección de la Información

A continuación se dará una explicación de aquellos procedimientos y condiciones por

medio de los cuales se recogerá la información de la investigación, y que de alguna manera,

constituyen la “expresión operativa del diseño de investigación” (Tamayo, 2009).

En correspondencia con los objetivos del estudio, entre las técnicas a utilizar, para el

análisis del libro de texto se empleará la técnica del análisis semiótico, la cual se describirá

más abajo. Las relacionadas con las prácticas operativas y discursiva (Significados

institucionales implementados y patrones de interacción didáctica), se debe hacer un

seguimiento pormenorizado de las clases de los docentes al impartir el contenido sobre las

razones trigonométricas, por lo tanto se hará uso de la técnica de campo, entre las que

destacan la observación concebida como “la inspección y estudio realizado por el


282

investigador, mediante el empleo de sus propios sentidos, con o sin ayuda de aparatos

técnicos, de las cosas o hechos de interés social, tal como son o tienen lugar

espontáneamente” (Hurtado y Toro, 1997).

La observación se implementará desde el punto de vista no participante ya que tal como

señala Hurtado y Toro (1997), el investigador observa la situación de interés “desde

afuera”, es decir, que no influye o se inmiscuye en el fenómeno estudiado; no obstante, el

observador centrará su atención en las características de los sujetos de estudio (los docentes

de 4to año), en el ambiente donde tienen lugar los hechos (aula de clases), comportamiento

de los participantes (lo que el docente dice y escribe en la pizarra, las posibles preguntas y

respuestas de los estudiantes durante la clase), frecuencia y duración de la situación (hora

de inicio y finalización de la clase, contenido impartido, entre otros). Los instrumentos

empleados para esta técnica serán: Diarios de campo, cuadernos de notas, grabación de

videos, fotografías, grabación de audios, entre otros.

EL ANÁLISIS SEMIÓTICO COMO TÉCNICA PARA DETERMINAR

SIGNIFICADOS

La técnica del análisis semiótico se realizará en el transcurso de esta investigación para

caracterizar los significados elementales y sistémicos puestos juego en el libro de texto,

sobre las Razones trigonométricas, tema correspondiente del cuarto año del nivel de

Educación Media General.

El análisis en su ejecución consta de una descomposición en unidades sistémicas y

elementales aplicables a un texto asociado al objeto matemático presente en un acto de

comunicación de la disciplina. En el caso de la indagación en los procesos de

comunicativos de aula, es necesario recabar las emisiones verbales y graficas del docente

de aula en un registro escrito.

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285

AUTOESCRITURA: ESTRATEGIA PARA LA FORMACIÓN INICIAL DE

PROFESORES DE MATEMÁTICA

Fredy González

UPEL-Maracay-NIEM

RESUMEN

La formación inicial de profesores de Matemática en Venezuela ha sido reiteradamente

cuestionada por las deficiencias que ostenta, entre las que pueden mencionarse los

siguientes: carácter aditivo del currículo y divorcio entre teoría y práctica (González, 2003);

en este estudio se pretendió ensayar una estrategia para superarlas, basada en la producción

de Relatos Narrativos Escritos sobre experiencias vividas por un grupo Estudiantes para

Profesor de Matemática (EPPM) en una universidad pública venezolana de formación

docente; para ello; se implementó un estudio cualitativo, de carácter fenomenológico

interpretativo. Se encontró que los EPPM, participantes en el estudio, pasaron de la

descripción a la explicación comprensiva; haciéndose conscientes y superando la

informalidad de los conceptos espontáneos e implícitos, y avanzaron hacia la configuración

de una conceptualización de lo que significa ser un profesional de la educación matemática,

es decir, de la formación matemática de los ciudadanos.

Palabras Clave: Educación Matemática, Mirada Profesional, Epistemología de la Práctica

INTRODUCCIÓN

Poseer una formación matemática de calidad es un derecho humano, aún cuando ello

no esté explícitamente consagrado en la Declaración Universal de los Derechos Humanos

adoptada por la Asamblea General de la Organización de las Naciones Unidas (ONU,

1948); sin embargo, cuando se concibe a la Matemática como un bien cultural, en cuya

construcción, a lo largo de la Historia, ha participado la Humanidad toda, es comprensible

que tal formación, efectivamente sí constituye un derecho y como tal los Estados están

obligados a garantizarlo; uno de los modos para lograrlo en la época actual, es la formación

de un personal que, con idoneidad, sea capaz de gestionar profesionalmente los procesos de

apropiación de los objetos, procesos, productos, procedimientos y, general, conocimientos

y saberes propios de la Matemática, tales profesionales son los Profesores de Matemática

(PM). Tal relevancia ha alcanzado la formación de profesores que se han creado

instituciones especialmente destinadas a esta tarea como, en Venezuela, lo son la


286

Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL) y otras instituciones de

educación superior universitaria.

Además, el asunto de la formación de PM profesionales se ha convertido en un ámbito

de reflexión hacia el cual dirigen sus intereses indagatorios connotados investigadores del

campo de la Educación Matemática en diferentes lugares del mundo. Uno de los aspectos

en los que ya se posee conocimiento consolidado es el referido a los momentos de

desarrollo de la formación de un PM: (a) inicial; (b) continuada; y (c) profesional que,

respectivamente, se refieren a los niveles de pregrado (o licenciatura), postgrado

(especialización, maestría o doctorado), y permanente (que se da durante el ejercicio mismo

de la profesión).

Sin embargo, aun cuando se estima que la formación de un profesional comienza

cuando está realizando sus estudio de pregrado, cada vez se tiene más evidencia de que ello

no es así, por cuanto al llegar a la universidad quien se prepara para ser profesor de

Matemática, ha tenido contactos con ésta, en su condición de alumno, en otros niveles

educativos y en distintos espacios formativos en los que ha participado a lo largo de su vida

pre-universitaria.

De allí que resulte relevante rescatar esta experiencia pre-profesional y convertirla en

insumo para la formación profesional. Una manera de lograrlo es a través de la

recuperación consciente de dicha experiencia convirtiéndola en objeto de reflexión y en

base para la construcción de la identidad docente propia.

En ello juegan un papel relevante la evocación, la rememoración, y el recuerdo, lo cual

se hace ostensible mediante la producción de relatos narrativos escritos cuyo contenido,

mediante procedimientos analíticos idóneos, permite construir conocimientos a partir de las

experiencias y vivencias propias.

Escritura, Trayectoria Escolar y Socialización Profesional

A lo largo de su “trayectoria escolar”, el Futuro Profesor de Matemática (FPM) se

vincula con diversos docentes quienes le ofrecen una variedad de “modelos didácticos” y

algunos de éstos le resultan tan significativos que los “marcan”, y se constituyen en

referencias para la actuación profesional; en consecuencia, en la formación (tanto inicial


287

como permanente) de los profesores, estas huellas o “marcas” pueden ser utilizadas como

recurso que coadyuve a la construcción de la identidad profesional del futuro profesor, es

decir del Estudiante para Profesor de Matemática (EPPM) quien, va construyendo, de

manera no formal, a-sistemática, no consciente, una serie de conceptos en torno a la

Matemática y los procesos de aprendizaje, enseñanza, estudio y evaluación de esta

disciplina. Análogamente, construye un marco conceptual relativo a: identidad del docente;

papel social de la escuela; espacios de formación (hogar, calle, escuela), etc.

De este modo, va perfilando modelos en torno a los diferentes agentes, espacios, y

escenarios formativos. Además, construye también una visión de lo que ha de ser el aula de

clases en general y de la Matemática en particular. También visualiza los roles, funciones y

tareas que han de asumir los protagonistas primarios del hecho edumático (aquel en donde

la Matemática es trabajada con fines educativos), es decir, el estudiante (en su rol de

aprendiz) y el docente (en su rol de enseñante); se da así una madeja de concepciones,

actitudes, creencias, representaciones, cogniciones, etc. en torno a la escuela, el docente, el

alumno, la enseñanza, el aprendizaje, el estudio, la materia, etc., que durante su “vida

escolar” el EPPM va conformando como un conjunto de saberes provenientes de las

relaciones que establece con los profesores (u otras personas: familiares, vecinos, amigos,

“señoras que enseñan las primeras letras”, “compañeros de estudio”), que le han “dado

clases” de Matemática; estos trabajos se “hospedan en la memoria del futuro profesor” y se

actualizan (se ponen en juego) en el momento cuando tiene la oportunidad de afrontar

situaciones de aula que son similares a aquellas en las que él mismo se ha encontrado

cuando le ha tocado ejercitar el rol de estudiante de Matemática. Como consecuencia de lo

anterior, puede inferirse que el EPPM participa de diferentes Espacios Formativos, tales

como: el hogar, la escuela, otros grupos a los que se pertenezca (culturales, artísticos,

deportivos, religiosos, políticos, gremiales, institucionales, económicos, etc.).

Esta “Socialización Previa” (García, 1999), es decir, la construcción de una

identidad social y profesional, forma parte de la “Trayectoria Pre-Profesional” que el

EPPM construye a partir de su propia historia escolar, es decir, de sus experiencias con la

Matemática, en cuanto estudiante; durante su vida escolar, los futuros profesores van

construyendo creencias, representaciones, y concepciones, que permanecen fuertes y

estables a lo largo del tiempo, y que muchas veces NO son debilitadas ni desestabilizadas


288

durante los estudios correspondientes al período de formación inicial; “durante los años en

los que el futuro profesor fue alumno, observó profesores enseñando, colaboró con algún

profesor en la realización de investigaciones. Durante ese período los futuros profesores

aprenden formas de comportamiento, y estilos de enseñanza” (García, 1999: 250) que, muy

probablemente, serán puestos en juego durante el ejercicio de la docencia, una vez

incorporados al mercado laboral luego de haberse graduado, obteniendo así la licencia para

ejercer profesionalmente labores docentes.

Las “marcas” o “huellas” que, en los EPPM, han dejado aquellos profesores que les

han resultado “influyentes”, “significativos”, “buenos” “excelentes” (entre otros

calificativos que utilizan para referirse a los docentes que les parecen destacados por alguna

cualidad cognitiva, afectiva o actuativa), tienen carácter conservador, es decir, son

resistentes al cambio, y no son disolubles mediante la influencia del conocimiento

declarativo portado por los cursos pedagógicos o didácticos que han de completar durante

su período de formación inicial; por el contrario, las experiencias, creencias y teorías,

basadas en las vivencias y convivencias que el futuro profesor de Matemática tuvo con sus

profesores durante el tiempo de su proceso de escolarización, constituyen un componente

clave en la construcción de su propia identidad como docente (Ver: Lima, 2006; p. 91).

En relación con las “marcas” dejadas por los “profesores significativamente

influyentes”, tanto positiva como negativamente, podrían formularse las siguientes

preguntas: ¿cómo perciben su desempeño docente? ¿Cuáles conocimientos exhibían? ¿Qué

habilidades mostraban? ¿Qué lograban generar en sus alumnos? ¿Cuáles competencias

didácticas poseían? ¿Cómo enseñaba? ¿Cuáles recursos didácticos utilizaba? ¿Cuáles son

las razones por las que lo recuerda?

La Práctica como Fuente de Saberes Profesionales

En esta indagación son asumidos tanto los planteamientos de García (1999) como

los de Tardif (2002), en cuanto, respectivamente, a que la profesionalización del profesor

tiene una fase de “socialización previa” que acontece cuando el EPPM es alumno; y que las

fuentes de saberes (saber ser y saber hacer) del futuro profesor son plurales y

heterogéneas; así, los saberes docentes son “disciplinares, curriculares, profesionales y


289

experienciales” (Tardif, 2002) y, además, provienen de diferentes fuentes entre las que se

encuentran las vivencias y experiencias escolares (García, 1999).

Lima (2006) coincide con estos autores cuando afirma que “los fundamentos del

saber enseñar son, a un mismo tiempo, existenciales, sociales y pragmáticos” (Lima, 2006;

97); son existenciales, por cuanto el EPPM no es un ser que padece la vida personal,

familiar, escolar o social, sino que es un participante activo en ella (aún cuando no esté

consciente de ello); sociales, porque en tanto que persona humana participa de innumerable

circunstancias de relación y de convivencia con otros (familiares, vecinos, compañeros de

distinta naturaleza, etc.); y, pragmáticos, debido a que están circunstancialmente

condicionados, socialmente mediados, e históricamente situados

Lo anterior significa que la experiencia escolar con la Matemática de los EPPM es

culturalmente desarrollada, históricamente acumulada; y, socialmente compartida; por

tanto, puede ser asumida como un ámbito para la producción de conocimientos, lo cual

remite a la Epistemología de la Práctica, cuyo correlato operativo es la reflexión acerca de

la práctica propia, la cual es considerada como un espacio para la producción (y no sólo

para la aplicación) de conocimientos; así que una de las competencias que debe exhibir

todo docente es la de ser capaz de reflexionar críticamente sobre su propia práctica, es

decir, sus vivencias (lo que se vive al interior, en la intimidad, sentires intransferibles,

aunque cognitivamente comunicables) y sus experiencias (lo que se con-vive, se comparte

con otros, la exterioridad). En el caso específico de los EPPM, su reflexión sobre la

experiencia escolar previa con la Matemática puede ser asumida como una Práctica Social

Didácticamente Mediada, habida cuenta de que los fenómenos didácticos asociados con los

incidentes críticos que acontecen en el aula de clase, forman parte de la vida escolar y, en

consecuencia, de la realidad social.

Surgen, entonces, interrogantes tales como: ¿Cómo están conformados los cuerpos

de conocimiento de los EPPM, adquiridos en la práctica, en relación con la condición de ser

profesional de la docencia en Matemática? ¿Pueden los EPPM transformarse de

consumidores de conocimiento en productores de conocimiento, considerando a la práctica

como un ámbito para la construcción de teorías de acción fundamentada en la reflexión?

Una pregunta importante, cuya búsqueda de respuesta dio lugar al estudio que aquí se

reporta, fue: ¿cuáles son los conocimientos, competencias, creencias, actitudes y valores en


290

torno a la Matemática y su enseñanza y aprendizaje, desarrollados por los EPPM durante su

vida escolar?

La Escritura Discursiva “acerca de si mismo” como Modalidad de Auto-Formación

La búsqueda de las respuestas a las interrogantes expuestas anteriormente, amerita

la reorientación de la trayectoria de los procesos formativos, cuyo sentido tradicional (de

afuera hacia adentro), que considera al EPPM como “un vaso vacío que debe ser llenado” o

una “tabla rasa”, debe ser trocado en un movimiento de adentro hacia fuera, que reivindica

la potencialidad de cada uno de los estudiantes. Para esto se adoptó la Escritura Discursiva

concibiéndola como una modalidad de la práctica formativa del Futuro Profesor de

Matemática (FPM), también llamados Estudiante para Profesor de Matemática (EPPM) o

Profesor de Matemática en Formación (PMF). Entre los argumentos esgrimidos para usar la

escritura discursiva se puede resaltar su potencial formativo: aportación de elementos para

la auto-reflexión por parte del profesor en formación; posibilidad de problematizar sus

concepciones, representaciones, y creencias acerca de la Matemática y de los procesos de

aprendizaje, enseñanza y estudio de esta disciplina; y, el carácter de dispositivo mediador

de las relaciones entre el profesor y sus estudiantes. Así que a los EPPM puede

solicitárseles que produzcan relatos narrativos escritos en los que se refieran a las

experiencias y vivencias relacionadas con la Matemática, que ellos hayan tenido a lo largo

de toda su trayectoria escolar, es decir, desde la educación inicial hasta el momento actual

como estudiantes universitarios. Tales relatos conforman una ex-posición, es decir, un

posicionamiento desde sí hacia “fuera de si”; por tanto, con el relato cada EPPM puede

colocarse fuera de si mismo, de modo que otros puedan auscultarlos inmediata o

posteriormente.

De los relatos pueden ser extraídas algunas de las dificultades confrontadas por los

alumnos para producir los relatos, entre las que se pueden mencionar las siguientes:

creencias acerca del papel de la escritura en las clases de Matemática; perspectivas acerca

de la Matemática como lenguaje; modelos escriturales promovidos por el docente;

concepciones acerca de cómo se aprende Matemática; vinculación con la escritura que se

proyecta dentro del aula; creencias suscritas por los alumnos en torno al papel que


291

desempeña lo escrito en su formación. Además de esto, se puede obtener información

acerca de los pormenores y circunstancias en las que se produjo el relato; esto es lo que se

denomina Meta-texto. Sin embargo, a pesar de reconocérsele su potencialidad formativa, la

escritura de relatos narrativos no está exenta de dificultades; entre éstas se puede mencionar

la dificultad que manifiestan los EPPM para registrar por escrito sus vivencias,

sentimientos y reflexiones. Así que el examen del contenido de los relatos narrativos

escritos acerca de su trayectoria escolar, enfatizando las relaciones que se hayan tenido con

la Matemática, constituye una de las modalidades de aprendizaje de la docencia en

Matemática como una profesión; en efecto, Lima (2006) señala que existen las siguientes

tres opciones para aprender una profesión: (a) escolarización; (b) formación inicial; (c)

ejercicio de la profesión misma. Lo anterior se contextualiza en el marco de la

Investigación Narrativa concebido como método de investigar la formación de docentes de

Matemática.

Con base en todo lo anterior, se llevó a cabo el estudio aquí reportado con el cual se

pretendió alcanzar el siguiente Objetivo:

Propiciar en los EPPM, una toma de conciencia acerca del significado de “Ser

Profesor de Matemática” a partir del examen de las experiencias y vivencias con la

Matemática que se hayan tenido a lo largo de toda su trayectoria académica: desde

pre-escolar hasta la universidad.

METODOLOGÍA

Este estudio se llevó a cabo con un grupo de EPPM, estudiantes de Educación

Matemática, insertada como asignatura obligatoria en el Plan de Estudios de la

Especialidad de Matemática que se cursa en la Universidad Pedagógica Experimental

Libertador (UPEL), institución de Educación Superior dedicada a la formación de

profesores, y en cuyo contexto se realizó la actividad de producir relatos narrativos escritos,

relacionados con la experiencia escolar con Matemática; el investigador responsable del

estudio ejerció la función de “activador del proceso”; y, además, fue simultáneamente el

facilitador del curso; en esta función tuvo la oportunidad de estudiar en sus estudiantes


292

procesos que él mismo como docente del curso, contribuyó a desencadenar, aportando para

ello orientaciones, sugerencias y claves de análisis.

La modalidad didáctica implementada para el desarrollo del curso implicó

actividades de escritura discursiva y reflexiva, expresada mediante la producción de relatos

escritos por parte de cada uno de los alumnos participantes en el curso de Educación

Matemática ya referido. Las referencias al curso de Educación Matemática como contexto

en el que se activó la producción de este relato, no debían aludir a cuestiones personales de

su facilitador, sino al sistema didáctico que se puso en juego; ¿cuáles principios científicos

e ideológicos fueron puestos en juego? ¿Cuáles valores orientaron el trabajo? ¿En qué

consistió la praxis de aula? ¿Roles y funciones desplegadas por los protagonistas; qué hizo

cada quien? ¿Cuáles son las características más relevantes del sistema didáctico puesto en

juego durante el curso de Educación Matemática que hizo posible la construcción de

conocimientos a partir de la reflexión sobre la práctica propia de cada uno de los EPPM

participantes en el curso? ¿Cuál fue el papel desempeñado por el docente?

Además, la modalidad didáctica desarrollada fue interpretada como una experiencia

de auto y co-formación, puesto que el grupo de estudiantes fue asumido como

constituyentes de una Comunidad de Aprendizaje, con actuaciones dentro del aula de

clases, tanto como fuera de ella, con la intervención del profesor como activador de

procesos; en esta función, el docente: ofreció explicaciones, dio orientaciones, realizó

exposiciones, dio retroalimentación sobre las diferentes versiones de los relatos escritos por

los alumnos, aclaró dudas tanto presencialmente como vía correo electrónico y por

mensajes de texto a través de teléfonos celulares.

La Investigación Narrativa en la Formación Profesional

En cuanto a los aspectos metodológicos implementados durante el trabajo, se puede

señalar que mediante la producción de relatos narrativos escritos se propició la

problematización de la formación inicial de los estudiantes para profesor, quienes debían

relatar narrativamente, por escrito, sus vivencias y experiencias con la Matemática a lo

largo de toda su vida escolar, transcurrida desde la educación inicial hasta la realización del

curso de Educación Matemática donde se llevó a cabo el estudio aquí reportado.


293

Las experiencias narradas por cada EPPM, fueron comunicadas públicamente

mediante un relato escrito, leído ante los compañeros; la lectura en voz alta en Encuentros

Presenciales de Trabajo se interpretó como “diálogo” de saberes en el ámbito público del

aula de clases (asumida como comunidad de aprendizaje); dicha lectura pretendía

colectivizar y socializar aquello que es individual y privado; además, en dicho relato se

debían identificar los así denominados Incidentes Críticos; éstos estarían referidos a

situaciones relacionadas con los procesos de Enseñanza, Aprendizaje, Estudio, y

Evaluación de la Matemática que le hubiesen resultados significativos. Dichos incidentes

fueron examinados teórica y conceptualmente, derivándose de dicho examen aprendizajes

relativos al desempeño aúlico del futuro profesor de Matemática.

Lo que se pretendió fue propiciar en los EPPM una reflexión acerca del significado

y compromiso implicados por los procesos de Aprendizaje y Enseñanza de la Matemática

en un aula de clases, teniendo como referencia las experiencias y vivencias personales

propias. La intención fue propiciar en los EPPM explicaciones idóneas acerca de los

fenómenos didácticos implícitos en los incidentes críticos que ellos identificaron en sus

respectivos relatos. Hacia donde se deseaba apuntar es a la explicitación de la relación que

cada EPPM participante en el estudio establece con el Ser Docente de Matemática,

tomando conciencia de su identidad como profesional del Proceso de Aprendizaje y

Enseñanza de esta asignatura.

Interrogantes-Guía en la Producción de los Relatos Narrativos escritos

Para lograr lo anterior, se les sugirió tener presentes las siguientes interrogantes:

¿Qué pienso que debe ser un docente? ¿Cómo debe ser enseñada? ¿Cómo se estudia?

¿Cómo se aprende? ¿Cómo ha de ser la dinámica del aula de clases de matemática? ¿Cuáles

son los factores afectivos que inciden sobre los procesos de Enseñanza y Aprendizaje de la

Matemática? ¿Cómo ha de evaluarse el desempeño en Matemática? ¿Qué papel

desempeñan los materiales didácticos en la Enseñanza y el Aprendizaje de la Matemática?

¿Cuáles prácticas de enseñanza son idóneas para propiciar el aprendizaje? ¿Cuáles son los

conocimientos, competencias, creencias, actitudes y valores en torno a la Matemática y su

enseñanza y aprendizaje, desarrollados por los EPPM durante su vida escolar? La base para


294

construir respuestas a estas interrogantes estuvo constituida por ejemplos y anécdotas

recaudadas a partir de los relatos narrativos escritos de las situaciones personales

experienciadas y vivenciadas por los propios EPPM que participaron en el estudio.

Procedimiento Analítico

A los estudiantes se les solicitó que, en forma individual o en pequeños grupos de

no más de cuatro integrantes, procedieran a reconocer los Incidentes Críticos a los que

hubiesen podido haber hecho mención en sus respectivos relatos; tales incidentes podían

referirse a diferentes acontecimientos ocurridos en el aula de clases en donde ellos tuvieron

alguna participación como estudiantes; como incidentes pueden ser mencionados los

siguientes: maneras de explicar utilizadas por el docente; materiales didácticos empleados

para enseñar algún concepto, procedimiento u operación propios de la Matemática;

tratamiento dado por el docente a eventos presentes en la cotidianidad de una clase de

Matemática; participación de familiares en la formación matemática del estudiante; la

comunicación docente-estudiante; la imagen acerca del docente de Matemática que ellos se

formaron en función del desempeño de sus respectivos profesores de Matemática, entre

muchísimos otros.

A algunos de los participantes del curso, se les pidió que leyeran en voz alta frente a

sus compañeros, parte de su respectivo Relato Narrativo Escrito (RNE); ello permitió al

facilitador identificar Incidentes Críticos y el correspondiente Fenómeno Didáctico

asociado; de este modo, se ejemplificó el tipo de análisis que ellos posteriormente, en forma

individual o en grupo, debían realizar.

Varios de sus autores, que conformaban grupos naturales (es decir, aquellas

agrupaciones conformadas por estudiantes que se conocen entre sí y forman equipos para

estudiar juntos) se intercambiaron sus respectivos RNE con el fin de realizar una lectura

analítica de su contenido (Miller, s/f); de este modo, realizaron un análisis que les permitió

reconocer incidentes críticos y develar los fenómenos didácticos implicados en los mismos.

Para la consideración de los Fenómenos Didácticos subyacentes en los Incidentes

Críticos, tanto los referidos en el RNE como los que se presentaron durante el curso, se

asumió la idea de Triángulo Didáctico, cuyos vértices son Profesor, Alumno, y Objeto de


295

Estudio; considerando las relaciones dos a dos, entre los tres vértices y también su dinámica

global en los EPT. Algunos de los Incidentes Críticos considerados fueron los siguientes:

Concientizar el sentido, significado y valor de las asignaciones extra escolares

Darse cuenta del rol social que le corresponde cumplir al profesor de Matemática

Incidencia de la arquitectura escolar, particularmente, la del aula, sobre el proceso de

enseñanza y aprendizaje

Procesos de democratización de la comunicación en el aula

Papel de la escritura en los procesos de formación inicial de profesores

Reflexión Inducida

Una vez que tales RNE estuvieron listos, se inició una fase de reflexión con respecto

a los pormenores de la modalidad formativa implementada con el fin de develar el

correspondiente modelo didáctico subyacente, lo cual permitiera identificar sus

fundamentos filosóficos e ideológicos, el modelo conceptual del aula, sus principios

didácticos, sus fines educativos, y su práctica escolar implementada. Para esto, a los

estudiantes se les llamaba la atención y se les pedía que notaran los incidentes críticos que

estaban teniendo lugar en los EPT. Los cinco elementos constitutivos del modelo didáctico

fueron asumidos como criterios para organizar el conocimiento necesario para la gestión de

fenómenos didácticos que acontecen en las aulas de Matemática que, junto con el

conocimiento matemático y el conocimiento didáctico asociado, constituyen los tres

ámbitos de competencia que deben poseer los docentes que se dedican profesionalmente a

enseñar Matemática.

RESULTADOS

La Producción Escrita como instancia propiciatoria de prácticas reflexivas. La

elaboración de RNE, sobre experiencias y vivencias con la Matemática, y su posterior

análisis y socialización, efectivamente constituye una instancia para reflexionar acerca

del Ser Profesor de Matemática.


296

La condición de profesionalidad de un profesor de Matemática, y de cualquier otra

disciplina, se hace ostensible en la competencia que él exhiba para identificar, describir

y aprovechar formativamente los fenómenos didácticos relacionados con los incidentes

críticos que tienen lugar en los Encuentros Edumáticos.; todo ello con el fin de

coadyuvar a la mejor formación matemática de quienes se hayan visto involucrados,

directa o indirectamente, en el desarrollo del mismo.

Los procesos tradicionales de formación inicial de profesores de Matemática han sido

objeto de variados cuestionamientos; uno de ellos es su carácter sumativo, es decir, la

creencia según la cual la teoría y la práctica para el ejercicio de la función docente se

producen en dos contextos separados; por un lado “el teórico” donde, de modo

declarativo, el EPPM se apropia del “deber hacer” y por el otro, “el empírico”, donde

debe “poner en práctica” aquello que “teóricamente” aprendió; la producción de RNE

hace posible el abordaje conjunto de estos dos ámbitos (teórico y práctico) del ejercicio

de la función docente.

La profesionalización de un profesor de Matemática, tiene como punto de partida, no

su formación inicial en la universidad, sino las experiencias con Matemática que ha

acumulado durante la trayectoria escolar previa, porque estas pudieran haber

contribuido a instalar en él representaciones acerca de lo que es ser un profesor de

Matemática.

Puesto que en los RNE hay alusión a contextos educativos correspondientes a

instituciones públicas y privadas; urbanas y rurales; laicas y religiosas; ubicadas en

diferentes regiones del país, el análisis de tales relatos hace posible la identificación de

las características de los contextos reales de enseñanza de la Matemática

DISCUSIÓN

El divorcio, habitualmente presente en la formación inicial de los EPPM, entre lo que

ellos “aprenden en la universidad” y lo que “realmente deben hacer en las escuelas u otras

instituciones educativas donde ha de desempeñarse”, puede ser suprimido estimulando una

relación, reflexivamente mediada, entre tal práctica (representada por las experiencias y

vivencias, evocadas y consignadas en el RNE) y la “teoría”; esto se puede expresar al


297

menos de dos formas; una, el análisis del contenido del RNE y la otra, sesiones de reflexión

(dirigidas por el facilitador) durante los EPT; en éstas se les ha de llamar la atención acerca

de los pormenores implicados por la gestión del aula; con todo ello se pretende convertir su

propia práctica en una referencia valiosa para su futura acción pedagógica.

CONCLUSIONES

Se encontró que en los EPPM, participantes en el estudio, hubo un cambio respecto a

las ideas inicialmente suscritas en relación con lo que ha de ser un profesor de Matemática,

reconociendo que no es sólo “un dador de clases” sino un profesional responsable de

garantizar el derecho que todos los ciudadanos tienen de poseer una formación matemática

de calidad.

REFERENCIAS

García, M. (1999). Formaçâo de profesores: para uma mudança educativa. Portugal:

Porto.

González, F. E. (2003). La dinámica P2MA una opción didáctica frente a la enseñanza

tradicional de la matemática. Investigación y Postgrado, 18(2), 43 – 76

Lima, M. L. R. (2006). Memórias de Profesores: Uma experiencia de pesquisa na formaçaô

de profesores de ensino superior. Diálogo Educacional, 6(19), 89-98.

Miller, S-J (s/f). ¿Qué es la Lectura Analítica?. Documento en Línea. Disponible en:

http://www.ehowenespanol.com/lectura-analitica-info_268923/. Consulta: 19 de agosto

de 2013. 16:45

Organización de las Naciones Unidas (1948). Declaración Universal de los Derechos

Humanos (DUDH). Disponible en: http://www.un.org/es/documents/udhr/ Consulta:

19 de agosto de 2013. 16:30

Tardif, M. (2002). Saberes docentes e formaçâo profissional. Petrópolis: Vozes.

http://www.ehowenespanol.com/lectura-analitica-info_268923/

http://www.un.org/es/documents/udhr/


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299

ÍNDICE DE AUTORES

NOMBRE Y APELLIDO CORREO ELÉCTRÓNICO

Adriana Mejías

Alvin Díaz

Andrea González

Andrea Osorio [email protected]

Andrés González R [email protected]

Angélica Martínez. [email protected]

Antonino Viviano

Belén Arrieche [email protected]

Carmen Gil

Dilia Caballero

Erika Gabriela Valera Herrera [email protected]

Evelyn Romero

Fernando J Tesorero [email protected]

Fernando Rodríguez

Freddy Castro

Fredy E. González [email protected]

Génesis Gudiño

Gustavo Pedríquez [email protected]

Héctor Blanco

Ingrid Camacho [email protected]

Jenny Guillén [email protected]

Jimmy Sánchez Chacón [email protected]

Jonander Rivas

Jorge Gideón

José Ortiz Buitrago [email protected]

Juan Guzmán [email protected]

Julia Elena Sanoja de Ramírez [email protected]

Karol Ramírez

Katherine Gómez

Kelly Váldez [email protected]

Leonela Rodríguez [email protected]

Liliana Noguera

Mario Arrieche [email protected]

Marisol Sarmiento [email protected]

Marlyocer Sequera M. [email protected]

Martha Iglesias [email protected]

Mary Carmen Arrieche Aristiguieta [email protected]













mailto:maryarrieche


300

Mary G. Núñez L [email protected]

Mayerlin Romero

Miguel Zambrano

Odalys Báez [email protected]

Oscar Ramírez [email protected]

Pedro Vivas

Rebeca Mogollón [email protected]

Richlenys Davis [email protected]

Robert Lira [email protected]

Rolando García [email protected]

Snnaider Ramirez [email protected]

Vanesa Pacheco [email protected]

Wolghan Gómez [email protected]

Yerikson Suárez Huz [email protected]

Yraima Ramos [email protected]

Zoraida Paredes [email protected]

Zuleidy Torres








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s1f1bf36b56e7b396.jimcontent.com · 2016-06-11 · Memorias de VII Jornada de Investigación del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática