2020 04 MATH DOC6confinADDITION Thème : ADDITIONNER LES

2020 04 MATH DOC6confinADDITION Thème : ADDITIONNER LES NOMBRES RELATIFS page 1

Attendus de fin de cinquième (extraits d’annexe du programme) :

Ce que l’élève doit apprendre à faire : Il utilise la notion d’opposé. Il détermine l’opposé d’un nombre relatif. Il repère sur une droite graduée les nombres décimaux relatifs. Il additionne des nombres décimaux relatifs. Il résout des problèmes faisant intervenir des nombres décimaux relatifs.

Livre : Transmath 5ième (cycle 4, première année) nouveau programme 2016 NATHAN ISBN 978 209 171915 3

Le plan de travail : Cette leçon est en plusieurs parties. Partie 1 : rappels. Partie 2 : découvrir, comprendre et retenir comment calculer l’addition de deux nombres relatifs. Partie 3 : LES EXERCICES pour s’entraîner et assimiler et retenir. Partie 4 : La correction des exercices (en fin de semaine prochaine) Partie 5 : QCM de contrôle (en fin de semaine prochaine).

Ce qu’il faut faire : Partie 1 : rappels. Partie 2 : découvrir, comprendre et retenir comment calculer l’addition de deux nombres relatifs. Partie 3 : LES EXERCICES pour s’entraîner et assimiler et retenir. Objectif : Apprendre à additionner les nombres relatifs, avec et sans calculatrice. 2h 30 min environ.

1) pages 2 à 3 du document : Les rappels et révisions. Vous avez déjà étudié cela et vous devez connaître le

vocabulaire et vous devez savoir utiliser une droite graduée avec des nombres relatifs.

2) pages 4 à 7 du document : faire les activités et exercices dans l’ordre.

La calculatrice est indispensable.

Faire les activités dans l’ordre, avec soin. Suivre les consignes scrupuleusement.

3) page 8 du document A la fin des activités, apprendre la leçon « Additionner les nombres relatifs» en entier.

4) Pages 9 à 11 : faire les activités et exercices dans l’ordre.

Faire les activités dans l’ordre, avec soin. Suivre les consignes scrupuleusement.

5) Pages 12 à 13 :

Faire les exercices. Les énoncés sont aussi dans le livre : n°25 page 77, n°26 et n°28 page 77, n°31 page 777.

Il faut travailler et faire les exercices dans son cahier d’exercices.

On utilise le calcul mental au maximum de ses capacités, la calculatrice ne sert qu’à vérifier.

En cas de difficulté : * une aide pour les exercices n°26 et n°28 page 77 est disponible au bas de la page 13.

* chercher à utiliser les règles de la leçon.

* relire soigneusement les énoncés.

* poser des questions sur la discussion ouverte sur PRONOTE, mais la réponse ne pourra être immédiate.

Les corrections des exercices et le QCM viendront plus tard !

BON TRAVAIL !


Rappel n°1. Le vocabulaire à savoir utiliser : nombre relatif, signe, distance à zéro, nombre positif, nombre négatif.

-5 .

+3

Le nombre relatif -5 ou (-5).

C’est un nombre relatif

négatif.

Le signe :

signe « moins »

ou signe négatif.

La distance à zéro.

5 est la distance à zéro du nombre relatif (-5).

Le nombre relatif +3 ou (+3) ou 3.

C’est un nombre relatif positif.

Le signe :

signe « plus »

ou signe positif.

La distance à zéro.

3 est la distance à zéro du nombre relatif (+3).


Rappel n°2. Il faut savoir placer un nombre relatif sur une droite graduée en utilisant la distance à zéro.

Le point de départ est toujours la graduation « zéro » ou « origine ».

On compte trois unités dans le sens croissant pour placer le nombre positif +3.

On compte cinq unités dans le sens inverse pour placer le nombre -5.

La distance à zéro est la distance entre la graduation « zéro » et l’endroit où on place le nombre

Rappel n°3. La première fiche de leçon sur les nombres relatifs (déjà fait en classe).

LES NOMBRES RELATIFS

Définition : Un nombre négatif est toujours un nombre relatif.

Un nombre positif est toujours un nombre relatif.

Le nombre zéro est un nombre relatif.

Exemples :

Les nombres -3 et -7 et 0 sont des nombres relatifs négatifs.

Les nombres +6 ou 3,2 ou 0 sont des nombres relatifs positifs.

DROITE GRADUEE AVEC DES NOMBRES RELATIFS

Sur cette droite graduée, l’abscisse du point A est égale à -3.

Sur cette droite graduée, l’abscisse du point B est égale à -1.

Sur cette droite graduée, l’abscisse du point C est égale à 3.

Sur cette droite graduée, l’abscisse du point O est égale à zéro : on dit

que le point O est le point d’origine.

On remarque que les points A et C sont symétriques par rapport au point

d’origine. Dans ce cas, on dit que les nombres relatifs -3 et 3 sont des

nombres opposés. Les points A et C sont à une distance de 3 unités du

point d’origine.

Définition : Deux nombres relatifs sont opposés lorsqu’ils ont la même

distance à zéro mais qu’ils n’ont pas le même signe.


Activité 1 : objectif : Savoir utiliser la calculatrice pour additionner deux nombres relatifs. La calculatrice est nécessaire. L’explication est donnée d’abord pour la calculatrice TI-Collège Plus. Entre parenthèses, il y aura les compléments pour d’autres calculatrices. Si rien ne correspond à votre calculatrice, reporter-vous à son mode d’emploi. Il est nécessaire de maîtriser ces quatre exemples avant de passer à l’activité suivante.

A savoir : Les parties utiles (ou à ne pas utiliser de la calculatrice) de la calculatrice :

Ces touches de parenthèses sont essentiellement pour les priorités dans les expressions numériques. Elles ne sont pas utiles pour écrire les nombres relatifs. C’est le signe de soustraction. Ce n’est pas le signe négatif d’un nombre relatif. A ne pas utiliser. C’est le signe d’addition, mais, ce n’est pas le signe positif d’un nombre relatif. A n’utiliser qu’en tant que signe d’addition. Cette touche correspond à la fois aux parenthèses et au

signe négatif d’un nombre relatif. Il ne sert que pour

saisir un nombre négatif. (Autre calculatrice, une touche

+/- ou CHS remplace cette touche. Pour entrer un

nombre négatif, on tape la distance à zéro puis on

change le signe pour qu’il devienne négatif en utilisant

touche +/- ou CHS).

Pour les nombres positifs, à la calculatrice, on ne met ni

parenthèses, ni signe positif.

Exemple 1 : calculer +3 + (+5) à la calculatrice. On ne tape pas le signe positif, ni les parenthèses autour d’un nombre positif. A la main, on écrit le résultat : +3 + (+5) = +8 ou bien 3 + 5 = 8

On tape : 3 5 On obtient : 8.

Exemple 2 : calculer -8 + (+5) à la calculatrice. A la main, on écrit le résultat : -8 + (+5) = -3 ou bien -8 + 5= -3

On tape : 8 5

On obtient : -3. Autre calculatrice : 8 +/- + 5 = ou bien 8 CHS + 5 =

Exemple 3 : calculer -8 + (-4) à la calculatrice. A la main, on écrit le résultat : -8 + (-4) = -12 ou bien (-8) + (-4) = -12 A la main, il est obligatoire de mettre les parenthèses lorsqu’un signe d’opération est suivi par le signe du nombre relatif.

On tape : 8 4 On obtient : -12. Autre calculatrice : 8 +/- + 4 +/- =

ou bien 8 CHS + 4 CHS =

Exemple 3 : calculer (+2) + (-4) à la calculatrice. On écrit le résultat : +2 + (-4) = -2 ou bien 2 + (-4) = -2

On tape : 2 4

On obtient : -2. Autre calculatrice : 2 + 4 +/- = ou bien 2 + 4 CHS =


Exercice 1 :

a) A la calculatrice, calculer les sommes suivantes. Ecrire les résultats sur le cahier d’exercices.

Additionner deux nombres négatifs à la calculatrice

Additionner deux nombres positifs à la calculatrice

Additionner deux nombres de signes différents à la calculatrice

Addition à faire Somme obtenue



(-3) + (-5) (+4) + (+9) (-8) + (+6)

(-8) + (-2) (+8) + 0 (+4) + (-12)

(-6) + 0 (+10) + (+2) (+10) + (-6)

(-4) + (-4) (+4,5) + (+2,3) (-8) + (+20)

(-2,5) + (-8) (+2) + (+100) (+2,5) + (-1,5)

(-1,5) + (-3,4) (+12) + (+12) (+3) + (-3)

b) Vérifier les résultats en utilisant le tableau situé au début de l’activité 1. (voir page suivante : page 6).

Rappel : la somme est le résultat de l’addition.


Activité 2 : objectif : Conjecturer (imaginer) les règles de calcul qui servent à additionner deux nombres relatifs.

Voici les résultats de l’exercice n°1 :







(-3) + (-5) - 8 (+4) + (+9) + 13 (-8) + (+6) - 2

(-8) + (-2) - 10 (+8) + 0 + 8 (+4) + (-12) -8

(-6) + 0 - 6 (+10) + (+2) + 12 (+10) + (-6) + 4

(-4) + (-4) - 8 (+4,5) + (+2,3) + 6,8 (-8) + (+20) + 12

(-2,5) + (-8) - 10,5 (+2) + (+100) + 102 (+2,5) + (-1,5) + 1

(-1,5) + (-3,4) - 4,9 (+12) + (+12) + 24 (+3) + (-3) 0

1) Observer les calculs et les résultats obtenus dans le tableau.

Répondre aux questions suivantes en se servant des observations faites dans le tableau.

Ecrire les réponses dans le cahier d’exercices.

Si vous avez des difficultés à trouver, chercher l’activité au moins 10 minutes avant d’étudier la correction.

Question 1 : Lorsqu’on additionne deux nombres négatifs,

a) comment prévoir le signe de la somme obtenue ?

b) Comment prévoir ou comment calculer la distance à zéro de la somme ?

Question 2 : Lorsqu’on additionne deux nombres positifs,



Question 3 :

Lorsqu’on additionne deux nombres qui n’ont pas le même signe (un nombre positif et un nombre négatif),



Question 4 :

Lorsqu’on additionne deux nombres qui ont le même signe (deux nombres positifs et deux nombres négatifs),



2) Corriger cette activité (voir page 7).


Correction de l’activité 2 : objectif : Trouver les règles de calcul qui servent à additionner deux nombres relatifs.

Voici les résultats de l’exercice n°1 :







(-3) + (-5) - 8 (+4) + (+9) + 13 (-8) + (+6) - 2

(-8) + (-2) - 10 (+8) + 0 + 8 (+4) + (-12) -8

(-6) + 0 - 6 (+10) + (+2) + 12 (+10) + (-6) + 4

(-4) + (-4) - 8 (+4,5) + (+2,3) + 6,8 (-8) + (+20) + 12

(-2,5) + (-8) - 10,5 (+2) + (+100) + 102 (+2,5) + (-1,5) + 1

(-1,5) + (-3,4) - 4,9 (+12) + (+12) + 24 (+3) + (-3) 0

1) Observer les calculs et les résultats obtenus dans le tableau.

Répondre aux questions suivantes en se servant des observations faites dans le tableau.

Ecrire les réponses dans le cahier d’exercices.

Question 1 : Lorsqu’on additionne deux nombres négatifs, (cela correspond à la première partie du tableau)

a) comment prévoir le signe de la somme obtenue ? Le signe est aussi négatif (même signe).

b) Comment prévoir ou comment calculer la distance à zéro de la somme ? On additionne les distances

à zéro (exemples : 5 + 3 = 8 puis 8 + 2 = 10 puis 6 + 0 = 6 puis 4 + 4 = 8 , etc.)

Question 2 : Lorsqu’on additionne deux nombres positifs, (cela correspond à la partie centrale du tableau)

a) comment prévoir le signe de la somme obtenue ? Le signe est aussi positif (même signe).

b) Comment prévoir ou comment calculer la distance à zéro de la somme ? On additionne les distances

à zéro (exemples : 4 + 9 = 13 puis 8 + 0 = 8 puis 10 + 2 = 12 puis 4,5 + 2,3 = 6,8 , etc.)

Question 3 :

Lorsqu’on additionne deux nombres qui n’ont pas le même signe (un nombre positif et un nombre négatif),

a) comment prévoir le signe de la somme obtenue ? Le signe du résultat n’est pas toujours le même.

C’est parfois le signe du premier nombre, parfois celui du deuxième nombre : ce n’est pas la place du nombre qui

importe. C’est le nombre qui a la plus grande distance à zéro qui donne le signe du résultat.

Exemple 1 : les distances à zéro sont 8 et 6. 8 est plus grand que 6, on prend le signe de -8 pour le résultat.

Exemple 2 : les distances à zéro sont 4 et 12. 12 est plus grand que 4, on prend le signe de -12 pour le résultat.

Exemple 4 : les distances à zéro sont 8 et 20. 20 est plus grand que 8, on prend le signe de +20 pour le résultat.

b) Comment prévoir ou comment calculer la distance à zéro de la somme ? On soustrait les distances à

zéro (exemples : 8 – 6 = 2 puis 12 – 4 = 8 puis 10 – 6 = 4 puis 20 – 8 = 12 puis 2,5 – 1,5 = 1 puis 3 -3 = 0 .

L’ordre d’écriture des soustractions ne respecte pas l’ordre d’écriture des additions des nombres relatifs).

On prend d’abord la plus grande des distances à zéro puis on lui enlève la plus petite des distances à zéro.

Question 4 :

Lorsqu’on additionne deux nombres qui ont le même signe (deux nombres positifs et deux nombres négatifs), (cette

question rassemble les deux premières parties du tableau, ou autrement dit, les réponses 1 et 2).

a) comment prévoir le signe de la somme obtenue ? On garde le signe commun aux deux nombres relatifs.

b) Comment prévoir ou comment calculer la distance à zéro de la somme ? On additionne les distances à zéro.


Résumé et leçon : Objectif : Connaître (par cœur !) les règles qui permettent d’additionner les nombres relatifs

Savoir additionner deux nombres relatifs avec ou sans calculatrice.

ADDITIONNER DES NOMBRES RELATIFS.

Il y a deux règles à savoir.

Règle 1 :

Lorsque j’additionne des nombres relatifs qui ont le même signe,

comment obtenir le résultat de l’addition ?

* je garde le même signe,

* j’additionne les distances à zéro.

Règle 2 : Lorsque j’additionne deux nombres relatifs qui n’ont pas le

même signe, comment obtenir le résultat de l’addition ?

* je cherche la plus grande distance à zéro,

* je mets le signe qui correspond à la plus grande distance à zéro.

*je fais la différence des distances à zéro (c’est-à-dire : je prends la plus

grande distance à zéro et je lui enlève la plus petite distance à zéro).

Exemples :

Somme de deux nombres négatifs (j’utilise la règle n° ……..) :

(-3) + (-12) = . . . . . . (-100) + (-8,5) = . . . . .

Somme de deux nombres qui n’ont pas le même signe

(j’utilise la règle n° ……..) : (+15) + (-15) =. . . . .

(-5) + (+25) =. . . . . . (-100) + (+20) =. . . . .

Somme de deux nombres positifs (j’utilise la règle n° ……..) :

(+4,25) + (+2,50) = . . . . . . (+500) + (+73) =. . . . .

a) Lire et comprendre la leçon.

b) Faire les exemples sans calculatrice (les recopier et les compléter sur le cahier d’exercices).

c) Vérifier et corriger les exemples (voir en bas de page).

d) Apprendre les deux règles par cœur.

Correction des exemples de la leçon :

Somme de deux nombres négatifs (j’utilise la règle n°1.) : (-3) + (-12) = (-15). (-100) + (-8,5) = (-108,5)

Somme de deux nombres qui n’ont pas le même signe (j’utilise la règle n°2.) : (+15) + (-15) = 0 (-5) + (+25) = (+20) (-100) + (+20) = (-80)

Somme de deux nombres positifs (j’utilise la règle n°1) : (+4,25) + (+2,50) = (+ 6,75) (+500) + (+73) = (+573).


Activité 3 : objectif : assimiler les règles d’addition des nombres relatifs.

a) Sans calculatrice, faire les deux exercices suivants. Répondre sur le cahier. (exercices rapides).

N°8 page 76 :

N°9 page 76 :

b) Corriger les exercices (voir en bas de page).

Correction de l’exercice N°8 page 76 :

a) La somme de deux nombres positifs est positive.

b) La somme de deux nombres négatifs est négative.

c) La somme de deux nombres opposés est égale à zéro. (Rappel : deux nombres opposés ont la même

distance à zéro, mais, l’un des nombres est positif et l’autre est négatif. Exemple : -3 et +3 sont des

nombres opposés).

Correction de l’exercice N°9 page 76 : (la règle de la leçon qui est utilisée est indiquée entre parenthèses).

a. Signe négatif (règle n°1)

b. Signe négatif (règle n°2)

c. Signe positif (règle n°2)

d. Signe négatif (règle n°1)


Activité 4 : objectif : modéliser une situation de la « vie courante ».

a) Faire l’activité n°1 page 73. Il faut recopier le tableau dans le cahier d’exercices. Le compléter en utilisant

le moins possible la calculatrice.

n°1 page 73 :

b) Vérifier les calculs à la calculatrice.

c) Corriger les exercices (voir page suivante : page 11).


Correction de l’activité 4 (N°1 page 73):

Pour chaque nombre relatif, le signe négatif indique une perte de pièces, le signe positif un gain de pièces d’or.

1.a. Lundi, Prunelle a gagné 10 pièces puis perdu 3 pièces. Elle ne perd qu’une partie de ses gains. Le bilan est un gain de 7 pièces.

1.b. Lundi, le bilan s’écrit +7.

1.c. 10 + (-3) = + 7 ou bien 10 + (-3) = 7

Interprétation pour lundi : elle a gagné 10 pièces puis (+) elle a perdu 3 pièces, donc finalement (=) pour les deux parties ensemble, cela revient à n’avoir gagné que 7 pièces.

2. Voici le tableau complété :

Résultat de la 1ère partie

Résultat de 2nd partie

Bilan journalier Egalité qui permet de calculer le bilan :

Lundi 10 -3 +7 10 + (-3) = (+7)

Mardi -11 7 -4 -11 + 7 = (-4)

Mercredi -8 -7 -15 -8 + (-7) = (-15)

Jeudi 10 5 +15 10 + 5 = 15

Vendredi 10 -15 -5 10 + (-15) = (-5)

Samedi 7 -7 0 7 + (-7) = 0

Total de la semaine :

18 -20 -2 18 + (-20) = (-2)

Interprétation pour mardi : elle a perdu 11 pièces puis (+) elle en regagne 7 pièces, donc finalement (=) pour les deux parties ensemble, cela revient à n’avoir perdu que 4 pièces.


EXERCICES (30 minutes environ). objectif : s’entrainer !

a) Faire les exercices suivants d’abord sans calculatrice, en utilisant les règles de la leçon.

Faire les exercices dans le cahier d’exercices.

Ex n°25 page 77 Ex n°26 page 77 Ex n°28 page 77 Ex 31 page 77 (plus difficile).

En cas de difficulté de compréhension de la consigne des exercices n°26 et 28, une aide vous est proposée en bas

de la page 13.

b) Vérifier à la calculatrice.

Ex n°25 page 77

Ex n°26 page 77


Ex n°28 page 77

Ex 31 page 77 :

Dans la zone verte, on doit placer le résultat de l’addition des nombres 15 et -7. Dans la zone rouge, on doit placer le résultat de l’addition des nombres -7 et -12.

Dans la zone bleue et vide, on doit placer le résultat de l’addition des nombres -18 et 11. Dans les zones triangulaires, on doit additionner les nombres contenus dans les deux premiers triangles pour placer le résultat dans le troisième triangle. De cette manière, on remplit la bande en partant de la gauche et en allant vers la droite.

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