21 juin 2016 version 1 - vincek.frama.io · Livret d’exercices Math 9 Exercice 10 Une entreprise doit fabriquer un socle pour un trophée. Le socle est obtenu à partir d’un parallélépipède

21 juin 2016version 1.6

Livret d’exercices Math 9

1 Introduction

Ce livret est composé d’exercices tirés des évaluations des sessions précédentes de Math 9.La présence en cours n’étant pas suffisante pour valider un module de mathématiques, du travailpersonnel est nécessaire. Ces exercices vous permettront de réinvestir les notions vues en cours et devous les approprier.Certains exercices sont corrigés dans un document disponible sur «passeport». Ces corrigés sontvolontairement succincts et sont des invitations à discuter des problèmes avec les autres stagiaires ouvos enseignants.

Table des matières

1 Introduction 2

2 Relation quadratique 3

3 Régression linéaire 8

4 Gestion de formules 10

5 Trigonométrie 13

6 Équation du second degré 15

7 Situation exponentielle 18

8 Systèmes linéaires 19

9 Nombre dérivé et optimisation 20

10 Probabilités 26

11 Corrigés 27

2 N. Périn, J-N. Gers, V. Ledda, S.Dumoulard


2 Relation quadratique

Exercice 1M. Cholat est directeur d’un supermarché. Il achète à une usine des boîtes de chocolats au prix de 5 e laboîte. Il revend ses boîtes dans son magasin à 13,60 e. Habituellement, il en vend 3 000 par semaine. M.Cholat réalise une étude de marché qui montre que toute baisse du prix de 10 centimes fait augmenterla vente de 100 boîtes par semaine.

1. Comment varie le nombre de boîtes vendues par semaine dans le supermarché en fonction de leurprix de vente ? (tableau, graphique et formule)

2. Comment varie le bénéfice réalisé par semaine en fonction du prix de vente des boîtes ? (tableau,graphique et formule)

3. Quel est le prix de vente d’une boîte permettant de réaliser un maximum de bénéfice ?

4. Quel est ce bénéfice ?

Exercice 2Une agence immobilière possède 200 studios qui sont tous occupés quand le loyer est de 500 e. L’agenceestime qu’à chaque augmentation de loyer de 20 e, 5 studios sont libérés.

On répondra à chacune de ces deux premières questions à l’aide d’un graphique et d’une formule.

1. Comment varie le nombre de studios loués en fonction du prix du loyer ?

2. Comment varie le revenu mensuel de l’agence en fonction du prix du loyer ?

3. Quel loyer donne un revenu maximum à l’agence et quel est ce revenu ?

4. Que pensez-vous du modèle proposé ?

Exercice 3Une salle de spectacle dispose de 1 200 places. Le directeur, en étudiant les fréquentations de la salle,sait qu’il reçoit en moyenne 800 spectateurs lorsque le prix d’une place est fixé à 25 €. Il a aussi constatéque réduire le prix d’une place de 1 € attire 50 spectateurs supplémentaires.

1. Construire un tableau, un graphique, une formule donnant le nombre de spectateurs attendus enfonction du prix d’une place.

2. Construire un tableau, un graphique, une formule donnant la recette que le directeur peut espéreren fonction du prix d’une place.

3. À quel prix le directeur de la salle a-t-il intérêt à fixer la place ?

Exercice 4Une émission de télévision de début de soirée a une audience de 13 millions de téléspectateurs. Elleest entrecoupée de 3 minutes de pub. La seconde de pub rapporte à la chaîne 400 e par million detéléspectateurs.La direction de la chaîne cherche à augmenter la durée de la pub, mais elle sait que chaque secondesupplémentaire de pub lui fait perdre 50 000 téléspectateurs.

1. Étudiez comment varie le nombre de téléspectateurs en fonction de la durée de la pub.

2. Étudiez comment varie la recette publicitaire en fonction de la durée de la pub.

3. Quelle est la durée de la pub qui assure la meilleure recette publicitaire ?



Exercice 5Une agence immobilière possède 200 appartements qui sont tous occupés quand le loyer est de 500€. L’agence estime que le nombre d’appartements loués varie en fonction du prix suivant la courbesuivante.

1. La portion de courbe entre 500 e et 750 e est parabolique et l’on sait que dès que le prix du loyeraugmente le nombre de logements loués baisse de 30%. Montrer que la relation qui lie le nombred’appartements loués au prix du loyer est

N = −0,002x2 + 1,7x − 150

2. Déterminer le chiffre d’affaire de l’agence lié à cette activité.3. Représenter graphiquement le chiffre d’affaire pour un loyer compris entre 500 et 600 euros.4. Quel loyer donne un chiffre d’affaire maximum ?

Exercice 61. D’après médiamétrie (http://www.journaldunet.com/ebusiness/commerce/nombre-de-cyberacheteurs-en-france.shtml), il y avait environ 25

millions de cyber-acheteurs en France au premier trimestre 2010. Le nombre de cyber-acheteur aprogressé en moyenne de 0,6 million de cyber-acheteurs par trimestre. Représenter cette situationpar un tableau, un graphique et une formule.

2. Toujours d’après médiamétrie, au premier trimestre 2010, un cyber-acheteur dépensait 383€ partrimestre. En moyenne, cette dépense a augmenté de 9,30€ par trimestre. Représenter le chiffred’affaire du commerce en ligne en France par un tableau, un graphique et une formule.

3. Donner une estimation du chiffre d’affaire du e-commerce au quatrième trimestre 2013.

Exercice 7Une piste d’athlétisme est formée par un rectangle et deux demi-cercles.


http://www.journaldunet.com/ebusiness/commerce/nombre-de-cyberacheteurs-en-france.shtml


Quelle sont les dimensions du rectangle d’aire maximale sachant qu’un tour de piste fait 400 m ?Rappel : le périmètre d’un cercle de rayon r est 2πr.Exercice 8Un canal a un profil parabolique, une largeur de 20 mètres et une profondeur de 4 mètres au centre.Donner une équation de ce profil dans le repère de votre choix.

Exercice 9Un artisan souhaite fabriquer une chaise longue dont l’assise de forme parabolique est posée sur unsocle comme suit :

Les dimensions sont en centimètres.

1. Montrer que y = 0,01x2 − 1,2x est une équation de la parabole.

2. Quelle est la valeur de h ?

3. Quelle est la pente de la parabole en O ?



Exercice 10Une entreprise doit fabriquer un socle pour un trophée. Le socle est obtenu à partir d’un parallélépipèdede 5 mm de haut, avec une base carrée de côté 20 mm, percée au centre d’un trou cylindrique dont lerayon est compris entre 2 et 5 mm.

20 mm

5 mm20

mm

Figure 1 – Vue en perspective

Figure 2 – Patron

Toute la surface (y compris l’intérieur du trou) doit être traitée par un produit onéreux. On désire doncminimiser cette surface.Combien doit mesurer le rayon du cylindre afin que la surface à traiter soit minimum ?On rappelle que la surface d’un disque de rayon r est donnée par πr2 et que 2πrh est celle d’un tube de rayon rde hauteur hExercice 11

Un touriste visite une cathédrale et souhaite évaluer la hauteur maximum d’une des voûtes, qui possèdeune forme parabolique. Il parvient à évaluer la hauteur des piliers latéraux, qui mesurent 30 mètres dehaut et observe qu’un échafaudage situé à 1 mètre du pilier et atteignant la voûte, mesure 40 mètres dehauteur. Les piliers sont séparés de 8 mètres. Aidez ce touriste.



Exercice 12Une sauterelle saute d’un mur avant de se poser sur le sol. On admet que sa trajectoire est un arc deparabole. Le mur mesure 2 mètres de haut ; la sauterelle se pose au sol à 2 mètres du mur et elle atteintune hauteur maximale à 0,5 mètre du pied du mur.

Retrouvez l’équation de la parabole dans le repère indiqué.Exercice 13Une fois chaussées ses bottes de sept lieues, le petit Poucet peut réaliser d’énormes enjambées, dont latrajectoire est parabolique. La hauteur maximale de l’enjambée est d’environ 10 km, et la longueur estbien sûr... de sept lieues ! (Soit environ 30 km.)Trouvez l’équation de la trajectoire du bond dans le repère indiqué sur la figure suivante.

Exercice 14Déterminer les dimensions de ce rectangle, sachant que son aire est maximale.



3 Régression linéaire

Exercice 15

BAC ES. Amérique du nord 2003

Dans un magasin, le nombre annuel de ventes d’un appareil électroménager, relevé pendant 6 années,est donné par le tableau suivant :

Année 1996 1997 1998 1999 2000 2001Rang de l’année xi 1 2 3 4 5 6Nombre d’appareils yi 623 712 785 860 964 1073

1. (a) Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points M(xi ; yi) en prenant commeunités graphiques : 2 cm pour 1 rang en abscisses et 1 cm pour 50 appareils en ordonnées, encommençant à la graduation 600.

(b) Calculer, en donnant les résultats arrondis à 10−2, les coordonnées du point moyen G dunuage et placer ce point sur le graphique.

2. (a) Calculer, en donnant les résultats arrondis à 10−2, les coordonnées du point moyen G1 dunuage formé par les points M1, M2 et M3, puis les coordonnées du point moyen G2 du nuageformé par les points M4, M5 et M6.

(b) Placer les points G1 et G2 sur le graphique et déterminer, avec des coefficients arrondis à10−2, une équation de la droite (G1G2).

(c) En utilisant cette droite comme droite d’ajustement affine, déterminer le nombre d’appareilsque l’on peut prévoir vendre en 2004.

3. On sait maintenant que le nombre d’appareils vendus en 2002 est de 1 125.

(a) Ajouter le point M7 (7 ; 1 125) sur le graphique précédent.

(b) On considère alors le nouveau nuage formé des points Mi , 2 6 i 6 7 (le nombre annuel deventes de l’année 1996 n’est plus pris en compte).Donner, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine de y en x parla méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10−2).

(c) En utilisant cet ajustement, quel nombre d’appareils peut-on prévoir vendre en 2004 ?

Exercice 16

D’après BAC ES. Asie 2012

Le ministère de l’Écologie, du Développement durable, des Transports et du Logement précise les enjeux d’uneparité homme-femme (égalité de leur représentation) :« Viser une amélioration de la parité homme-femme [. . . ] peut être vu comme une manière d’aider lasociété à évoluer en mobilisant toutes les compétences ».Le tableau suivant présente la part des femmes dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-publicde 1998 à 2008, à l’exception de 2007. Les indices de ces parts sont calculés en prenant 1998 commeannée de référence.



Année 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008Rang xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Part yi en % 23,2 23,4 24,2 24,9 24,7 24,9 25,4 25,4 26 27,2

Indice desparts arrondi àl’unité

100 101 107 106 107 109 109 112 115 117

Sources : ministère de l’Intérieur - DGAFP - Insee - Juillet 2010

On se propose d’étudier l’évolution de la part des femmes dans les emplois de cadre.

1. Calcul d’indices et de pourcentages :

(a) Vérifier que la part des femmes dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public en2007 est, arrondi au dixième, égale à 26,7 %.

(b) Calculer l’indice correspondant à l’année 2000.

(c) Calculer le pourcentage d’augmentation de la part des femmes entre 2005 et 2006.Si l’évolution amorcée entre 2005 et 2006 s’était poursuivie au même rythme, quelle aurait étéla part des femmes, en pourcentage, dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-publicen 2008 ?

2. Ajustement affine :

(a) Représenter cette série statistique.

(b) À l’aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de ladroite d’ajustement de y en x pour l’ensemble des onze points du nuage. Les coefficients serontarrondis au centième.

(c) Tracer cette droite sur le graphique.

3. Modélisation :On admet que cet ajustement affine permet de faire des prévisions au moins jusqu’en 2013.

(a) Estimer la part des femmes, en pourcentage, dans les emplois de cadre du secteur privé ousemi-public en 2012.

(b) Chloé affirme : « La parité homme-femme dans ce type d’emploi à responsabilité sera atteinteà partir de 2071 ».Confirmer par un calcul l’affirmation de Chloé.Son affirmation est-elle pertinente ?

Exercice 17La copropriété d’un immeuble étudie la consommation de la chaudière au fuel en fonction de la

température extérieure.Température extérieure (°C) −8 −4 0 10 12

Consommation (m3) 3,6 2,5 2 0,8 0,6

1. Représentez ce tableau par un nuage de points.

2. Ajustez cette situation par la méthode des moindres carrés.

3. Estimez la consommation de fuel pour une température extérieure de 5°C.

4. Selon ce modèle, à partir de quelle température extérieure peut-on prévoir d’arrêter la chaudière ?

Exercice 18Le glacier d’Aletsch, classé à l’ UNESCO, est le plus grand glacier des Alpes ; situé dans le sud de laSuisse, il alimente la vallée du Rhône. Pour étudier le recul de ce glacier au fil des années, une première



mesure a été effectuée en 1900 : ce glacier mesurait alors 25,6 km. Des relevés ont ensuite été effectuéstous les 20 ans : le recul du glacier est mesuré par rapport à la position où se trouvait initialement lepied du glacier en 1900. Les mesures successives ont été relevées dans le tableau ci-dessous. On note tla durée, en années, écoulée depuis 1900, et r le recul correspondant, mesuré en kilomètres.

Durée t écoulée 0 20 40 60 80 100Recul r 0 0,3 0,6 1 1,6 2,3

1. Représenter graphiquement la situation, r en fonction de t.

2. Ajuster cette situation grâce à la méthode des moindres carrés.

3. Estimer le recul du glacier en 2015.

4. Estimer l’année de disparition du glacier selon ce modèle.

4 Gestion de formules

Exercice 19Un bac de crème glacée a la forme d’un pavé de 20 cm de long et 10 cm de profondeur. Il est rempli auxtrois-quarts. On cherche à remplir avec cette glace des cônes de 6 cm de diamètre. Sachant que le bac etles cônes ont la même hauteur, combien pourra-t-on remplir de cônes ?Exercice 20Résoudre les équations d’inconnue x suivantes :

1. 3x − 1 = 5x+ 3

2. 2(x − 1)2 + 5 = 17

3. 1√x−1

= 2

4. x−1x+2 = 5

Exercice 21On peut exprimer le volume d’un cône en fonction de son rayon et de sa surface grâce à la formulesuivante :

V =13

R√

S2 −π2R4

Exprimer S en fonction des autres lettres.Exercice 22La période (en secondes) d’un pendule formé par un fil de longueur d (en mètres) et une petite sphèrede rayon r (en mètres) est donnée par la formule suivante :

T = 2π

√d + 2r2

5d

g;

où g accélération de la pesanteur.Exprimer r en fonction de T, g et d.



Exercice 23Pour un satellite artificiel autour de la terre, la trajectoire est elliptique. La vitesse à son apogée estdonnée par :

Va =

√µ ·

(2ra− 1a

)où ra est la distance à l’apogée, c’est à dire la distance maximale entre le satellite et le centre de la Terre,µ le paramètre gravitationnel standard pour la Terre, a la longueur du demi grand axe de la trajectoire.Exprimer ra en fonction de Va, µ et a.Exercice 24La longueur d’une hélice connaissant le nombre de spires, les valeurs du diamètre et de la hauteur estdonnée par la formule suivante :

L =√π2 ×n2 × d2 + h2,

où n est le nombre de spires, d le diamètre et h la hauteur. Exprimer le diamètre en fonction de L, n et h.Exercice 25

Si on accélère brutalement, la roue avant d’une moto peut se soulever et on a la formule suivante :

a =d

h+ 2m

MR

où a est l’accélération, m la masse de la roue, M la masse de l’ensemble moto et pilote.Exprimer R en fonction de a.Exercice 26Beth est trois fois plus âgé que son fils. Dans 12 ans, elle aura un an de moins que le double de l’âge deson fils. Quels âges ont-ils ?



Exercice 27La formule suivante permet d’estimer le volume Vd’un tonneau en fonction de son petit diamètred, de son grand diamètre D et de sa hauteurH.

V =πH4

[d +

58

(D− d)]2

Déterminez une formule donnant D en fonction de V, d et H.

Exercice 28 Transformations de LorentzLes formules de Lorentz permettent d’exprimer les coordonnées dans un référentiel par rapport à unautre référentiel en mouvement. Dans ces formules intervient le facteur sans unité γ donné par :

γ =1√

1−(vc

)2

où c est la vitesse de la lumière dans le vide et v la vitesse d’un référentiel par rapport à l’autre.Exprimer v en fonction de c et γ.Exercice 29Je prends une orange ; je l’entoure d’une ficelle ; j’ajoute 1 mètre à la longueur de la ficelle ; je mets laficelle en rond autour de l’orange ; j’obtiens une certaine distance h1 entre la surface de l’orange et laficelle. Je prends la terre ; je l’entoure d’une ficelle ; j’ajoute 1 mètre à la longueur de la ficelle ; je metsla ficelle en rond autour de la terre ; j’obtiens une certaine distance h2 entre la surface de la terre et laficelle.Montrez que h1 = h2.Exercice 30Afin qu’elle dispose de plus d’espace, on rempote une plante : on remplace son pot cylindrique de 25 cmde diamètre par un pot de même forme, de même hauteur, mais de diamètre 30 cm.Déterminez le pourcentage de volume supplémentaire dont bénéficiera la plante dans son nouveau pot.


https://fr.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A9_restreinte#Les_transformations_de_Lorentz


5 Trigonométrie

Exercice 31

1. Un bateau de plaisance part de Port Grimaud (P) pour se rendre à Saint-Tropez (S). Sachant quesur chaque axe l’unité représente 342 m quelle est la distance parcourue ?

2. Ensuite, le bateau fait cap à 135° sur 2,8 km pour arriver en C. À quelle distance se trouve-t-il dePort Grimaud ? Quel cap doit-il prendre pour rentrer au port ?

Exercice 32

B

D

P

N

S

EO

Un bateau envoie un signal de détresse depuis la position30 milles Ouest, 10 milles Nord. Deux bateaux sont sus-ceptibles de le secourir. Le premier mouille à 40 millesdu port cap Nord-Ouest et peut rejoindre le bateau endifficulté à une vitesse de 20 nœuds ; le second est au portet se déplace à la vitesse de 30 nœuds. Quel bateau serale plus rapide pour secourir le bateau en détresse ? Quelsera alors son cap ?

Exercice 33



Dans la situation décrite ci-dessus un golfeur lance la balle à 10 mètres avec un angle de 30° par rapportà (Ox). La balle atteint-elle le trou ? Sinon, dans quelle direction le golfeur doit-il diriger sa balle auprochain coup ?Exercice 34Barbe Noire en a marre des cartes au trésor trop compliquées ! ! Aidez le à simplifier sa carte, en précisantle chemin le plus court pour aller au trésor.



Exercice 35Alice et Bob partent s’entraîner à la course d’orientation cycliste au terril de Rieulay, Cathy les accom-pagne en prenant soin d’emporter un livre pour se détendre et des jumelles pour observer ses amis. Boblonge le lac et Alice grimpe sur le terril. Au bout de quelques minutes, Cathy voit Bob sur les berges dulac à environ 260 mètres d’elle et Bob voit Alice sur le flanc du terril (voir carte).

Quelle distance sépare Alice et Bob ? Avec quel angle Alice voit-elle Bob (Mesuré par rapport à [Ox)).Exercice 36Un bateau souhaite naviguer en direction du Sud-Ouest, sans dépasser la vitesse de 18 nœuds. Mais uncourant marin présent dans cette zone coule en direction du Sud à la vitesse de 6 nœuds.Quel cap doit-il prendre, et quelle vitesse doit-il programmer ?

6 Équation du second degré

Exercice 37Un cadre carré recouvre le bord d’une photo carrée sur une bande de 1 cm de large. La partie de laphoto qui reste visible représente 90% de la surface totale de la photo. Déterminer la ou les longueurspossibles pour le côté de la photo.



Exercice 38Renaud s’est rendu en voiture à 600 km de son domicile. Si sa vitesse avait été supérieure de 16 km/h, ilaurait mis 1 heure et quart de moins pour arriver à destination. Quelle était sa vitesse moyenne ?Exercice 39Résoudre :

x+ 1x − 4

=x+ 23− x

Exercice 40Résoudre :

• −x2 + 5x − 1 = 0• 2x2 − 7 = 13x

Exercice 41Dans une feuille rectangulaire de 30 cm sur 18 cm, on découpe une bande de papier sur la longueur etune sur la largeur de la feuille. L’aire du rectangle ainsi obtenu vaut les trois quarts de l’aire initiale dela feuille.Sachant que les deux bandes découpées ont la même largeur, calculer cette largeur.Exercice 42Un groupe d’étudiants a loué un bus pour 60€ en tout. Mais quatre étudiants tombent malades et laparticipation individuelle de ceux qui restent augmente alors de 2,50€.Combien d’étudiants y avait-il initialement dans le groupe ?Exercice 43Un détaillant en électroménager ayant commandé des lampes de bureau pour une somme de 4 375 econstate une erreur à la livraison. Le fabriquant lui a expédié des lampes valant 3,75 e de moins parunité mais leur nombre est supérieur de 15 au nombre de lampes commandées. Le détaillant conservela livraison pour le prix convenu. On demande quel était le nombre de lampes commandées et le prixd’une lampe.Exercice 44Résoudre les équations suivantes :

• 10x2 − 22x+ 4 = 0• −2x2 + x − 3 = 0

Exercice 45Un massif fleuri rectangulaire a une superficie de 612 m². On trace tout autour une allée de 1,50 m delarge. Quelles sont les dimensions du massif, sachant que l’aire de l’allée est de 165 m2 ?Exercice 46Pour l’achat de plusieurs fichiers mp3, Aurélien doit payer 45 €. Avec une remise de 30 centimes parfichier, s’il achète 26 morceaux supplémentaires, il doit alors payer 45,6 €. Quel est le nombre demorceaux achetés au départ ?Exercice 47

1. Une somme de 10 000 € a été placé sur un livret à intérêts composés le 1erjanvier 2005. Le1erjanvier 2012, le compte était crédité de 11 886,86 €. En supposant que le taux d’intérêt soit fixeet qu’aucun versement supplémentaire n’ait été effectué, quel sera le solde du compte le premierjanvier 2015 ?



2. Une offre de crédit à la consommation propose d’emprunter 5 000 € sur deux ans. Les rembourse-ments s’effectuant de la manière suivante, 2 600 € à la fin première année puis 2 500 € à la fin dela deuxième année.Déterminer t le taux d’intérêt annuel après avoir compléter le tableau suivant :

première année deuxième année2 600 2 500

Somme due intérêts remboursement somme due intérêts remboursement5 000

Exercice 48Une somme de 400 euros doit être distribuée à parts égales entre un certains nombres de personnes ; aumoment du partage 5 se retirent, ce qui augmente de 4 euros la part des autres. Combien y avait-il depersonnes au départ ?Exercice 49Résoudre les équations et inéquations suivantes :

1. 3x2 − x − 1 = 0

2. 2x = x−1x+3

3. x2 − 7x+ 12 > 0

Exercice 50Un paysagiste souhaite installer à l’intérieur d’un jardin carré de 10 m de côté, le long du bord, uneallée en gravier de largeur constante. Le carré intérieur restant sera recouvert de gazon.Comment faire pour que la surface de l’allée de gravier soit égale à la surface du carré intérieur engazon ?Exercice 51Un jardin de forme rectangulaire a pour dimensions 10 mètres sur 15. On y trace des allées de largeurégales : une en fait le tour à l’intérieur, tandis que les deux autres divisent le jardin en quatre partiescultivables de même superficie.Quelle doit être la largeur des allées, si l’on veut disposer d’une surface cultivable de 104 m2 ?



7 Situation exponentielle

Exercice 52Selon une analyse de canalys les ventes de montres intelligentes (connectées à un téléphone) devraientdécupler en 2014. Canalys estime que 500 000 montres intelligentes ont été vendues en 2013.

1. À partir des données précédentes et en supposant que la croissance des ventes est exponentielle,quel sera le pourcentage moyen d’augmentation mensuelle des ventes de montres intelligentes en2014 ?

2. Toujours à partir des données précédentes estimer le nombre de montres intelligentes qui serontvendues entre janvier et août 2014.

Exercice 53On introduit 10 bactéries dans un milieu de culture à 8 h. On sait que toutes les 4 heures, il y en a 50fois plus. Combien y en aura-t-il à 19 h ?Exercice 54En 2009, la quantité d’électricité fournie par l’ensemble du parc éolien français était de 4 492 mégawatts(MW). En 2011, elle était de 7 131 MW. En supposant le taux d’évolution annuel constant, quelle sera laquantité d’électricité fournie en 2016 ?Exercice 55Le tableau ci-dessous donne l’évolution du tarif réglementé du gaz sur la période 2005-2012 :

Nov 2005 Mai 2006 Janv 2008 Avril 2008 Août 2008+13,7% +5,8% +4% +5,5% +5%

Avril 2009 Avril 2010 Juil 2010 Avril 2011 Janv 2012-11,3% +9,7% +4,7% +5,2% +4,4%

1. Quel est le pourcentage moyen d’évolution annuelle du tarif réglementé du gaz ?

2. Actuellement ce tarif est de 7,95 centimes d’euro par kWh , si l’évolution se poursuit quel sera letarif en 2014 ?

Exercice 56On dépose un morceau de viande sur un comptoir l’été à 14 h 00 ; la température avoisine 35°. Cemorceau de viande contient 100 bactéries, et dans ces conditions, le nombre de bactéries double toutesles 15 minutes. On estime qu’à partir de 150 000 bactéries présentes dans un aliment, celui-ci estimpropre à la consommation pour l’homme. Pourra-t-on manger sans risque cette viande à 16h40 ?Exercice 57Un litre d’eau s’évapore en perdant toutes les 45 minutes 1 % de son volume.Quel volume d’eau restera-t-il au bout de 5 heures et 30 minutes ?Exercice 58Un récipient renferme un nombre de bactéries qui croît de manière exponentielle. On constate que lapopulation passe de 800 à 2 300 individus en 6 jours.Quel est le pourcentage d’augmentation par jour ?Exercice 59Une banque vante l’un de ses produits financiers, en affirmant à son client que son capital va doublerd’ici 15 ans.

1. Quel taux d’intérêt annuel équivaut à cette offre ?

2. Si l’on place la somme de 1 000€ dans ces conditions, quelle somme aura-t-on acquis au bout de10 ans ?


http://www.canalys.com/static/press_release/2013/canalys-press-release-160713-over-5-million-smart-watches-ship-2014_0.pdf


Exercice 60On dénombre 1,26 milliard d’habitants en Inde en 2015, contre 439 millions en 1961.En supposant que cette évolution se poursuit au même rythme, l’Inde comptera-t-elle plus ou moinsd’1,5 milliard d’habitants en 2025 ?

8 Systèmes linéaires

Exercice 61Sur une photographie, on aperçoit 15 têtes, 10 bosses et 44 pattes. Quel est le nombre de chameaux, dedromadaires et d’autruches photographiés ?Exercice 62Les 1 500 salariés d’une entreprise sont répartis dans trois services A, B et C. Pour rééquilibrer leseffectifs des trois services, il a été décidé que :

— 10 % des salariés du service B seront affectés au service C ;— 5 % des salariés du service A seront affectés au service B et 15 % au service C.

Après cette restructuration, le nombre de salariés du service B a diminué de 15 personnes et 159 salariésont été mutés dans le service C.Calculer les effectifs de chaque service avant la restructuration.Exercice 63Résoudre :

2x+ 3y − 4z = 04x − 5y + z = 149x − y − 6z = 19

Exercice 64Une compagnie aérienne pratique trois tarifs différents pour le trajet Paris-Athènes :

— le tarif A pour les enfants de moins de 8 ans,— le tarif B pour les enfants entre 8 et 16 ans— le tarif C pour les personnes de plus de 16 ans.

La famille Lenoir, formée d’un couple d’adultes et de trois enfants de 4, 6 et 14 ans a payé 730 € pource voyage. La famille Legris, formée de deux parents et de cinq enfants âgés respectivement de 4, 5, 10,12 et 17 ans a payé 1 100 €. La famille Leblanc, où la mère se déplace avec deux enfants de 2 et 10 ans apayé 450 €.Calculer le prix du billet d’avion pour chacun des trois tarifs A, B et C.Exercice 65En janvier 2012, j’ai acheté des actions de trois sociétés : Xala (50 €), Yvar (40 €) et Zircon (100 €). Autotal, j’ai acheté 20 actions. Mon portefeuille valait alors 1 500 euros.En janvier 2013, par rapport à janvier 2012, l’action Xala a perdu 20 % de sa valeur, l’action Yvar aperdu la moitié de sa valeur et l’action Zircon a chuté de 40 %. Mon portefeuille ne vaut plus que 920 €.Donner le nombre d’actions de chaque type.Exercice 66Résoudre :

8x − y − 6z = −19−9x+ y + 4z = 24−7x+ 4y − 7z = 32



Exercice 67On désire constituer un mélange nutritif pour animaux à partir de trois produits A,B,C, dont la teneuren sucre, protéines et féculents est donnée ci-dessous :

sucre protéines féculentsA 40 % 20 % 30 %B 10 % 0 % 50 %C 30 % 10 % 40 %

Le mélange doit contenir 295 g de sucre, 110 g de protéines et 390 g de féculents par kg.Quelle quantité de chacun des produits A, B, C doit-on utiliser ?

Exercice 68Un épicier souhaite proposer à ses clients un mélange composé d’amandes, de noix de cajou et depistaches. Le prix de ces ingédients est le suivant :

Ingrédients Amandes Noix de cajou PistachesPrix 12€/kg 16€/kg 10€/kg

L’épicier souhaite que son mélange contienne deux fois plus de noix de cajou que de pistaches, et ilcompte le vendre au prix de 13 €/kg.Quelle quantité d’amandes doit contenir chaque kilogramme du mélange ?

9 Nombre dérivé et optimisation

Exercice 69Un traiteur s’intéresse au coût unitaire de production de plateaux de canapés salés ainsi qu’au bénéficeréalisé pendant une semaine.Les parties A et B sont indépendantes.Partie A :La courbe suivante est une parabole représentant le coût unitaire de production, en euros, en fonctiondu nombre de plateaux réalisés. Quelle est son équation dans le repère proposé ?

Partie B :On admet que le coût unitaire de production, en euros, en fonction du nombre de plateaux réalisés suitla formule :



y = 0,01x2 − x+ 45

avec x compris entre 0 et 100.

1. Trouver une formule donnant le coût de production de x plateaux.

2. Chaque plateau étant vendu 45 €,donner une formule permettant de calculer le bénéfice réaliséquand le traiteur vend x plateaux.

3. Tracer le graphique correspondant à la formule précédente.

4. Combien le traiteur doit vendre de plateaux pour réaliser un bénéfice maximal ? (on souhaite uneréponse par calcul et par lecture graphique.)

5. Quelle est la valeur de ce bénéfice ?

Exercice 70

La courbe ci-contre a pour équation :

y = 40x3 − 837x2 + 4740x − 3700

Répondre par VRAI ou FAUX aux questions suivantes en justifiant :a) Entre 1 et 10, y > 0 ?b) La courbe atteint son maximum pour x = 4 ?

Exercice 71



1. Compléter le profil du toboggan ci-dessus sachant qu’entre les abscisses 4 et 10 (unité le mètre)l’équation du profil est :

y =1

27(−0,375x3 + 12x2 − 132x+ 495)

2. Montrer que la pente du profil vaut -2 lorsque x = 4.

3. Entre 0 et 4, le profil est parabolique, déterminer l’équation de ce profil.

4. Sachant que le profil parabolique a pour équation :

y = −0,6875x2 + 3,5x+ 2

Quel est la hauteur du toboggan ?

Exercice 72On souhaite fabriquer une boîte rectangulaire sans couvercle à partir d’une feuille de papier cartonnéde 20 cm par 32 cm en découpant des carrés à chaque coin de la feuille et en remontant les côtés.Quelles sont les dimensions ainsi que la capacité de la boîte de volume maximal ?Indication : 12x2 − 208x+ 640 = 4(x − 4)(3x − 40)

Exercice 73On fabrique des boîtes en carton selon le modèle ci-dessous.

Les dimensions de la feuille cartonnée sont 45 × 30 cm. Quelles sont les dimensions de la boîte devolume maximal ?



Exercice 74

1. On a tracé la courbe représentative d’une fonction f ainsi que deux de ses tangentes.

Déterminer f ′(−1) et f ′(2).

2. Voici le graphe d’une fonction.

Parmi les graphiques suivants quel est celui qui est susceptible de représenter la courbe des pentesdu graphe précédent ? Justifier.

a b c

Exercice 75La somme de deux nombres positifs est 120. Quels sont ces nombres si le produit du carré du premierpar le deuxième est maximal ?Exercice 76Dans un atelier, le prix de vente journalier d’une pièce dépend du nombre de pièces réalisées selon larelation suivante :

P = −0,0003N2 + 0,34N

L’atelier peut produire entre 600 et 1 100 pièces par jour. Comment peut-il ajuster sa production pouroptimiser son chiffre d’affaire ?



Exercice 77 Le tobogganOn complète le toboggan ci-dessous avec un arc de parabole comme sur le dessin ci-dessous :

On remarquera que— le raccord avec le plan incliné est parfait ;— le sommet de la parabole est le sommet du toboggan.

Quelle est la hauteur du toboggan ?Exercice 78 Le tremplinOn a représenté ci-dessous le profil d’un tremplin (l’unité est le mètre). Ce tremplin est constitué d’unplan incliné et d’une partie parabolique (voir schéma).

Déterminer la hauteur h de ce tremplin.



Exercice 79Cet exercice est composé de deux parties indépendantes.

Première partie

Si un agriculteur effectue sa récolte de riz aujourd’hui, il en obtiendra 1 200 kg et pourra le vendre 40centimes le kilogramme. Pour chaque semaine d’attente, la récolte augmente de 100 kg mais le prixbaisse de 2 centimes par kilogramme.

1. Comment varie la quantité de riz en fonction du nombre de semaines d’attente ? (tableau etformule)

2. Comment varie le prix au kg du riz en fonction du nombre de semaines d’attente ? (tableau etformule)

3. Étudiez la variation de la recette de l’agriculteur en fonction du nombre de semaines d’attente.(tableau, graphique et formule)

4. Quand la récolte devra-t-elle être effectuée pour maximiser la recette ?

Deuxième partie

En réalité entre 1 200 et 2 200 kilogrammes, la relation qui lie le prix (en centimes d’euro) à la quantitérécoltée est :

P = −2,42 · 10−5 Q2 + 0,0624Q

1. Exprimer la recette en fonction de Q.

2. Représenter la recette en fonction de Q

3. Quelle récolte donne la recette maximum ? En déduire le moment le plus opportun pour récolter.

Exercice 80On souhaite construire une boîte à partir d’une feuille carrée de 30 cm de côté, comme le montre lepatron suivant.

1. Démontrer que le volume de la boîte est V(x) = 2x3 − 60x2 + 450x.

2. Déterminer la valeur de x permettant de fabriquer une boîte de volume maximal, ainsi que cevolume maximal.



Exercice 81Le schéma suivant représente une pièce de plomberie. Elle est constituée de 2 tuyaux, parfaitementraccordés par une pièce coudée, ayant un profil parabolique (partie en pointillés).

Déterminer l’équation de la partie parabolique, dans le repère indiqué.

10 Probabilités

Exercice 821. On lance deux dés à 6 faces bien équilibrés et on considère la somme des deux nombres des faces

supérieures.(a) Quelle est la probabilité que la somme soit égale à 7 ?(b) Quelle est la probabilité que la somme soit paire ?(c) Quelle est la probabilité que la somme soit inférieure ou égale à 5 ?

2. On procède de même avec 3 dés, quelle est la probabilité que la somme soit égale à 14 ?

Exercice 83Une urne contient neuf boules indiscernables au toucher, trois bleues, trois blanches, et trois rouges. Ontire au hasard, successivement, avec remise, deux boules.Quelle est la probabilité pour que :

1. les deux boules soient de même couleur ?2. les deux boules soient de couleurs différentes ?

Exercice 84Un digicode se trouve au pied d’un immeuble. Le code permettant d’ouvrir la porte est constitué dedeux chiffres (chacun choisi entre 0 et 9) suivis d’une lettre (parmi A, B, ou C). Par exemple : 41A,09C ou encore 22B sont des codes possibles. Ce code, programmé par le syndic de l’immeuble, a étédéterminé de façon aléatoire.

1. Combien de codes possibles y a-t-il ?2. Quelle est la probabilité que le code ouvrant la porte se termine par la lettre A ?3. Quelle est la probabilité que le code ouvrant la porte comporte le chiffre 0 ?



11 Corrigés

Correction 1 1. On note N le nombre de boîtes vendues par semaine dans le supermarché et P leurprix de vente.

P N13,60 3 00013,50 3 10013,40 3 20013,30 3 30013,20 3 40013,10 3 500

On reconnait le modèle affine, et donc la formule est de la forme N = aP + b.a est la pente et vaut 100

−0,10 = −1 000. On a donc N = −1 000(P− 13,60) + 3 000soit après simplification N = −1 000P + 16 600.

2. Notons B le bénéfice réalisé par semaine. Il s’obtient en multipliant le nombre de boîtes venduespar le bénéfice d’une boîte.



P B13,60 3 000× (13,60− 5) = 25 80013,50 26 35013,40 26 88013,30 27 39013,20 27 88013,10 28 350

On constate qu’à pas constants sur P, les “écarts des écarts” de B sont constants. Cela caractérisele modèle quadratique, et donc B = aP2 + bP + c, avec a , 0.Par ailleurs, B = N(P− 5) = (−1 000P + 16 600)(P− 5) d’où B = −1 000P2 + 21 600P− 83 000.

3. Le graphique représentant B en fonction de P est une parabole, le coefficient en P2 est négatif,donc B atteint un maximum pour P = −21 600

2×(−1 000) = 10,8.Il faut donc fixer le prix d’une boîte à 10,80€ pour réaliser un bénéfice maximal.

4. Ce bénéfice maximal vaut alors −1 000× 10,82 + 21 600× 10,8− 83 000 soit 33 640€.

Correction 2 1. Soit N le nombre de studios et P le prix du loyer.Les points sont alignés, il existe une relation affine entre N et P, de plus d’après l’énoncé la pentede l’équation de droite vaut −5

20 = −0,25 et donc N = −0,25P + b. Sachant que la droite passe par lepoint de coordonnées (500 ; 200), on a 200 = −0,25× 500 + b d’où b = 325. Donc N = −0,25P + 325.

2. Soit R le revenu mensuel de l’agence. R = N × P = (−0,25P + 325)P = −0,25P2 + 325P

3. Le graphique représentant R en fonction de P est une parabole, le coefficient en P2 est négatif,donc R atteint un maximum pour P0 = −325

2×(−0,25) = 650. De plus R = 105625 €.

Correction 3 1. On étudie le nombre N de spectateurs en fonction du prix P d’une place.Les accroissements de N sont proportionnels aux accroissements de P, donc N est fonction affinede P :N = aP + b, avec a = 50

−1 = −50 d’où il vient N = −50P + 2 050.

2. On étudie la recette R en fonction du prix P d’une place.

P R25 20 00024 20 40023 20 70022 20 900

On reconnait le modèle quadratique, ce qui est confirmé par la formule donnant R en fonction deP :R = NP = −50P2 + 2050P.

3. La parabole représentant R en fonction de P est tournée vers le bas puisque le coefficient de P2 estnégatif. Donc R admet un maximum, obtenu lorsque P = −2050

2×(−50) = 20,5.Pour P = 20,5, N = 1025, ce qui est compatible avec la capacité de la salle. On a alors R = 21013.Donc pour un prix unitaire de 20,50€, la recette sera de 21013€, qui est la recette maximale.

Correction 4 1. L’audience baisse d’un demi million de téléspectateurs toutes les 10 secondes.



Durée Nombre de téléspectateursen secondes en millions

180 13190 12,5200 12210 11,5220 11230 10,5240 10250 9,5260 9270 8,5280 8290 7,5

Il s’agit d’une situation affine, la pente vaut −0,510 = −0,05, ainsi N = 0,05d+b (13 = −0,05×180+b⇔

b = 13 + 9 = 22)D’où

N = −0,05d + 22 (1)

2. Étudiez comment varie la recette publicitaire en fonction de la durée de la pub.Durée Nombre de téléspectateurs recette

en secondes en millions en euros180 13 936000190 12,5 950000200 12 960000210 11,5 966000220 11 968000230 10,5 966000240 10 960000250 9,5 950000260 9 936000270 8,5 918000280 8 896000290 7,5 870000

La recette s’obtient par le produit du nombre de téléspectateurs, de la durée de la pub et du tarif400 e par seconde et par million de téléspectateurs.R = 400× d ×N = 400d(−0,05d + 22) = −20d2 + 8800dAinsi

R = −20d2 + 8800d (2)

3. Quelle est la durée de la pub qui assure la meilleure recette publicitaire ?On reconnaît une expression quadratique, le maximum de la recette est donc atteint pour unedurée de −8800

2×(−20) = 220 secondes.

Correction 5 1. N(x) = ax2 + bx+ c avec N(500) = 200, N(750) = 0 et N′(500) = −0,3



En résolvant le système associé on trouve :

N = −0,002x2 + 1,7x − 150

2. Le chiffre d’affaire est alors C = N × x = −0,002x3 + 1,7x2 − 150x

3.

4. Graphiquement, le chiffre d’affaire est maximum pour un loyer de 518e.

Correction 72x+ 2π(y/2) = 400

2A(y) = 2xy = y(400−πy) = −πy2 + 400y

Le maximum est atteint pour y = 200π' 63,63 m, dans ce cas x = 100 m.

Correction 8



Dans le repère orthonormal d’origine O, tel que A ait pour coordonnées (10;4). Le profil de la parabolea pour équation :

y = ax2

De plus, A appartient à la parabole donc 4 = a× 102

Donc le profil de la parabole dans le repère choisi a pour équation :

y = 0,04x2

Correction 9 Dans le repère choisi, la parabole a pour équation : y = ax2 + bx+ c.Le coefficient c est l’ordonnée à l’origine donc c = 0. Comme le sommet se trouve en − b

2a , on a − b2a = 60 .

Cette relation permet d’écrire que b = −120a.Le point (60;−36) est sur la parabole donc ses coordonnées vérifient son équation :

−36 = a× 602 + b × 60

On remplace b par −120a et après calculs on obtient a = 0,01.

y = 0,01x2 − 1,2x

La valeur de h est l’ordonnée du point d’abscisse (−40). On remplace donc x par -40 dans l’équation dela parabole et on trouve h = 64.La pente de la parabole en 0 est la valeur de b soit −1,2.

Correction 10 On exprime la surface à traiter en fonction du rayon R du cylindre : le patron est composéde 4 rectangles de 5 mm sur 20, de 2 carrés de 20 mm de côté auxquels on enlève 2 disques de rayon R.Comme on traite aussi l’intérieur du tube, on ajoute sa surface. On obtient alors :

S = 4× 5× 20 + 2× 20× 20− 2×π ×R2 + 2×π ×R× 5S = 1200− 2πR2 + 10πR

ou encore

S = −2πR2 + 10πR + 1200.



On remarque que le graphique donnant S en fonction de R est une parabole avec le coefficient de R2

négatif. On peut donc dire que son sommet est un maximum. Il est atteint en − b2a soit R = 2,5 mm. Le

coefficient en R2 étant négatif, la parabole a une forme de "∩".Donc le coût sera minimal pour un rayon de 5 mm.

Correction 11 Prenons pour repère le sol comme axe des abscisses, le pilier gauche pour axe desordonnées et le pied de ce pilier gauche pour origine.Dans ce repère, la parabole a une équation du type y = ax2 + bx+ c.c = 30 (ordonnée à l’origine).Pour x = 1, y = 40 donc a+ b+ c = 40 d’où a+ b = 10 et donc b = 10− a.Pour x = 8, y = 30 donc 64a+ 8b = 0.Après calculs, on obtient a = −10

7 et b = 807 .

Le sommet de la parabole a pour abscisse −b2a soit ici 4, et l’ordonnée correspondante est 3707 ≈ 52,86, qui

est en mètre la hauteur maximale de la voûte.

Correction 12 Dans le repère indiqué la parabole a une équation du type y = ax2 + bx+ c.c = 2 (ordonnée à l’origine).Pour x = 2, y = 0 donc 4a+ 2b+ c = 0 d’où 2a+ b = −1.Pour x = 1, y = 2 donc a = −b.Après calculs, on obtient a = −1 et b = 1.Le saut a donc une trajectoire ayant pour équation dans le repère indiqué y = −x2 + x+ 2.

Correction 13 Dans le repère indiqué la parabole a une équation du type y = ax2 + bx+ c.c = 0 (ordonnée à l’origine).Le sommet de la parabole a 15 pour abscisse, ce qui conduit à b = −30a.Pour x = 15, y = 10 donc (après calculs) a = −2

45 et par suite b = 43 .

La trajectoire a donc pour équation dans le repère indiqué y = −245x

2 + 43x.

Correction 14 L’équation de la droite est y = 5− 37x, donc l’aire du rectangle vaut A = x(5− 3

7x), cetterelation est quadratique, s’annule pour x = 0 et x = 35/3, donc elle atteint son maximum pour x = 35/6.Les dimensions de ce rectangle, sachant que son aire est maximale, sont 35/6 et 2,5.

Correction 15 1. (a)

(b) G (3,5 ; 836,17).

2. (a) G1 (2 ; 706,67) et G2 (5 ; 965,67).

(b) La pente vaut : a = 965,67−706,675−2 ' 86,33.

L’équation de la droite s’écrit : y = ax + b. Reste à calculer b. Or on sait que le point G1appartient à cette droite donc si x = 2, y = 706,67. On en déduit que b = 534.Par conséquent, l’équation de la droite (G1G2) est :

y = 86,33x+ 534.

(c) 2004 correspond à x = 9 ; en remplaçant x par 9 dans l’équation précédente, on obtienty = 1311.

3. (a)

(b) y = 86,66x+ 529,88.

(c) En remplaçant x par 9 dans l’équation précédente, on obtient 1 310 appareils.

Correction 16 1. Calcul d’indices et de pourcentage :



(a) L’indice des parts a augmenté de 15 % entre 1998 et 2007 donc la part cherchée est 23,2×1,15.

(b) L’indice correspondant à l’année 2000 vaut : 24,223,2 × 100 ' 104.

(c) La part des femmes a progressé de 3 points entre 2005 et 2006 donc le pourcentage d’aug-mentation correspondant est : 3

109 × 100 ' 2,75 %.Si l’évolution amorcée entre 2005 et 2006 s’était poursuivie au même rythme, la part desfemmes dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public en 2008 aurait été de109× 1,02753 ' 118.

2. Ajustement affine :(a)

(b)

(c) y = 0,37x+ 22,893. Modélisation :

(a) 2012 correspond à x = 15. Grâce à l’équation de droite, on obtient y = 28,44%.

(b) 2071 correspond à x = 74. Grâce à l’équation de droite, on obtient y = 50,27%.

Correction 17 1. Le nuage est sensiblement allongé, une régression linéaire semble envisageable.

2. On note T la température extérieure en °C et C la consommation de fuel en m3. Avec la calculatrice,on trouve que C = aT + b avec a ≈ −0,140 et b ≈ 2,18.

3. Pour T = 5, on trouve C ≈ 1,48. Une température de 5°C conduit à une consommation de 1,48 m3.

4. On cherche T tel que C = 0, et on résout donc −0,140T + 2,18 = 0. On obtient T ≈ 15,6.On pourra donc prévoir d’arrêter la chaudière dès que la température extérieure dépasse 16°C.

Correction 19 Soit h la hauteur commune du bac et d’un cône.Le volume de glace s’écrit 3

4 ×20×10×h = 150h, celui d’un cône 13π×32h = 3πh donc le nombre de cône

vaut 150h3πh = 50

π

On pourra remplir 15 cônes.

Correction 20 1. x = −2

2. x = 1−√

6 ou x = 1 +√

6

3. x = 94

4. x = −114

Correction 21

S =

√(3VR

)2+π2R4

Correction 22 Sachant que

T = 2π

√d + 2r2

5d

g;

on en déduit

r =

√52d

(g( T2π

)2− d

)33 N. Périn, J-N. Gers, V. Ledda, S.Dumoulard


Correction 23ra =

2V2aµ

+ 1a

Correction 24

d =

√L2 − h2

π2n2

Correction 25

R =M2m

(d

a− h

)Correction 26 Soit f l’âge actuel du fils, Beth a alors 3f ans.On cherche f tel que 3f + 12 = 2(f + 12)− 1.

Le fils a 11 ans et sa mère 33.

Correction 27 D =85

√4Vπh− d

+ d ou encore D =85

√4Vπh− 3

5d.

Correction 30 Soit h la hauteur commune des pots.L’ancien volume est V1 = π × 12,52 × h, et le nouveau V2 = π × 152 × h.V2V1

= π×152×hπ×12,52×h = 152

12,52 ≈ 1,44.La plante aura donc environ 44% de volume supplémentaire.

Correction 31 1. PS =√

(12× 342)2 + (1× 3422 ' 4118 mètres.

2. Répondre aux 2 questions, c’est trouver les coordonnées cartésiennes du vecteur ~CP.

~CP = ~CS + ~SP = − ~SC− ~PS avec ~PS(

12× 3421× 342

)et ~SC

(2800cos1352800sin135

)donc

~CP a pour coordonnées(−2800cos135− 12× 342−2800sin135− 342

)soit ~CP

(−2124−2322

).

On passe ce vecteur en coordonnées polaires : CP =√

(−2124)2 + (−2322)2 ' 3147cosθ =

−21243147

sinθ =−23223147

On obtient θ = 360− arccos −21243147 ' 228°.

Le bateau se trouve à 3 147 mètres de Port Grimaud et doit prendre un cap de 228 ° pour rentrerau port.

Correction 32 B(40cos(135);40sin(135)) et D(−30;10) ainsiBD =

√(40cos(135)− (−30))2 + (40sin(135)− 10)2 ' 18,36

DP =√

(−30− 0)2 + (10− 0)2 =√

1000 = 10√

10 ' 31,62.Le bateau partant du port va une fois et demi plus vite que l’autre bateau. Or BD < 2

3 DP, donc le bâteauen B sera le plus rapide pour arriver sur zone.

En coordonnées cartésiennes, B(−28,2843;28,2843),−−→BD

(−1,7157−18,2843

). Cherchons l’angle que fait

−−→BD

avec le vecteur horizontal −→ı de coordonnée(

10

).



cos(θ) =

−1,7218,36

' −0,093

sin(θ) =−18,2818,36

' −0.996

arccos(−0,093) ' 95,33°, comme sin(θ) < 0, θ = 360− 95,33 ' 264,66°.Donc,

−−→BD fait un angle de 264,66° avec −→ı . C’est à dire que la trajectoire du bâteau fera un angle de

5,33° vers l’ouest avec le cap sud.

Correction 33 Notons O la position initiale de la balle, T celle du trou et B la position de la balle aprèsle premier lancer.

1. Le trou a pour coordonnées cartésiennes (8;4), donc la distance entre le trou et le point de départde la balle est

√82 + 42 = 4

√5 ' 8,94 m. Donc la balle n’atteint pas le trou.

2. Après le premier lancer, la balle a pour coordonnées cartésiennes (10cos(30);10sin(30)), donc la di-

rection de la balle au deuxième coup est portée par le vecteur−−→BT de coordonnées

(8− 10cos(30)4− 10sin(30)

).

−−→BT

(−0,66−1

), si l’on note θ l’angle de demi-droite formée par [Ox) et [BT) on a :

cos(θ) =8− 10cos(30)

BT' −0,55

sin(θ) =4− 10sin(30)

BT' −0,835

La valeur de sin(θ) étant négative, θ = 360− arccos(cos(θ)) ' 237°.Donc, le golfeur doit diriger sa balle dans une direction portée par une demi-droite qui fait unangle de 237° avec [Ox).

Correction 35 Répondre aux 2 questions, c’est trouver les coordonnées cartésiennes du vecteur ~AB.

~AB = ~AO + ~OB = − ~OA + ~OB avec ~OA(−5× 503× 50

)et ~OB

(260cos27260sin27

)donc

~AB a pour coordonnées(

250 + 260cos27−150 + 260sin27

)soit ~AB

(481,7−32

).

On passe ce vecteur en coordonnées polaires : AB =√

481,72 + (−32)2 ' 482,7cosθ =

481,7482,7

sinθ =−32

482,7On obtient θ = 360− arccos 481,7

482.7 ' 356°.Alice et Bob sont distants de 482,7 m et Alice voit Bob avec un angle de 356 °.

Correction 36 Soit ~B le vecteur représentant la trajectoire désirée, ~C celui représentant le courant, et ~Pcelui représentant la trajectoire programmée.On cherche ~P tel que ~P + ~C = ~B, sachant que ~B(18;225°) et ~C(6;270°).On détermine les coordonnées cartésiennes de ces vecteurs, et on obtient ~B

(−9√

2;−9√

2)

et ~C(0;−6).

Ainsi, les coordonnées cartésiennes de ~P sont : ~B(−9√

2;−9√

2 + 6).

Notons (r;θ) les coordonnées polaires de ~P.Par le calcul, on trouve r ≈ 14,4 et θ ≈ 208°.Il faut donc programmer une vitesse de 14,4 nœuds et un cap de 208°.



Correction 37 Si on appelle x la longueur en cm du côté de la photo, sa surface totale vaut x2.La partie visible est un carré de côté x − 2 , de surface (x − 2)2. On peut donc écrire

0,9x2 = (x − 2)2

0,1x2 − 4x+ 4 = 0

La solution à retenir est 39 cm.

Correction 38 Soit v la vitesse cherchée en km/h. On rappelle que v = d/t.Vitesse en km/h Distance en km Temps en heures

Premier cas v 600 600v

Deuxième cas v + 16 600 600v+16

Comme dans le deuxième cas il met 1,25 h de moins que dans le second, je cherche v tel que :

600v− 1,25 =

600v + 16

.

Il vient successivement les égalités suivantes :

600− 1,25vv

=600v + 16

(600− 1,25v)(v + 16) = 600v

Après développement et réduction on obtient :

−1,25v2 − 20v + 9600 = 0

C’est une équation du second degré. Son discriminant vaut : ∆ = (−20)2 − 4× (−1,25)9600 = 48400.Il est strictement positif, donc l’équation admet deux solutions distinctes :

v1 =−(−20)−

√∆

2× (−1,25)= 80

v2 =−(−20) +

√∆

2× (−1,25)= −96

La vitesse cherchée est 80 km/h.

Correction 39 Remarquer que x ne peut être égal à 4 ou 3. On obtient :

(x+ 1)(3− x) = (x+ 2)(x − 4)

3x − x2 + 3− x = x2 − 4x+ 2x − 8

2x2 − 4x − 11 = 0

C’est une équation du second degré, on calcule son discriminant :

∆ = (−4)2 − 4× 2× (−11) = 104

Le discriminant est strictement positif, donc l’équation admet deux solutions :

x1 =−(−4)−

√104

2× 2=

4−√

1044

x2 =−(−4) +

√104

2× 2=

4 +√

1044



Correction 40•

[−√

21−52 ,

√21+52

]• x = 7 ou x = −0,5

Correction 41

Soit 0 6 L6 18 la largeur cherchée.

(30− L)(18− L) =34× 18× 30

L2 − 48L + 540− 405 = 0L2 − 48L + 135 = 0

C’est une équation du second degré, on calcule son discriminant :

∆ = (−48)2 − 4× 135 = 1764 = 422

Le discriminant est strictement positif, donc l’équation admet deux solutions distinctes :

L1 =48− 42

2= 3 L2 =

48 + 422

= 45

On rejette L2, car L2 > 18.Donc la largeur des bandes découpées est 3 cm.

Correction 42 Soit N le nombre initial d’étudiants. La part de chacun est au départ de 60N .

Avec 4 étudiants de moins, cette part devient 60N−4 .

On cherche donc N tel que 60N−4 = 60

N + 2,5.Après simplifications, cette équation équivaut à N2 − 4N − 96 = 0, dont le discriminant est strictementpositif.Elle admet donc deux solutions, qui sont −8 et 12. Seule la solution positive nous intéresse.Il y avait donc 12 étudiants au départ.

Correction 43 Soit n le nombre de lampes coûtant chacune p euros. L’énoncé peut se traduire ainsi :

np = 4375(n+ 15)(p − 3,75) = 4375

En développant, en remplaçant np par 4 375 et n par 4375p on obtient :

−16406,25p

+ 15p − 56,25 = 0

En multipliant l’ensemble de l’équation par p, on a : 15p2 − 56,25p − 16406,25 = 0

C’est une équation du second degré et son discriminant vaut 987 539,06. Elle admet les 2 solutions 35 et-31,25. On garde la solution positive donc p=35 et n = 4375

35 = 125.Le détaillant a commandé au départ 125 lampes à 35 € l’unité.

Correction 44• Le discriminant ∆ vaut 324 ; les deux solutions sont 0,2 et 2.



• ∆ est négatif donc l’équation n’a pas de solution.

Correction 45 Soit x la longueur (en mètres) du massif et y sa largeur (en mètres).L’aire du massif s’obtient par x × y et vaut 612 m². Le parc (massif et allée) est un rectangle de longueurx+ 3 et de largeur y + 3.Son aire est (x+3)×(y+3) et vaut d’après l’énoncé 612 + 165 m². On est donc amené à résoudre l’équation(x+ 3)× (y + 3) = 777 en sachant que x × y = 612.Après développement, on obtient :

3x+ 3y = 156

On remplace x par 612y (y , 0) et on aboutit à l’équation du second degré suivante :

3y2 − 156y + 1836 = 0

Cette équation admet deux solutions 34 et 18.Le choix de x pour la longueur et y pour la largeur étant arbitraire, on peut en conclure que lesdimensions du massif sont 34 m par 18 m.

Correction 46 Soit n le nombre de morceaux achetés au départ,chacun coûtant p euros. L’énoncé peutse traduire ainsi :

np = 45(n+ 26)(p − 0,3) = 45,60

Après calculs,on obtient :−0,3n2 − 8,4n+ 1170 = 0

C’est une équation du second degré et son discriminant vaut 1 474,56. Elle admet les 2 solutions 50 et-78. On garde la solution positive donc n=50 et p = 45,60

50 = 0,9.Aurélien a acheté 50 morceaux à 0,90 € l’unité.

Correction 47 1. Les 10 000 € sont multipliés par le coefficient multiplicateur suivant :(11886,8610000

) 2015−20052012−2005

= 1,188686107 ' 1,280085

Soit 12 800,85 €.

2.première année deuxième année

2600 2500Somme due intérêts remboursement somme due intérêts remboursement

5 000 5000t 2600− 5000t 2400 + 5000t 2400t + 5000t2 2500− 2400t − 5000t2

Le prêt se termine au bout de la deuxième année, donc{2500− 2400t − 5000t2 = 2400 + 5000t

t > 0⇔

{5000t2 + 7400t − 100 = 0

t > 0⇔

{t2 + 1,48t − 0,02 = 0

t > 0

Après résolution on obtient : t ' 0.01339Donc, il s’agit d’un prêt à 1,34% par an.



Correction 48 Soit x le nombre initial de personnes.En premier lieu, chaque personne devait recevoir 400

x €. Après le départ des 5 personnes, chaquenouvelle part sera de 400

x−5 €. Comme cette dernière est plus grande de 4 €, on peut écrire

4 +400x

=400x − 5

Après transformations, on a : 4x2 − 20x − 2000 = 0.

On garde la solution positive de cette équation soit 25.Au départ il y avait 25 personnes.

Correction 49• x = 1+

√13

6 ou x = 1−√

136

• Remarquer que x ne peut être égal à -3. On obtient :

2x(x+ 3) = x − 1

2x2 + 5x+ 1 = 0

x1 = −5−√

174 et x2 = −5+

√17

4• L’ensemble solution est ]−∞;3[∪]4;+∞[.

Correction 50 Soit x la largeur de l’allée. x est donc compris entre 0 et 5.Le carré intérieur de gazon a pour surface (10− 2x)2.On cherche donc x tel que (10− 2x)2 = 50. L’équation à résoudre équivaut à 2x2 − 20x + 25 = 0. Sondiscriminant vaut 200. Il est positif donc l’équation a deux solutions distinctes : x1 = 5− 2,5

√2 ≈ 1,464

et x2 = 5 + 2,5√

2 ≈ 8,536 > 5 donc exlue.Il faut donc faire une allée de largeur 1,464 m environ.

Correction 51 Soit x la largeur des allées en mètres .Si on recolle les 4 morceaux "gris", on obtient un rectangle de longueur (15− 3x) et de largeur (10− 3x) .On peut écrire

(15− 3x)(10− 3x) = 104

Après transformations, on a : 9x2 − 75x+ 46 = 0.

On garde la solution comprise entre 0 et 103 soit 0,67 m .

Correction 52 1. Les ventes sont multipliées par 10 en 12 mois donc par 101

12 en un mois soit unpourcentage d’augmentation de 21,2.

2. 500000×(10

112)8

soit 2 320 795 montres.

Correction 5310× 50

19−84 ' 470075

Correction 54 Le taux d’évolution pour 2 ans correspond au coefficient multiplicateur 71314492 . Pour un an

, il est de(

71314492

) 12 . La quantité d’électricité fournie en 2016 sera :

4492×(71314492

) 2016−20092' 22643MW.



Correction 55 1. On traduit les variations à l’aide de coefficients multiplicateurs pour obtenir lecoefficient multiplicateur associé à la période 2005-2012.

1,137× 1,058× 1,04× 1,055× 1,05× 0,887× 1,097× 1,047× 1,052× 1,044 ' 1,5506

Soit une augmentation annuelle moyenne de 6,4% (1,550617 ' 1,064).

2. Si l’évolution se poursuit le tarif en 2014 sera de 7,95× 1,0642 ' 9 centimes d’euro par kWh.

Correction 56 Le nombre de bactéries est multiplié par 2 toutes les 15 minutes donc par 21

15 à chaqueminute.Dans 160 minutes, le nombre de bactéries sera : 100×

(2

115)160

soit 162 549.

Correction 57 Toutes les 45 minutes, le volume est multiplié par 0,99. En une minute, il est multipliépar 0,99

145 .

Il restera au bout de 330 minutes : 1×(0,99

145)330

soit 0,929 litre.

Correction 58(

2300800

) 16 ' 1,192 soit 19,2 % d’augmentation par jour.

Correction 59 1. Le coefficient multiplicateur annuel équivalent est 21

15 soit environ 1,0473.Le taux annuel équivalent est donc de 4,73%.

2. La somme acquise au bout de 10 ans est 1 000×(2

115)10

= 1 000× 223 soit environ 1 587€.

Correction 60 Le coefficient multiplicateur annuel équivalent sur la période étudiée de 54 ans est(1 260439

) 154 .

Le nombre d’habitants en 2025 est alors 1 260×(

1 260439

) 1054 ≈ 1 532.

Il y aura donc plus d’1,5 milliards d’habitants en Inde si la croissance se poursuit au même rythme.

Correction 61 On note a, c et d le nombre respectivement d’autruches, de chameaux et de dromadaires.L’énoncé peut se traduire par :

a+ c+ d = 152c+ d = 10

2a+ 4c+ 4d = 44

Sur la photo, il y a 8 autruches, 3 chameaux et 4 dromadaires.

Correction 62 On note a, b et c les effectifs de chaque service avant la restructuration. L’énoncé peut setraduire par :

a+ b+ c = 15000,05a− 0,1b = −150,15a+ 0,1b = 159

a+ b+ c = 15000,05a− 0,1b = −15

0,2a = 144⇔

a+ b+ c = 1500

0,05a− 0,1b = −15a = 720

⇔

a+ b+ c = 1500

b =−15− 0,05× 720

−0,1= 510

a = 720



c = 1500− 720− 510 = 270

b = 510a = 720

Donc, avant la restructuration, les effectifs étaient respectivement de 720, 510 et 270 personnes.

Correction 63 x = 5, y = 2 et z = 4.

Correction 64 Soit x le prix du billet pour le tarif A, y celui du tarif B et z celui du tarif C.On obtient le système suivant :

x+ y + z = 4502x+ 2y + 3z = 1100

2x+ y + 2z = 730

Matriciellement :L1 1 1 1 450L2 2 2 3 1100L3 2 2 2 730

L1 1 1 1 450L2← L2 − 2L1 0 0 1 200L3← 2L1 −L3 0 1 0 170

On en déduit les valeurs respectives de x, y et z. Ainsi, le prix du billet pour le tarif A est 80 €, 170 €pour le tarif B et 200 € pour le tarif C.

Correction 65 Soit x le nombre d’actions Xala, y le nombre d’actions Yvar et z le nombre d’actionsZircon.L’énoncé peut se traduire par le système suivant :

x+ y + z = 2050x+ 40y + 100z = 1500

50× 0,8x+ 0,5× 40y + 0,6× 100z = 920

Matriciellement et après simplifications :L1 1 1 1 20L2 5 4 10 150L3 4 2 6 92

L1 1 1 1 20L2← L2 − 5L1 0 -1 5 50L3← L3 − 4L1 0 -2 2 12

L1 1 1 1 20L2 0 -1 5 50

L3← L3 − 2L2 0 0 -8 88On en déduit successivement z=11, y = 5 et x = 4.Il y a 4 actions Xala, 5 actions Yvar et 11 actions Zircon.

Correction 66 Matriciellement :L1 8 -1 -6 -19L2 -9 1 4 24L3 -7 4 -7 32

L1 8 -1 -6 -19L2← L2 + L1 -1 0 -2 5

L3← 4L1 + L3 25 0 -31 -44L1 8 -1 -6 -19L2 -1 0 -2 5

L3← 25L2 + L3 0 0 -81 81



On en déduit successivement z = −1,x = −3 et y = 1.

Correction 67 On note a, b et c la quantité en grammes de chaque produit contenu dans un kg dumélange. L’énoncé peut se traduire par :

0,4a+ 0,1b+ 0,3c = 2950,2a+ 0.1c = 110

0,3a+ 0,5b+ 0,4c = 390

On doit utiliser 250 g de produit A, 150 g de produit B et 600 g de produit C.

Correction 68 On note a, n et p la quantité en kg de chaque produit contenu dans un kg du mélange.L’énoncé peut se traduire par :

a+n+ p = 1n = 2p

12a+ 16n+ 10p = 13

On trouve une solution : a = 1/2,n = 1/3 et p = 1/6.On doit mettre 500 g d’amandes dans 1 kg du mélange.

Correction 69 Partie A :U(x) = ax2 + bx+ c et U(45) = 0, U(50) = 20, U(100) = 45. Donc la parabole admet x = 50 comme axe desymétrie. U(x) = 45 admet 0 et 100 comme solution donc

U(x) = ax(x − 100) + 45

U(50) = a× 50× (−50) + 45 = 20, a = −25−502 = 0,01.

Donc l’équation cherchée est U = 0,01x2 − x+ 45.Partie B :

1. C(x) = x ×U(x) = 0,01x3 − x2 + 45x

2. B(x) = 45x −C(x) = −0,01x3 + x2 = x2(1− 0,01x)

3.

4. On cherche l’équation de la courbe des pentes : B′(x) = −0,03x2 + 2x = x(2 − 0,03x). La pentes’annule pour x = 0 et x = 200

3 ' 66,7. Seul x = 66,7 correspond à un maximum.



Ainsi le traiteur doit réaliser 67 plateaux pour optimiser sa production.

5. Il réalisera un bénéfice de 1 481,37€. (672 × (1− 0,01× 67)).

Correction 70 1. y|x=1 = 243 et y|x=10 = 0, donc, d’après la courbe, y > 0 sur [1;10] (attention laréciproque est fausse).

2. La courbe des pentes est y = 120x2 −1674x+ 4740, la pente en 4 vaut donc −36. Donc le maximumn’est pas atteint en 4.

Correction 71 1.

y′ = 127(−9

8x2 + 24x − 132).

y′ |x=4 = 127(−9

842 + 24× 4− 132) = −2

y = (−11x2 + 56x+ 32)/16

Le maximum est atteint pour x = 2811 ' 2,55. −11(28/11)2+56(28/11)+32

16 = 7111 ' 6,45.

Correction 72 x étant compris entre 0 et 10.



32−

2x

x

20 − 2x

V(x) = x(20− 2x)(32− 2x) = 4x3 − 104x2 + 640x

V′(x) = 12x2 − 208x+ 640 = 4(x − 4)(3x − 40)La pente s’annule pour 4 et 40

3 > 10. Donc le volume de la boîte est maximal pour x = 4 cm.

Correction 73 Soit x la longueur du côté du carré découpé, avec x en cm compris entre 0 et 15.La boîte a pour largeur 30− 2x, pour longueur 1

2(45− 3x) et pour hauteur x.Son volume est V(x) = 1

2(45− 3x)(30− 2x)x = 3x3 − 90x2 + 675xV′(x) = 9x2 − 180x+ 675En étudiant le signe de cette dérivée, on en déduit les variations de V et que x = 5 donne le volumemaximum.

Correction 74 1. f ′(−1) est la pente de la droite T−1 et vaut 1.f ′(2) est la pente de la droite T2 et vaut −1

3 .

2. Réponse b. Les variations d’une fonction dépend du signe de sa dérivée.

Correction 75

p(x) = x2(120− x)p′(x) = 240x − 3x2 = 3x(80− x)



Correction 76 Le chiffre d’affaire peut s’exprimer avec

C = −0,0003N3 + 0,34N2

Graphiquement, le chiffre d’affaire est maximal pour une certaine valeur de N, notons la Nm.La pente de C par rapport à N est :

p = −0,0009N2 + 0,68N = N(−0,0009N + 0,68)

Lorsque que N = Nm la pente est nulle, donc Nm vérifie :

N(−0,0009N + 0,68) = 0

Cette équation admet deux solutions N = 0 et N ' 756 ; Nm est un entier compris entre 600 et 1 100.Donc Nm = 756.

Correction 77 Soit y = ax2 + bx+ c l’équation de la parabole dans le repère tracé sur le dessin. On saitque b = 0 car le sommet de la parabole est sur l’axe des ordonnées.Soit p la pente de la parabole, p = 2ax+ b = 2ax, à partir du dessin on peut écrire :{

2a× 2 = −1/3

a× 22 + c = 2a = − 1

12

c = 2 + 4× 112

=73

Donc l’équation de la parabole est y = − 112x

2 + 73 . Ainsi, le toboggan a pour hauteur 2,33 m.

Correction 78 [[a =

3160

,b = −94, c = 80

]]45 N. Périn, J-N. Gers, V. Ledda, S.Dumoulard


Correction 79

Première partie

Si un agriculteur effectue sa récolte de riz aujourd’hui, il en obtiendra 1 200 kg et pourra le vendre 40centimes le kilogramme. Pour chaque semaine d’attente, la récolte augmente de 100 kg mais le prixbaisse de 2 centimes par kilogramme.

1. Q = 100S + 1200

2. P = −2S + 40

3. R = (100S + 1200)× (−2S + 40) = −200S2 + 1600S + 48000

4. S0 = −16002×(−200) = 4. Pour optimiser la récolte, on attendra la 4ème semaine. La quantité récoltée sera

de 1 600kg.

Deuxième partie

En réalité entre 1 200 et 2 200 kilogrammes, la relation qui lie le prix (en centimes d’euro) à la quantitérécoltée est :

P = −2,42 · 10−5 Q2 + 0,0624Q

1. R = Q × (−2,42 · 10−5 Q2 + 0,0624Q) = −2,42 · 10−5 Q3 + 0,0624Q2.

2.

3. Graphiquement, la recette admet un maximum ; pour déterminer la récolte qui donne la recettemaximum, on cherche la quantité qui annule la pente.

R′ = −7,26 · 10−5Q2 + 0,1248Q = Q(0,1248− 7,26 · 10−5Q)

q0(0,1248− 7,26 · 10−5q0) = 0

q0 = 0 ou q0 = 0,12487,26·10−5 ' 1719, or q0 ∈ [1200;2200]. Donc la récolte qui donne la recette maximale

est 1 719 kg, on récoltera entre la 5ème et la 6ème semaine.



Correction 80 1. La boîte a pour dimensions x, 30 − 2x et 12(30 − 2x). Son volume est donc V(x) =

x(30− 2x)(15− x) = x(450− 60x+ 2x2) = 2x3 − 60x2 + 450x.2. On étudie la fonction V pour x variant de 0 à 15.

La fonction dérivée de V a pour expression V′(x) = 6x2 − 120x+ 450 = 6(x2 − 20x+ 75). C’est unefonction quadratique, on étudie son signe selon les valeurs de x.Le discriminant de x2 − 20x + 75 vaut 100, il est strictement positif donc V′ s’annule deux fois :pour x = 5 et pour x = 15.D’où le tableau de variation de V :

x 0 5 15V′(x) + 0 −

VmaxV ↗ ↘

0 0

On en déduit que la boîte a un volume maximal pour x = 5 cm, et que dans ce cas le volume estV(5) = 1 000 cm3.

Correction 81 Notons f la fonction quadratique dont la représentation graphique est la partie parabo-lique de la pièce.f (x) = ax2 + bx+ cc = 2 (ordonnée à l’origine).La tangente à la parabole au point d’abscisse 2,5 a pour pente 1 (puisque le raccord avec la partierectiligne est parfait).Autrement dit : f ′(2,5) = 1.Or f ′(x) = 2ax+ b, donc 2× a× 2,5 + b = 1 et donc 5a+ b = 1.De même, la tangente à la parabole au point d’abscisse 0 a pour pente −1, donc f ′(0) = −1, ce qui donneb = −1.On en déduit que a = 2/5.L’équation de la partie parabolique est donc y = 2

5x2 − x+ 2.

Correction 82 1. L’expérience aléatoire possède 36 issues (6× 6). (Faire un arbre ou un tableau pours’en convaincre.). Ces 36 issues sont équiprobables.(a) Les issues conduisant à la somme 7 sont (6;1), (1;6), (5;2), (2;5), (4;3), (3;4). Donc la probabilité

d’obtenir une somme égale à 7 est6

36soit

16

.

(b) La probabilité que la somme soit paire est12

.

(c) Il y a 10 issues conduisant à une somme inférieure ou égale à 5 donc la probabilité que la

somme soit inférieure ou égale à 5 est1036

soit5

18.

2. L’expérience possède cette fois 216 issues (63 = 216). On peut obtenir 14 ainsi :• 6 + 6 + 2 : 3 issues• 6 + 5 + 3 : 6 issues• 6 + 4 + 4 : 3 issues• 5 + 5 + 4 : 3 issues

La probabilité que la somme soit égale à 14 est donc15

216, soit

572

.

Correction 83 1. La probabilité que les deux boules soient de même couleur est :(39

)2+(39

)2+(39

)2= 3× 1

9=

13

.



2. On en déduit que la probabilité que les deux boules soient de couleurs différentes vaut23

.

Correction 84

Un arbre montre que le nombre d’issues est 10× 10× 3.Il y a donc 300 codes possibles.

Il y a autant de codes terminant par A que par B ou par C. Donc la probabilité que le code finisse par Aest 1/3.

Il y a 30 codes commençant par 0. Parmi ceux qui ne commencent pas par 0, il y en a 27 (3×9) qui ont 0en 2e chiffre.La probabilité que le code contienne le chiffre 0 est donc 57/300, soit 19%.


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21 juin 2016 version 1 - vincek.frama.io · Livret d’exercices Math 9 Exercice 10 Une entreprise doit fabriquer un socle pour un trophée. Le socle est obtenu à partir d’un parallélépipède