1

21. Térgeometria

I. Elméleti összefoglaló Térelemek:

A pont, az egyenes és a sík fogalmát nem definiáljuk, alapfogalomnak tekintjük.

Térelemek kölcsönös helyzete

Két egyenes metsző, ha egy közös pontjuk van. Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk. Két egyenes kitérő, ha nincsenek egy síkban. Egy egyenes illeszkedik egy síkra, ha minden pontja a síkon van. Egy egyenes metsz egy síkot, ha egy közös pontjuk van. Egy egyenes párhuzamos a síkkal, ha nincs közös pontjuk. Két sík metszi egymást, ha a két síknak van közös pontja. Ekkor a közös pontok egy

egyenesre, a két sík metszésvonalára illeszkednek. Két sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk.

Síkra merőleges egyenes tétele:

Ha egy egyenes merőleges egy sík két nem párhuzamos egyenesére, akkor merőleges a sík minden egyenesére.

Térelemek hajlásszöge

Két metsző egyenes hajlásszöge a két egyenes által meghatározott két-két egyenlő szög közül a nem nagyobbik. Két párhuzamos egyenes szöge 0°.

Két kitérő egyenes szögét a tér egy tetszőleges pontján át az egyenesekkel húzott párhuzamosok szögével határozzuk meg.

Egy egyenes merőleges egy síkra, ha merőleges a sík minden egyenesére. A síkra merőleges egyenes tétele alapján elegendő belátni, hogy az egyenes a sík két nem párhuzamos egyenesére merőleges.

Ha egy egyenes metsz egy síkot, de nem merőleges rá, akkor az egyenest a síkra merőlegesen vetítve egy egyenest kapunk. Az egyenes és a sík hajlásszöge az egyenesnek a merőleges vetületével alkotott szöge.

2

Ha egy egyenes párhuzamos egy síkkal, akkor az egyenes és a sík szöge 0°. Két metsző sík hajlásszögének meghatározása: A két sík metszésvonalának egy tetszőleges

pontjában merőlegest állítunk a metszésvonalra mindkét síkban. Ennek a két egyenesnek a szögét nevezzük a két sík szögének.

Párhuzamos síkok szöge 0°.

Térelemek távolsága

Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza. Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre állított merőleges szakasz hossza. Pont és sík távolsága a pontból a síkra állított merőleges szakasz hossza. Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes egyik pontjának a másik egyenestől mért

távolsága. Párhuzamos egyenes és sík távolsága az egyenes egyik pontjának a síktól mért távolsága. Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík egyik pontjának a másik síktól mért távolsága. Két kitérő egyeneshez egyértelműen létezik két párhuzamos sík, amelyekre az egyik illetve a

másik egyenes illeszkedik. A két kitérő egyenes távolsága ennek a két párhuzamos síknak a távolságával egyenlő. Megmutatható, hogy van olyan szakasz, amely összeköti a két kitérő egyenest és mindkettőre merőleges. Ezt a két kitérő egyenes normáltranszverzálisának nevezzük, ennek a hossza egyenlő a két egyenes távolságával.

3

Három egymásra merőleges egyenes tétele

Ha egy 푃 pontból merőlegest állítunk a 푃 pontot nem tartalmazó 푆 síkra és a sík egy 푒 egyenesére, akkor a két talppontot összekötő egyenes merőleges az 푒 egyenesre.

Síkidomok vetületének területe

Az 푆 síkban lévő sokszöget merőlegesen vetítjük az 푆 síkra. Ha a két sík által bezárt szög 훼, a sokszög területe 푇 , akkor a vetület területe 푇 = 푇 ∙ cos훼.

Nevezetes ponthalmazok a térben:

Azoknak a pontoknak a halmaza a térben, amelyek egy adott ponttól adott távolságra vannak egy gömbfelület.

Azoknak a pontoknak a halmaza a térben, amelyek egy adott egyenestől adott távolságra vannak egy hengerfelület.

Két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben a szakasz felezőmerőleges síkja.

Euler-féle poliédertétel

Ha egy konvex poliéder csúcsainak a számát 푐-vel, éleinek a számát 푒-vel, lapjainak a számát 푙-lel jelöljük, akkor

푐 + 푙 = 푒 + 2. (Ez az összefüggés a poliéderek tágabb körére, az egyszerű poliéderekre is igaz. Egy poliédert egyszerűnek nevezünk, ha „gömbbé fújható fel.”)

Szabályos poliéderek

Szabályos poliédereknek nevezzük azokat a konvex poliédereket, amelyeknek élei egyenlők, élszögei egyenlők és lapszögei is egyenlők.

A definícióból következik, hogy a szabályos poliéderek lapjai szabályos sokszögek. Ötféle szabályos poliéder létezik: a szabályos tetraéder, a kocka, az oktaéder, a dodekaéder és az ikozaéder.

4

Térbeli Pitagorasz-tétel

Ha egy téglatest egymásra páronként merőleges éleinek a hossza 푎, 푏, 푐, akkor az 푒 testátló hosszára teljesül:

푒 = 푎 + 푏 + 푐 .

Testek felszíne, térfogata

A felszínt 퐴-val, a térfogatot 푉-vel jelöljük.

kocka

퐴 = 6 ∙ 푎

푉 = 푎

téglatest

퐴 = 2(푎푏 + 푏푐 + 푐푎)

푉 = 푎푏푐

5

egyenes hasáb

Az alaplap területe 푇, az alaplap kerülete 푘, a magasság 푚.

퐴 = 2푇 + 푘푚

푉 = 푇푚

ferde hasáb

Az alaplap területe 푇, a magasság m, az oldallapok területének összege, a palást 푃.

퐴 = 2푇 + 푃

푉 = 푇푚

gúla

Az alaplap területe 푇, a magasság m, az oldallapok területének összege, a palást 푃.

퐴 = 푇 + 푃

푉 =푇푚3

6

csonkagúla

Az alaplap területe 푇, a fedőlap területe 푡, a magasság 푚, az oldallapok területének összege, a palást 푃.

퐴 = 푇 + 푡 + 푃

푉 =푚(푇 + √푇푡 + 푡)

3

egyenes körhenger

Az alapkör sugara 푟, a magasság 푚.

퐴 = 2휋푟(푟 +푚)

푉 = 푟 휋푚

egyenes kúp

Az alapkör sugara 푟, a magasság 푚, az alkotó 푎.

퐴 = 휋푟(푟 + 푎)

푉 =휋푟 푚3

csonkakúp

Az alapkör sugara 푅, a fedőlap sugara 푟, az alkotó푎, a magasság 푚.

퐴 = 휋[푅 + 푟 + 푎(푅 + 푟)]

푉 =휋푚3(푅 + 푅푟 + 푟 )

7

gömb

Sugár: 푟.

퐴 = 4휋푟

푉 =4휋푟3

A térbeli geometriai transzformációkkal a 11. témakörben foglalkozunk. Ebben a témakörben az egybevágóság és a hasonlóság fogalmát, tulajdonságait használjuk fel:

Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi. Egybevágó alakzatok megfelelő szakaszai, szögei egyenlők.

Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi. Hasonló alakzatok megfelelő szögei egyenlők és a megfelelő szakaszok aránya egyenlő.

Tétel:

Hasonló testek felszínének aránya egyenlő a hasonlóság arányának a négyzetével. Hasonló testek térfogatának aránya egyenlő a hasonlóság arányának a köbével.

8

II. Kidolgozott feladatok 1. Hány részre osztja a teret a kocka lapjainak hat síkja?

Megoldás:

A kocka belsejében van 1 térrész. A kocka minden lapjához csatlakozik egy tartomány, ilyenből 6 darab van. Az élekhez csatlakozó tartományok száma 12, a csúcsoknál pedig 8 darab térrész számolható meg. Tehát összesen 27 részre osztják a teret a kocka lapsíkjai.

2. Egy konvex testet 8 háromszög és 6 nyolcszög határol. Hány éle és hány csúcsa van ennek a testnek?

Megoldás:

A 8 háromszögnek és a 6 nyolcszögnek összesen 8 ∙ 3 + 6 ∙ 8 = 72 éle van. Minden élt két lapnál vettünk számításba, ezért az élek száma ennek fele, 36. Alkalmazhatjuk az Euler-féle poliédertételt (푐 + 푙 = 푒 + 2):

푙 = 14; 푒 = 36 ⇒ 푐 = 24.Tehát a testnek 24 csúcsa van. Ilyen test valóban létezik, ha például egy kocka csúcsainál levágunk egy-egy kis tetraédert, akkor egy ilyen poliédert kapunk.

3. Határozzuk meg az 푎 élű kocka csúcsainak a kocka egyik testátlójától való távolságát!

Megoldás:

A 퐵 és 퐻 csúcsok rajta vannak a 퐵퐻 testátlón, ezért ezeknek a pontoknak az átlótól mért távolsága 0. Az 퐴 pontot és a 퐵퐻 átlót befoglaljuk az 퐴퐵퐻 háromszögbe. Az 퐴 pont és a testátló távolsága a

9

testátlóra merőleges 퐴푇 szakasz hossza. 퐴퐵 merőleges az 퐴퐷퐻퐸 oldalra, ezért merőleges az oldal síkjának minden egyenesére, ezért 퐵퐴퐻∡ = 90°. Az 퐴퐵퐻 derékszögű háromszög területét kétféle módon felírva ki tudjuk számítani az 퐴푇 szakasz hosszát. Az 푎 oldalú kocka lapátlója 퐴퐻 = 푎√2, a testátlója 퐵퐻 = 푎√3.

푇(퐴퐵퐻) =푎 ∙ 푎√22

=퐴푇 ∙ 푎√3

2⇒ 퐴푇 =

푎√2√3

=푎√63.

A kocka többi csúcsa ezzel egybevágó háromszögbe foglalható be, ezért azok is ilyen távolságra vannak a testátlótól.

4. Húzzuk meg egy téglatest egyik testátlóját. A testátló az élekkel 훼, 훽, 훾 szögeket zár be. Bizonyítsuk be, hogy cos 훼 + cos 훽 + cos 훾 = 1!

Megoldás:

Az 훼, 훽, 훾 szögeket az ábra szerint derékszögű háromszögekbe tudjuk foglalni és a szögfügg-vényeket a megfelelő oldalakkal kifejezzük:

cos 훼 + cos 훽 + cos 훾 =푎푒

+푏푒

+푐푒

.

Az így kapott kifejezést átalakítjuk és felhasználjuk a térbeli Pitagorasz-tételt

푎푒

+푏푒

+푐푒

=푎 + 푏 + 푐

푒=푒푒

= 1.

Ezzel a feladat állítását beláttuk.

5. Az 푎 egyenes az 푆 síkkal 30°-os szöget zár be. Húzzunk az 푆 síkban az 푎 egyenes talppontján (az 푎 egyenes és az 푆 sík metszéspontján) át az 푎 egyenes merőleges vetületével 60°-os szöget bezáró 푏 egyenest. Határozzuk meg az 푎 és 푏 egyenesek szögét!

Megoldás:

Az 푎 egyenes az 푆 síkot a 푇 pontban metszi. Az 푎 egyenesen felveszünk egy 퐴 pontot és merőlegesen vetítjük az 푆 síkra, a merőleges talppontja 퐴 . Az 퐴 pontból merőlegest bocsátunk a 푏 egyenesre, a merőleges talppontja a 퐵 pont. A három merőleges egyenes tétele alapján 퐴 퐵 merőleges 푏-re. A feladat szerint 훼 = 30°, 훽 = 60°. Szögfüggvények használatával:

10

푇퐴 = 퐴푇 ∙ cos 30° = 퐴푇 ∙√32

퐵푇 = 푇퐴 ∙ cos 60° = 퐴푇 ∙√32∙12

cos(퐴푇퐵∡) =퐵푇퐴푇

=√32∙12=√34⇒ 퐴푇퐵∡ = 64,34°,

így az 푎és 푏 egyenesek szöge 64,34°.

6. Bizonyítsuk be, hogy egy szabályos tetraéder éleinek felezőpontjai egy szabályos oktaéder csúcspontjai!

Megoldás:

Az 퐴퐵퐷 háromszögben az 퐸퐻 szakasz középvonal, ezért hossza a tetraéder élének felével egyenlő. Ugyanez belátható a keletkezett test minden éléről. Így egy olyan test keletkezett, amelyet 8 darab szabályos háromszög határol, egy csúcsban négy ilyen háromszög csatlakozik. Ez a test valóban szabályos oktaéder.

Megjegyzés: Megmutatható, hogy a szabályos oktaéder éleinek felezőpontjai kockát alkotnak.

11

7. Egy szabályos háromszög alapú hasáb alapéle 12 cm. A palást területe az alaplap területének az ötszöröse. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata?

Megoldás:

Az alaplap egy 12푐푚 oldalú szabályos háromszög, ezért a

területe 푇 = √ = 36√3(푐푚 ). A palást három téglalapból áll, így a területe 푃 = 3 ∙ 12 ∙ 푚 = 36 ∙ 푚. A feladat szerint:

36 ∙ √3 ∙ 5 = 36 ∙ 푚 ⇒ 푚 = 5√3푐푚.

Ezekkel az adatokkal:

퐴 = 2 ∙ 36√3 + 36 ∙ 5√3 = 192√3(푐푚 ),

푉 = 36 ∙ √3 ∙ 5√3 = 540(푐푚 ).

8. Egy egyenes háromoldalú hasáb alapélei 푎 = 3푐푚, 푏 = 4푐푚, 푐 = 5푐푚. A hasábot úgy metsszük el egy síkkal, hogy a metszet egyenlő oldalú háromszög legyen. Mekkora ennek a szabályos háromszögnek az oldala?

Megoldás:

A metszet egyik csúcsa legyen a hasáb 퐴 csúcsa, a másik két csúcs 퐵-től 푝, 퐶-től 푞 távolságra van. A szabályos háromszög ismeretlen oldalát 푥-szel jelöljük. A Pitagorasz-tétel alapján:

푥 = 푐 + 푝 (1)

푥 = 푏 + 푞 (2)

푥 = 푎 + (푞 − 푝) (3)

Ebben az egyenletrendszerben 푥, 푝és 푞 az ismeretlen.

A (3) egyenletet átrendezzük, (1)-et és (2)-t felhasználjuk:

푥 = 푎 + 푞 − 2푝푞 + 푝 = 푎 + 푥 − 푏 − 2푝푞 + 푥 −푐

2푝푞 = 푥 +푎 − 푏 −푐

4푝 푞 = 4(푥 −푐 )(푥 − 푏 ) = (푥 +푎 − 푏 −푐 )

Behelyettesítjük 푎, 푏, 푐 értékét és rendezzük az egyenletet:

3푥 − 100푥 + 576 = 0.

Az 푥 -ben másodfokú egyenletet megoldva:

푥 = 25,93vagy7,41.

12

Az 푥 legalább 5, ezért 푥 = 25,93=5,09 (cm).

9. Bizonyítsuk be, hogy a tetraéder éleit merőlegesen felező síkok egy ponton mennek át, és ez a pont a tetraéder köré írható gömb középpontja!

Megoldás:

Az 퐴퐵 élt merőlegesen felezi az 푆 sík, a 퐵퐶 élt az 푆 sík. 퐴퐵 és 퐵퐶 nem párhuzamos, ezért 푆 és 푆 sem párhuzamos, tehát metszik egymást. A két sík metszésvonala az 푚 egyenes. Az 푆 sík minden pontja egyenlő távol van az 퐴 és 퐵 ponttól, az 푆 sík minden pontja pedig a 퐵 és 퐶 ponttól van egyenlő távol. Ezért az 푚 egyenes minden pontja az 퐴, 퐵, 퐶 pontoktól egyenlő távol van. Legyen az 푆 sík a 퐶퐷 szakaszfelező merőleges síkja. Az 푚 egyenes merőleges az 퐴퐵퐶 síkra, de 푆 nem, ezért az 푆 sík metszi az 푚 egyenest. A közös pontot jelöljük 푂-val. 푂퐶 = 푂퐷, mert 푂 az 푆 sík egy pontja, 푂퐴 = 푂퐵 = 푂퐶, mert 푂 rajta van az 푚 egyenesen. Ezért az 푂pont egyenlő távol van a tetraéder mindegyik csúcsától. Ebből következik, hogy minden él felező merőleges síkja tartalmazza ezt a pontot, tehát ezek a síkok egy ponton mennek át. Az 푂középpontú, 푂퐴 sugarú gömb átmegy a többi csúcson is, így 푂 a körülírt gömb középpontja.

10. Bizonyítsuk be, hogy a szabályos tetraéder valamely belső pontjának az oldalaktól mért távolságait összegezve a test magasságával egyenlő értéket kapunk!

Megoldás:

Legyen 푇 a tetraéder egy lapjának területe, 푚 a tetraéder magassága. Jelölje az adott 푃 belső pont távolságát a tetraéder négy oldallapjától: 푥, 푦, 푧, 푣. Ha a 푃 pontot összekötjük a tetraéder csúcsaival, akkor az eredeti tetraédert 4 kisebb tetraéderre bontjuk. Ezek térfogatának összege a szabályos tetraéder térfogatával egyenlő:

푇푚3

=푇푥3+푇푦3+푇푧3+푇푣3

Ebből megkapjuk a feladat állítását: 푚 = 푥 + 푦 + 푧 + 푣.

13

11. Az 퐴퐵퐶퐷퐸 szabályos négyoldalú gúla alapja az 퐴퐵퐶퐷 négyzet. A gúla alapéle 28 egység hosszú. Legyen 퐹 a 퐶퐸 oldalélnek, 퐺 pedig a 퐷퐸 oldalélnek a felezőpontja. Az 퐴퐵퐹퐺 négyszög területe 504 területegység. Milyen hosszú a gúla oldaléle? (Emelt szintű érettségi vizsga, 2008. október)

Megoldás:

A 퐷퐶퐸 háromszögben 퐺퐹 középvonal, tehát 퐺퐹 = 14 és 퐺퐹 párhuzamos 퐷퐶-vel, így 퐴퐵-vel is. Ezek alapján az 퐴퐵퐹퐺 négyszög trapéz, a két alap 퐴퐵 és 퐺퐹, a magasság pedig az ábra szerinti 퐹푇 szakasz. A trapéz területét kifejezve:

504 =28 + 14

2∙ 퐹푇 ⇒ 퐹푇 = 24.

퐴퐵퐹퐺 szimmetrikus trapéz, ezért 퐵푇 = 7. Pitagorasz-tétel segítségével kiszámítjuk 퐵퐹 hosszát: 퐵퐹 = 24 + 7 ⇒ 퐵퐹 = 25.

A 퐵퐶퐸 háromszög egyenlő szárú, ezért az 푀 pont a 퐵퐶szakasz 퐶-hez közelebbi negyedelő pontja. Így 퐵푀 = 21 és 푀퐶 = 7. Két Pitagorasz-tétel alapján:

푥 = 25 − 21 é푠푎2

= 푥 + 7 = 25 − 21 + 7 = 233 푎2= √233 ≈ 15,26 ⇒ 푎 = 2 ∙ √233 ≈ 30,52.

A gúla oldaléle 30,52 egység hosszú.

14

12. Szabályos csonkagúla alaplapjai 푎 és 푏 oldalú négyzetek. A négy oldallap területének összege megegyezik a két alaplap területének összegével. Számítsuk ki a csonkagúla magasságát!

Megoldás:

A feladat feltételei szerint:

푎 + 푏 = 4 ∙(푎 + 푏)푚

2,

tehát

푚 =푎 + 푏2(푎 + 푏)

.

Az ábra szerint vesszük a 퐵퐶, 퐹퐺, 퐸퐻, 퐴퐷 élek felezőpontját. Ezek a pontok egy szimmetrikus trapézt határoznak meg, amelyben az 푅푀 szakasz egyben a csonkagúla magassága is.

푀푄 =푎 − 푏2

Pitagorasz tétele alapján

푚 = 푚 −푀푄 =푎 + 푏2(푎 + 푏)

−푎 − 푏2

,

푚 =(푎 + 푏 ) − (푎 + 푏)(푎 − 푏)

4(푎 + 푏)=

4푎 푏4(푎 + 푏)

=푎 푏

(푎 + 푏).

Így

푚 =푎푏푎 + 푏

.

13. Egy 20 cm és 30 cm oldalú téglalapot kétféleképpen csavarhatunk hengerré. Hogyan aránylik

egymáshoz ennek a két hengernek a térfogata?

Megoldás:

Ha a téglalap oldalai 푎 és 푏 és az 푎 oldalt tekerjük össze, akkor az 푎 oldal a henger alapkörének a kerülete lesz, ezért az alapkör sugara 푟 = , a magassága 푏. Ezekkel az adatokkal a henger

térfogata 푉 = 휋 ∙ 푏. Ha a 푏 oldalt tekerjük össze, akkor a térfogat 푉 = 휋 ∙ 푎. A térfogatok aránya:

푉푉=푎 푏푏 푎

=푎푏=23.

15

14. Mekkora a forgáskúp kiterített palástjának a szöge, ha az alkotója 13 cm, magassága 12 cm?

Megoldás:

Pitagorasz-tétel segítségével kiszámítjuk az alaplap sugarát:

푟 = 푎 −푚 = √169 − 144 = 5.

A kiterített palást olyan körcikk, amelynek a határoló köríve a kúp alapkörének kerülete, ezért:

2푟휋 =휑

360°∙ 2푎휋 ⇒ 휑 =

푟푎∙ 360° =

513

∙ 360° ≈ 138,46°.

A kiterített palást nyílásszöge 138,46°.

15. Egy vízszintesen fekvő forgáshenger alakú tartály átmérője és magassága is 1 m. A tartályban 15 cm magasan áll a víz. Milyen magasan lesz a hengerben a víz, ha a tartályt felállítjuk?

Megoldás:

A víz egy olyan hengerszerű testet alkot, amelynek az alapterülete egy körszelet. Az ábra szerinti 휑 szöget szögfüggvénnyel számoljuk ki:

cos 휑 =3550

= 0,7 ⇒ 휑 = 45,57°.

16

Az 퐴퐶퐵 ív által határolt körszelet területe:

푇 =2휑360°

∙ 50 휋 −50 ∙ sin 2휑

2= 738,61(푐푚 ).

A víz térfogata:

푉 = 푇 ∙ 푚 = 738,61 ∙ 100 = 73861(푐푚 )

Ha felállítjuk a tartályt, akkor a víz egy olyan hengert alkot, amelynek alaplapja az 1m átmérőjű körlap. Ennek a hengernek a magassága:

푉푟 휋

=7386150 휋

= 9,40(푐푚)

A felállított tartályban 9,4 cm magas lesz a víz.

16. Mekkora a gömb térfogata, ha a gömbbe írható egy olyan egyenes körkúp, amelynek az alkotója 25 cm és alapkörének sugara 15 cm?

Megoldás:

Az ábrán a kúp tengelyére illesztett síkmetszet látható. A kúp magasságát Pitagorasz-tétel segítségével meghatározva 퐶퐹 = 20푐푚. A gömb sugarát 푅-rel jelölve az 퐴퐹푂 derékszögű háromszög oldalai: 퐴푂 = 푅, 푂퐹 = 20 − 푅, 퐴퐹 = 15. Pitagorasz tétele alapján:

푅 = (20 − 푅) + 15

푅 = 400 − 40푅 + 푅 + 225 ⇒ 푅 = 15,625푐푚.

A gömb térfogata:

푉 =4푅 휋3

= 15979푐푚 .

17

III. Ajánlott feladatok 1. Adott a térben 10 egyenes és rajtuk kívül 7 pont. Legfeljebb hány olyan sík van, amely pontosan

egy adott egyenest és egy adott pontot tartalmaz?

2. Adott két metsző sík és egy rájuk nem illeszkedő pont. Állítsunk a pontból a síkokra merőleges egyeneseket. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjait összekötő egyenes merőleges a két sík metszésvonalára!

3. Egy téglatest egyik csúcsából induló három élének összege 42 cm, testátlója 27 cm. Határozzuk meg a téglatest felszínét!

4. Mekkora a téglatest egy élének és egy hozzá képest kitérő testátlójának a távolsága, ha a téglatest éleinek hossza 12 cm, 8 cm, 5 cm!

5. Egy paralelepipedon oldalai egybevágó rombuszok. A rombuszok oldalai 12 cm hosszúak és szögük 60°. Számítsuk ki a paralelepipedon felszínét és térfogatát!

6. Egy gúlának az alaplapja szabályos háromszög, oldallapjai egyenlő szárú, egybevágó háromszögek, amelyeknek a területe az alaplap területének a - szorosa. Mekkora az oldallapoknak az alaplappal bezárt szöge?

7. Bizonyítsuk be, hogy ha egy tetraéder lapjai egybevágók, akkor a súlypontja és a köré írt gömb középpontja egybeesik! (OKTV 1967. 2.forduló)

8. Legyen egy tetraéderbe írt gömb sugara 푟, a tetraéder magasságai 푚 ,푚 ,푚 ,푚 . Bizonyítsuk be, hogy = + + + !

9. Egy 15 cm magas négyzet alapú csonkagúla alaplapjának éle 25 cm. Az oldallapok 70°-os szöget zárnak be az alaplappal. Határozzuk meg a felszínét és a térfogatát!

10. Egy egyenes körhenger felszíne 32000 cm2, az alaplap sugarának és a magasságnak az aránya 5:12. Mekkora a henger térfogata?

11. Kocka alakú házunkra olyan, két egyenlőszárú háromszögből és két szimmetrikus trapézból álló háztetőt készítünk, melynek élei egyenlőek, és bármely két szomszédos lapja ugyanakkora szöget zár be egymással. Hányszorosa a háztető éle a kocka élének? (KÖMAL 2010/3.szám; B.4261)

12. Egy egyenes körkúp kiterített palástjának a területe 푡. A kiterített palást középponti szöge 120°. Mekkora a kúp térfogata?

13. Egy gömb két párhuzamos, egymástól 6 cm távolságra lévő metszősíkja a gömböt 20 cm, illetve 25 cm sugarú körökben metszi. Mekkora a gömb sugara?

14. Egymást kívülről érintő két gömb sugara 5 cm és 8 cm. Vegyünk egy kúpot, amely mindkét gömböt érinti. Mekkora a kúp palástjának az a része, amelyik a két érintkező kör között van?

15. Egy tetraéder egy csúcsából kiinduló 푎, 푏, 푐 élei páronként merőlegesek egymásra. Határozzuk meg a körülírt és a beírt gömb sugarát!

18

Az ajánlott feladatok megoldásai 1. Adott a térben 10 egyenes és rajtuk kívül 7 pont. Legfeljebb hány olyan sík van, amely pontosan

egy adott egyenest és egy adott pontot tartalmaz?

Megoldás:

Az egyenesek közül egyet 10-féle módon, a pontok közül egyet 7-féle módon választhatunk ki. Ez 10 ∙ 7 = 70 választási lehetőség. Egy egyenesre és egy rá nem illeszkedő pontra egy sík illeszkedik. Ha ezek között van azonos sík, akkor ennél kevesebb síkot kapunk.

2. Adott két metsző sík és egy rájuk nem illeszkedő pont. Állítsunk a pontból a síkokra merőleges egyeneseket. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjait összekötő egyenes merőleges a két sík metszésvonalára!

Megoldás:

Az 푆 és 푆 sík metszésvonala az 푒 egyenes. A 푃 pontból a síkokra bocsátott merőlegesek talppontjai a 푇 és 푇 pontok. 푃푇 merőleges az 푆 síkra, ezért a sík minden egyenesére is, így 푃푇 ⊥ 푒. Hasonlóan 푃푇 ⊥ 푒. Az 푒 egyenes merőleges a 푃푇 푇 sík két nem párhuzamos egyenesére, ezért a metszésvonal a síkra merőleges egyenes tételének alapján merőleges a 푃푇 푇 sík minden egyenesére . Ebből következik, hogy az 푒 metszésvonal merőleges 푇 푇 -re.

3. Egy téglatest egyik csúcsából induló három élének összege 42 cm, testátlója 27 cm. Határozzuk meg a téglatest felszínét!

Megoldás:

Ha a téglatest éleit 푎, 푏, 푐 vel jelöljük, akkor 푎 + 푏 + 푐 = 42. Ezt négyzetre emelve:

푎 + 푏 + 푐 + 2푎푏 + 2푎푐 + 2푏푐 = 1764.

A térbeli Pitagorasz-tétel alapján:

푎 + 푏 + 푐 = 27 = 729.

Ezek alapján a téglatest felszíne:

퐴 = 2푎푏 + 2푎푐 + 2푏푐 = 1035(푐푚 ).

4. Mekkora a téglatest egy élének és egy hozzá képest kitérő testátlójának a távolsága, ha a téglatest éleinek hossza 12 cm, 8 cm, 5 cm!

19

Megoldás:

Az 퐴퐸 él és a 퐵퐻 átló kitérő, ezek távolságát határozzuk meg. 퐴퐸 ∥ 퐷퐻, ezért a kitérő egyenesek távolsága egyenlő az퐴퐸 él és a 퐵퐹퐻퐷 átlósík távolságával. Ez a távolság az 퐸퐹퐻 háromszögben a 퐻퐹 oldalhoz tartozó magassággal adható meg, mert az 퐸퐹퐺퐻sík merőleges a 퐵퐹퐻퐷 síkra. Az 퐸퐹퐻 háromszög területét kétféle módon kiszámítva megkapjuk ezt a távolságot.

퐻퐹 = √8 + 12 = √208.2 ∙ 푇(퐸퐹퐻) = 12 ∙ 8 = √208 ∙ 퐸푇, így:

퐸푇 =12 ∙ 8√208

=96√208

≈ 6,66(푐푚).

Az ábráról leolvasható a normáltranzverzális (푆퐾) meghatározásának módja is.

Hasonló módon határozható meg a 12푐푚-es él, illetve a 8푐푚-es él távolsága a megfelelő

testátlótól. √

illetve

5. Egy paralelepipedon oldalai egybevágó rombuszok. A rombuszok oldalai 12 cm hosszúak és a szögük 60°. Számítsuk ki a paralelepipedon felszínét és térfogatát!

Megoldás:

A paralelogramma felszíne 6 rombuszból áll, ezért

퐴 = 6 ∙ 12 ∙ 12 ∙ sin60° = 432 ∙ √3 ≈ 748,25(푐푚 ).

20

A térfogat kiszámításához meg kell határoznunk a paralelepipedon magasságát. Az 퐸 pontból merőlegest bocsátunk az 퐴퐵퐶퐷 lapra, így megkapjuk a hasáb 퐸M magasságát. Ha az 퐸 pontból merőlegest bocsátunk az 퐴퐷-re, akkor a három merőleges tétele alapján 푇M is merőleges az 퐴퐷 élre. Az oldallapok egybevágó rombuszok, ezért az alaplapon a 퐵 csúcsból induló magasság talppontja is a 푇 pont lesz. Ezzel az 퐸푀 magasságot befoglaltuk az 퐸푇퐵 háromszögbe. Az 퐴퐵퐸 háromszög szabályos, az 퐴푇퐵 és az 퐴푇퐸 háromszögek pedig 60°-os derékszögű háromszögek, így

퐸퐵 = 12푐푚.

퐸푇 = 퐵푇 = 퐴퐸 ∙ sin 60° = 12 ∙ √ = 6 ∙ √3(푐푚).

A 푇퐵푃 derékszögű háromszögből sin =√= √ . Ebből cos = √ ; sin휑 = 2 sin ∙ cos =

= 2 ∙ √ ∙ √ = √ .

A 푇푀퐸 háromszögből 퐸푀 = 6√3 ∙ sin휑 =6√3 ∙ √ = 4 ∙ √6.

A hasáb térfogata:

푉 = 12 ∙ 12 ∙√32∙ 4 ∙ √6 = 864√2 ≈ 1221,9푐푚 .

6. Egy gúlának az alaplapja szabályos háromszög, oldallapjai egyenlő szárú, egybevágó háromszögek, amelyeknek a területe az alaplap területének a - szorosa. Mekkora az oldallapoknak az alaplappal bezárt szöge?

Megoldás:

Ha az oldallapok az alaplappal 휑 szöget zárnak be, akkor az oldallapok vetületének területe az eredeti terület cos 휑 szerese lesz. A gúla csúcsának vetülete az alaplap középpontjába esik. Az alaplap területét jelöljük 푇-vel, ekkor a 푇 terület vetülete 푇 lesz, tehát cos 휑 = 0,5; 휑 = 60°.

Az oldallapok az alaplap síkjával 60°-os szöget zárnak be.

7. Bizonyítsuk be, hogy ha egy tetraéder lapjai egybevágók, akkor a súlypontja és a köré írt gömb középpontja egybeesik! (OKTV 1967. 2.forduló)

21

Megoldás:

A tetraéder lapjai csak úgy lehetnek egybevágóak, ha a szemben lévő élek egyenlőek. A súlypont a súlyvonalak metszéspontja. A 퐵퐶 oldal felezőpontja 퐹. A 퐵퐶퐷 lap súlypontja 푆 , az 퐴퐵퐶 lap súlypontja 푆 , a tetraéder súlypontja az 퐴푆 és 퐷푆 súlyvonalak 푆 metszéspontja. A tetraéder lapjai egybevágóak, ezért a lapok megfelelő súlyvonalai is egyenlők: 퐴퐹 = 퐷퐹, az 퐴퐹퐷 háromszög egyenlő szárú. A szimmetria miatt 퐴푆 = 퐷푆. Tehát az S pont egyenlő távol van a tetraéder két csúcsától. Ugyanilyen módon látható be, hogy mindegyik csúcsától egyenlő távol van. Ezzel beláttuk, hogy az 푆 pont egyben a tetraéder köré írt gömb középpontja is.

8. Legyen egy tetraéderbe írt gömb sugara 푟, a tetraéder magasságai 푚 ,푚 ,푚 ,푚 . Bizonyítsuk be, hogy = + + + !

Megoldás:

A tetraéder lapjainak területét jelöljük 푇 , 푇 , 푇 , 푇 -gyel, az ezekhez tartozó magasságok 푚 ,푚 ,푚 ,푚 . Ha a tetraéderbe írt gömb 푂 középpontját összekötjük a csúcsokkal, akkor a tetraédert 4 kisebb tetraéderre bontjuk, amelyeknek az egyik magassága 푟. A tetraéder térfogata:

22

푉 =(푇 +푇 + 푇 + 푇 ) ∙ 푟

3=푇 푚3

=푇 푚3

=푇 푚3

=푇 푚3

.

Ebből átrendezve megkapjuk a bizonyítandó állítást: 1푟=푇 +푇 + 푇 + 푇

3푉=푇3푉

+푇3푉

+푇3푉

+푇3푉

=1푚

+1푚

+1푚

+1푚

.

9. Egy 15 cm magas négyzet alapú csonkagúla alaplapjának éle 25 cm. Az oldallapok 70°-os szöget zárnak be az alaplappal. Határozzuk meg a felszínét és a térfogatát!

Megoldás:

A csonkagúlát az ábra szerint a tengelyén átmenő, élek felezőpontjára illeszkedő síkkal elmetsszük. A metszet az 퐿퐾퐽퐼 szimmetrikus trapéz. 푁퐾 = 15 ∙ 푐푡푔70° ≈ 5,46푐푚.Ezt felhasználva a fedőlap élének a hossza 퐸퐹 = 퐼퐽 = 25 − 2 ∙ 푁퐾 = 14,08푐푚. 퐽퐾 = 15: sin70° ≈ 15,96푐푚 az oldallap magassága. Ezekkel az adatokkal számolva a felszín és a térfogat:

퐴 = 25 + 14,08 + 4 ∙(25 + 14,08) ∙ 15,96

2≈ 2070,68푐푚 ;

푉 =153(25 + 25 ∙ 14.08 + 14,08 ) ≈ 5876,23푐푚 .

10. Egy egyenes körhenger felszíne 32000 cm2, az alaplap sugarának és a magasságnak az aránya 5:12. Mekkora a henger térfogata?

Megoldás:

Jelöljük a henger alapkörének sugarát 푟 = 5푥-el, a magasságát 푚 = 12푥-el. A felszínt kifejezzük:

퐴 = 2푟 ∙ 휋 + 2푟휋푚 = 50푥 휋 + 120푥 휋 = 170푥 휋 = 32000.

푥 = 7,74

푟 = 38,7푐푚;푚 = 92,88푐푚.

A henger térfogata:

푉 = 푟 휋 ∙ 푚 = 437012푐푚 .

11. Kocka alakú házunkra olyan, két egyenlőszárú háromszögből és két szimmetrikus trapézból álló háztetőt készítünk, melynek élei egyenlőek, és bármely két szomszédos lapja ugyanakkora szöget zár be egymással. Hányszorosa a háztető éle a kocka élének? (KÖMAL 2010/3.szám; B.4261)

23

Megoldás:

A kocka élének hossza 푎, a tető éle 푏 hosszúságú. A tető élei egyenlőek és a lapok azonos szöget zárnak be, ezért az 퐼퐹퐺퐽 tetraéder 퐹퐺퐽; 퐼퐹퐽; 퐼퐺퐽 lapjai egybevágóak, tehát 퐼퐹 = 퐹퐺 = 퐺퐼 = 푎.

Az 퐸퐹퐽퐼 szimetrikus trapézban berajzoljuk az 퐼푇 magasságot. Ekkor 퐸푇 = és 푇퐹 = . A magasságot Pitagorasz-tétel segítségével kétféle módon kifejezzük:

푚 = 푏 −푎 − 푏2

= 푎 −푎 + 푏2

.

Átrendezve: 푏 + 푎푏 − 푎 = 0

푏푎

+푏푎− 1 = 0

Ennek a másodfokú egyenletnek a pozitív gyöke:

푏푎=−1 + √5

2≈ 0,618.

Ez az arány éppen az aranymetszés aránya.

24

12. Egy egyenes körkúp kiterített palástjának a területe 푡. A kiterített palást középponti szöge 120°. Mekkora a kúp térfogata?

Megoldás:

A feltételek szerint 푡 = 푟휋푎 és 2푟휋 = . Így 푟 = és 푡 = 휋푎, amiből 푎 meghatározható:

푎 = . A kúp tengelymetszetéből Pitagorasz-tétellel meghatározható a magasság:

푚 = 푎 −푎9=2√23

푎,

ennek felhasználásával a kúp térfogata:

푉 =푟 휋푚3

=푎9 ∙ 2√23 푎휋

3=2√281

푎 휋 =2√281

∙3푡휋

3푡휋. 휋 =

2푡27

∙6푡휋.

13. Egy gömb két párhuzamos, egymástól 6 cm távolságra lévő metszősíkja a gömböt 20 cm, illetve 25 cm sugarú körökben metszi. Mekkora a gömb sugara?

Megoldás:

A gömböt elmetsszük egy, a középpontra illeszkedő, a metszetkörökre merőleges síkkal. Az ábrák ezt a síkmetszetet ábrázolják. Elvileg két eset lehetséges attól függően, hogy a gömb középpontja a metsző síkok közé esik vagy sem.

25

A 25푐푚 sugarú kör síkja legyen 푥 távolságra a gömb középpontjától, a gömb sugarát pedig 푅-rel jelöljük.

Pitagorasz-tétel alapján (bal oldali ábra):

푅 = 푥 + 25 = (푥 + 6) + 20

푥 + 625 = 푥 + 12푥 + 36 + 400 ⇒ 푥 = 15,75 ⇒ 푅 ≈ 29,55.

A jobb oldali ábrán hasonlóan alkalmazva a Pitagorasz-tételt:

푅 = 푥 + 25 = (6 − 푥) + 20

푥 + 625 = 36 − 12푥 + 푥 + 400 ⇒ 푥 = −15,75

Ekkor nem kapunk megfelelő gömböt.

A keresett gömb sugara 29,55푐푚.

Megjegyzés:

Megmutatható, hogy ha a metszősíkok távolsága 15 cm, akkor a gömb középpontja a 25 cm sugarú kör síkján van, ha 15 cm-nél nagyobb, akkor a gömb középpontja a két sík között van, ha pedig 15 cm-nél közelebb van a két sík, akkor a gömb középpontja a két sík által maghatározott tartományon kívülre esik.

14. Egymást kívülről érintő két gömb sugara 5 cm és 8 cm. Vegyünk egy kúpot, amely mindkét gömböt érinti. Mekkora a kúp palástjának az a része, amelyik a két érintkező kör között van?

Megoldás:

A kúp tengelyére illeszkedő síkkal síkmetszetet készítünk a kúpból és a gömbökből. Egy csonkakúp palástjának a felszínét kell meghatároznunk. Az ábrán a fedőlap sugara a 퐾 퐷 = 푟 szakasz; az alapkör sugara a 퐾 퐵 = 푟 szakasz, az alkotó pedig az 퐴퐶 = 푎 szakasz.

Az 퐴퐶 szakasz hosszát a két kör közös érintő-szakaszaként az 푂 푇푂 derékszögű háromszögből határozzuk meg:

푎 = √13 − 3 = √160.

푂 푇푂 ∆~퐶퐾 푂 ∆~퐴퐾 푂 ∆ , mert derék-szögűek és a hegyesszögeik merőleges szárú szögek illetve egyállású szögek. A megfelelő szakaszok aránya egyenlő:

√= ⇒ 푟 = √ ;

√= ⇒ 푟 = √ .

Így a palást felszíne:

퐴 = (푟 + 푟 )푎휋 = 160휋(푐푚 ).

26

15. Egy tetraéder egy csúcsából kiinduló 푎, 푏, 푐 élei páronként merőlegesek egymásra. Határozzuk meg a körülírt és a beírt gömb sugarát!

Megoldás:

Ez a tetraéder az ábra szerint beilleszthető egy olyan téglatestbe, amelynek egymásra merőleges élei 푎, 푏, 푐. A téglatest köré írható gömb átmegy a tetraéder minden csúcsán, ezért ez a gömb egyben a tetraéder köré írható gömb is, amelynek középpontja a téglatest testátlójának 퐾

felezőpontja. Így a gömb sugara a testátló fele, 푅 = √ .

Ha a beírható gömbközéppontját a csúcsokkal összekötjük, akkor a tetraédert négy kisebb tetraéderre bontjuk. Ezeknek a részeknek a tetraéder lapjaihoz tartozó magassága a beírható gömb 푟 sugara (ld. a 8. ajánlott feladat ábráját). Ezért az 푂퐴퐵퐶 tetraéder térfogatát ki tudjuk számolni kétféle módon:

푉 =푎푏2 푐3

=푎푏푐6

=(푇(푂퐴퐵) + 푇(푂퐵퐶) + 푇(퐶푂퐴) + 푇(퐴퐵퐶)) ∙ 푟

3,

tehát

푟 =푎푏푐2: (푇(푂퐴퐵) + 푇(푂퐵퐶) + 푇(퐶푂퐴) + 푇(퐴퐵퐶)).

27

푇(푂퐴퐵) =푎푏2 ; 푇(푂퐵퐶) =

푏푐2; 푇(퐶푂퐴) =

푎푐2.

A 퐶pontból az 퐴퐵szakaszra bocsátott merőleges talppontja a 푇 pont. Ekkor az 푂푇is merőleges 퐴퐵-re a három egymásra merőleges egyenes tétele alapján. Az 푥 szakaszt az 푂퐴퐵 háromszög területének kétféle felírásából kaphatjuk meg:

푥 ∙ √푎 + 푏2

=푎푏2⇒ 푥 =

푎푏√푎 + 푏

.

Az 퐴퐵퐶 háromszög 푚 magasságát Pitagorasz-tétellel határozzuk meg:

푚 = 푥 + 푐 =푎 푏 + 푎 푐 + 푏 푐

푎 + 푏.

Az 퐴퐵퐶 háromszög területe:

푇(퐴퐵퐶) =푚 ∙ √푎 + 푏

2=√푎 푏 + 푎 푐 + 푏 푐

2.

Ezeket a részleteket felhasználva a tetraéderbe írt gömb sugara:

푟 =푎푏푐2:푎푏2+푏푐2+푎푐2+√푎 푏 + 푎 푐 + 푏 푐

2=

= 푎푏푐: 푎푏 + 푏푐 + 푎푐 + 푎 푏 + 푎 푐 + 푏 푐 .

IV. Ellenőrző feladatok 1. Egy paralelepipedon két éle 20 cm és 16 cm, a közbezárt szögük 50°. A harmadik él 28 cm és a

másik két él síkjával 70°-os szöget zár be. Mekkora a paralelepipedon térfogata?

2. Egy egyenes körkúp tengelymetszetének területe 600 cm2, az alkotók az alaplappal 50°-os szöget zárnak be. Mekkora a kúp felszíne és térfogata?

3. Egy szabályos négyoldalú (négyzet alapú) gúla alapéle 12 cm, oldallapjai 60°-os szöget zárnak be az alaplap síkjával.

a) Számítsa ki a gúla felszínét (cm2-ben) és térfogatát (cm3-ben)! Válaszait egészre kerekítve adja meg!

A gúlát két részre osztjuk egy az alappal párhuzamos síkkal, amely a gúla magasságát a csúcstól távolabbi harmadoló pontban metszi.

b) Mekkora a keletkező gúla és csonkagúla térfogatának aránya? Válaszát egész számok hányadosaként adja meg!

c) Számítsa ki a keletkező csonkagúla felszínét!

(Középszintű érettségi vizsga, 2012. október 16.)

4. Három gömb átmérője egy derékszögű háromszög oldalai. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb gömb felszíne egyenlő a másik két gömb felszínének összegével!

28

5. Az 퐴퐵퐶퐷퐴′퐵′퐶′퐷′ téglatestben úgy jelöltük a csúcsokat, hogy az 퐴퐵퐶퐷 alaplappal egybevágó lapon az 퐴′ csúcsot az 퐴-val, a 퐵′ csúcsot a 퐵-vel, a 퐶′ csúcsot a 퐶-vel, a 퐷′ csúcsot a 퐷-vel kösse össze él. Tudjuk, hogy 퐷퐴퐷’ szög 45°-os, a 퐵퐴퐵′ szög 60°-os.

a) Mekkora a 퐵′퐴퐷’ szög koszinusza? b) Mekkora az 퐴퐵′퐴′퐷′ tetraéder térfogata, ha a téglatest legrövidebb éle 10? c) Mekkora az 퐴퐴′퐷’ és az 퐴퐵′퐷′ síkok hajlásszöge?

(Emelt szintű érettségi vizsga, 2006. május 9.)

6. Egy 8 cm átmérőjű hengeres edényben 12 cm magasan áll a víz. Egy bedobott golyó a víz felszínét 1 cm-rel emeli. Mekkora a golyó sugara?

7. Az ábrán látható módon a rövidebb, 10 cm hosszú befogójuk mentén egymáshoz rögzítettünk két egyforma (30 − 60fokos) derékszögű vonalzót, majd az alakzat tetejére tettünk egy egyenlő szárú derékszögűt is. Elférne-e az így kapott tetraéder belsejében egy 3,2 cm sugarú teniszlabda?

(KÖMAL 2012/3. szám; C.1119)

8. Mekkora szöget zár be a kocka két különböző irányú élére illeszkedő átlóssíkja?

9. Egy nem szabályos tetraéder alakú dobozt az ábrán látható téglalapból hajtogatunk a szaggatott vonalak mentén. Hány négyzetcentiméter papírból készül a doboz? A méreteit az ábráról leolvashatjuk, az összeragasztáskor fedésbe kerülő résztől eltekintünk. Mekkora a doboz térfogata?

29

10. Egy egyenes hengert a tengelyével párhuzamos síkkal elmetszünk. A síkmetszet területe 96, a tengelytől való távolsága 3, a hengerpalást területe 120휋. Mekkora a henger sugara és magassága?

(Írásbeli érettségi-felvételi dolgozat; 1996. május 21.)

11. Egy egyenes körkúpba írjon be egy félgömböt úgy, hogy az körlapjával illeszkedjék a kúp alapkörének síkjára, gömbfelülete pedig érintse a kúp palástját! A kúp felszíne úgy aránylik a félgömb görbe felületének a felszínéhez, mint 18:5. Határozza meg a kúp nyílásszögét!

(Írásbeli érettségi-felvételi dolgozat; 1998. május 26.)

12. Egy centiméterben mérve egész élhosszúságú kockát feldaraboltunk 99 kisebb kockára úgy, hogy közülük 98 darab egybevágó, 1 cm élű kocka. Számítsa ki az eredeti kocka térfogatát!

(Emelt szintű érettségi vizsga, 2005. október 25.)

Az ellenőrző feladatok megoldásai 1. Egy paralelepipedon két éle 20 cm és 16 cm, a közbezárt szögük 50°. A harmadik él 28 cm és a

másik két él síkjával 70°-os szöget zár be. Mekkora a paralelepipedon térfogata?

Megoldás:

A hasáb alaplapjának területe 푇 = 20 ∙ 16 ∙ sin 50° = 245,13(푐푚 ). A magasságot a harmadik él segítségével határozzuk meg: 푚 = 28 ∙ sin70° = 26,31(푐푚).A paralelogramma térfogata:

푉 = 푇 ∙ 푚 = 6449,37(푐푚 ).

2. Egy egyenes körkúp tengelymetszetének területe 600 cm2, az alkotók az alaplappal 50°-os szöget zárnak be. Mekkora a kúp felszíne és térfogata?

Megoldás:

A tengelymetszet területe 푇 = 푟푚 = 푟 ∙ 푟 ∙ 푡푔50° = 600. Így 푟 = 22,44푐푚;푚 = 26,74푐푚. a kúp alkotója 푎 = 푟: cos 50° = 34,91푐푚. A kúp felszíne

퐴 = 푟 휋 + 푎푟휋 = 22,44 휋 + 34,91 ∙ 22,44휋 ≈ 4043(푐푚 ), a térfogata

푉 =푟 휋푚3

=22,44 휋 ∙ 26,74

3≈ 14100(푐푚 ).

3. Egy szabályos négyoldalú (négyzet alapú) gúla alapéle 12 cm, oldallapjai 60°-os szöget zárnak be az alaplap síkjával.

30

a) Számítsa ki a gúla felszínét (cm2-ben) és térfogatát (cm3-ben)! Válaszait egészre kerekítve adja meg!

A gúlát két részre osztjuk egy az alappal párhuzamos síkkal, amely a gúla magasságát a csúcstól távolabbi harmadoló pontban metszi.

b) Mekkora a keletkező gúla és csonkagúla térfogatának aránya? Válaszát egész számok hányadosaként adja meg!

c) Számítsa ki a keletkező csonkagúla felszínét!

(Középszintű érettségi vizsga, 2012. október 16.)

Megoldás:

a) A gúlát a szimmetriasíkjával elvágjuk, az ábrán látható az oldallapoknak és az alaplapnak a hajlásszöge. Ez a síkmetszet egy szabályos háromszög, ezért a gúla oldallapjainak magassága 12푐푚. A gúla felszíne:

퐴 = 12 + 4 ∙12 ∙ 122

= 432(푐푚 ).

A gúla magassága az 퐹 퐹 퐸 szabályos háromszög magassága: 퐸푇 = 6√3푐푚. A gúla térfogata:

푉 =12 ∙ 6√3

3≈ 499(푐푚 ).

b)

31

A gúlát egy csonkagúlára és egy az eredetihez hasonló gúlára vágjuk szét. A hasonlóság aránya . Hasonló testek térfogatának aránya egyenlő a hasonlóság arányának a köbével:

푉 á

푉=

23

=827.

Így a csonkagúla és az eredeti gúla térfogatának az aránya 19: 27.

c) A hasonlóság tulajdonságai alapján a 퐴 퐵 = 12 ∙ = 8(푐푚), ez a csonkagúla fedőlapjának éle. Egy oldallapjának magassága 12: 3 = 4(푐푚). A csonkagúla felszíne ezekkel az adatokkal:

퐴 = 12 + 8 + 4 ∙(12 + 8) ∙ 4

2= 368(푐푚 ).

4. Három gömb átmérője egy derékszögű háromszög oldalai. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb gömb felszíne egyenlő a másik két gömb felszínének összegével!

Megoldás:

Jelöljük a gömbök sugarait 푟 ;푟 ;푟 -mal, a felszínüket 퐴 ;퐴 ;퐴 -mal; 푟 legyen a legnagyobb gömb sugara. A feladat szerint a Pitagorasz-tétel alapján:

(2푟 ) + (2푟 ) = (2푟 ) ⇒ 4푟 휋 + 4푟 휋 = 4푟 휋.

Ez éppen azt jelenti, hogy 퐴 + 퐴 = 퐴 .

5. Az 퐴퐵퐶퐷퐴′퐵′퐶′퐷′ téglatestben úgy jelöltük a csúcsokat, hogy az 퐴퐵퐶퐷 alaplappal egybevágó lapon az 퐴′ csúcsot az 퐴-val, a 퐵′ csúcsot a 퐵-vel, a 퐶′ csúcsot a 퐶-vel, a 퐷′ csúcsot a 퐷-vel kösse össze él. Tudjuk, hogy 퐷퐴퐷’ szög 45°-os, a 퐵퐴퐵′ szög 60°-os.

a) Mekkora a 퐵′퐴퐷’ szög koszinusza? b) Mekkora az 퐴퐵′퐴′퐷′ tetraéder térfogata, ha a téglatest legrövidebb éle 10? c) Mekkora az 퐴퐴′퐷’ és az 퐴퐵′퐷′ síkok hajlásszöge?

(Emelt szintű érettségi vizsga, 2006. május 9.)

Megoldás:

32

a)

A téglatest 퐴퐷 élét 푎-val jelöljük. Az 퐴퐷퐷′ háromszög egyenlő szárú derékszögű, ezért 퐷퐷 = 푎 és 퐴퐷 = 푎√2. Az 퐴퐷퐷′퐴′ négyszög négyzet, azért 퐴퐷 = 퐴퐴 =BB’=a. Az 퐴퐵퐵′ derékszögű háromszögben az 퐴 csúcsanál 60° van, ezért 퐴퐵 =

√; 퐴퐵 =

√. 퐴퐵′ és 퐵′퐷′ szakaszok

egybevágó téglalapok átlói, tehát egyenlőek, így a 퐵′ pontból az 퐴퐷′-re bocsátott merőleges felezi az 퐴퐷′ szakaszt. A 퐵′퐴푇 derékszögű háromszögből a 퐵′퐴퐷′szög koszinusza:

cos 휑 =√2푎22푎√3

=√64≈ 0,6124.

b)

A téglatest legrövidebb éle az 퐴퐵 =√= 10 , Így 푎 = 10√3. Az 퐴퐵′퐴′퐷′ tetraéder alapjának

tekintsük az 퐴퐵′퐴′ lapot, akkor az ehhez tartozó magasság az 퐴′퐷′ él.

Így a tetraéder térfogata:

푉 =푎 ∙ 푎

√3∙ 푎

6=푎 √318

=10√3 √3

18= 500(térfogategység).

c)

Két sík hajlásszögét úgy kapjuk meg, ha a metszésvonal egy pontjában mindkét síkban merőlegest állítunk a metszésvonalra. Az 퐴퐴′퐷′ és 퐴퐵′퐷′ háromszögek egyenlő szárúak, ezért az alaphoz tartozó magasságuk talppontja az 퐴퐷′szakasz 푇 felezőpontja, így a két sík hajlásszöge az 퐴 푇퐵 ∡.

퐴′푇 az 퐴퐷′퐴′ egyenlő szárú háromszög átfogóhoz tartozó magassága, ezért 퐴 푇 = √ . 퐴′퐵′ merőleges az 퐴퐷퐷′퐴′ síkra, ezért annak minden egyenesére, így 퐵 퐴 푇∡ = 90°. A keresett 훿 szög ezek alapján meghatározható:

푡푔훿 =퐴′퐵′퐴′푇

=

푎√3푎√2

=23≈ 0,8165 ⇒ 훿 ≈ 39,23°.

6. Egy 8 cm átmérőjű hengeres edényben 12 cm magasan áll a víz. Egy bedobott golyó a víz felszínét 1 cm-rel emeli. Mekkora a golyó sugara?

Megoldás:

A golyó térfogata megegyezik egy 8 cm átmérőjű, 1 cm magas henger térfogatával. Ha a golyó sugara 푟, akkor

4푟 휋3

= 4 휋 ∙ 1,

így a gömb sugara √12 ≈ 2,29 (cm).

7. Az ábrán látható módon a rövidebb, 10 cm hosszú befogójuk mentén egymáshoz rögzítettünk két egyforma (30 − 60fokos) derékszögű vonalzót, majd az alakzat tetejére tettünk egy egyenlő szárú derékszögűt is. Elférne-e az így kapott tetraéder belsejében egy 3,2 cm sugarú teniszlabda?

(KÖMAL 2012/3. szám; C.1119)

33

Megoldás:

A 8. ajánlott feladat alapján tudjuk, hogy ha a tetraéder térfogata 푉, felszíne 퐴, beírt gömbjének sugara 푟, akkor 푉 = ∙ , tehát 푟 = .

Felhasználva, hogy az 퐴퐵퐶 és 퐴퐵퐷 háromszög egy 20 cm oldalú szabályos háromszög fele:

퐴퐶 = 퐴퐷 = 20푐푚; 퐵퐶 = 퐵퐷 = 10√3.

A 퐵퐶퐷 háromszög egyenlő szárú derékszögű háromszög, ezért 퐶퐷 = 10 ∙ √3 ∙ √2 = 10 ∙ √6.

A tetraéder alapjának tekintsük az 퐶퐵퐷 háromszöget és így számoljuk ki a térfogatát:

푉 =10√3 ∙ 10√3

2 ∙ 103

= 500(푐푚 ).

A felszínhez az oldallapok területét számoljuk ki.

푇(퐴퐵퐶) = 푇(퐴퐵퐷) =10 ∙ 10√3

2= 50√3(푐푚 ); 푇(퐵퐶퐷) =

10√3 ∙ 10√32

= 150(푐푚 )

Az 퐴퐶퐷 háromszög oldalainak hossza 10 ∙ √6cm; 20cm; 20cm.

A 퐶퐷 oldalhoz tartozó magasságot Pitagorasz-tétellel számoljuk ki:

34

푚 = 20 − 5√6 = √250.

푇(퐴퐶퐷) =10√6 ∙ √250

2= 50√15(푐푚 ).

A tetraéder felszíne: 퐴 = 100√3 + 150 + 50√15 ≈ 516,85(푐푚 ).

A beírt gömb sugara:

푟 =3푉퐴=

1500516,85

≈ 2,9푐푚.

Így a tetraéderbe nem fér be a teniszlabda.

8. Mekkora szöget zár be a kocka két különböző irányú élére illeszkedő átlóssíkja?

Megoldás:

Az 퐴퐵퐺퐻 és 퐴퐶퐺퐸 átlóssíkok metszésvonala 퐴퐺. 퐴퐵퐺∆≅ 퐴퐺퐸∆, mert oldalai egyenlőek. Ezért, ha a 퐵 és 퐸 pontokból merőlegest bocsátunk az 퐴퐺 átlóra, akkor a merőlegesek talppontja azonos lesz, ez a 푇 pont. A két átlóssík szöge a 퐵푇퐸∡. Ennek a meghatározásához kiszámítjuk a 퐵푇퐸∆ oldalait. Ha a kocka éle 푎, akkor 퐵퐺 = √2푎, 퐴퐺 = √3푎. Az 퐴퐵퐺∆-ben a 퐵 csúcsnál derékszög van. Ha a derékszögű háromszög területét felírjuk kétféle módon, megkapjuk az 퐴퐺-hez tartozó

magasságot: ∙ ∙√ = ∙ √ ⇒ 퐵푇 = ∙ √∙√

= ∙ 푎.Hasonlóan 퐸푇 = ∙ 푎 is teljesül.

퐸퐵 = √2푎. A 퐵푇퐸∆-ben a 퐵퐸 oldalra felírva a koszinusztételt, ki tudjuk számítani a keresett szöget:

cos 퐸푇퐵∡ =2 ∙ 2

3 ∙ 푎 − √2푎

2 ∙ 23 ∙ 푎

= −12⇒ 퐸푇퐵∡ = 120°.

A két átlóssík szöge 120°.

35

9. Egy nem szabályos tetraéder alakú dobozt az ábrán látható téglalapból hajtogatunk a szaggatott vonalak mentén. Hány négyzetcentiméter papírból készül a doboz? A méreteit az ábráról leolvashatjuk, az összeragasztáskor fedésbe kerülő résztől eltekintünk. Mekkora a doboz térfogata?

Megoldás:

Az oldallap magasságát Pitagorasz-tétellel határozzuk meg: 푥 = 14 − 4,5 = 13,26(푐푚). A tetraéder négy egybevágó lapja kiterítve a fenti téglalapot alkotja, ezért a felszín:

퐴 = 2 ∙ 9 ∙ 13,26 = 238,68(푐푚 ).

A tetraéder magasságát a szimmetria síkon rajzoljuk be. Ez a sík az 퐴퐵 él 푃 felezőpontján és a 퐶퐷 élen halad át. 푃퐶 = 푃퐷 = 푥 = 13,26푐푚. A 푃퐶퐷 háromszög területét kétféle módon felírjuk és ebből meghatározzuk a tetraéder 푚 magasságát. Heron-képlettel számolva:

푇 = 17,76 ∙ (17,76 − 13,26) ∙ (17,76 − 13,26) ∙ (17.76 − 9) = 56,13(푐푚 )

푇 =13,26 ∙ 푚

2⇒ 푚 = 8,47(푐푚).

A tetraéder térfogata:

푉 =9 ∙ 13,26

2 ∙ 8,473

= 168,46(푐푚 ).

10. Egy egyenes hengert a tengelyével párhuzamos síkkal elmetszünk. A síkmetszet területe 96, a tengelytől való távolsága 3, a hengerpalást területe 120휋. Mekkora a henger sugara és magassága?

(Írásbeli érettségi-felvételi dolgozat; 1996. május 21.)

Megoldás:

36

A tengellyel párhuzamos síkmetszet olyan téglalap, amelynek az egyik oldala a henger 푚 magassága, másik oldala pedig az alapkör ℎ húrja. A feltételek szerint:

2푟휋푚 = 120휋 ⇒ 푟푚 = 60

ℎ ∙ 푚 = 96

ℎ2

= 푟 − 9.

Az első két egyenletből ℎ-t kifejezzük és a harmadik egyenletbe behelyettesítjük:

ℎ =9660

푟 = 1,6푟

0,8 푟 = 푟 − 9 ⇒ 푟 = 5 ⇒ 푚 = 12.

A henger sugara 5 egység, a magassága 12 egység.

11. Egy egyenes körkúpba írjon be egy félgömböt úgy, hogy az körlapjával illeszkedjék a kúp alapkörének síkjára, gömbfelülete pedig érintse a kúp palástját! A kúp felszíne úgy aránylik a félgömb görbe felületének a felszínéhez, mint 18:5. Határozza meg a kúp nyílásszögét!

(Írásbeli érettségi-felvételi dolgozat; 1998. május 26.)

Megoldás:

A kúp alapkörének sugara 푅, alkotója 푎, a fél nyílásszöge 휑, a gömb sugara 푟. Ha a kúp tengelyére illesztett síkkal a testeket elmetsszük, akkor a fenti ábrát kapjuk. Az alkotó a kör egy érintője, így az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre. Derékszögű háromszögekből:

푎 =푅

sin휑; 푟 = 푅 cos 휑

A felszínek aránya:

푅(푎 + 푅)휋2푟 휋

=푅 푅

sin휑 + 푅

2푅 푐표푠 휑=

1 + sin휑2 sin휑푐표푠 휑

=185.

A 푠푖푛 휑 + 푐표푠 휑 = 1 azonosságot felhasználva, rendezve az egyenletet:

37

1 + sin휑2 sin휑(1 − 푠푖푛 휑)

=1 + sin휑

2 sin휑(1 − 푠푖푛휑)(1 + sin휑)=185

Innen egyszerűsítés és a nevezővel való szorzás után:

36푠푖푛 휑 − 36 sin휑 + 5 = 0.

A másodfokú egyenlet megoldásából:

sin휑 = 56vagy

16⇒ 휑 = 56,44°vagy휑 = 9,59°.

A kúp nyílásszöge 112,88° vagy 19,18°.

12. Egy centiméterben mérve egész élhosszúságú kockát feldaraboltunk 99 kisebb kockára úgy, hogy közülük 98 darab egybevágó, 1 cm élű kocka. Számítsa ki az eredeti kocka térfogatát!

(Emelt szintű érettségi vizsga, 2005. október 25.)

Megoldás:

Az eredeti kocka élhossza 푛, a 99. nem egységkocka élhossza 푘, 푛 és 푘 pozitív egész szám. A feltételek szerint

98 = 푛 − 푘 = (푛 − 푘)(푛 + 푛푘 + 푘 ).

A 98-at két egész szám szorzatára bontjuk. A két tényező közül a kisebb felel meg (푛 − 푘)-nak. Az alábbi esetek lehetségesek:

퐈.푛 − 푘 = 1és푛 + 푛푘 + 푘 = 98.

푛 = 푘 + 1 ⇒ 3푘 + 3푘 − 97 = 0.

Ennek az egyenletnek nincs megoldása a pozitív egész számok körében.

퐈퐈.푛 − 푘 = 2és푛 + 푛푘 + 푘 = 49.

푛 = 푘 + 2 ⇒ 3푘 + 6푘 − 45 = 0.

Innen 푘 = 3;푛 = 5.

퐈퐈퐈.푛 − 푘 = 7és푛 + 푛푘 + 푘 = 14.

푛 = 푘 + 7 ⇒ 3푘 + 21푘 + 35 = 0.

Nincs megoldás a pozitív egész számok között.

Az eredeti kocka élhosszúsága 5푐푚, a térfogata 125푐푚 .