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22.3 实际问题与一元二次方程 (2). 上一节,我们学习了解决“流感传播问题和平均 增长 ( 下降 ) 率问题 ”,现在,我们要学习解决“ 面积、体积问题 。. 例题解析. 1. 如图,用长为 18m 的篱笆(虚线部分),两面靠墙围成矩形的苗圃 . 要围成苗圃的面积为 81m 2 , 应该怎么设计 ?. 解 : 设苗圃的一边长为 xm , 则另一边长( 18-x ) m ,依题意得. 答 : 应围成一个边长为 9 米的正方形. 2 、用 20cm 长的铁丝能否折成面积 30cm 2 的矩形 , 若能够 , 求它的长与宽 ; 若不能 , 请说明理由. - PowerPoint PPT Presentation
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上一节,我们学习了解决“流感传播问题和平均增长 ( 下降 ) 率问题”,现在,我们要学习解决“面积、体积问题。
例题解析例题解析1. 如图,用长为 18m 的篱笆(虚线部分),两面靠墙围成矩形的苗圃 . 要围成苗圃的面积为 81m2,应该怎么设计 ?
解 : 设苗圃的一边长为 xm, 则另一边长( 18-x )m ,依题意得
81)18( xx
答 : 应围成一个边长为 9 米的正方形 .
921xx解得
2 、用 20cm 长的铁丝能否折成面积 30cm2 的矩形 , 若能够 , 求它的长与宽 ; 若不能 , 请说明理由 .解 : 设这个矩形的长为 xcm, 则宽为 cm, 依题意得)10( x
30)10( xx 即 x2-10x+30=0
这里 a=1,b= - 10,c=30,
0203014)10(4 22 acb
∴ 此方程无解 .答:用 20cm 长的铁丝不能折成面积为 30cm2 的矩形 .
3 .如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为 35m ,所围的面积为 150m2 ,则此长方形鸡场的长、宽分别为 _______ .
44 、、有一个面积为 150m2 的长方形鸡场 ,鸡场的一边靠墙 ( 墙长 18m,) 另三边用竹篱笆围城 , 如果竹篱笆的长为 35m, 求鸡场的长和宽各为多少 ?
18m
在长方形钢片上冲去一个长方形,制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为 30cm ,宽为 20cm, 要使制成的长方形框的面积为 400cm2 ,求这个长方形框的框边宽。
X
X
30cm
20cm解 : 设长方形框的边宽为 xcm, 依题意 ,
得 30×20–(30–2x)(20–2x)=400
整理得 x2– 25x+100=0
得 x1=20, x2=5
当 x=20 时 ,20-2x= -20( 舍去 ); 当 x=5 时 ,20-2x=10答 : 这个长方形框的框边宽为 5cm
探究 1
分析 :
本题关键是如何用 x 的代数式表示这个长方形框的面积
要设计一本书的封面 , 封面长 27 ㎝ , 宽 21㎝ , 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 , 如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一 , 上、下边衬等宽 , 左、右边衬等宽 , 应如何设计四周边衬的宽度 ?( 精确到 0.1cm)
2721
分析 : 这本书的长宽之比是 9:7, 依题知正中央的矩形两边之比也为 9:7
解法一 : 设正中央的矩形两边分别为 9xcm , 7xcm
依题意得
21274
379 xx
解得 2
331 x ),(
2
332 舍去不合题意x
故上下边衬的宽度为 :
左右边衬的宽度为 :
8.14
32754
2233
927
2
927
x
4.14
32142
2233
721
2
721
x
探究 2
要设计一本书的封面 , 封面长 27 ㎝ , 宽 21 ㎝ ,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 ,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一 , 上、下边衬等宽 , 左、右边衬等宽 , 应
如何设计四周边衬的宽度 ?
27
21分析 : 这本书的长宽之比是 9:7, 正中央的矩形两边之比也为 9:7, 由此判断上下
边衬与左右边衬的宽度之比也为 9:7
解法二 : 设上下边衬的宽为 9xcm ,左右边衬宽为 7xcm依题意得 2127
4
3)1421)(1827( xx
解方程得4
336x
( 以下同学们自己完成 )
方程的哪个根合乎实际意义 ?
为什么 ?
例 1. (2004 年 , 镇江 ) 学校为了美化校园环境,在一块长 40 米、宽 20 米的长方形空地上计划新建一块长 9 米、宽 7 米的长方形花圃 .( 1 )若请你在这块空地上设计一个长方形花圃,使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1 平方米,请你给出你认为合适的三种不同的方案 .
( 2 )在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃的面积能否增加 2 平方米?如果能,请求出长方形花圃的长和宽;如果不能,请说明理由 .
解 : (1) 方案 1 :长为 米,宽为 7 米 ;7
19
方案 2 :长为 16 米,宽为 4 米 ;方案 3 :长 = 宽 =8 米 ;
注:本题方案有无数种( 2 )在长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃面积不能增加 2 平方米 .由题意得长方形长与宽的和为 16 米 . 设长方形花圃的长为 x米,则宽为( 16-x)米 .
x(16-x)=63+2 , x2-16x+65=0 ,
046514)16(4 22 acb∴ 此方程无解 .∴ 在周长不变的情况下,长方形花圃的面积不能增加 2 平方米
学校课外生物小组的实验园地是一块长 40 米,宽 2
6 米的矩形,为便于管理,现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道,要使种植面积为 864 平方米,求小道的宽?
设小道的宽为 x 米。 根据题意得 :
(40 - 2x)(26 - x) = 864088462 xx
0)44)(2( xx
21 x 442 x(不合题意,舍去)
答:小道的宽为 2 米。
小道
小道26
40
40
26
探究3
我们利用“图形经过移动,它的面积大小不会改变”的道理,把纵、横两条路移动一下,使列方程容易些(目的是求出路面的宽,至于实际施工,仍可按原图的位置修路)
某校为了美化校园 ,准备在一块长 32 米 ,宽 20 米的长方形场地上修筑若干条道路 ,余下部分作草坪 ,并请全校同学参与设计 ,现在有两位学生各设计了一种方案 ( 如图 ),根据两种设计方案各列出方程 , 求图中道路的宽分别是多少 ? 使图 (1),(2) 的草坪面积为 540 米 2.
(1) (2)
练习
(1)
解 :(1)如图,设道路的宽为 x 米,则
540)220)(232( xx化简得,
025262 xx
1,2521 xx解得
其中的 x=25超出了原矩形的宽,应舍去 .
∴ 图 (1) 中道路的宽为 1米 .
(2)(2)
草坪矩形的长(横向)为 ,草坪矩形的宽(纵向) 。相等关系是:草坪长×草坪宽 =540 米 2
(20-x)米( 32-x)米
即 32 20 540.x x
化简得:21 252 100 0, 50, 2x x x x
再往下的计算、格式书写与解法 1相同。
例 4 .某林场计划修一条长 750m ,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为 1.6m2 , �上口宽比渠深多 2m ,渠底比渠深多 0.4m . ( 1 )渠道的上口宽与渠底宽各是多少? ( 2 )如果计划每天挖土 48m3 ,需要多少天才能把这条渠道挖完?分析:因为渠深最小,为了便于计算,不妨设渠深为 xm ,则上口宽为 x+2 , �渠底为 x+0.4 ,那么,根据梯形的面积公式便可建模.
解:( 1 )设渠深为 xm
则渠底为( x+0.4 ) m ,上口宽为( x+2 ) m
依题意,得: 6.1)4.02(2
1 xxx
整理,得: 5x2+6x-8=0
解得: x1=0.8m , x2=-2 (不合题意 , 舍去)∴ 上口宽为 2.8m ,渠底为 1.2m .
(天)2548
7501.6(2)
答:渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m ;需要 25天才能挖完渠道.
例:如图,已知直线 AC 的解析式 ,点P从 A点开始沿 AO 边向点 O 以 1 个单位 /秒的速度移动,点 Q从 O点开始沿 OC向点 C 以 2 个单位 /秒的速度移动,如果 P 、 Q 两点分别从 A 、O 同时出发,经几秒钟,能使△ PQO 的面积为 8
个平方单位。
83
4 xy
A
C
OP
Q
x
y
1. 如图,宽为 50cm 的矩形图案由 10 个全等的小长方形拼成,则每个小长方形的面积为【 】
A . 400cm2 B . 500cm2 C . 600cm2 D . 4000cm2
2. 在一幅长 80cm ,宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是 5400cm2 ,设金色纸边的宽为 xcm ,那么 x满足的方程是【 】
A . x2+130x-1400=0 B . x2+65x-350=0C . x2-130x-1400=0 D . x2-65x-350=03. 如图,面积为 30m2 的正方形的四个角是面积为 2m2 的小
正方形,用计算器求得 a的长为(保留 3 个有效数字)【 】
A . 2.70m B . 2.66m C . 2.65m D . 2.60m80cmx
x
xx
50cm
a
A
B
C
问 (1)P 、 Q 两点从出发开始几秒时 , 四边形PBCQ 的面积是 33c㎡
例 5 如图 , 已知 A 、 B 、 C 、 D为矩形的四个顶点 ,AB=16 ㎝ ,AD=6
㎝ , 动点 P 、 Q 分别从点 A 、 C
同时出发 ,点 P 以 3 ㎝ /s 的速度向点 B 移动 , 一直到点 B 为止 ,点 Q
以 2 ㎝ /s 的速度向点 D 移动 .
A
P
D
Q
B C
(2)P 、 Q 两点从出发开始几秒时 ,点 P点 Q 间的距离是 10 ㎝
例 . (2003 年 ,舟山 ) 如图,有长为 24 米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度 a 为 10 米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽 AB 为 x米,面积为 S 米 2 ,( 1 )求 S 与 x 的关系式 ; ( 2 )如果要围成面积为 45 米 2 的花圃, AB 的长是多少米?【解析】 (1)设宽 AB为 x米,则 BC为 (24-3x)米,这时面积S=x(24-3x)=-3x2+24x(2)由条件 -3x2+24x=45化为: x2-8x+15=0 解得 x1=5, x2=3∵0< 24-3x≤10 得 14/3≤x< 8∴x2 不合题意, AB=5,即花圃的宽 AB为 5米
问 (1)P 、 Q 两点从出发开始几秒时 , 四边形 PBCQ 的面积是 33c
㎡A
P
D
Q
B C(2)P 、 Q 两点从出发开始几秒时 ,点 P点 Q 间的距离是 10 ㎝
分析 : 四边形 PBCQ 的形状是梯形 , 上下底 ,高各是多少 ?
分析 :PQ 的长度如何求 ? 如图过 Q点作垂线 ,构造直角三角形