2287 1.6 Paragontopiisi

8/15/2019 2287 1.6 Paragontopiisi

http://slidepdf.com/reader/full/2287-16-paragontopiisi 1/17

1

1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ

ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ

1.

Παραγοντοποίηση : Είναι η διαδικασία µε την οποία µία παράσταση που είναιάθροισµα µετατρέπεται σε γινόµενο παραγόντων

2.Χρησιµότητα : • Απλοποιήσεις

• Εύρεση Ε.Κ. και !.Κ."

• #ύση ε$ίσωσης

3.Μέθοδο 1.!οινό παρ"γοντα : α% & α' ( α)% & '*

#.Μέθοδο 2.$ατ" οµ"δ% : α% & α' & +% & +' ( )α% & α'* & )+% & +'* (

( α)% & '* & +)% & '* (

( )% & '*)α & +*

&.Μέθοδο 3.'ια(ορ" τ%τραγ)ν*ν : α

, - +

,( )α & +*)α - +*

+.Μέθοδο #.

,θροισµα -/*ν : α

& +

( )α & +* )α,− α+ & +

,*

'ια(ορ" -/*ν : α− +

( )α − +* )α

,& α+ & +

,*

0.Μέθοδο &.Αν"πτγµα τ%τραγ)νο : %

,& ,%' & '

,( )% & '*

,

%,− ,%' & '

,( ) % − '*

,

Αν"πτγµα -/ο : %

& %,' & %'

,& '

( )% & '*

%− %

,' & %'

,− '

( )% − '*

.Μέθοδο +.ρι)νµο : %

,& )α & +*% & α+ ( )% & α*)% & +*

%,− )α & +*% & α+ ( )% − α *)% − +*

4.Μέθοδο 0.'ι"σπαση - προσθα(αίρ%ση όρο

15.Μέθοδο .6νδασµό π%ριπτ)σ%*ν



,



Α6!76ΕΙ6

1. /α γίνει γινόµενο η παράσταση 89 ,α & α+

889,α & α+ - 0α+γ

8889 ,%,

'

& 2 %',

& 3%'

89 ,%' )κ & λ* − %,

)κ & λ*,

Προτ%ινόµ%νη ;ση89,α & α+ ( α), & +*

889,α & α+ - 0α+γ ( α), & + - 0+γ*

8889,%,

'

& 2 %',

& 3%' ( ,%')%', & ,' & *

89

,%' )κ & λ* − %,

)κ & λ*,

( %)κ & λ* 4,' − %)κ & λ*5 (

( % )κ & λ* 4,' − %κ − % λ5

Κοινός παράγοντας



2. /α γίνει γινόµενο η παράσταση 89 %' & 0% − 2' − ,6

8897% − ,7' & λ% − ,λ' & 7 & λ

8889 0% & )7 & 0*' & 7%

Προτ%ινόµ%νη ;ση

89%' & 0% − 2' − ,6 ( )%' & 0%* − )2' & ,6* (

( %)' & 0* − 2)' & 0* (

( )' & 0*)% - 2*8897% − ,7' & λ% − ,λ' & 7 & λ ( )7% & λ%* - ),7' & ,λ'* & )7 &λ* (

( %)7 & λ* - ,')7 & λ* & )7 &λ* (

< )7 & λ*)% - ,' & 1*

88890% & )7 & 0*' & 7% ( )0% & 7%* & )7 & 0*' (

( %)0 & 7* & )7 & 0*' (( )0 & 7*)% & '*

3. /α γίνει γινόµενο η παράσταση 89 %

, - 13

889 8 - ) % & ,*,

8889 2', - 0

,

Προτ%ινόµ%νη ;ση89%

, - 13 ( %

, - 2

,( )% & 2*)% - 2*

8898 - )% & ,*

,(

, - )% & ,*

,( 4 & ) % & ,*54- )% & ,*5 (

( ) & % & ,* ) - % - ,* (

( ) % & 0*) 1 - %*

8889

2', - 0

,( ),'*

, - (

0 z ) ( ),' & 0 * ),' - 0 *

Κατά οµάδες

"ια9ορά τετραγ:νων

,



#. /α γίνει γινόµενο η παράσταση 89 %

& 1

889 ' - ;

8889 ,< & ;

8ν9 )% & ,*− 32 '

Προτ%ινόµ%νη ;ση89

%

& 1 ( %

& 1

( )% & 1* )%,− 1⋅% & 1

,* ( )% & 1* )%

,− % & 1*

889

' - ; ( '

- ,

( )' - ,* )'

,& ,⋅' & ,

,* ( )' - ,* )'

,& ,' & 2*

8889

,< & ;

(

& ),*

( ) & ,* ), -⋅, & ),*

,* ( ) & ,* )8 − 3 & 2

,*

8ν9)% & ,*

− 32 '

( )% & ,*

− )2 '*

(

( 4) % & ,* − 2'5 4)% & ,*, & )% &,*2' & ) 2'*,5 (( ) % & , − 2'* ) %

,& 2% & 2 & 2%' & ;' & 13'

,*

&. /α γίνει γινόµενο η παράσταση 89 %

,& 16% & ,0

889 − 13'2

& ,2 ' − 8


%,

& 16% & ,0 ( %,

& ,⋅0⋅% & 0,

( )% & 0*,

889− 13'

2& ,2'

,− 8 ( − )13'

2− ,2 '

,& 8* (

( − 4)2',*

,− ,⋅ 2'

,⋅ &

,5 (

( − )2',− *

,

+. /α γίνει γινόµενο η παράσταση

89 %

& %,

& % & 1

889 %− %

,& % − 1

8889 )α − +*

− )α − +*,

),α& +* & )α - +*),α & +*,

- ),α & +*


%

& %,

&% & 1 ( %

& %,⋅1 &%⋅1

,& 1

( )% & 1*

889

%− %

,& % − 1 ( %

− %

,⋅1 & %⋅1

,− 1

( )% − 1*

8889

)α − +*− )α − +*

,),α& +* & )α - +*),α & +*

, - ),α & +*

( 4)α - +* - ),α & +*5

(

( )α - + - ,α - +*

(

( ) − α -,+*

=θροισµα - δια9ορά κύ+ων

Ανάπτυγµα τετραγ:νου

Ανάπτυγµα κύ+ου




,− 0% & 3

889 %,

& % − 3

%,

&

(, +

, ) % & , ,


%,− ) & ,*% & ⋅, ( )% − *)% − ,*

889

%,

& % − 3 ( %,

& ) − ,*% & ⋅) − ,* ( )% & * )% − ,*

8889

%,

& ), & , * % & , , ( )% & ,*) % & , *

. /α γίνει γινόµενο η παράσταση 89 %

2& '

2

889 α2

& +2− α

,+

,

8889 8α2

& ,0+2

& ,3α,+

,

89 ,%,

& 0%' & ',


89%

2& '

2( %

2& '

2& ,%

,'

,− ,%

,'

,( )%

,& '

,*

,− ,%

,'

,(

,

( )%,

& ',*,− ( ,%') (

889

( )%,& '

,− , %'* )%,

& ',

& , %'*

α2

& +2− α

,+

,( α

2& +

2− ,α

,+

, - α

,+

,( )α

, - +

,*,− )α+*

,(

( )α,− +

,& α+* ) α

, - +

, - α+*

88898α

2& ,0+

2& ,3α

,+

,( )α

,*,

& )0+,*,

& ,3α,+

,& 2α

,+

,− 2α

,+

,(

( )α,*, & )0+,*, & 6α,+, − 2α,+, (

( )α,

& 0+,*,− ),α+*

,(

( )α,

& 0+,− ,α+* )α

,& 0+

,& ,α+*

89,%

,& 0%' & '

,( ,%

,& ,%' & %' & '

,<

( ),%,& ,%'* & )%' & '

,9 <

< ,%)% & '* & ')% & '* <

< )% & '*),% & '*

>ρι:νυµο

"ιάσπαση - προσθα9αίρεση όρου




3 - '

3

889 %,'

,− ,0%

,− 2'

,& 166

8889 %,

& ,%' & 0)% & '* & ',

89 )α − +*)α,− γ

,* − )α

,− +

,*)γ − α*

9 %, − 8 & 16%' & ,0',


89%

3 - '

3( )%

*, - )'

*

,( )%

& '

* )%

− '

* (

( )% & '* )%, - %' & '

,*)% − '* )%

,& %' & '

,*

889%

,'

,− ,0%

,− 2'

,& 166 ( %

,)'

,− ,0* − 2)'

,− ,0* (

( )',− ,0*)%

,− 2* (

( )' − 0*)' & 0 *)% & ,*)% − ,*

8889%,

& ,%' & 0)% & '* & ',

( %,

& ,%' & ',

& 0)% & '* (

( )% & '*,

& 0)% & '* (

( )% & '*)% & ' & 0*

8ν9)α − +*)α

,− γ

,* − )α

,− +

,*)γ − α* ( )α − +*)α − γ*) α & γ* − )α − +*)α & +* )γ − α* (

( )α − +*)α − γ*) α & γ* & )α − +*)α & +* ) − γ & α*

( )α − +*)α − γ* )α & γ & α & +* (

( )α − +*)α − γ* ),α & γ & +*9%

,− 8 & 16%' & ,0'

,( )%

,& 16%' & ,0'

,* − 8 (

( )% & 0'*, − , (( )% & 0' & * )% & 0' − *

15.?τις παρακάτω ισότητες να συµπληρ:σετε τα κενά

α9 0%,

& 10%' − 16%ω − ,0% ( 0%)@* ( 0%)% & ' − ,ω − 0*

/9 α) %

& ,* − +)%

& ,* & )%

& ,* ( )@*)@* ( )%

& ,* ) α − + & 1*

γ9 ,0%,− 8 ( )@ − *)@ & * ( ) 0% − *)0% & *

δ9 13%, − ,2% & 8 ( )@.*, ( )2% − *,

%9 %,

& ) , & * % & ,⋅ ( )@.*)@.* ( )% & ,*)% & *


α9 0%,

& 10%' − 16%ω − ,0% ( 0% )% & ' − ,ω − 0*

/9 α) %

& ,* − +)%

& ,* & ) %

& ,* ( )%

& ,* )α − + & 1*

γ9 ,0%,− 8 ( )0% − *)0% & *

δ9 13%,− ,2% & 8 ( )2% − *

,

%9 %, & ), & * % & ,⋅ ( )%& ,*)% & *

?υµπληρωµένα τα κενά 9αίνονται παραπάνω

?υνδυασµός περιπτ:σεων



11.Aαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε ? αν είναι σωστές και µε # αν είναι

λανθασµένες

α9 %,)α & +* − )α & +* ( %

,#

/9 8 − 3α & α

,

( )α − *

,

?γ9 %

− 1 ( )% − 1*) %

, - % &1* #

δ9 %,− , ( )% − ,*)% & ,* #

%9 α,− +

,( − )α & +* )+ − α* ?


α9 %,)α & +* − )α & +* ( )α & +*)%

,− 1* ( )α & +*)% − 1*)% & 1* πρόταση #άθος

/9 8 − 3α & α,

( ) − α*,

( )α − *,

πρόταση ?ωστή

γ9 %− 1 ( )% − 1*)%

,& % &1* πρόταση #άθος

δ9 %,− , ( ( %

−

, ) ( % + ,

)

πρόταση #άθος

%9 α,− +

,( )α & +* )α − +* ( − )α & +* )& + − α* πρόταση ?ωστή

12. /α γίνουν γινόµενο οι παραστάσεις

α9 α% & +' & α' & α & +% & + /9 3α,+

,− 122γ

,γ9 ω

− κ

ρ

δ9 %2 & 3%,', & 8'2 %9 ', − 1,' & ,6 =9 % − ' & %, − ',


α9α% & +' & α' & α & +% & + ( )α% & α' & α* & )+% & +' & +* (

( α)% & ' & 1* & +)% & ' & 1*

( )α & +* )% & ' & 1*

/93α

,+

,− 122γ

,(34 )α+*

, - 2γ

,5 (3)α+ & ,γ*)α+ − ,γ*

γ9ω − κ ρ ( ω − )κρ* ( )ω − κρ*)ω, & ωκρ & κ ,ρ,*

δ9%

2& 3%

,'

,& 8'

2( )%

,*

,& ,B %

,B'

,& )'

,*,

( )%,

& ',*,

%9'

,− 1,' & ,6 ( '

,− )16 & ,* ' & 16B, ( )' − ,*)' − 16*

=9%

− '

& %

,− '

,( )% − '*)%

,& %' & '

,* & )% − '*)% & '* (

( )% − '*)%,

& %' & ',

& % & '*

Κατά οµάδες

"ια9ορά

τετραγ:νων

"ια9ορά κύ+ων

Ανάπτυγµα

τετραγ:νου

>ρι:νυµο

"ια9ορά κύ+ων και

δια9ορά τετραγ:νων





1#. /α γίνουν γινόµενο οι παραστάσεις

α9 ,0α,− 16α+ & +

,/9 ),% − *

,− )0% − 3*

,

γ9 ,2α%

& ;1α

3'

δ9 %

,& 12% − ,

%9 α

,−

+

,−

,α & ,+ =9 α

,

γ−

α

,

δ & +

,

δ−

+

,

γΠροτ%ινόµ%νη ;ση

α9

,0α,− 16α+ & +

,( )0α*

,− ,⋅0α⋅+ & +

,( )0α − +*

,

/9 ),% − *,− )0% − 3*

,( 4),% − * & )0% − 3*54),% − * − )0% − 3*5 (

( ),% − & 0% − 3*),% − − 0% & 3* (

( )<% − 8*) − % & * ( )<% − 8*) − % & 1*

γ9

,2α%

& ;1α

3'

( α

);%

& ,<α

'

* (

( α4),%*

& )α'*

5 (

( α),% & α'*4),%*

,− ,%Bα' & )α'*

,5

( α),% & α'*)2%

,− 3α%' & 8α

,'

,*

δ9

%,& 12% − , ( %

,& )13 − ,* % & ,) − 13* ( )% &13*)% − ,*

%9

α,

− +,

− ,α & ,+ ( )α & +*)α − +* − ,)α − +* ( )α − +*)α & + − ,*

=9

α,γ − α

,δ & +

,δ − +

,γ ( α

,)γ − δ* & +

,)δ − γ* (

( α,)γ − δ* − +

,)γ − δ* (

( )γ − δ*)α,− +

,* (

( )γ − δ*)α & +*)α − +*



16

1&. /α γίνουν γινόµενο οι παραστάσεις

α9 α,

& ,α+ & +,− %

,/9 )% − 3*)%

,− 1* − )0% − 16*)% − 1*

,

γ9 0)2 − %,* − )% − ,*

,δ9 2α

,)+

,− 1* & 2+

,)1

− +,* %9 α+)%

,& '

,* & %')α

,& +

,* =9 α

− 0α

,− α & 0


α9

α,

& ,α+ & +,− %

,( )α & +*

,− %

,( )α & + & %*)α & + − %*

/9

)% − 3*)%,− 1* − )0% − 16*)% − 1*

,( )% − ,*)% & 1*)% − 1* − 0)% − ,*)% − 1*

,(

( )% − ,*)% − 1*4)% & 1* − 0)% − 1*5 (

( )% − ,*)% − 1*)% & − 0%& 0* (

( )% − ,*)% − 1*) − ,% & ;* (

( )% − ,*)% − 1* ,) − % & 2*

γ9

0)2 − %,* − )% − ,*

,( 0), − %*), & %* − ), − %*

,(

( ), − %* 40), & %* − ), − %*5 (

( ), − %*)16 &0% − , & %* (

( ), − %*)3% & ;* (( ,), − %*)% & 2*

δ9

2α,)+

,− 1* & 2+

,)1 − +

,* ( 2α

,)+

,− 1* − 2+

,)+

,− 1* (

( 2)+,− 1*)α

,− +

,* (

( 2)+ & 1*)+ − 1*) α & +*)α − +*

%9

α+)%,

& ',* & %')α

,& +

,* ( α+%

,& α+'

,& %'α

,& %' +

,(

( )α+%

,

& %'α

,

* & )α+'

,

& %' +

,

* (( α%)%+ & α'* & +')α' & %+*

( )α' & %+*)α% & +'*

=9

α− 0α

,− α & 0 ( )α

− α* − )0α

,− 0* (

( α)α,− 1* − 0)α

,− 1* (

( )α,− 1*)α − 0* (

( )α − 1*)α & 1*)α − 0*



1+. /α γίνουν γινόµενο οι παραστάσεις

α9 α2− α

− α

,& 0α − , /9 %

2& 2'

2− 0%

,'

,

γ9 1 − ,α & ,+γ & α,− +

,− γ

,δ9 α

,+ & +

,γ & γ

,α − α+

,− +γ

,

− γα,

%9 α2

& α,

& 1 =9 α2

& ,α

& α,

− +,


α9

α2− α

− α

,& 0α − , ( α

2− α

− α

,& α & ,α − , (

( α)α − 1* − α)α − 1* & ,)α − 1*

( )α − 1*)α− α & ,* (

( )α − 1*)α− α − ,α & ,* (

( )α − 1*4α)α,− 1* − ,)α − 1*5 (

( )α − 1*4α)α − 1*) α & 1* − ,)α − 1*5 (

( )α − 1*)α − 1*4α)α & 1* − ,5 (

( )α − 1*,)α

,& α − ,* (

( )α − 1*,4α,

& ), − 1* α & ,) − 1*5 (

( )α − 1*,)α & ,*)α − 1* ( ) α − 1*

) α & ,*

/9

%2& 2'

2− 0%

,'

,( %

2& 2'

2− 2%

,'

,− %

,'

,(

( %,

)%,

− 2',

* - ',

) %,

− 2',

* (( )%

,− 2'

,*) %

, - '

,* (

( )% & ,'*) % − ,'* )% − '*)% & ' *

γ9

1 − ,α & ,+γ & α,− +

,− γ

,( )1 − ,α & α

,* & ) ,+γ − +

,− γ

,* (

( )α − 1*, - )γ

,& +

,− ,+γ* (

( ) α − 1*, - ) γ − +*

,(

4)α − 1* & ) γ − +*54)α − 1* − )γ − +*5 (

( )α − 1 & γ − +*) α − 1 - γ & +*

δ9

α,+ & +

,γ & γ

,α − α+

,− +γ

,− γα

,( α+)α − +* - γ)α

,− +

,* & γ

,) α − +* (

( α+)α − +* - γ)α − +*)α & +* & γ,

)α − +* (

( )α − +* 4α+ - γ)α & +* & γ, 5(

( )α − +* )α+ - γα − γ + & γ,* (

( )α − +* 4α)+ - γ* − γ)+ − γ *5 (

( )α − +*)+ - γ*)α − γ*%9

α2

& α,

& 1 ( α2& α

,& 1 & α

, - α

,(

( α2& ,α

,& 1 - α

,(

( )α,

&1*, - α

,( )α

,& 1& α*)α

,&1 - α*

"ηµιουργούµε ίδιους

συντελεστές

"ηµιουργούµε ίδιους

συντελεστές





( 4α)α & 1*5,− +

,(

( 4α)α & 1* & +54α)α & 1* − +5 (

( ) α,

& α & +*)α,

& α − +*

10. /α λυθούν οι ε$ισ:σεις

α9 )0 − %*)% & 2* & )% − 0*),% − * & 8%,− ,0 ( 6

/9 )ω,− 2*

,( )ω & 2*)ω & ,*

,

γ9 %)% − 3*)% & 2* & 8% & 3 ( 6


α9

)0 − %*)% & 2* & )% − 0*),% − * & 8%

,

− ,0 ( 6)0 − %*)% & 2* & )% − 0*),% − * & )% − 0*)% & 0* ( 6

)0 − %*)% & 2* − )0 − %*),% − * − )0 − %*)% & 0* ( 6

)0 − %*4)% & 2* − ),% − * − )% & 0*5 ( 6

)0 − %*)% & 2 − ,% & − % − 0* ( 6

)0 − %*) − 2% & ,* ( 6

0 − % ( 6 ή − 2% & , ( 6 άρα % (0

.

/9

ή % (1

,

)ω,− 2*

,( )ω & 2*)ω & ,*

,άρα )ω

,− 2*

,− )ω & 2*)ω & ,*

,( 6

)ω − ,*,)ω & , *

,− )ω & 2*)ω & ,*

,( 6

)ω & ,*, 4)ω − ,*

,− )ω & 2*5 ( 6

)ω & ,*,)ω

,− 2ω & 2 − ω − 2* ( 6

)ω & ,*,)ω

,− <ω* ( 6

)ω & ,*,

ω )ω − <* ( 6

)ω & ,*,( 6 ή ω ( 6 ή ω − < ( 6

ω ( − , ή ω ( 6 ή ω ( <

γ9

%)% − 3*)% & 2* & 8% & 3 ( 6 άρα %)% − 3*)% & 2* & 8)% & 2* ( 6

)% & 2*4%)% − 3* & 85 ( 6

)% & 2* )%,− 3% & 8* ( 6

) % & 2* )% − *,

( 6

% & 2 ( 6 ή )% − *,

( 6

% ( − 2 ή % (



1. Cστω τα πολυ:νυµα Α ( − %

,& 1

D ( )% & ,*)%,− 3%* − )%

,− ,%*

E( %− 2%

α9 /α τα αναλύσετε σε γινόµενο παραγόντων

/9 /α λύσετε την ε$ίσωση )% & ,*)%,− 3%* − )%

,− ,%* ( %

− 2%


α9

Α ( − %,

& 1 ( 1 − %,

( )1 & % *)1 − %*

F ( )% & ,*)%,− 3%* − )%

,− ,%* ( )% & ,* % )% − ,* - %) % − ,* (

( %) % − ,*4) % & ,* − 15 (

( %) % − ,*) % & 0*

E ( %− 2% ( % )%

,− 2* ( % )% & ,*)% − ,*

/9

)% & ,*)%,− 3%* − )%

,− ,%* ( %

− 2% από )α* %) % − ,*) % & 0* ( % )% & ,*)% − ,*

%)% − ,*)% & 0* − %)% & ,*)% − ,* ( 6

%)% − ,*4)% & 0* − )% & ,*5 ( 6

%)% − ,*)% & 0 − % − ,* ( 6

%)% − ,*),% & * ( 6

% ( 6 ή % − , ( 6 ή ,% & ( 6

% ( 6 ή % ( , ή % ( −

,

14.Aωρίς κοµπιουτεράκι να +ρείτε τα αποτελέσµατα

α9 ,61⋅88< & ,61⋅ /9 880⋅ 1660 & ,0 γ9 16660 ⋅ 16660 − 16⋅16660 & ,0


α9

,61 ⋅ 88< & ,61 ⋅ ( ,61 ⋅ )88< & * ( ,61 ⋅1666 ( ,61666

/9

880 ⋅ 1660 & ,0 ( )1666 − 0*)1666 & 0* & ,0 ( 1666,− ,0 & ,0 ( 1666

,

γ9

16660 ⋅16660 − 16 ⋅16660 & ,0 ( 16660,− , ⋅0 ⋅16660 & 0

,(

( )16660 − 0*,

( 16666,



25.ως πρέπει να τοποθετήσουµε τα

διπλανά σGήµατα για να σGηµατιστεί

ορθογ:νιοH α

οιες είναι οι διαστάσεις τουH

Προτ%ινόµ%νη ;ση,

α + γ

α α α α α

γ

+ +

α + γ γ

α +

Είναι α & α+ & αγ & +γ ( α)α & +* & γ)α & +* ( α( )α & +* )α & γ* α

α

α +

γ



Documents

2287 1.6 Paragontopiisi