2.3 行列式的性质

一、行列式的性质

二、应用举例

三、小节、思考题

一、行列式的性质

性质性质 11 行列式与它的转置行列式相等即，行列式 称为行列式 的转置行列式 . TA A

记

TA

nna

a

a

22

11

2

121

n

n

a

aa

nn aa

a

21

12A

nna

a

a

22

11

n

n

a

aa

2

112

21

21

nn aa

a ,

.AAT

证明

TA

nna

a

a

22

11

2

121

n

n

a

aa

nn aa

a

21

12

纳法证明，对行列式的阶数进行归

然有对一阶行列式而言，显 成立；1111 aa T

行展开，有

，按第一时结论成立，则对现假设对阶数为 TAn 1

1121211111 nn AaAaAa

，按第一列展开，有而对 A

n

ii

ii Ma

11

11 )1(

A

nna

a

a

22

11

n

n

a

aa

2

112

21

21

nn aa

aT

nnTT AaAaAa 1121211111

.

1),,2,1(

11

式阶行列，且它们均为转置余子式

对应的中的余子式表示与行列式其中，

nni

MAM iTT

i

于是，由归纳假设，知),,2,1(11 niMM i

Ti

进而，得.AAT 证毕

n

i

Ti

ii Ma

11

11 )1(

说明 行列式中行与列具有同等的地位 , 因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 .

性质 2 如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零 .

法，还可证得类似地，利用数学归纳

性质 3 如果行列式中某一行（列）元素是两组数的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式对应的行（列）相同，即

nnnininn

nii

nii

aaaaa

aaaaa

aaaaa

D

)(

)(

)(

21

2222221

1111211

则 D 等于下列两个行列式之和：

nnnin

ni

ni

nnnin

ni

ni

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

D

1

2221

1111

1

2221

1111

例如

nii ,,,,, 21

ni ,,,,, 21 ni ,,,,, 21

n

ii

1

n

i

1

n

i

1

或（对列），有

.（列）展开即可行边的行列式都按第事实上，只要对等号两 i

为记成分块矩阵形式，即

性质性质 44 （行列式的“初等变换”）若将初等行（列）变换用于 n 阶行列式：

（（ 11 ）） 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式 .

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

21

21

11211

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

21

21

11211

.行展开即得按第事实上，等号两端同时 i

（ 2 ）　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数 k 然后加到另一列 ( 行 ) 对应的元素上去，行列式的值不变．

njnjnin

jji

nji

aaaa

aaaa

aaaa

1

22221

11111

njnjnjnin

jjji

njji

ji

aakaaa

aakaaa

aakaaa

kc

)(

)(

)(

)(

1

222221

111111

k例如

从等号右端看，利用性

质 3 、性质 4的（ 1 ）及性质 2 即得等号

左端。

（（ 33 ）） 互换行列式的两行（列） , 行列式变号 .证明证明 设行列式写成分块形式，则

njiA ,,,,,1

njji

c ji

,,,,,1

)1(

niji

cij

,,,,,1

)1(

nij

c ji

,,,,,1

)1(

Bnij ,,,,,1

,

571571

266853

.

8

2

5

8

2

5

3

6

1

5

6

7

5

6

7

3

6

1

266853

例如，有

推论推论 11 　某一行（列）元素全为零的行列式等于零．

推论推论 22 　若有两行（列）元素对应成比例，则行列式等于零，即

nnnn

inii

inii

n

aaa

kakaka

aaa

aaa

21

21

21

11211

nnnn

inii

inii

n

aaa

aaa

aaa

aaa

k

21

21

21

11211

.0

推论推论 33 　对 n 阶行列式及数 k, 有 ．AkkA n

计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。

)(krij

例 1 计算 4 阶行列式

3351

1102

4315

2113

D

3351

1102

4315

2113

D

0355

0100

13111

1115

对解

于是工作量相对较小化为零的，所以将该行其它元素行有考虑到第

,

03

231 c

)1(34cD

055

1111

115

)1( 33

055

026

115

55

26)1( 31

50

28

.40

)1(12r

.解毕

性质 5 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 ).(,02211 jiAaAaAa jninjiji

,

1

1

1

111

11

nnn

jnj

ini

n

jnjnjj

aa

aa

aa

aa

AaAa

证 行展开，有按第把行列式 jA

,

1

1

1

111

11

nnn

ini

ini

n

jninji

aa

aa

aa

aa

AaAa

可得换成把 ),,,1( nkaa ikjk

行第 j

行第 i

,时所以当 ji ).(,02211 jiAaAaAa jninjiji

同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji

相同

关于代数余子式的重要性质

;,0

,,

1 ki

kiAAa

n

jkjij 当

当

1

, ,

0 , ;

n

ij iki

A j ka A

j k

当

当

阶行列式已知例 52

mB

57010

33555

68012

22444

12111

.4544 AA 试求代数余子式之和行展开，得按行列式的第解 4

)1(33555 4544434241 mAAAAA

，即得式作乘积之和，由性质行对应元素的代数余子行与第再用行列式的第

5

42

)2(022444 4544434241 AAAAA

两式，、联立 )2()1(

)1(33555 4544434241 mAAAAA

)2(022444 4544434241 AAAAA

x4

y2

024

35

yx

myx即

解得.

112

4544 myAA

例 3

nnn

n

nkn

k

kkk

k

bb

bb

cc

ccaa

aa

D

1

111

1

111

1

111

0

设

,

1

111

1

kkk

k

aa

aa

D

,

1

111

2

nnn

n

bb

bb

D

.21DDD 证明

证明

;

0

11

1

11

1 kk

kkk

pp

pp

p

D 设为

化为下三角形行列式，可把作运算对 11 )( DkrD ij

化为下三角形行列式可把作运算对 22 ),( DkcD ij

.

0

11

1

11

2 nn

nnn

qq

pq

q

D 设为

,

0

1

11

1

111

1

11

nnnnkn

k

kkk

qq

q

cc

ccpp

p

D

化为下三角形行列式把

列作运算，再对后行作运算的前对

Dkc

nkrkD

ij

ij

),(

)(

nnkk qqppD 1111 故 .21DD

由此即得性质 6 设 L 是有如下分块形式的 ( n + p ) 阶矩阵：

pp

nn

BC

OAL

则有BAL

是方阵时，当然也成立，当由性质 BA,1

BABO

CAU

pp

nn

推论 是同阶方阵，则有若 BA,BAAB

矩阵乘积的行列式等于行列式的

乘积！

再回顾初等矩阵的行列式

阶行列式计算含字母例 44

1

1

1

1

baaccb

bac

acb

cba

A

解

1000

2

1

1)1(

)1(

23

34

baaccb

acb

cba

Ar

r

按第 4 行展开

二、应用举例

1000

2

1

1)1(

)1(

23

34

acaccb

acb

cba

Ar

r

baaccb

acb

cba

baaccba

accba

cbcbac

c

)(2

)1(

)1(

21

31

baaccba

accba

cbcbac

c

)(2

)1(

)1(

21

31

cbabac

cabc

cbcbar

r

220

0)1(

)2(

12

13

cbabac

cabccba

22)(

abccba 3333

按第 1 列展开

.解毕

.5 的行列式等于零证明奇数阶反对称矩阵例

证明：

知，，再由性质知，，又由性质得

是奇数，则由阶反对称矩阵，是设

31

,

AAAA

AAnnATT

T

即得,)1( AA n

AA n)1(

是奇数，故必有而n

AA

即.0A

例 6

2101044

614753

12402

59733

13211

D求

计算行列式常用方法：对具体的行列式，利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。

)(krij

2101044

614753

12402

59733

13211

D

3

解

2101044

614753

12402

20100

13211

)3(12

r

2101044

614753

14020

20100

13211

2

3

)2(12 r

4

2101044

614753

12402

20100

13211

2101044

614753

14020

20100

13211

3

4

22200

35120

14020

20100

13211

)4(15 r

)3(14 r

24r

22200

20100

14020

35120

13211

22200

35120

14020

20100

13211

2

千万要注意“行列式交换两行，符号要改变 . ”

62000

20100

21100

35120

13211

)1(23r

22200

20100

14020

35120

13211

2

)2(45r

62000

01000

21100

35120

13211

612 )1(34r .12

62000

20100

21100

35120

13211

2

0

上三角行列式

( 行列式中行与列具有同等的地位 , 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 ).

计算行列式常用方法： (1) 利用定义 ;(2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．

三、小结

行列式的 6 个性质

行列式的性质

. ,

)()4

.

,)()3

.),()2

.DD,1) T

乘此行列式等于用数一数

中所有的元素都乘以同列行列式的某一行等于零

则此行列式完全相同列如果行列式有两行

行列式变号列互换行列式的两行

即式相等行列式与它的转置行列

kk

.||||,)9

., )(

, )( )8

.

, )( )7

.

, )( )6

.

)( )5

AkkAAn n有阶行列式特别注意：对

行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列

然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列

式之和此行列式等于两个行列

则的元素都是两数之和行若行列式的某一列

式为零

则此行列元素成比例列行列式中如果有两行

提到行列式符号的外面

以的所有元素的公因子可列行列式中某一行

思考题 1

阶行列式设n

n

n

Dn

001

0301

0021

321

求第一行各元素的代数余子式之和.11211 nAAA

思考题解答解 由

知第一行各元素的代数余子式之和可以表示成

nAAA 11211

n

001

0301

0021

1111

n

n

Dn

001

0301

0021

321

nAAA 11211

n

001

0301

0021

1111

.1

1!2

n

j jn

)1

(

),,3,2(

1 ic

ni

i

n

jn

j

000

0300

0020

111112