2.3 Distribuciones de Probabilidad Discretas y Continuas.pdf

1

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

ESCUELA DE POSGRADOS

DIPLOMADO EN SIMULACION DE PROCESOS PRODUCTIVOS

MODULO 2: ANALISIS DE DATOS: NUMEROS Y VARIABLES ALEATORIAS,

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Y TEORIA DE COLAS

TEMA 2.3: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Y CONTINUAS

INTRODUCCIN

OBJETIVOS

Describir los conceptos fundamentales de las distribuciones de probabilidad

discretas y continuas.

Conocer los elementos y caractersticas de las de las diferentes distribuciones de

probabilidad discretas y continuas como lo son la funcin de densidad, funcin

acumulada, valor esperado, varianza, etc.

Resolver ejercicios prcticos utilizando las distribuciones de probabilidad discretas y

continuas.

1

2

En estadstica, nos podemos interesar por uno o varios nmeros que estn

relacionados con los resultados de un experimento. En la inspeccin de un producto

industrializado puede importarnos el nmero de artculos defectuosos, al analizar

una prueba en carretera puede preocuparnos la velocidad promedio a la que

maneja un conductor o el consumo medio de combustible por vehculo, etc. Todos

estos nmeros estn asociados a situaciones en que interviene un elemento de

azar, en otras palabras son valores de variables aleatorias.

Al estudiar variables aleatorias generalmente nos interesan sus llamadas

distribuciones de probabilidad, es decir, los posibles resultados de un experimento y

la probabilidad de dicho resultado.

En esta seccin se estudiarn los modelos matemticos para calcular las

probabilidades en los que intervienen variables aleatorias discretas y continuas.

3

2

CONTENIDO

.

2.2.1 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLES ALEATORIAS

DISCRETAS

Variable aleatoria discreta: Son aquellas que pueden tomar valores enteros y un nmero finito

de ellos. Por ejemplo: X es la variable que nos define el nmero de alumnos aprobados en la

asignatura de probabilidad y estadstica en un grupo de 40 alumnos (1, 2 ,3 los 40).

Este tipo de variable, debe cumplir con estos parmetros:

() 0

= 1

=0

( ) = = ++

=

Sea el experimento aleatorio de lanzar 2 monedas al aire. Determine la distribucin de

probabilidad del nmero de caras.

SOLUCION:

Sea C: cuando ocurre alguna cara y Z: cuando ocurre una cruz durante el experimento.

El espacio muestral del experimento es S= {CC, CZ, ZC, ZZ}.

EJEMPLO 1

Variable aleatoria: Es aquella que puede tomar diferentes valores dentro

de un conjunto posible de resultados llamado recorrido y su ocurrencia es al

azar. Por ejemplo, el nmero de clientes que llegan a un banco depende del

momento del da, del da de la semana y de otros factores: por lo general, la

afluencia de clientes ser mayor al medioda que muy temprano por la

maana; la demanda ser ms alta el viernes que el mircoles; habr ms

clientes en un da de pago, que en un da normal. Las variables aleatorias

pueden clasificarse en discretas y continuas.

Distribucin de probabilidad: Es una representacin de todos los

resultados posibles de algn experimento y de la probabilidad relacionada

con cada uno de dichos resultados

3

e (elemento de S) x (N de caras)

CC 2

CZ 1

ZC 1

ZZ 0

La probabilidad de cada punto muestral es de 1/4, es decir, P(CC)= P(CZ)= P(ZC)= P(ZZ)=1/4

Entonces, la distribucin de probabilidad del nmero de caras se presenta en la siguiente tabla:

x (N de caras) f(x) = P(X=x) = Probabilidad

0 = 0.25 = 25%

1 + = =0.50 = 50%

2 = 0.25 = 25%

El grafico de distribucin de probabilidad queda de la siguiente manera:

Interpretacin:

La probabilidad de obtener 0 caras al lanzar 2 monedas al aire es de 0.25



0.25

0.5

0.25

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 2

Pro

bab

ilid

ad

N de caras

Grfico de distribucin de probabilidad de lanzar 2 monedas al aire

4

2.2.1.1 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD ACUMULADA DE UNA VARIABLE

ALEATORIA DISCRETA

Sean X: Variable aleatoria discreta,

f: Distribucin de probabilidad de la variable aleatoria discreta X

F: Distribucin de probabilidad acumulada de la variable aleatoria discreta X

Entonces:

() = ( ) =()

Encuentre la distribucin de probabilidad acumulada para el ejemplo 1.

SOLUCION:

Del ejemplo 1 se tiene que:

x (N de caras) f(x) = P(X=x)

0 0.25

1 0.50

2 0.25

Entonces:

(0) = ( 0) =()0

= (0) = 0.25

(1) = ( 1) =()1

= (0) + (1) = 0.25 + 0.50 = 0.75

(2) = ( 2) =()2

= (0) + (1) + (2) = 0.25 + 0.50 + 0.25 = 1

Distribucin de probabilidad acumulada de la variable aleatoria X

F(x) {

0, < 00.25, 0 < 10.75, 1 < 21, 2

EJEMPLO 2

5

2.2.1.2 VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

DISCRETA

Valor esperado: Es tambin llamado como media, esperanza matemtica o simplemente

esperanza. En una distribucin de probabilidad discreta es la media aritmtica ponderada de

todos los resultados posibles en los cuales los pesos son las probabilidades respectivas de

tales resultados. Se halla multiplicando cada resultado posible por su probabilidad y sumando

los resultados. Se expresa mediante la siguiente frmula.

= () = ( ())

Donde:

=E(x): Media, valor esperado, esperanza matemtica o simplemente esperanza

xi: Posible resultado

P(xi): Probabilidad del posible resultado

Varianza: Es el promedio de las desviaciones al cuadrado con respecto a la media. La varianza

mide la dispersin de los resultados alrededor de la media y se halla calculando las diferencias

entre cada uno de los resultados y su media, luego tales diferencias se elevan al cuadrado y se

multiplican por sus respectivas probabilidades, y finalmente se suman los resultados. Se

expresa mediante la siguiente frmula:

2 = [( )2()]

Nota: La varianza se expresa en unidades al cuadrado, por lo que es necesario calcular la

desviacin estndar que se empresa en las mismas unidades que la variable aleatoria y que por

lo tanto tiene una interpretacin ms lgica de la dispersin de los resultados alrededor de la

media. La desviacin estndar se calcula = 2

Hallar la esperanza matemtica, la varianza y la desviacin estndar del numero de caras al

lanzar 3 monedas al aire.

SOLUCION:

El espacio muestral es S = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}; entonces la

probabilidad de cada punto muestral es de 1/8.

Se elabora las distribuciones de probabilidad y se realiza los clculos respectivos. Estos

resultados se presentan en la siguiente tabla:

EJEMPLO 3

6

xi P(xi) xi* P(xi) (xi-)2.P(xi)

0 1/8 0*1/8 = 0 (0-1.5)2.1/8=0.281

1 3/8 1*3/8 =3/8 (1-1.5)2.3/8=0.094

2 3/8 2*3/8 = 3/4 (2-1.5)2.3/8=0.094

3 1/8 3*1/8 = 3/8 (3-1.5)2.1/8=0.281

Total 1 1.5 0.750

Observando la tabla se tiene que:

= () = ( ()) = 1.5

2 = [( )2()] = 0.75

Calculando la desviacin estndar se obtiene:

= 2 = 0.75 = 0.866

Interpretacin: El valor de =E(x)=1.5 significa que si se promedian los resultados del

lanzamiento de las 3 monedas (tericamente, un nmero infinito de lanzamientos, se obtendran

1.5 caras. Los valores de 2=0.75 y =0.866 miden la dispersin de los resultados de lanzar 3

monedas alrededor de su media.

2.2.2 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLES ALEATORIAS

CONTINUAS

Variables aleatorias continuas: Son aquellas que puede tomar tanto valores enteros como

fraccionarios y un nmero infinito de ellos dentro de un mismo intervalo. Por ejemplo: X es la

variable que nos define la concentracin en gramos de plata de algunas muestras de mineral

(14.8 gr, 12.1, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8,, n)

Este tipo de variable, debe cumplir con estos parmetros:

() 0

( = ) = 0

() = 1

( )

2.2.2.1 FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

Sea X una variable aleatoria continua. Si dice que f es una funcin de densidad de probabilidad,

si y solo si,

( ) = ( < < ) = ()

b

7

2.2.2.2 FUNCION DE DISTRIBUCION

Al igual que en el caso discreto, se puede definir una funcin de probabilidad acumulada, la cual

en el caso continuo se denomina funcin de distribucin.

Sea X una variable aleatoria continua con funcin de densidad f(x); entonces, la funcin

() = ( ) = ()

Se denomina funcin de distribucin de la variable aleatoria X

2.2.2.3 MEDIA Y VARIANZA

Sea X una variable aleatoria continua y f(x) la funcin de densidad de probabilidad; entonces se

tiene que:

Media:

= () = ()

Varianza:

2 = () = [( )2] = ( )2 ()

Si una variable aleatoria tiene la densidad de probabilidad

() = {22 > 00 0

Encuntrese:

a) Las probabilidades de que tome un valor entre 1 y 3

b) Las probabilidades de que tome un valor mayor que 0.5

c) La funcin de distribucin, y utilcela para determinar la probabilidad de que la variable

aleatoria tome un valor menor o igual que 1

d) La media y la varianza.

SOLUCION:

a)

(1 3) = (1 < < 3) = 223

1

= (2)31= (23) (21)

= (6) + (2) = 0.002479 + 0.1353 = 0.1328

EJEMPLO 4

8

b)

(0.5 ) = (0.5 < < ) = 22

0.5

= (2)0.5

= (2) (20.5)

= () + (1) = 0 + 0.3679 = 0.3679

c)

() = ( ) = ()

= 22x

0

= (2)= (2) (20) = (2) + 1

= 1 2

( 1) = 1 21 = 1 2 = 0.8647

d)

= () = () =

0

22 = (0.52(2 + 1))= 0.5

0

2 = () = [( )2] = ( )2 ()

= ( 0.5)2 22

0

= 0.25

2.2.3 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

En teora de la probabilidad y estadstica, la distribucin de probabilidad de una variable

aleatoria es una funcin f(x) que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria X, la

probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribucin de probabilidad est definida sobre el

conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable

aleatoria.

La distribucin de probabilidad est completamente especificada por la funcin de distribucin,

cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que

x.

Las distribuciones de probabilidad discretas son aquella cuya funcin de probabilidad slo toma

valores positivos en un conjunto de valores de X finito o infinito numerable. A dicha funcin se

le llama funcin de masa de probabilidad. En este caso la distribucin de probabilidad es la

suma de la funcin de masa, por lo que tenemos entonces que:

() = ( ) = ()

=

Y, tal como corresponde a la definicin de distribucin de probabilidad, esta expresin

representa la suma de todas las probabilidades desde - hasta el valor x.

9

2.2.3.1 DISTRIBUCION UNIFORME DISCRETA

La distribucin uniforme discreta es una distribucin de probabilidad que asume un nmero

finito de valores con la misma probabilidad.

Distribucin Uniforme Discreta Codificacin UD(i,j)

Distribucin de probabilidad () = {

1

+ 1 {, + 1, , }

0

Distribucin acumulada

() = {

0, < + 1

+ 1,

1, >

Rango {i,i+1,,j} Parmetros i y j son nmeros enteros, con i

10

SOLUCION:

a) El resultado de un dado puedo tomar 6 valores, que equivalen a X=1, 2, 3, 4, 5 y 6 en

donde i=1 y j= 6 entonces se tiene que:

1

+ 1=

1

6 1 + 1= 1

6

() = {1

6 {1,2,3,4,5 6}

0

b) P(x=3)=f(3)=1/6

c)

=1

2( + ) =

1

2(1 + 6) = 3.5

2 =1

12[( + 1)2 1] =

1

12[(6 1 + 1)2 1] =

35

12= 2.92

2.2.3.2 DISTRIBUCION DE BERNOULLI

Es un experimento estadstico en el que pueden haber nicamente 2 resultados posibles. Es

costumbre designarlos como xito y fracaso aunque pueden tener otra forma de

representacin y estar asociados a algn otro significado de inters.

Si la probabilidad de obtener xito en cada ensayo es un valor que lo representamos con p,

entonces, la probabilidad de obtener fracaso ser el complemento 1-p.

Distribucin de Bernoulli Codificacin BE(p)


1 , = 0, = 1

0,

Distribucin acumulada () = {

0, < 01 , 0 1

1, 1

Rango {0,1}

Parmetros (0,1) Media Varianza (1 )

11

2.2.3.3 DISTRIBUCION BINOMIAL

Esta distribucin es muy importante y de uso frecuente. Corresponde a experimentos con

caractersticas similares a un experimento de Bernoulli, pero ahora es de inters la variable

aleatoria relacionada con la cantidad de xitos que se obtienen en el experimento.

Caractersticas de un experimento Binomial.

a) La cantidad de ensayos n, que se realizan es finita.

b) Cada ensayo tiene nicamente 2 resultados posibles: xito o fracaso.

c) Todos los ensayos realizados son independientes.

d) La probabilidad p, de obtener xito en cada ensayo permanece constante.

Algunos ejemplos de problemas con estas caractersticas son:

- Determinar el nmero de caras obtenidas al lanzar una moneda al aire 5 veces.

- Determinar el nmero de veces que se obtiene un 3 al lanzar un dado 10 veces al aire.

- Determinar la probabilidad de la cantidad de artculos que son defectuosos en una

muestra tomada al azar de la produccin de una fbrica, suponiendo conocida la

probabilidad de que un artculo sea defectuoso.

Distribucin Binomial Codificacin BI(N,p)


!

! ( )!(1 ) = 0,1,2, ,

0


() =

{

0, < 0

() = !

! ( )!(1 )

=0

, 0 < 1

1, > 1

Rango {0,1,,N} Parmetros N es un nmero entero

(0,1) Media Varianza (1 ) Ejemplo:

Binomial (5,0.5)

12

Una fbrica tiene una norma de control de calidad consistente en elegir al azar diariamente 20

artculos producidos y determinar el nmero de unidades defectuosas. Si hay 2 o ms artculos

defectuosos la fabricacin se detiene para inspeccin de los equipos. Se conoce por

experiencia que la probabilidad de que un artculo producido sea defectuoso es 5%. Encuentre:

a) La probabilidad de que en cualquier da la produccin se detenga al aplicar esta norma

de control de calidad.

b) La media y la varianza.

SOLUCION:

a)

La situacin corresponde a un experimento binomial.

N=20 Cantidad de ensayos (independiente)

p=0.05 Probabilidad de xito (constante)

X: Variable aleatoria discreta (cantidad de artculos defectuosos

x=0,1,,20 Valores que puede tomar X.

De lo anterior se puede decir que:

( = ) = () = !

! ( )!(1 ) =

20!

! (20 )!0.05(1 0.05)20

Entonces:

P(X2)=1-P(X1)

P(X2)=1-(P(X=0)+P(X=1))=1-(f(0)+f(1))

(0) = 20!

0! (20 0)!0.050(1 0.05)200 = 0.3585

(1) = 20!

1! (20 1)!0.051(1 0.05)201 = 0.3774

P(X2)=1-(P(X=0)+P(X=1))=1-(f(0)+f(1))=1-(0.3585+0.3774)=0.2641=26.41%

b)

= = 20(0.05) = 1

2 = (1 ) = 20(0.05)(1 0.05) = 0.95

2.2.3.4 DISTRIBUCIONES BINOMIAL NEGATIVA

Este modelo de probabilidad tiene caractersticas similares al modelo binomio: los ensayos son

independientes, cada ensayo tiene nicamente 2 resultados posibles, y la probabilidad de que

cada ensayo tenga un resultado favorable es constante. Pero, en este modelo la variable

aleatoria es diferente.

En la distribucin binomial negativa, la variable de inters es la cantidad de ensayos que se

realizan hasta obtener un nmero requerido de xitos, k.

EJEMPLO 6

13

Sea: X: Variable aleatoria discreta con distribucin binomial negativa (Cantidad de ensayos

realizados hasta obtener k xitos.

p: Probabilidad de xito. Es un valor constante de cada ensayo.

X=k, k+1,k+2, (Valores que puede tomar la variable X)

Entonces la distribucin de probabilidad de X es:

( = ) = () = ( 1

1) (1 )

Media y Varianza de la distribucin binomial negativa:

= () =

2 = () =

(1

1)

Suponiendo de que la probabilidad de que una persona contraiga cierta enfermedad a la que

est expuesto es de 30%, calcule la probabilidad que la dcima persona expuesta a la

enfermedad sea la cuarta en contraerla, la media y la varianza.

SOLUCION:

Cada persona expuesta a la enfermedad constituye un ensayo. Estos ensayos son

independientes y la probabilidad de xito es constante: 0.3. (Note que xito no siempre tiene

una connotacin favorable).

Entonces se concluye que la variable de inters X tiene distribucin binomial negativa con k=4 y

p=0.3

Sea X: Cantidad de ensayos realizados hasta obtener k xitos, x= 4,5,6,

( = ) = () = ( 1

4 1)0.34(1 0.3)4

Entonces, con X = 10

( = 10) = (10) = (10 1

4 1) 0.34(1 0.3)104 = 0.08

= () =4

0.3= 13.33

2 = () = 4

0.3(1

0.3 1) = 31.10

EJEMPLO 7

14

2.2.3.5 DISTRIBUCION GEOMETRICA

Es un caso especial de la distribucin binomial negativa, cuando k=1. Es decir interesa conocer

la probabilidad respecto a la cantidad de ensayos que se realizan hasta obtener el primer

xito.

Distribucin Geomtrica Codificacin GE(p)

Distribucin de probabilidad () = {(1 )1 = 0,1,2,

0

Distribucin acumulada () = {1 (1 )1 = 0,1,2,

0

Rango {0,1,} Parmetros (0,1) Media 1

Varianza 1

2

Ejemplo:

Geomtrica (0.5)

Calcule la probabilidad que en el 5 lanzamiento de 3 monedas se obtengan 3 caras por primera

vez. Adems, encuentre la media y la varianza del experimento.

SOLUCION:

En el experimento de lanzar 3 monedas hay 8 resultados posibles. En cada ensayo la

probabilidad que salgan 3 caras es constante e igual a 1/8 y la probabilidad que no salgan 3

caras es 7/8

Estos ensayos son independientes, y por la pregunta concluimos que la variable de inters X

tiene distribucin geomtrica con p=1/8.

EJEMPLO 8

15

Sea X: Cantidad de ensayos hasta obtener el primer xito (variable aleatoria discreta),

x= 1,2,3,

( = ) = () = (1 )1 = (1/8)(1 (1/8) )1

Por lo tanto

( = 5) = (5) = (1/8)(7/8 )51 = 0.0733

= () =1

(1/8)= 8

2 = () = (1

2) = (

1 1/8

(1/8)2) = 56

2.2.3.6 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

Esta distribucin se refiere a los experimentos estadsticos que consisten en tomar una

muestra sin reemplazo, de un conjunto finito el cual contiene algunos elementos considerados

exitosos y los restantes son considerados fracasos.

Tomar una muestra sin reemplazo significa que los elementos son tomados uno a uno, sin

devolverlos. Podemos concluir entonces que los ensayos ya no pueden ser considerados

independientes porque la probabilidad de xito al tomar cada nuevo elemento es afectada por

el resultado de los ensayos anteriores debido a que la cantidad de elementos de la poblacin

est cambiando.

Definicin de la distribucin hipergeomtrica.

Sean: N: Cantidad de elementos del conjunto del que se toma la muestra.

K: Cantidad de elementos existentes que se consideran xitos.

n: Tamao de la muestra.

X: Variable aleatoria discreta (cantidad de resultados considerados xitos que se

obtienen de la muestra.

x= 0,1,2,,n (son los valores que pueden tomar X)

Entonces, la distribucin de probabilidad de X es:

() = ()(

)

()

x=0,1,2,,n

16

Figura 1 Representacin grfica de la definicin de la distribucin hipergeomtrica.

Media y varianza de la distribucin hipergeomtrica

= () =

2 = () =

(1

) (

1)

Una caja contiene 9 bateras de las cuales 4 estn en buen estado y las restantes defectuosas.

Se toma una muestra eligiendo al azar 3 bateras. Calcule la probabilidad que en la muestra se

obtenga:

a) Ninguna batera en buen estado.

b) Al menos una batera en buen estado.

c) No ms de 2 bateras en buen estado.


SOLUCION:

Este es un experimento de muestreo sin reemplazo, por lo tanto es un experimento

hipergeomtrico.

N=9 (Total de elementos del conjunto)

K=4 (Total de elementos considerados xitos)

n=3 (Tamao de la muestra)

x: Cantidad de bateras en buen estado en la muestra (Variable aleatoria discreta

EJEMPLO 9

Se observa que x no puede exceder a K. La cantidad de xitos que se

obtienen en la muestra no pueden exceder a la cantidad de xitos

disponibles en el conjunto. Igualmente la cantidad de n-x fracasos no

puede exceder a los N-K disponibles.

17

Entonces la probabilidad de x es:

() = ()(

)

()=

(4)(943)

(93)

para x=0,1,2 y 3

a)

( = 0) = (0) =(40)(

9430)

(93)= 0.119

b) P(X 1) = 1 P(X < 1) = 1 (0) = 1 0.119 = 0.881

c) P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = f(0) + f(1) + (2) = 0.119 + 0.4762 +

0.3571 = 0.9523

d)

= () =

= 3(

4

9) = 1.3333

2 = () =

(1

)(

1) = 3 (

4

9) (1

4

9) (9 3

9 1) = 0.5542

2.2.3.7 DISTRIBUCION POISSON

La distribucin de Poisson es un modelo que puede usarse para calcular la probabilidad

correspondiente al nmero de xitos que se obtendran en una regin o en intervalo de tiempo

especificados, si se conoce el nmero promedio de xitos que ocurren.

Algunas situaciones que se pueden analizar con este modelo:

Nmero de defectos por unidad de rea en piezas similares de un material.

Nmero de personas que llegan a una estacin en un intervalo de tiempo especificado.

Nmero de errores de transmisin de datos en un intervalo de tiempo dado.

Nmero de llamadas telefnicas que entran a una central por minuto.

Nmero de accidentes automovilsticos producidos en una interseccin, en una semana.

Este modelo requiere que se cumplan las siguientes suposiciones:

a) El nmero de xitos que ocurren en la regin o intervalo es

independiente de lo que ocurre en otra regin o intervalo.

b) La probabilidad de que el resultado ocurra en una regin o intervalo

muy pequeo, es igual para todos los intervalos o regiones de igual

tamao y es proporcional al tamao de la regin o intervalo.

c) La probabilidad de que ms de un resultado ocurra en una regin o

intervalo muy pequeo no es significativa.

18

Distribucin de Poisson Codificacin P() Distribucin de probabilidad

() = {

! = 0,1,2,

0


() = {

0 < 0

!

=0

0

Rango {0,1,} Parmetros >0 es un nmero entero Media Varianza Ejemplo:

Poisson (4)

La cantidad de errores de transmisin de datos en una hora es 5 en promedio. Suponiendo que

es una variable con distribucin de Poisson, determine la probabilidad que:

a) En cualquier hora ocurra solamente 1 error.

b) En cualquier hora ocurra al menos 3 errores.

c) En dos horas cualesquiera, ocurran no ms de 2 errores.

d) La media y la varianza para 1 hora.

SOLUCION:

Sea X: Variable aleatoria discreta (cantidad de errores por hora)

=5 (promedio de errores de transmisin en 1 hora)

a)

( = 1) = (1) =

!= 551

1!= 0.0337

EJEMPLO 10

19

b)

( 3) = 1 ( 2) = 1 ((0) + (1) + (2)) = 1 (550

0!+551

1!+552

2!)

= 0.8743

c) Sea X: Variable aleatoria discreta (cantidad de errores en 2 horas)

=10 (promedio de errores de transmisin en 2 horas)

( 2) = (0) + (1) + (2) = 1 (10100

0!+10101

1!+10102

2!) = 0.0028

d)

= () = = 5

2 = () = = 5

2.2.4 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores

existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribucin de probabilidad

es la integral de la funcin de densidad, por lo que tenemos entonces que:

() = ( ) = ()

20

2.2.4.1 DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA

Este modelo corresponde a una variable aleatoria continua cuyos valores tienen igual valor de

probabilidad en un intervalo especificado para la variable.

Distribucin Uniforme Continua Codificacin U(a,b)


1

0


() = {

0, <

,

1, <

Rango {a, b}

Parmetros A y b son nmeros reales, con a

21

SOLUCION:

Sea X: Variable aleatoria continua (duracin de la reparacin)

Tiene distribucin uniforme, por lo tanto su funcin de densidad es:

a)

() =1

=

1

5 1=1

4 , 1 5

( 2) = 1

4

5

2

=3

4= 0.75 = 75%

b)

= () =1

2( + ) =

1

2(1 + 5) = 3

2 = () =1

12( )2 =

1

12(5 1)2 = 1.33

2.2.4.2 DISTRIBUCION NORMAL

La distribucin normal es la piedra angular de la teora estadstica moderna. Conocida y

estudiada desde hace mucho tiempo, es utilizada para describir el comportamiento aleatorio de

muchos procesos que ocurren en la naturaleza y tambin realizados por los humanos.

Distribucin Normal Codificacin N(,2) Distribucin de probabilidad

() = 1

2

12( )

2

, < < +

Distribucin acumulada ---

Rango (,+) Parmetros Parmetro de localizacin:

Parmetro de escala: >0

Media Varianza 2 Ejemplo:

Normal (10,2)

22

Se puede demostrar que f cumple con las propiedades de una funcin de densidad:

() 0, < < +

()

+

= 1

La grfica de f es similar al perfil de corte vertical de una campana y tiene las siguientes

caractersticas:

a) Es simtrica alrededor de .

b) Su asntota es el eje horizontal

c) Sus puntos de inflexin estn ubicados en - y +

Distribucin normal estndar

Para generalizar y facilitar el clculo de probabilidad con la distribucin normal, es conveniente

definir la distribucin normal estndar que se obtiene haciendo =0 y 2=1 en la funcin de

densidad de la distribucin normal.

Sea Z: Variable aleatoria continua con media =0 y 2=1, Z tiene distribucin normal estndar si

su funcin de densidad es:

() = 1

2

12

2

, < < +

Para calcular la probabilidad con la distribucin normal estndar se puede usar la definicin de

la distribucin acumulada o funcin de distribucin:

()( ) = ()

z

= 1

2

122

z

, < < +

Para el clculo de probabilidades con distribucin normal estndar se pueden

usan tablas con valores de F(z) para algunos valores de z.

Algunas tablas de distribucin normal estndar no incluyen valores de F(z)

para valores negativos de z, por lo cual y por la simetra de f(z), se pueden

usar la siguiente relacin: P(-z)=P(Z-z)= P(Zz)=1-F(z). Entonces

F(-z)=1-F(z)

23

PROBABILIDADES ACUMULADAS PARA LA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR

Figura 2 Tabla de probabilidades para la distribucin Normal Estndar.

24

Usando la tabla de distribucin normal estndar calcule.

a) P(Z1.45)

b) P(Z1.45)

c) P(Z-1.45)

d) P(1.25Z1.45)

e) Encuentre Z tal que P(Zz)=0.64

SOLUCION:

a) El resultado se toma directamente de la tabla de la distribucin normal estndar.

P(Z1.45)=F(1.45)=0.9265

b) P(Z1.45) = 1- P(Z

25

P(11 X 12) = P(11 10

4

12 10

4) = (0.5 0.5) = (1) (0.5)

= 0.8413 0.6915 = 0.1498 = 14.98%

Sea X~N(10,). Encuentre tal que P(X9)=0.025

SOLUCION:

( 9) = ( ) = () = 0.025

Entonces: Z= -1.96

Sustituyendo y despejando

1.96 = 9 10

; = 0.5102

EJEMPLO 14

26

2.2.4.3 DISTRIBUCION GAMMA

Distribucin Gamma Codificacin G(,) Distribucin de probabilidad

() =1

()1/ 0


() = {

,

1 /(/)

!

1

=0

,

Rango [0, +) Parmetros Parmetro de forma:

Parmetro de escala: 0

Media Varianza 2 Ejemplo:

Gamma (3.86,5.25)

El tiempo en horas que semanalmente requiere una mquina para mantenimiento es una

variable aleatoria con distribucin gamma con parmetros =3 y =2. Encuentre la probabilidad

que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas.

EJEMPLO 15

() es la Funcin Gamma que esta definida de la siguiente forma:

() = 1

0

Si es un entero positivo, entonces:

() = ( )!

27

SOLUCION:

Sea X: duracin del mantenimiento en horas (variable aleatoria). Su densidad de probabilidad

es:

() =1

()1/ =

1

23(3)31/2 =

1

162/2

a) P(X>8) es el rea resaltada en el grfico.

P(X > 8) = 1 P(X 8) = 1 1

162/2

8

0

= 1 1

16[22/2 + 4(2/2 + 2(2/2))]

80= 0.2381

2.2.4.4 DISTRIBUCION EXPONENCIAL

Es un caso particular de la distribucin Gamma y tiene aplicaciones de inters prctico. Se

obtiene con =1 en la distribucin Gamma

Definicin:

Sea: X: Variable aleatoria continua

X tiene distribucin exponencial si su densidad de probabilidad est dada por:

() = {

1

/ , > 0

0,

En donde >0, es el parmetro para este modelo

28

Media y varianza de la distribucin exponencial

= () =

2 = () = 2

Un sistema usa un componente cuya duracin en aos es una variable aleatoria con

distribucin exponencial con media de 4 aos. Determine la probabilidad que el componente

siga funcionando al cabo de 6 aos. Adems calcule la media y la varianza.

SOLUCION:

Sea X: Variable aleatoria continua (duracin de un componente en aos). X tiene una

distribucin exponencial con ==4

Su densidad de probabilidad es

() =1

/ =

1

4/4, > 0

La probabilidad que un componente siga funcionando al cabo de 6 aos:

P(X 6) = 1 P(X < 6) = 1 1

4/4 = 0.2231

6

0

= () = = 4

2 = () = 2 = 44 = 16

De lo anterior, se puede decir en resumen:

EJEMPLO 16

Puede demostrarse que si una variable aleatoria tiene una distribucin

Poisson con parmetro , entonces el tiempo de espera entre 2 xitos

consecutivos es una variable aleatoria con distribucin exponencial con

parmetro =1/

29

Distribucin Exponencial Codificacin E(1/) Distribucin de probabilidad

() = { 0

0 tambin

() = {

1

/ , 0

0,

Distribucin acumulada () = { 1

00

tambin

() = {1 / 0

0

Rango [0, +) Parmetros Parmetro de escala 1/0 0 Media 1/ Varianza 1/2 2

Ejemplo:

Exponencial (2)

La llegada de los barcos a un puerto tiene distribucin de Poisson con media de 4 llegadas por

da. Calcule la probabilidad que el tiempo transcurrido entre la llegada de 2 barcos consecutivos

en algn da sea menor a 4 horas.

SOLUCION:

Sea X el tiempo transcurrido entre 2 llegadas consecutivas (en das). X es una variable aleatoria

continua con distribucin exponencial con parmetro =1/=1/4; donde =4 llegadas al da

Entonces la funcin de probabilidad es:

() =1

/ = = 44, > 0

X = Tiempo entre llegada de 2 barcos = 4 horas (1 da/24horas)=1/6 da

Por lo tanto:

P(X < 1/6) = 44 = 0.4866

1/6

0

= 48.66%

EJEMPLO 17

30

2.2.4.5 DISTRIBUCION WEIBULL

Este modelo se usa en problemas relacionados con fallas de materiales y estudio de

confiabilidad. Para estas aplicaciones, es ms flexible que el modelo exponencial.

Distribucin Weibull Codificacin W(,) Distribucin de probabilidad

() = {1

> 0

0

Distribucin acumulada () = {1

()

00

Rango [0, +) Parmetros Parmetro de escala: >0

Parmetro de forma: >0 Media

1(1 +

1

)

Varianza 2

[ (1 +2

) ( (1 +

1

))2]

Ejemplo:

Weibull (2,1)

Suponga que la vida til en horas de un componente electrnico tiene una distribucin de

Weibull con =0.1, =0.5.

a) Calcule la vida til promedio

b) Calcule la probabilidad de que dure ms de 30 horas.

SOLUCION:

Sea X: Vida til en horas (variable aleatoria continua). Su densidad de probabilidad es

() = 1= (0.1)(0.5)0.510.1

0.5= 0.050.50.1

0.5

EJEMPLO 18

31

a)

= 1(1 +

1

) = 0.1

10.5(1 +

1

0.5) = 0.12(3) = 100(3 1)! = 200

b)

P(X > 300) = 0.050.50.10.5 = 0.177

300

2.2.4.6 DISTRIBUCION BETA

Este modelo tiene aplicaciones importantes por la variedad de formas diferentes que puede

tomar su funcin de densidad eligiendo valores para sus parmetros.

Es de destacar que el dominio de la distribucin beta es el intervalo (0,1), pero puede adaptarse

a otros intervalos finitos mediante una sustitucin de la variable aleatoria.

Distribucin Beta Codificacin B(,) Distribucin de probabilidad

() = {( + )

()()1(1 )1 0 < < 1

0

Rango [0,1] Parmetros Parmetro de escala: >0

Parmetro de forma: >0 Media

+

Varianza

( + )2( + + 1)

Una distribucin de cierto producto llena su bodega al inicio de cada semana. La proporcin del

artculo que vende semanalmente se puede modelar con distribucin beta con =4, =2.

a) Encuentre la probabilidad que en una semana venda al menos 90%

b) Encuentre el valor esperado de la proporcin de ventas semanal.

SOLUCION:

Sea X: Proporcin del artculo que vende semanalmente (variable aleatoria continua). Su

densidad de probabilidad es:

() =( + )

()()1(1 )1 =

(4 + 2)

(4)(2)41(1 )21 = 203(1 )

a)

( 0.9) = 203(1 )

1

0.9

= 0.082 = 8.2%

EJEMPLO 19

32

b)

= () =

+ =

4

4 + 2=2

3 (

2

3 )

Sea X una variable aleatoria discreta y su funcin de distribucin de probabilidad:

() =2+1

25 , = 0,1,2,3,4. Encontrar:

a) La distribucin de probabilidad acumulada

b) Calcular la probabilidad de P(X=3), P(2X 0

0 0

a) Verifique que cumple las propiedades de una funcin de densidad.

b) Calcule la probabilidad que el tiempo de atencin este entre 15 y 30 minutos.

c) Encuentre la funcin de distribucin.


La variable aleatoria X tiene una distribucin uniforme para x= 1,2,3,4,,50. Determinar:

a) Media y varianza

b) P(5

33

La probabilidad de que un disco compacto dure al menos un ao son que falle es de 0.95.

Calcule la probabilidad de que en 15 de estos aparatos elegidos al azar,

a) 12 duren menos de 1 ao

b) A lo ms 5 duren menos de 1 ao

c) Al menos 2 duren menos de 1 ao

d) Obtenga la media y la varianza de la variable aleatoria del problema

La probabilidad que una persona expuesta a cierta enfermedad la contraiga es 0.3. Calcule la

probabilidad que la quinta persona expuesta a esta enfermedad sea la segunda en contraerla.

Una caja de 10 alarmas contra robo contiene 4 defectuosas. Si se seleccionan 3 de ellas y se

envan a un cliente. Calcule la probabilidad que el cliente reciba.

a) Ninguna defectuosa

b) No ms de una defectuosa

c) Al menos 1 defectuosa

Cierto tipo de tela usada en tapicera tiene, en promedio, 2 defectos por metro cuadrado. Si se

supone una distribucin de Poisson, calcule la probabilidad que:

a) Un rollo de 60 m2 tenga exactamente 10 defectos

b) Un rollo de 30 m2 tenga no ms de 2 defectos

Suponga que Z es una variable aleatoria con distribucin Normal Estndar. Use la tabla para

calcular:

a) P(Z2.10)

c) P(Z1.78)

e) P(-1.25

34

a) Calcule la probabilidad que un artculo elegido al azar tenga un peso de mas de 60

gramos.

b) Calcule la proporcin de los paquetes que tendran un peso entre 46 y 54 gramos.

El pH de un qumico tiene una distribucin N (, 0.102). Durante la elaboracin del producto se

ordena suspender la produccin si el pH supera el valor de 7.20 o es inferior a 6.80.

a) Calcule la probabilidad que la produccin no sea suspendida si =7.0

b) Calcule la probabilidad que la produccin no sea suspendida si =7.05

c) Cul debe ser para que la probabilidad de que se suspenda la produccin sea 0.85

La duracin en miles de Km de cierto tipo de llantas, es una variable aleatoria con distribucin

exponencial con media de 40 mil Km. Calcule la probabilidad que una de estas llantas dure:

a) Al menos 20 mil Km

b) No ms de 30 mil Km

Suponga que el tiempo de servicio en horas de un semiconductor es una variable aleatoria que

tiene distribucin Weibull con =0.025 =0.5.

a) Calcule el tiempo esperado de duracin del semiconductor

b) Calcule la probabilidad que este semiconductor est funcionando despus de 4000

horas de uso.

Responder el cuestionario de este tema disponible en el Aula Virtual del curso.

Felicidades por completar este captulo!

Contina por favor a la seccin 2.4 Anlisis de la Bondad de Ajuste.

EJERCICIO 11

EJERCICIO 12

EJERCICIO 13

EJERCICIO 14

Documents

2.3 Distribuciones de Probabilidad Discretas y Continuas.pdf