2.3.1等比数列

中国人民大学附属中学

生活中的数列生活中的数列１．放射性物质镭的半衰期为１６２０年，如果１．放射性物质镭的半衰期为１６２０年，如果从现有的１０克镭开始，每隔１６２０年，剩余从现有的１０克镭开始，每隔１６２０年，剩余量依次为量依次为

• 10000 ×1.05 , 10000 × 1.0510000 ×1.05 , 10000 × 1.0522 , 10000 × 1.05 , 10000 × 1.0533 ， ， …… …… ， ， 10000 × 1.0510000 × 1.0555 　　　　　　　　

• ２．某人年初投资１００００元，如果年收益率２．某人年初投资１００００元，如果年收益率为５％　，那么按照复利，５年内各年末的本利为５％　，那么按照复利，５年内各年末的本利和依次为 和依次为

432 )2

1(10,)

2

1(10,)

2

1(10,

2

11010，

再看两个数列：

3 ， 9 ， 27 ， 81 ，……；

1 1 1 1, , , , ;

2 4 8 16

它们的共同特点是：

从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，

等比数列的定义等比数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，

这个常数叫做等比数列的公比。

公比通常用字母 q (q≠0) 表示。

等比数列的定义

)2( nqa

a

n

n 1

2.

)1( n1n

n

aq

a 或

1. qa

a

a

a

a

a

a

a

a

a

n

n 14

5

3

4

2

3

1

2

例 1 ．已知数列 {an} 的通项公式为 an=3×2n ，

试问这个数列是等比数列吗？

解：因为当 n≥2 时，

11

3 22

3 2

nn

nn

a

a

所以数列 {an} 是等比数列。

等比数列的通项公式等比数列的通项公式 如果等比数列｛ an ｝的首项是 a1 ，公比是

q, 那么根据等比数列的定义得到当 n≥2 时：

qa

a

a

a

a

a

a

a

a

a

n

n 14

5

3

4

2

3

1

2

11

nn qaa

等比数列的通项公式为等比数列的通项公式为

等比中项 如果三个数 x ， G ， y 组成等比数列，则 G 叫做 x 和 y 的等比中项 .

如果 G 是 x 和 y 的等比中项，那么G y

x G

即 G2=xy ，

显然两个正数 ( 或两个负数 ) 的等比中项有两个，它们互为相反数，

一个正数和一个负数没有等比中项。

在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项 ( 有穷数列的末项除外 ) 都是它的前一项与后一项的等比中项。

等比数列的通项公式还可以写成

an=a1qn － 1 1 n naq cq

q

当 q 是不为 1 的正数时，它是一个非零常数与一个指数函数的乘积 .

等比数列的图象

（ 1 ）数列： 1 ， 2 ， 4 ， 8 ， 16 ，…

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

●●

●

●

●

12nna

等比数列的图象（ 2 ）数列：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

67

8

9

10

0

●

●

●

●●

● ●

18,4,2,1, ,

2

42 nna

等比数列的图象

（ 3 ）数列： 4 ， 4 ， 4 ， 4 ， 4 ， 4 ，…

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

67

8

9

10

0

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

（ 4 ）数列： 1 ，－ 1 ， 1 ，－ 1 ，1 ，…

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

67

8

9

10

0

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

等比数列的图象

例 2 ．已知等比数列 {an} 的公比为 q ，第 m

项为 am ，试求其第 n 项。

解：由等比数列的通项公式可知 1

1n

na a q 11m

ma a q

两式相除得 n mn

m

aq

a

因此 n mn ma a q

例 3 ．已知等比数列 {an} 中， a5=20 ， a15=5 ，

求 a20.解：由 a15=a5q10 ，得 10 1

4q

所以 5 1

2q

因此 520 15

5

2a a q

或 520 15

5

2a a q

例 4 ．在 4 与 之间插入 3 个数，使这 5 个数

成等比数列，求插入的 3 个数。 4

1

解：依题意， a1=4 ，

5

1

4a

由等比数列通项公式得 4 5

1

1

16

aq

a

所以 1

2q

因此插入的 3 个数依次是 2 ， 1 ，21

或－ 2 ， 1 ，－ 2

1

1. 一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12

与 18 ，求它的第 1 项与第 2 项 .

练习：

1 2

16, 8

3a a

2 ．数列 1 ， 37 ， 314 ， 321 ，……中， 398

是这个数列的（ ）（ A ）第 13 项 （ B ）第 14 项 （ C ）第 15 项 （ D ）不在此数列中

C

3. 若数列 {an} 是等比数列，公比为 q ，则下

列命题中是真命题的是（ ）（ A ）若 q>1, 则 an+1>an

（ B ）若 0<q<1, 则 an+1<an

（ C ）若 q=1, 则 Sn+1=Sn

（ D ）若－ 1<q<0, 则nn aa 1

D

4 ．在 2 与 6 之间插入 n 个数，使它们组成等

比数列，则这个数列的公比为（ ）

（ A ） （ B ）

（ C ） （ D ）

n 3 n 3

1

1 3n 2 3n

C

5 ．若 x, 2x+2, 3x+3 是一个等比数列的连续

三项，则 x 的值为（ ）

（ A ）－ 4 （ B ）－ 1

（ C ） 1 或 4 （ D ）－ 1 或－ 4

A

6 ．三个正数 a,b,c 成等比数列，且

a+b+c=62, lga+lgb+lgc=3,

则这三个正数为 . 50 ， 10 ， 2 或 2 ， 10 ，50

7 ．在正项数列 {an} 中， (an+3)2=an+1an+5, 且 a3=

2, a11=8, 则 a7= .4