Embed Size (px)
Citation preview
1
TEMPUS PROJEKT: 516678 TEMPUS-1-2011-1-DE-
TEMPUS-JPCR:
ANPASSUNG DES LEHRBETRIEBS AN DEN
BOLOGNA PROZESS IM INGENIEURSTUDIUM FÜR
ASERBAIDSCHAN
Vorlesungsskript: Angewandte Mathematik
Für Studiengang: Bachelor-Automatisierungstechnik und
El.Energietechnik
Mühazirələr konspekti: Tətbiqi riyaziyyat
“Proseslərin avtomatlaşdırılması mühəndisliyi" və
“Elektroenergetika mühəndisliyi” ixtisaslarının bakalavr
səviyyəsi tələbələri üçün
Dr. Ing. Säfärli Ilgar (SUS)
Dr.-Ing. Shahverdiyev Mehman (AzTU)
Dr.-Ing. Säbzäliyev Mahir (ASEIU)
Baku 2015
2
Inhaltsverzeichnis
1. Fourierreihe 5
1.1. Harmonische Reihen 5
1.2. Trigonometrische Reihen 8
1.3. Fourierreihe für gerade und ungerade
Funktionen 14
1.4. Fourierreihe für 2 periodische Funktion 16
1.5. Die im angenommenen Abschnitt a b,
Trennung in die trigonometrische Fourierreihe der
angegebener Funktion 18
1.6. Das komplexe Bild der Fourierreihe 21
1.7. Harmonische Analyse 23
2. Kompleks variable Funktionen 27
2.1. Limit und Kontinuität der kompleks
variablen Funktion 28
2.2. Haupt einfache Funktionen mit komplex
Variablen 30
2.3. Ableitung der komplex variablen Funktion 35
2.4. Cauchy-Riemannsche Bedingungen 37
3
2.5. Analytische und harmonische Funktionen 39
2.6. Integrale der komplex variablen Funktion 42
2.7. Cauchy-Theorem 46
2.8. Integrale Cauchy-Formel 50
2.9. Inteagral des Typs Cauchy
2.10. Funktionenreihen der komplex variablen 53
2.11. Potenzreihe. Abelscher Grenzwertsatz 55
2.12. Nullen und besondere Punkte der 56
2.13. Nullen und besondere Punkte der
analytischen Funktionen 60
2.14.Selbstverhalten der Funktion um die unendlich
übereinstimmten Punkt 65
2.15 Berechnung der Integrale duch den 69
2.16.Einsatz von Subtrahenden 71
3.Berechnungsoperation 81
3.1.Einführung
3.2.Laplas-Tranformation und seine Vorhandensein 81
3.3 LaplasßTransformation einiger Funktionen 102
LİTERATUR
4
MÜNDƏRİCAT
1.Фурйе сыралары 5
1.1. Щармоник сыралар 5
1.2. Тригонометрик сыралар 8
1.3. Жцт вя тяк функсийалар цчцн Фурйе сыралары 14
1.4. 2l периодлу функсийа цчцн Фурйе сырасы 16
1.5. Ихтийари a b, парчасында верилмиш функсийанын
тригонометрик Фурйе сырасына айрылмасы 19
1.6. Тригонометрик Фурйе сырасынын комплекс шякли 21
1.7.Щармоник анализ 23
2. Комплекс дяйишянли функсийалар 27
2.1. Комплекс дяйишянли функсийанын лимити вя
Кясилмязлийи 28
2.2. Комплекс дяйишянли ясас елементар функсийалар 30
2.3. Комплекс дяйишянли функсийанын тюрямяси 35
2.4. Коши-Риман шяртляри 37
2.5. Аналитик вя щармоник функсийалар 39
2.6. Комплекс дяйишянли функсийанын интегралы 42
2.7. Коши теореми 46
2.8. Кошинин интеграл дцстуру 50
2.9. Коши типли интеграл 53
5
2.10. Комплекс дяйишянли функсийалар сырасы 55
2.11. Гцввят сыралары. Абел теореми 56
2.12. Лоран сырасы 60
2.13. Аналитик функсийаларын сыфырлары вя мяхсуси
Нюгтяляри 65
2.14. Сонсуз узаглашмыш нюгтянин
ятрафында функсийанын юзцнц апармасы 69
2.14. Функсийанын чыхыгы 71
2.15. Чыхыгларын тятбиги иля интегралларын щесабланмасы 77
3. Операсийа щесабы 81
3.1. Эириш 81
3.2. Лаплас чевирмяси вя онун варлыьы 81
3.3. Бязи функсийаларын Лаплас чевирмяси 84
3.4. Лаплас чевирмясинин хассяляри 86
3.5.Мялум сурятя эюря ориъиналын тапылмасы 96
3.6. Лаплас чевирмясинин бир сыра тятбигляри 102
ƏDƏBİYYAT 116
6
1.Фурйе сыралары
1.1. Щармоник сыралар.
Тябиятшунаслыгда вя техникада тез-тез дюври просесляр, йяни мцяййян заман фасиляси иля тякрар олунан щадисяляр мцшащидя олунур. Буна мисал олараг ряггасын рягсини, дяйишян жярайан щадисялярини вя с. эюстярмяк олар. Ян садя дюври щадися y A t sin( ) 0 (1)
гануну иля баш верян щармоник рягсдир. (1) бярабярлийиндя й-ин ала биляжяйи ян бюйцк гиймят олан А сабит вуруьуна рягсин
амплитудасы, ( ) t 0 -а рягсин фазасы, -йа ися рягсин тезлийи
дейилир.
(1) функсийасы ян кичик дюврц 2
олан дюври
функсийадыр вя буну т аргументиня ялавя етдикдя функсийанын гиймяти дяйишмир. Доьрудан да
y A t A t A t
sin sin( ) sin( )
220 0 0
2
кямиййяти бир рягс щярякятинин давам етдийи заман
мцддятини ыфадя едир, она эюря бу кямиййятя рягсин дюврц дейилир. Буну Т щярфи иля ишаря едяк :
T=2
,
бурадан
7
T
2
алынар. Т кямиййяти бир рягсин мцддяти олдугу цчцн 2
T
кямиййяти 2 заманда долан рягслярин сайыдыр. Беляликля, кямиййяти рягслярин тезлийидир. Ики бужаг жяминин синусу цчцн олан дцстуру тятбиг едиб (1) бярабярлийини чевиряк:
A t A t t
A t A t
sin (sin cos cos sin )
cos sin sin cos )
0 0 0
0 0
Бурада
a A cos0 вя b A sin0
ишаря едиб y a t b t sin cos (2)
аларыг . (1) функсийасы ганунуна вя йа башга сюзля (2) функсийасы ганунуна ясасян баш верян рягся садя щармоник рягс, онун графыкыня ися садя щармоника дейилир. Щяр бир дюври просеся садя щармоник рягс кими бахмаг олмаз. Бир нечя садя щармоник рягсин топланмасы нятижяси олан дюври щадисяляр дя тез-тез олур. Алынмыш йекун щярякятиня мцряккяб щармоник рягс, онун графыкыня ися мцряккяб щармоника дейилир. Исбат етмяк олар ки, цмумиййятля, мцхтялифтезликли садя щармоникалары топладыгда синусоида шяклиндя олмайан мцряккяб щармоника алыныр, бярабярте зликли щармоникалары топладыгда ися алынан щармоника садя щармоника шяклиндя олур. Бу заман тярс мясялянин щялли мейдана чыхыр: садя щармоник рягсляри нежя эютцрмяк лазымдыр ки, онларын топланмасы яввялжядян верилмиш периодик щярякяти характеризя
8
етсин, йяни истянилян периодик щярякяти мцряккяб щармоник рягс кими эюстярмяк олармы? Айдын олур ки, яэяр садя щармоникаларын сонлу жяминя бахсаг, буну етмяк цмумиййятля олмаз. Яэяр садя щармоникаларын сонсуз жяминя бахсаг (йяни сырайа), онда истянилян периодик функсийалары садя щармоникалара айырмаг олар. Щармоник рягся йайлы ряггасын рягсини нцмуня эюстярмяк олар (шяк.1). Тутаг ки, Б нюгтясиндян асылмыш йайын ашаьы щиссясиндя кцтляси м олан йцк вардыр, щансы ки, т=0 анында аьырлыг мяркязинин координаты з=0-дыр. т=0 анында з истигамятиндя йцкя z
импулсу тятбиг едилир. Нятижядя йцк рягс едяжяк. Таразлыг нюгтясиндян онун мейлини з=з(т) иля ишаря едяк. Беляки, биринжи йахынлашмагда йцкя тясир едян гцввя Нйутон гануна эюря
mz kz олажагдыр, онда бурадан
z zk
m 2 20
аларыг. Бу диференсиал тянлийин цмуми щялли
z c t c t 1 2cos sin
олар, бурада c c1 2, ихтийари сабитлярдир. Беляки,
z z( ) , ( ) ,0 0 0
онда
z t A t A
sin cos , ,
2
беляликля, биз йцкцн аьырлыг мяркязинин щармоник рягс етдийини алмыш олуруг.
B
O
z
Шякил 1.
9
1.2. Тригонометрик сыралар.
Функсионал сыралардан
a
a x b x a x b x01 1 2 2
22 2 cos sin cos sin ...
шяклиндя вя йа гысажа олараг
a
a nx b nxn n
n
0
2
( cos sin ) (1)
шяклиндя йазылмыш сырайа тригонометрик сыра дейилир. a0, an вя bn (н=1,2,…) сабит ядядляри тригонометрик сыранын ямсаллары адланыр. Яэяр (1) сырасы йыьылырса, онда онун жями олан ф(х) функсийасы 2 периодлу олар, чцнки sinnx вя cosnx функсийалары
2 периодлу функсийалардыр. Беляликля,
f(x)=f(x+2).
Тутаг ки, 2 периодлу ф(х) функсийасы (,)
интервалында тригонометрик сыранын жяминя бярабярдир :
f(x)=a
a nx b nxn n
n
0
2
( cos sin ) (2)
Бу щалда дейирляр ки, ф(х) функсийасы (,) интервалында
тригонометрик сыра иля эюстярилир. Фярз едяк ки, (2) бярабярлийинин сол тяряфиндя дуран функсийанын интегралы, онун саь тяряфиндяки щядлярин интегралларынын жяминя бярабярдир. Бунун доьру олмасы цчцн мясялян,
a
a b a b a bn n0
1 1 2 22 ... ... (3)
10
мцсбят щядли ядяди сырасынын йыьылан олмасы, йяни верилмиш тригонометрик сыранын ямсалларындан дцзялмиш ядяди сыранын мцтляг йыьылмасы кафидир. Бу щалда (3) сырасы (1) сырасынын маъоранты олур, демяли, (2) сырасыны иля арасында щядбящяд интегралламаг олар. ak
ямсалыны щесаблайанда бундан истифадя едяжяйик. (2) бярабярлийинин щяр ики тяряфини иля арасында
интеграллайаг :
f x dxadx a nxdx b nxdxn n
n
( ) cos sin
0
12
Саь тяряфдяки интегралларын щяр бирини айрыжа щесаблайаг :
adx a0
02
;
a nxdxa nx
nn
ncossin
,
0
b nxdxb nx
nn
nsinsin
,
0
Беляликля,
a f x dx0
1
( ) (4)
алырыг. Сыранын диэяр ямсалларыны щесабламаг цчцн бир нечя мцяййян интеграла бахаг. Истянилян н вя к там ядядляри цчцн n k олдугда
ашаьыдакы бярабярликляр доьрудур :
11
cos cos ;
cos sin ;
sin sin ;
nx kxdx
nx kxdx
nx kxdx
0
0
0
(I)
n=k оларса, онда
.sin
;0cossin
;cos
2
2
kxdx
kxdxkx
kxdx
(II)
k (k0) ядядинин щяр щансы мцяййян бир гиймятиндя ak ямсалыны тапмаг цчцн (2) бярабярлийинин щяр тяряфини coskx-я вураг :
1
0
)cossincoscos(
cos2
cos)(
n
nn kxnxbkxnxa
kxa
kxxf
(5)
Бярабярлийин саь тяряфындя алынан сыранын маъоранты вардыр, чцнки онун щядляринин мцтляг гиймятляри (3) мцсбят щядли сырасынын щядляриндян бюйцк дейилдир. Буна эюря дя ону ихтийари парчада щядбящяд интегралламаг олар. (5)
бярабярлийини иля арасында интеграллайаг :
12
n
n
nn kxdxnxbkxdxnxa
kxdxa
kxdxxf
1
0
cossincoscos
cos2
cos)(
(II) вя (I) дцстурларыны нязяря алсаг, саь тяряфдяки ямсаллары ак олан интегралдан башга, бцтцн интегралларын сыфыр олдуьуну эюрярик. Демяли,
f x kxdx a kxdx ak k( )cos cos ,
2
бурадан
a f x kxdxk
1
( )cos . (6)
(2) бярабярлийинин щяр тяряфини sinkx функсийасына вуруб, - иля
арасында интегралласаг аларыг :
f x kxdx b kxdx bk k( ) sin sin ,
2
бурадан
b f x kxdxk
1
( ) sin . (7)
(4), (6) вя (7) дцстурлары иля тяйин едилян ямсаллара ф(х) функсийасынын Фурйе ямсаллары, беля ямсаллары олан (1) тригонометрик сырасына ися ф(х) функсийасынын Фурйе сырасы дейилир. Инди ися беля бир мясяляйя бахаг: функсийа щансы хассяляря малик олмаыдыр ки, онун цчцн гурулмуш Фурйе сырасы йыьылсын вя гурулмуш Фурйе сырасынын жями верилмиш функсийанын уйьун нюгтяляриндяки гиймятляриня бярабяр олсун?
13
ф(х) функсийасынын Фурйе сырасы иля эюстяриля билмяси цчцн кафи олан шяртлярдян бирини гейд едяк.
Тяриф. Яэяр a b, парчасыны сонлу сайда x x xn1 2, ,...,
нюгтяляри иля еля ( ) , ( , ),...,( , )a x x x x bn1 1 1 2 1 интервалларына
бюлмяк оларса ки, бу интервалларын щяр бириндя функсийа монотон (йяни йа артмайан, йа да азалмайан) олсун, онда
ф(х) функсийасына a b, парчасында щисся-щисся монотон
функсийа дейилир.
Тярифдян чыхыр ки, яэяр ф(х) функсийасы a b,
парчасында щисся-щисся монотон вя мящдуддурса, онда о анжаг биринжи нюв кясилмя нюгтяляриня малик ола биляр. Доьрудан да, яэяр х=ж нбгтяси ф(х) функсийасынын кясилмя нюгтясидирся, онда функсийа монотон олдуьундан
lim ( ) ( ) , lim ( ) ( )x c x c
f x f c f x f c
0 0
0 0
лимитляри вардыр, йяни ж биринжи нюв кясилмя нюгтясидир (шяк. 2).
Теорем. 2 периодлу ф(х) перио-
дик функсийасы [-,] парчасында щисся-щисся монотон вя мящдуддурса, бу функсийа цчцн гурулмуш Фурйе сырасы бцтцн нюгтялярдя йыьылыр. Щямин сыранын жями олан с(х) вя верилмиш ф(х) функсийалары бу ахырынжынын
кясилмязлик нюгтяляриндя ейни гиймятляр алыр. Лакин ф(х)ин кясилмя нюгтяляриндя сыранын с(х) жяминин гиймяти ф(х) -ин саь вя сол лимитляринин ядяди орта гиймятиня бярабяр олур, йяни х=ж нюгтяси ф(х) функсийасынын кясилмя нюгтясидирся,
s xf c f c
x c( )( ) ( )
0 0
2.
Мисал. Ашаьыдакы функсийаны Фурйе сырасына айырын:
c
y=f (x)
f (c+0)
f (c0)
y=f (x)
O x
y
Шякил 2
14
f xx x
x x( )
,
,
0
0
йяни f x x( ) (шякил 3).
Бу функсийа x парчасында щисся-щисся монтон вя мящдуддур. Онун Фупйе ямсалларыны тяйин едяк:
a f x dx x dx xdx0
0
1 1
( ) ( )
y
O4 3 2 x432
Шякил 3.
olduqdaktkk
olduqdatck
kkk
kx
k
kx
kkxdx
kk
kxxkxdx
k
k
kxxkxdxxkxdxxak
я
ц
,4
,0
)1(cos2cos
cos1sin
1sinsin
1
sin1coscos)(
1
2
2
0
0000
00
0
b x kxdx x kxdxk
10
0
0
sin sin
Беляликля,
...
)12(
)12cos(...
5
5cos
3
3cos
1
cos
42)(
2222 p
xpxxxxf
15
сырасыны алырыг. Бу сыра бцтцн нбгтялярдя йыьылыр вя онун жями верилмиш функсийайа бярабярдир.
1.3. Жцт вя тяк функсийалар цчцн Фурйе сыралары
Жцт вя тяк функсийаларын тярифиндян чыхыр ки, жцт (x) функсийадырса,
( ) ( )x dx x dx
20
Доьрудан да, жцт функсийанын тярифиня ясасян (-x)=(x) олдуьундан,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x dx x dx x dx x dx x dx
x dx x dx x dx
0
0 0 0
0 0 0
2
Охшар гайда иля исбат етмяк олар ки, (x) тяк функсийа олдугда
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x dx x dx x dx
x dx x dx
0 0
0 0
0
олар
f(x) тяк функсийа олдугда f(x)coskx щасили тяк функсийа, f(x)sinkx щасили ися жцт функсийа олар, демяли,
16
0
0
sin)(2
sin)(1
;0cos)(1
;0)(1
dxkxxfdxkxxfb
dxkxxfa
dxxfa
k
k
олар, йяни жцт функсийанын Фурйе сырасында “йалныз косинуслар” олур. Алынмыш дцстурлар жцт вя йа тяк олан функсийаларын Фурйе ямсалларынын щесабланмасыны асанлашдырыр. Ашкардыр ки, щяр периодик функсийа щюкмян жцт вя йа тяк дейилдир. Беляликля, ф(х) функсийасы тяк олдугда онун Фурйе сырасы
f x b kxk
k
( ) sin ,
1
жцт олдугда ися
f xa
a kxk
k
( ) cos ,
0
12
шяклиня малик олур.
Мисал. f x x x( ) ( ) 2 шяклиндя тяйин
олунмуш 2 дюврлц ф(х) функсийасыны тригонометрик Фурйе
сырасына айырмалы. Верилмиш функсийа жцт олдуьундан
a x dx0
22
0
2 2
3
,
17
y
O3 2 x432
Шякил 1.
olduqdaktkk
olduqdacutkk
kxdxxak
я,4
,4
cos2
2
2
0
2
вя bk 0 олар. Онда онун Фурйе сырасы
....3
3cos
2
2cos
1
cos4
3~)(
22
2
xxxxf (1)
шяклиндя йазылар. ф(х) бцтцн ядяд охунда кясилмяйян вя щисся-щисся щамар функсийа олдуьундан (1) сырасы онун юзцня йыьылыр, йяни
....3
3cos
2
2cos
1
cos4
3 22
22
xxxx
1.4. 2l периодлу функсийа цчцн Фурйе сырасы.
Тутаг ки, ф(х) , цмумиййятля 2-дян фяргли олан 2л периодлу периодик функсийадыр. Ону Фурйе сырасына айыраг. Бунун цчцн
xlt
18
дцстуру иля дяйишяни явяз едяк. Онда flt
функсыйасы т
дяйишянинин 2 периодлу функсийасы олар. Ону x
парчасында Фурйе сырасына айырмаг олар:
flt
aa kt b ktk k
k
0
12( cos sin ) , (1)
бурада
.sin1
,cos1
,1
0
ktdttl
fb
ktdttl
fa
dttl
fa
k
k
Инди ися кющня х дяйишяниня гайыдаг:
xlt t x
ldt
ldx
, , .
Онда
aef x dx
aef x k
exdx
bef x k
exdx
e
e
k
e
e
k
e
e
0
1
1
1
( ) ,
( )cos ,
( ) sin ,
(2)
(1) дцстуру
f xa
ak
ex b
k
exk k
k
( ) cos sin
0
12
(3)
19
шяклини алыр, бурада kk baa ,,0 ямсаллары (2) дцстурлары иля
щесабланыр. Бу, 2л периодлу периодик функсийа цчцн Фурйе сырасыдыр.
Гейд едяк ки, 2 периодлу периодик функсийаларын Фурйе сыралары цчцн доьру олан бцтцн теоремляр, ихтийари 2л периодлу периодик функсийаларын Фурйе сыралары дцчцн дя доьру олур. Мисал. [-l,l] парчасында f(x)=x дцстуру иля верилмиш 2l
периодлу f(x) периодик функсийасыны Фурйе сырасына айырмалы. Щялли. Бахылан функсийа тяк олдуьундан
a kk 0 0 1 2( , , ,,,,)
1
0
2
0
0
0
)1(2
sincos2
coscos2
sin2
k
l
l
l
l
k
k
l
l
k
l
xk
l
k
kl
l
dx
l
kl
xk
l
kl
xk
xl
dxl
xkx
lb
Демяли, айрылыш
xl x
l
x
l k
k x
l
k
2 1
2
2 1 1
sin sin ...
( )sin ...
шяклиндя олур. Теоремя эюря бу сыра щяр бир l x l нюгтясиндя х-я йыьылыр, -l вя l нюгтяляриндя ися сыфра йыьылыр.
Хцсуси щалда, xl
2
олдугда
1
2
211
3
1
5 l
( ...),
бурадан
20
411
3
1
5
1
71
1
2 1
... ( ) ...k
k
аларыг.
1.5. Ихтийари a b, парчасында верилмиш функсийанын
тригонометрик Фурйе сырасына айрылмасы.
Тутаг ки, [a,b] парчасында тяйин олунмуш щисся-щиисся диференсиалланан f(x) функсийасы верилмишдир. Координат башланьыжыны [a,b] парчасынын ортасына эятирмякля, биз йени координат системини алмыш оларыг, бу заман функсийасынын тяйин областы [-l,l] шяклини алажаг, бурада l=(b-a)/2. Нятижядя, ф(х) функсийасы цчцн шяклиндя Фурйе сырасы айрылышыны алмаг олар (§9.1.4; (3)). Яэяр координат башланьыжыны x=a нюгтясиня кючцрсяк, онда f(x)
функсийасынын тяйин областы 0; l шяклини
алажаг, бурада l=b-a. f(x) функсийасыны
l; 0 парчасына “тяк давам етдиряк”
(шякил 1), йяни
f x
f x x l
x
f x x l
1
0
0 0
0
( )
( ) , , ,
,
( ), ,
функсийасыны тяйин едяк. f1(x) функсийасы тякдир, демяли, о синуса эюря Фурйе сырасына айрылыр. Беляликля, f(x)-ин синуса эюря айрылышыны алмыш олуруг:
y=f (x)
O l l x
y
Шякил 1.
21
f x bn x
ldxn
n
( ) sin ,
1
бурада
blf x
n x
ldxn
l
2
0
( ) sin
.
f(x) функсийасыны l; 0 парчасына “жцт давам етдирсяк”,
f x
f x x l
f x x l1
0
0( )
( ) , , ,
( ), ,
функсийасыны тяйин етмяк олар. f2(x) функсийасы жцтдцр, демяли, аналоъи олараг верилмиш функсийанын косинуса эюря Фурйе сырасына айрылышыны алмыш оларыг:
f xa
an x
ln
n
( ) cos ,
0
12
бурада alf x dx a
lf x
n x
ldx
l
n
l
0
0 0
2 2 ( ) , ( )cos
.
Мисал. f x x x( ) ( ) 1 1 функсийасыны Фурйе
сырасына айырмалы. Бу тяк функсийанын бцтцн ядяд охуна 2 дюврлц (л=1) давамы
1
sin~k
k xkbf
шяклиндя Фурйе сырасына айрылыр. Бурада
b x k xdxk
k kkk
k
22
12
121
0
1
sincos
( ) , , ,...
f(x) функсийасы (-1,1) интервалында кясилмяйян вя щамар функсийа олдуьунда онун Фурйе сырасы щямин интеервалда юзцня йыьылыр:
22
xk x
kxk
k
2
1 1 11
1
( )
sin, .
1.6. Тригонометрик Фурйе сырасынын комплекс шякли.
Тутаг ки, 2 дюврлц f(x) функсийасы тригонометрик
Фурйе сырасына айрылмышдыр:
f xa
a kx b kxk k
k
( ) ( cos sin ),
0
12 (1)
бурада
a f x kxdxk
1
( )cos ,
,...)2,1,0(sin)(1
kkxdxxfbk . (2)
Ейлер дцстурларыны, йяни
cos ( ), sin ( )kx e e kxie eikx ikx ikx ikx 1
2
1
2
ифадялярини (1) бярабярлиийиндя нязяря алсаг
f xa
ae e
be e
i
a a ibe
a ibe
k
ikx kx
k
ikx ikx
k
k k ikx k k ikx
k
( )
0
1
0
1
2 2 2
2 2 2
алыныр. Бурада
k
kk
k
kkc
ibac
ibac
a
2,
2,
20
0 (3)
явязлямялярини апардыгда (3) сырасы
23
f x c c e c ek
ikx
k
ikx
k
( ) ( )
0
1
вя йа
f x c ekikx
k
( )
(4)
шяклиндя йазылыр. (4) сырасына тригонометрик Фурйе сырасынын комплекс шякли дейилир.
Инди (2) дцстурларындан истифадя едяряк ck вя ck (= ck )
ямсалларынын интеграл васитясиля ифадясини тапаг:
dxexfdxkxikxxf
kxdxxfikxdxxfibac
ikx
kkk
)(2
1)sin)(cos(
2
1
sin)(cos)(2
1)(
2
1
Ейни гайда иля
dxexfc ikxk )(
2
1 (6)
дцстуруну вя
dxxfc )(2
10
бярабярлийинин доьрулуьуну да эюстярмяк олар. ck (k=0, 1,
2, …) ядядляриня f(x) fuнксийасынын комплекс Фурйе ямсаллары дейилир. (5) вя (6) дцстурларыны бир дцстур шяклиндя йазмаг олар:
,...)2,1,0()(2
1kdxexfc ikx
k
2l дюврлц f(x) функсийасынын тригонометрик Фурйе сырасынын комплекс шякли
f x c ekik
lx
k
( )
24
кими, онун комплекс Фурйе ямсалларынын интеграл васитясиля ифадяси ися
clf x e dxk
ik
lx
l
l
1
2( )
шяклиндя олар.
1.7.Щармоник анализ
Функсийаларын тригонометрик Фурйе сыраларына айырмаг нязярыййясиня щармоник анализ дейирляр. Яэяр функсийа аналитик шякилдя верилярся, онда интеграллама васитясиля онун Фурйе ямсаларыны щесабламаг вя уйьун тригонометрик сыраны гурмаг олур. Анжаг практикада тез-тез функсийаларын графики вя жядвял шяклиндя верилмясиня раст эялинир. Бу заман мясяля функсийа цчцн аналитик ифадянин тапылмасындан ибарят олур. Бу мягсядля триногометрик сыралардан истифадя етмяк олар, беля ки, бу функсийа тяхмини вя кифайят гядяр дягиг олараг Фурйе сырасынын сонлу сайда илкин щядляринин жями шяклиндя ифадя олуна биляр. Беляликля, мясяля функсийанын Фурйе ямсалларынын тапылмасындан ибарят олур. Бунун цчцн ися тягриби интеграллама цсуларындан бириндян истифадя етмяк лазым эялир. Мясялян, дцзбужаглылар цсулуну тятбиг едяк. ],[ парчасыны
nn xxxxx ,,...,,, 1210
нюгтяляри иля н бярабяр щиссяйя бюляк. Онда бюлэц аддымы
nx
2
олар. f(x) функсийасынын nn xxxxx ,,...,,, 1210 бюлэц
нюгтяляриндяки гиймятлярини уйьун олараг
nn yyyyy ,,...,,, 1210
Иля ишаря едяк. Бу гиймятляри йа жядвялдян вя йа верилмиш
25
функсийанын графикиня ясасян (уйьун ординатлары юлчмякля) тапырыг. Онда, дцзбужаглылар дцстурундан истифадя едяряк Фурйе ямсаларыны ашаьыдакы шякилдя тапырыг:
1
0
1
0
1
0
0
21 n
i
i
n
i
i
n
i
i yn
yx
xya (1)
1
0
1
0
cos2
cos1 n
i
ii
n
i
iik kxyn
xkxya (2)
1
0
1
0
sin2
sin1 n
i
ii
n
i
iik kxyn
xkxyb (3)
вя йа
f x dxd f t tdt( ) cos ( )cos
2
00
(*)
шяклини алар. Яэяр f(x) функсийасы тякдирся, онда
A B f t tdt( ) , ( ) ( ) sin
02
0
олар вя онун Фурйе интегралы
f x B xdx( ) ( ) sin
0
вя йа f x xdx f t xdx( ) sin ( ) sin
2
0 0
шяклини алар.
Гейд едяк ки,
26
f x f t e dt di t x( ) ( ) ( )
1
20
ифадяси Фурйе интегралынын комплекс шякли адланыр. Ону
f x f t e dt e di t i t( ) ( )
1
2
1
20
шяклиндя йазмаг олар. Ахырынжы бярабярлийя ясасян
F f t e dti t
( ) ( )
1
2,
f x F e di t( ) ( )
1
2
олар.
Мисал. f x
xx
x
( ), ( )
, ( )
12
0 2
0 2
функсийаны Фурйе интегралы шяклиндя эюстярмяли. Верилмиш функсийа жцт олдуьундан f(x) йалныз [0, 2] парчасы цзря интегралламаг олар, беляки, бу парчадан кянарда о сыфра бярабярдир. (*)-а ясасян йаза билярик:
f x xdt
tdt( ) cos cos
2
12
0 0
2
.
Дахили интегралы щесаблайаг:
12
12
1
20
2
0
2
0
2
ttdt
t ttdtcos
sinsin
27
1
2
1 2
22
0
2
2
2
2
cos
cos sint ,
нятижядя
f x xd( )sin
cos
2 2
2
0
аларыг, хцсуси щалда x=0 олдугда
f d( )sin
0 12 2
2
0
,
йяни
sin2
2
02
d
олар.
28
2. Комплекс дяйишянли функсийалар
Фярз едяк ки, iyxz вя ivu кими ики комплекс
ядядляр мцстявиляри верилмишдир. z мцстявиси цзяриндя D нюгтя-
ляр чохлуьуну (шякил 1), мцстявиси цзяриндя ися G нюгтяляр чохлуьуну (шякил 2) гейд едяк.
Тяриф 1. D чохлуьундан эютцрцлмцш щяр бир z ядядиня
мцяййян ганунла (гайда иля) G чохлуьундан бир ядяди гаршы гоймаг мцмкцн оларса, онда дейирляр ки, D чохлуьунда бир-
гиймятли =f(z) комплекс дяйишянли функсийа верилмишдир вя йа дейирляр ки, D чохлуьуну G чохлуьуна иникас етдирян комплекс
дяйишянли =f(z) функсийасы верилмишдир.
zD-ин щяр бир гиймятиня G-нин ики вя даща чох
гиймяти уйьун эялярся, онда =f(z)-я чохгиймятли функсийа дейилир. D чохлуьуна f(z) функсийасынын тяйин олунма областы дейилир, G чохлуьунун щяр бир нюгтяси функсийанын гиймятидирся, онда G-я бу функсийанын гиймятляр областы дейилир. yixz вя viu комплекс ядядляр олдуьундан
yxviyxuzf ,, йаза билярик. Бурада
,Re, zfyxu Dyxzfyxv ,,Im, .
Демяли, комплекс дяйишянли функсийанын верилмяси щягиги
шякил 1 шякил 2
29
икидяйишянли ики функсийанын верилмясиня еквивалентдир.
Мисал 1. izz 3 функсийаынын щягиги вя хяйали щисся-лярини тапын. Щялли. iyxz олдуьундан
yxyxiyxiiyxivu 2333
.3,3)3( 322332 xyyxvyxyxuxyyxi
=f(z) функсийасы D чохлуьуну G чохлуьуна иникас едирся, онда G чохлуьундан эютцрцлмцш щяр бир G нюгтясиня D чохлуьундан бир вя йа бир нечя нюгтя уйьун эяляжякдир. Демяли G чохлуьунда тяйин олунмуш
1fz
функсийасыны алырыг. Бу функсийайа =f(z) функсийасынын тярс
функсийасы дейилир. 1fz тярс функсийасы G чохлуьуну D
чохлуьуна иникас едир. Мясялян, 0 abaz функсийасы z
мцстявисини гаршылыглы биргиймятли олараг мцстявисиня иникас
едир. Онун тярс функсийасы олан a
bz
ися мцстявисини z
мцстявисиня иникас едир.
Фярз едяк ки, =f(z) функсийасы D чохлуьуну G чохлу-
ьуна, gW функсийасы ися G чохлуьуну E чохлуьуна ини-
кас едир. D чохлуьуну E чохлуьуна иникас едян zfgzW
функсийасына мцряккяб функсийа вя йа g вя f функсийаларынын
суперпозисийасы дейилир.
2.1. Комплекс дяйишянли функсийанын лимити вя кясилмязлийи
Тяриф 1. yxViyxUzf ,, функсийасы 000 yixz
нюгтясинин мцяййян ятрафында тяйин олунмуш (z0 нюгтясидя тя-йин олунмайада биляр) функсийадырса вя 0 ядядиня эюря
30
еля 0 ядяди вар ки, 00 zz шяртини юдяйян
бцтцн z нюгтяляри цчцн
ibaAAzf
бярабярсизлийи юдянилирся, онда A комплекс ядядиня z0 нюгтя-синдя f(z) функсийасынын лимити дейилир вя
Azfzz
0
lim вя йа 0zzAzf
кими йазылыр. Айдындыр ки,
0limlim000
AzfAzfzzzz
.
zfzz 0
lim
лимитинин варлыьы ayxU
yyxx
,lim
0
0
вя
byxV
yyxx
,lim
0
0
лимитляринин варлыьы иля ейни эцжлцдцр, беля ки,
yxViyxUzf
yyxx
yyxxzz
,lim,limlim
0
0
0
00
.
Она эюрядя сонлу лимити олан щягиги дяйишянли функсийаларын лимитляри щаггында олан тяклифляр комплекс дяйишянли функсийанын лимити цчцн дя доьрудур:
.0limlim
limlim)3
.limlimlim)2;limlimlim)1
gg
f
g
f
gfgfgfgf
)(lim00
zfzz
оларса, онда zf функсийасына 0z нюгтясиндя
сонсуз бюйцйян функсийа вя A нюгтясиня zf
функсийасынын 0z нюгтясиндя лимити дейилир вя
zfzz 0
lim
кими йазылыр.
Мисал 1.
iiziz
iziz
iz
izz
iziziz
2lim
2lim
23lim
2
.
31
Тяриф 1 -дя zf функсийасы 0z нюгтясиндя дя тяйин олунар-
са вя 0zfA олса, онда zf -я 0z нюгтясиндя дя кясилмя-
йян функсийа дейилир вя беля йазылыр:
00
lim zfzfzz
.
0lim0limlim0
00
000
fzfzfzfzfzzzzz
,
демяли zf функсийасынын 0z нюгтясиндя кясилмяйян олмасы
цчцн щямин нюгтядя аргумент артымы сыфра йахынлашдыгда функсийа артымынын да сыфра йахынлашмасы зярури вя кафи шяртдир. Айдындыр ки, f(z) функсийасынын z0 нюгтясиндя кясилмязлийи U(x,y) вя V(x,y) функсийаларынын (x0,y0) нюгтясиндя кясилмязликляри иля еквивалентдир. Одур ки, комплекс дяйишянли кясилмяйян функсийаларын жями, фярги вя щасили дя кясилмяйян-дир, ики кясилмяйян f(z) вя g(z) функсийаларын нисбяти g(z)-ин
сыфырдан фяргли олдуьу нюгтялярдя кясилмяйяндир. Верилмиш D
областынын щяр бир нюгтясиндя кясилмяйян функсийайа щямин областда кясилмяйян функсийа дейилир.
Мисал 2. 22 yxzzf -функсийасы комплекс мцс-
тявинин бцтцн нюгтяляриндя кясилмяйяндир. Доьрудан да:
00 zzzzzf .
2.2. Комплекс дяйишянли ясас елементар функсийалар
1). mm
mm
nn
nn
bzbzbzb
azazazaW
1
1
10
1
1
10
...
... функсийасына кяср–ра-
сионал функсийа дейилир, mn, жцтцня кяср-расионал функсийа-
нын тяртиби дейяжяйик. Кяср–расионал функсийа мяхряжин сыфырдан фяргли олдуьу нюгтялярдя тяйин олунмуш вя
кясилмяйяндир. Хцсуси щалда, 1,0 0 bm олдугда алынан
32
nn
nn azazazaW
1
1
10 ... функсийасына там расионал
функсийа вя йа n дяряжяли (a00) чохщядли дейилир.
2. z=x+iy комплекс ядяди цчцн yiyeee xiyxz sincos
функсийасына цстлц функсийа дейяжяйик. y=0 олдугда бизя мя-лум олан щягиги дяйишянли ex функсийасыны алырыг.
yeeyee xzxz sinIm,cosRe .
Бу тярифдян ez функсийасынын ашаьыдакы хассяляри алыныр. а) ez функсийасы комплекс мцстявидя кясилмяйяндир.
б) z1, z2 комплекс ядядляри цчцн 2121 zzzzeee
.
ж) ie z 2 периодлу периодик функсийадыр: .2 ziz ee
д) yeeeyixz zxz arg, .
е) ez функсийасы 0-дан башга бцтцн гиймятляри алыр.
Цстлц функсийада x=0, y= гябул етсяк, онда
sincos iei . (3.1)
(3.1) бярабярлийиня Ейлер дцстуру дейилир. Ейлер дцстуруну комплекс ядядин тригонометрик шякилдя йазылмыш шяклиндя нязяря алсаг;
.arg,,sincos zzrreirz i
Комплекс ядядин irez шякилдя йазылышына, онун цстлц фор-мада йазылышы дейилир. 3. Цстлц функсийанын тярс функсийасына логарифмик
функсийа дейилир: яэяр e=z (z0) оларса, онда ядядиня z-ин
логарифмасы дейилир вя =Lnz иля ишаря едилир.
viurez i , бярабярликлярини ze -дя нязяря алсаг iviuviu reeee .
Комплекс ядялярин бярабярлийиня ясасян алырыг:
,...2,1,02, vreu .
ru ln -мцсбят ядядин ади натурал логарифмасыдыр. Онда
33
zirviuzLn arg,2ln вя йа
,ln zArgizzLn 2arg zzArg . (3.2)
(3.2) бярабярлийиндян эюрцнцрки, комплекс аргументли логарифмик функсийа чохгиймятлидир. (3.2) бярабярлийиндя k=0 олдугда алынан биргиймятли функсийайа Lnz -ин баш гиймяти дейилир вя zizz arglnln кими ишаря едилир. Логарифмик функ-
сийа 0z олан нюгтяляр чохлуьунда кясилмяйяндир.
4.Ашаьыдакы бярабярликлярля тяйин олунан функсийалара комплекс дяйишянли тригонометрик функсийалар дейилир вя беля ишаря едилир:
.sin
cos,
cos
sin,
2cos,
2sin
z
zzctg
z
zztg
eez
i
eez
iziziziz
Бу тярифдян sinz вя cosz функсийаларынын ашаьыдакы хассяляри алыныр: а) sinz вя cosz бцтцн комплекс мцстявидя кясилмяйян функйалардыр.
б) sinz вя cosz 2 периодлу периодик функсийалардыр, sinz-тяк, cosz-жцт функсийадыр. ж) Щягиги аргументли тригонометрик функсийалар цчцн дцстурлар комплекс аргументи тригонометрик функсийалар цчцндя доьрудур. Мясялян
zzzzz cossin22sin,1cossin 22
,sincoscossinsin 212121 zzzzzz в.с.
д) sinz вя cosz бцтцн гиймятляри алыр, йяни zsin вя
zcos тянликляринин истянилян комплекс A ядяди цчцн щялли
вар. Хцсуси щалда sinz=0 вя cosz=0 тянликляринин щялли, йалныз y=0 олдугда, йяни йалныз щягиги ox цзяриндя вар. Демяли,
zz 0sin , ,...2,1,02
0cos
zz .
Бу хассядян алыныр ки, щягиги аргументли тригонометрик
34
функсийалардан фяргли олараг комплекс аргументли zsin вя
zcos функсийалары комплекс мцстявидя мящдуд дейил; йяни
zsin вя zcos ващидян бюйцк ядяд (щятта истянилян гядяр
бюйцк ядяд) ола биляр. Мясялян,
174,1sin543,12
cos1
iee
i .
ztg функсийасы 0cos z олдуьу нюгтялярдя, йяни
2
z
,...2,1,0 нюгтяляриндя кясилмяйяндир, zctg -ися 0sin z
олдуьу нюгтялярдя, йяни ,...2,1,0 z нюгтяляриндя
кясилмяйяндир. 5. Комплекс аргументли тригонометрик функсийаларын тярс функсийалары ашаьыдакы кими ишаря олунур:
.,,cos,sin zctgArcztgArczArczArc
,sin,sin zArcz
0122
sin 2 iiii
izeei
eez
21 zizei
)1(sin)1( 22 zizLnizArczizLni .
Охшар гайда иля ашаьыдакы дцстурлар алыныр:
.2
;1
1
2
;1cos 2
iz
izLn
izctgArc
iz
izLn
iztgArc
zzLnizArc
Мисал 1. iArcsin -ни щесаблайын.
Щялли. zArcsin -ин ифадясиндя iz йазсаг, аларыг:
121sin 22 LniiiLniiArc .
(3.2) бярабярлийиня ясасян:
35
.;...2;1;012ln12
212ln12sin
,...).2;1;0(12ln2
2012ln12sin
i
iiLniiArc
i
iiLniiArc
6. Ашаьыдакы бярабярликлярля тяйин олунан функсийалара комплекс аргументли щиперболик функсийалар дейилир:
.,
,2
,2
zsh
zchzcth
zch
zshzth
eezch
eezsh
zzzz
zchzsh , функсийалары z мцстявисиндя, zth функсийасы 0zch
олдугда, zcth ися 0zsh олдуьу нюгтялярдя
кясилмяйяндирляр. Тярифдян билаваситя алыныр ки, zsh вя izch 2 периодлу,
zth вя zcth ися i периодлу функсийалардыр.
Щипорболик функсийаларда тригонометрик функсийалар арасында ашаьыдакы ялагяляр вардыр (бу ялагяляр билаваситя онларын тярифляриндян алыныр):
,cos,cos,sin,sin izzchizchzizizshizshiz
.;...2;1;02
0
,;...2;1;00
.,,,
izzch
izzsh
izctgizcthizctgizctgiztgizthizthiztg
Тригонометрик функсийалар цчцн доьру олан ейниликляр вя дцс-турлар цмумиййятля щиперболик функсийалар цчцн дя доьрудур. Мясялян,
zchzshzshzshzch 22,122 вя с.
36
Гейд. azz ea ln вя zez ln олдуьундан zaW (
1,0a -ихтийари комплекс ядяддир) вя zW ( - ихтийари
комплекс ядяддир) функийаларыны айрыжа юйрянмяйя ейтийаж йохдур.
2.3. Комплекс дяйишянли функсийанын тюрямяси
Комплекс дяйишянли функсийанын тюрямяси анлайышы щягиги
дяйишянли функсийаларда олдуьу кими верилир. Тутаг ки, f(z) функсийасы z нюгтясинин мцяййян ятрафында тяйин олунмушдур.
Бу ятрафдан чыхмамаг шяртиля z-я z артымы веряк. Онда функсийа артымы
.zfzzff
Тяриф 1. z ихтийары гайдада сыфра йахынлашдыгда z
f
нис-
бятинин сонлу лимити варса, онда f(z)-я z нюгтясиндя диференсиал-ланан функсийа, щямин лимитя ися f(z) функсийасынын z нюгтясин-
дя тюрямяси дейилир вя zf кими ишаря олунур:
.limlim00 z
zfzzf
z
fzf
zz
Областын щяр бир нюгтясиндя диференсиалланан zf
функсийасына щямин областда диференсиалланан функсийа дейилир. Мисал 1. f(z)=cosz функсийасынын комплекс мцстявинин истянилян нюгтясиндя диференсиалланан олмасыны эюстярмяли:
.sin2
sinlim2/
)2/(sinlim
2
2sin
2sin2
limcoscos
limcos
00
00
zz
zz
z
z
zzz
z
zzzz
zz
zz
z нюгтясиндя диференсиалланан функсийа щямин нюгтядя
37
кясилмяйяндир. Тярси ися цмумиййятля доьру олмайада биляр. Бу фактларын исбаты щягиги дяйишянли функсийаларда олдуьу
кимидир. Мисал 2. f(z)=|sinz| функсийасы комплекс мцстявидя кясил-
мяйяндир, лакин z=0 нюгтясиндя бу функсийанын тюрямяси йохдур. Доьрудан да,
z
z
z
z
z
f
zzz
sinlim
0sin0sinlimlim
000
.1sin
limsin
lim
,1sin
limsin
lim
000
0
000
0
x
x
z
z
x
x
z
z
xxy
xxy
Бу бярабярликлярдян эюрцнцр ки, zzf sin функсийасы 0z
нюгтясиндя диференсиалланан дейил.
zf вя zg функсийалары z нюгтясиндя
диференсиалланандырса, онда онларын жябри жями, щасили вя мяхряжи сыфырдан фяргли олдугда нисбяти дя щямин нюгтядя диференсиалланандыр вя ашаьыдакы бярабярликляр доьрудур.
.0,,2
zgg
gfgf
g
fgfgffggfgf
Хцсуси щалда constcf оларса, онда
2
,g
gc
g
cgccg
.
zf функсийасы z нюгтясиндя, wF функсийасы ися
zfW нюгтясиндя диференсиалланан функсийалардырса, онда
zfFz мцряккяб функсийадыса z нюгтясиндя диферен-
сиалланандыр вя zfwFz
38
2.4. Коши-Риман шяртляри
Комплекс мцстявинин D областында тяйин олунмуш
Dzyxviyxuzf ,,
функсийасына бахаг. Фярз едяк ки, zf функсийасы бу областын
z нюгтясиндя диференсиалланандыр:
yix
viu
z
fzf
yxz
000
limlim . (5.1)
Шяртя ясасян yixz истянилян гайдада сыфра
йахынлашдыгда (5.1) лимити вар вя ейни бир zf комплекс
ядядиня бярабярдир. Ашаьыдакы хцсуси щаллара бахаг:
1)
x
yxuyxxu
x
viu
z
fzf
xyxz
),(),(limlimlim)(
0000
x
vi
x
u
x
yxvyxxvi
x
),(,lim
0. (5.2)
yi
yxuyyxu
yi
viuzf
yxy
,,limlim
000
y
v
y
ui
y
yxvyyxv
y
),(),(lim
0. (5.3)
Комплекс ядядлярин бярабярлийиня ясасян
x
v
y
u
y
v
x
u
, . (5.4)
(5.4) шяртляриня Коши-Риман шяртляри дейилир (бу шяртляр кифайят гядяр яввял Даламбер вя Ейлерин ишляриндя тапылдыьына эюря, она Даламбер-Ейлер шяртляридя дейилир). Бунунла биз ашаьыдакы теореми исбат етдик.
39
Теорем 1. yxivyxuzf ,, функсийасы yixz
нюгтясиндя диференсиалланандырса, онда yxu , вя yxv ,
функсийаларынын yx, нюгтясиндя биринжи тяртибдян хцсуси
тюрямяляри вар вя онлар (5.4) Коши – Риман шяртлярини юдяйирляр. Бу теоремин тярсинин доьру олмасы цчцн ялавя шярт -
yxu , вя yxv , функсийаларынын хцсуси тюрямяляринин кясил-
мязлийи лазымдыр.
Теорем 2. Яэяр yxu , вя yxv , функсийаларынын
yx, нюгтясиндя кясилмяз хцсуси тюрямяляри варса вя онлар
Коши-Риман шяртлярини юдяйирся, онда viuzf функсийасы
yixz нюгтясиндя диференсиалланандыр.
(5.2) (вя йахуд (5.3)) бярабярлийини вя (5.4) Коши-Риман шяртлярини нязяря алсаг:
x
vi
y
v
y
ui
x
u
y
ui
y
v
x
vi
x
uzf
(5.5)
Мисал 1. zezf - функсийасынын комплекс мцстявидя
диференсиалланан олдуьуну эюстярин. Щялли.
yeiyeyiyeee xxxyixz sincossincos
y
u
y
vye
x
uyevyeu xxx ,cossin,cos
.sinx
vye x
Демяли алырыг ки, yevyeu xx sin,cos
функсийаларынын yx, нюгтясиндя кясилмяз хцсуси тюрямяляри
вар вя онлар Коши-Риман шяртлярини юдяйир. Одур ки, ze функсийасы комплекс мцстявидя диференсиалланандыр. (5.5) дцстурундан алырыг:
40
.sincossincos zxxxz eyiyeyeiyex
vi
x
ue
Гейд. vrviruzfrez i ,,, . Нюгтянин
полйар вя декарт координатлар арасындакы sin,cos ryrx мцнасибятляриндян истифадя етмякля (5.4)
Коши-Риман шяртлярини полйар координатларда йазмаг олар:
u
rr
vv
rr
u 1,
1.
Вя бу щалда функсийанын тюрямяси цчцн
ui
v
zr
vi
r
u
z
rzf
1 дцстуру алыныр.
2.5. Аналитик вя щармоник функсийалар
Комплекс дяйишянли функсийалар нязяриййясиндя функ-сийанын аналитиклик анлайышы ян ясас анлайышлардан биридир. Тяриф 1. D областынын щяр бир нюгтясиндя биргиймятли вя дифференсиалланан f(z) функсийасына бу областда аналитик (вя йа регулйар, йахуд голоморф) функсийа дейилир. Тяриф 2. f(z) функсийасы z нюгтясиндя вя онун мцяййян ятрафында дифференсиалланандырса, онда f(z) функсийасына z нюгтясиндя аналитик функсийа дейилир. Бу тярифдян эюрцнцр ки, областда функсийанын аналитик олмасы иля дифференсиалланан олмасы цст-цстя дцшцр. Анжаг функсийанын нюгтядя аналитиклийи иля дифференсиалланан олмасы цст-цстя дцшмцр. Чцнки функсийанын нюгтядя аналитик олмасы цчцн щямин нюгтянин ятрафында да дифференсиалланан олмалыдыр. Тяриф 3. Функсийанын аналитик олдуьу нюгтяйя онун дцзэцн нюгтяси, аналитик олмадыьы нюгтяйя ися онун мяхсуси нюгтяси дейилир.
41
Теорем 1. yxviyxuzf ,, функсийасынын D об-
ластында аналитик олмасы цчцн зярури вя кафи шярт yxu , вя
yxv , функсийаларынын D областында биринжи тяртиб хцсуси
тюрямяляринин кясилмяйян олмасы вя Коши-Риман шяртляринин юдянилмясидир:
.),(,, Dyxx
v
y
u
y
v
x
u
Областда аналитик функсийасынын щямин областда истянилян тяр-тибдян кясилмяз тюрямяси вардыр. Мисал 1. zcos функсийасынын z мцстявисиндя
аналитик олдуьуну исбат един.
Щялли. iyxyixiyxviu sinsincoscoscos
.sin,cossincos shyxvychxuyshxiychx
Бурадан:
,cos;sinx
vyshx
y
u
y
vychx
x
u
йяни Коши-Риман шяртляри yx; нюгтясиндя юдянилир. Демяли
zcos функсийасы z мцстявисиндя аналитикдир.
Коши-Риман шяртляриндян:
.,2
2
22
2
2
yx
v
y
u
yx
v
x
u
Бу бярабярликляри тяряф-тяряфя топласаг:
;02
2
2
2
y
u
x
u (6.1)
бу гайда иля:
02
2
2
2
y
v
x
v. (6.2)
(6.1) тянлийин сол тяряфини u иля ишаря едяк:
42
2
2
2
2
y
u
x
uu
.
0u тянлийиня Лаплас тянлийи, 2
2
2
2
yx
- символуна ися
Лаплас оператору дейилир. Тяриф 4. Икинжи тяртибдян кяислмяз хцсуси тюрямяляри олан вя Лаплас тянлийини юдяйян функсийайа щармоник функсийа дейилир.
Тяриф 5. Яэяр yxu , вя yxv , щармоник функсийалары
Коши-Риман шяртлярини юдяйирся, онда yxu , вя yxv , функ-
сийаларына гошма щармоник функсийалар дейилир. (6.1) вя (6.2) бярабярликляриндян алыныр ки, аналитик
yxviyxuzf ,, функсийасынын щягиги вя хяйали щиссяляри
олан yxu , вя yxv , гошма щармоник функсийалардыр.
Лакин, тярси цмумиййятля доьру дейилдир. Мясялян, гошма
щармоник олмайан yvxu 11 , щармоник
функсийаларындан дцзялян zyixviuzf 11
*
функсийасы аналитик функсийа дейилдир. Аналитик функсийанын щягиги вя хяйали щиссяляри гошма щармоник функсийалар олдуьундан онлардан бири верилдикдя диэярини сабит топланан дягигилийи иля тапмаг вя аналитик функсийалар аилясини гурмаг олур. Мисал 1. Щягиги щиссяси xyxu 222 олан аналитик
функсийалар аилясини гурун.
Щялли. Тяляб олунан аналитик zf функсийасынын хяйали
щиссясини yxvv , иля ишаря едяк. Асанлыгла йохламаг олар ки,
xyxu 222 щармоник функсийадыр. Коши-Риман шяртляриня
ясасян
43
.22,2
x
x
u
y
vy
y
u
x
v
yx
v2
бярабярлийини x -я нязярян интеграллайаг:
yxyydxyv 22 ( y функсийасы x -дян асылы
дейил). y функсийасыны тапмаг цчцн yxyv 2 бяра-
бярлийини y-я нязярян диференсиаллайаг:
Cyyyxx
uyx
y
v
22222
(C - ихтийари сабитдир). Беляликля, верилян xyxu 222
функсийасына гошма щармоник функсийа Cyxyv 22 олур.
Онда ахтарылан аналитик функсийалар аиляси:
Cyxyixyxviuzf 22222
,22 22 Ciyixyxyix .22 Cizzzf
2.6. Комплекс дяйишянли функсийанын интегралы
Тутаг ки, W=f(z) комплекс мцстявинин L яйриси цзяриндя тяйин
олунмуш биргиймятли функсийадыр. L яйрисини nzzz ,...,, 10
нюгтяляри иля nLLL ,...,, 21 гювсцляриня бюляк. Lz 0 яйрисинин
башланьыж, nz ися сон нюгтясидир (шякил 3). nl ,...,2,1 иля
L ( Lz 1 гювсцнцн башланьыж, z - сон нюгтясидир)
гювсцнцн узунлуьуну ишаря едяк. kn
Ll .max1
гювсцляринин
щяр биринин цзяриндя йерляшян ихтийари kk L нюгтясини эютцряк
вя ашаьыдакы жями дцзялдяк:
n
k
kn zf1
. (7.1)
44
Бу жямя f(z) функсийасынын L яйриси цзря интеграл жями дейилир.
Тяриф 1. 0 шяртиндя (7.1) жяминин, kz
вя k нюгтяляринин сечилмясиндян асылы
олмайараг, сонлу лимити варса, щямин лимитя f(z) функсийасынын L яйриси цзря
интегралы дейилир вя L
dzzf кими ишаря
олунур. Тярифя ясасян
n
k L
kk dzzfzf1
0lim . (7.2)
Гейд едяк ки, L щамар вя йа щисся-щисся щамар яйри, f(z) ися щямин яйри цзяриндя кясилмяйян функсийа олдугда (7.2) лимити, йяни
L
dzzf интегралы вар вя сонлудур.
Эяляжякдя L иля, цзяриндя мцсбят истигамят сечилмиш
щамар вя йа щисся-щисся щамар яйрини, L - иля ися L яйрисиня якс истигамятдя олан яйрини ишаря едяжяйик.
yxViyxUzfyixz ,,, олсун.
,,, kkkkkkkkk iyixzyixz
kkkkkk VVUU ,,, ишаря етсяк, онда
n
k
n
k
kkkkkkkkk
n
k
k yUxViyVxUzf1 11
)( .
Бу бярабярликдя 0 шяртиндя лимитя кечсяк вя координатлара
эюря яйрихятли интегралын тярифини нязяря алсаг, онда
L L L
UdyVdxiVdyUdxdzzf . (7.3)
Демяли L
dzzf интегралынын варлыьы L
VdyUdx вя L
UdyVdx
шякил 3
45
яйрихятли интегралларынын варлыьы иля ейниэцжлцдцр. Одур ки,
комплекс дяйишянли yxViyxUzf ,, функсийасынын
яйри цзря интегралынын тярифини яйрихятли интегралын кюмяйи иля дя, йяни (7.3) бярабярлийи кими вермяк олар вя комплекс дяйишянли функсийа интегралынын хассяляри яйрихятли интегралын хассяляриндян асанлыгла алыныр:
1)
L L
dzzfdzzf .
2) L LL
dzzBdzzfAdzzBzfA ,
бурада A вя B сабит ядядлярдир.
3) 0, 2121 LLLLL оларса, онда
L L L
dzzfdzzfdzzf .
1 2
4) Яэяр LzMzf , оларса, онда
LlMdzzf ,
бурада )(Ll иля L -ин узунлуьу ишаря олунмушдур.
Мисал 1. ,constzf а вя б-уйьун олараг L яйрисинин
башланьыж вя сон нюгтяляри олсун. Онда (7.1) интеграл жяминя ясасян
n
k
n
k
kkkk zzzf1 1
1
abzzzzzzzz nnn 011201 ... ,
демяли L
abdz . Беляликля алырыг ки, L
dz интегралынын
гиймяти анжаг L яйрисинин башланьыж вя сон нюгтяляриндян
46
асылыдыр, интеграллама йолундан асылы дейил. Бу щалда
b
aL
dzdz
йаза билярик. Хцсуси щалда ba оларса, онда 0L
dz , йяни
L
dz интегралы истянилян гапалы яйри цзря сыфра бярабярдир.
(7.3) дцстуруну тятбиг етмякля L
dzzf интегралынын
щесабланма гайдасыны вермяк цчцн фярз едяк ки, L яйриси
ttyitxtzz вя йа
t
tyy
txx.
параметрик тянлийи иля верилмиш щамар (йяни tytx , кясилмя-
йяндир вя 022 tytx ) вя йа щисся-щисся щамар яйридир,
yxViyxUzf ,, ися щямин яйри цзяриндя кясилмяйян
функсийадыр. Бу щалда (7.3) бярабярлийиндян алырыг:
dttytytxVtxtytxUdzzfL
)()(),()()(),(
dttytytxUtxtytxVi )()(),()()(),( . (7.4)
)(),()(),( tytxVitytxUtzf , )()()( tytxtz
олдуьуну нязяря алсаг (7.4) бярабярлийини
dttztzfdzzfL
)()( (7.5)
кими йазмаг олар. (7.5) комплекс дяйишянли функсийа интегра-лыны щесабланмасы дцстурудур.
Мисал 2. 0 вя i1 нюгтялярини бирляшдирян L дцз хятт парчасы
47
цзря эютцрцлмцш L
dzzRe интегралыны щесаблайын.
Щялли. 0 вя i1 нюгтялярини бирляшдирян
дцз хятт парчасынын параметрин тянлийи (шякил 4)
10
t
ty
tx
вя йа
101 ttiyixz
олдуьундан вя txzitz Re,1)( нязяря алсаг, (7.5)-дян
алырыг:
.12
1
2)1()1(Re
1
0
21
0
L
it
idtitzdz
2.7. Коши теореми
Теорем 1. Яэяр f(z) биррабитяли D областында аналитик функ-сийадырса, онда D областына дахил олан истянилян гапалы щисся-щисся щамар L яйриси цзря f(z) функсийасынын интегралы сыфра бярабярдир:
0L
dzzf .
Исбаты. yxViyxUzf ,, функсийасы D областында аналитик
функсийа олдуьундан Коши-Риман шяртляри юдянилир:
.,x
V
y
U
y
V
x
U
Одур ки, Грин дцстуруна эюря L
VdyUdx вя l
UdyVdx
яйрихятли интеграллары сыфра бярабярдир. Онда (7.3) дцстурундан
шякил 4
48
.0 L LL
UdyVdxiVdyUdxdzzf
Мисал 1. ez вя sinz функсийалары бцтцн комплекс мцстявидя аналитик олдуьундан истянилян гапалы щисся-щисся щамар L яйриси
цзря: 0L
z dze вя 0sin L
dzz олар.
Коши теореминдян ашаьыдакы нятижяляр алыныр. Нятижя 1. Тутаг ки, комплекс мцстявинин чохрабитяли D областы мцсбят орентасийалы щисся-щисся щамар мцряккяб L контуру иля
щцдцдланмышдыр. Онда LDD -дя аналитик f(z) функсийасы цчцн
0L
dzzf .
Яэяр чохрабитяли Д областынын сярщядди
n
LLL1
0 nmLL mn ,0 оларса
(шякил 5), онда
n
LL
dzzfdzzf1
0
.
Хцсуси щалда 1n оларса, онда
.
10
LL
dzzfdzzf (8.1)
Бу бярабярликдян алыныр ки, комплекс дяйишян функсийалар ня-
зяриййясиндя ящямиййятли щесаб олунан
C
ndzzz 0
( n -там
ядяддир) интегралында C -чеврясини 0z нюгтясини юз дахилиня
алан истянилян гапалы мцсбят истигамятли щисся-щисся щамар контурла явяз етмяк олар.
Нятижя 2. Яэяр zf сонлу биррабитяли D областында аналитик
функсийадырса, онда zf -ин интегралы интеграллама йолундан
Шякил 5.
49
асылы дейил, йяни 1L вя 2L D областына дахил олуб, ейни цч нюг-
тяляриня маликдирлярся, онда (шякил 6).
21 LL
dzzfdzzf .
Бу нятижядян алыныр ки, L
dzzf интегралынын гиймяти L
яйрисинин анжаг башланьыж вя сон нюгтяляриндян асылыдыр. L яйрисинин башлан-ьыж нюгтясини z0, сон нюгтясини ися z иля иша-ря етсяк (яэяр f(z) функсийасынын интегралы L интеграллама йолундан асылы дейился) онда
z
zL
dfdf
0
йаза билярик.
Яэяр z0 нюгтясини гейд етсяк, онда
z
z
df
0
интегралы z-
дян асылы функсийа олар, йяни
z
z
dfzF
0
(8.2)
Теорем 2. Яэяр zf биррабитяли D областында аналитик функ-
сийадырса, онда
DzDzdfzF
z
z
,, 0
0
функсийасы D областында аналитикдир вя
zfzF .
Тяриф 1. Тутаг ки, zf D областында тяйин олунмуш функсийа,
zF ися бу областда дифференсиалланан функсийадыр. Яэяр
шякил 6
50
Dz нюгтяляри цчцн zfzF оларса, онда zF -я D
областында zf функсийасынын ибтидаи функсийасы дейилир.
Ибтидаи функсийанын тярифиня ясасян вя теорем 2-дян алыныр ки,
z
z
dfzF
0
функсийасы f(z)-ин ибтидаи функсийасыдыр.
Теорем 3. Яэяр f(z) сонлу биррабитяли D областында
дифференсиалланан функсийадырса, онда бу областда онун ибтидаи F(z) функсийасы вар. Гейд едяк ки, F(z) D областында f(z)-ин ибтидаи функси-
йасыдырса, онда истянилян CzFz ( C -ихтийари
комплекс сабитдир) D областында f(z)-ин ибтидаи функсийасыдыр. Нятижя 3. Теорем 2-нин шяртляри дахилиндя f(z) функсийасынын ихтийари ибтидаи функсийасы
Cdfz
z
z
0
(8.3)
дцстуру иля ифадя олунур; бурада C -комплекс сабитдир.
Нятижя 4. Теорем 2-нин шяртляри дахилиндя Нйутон-Лейбнис дцстуру алыныр:
1
0
1
0
01
z
z
z
z
zzdf . (8.4)
Доьруданда (8.3)-дя 0z нязяря алсаг, Cz 0 олар,
сонра йеня (8.3)-дя 1zz гябул етсяк аларыг:
01
1
0
1
0
zdfCdfz
z
z
z
z
,
бурданда (8.4) бярабярлийи алыныр.
Мисал 1. 122
1
2
1
zzz
z
z
z
z
z eeedze .
51
Мисал 2. ...2,1,0,1
1 1
1
1
2
2
1
nzzn
dzz nn
z
z
n .
2.8. Кошинин интеграл дцстуру
Комплекс дяйишянли функсийалар нязяриййясинин ясас дцстурларындан бири Кошинин интеграл дцстурудур. Теорем 1. (Кошинин интеграл дцстуру). Яэяр f(z) гапалы L кон-
туру иля щцдудланмыш биррабитяли гапалы D областында аналитик функсийадырса, онда Dz нюгтяси цчцн
L
dz
f
izf
2
1 (9.1)
(9.1) дцстуруна Кошинин интеграл дцстуру вя щямин дцстурун саь тяряфиндяки интеграла ися Коши интегралы дейилир.
Исбаты. Еля ядяди сечяк ки, гапалы
z даиряси D областына дахил олсун
(шякил 7). Айдындыр ки, z
f
функсийасы L
вя zС контурлары иля щцдудлан-
мыш икирабитяли областда аналитикдир, вя она эюря Коши теореминдян алынан (8.1) бярабялийиня (§12 нятижя 1) ясасян
dz
fd
z
f
CL
. (9.2)
zf функсийасы Dz нюгтясиндя кясилмяйян олдуьундан,
0 цчцн еля 0)( ядяди тапмаг олар ки,
z шяртини юдяйян бцтцн нюгтяляри цчцн
)()( zff олар. Онда
шякил 7
52
.,222
1
)()(
2
1)()(
2
1
C
CC
d
dz
zffd
z
zff
iJ
вя нязяря алсаг ки, J -интегралы -дан асылы олмадыьындан
0J .
Диэяр тяряфдян
)(2
1)(
)(
2
1zf
z
d
izfd
z
zf
iCC
олдуьундан (9.2)-дян
),()(
2
1)()(
2
1)(
2
1zfd
z
zf
id
z
zff
id
z
f
iC CL
йяни (9.1) дцстуру доьрудур. Коши дцстуру чохрабитяли областлар цчцндя доьрудур. Мясялян,
тутаг ки, 1L вя 2L контурлары иля
щцдудланмыш икирабитяли D областы верил-
мишдир. Dz 0 ихтийари нюгтя олсун. 1L
вя 2L контурларыны 0z нюгтясиндян
кечмяйян хятти иля бирляшдиряк (шякил
8). Нятижядя истигамятлянмиш
21 LLL контуру иля щцдуд-
ланмыш биррабитяли йени 1D областыны алмыш олуруг. Одур ки,
гапалы 1D областында аналитик )(zf функсийасы цчцн:
,)(
2
1)(
2
1)(
2
1)(
21 000
0
LLL
dzzz
zf
idz
zz
zf
idz
zz
zf
izf (9.3)
чцнки,
шякил 8
53
.0)()(
00
dzzz
zfdz
zz
zf
Коши дцстуру, D областында аналитик )(zf функсийасынын
Dz нюгтясиндяки гиймятини щямин функсийанын D
областынын L контуру цзяриндяки гиймятляри васитясиля ифадя едир.
Нятижя 1. D областында аналитик )(zf функсийасы, бу областын
контуру L цзяриндя сабит С ядядиня бярабярдирся, онда
Dz цчцн Czf )( .
Доьруданада LCf , олдуьундан (9.1) дцстурундан
.,2
1)( DzC
z
d
iCzf
L
Гейд 1. z нюгтяси D областындан хариждя йерляширся, онда Коши интегралы сыфра бярабярдир; йяни
.,0
,),()(
2
1
Dz
Dzzfd
z
f
i
Теорем 2. (орта гиймят теореми). Гапалы Rzz 0 даи-
рясиндя аналитик )(zf функсийасынын бу даирянин 0z мяркязи
нюгтясиндяки гиймяти, онун щямин даирянин чевряси цзяриндяки гиймятляринин щесабы ортасына бярабярдир, йяни
2
0
00 )Re(2
1)( dzfzf i
.
Исбаты. (9.1) Коши дцстурунда L яйрисини Rzz 0 чевряси иля
явяз етсяк, онда ,20,Re0 iz вя
Rz
dz
f
izf
0 0
0
)(
2
1)(
54
dzfi
dzf
i
ii
i
i 2
0
0
2
0
0 )Re(2
1Re
Re
)Re(
2
1.
2.9. Коши типли интеграл
Тутаг ки, щисся-щисся щамар, гапалы вя йа гапалы олмайан
яйридир вя )(z - яйриси цзяриндя тяйин олунмуш, кясилмяйян
функсийадыр. Айдындыр ки,
d
zi
)(
2
1
ифадясинин z нюгтяляри цчцн мянасы вар вя бу ифадя бир-
гиймятли )(zF функсийасыны тяйин едир:
d
zizF
)(
2
1)( . (10.1)
(10.1) интегралына Коши типли интеграл дейилир. Теорем 1. (10.1) бярабярлийи иля тяйин олунан )(zF функсийасы
z нюгтясиндя аналитик функсийадыр вя онун n тяртибли тю-
рямяси
,...2,1
)(
2
!)(
1
)(
nd
zi
nzF
n
n (10.2)
дцстуру иля щесабланыр. Исбаты. Тутаг ки, G - яйрисини юз дахилиня алмайан биррабитяли
областдыр. Ghzz , нюгтяляри цчцн
dzi
dhzihh
zFhzF )(
2
1)(
2
11)()(
d
zhzi ))((
)(
2
1 . (10.3)
55
(10.3) бярабярлийиндя 0h шяртиндя лимитя кечсяк вя нязяря ал-
саг ки, верилян шяртляр дахилиндя интеграл алтында лимитя кечмяк мцмкцндцр, онда:
d
zizF
2
)(
2
1)( .
Йухарыдакы цсулу ардыжыл тятбиг етмякля ихтийари 2n цчцн
(10.2) дцстуру исбат олунур. (10.2) дцстуру эюстярир ки, )(zF функсийасынын
тюрямясини тапмаг цчцн (10.1) Коши типли интегралыны формал олараг z параметриня нязярян диференсиалламаг лазымдыр. Теорем 1-дян комплекс дяйишянли функсийалар цчцн мцщцм нятижя алыныр.
Нятижя 1. Щисся-щисся щамар L яйриси иля щцдудланмыш D об-ластында аналитик )(zf функсийасынын бу областын ихтийари нюгтя-
синдя истянилян тяртибдян тюрямяси вар вя бу тюрямя ашаьыдакы бярабярликля ифадя олунур:
,...2,1,)(
)(
2
!)(
1
)(
ndz
f
i
nzf
L
n
n . (10.4)
2.10. Комплекс дяйишянли функсийалар сырасы
D областында тяйин олунмуш ,...),...,(),( 21 zfzfzf n
комплекс дяйишянли функсийалардан дцзялдилмиш
1
21 ...)(...)()(n
nn zfzfzfzf (11.1)
ифадясиня функсийалы сыра дейилир. Dzz 0 цчцн
1
0 )(n
n zf
ядяди сырасы йыьыландырса, онда 0z нюгтясиня (11.1) сырасынын
йыьылма нюгтяси дейилир. Тяриф 1. Функсионал сыранын йыьылдыьы нюгтяляр чохлуьуна щямин
56
сыранын йыьылма областы дейилир.
)(...)()( 1 zfzfzS nn -жяминя (11.1) сырасынын хцсуси жями
дейилир. Айдындыр ки, Dz нюгтяси цчцн nn
S
lim варса, онда
щямин лимитя (11.1) сырасынын жями дейилир вя бу лимит цмумиййятля z -ин функсийасы олажаг. Ону )(zS иля ишаря едяк:
)()(lim zSzSnn
.
Тяриф 2. 0 эюря )( NN нюмряси варса ки,
NnDzzSzS n ,,)()(
юдянилир, онда (11.1) сырасына D областында мцнтязям йыьылан сыра дейилир. Теорем 1. (Вейерштрас яламяти). Тутаг ки, еля мцсбят щядли йыьылан ядяди
1k
k (11.2)
сырасы вар ки, Dz цчцн
,...,2,1)( nzf nn
юдянилир. Онда (11.1) сырасы мцнтязям йыьыландыр (исбат етмяли). Гейд едяк ки, бу щалда (11.1) сырасына можаранланан сыра, (11.2) сырасына (11.1)-ин можаранты дейилир, (11.1) сырасына ися (11.2) –нин миноранты дейилир.
D областында мцнтязям йыьылан сыралар ашаьыдакы хассяляря маликдир.
1) Щяр бир щядди D областында кясилмяйян вя бу областда
мцнтязям йыьылан функсионал сыранын жямидя D областында кясилмяйян функсийадыр.
2) Щяр бир щядди D областында кясилмяйян вя бу областда
мцнтязям йыьылан функсионал сыраны DL яйриси цзря щядбящяд интегралламаг олар, йяни
57
Ln
n
L n
n dzzSdzzfdzzf )()()(11
.
3) Щяр бир щядди D областында аналитик олан вя бу
областда мцнтязям йыьылан фуксионал сыранын жямидя D -дя аналитик функсийадыр вя бу сыраны истянилян тяртибдян щядбящяд диференсиалламаг олар, йяни
11
)()(n
n
n
n zfzf .
Онуда гейд едяк ки, ахырынжы нятижя щягиги ядядляр областында доьру дейил, чцнки, мцнтязям йыьылан вя щяр бир щядди диферен-сиалланан функсийалар сырасыны цмумиййятля щядбящяд диферен-
сиалламаг олмаз, мясялян
12
2sin
n n
xn- сырасыны щядбящяд дифе-
ренсиалламаг олмаз.
2.11. Гцввят сыралары. Абел теореми
Тятбиги нюгтейи нязярдян бюйцк ящямиййятя малик, функсионал сыраларын хцсуси щалы олан гцввят сыраларыны юйряняк.
Тяриф 1. (11.1) сырасында ),...,2,1,0()( nzCzf n
nn
оларса, онда алынан
0
2
2210 ...n
n
n zCzCzCCzC (12.1)
сырасына гцввят сырасы дейилир, бурада ,...2,1,0kCk комплекс
ядядляриня гцввят сырасынын ямсаллары дейилир. Щягиги дяйишянли гцввят сыралары цчцн бизя мялум олан Абел теореми вя онун исбаты комплекс дяйишянли гцввят сыралары цчцндя доьрудур. Теорем 1. (Абел) (12.1) гцввят сырасы щяр щансы
00 zz нюгтясиндя йыьылырса, онда щямин сыра 0zz
58
даирясиндя мцтляг йыьылр, 0zqz даирясиндя ися мцнтязям
йыьыландыр.
Нятижя 1. (12.1) гцввят сырасы щяр щансы 1z нюгтясиндя
даьылырса, онда щямин сыра 1zz шяртини юдяйян z
нюгтясиндя даьыландыр. Доьруданада, фярз едяк ки, гцввят
сырасы 1zz шяртини юдяйян щяр щансы 2z ( 12 zz ) нюгтясиндя
йыьылыр. Онда Абел теореминя ясасян сыра 1z нюгтясиндядя
йыьылан олмалыдыр. Бу ися шяртя зиддир. Абел теореминдян вя онун нятижясиндян алыныр ки: мяркязи координат башланьыжында
вя радиусу R -я бярабяр олан еля даиря вар ки, бу даирянин бцтцн дахили нюгтяляри гцввят сырасынын йыьлма нюгтяляри, харижи
нюгтяляри ися даьылма нюгтяляридир. Rz даирясиня гцввят
сырасынын йыьылма даиряси, R -я ися онун йыьылма радиусу дейилир.
Rz чевряси цзяриндя гцввят сырасы йыьылан вя йа даьылан ола
биляр. Гцввят сырасынын йыьылма радиусу щягиги дяйишянли гцввят сыраларында олдуьу кими тяйин олунмур:
1
lim
n
n
n C
CR (Даламбер яламятиня ясасян),
nn
nC
R
lim
1 (Коши яламятиня ясасян).
Айдындыр ки,
...)()( 2
02010
0
0
zzCzzCCzzCn
n
n (12.2)
шяклиндя верилмиш сырада гцввят сырасыдыр. (12.2) сырасынын
йыьылма даирясини тапмаг цчцн tzz 0 явязлямяси етмякля
59
ону (12.1) шяклиндя гцввят сырасына эятиририк. (12.2) гцввят сы-
расынын йыьылма областы Rzz 0 , йяни мяркязи 0z нюгтясин-
дя вя радиусу R -я бярабяр олан даирядир. Одур ки, биз (12.1) шяклиндя гцввят сыраларына бахмагла кифайятляняжяйик.
Мисал 1.
0
2 ...1n
n zzz сырасынын йыьылма областыны
тапын.
Щялли. 1nC олдуьундан, 1lim1
n
n
n C
CR . Демяли ве-
рилмиш сыра 1z даирясиндя мцтляг йыьылан, 1z олдугда ися
даьыландыр. 1 qz гапалы даирясиндя мцнтязям, йыьыландыр.
Беля ки, 1z даирясиндя сыран ын жями z1
1-я бярабярдир, йяни
1...11
1 2
zzzz
.
Нятижя 2. Гцввят сырасынын жями йыьылма даирясиндя кясилмяйян функсийадыр. Нятижя 3. Гцввят сырасыны йыьылма даирясиндя истянилян тяртибдян щядбящяд диференсиалламаг олар вя диференсиалламадан алынан сыранын йыьылма радиусу еля верилян сырысынын йыьылма радиусуна бярабярдир. Бу нятижядян щямчинин алыныр ки, гцввят сырасынын жями йыьылма даиряси дахилиндя аналитик функсийадыр. Нятижя 4. Гцввят сырасыны йыьылма даирясиндя йерляшян истянилян щисся-щисся щамар яйри цзря щядбящяд интегралламаг олар.
Нятижя 5. Йыьылма радиусу 0RR олан
0
00 ,)(n
n
n RzzzzCzf (12.3)
60
гцввят сырасынын nC ямсаллары ашаьыдакы дцстурларла тяйин
олунур:
,...2,1,!
)(),( 0
)(
00 nn
zfCzfC
n
n . (12.4)
Исбаты. (12.3) сырасы Rzz 0 даирясиндя йыьылан олду-
ьундан нятижя 3-я ясасян бу сыраны щядбящяд истянилян тяртибдян диференсиалламаг олар вя одур ки,
RzzzzCnCnzf nn
n 001
)( ,...)()!1(!)( . (12.5)
(12.3) вя (12.5)-дя 0zz гябул етсяк (12.4) дцстурларыны алырыг.
(12.4) ямсалларына )(zf функсийасынын Тейлор ямсаллары дейилир.
Бу ямсаллары (12.3)-дя нязяря алсаг:
0
0
0
00
0
)(
)(!1
)()(
!
)()(
n
nn
zzzf
zfzzn
zfzf
...)(!2
)( 2
0
0
zzzf
. (12.6)
(12.6) сырасына )(zf функийасынын 0zz нюгтяси ятрафында
Тейлор сырасы дейилир. Беляликля, истянилян (12.3) гцввят сырасы йыьылма даирясиндя юз жяминин Тейлор сырасыдыр. Хцсуси щалда
(12.6)-да 00 z гябул етсяк,
...!2
)0(
!1
)0()0()( 2
z
fz
ffzf
Маклорен сырасыны алмыш олуруг.
Суал олунур: верилмиш Rzz 0 даирясиндя аналитик олан )(zf
функсийасыны бу даирядя Тейлор сырасына айырмаг олармы?
Теорем 2. Rzz 0 даирясиндя аналитик )(zf
функсийасы щямин даирядя Тейлор сырасына айрылыр. Гейд. (12.3) гцввят сырасынын (12.4) дцстурлары иля тяйин
олунмуш nC ямсалларыны башга шякилдя тяйин етмяк олар: L иля
61
0z нюгтясини юз дахилиня алан вя (12.3) сырасынын йыьылма даиря-
синя дахил олан контуру ишаря етсяк, онда (10.4) (§14) дцстуруна ясасян
L
n
n ndz
f
i
nzf ,...2,1,0,
)(
)(
2
!)(
1
0
0
)( .
Бурадан вя (12.4) дцстурундан
,...2,1,0,)(
)(
2
11
0
ndz
f
iC
L
nn . (12.7)
(12.7) ифадяси Тейлор ямсалларынын интеграл формасы адланыр.
zze z sin,cos, -елементар функсийаларын 0z нюгтяси
ятрафында Тейлор сырасыны йазаг:
1) ...!2
1!
2
0
zz
n
ze
n
nz .
2) ...!4!2
1)!2(
)1(cos42
0
2
zz
n
zz
n
nn .
3) ...!5!3)!12(
)1(sin53
0
12
zzz
n
zz
n
nn .
Бу сыралар бцтцн комплекс мцстявидя йыьыландыр.
2.12. Лоран сырасы
Яввялки параграфда биз эюстярдик ки, 0z нюгтясиндя вя онун
ятрафында аналитик )(zf функсийасыны 0zz -ин мцсбят гцв-
вятляриня эюря
0
0
n
n
n zzC шяклиндя сырайа айырмаг олар.
Бунунла йанашы 0zz -ин мянфи цстлц гцввятляриндян дцзял-
дилмиш
62
1 0
1
0
nn
n
n
n
nzz
CzzС
сыралара раст эялмяк олур. Тяриф 1.
n
n
n
n
n
n
n
n
n zzCzzСzzС 0
1
0
0
0 (13.1)
шяклиндя олан сыралара Лоран сырасы дейилир. Теорем 1. Rzzr 00 щалгасында аналитик f(z)
функсийасы бу щалгада йеэаня шякилдя Лоран сырасына айрылыр, йяни
n
n
n
n
n
n
n
n
n zzCzzСzzCzf ,)( 0
1
0
0
0 (13.2)
бурада
,,...2,1,0
)(
2
11
0
ndz
f
iC
L
nn (13.3)
RrzzL 0: .
Исбаты. Rzzr 0 щалгасында z
нюгтясини гейд едяк вя бу нюгтяни юз дахилиня алан
101 Rzzr
RRrr 11 щалгасына бахаг
(шякил 9) 101 : rzzL ,
102 : RzzL ишаря едяк. 1L вя 2L
чевряляри цзря истигамят саат ягряби яксинядир. Шяртя эюря )(zf функсийасы
101 Rzzr гапалы щал-
гасында аналитик олдуьундан Коши дцстуруна ясасян, (бах (5.3))
12
)(
2
1)(
2
1)(
LLz
df
iz
df
izf . (13.4)
шякил 9
63
(13.4)-цн биринжи интегралында 2L олдуьундан
,11
0
0
0
R
zz
z
zz
вя
,
1
11
01
0
0
0
00
n
n
n
z
zz
z
zzz
z (13.5)
беляки, алынын сыра L2 чевряси цзяриндя мцнтязям йыьылыр. (13.4)-
цн икинжи интегралында L1 олдуьундан
10
1
0
0
zz
r
zz
z
вя
11
0
0
01
0
0
0
00 1
11
nn
n
nn
n
z
zz
zz
z
zz
zzz
z, (13.6)
беляки, алынан сыра L1 чевряси цзяриндя мцнтязям йыьылыр. (13.5) вя (13.6) ифадялярини (13.4) дцстурунда йериня йазыб вя щядбящяд интегралласаг, онда
2
01
00
)(
2
1)(
L
n
nn
zzz
df
izf
1
01
01
)(
2
1
n L
n
nzz
z
df
i. (13.7)
(13.7)-дя интеграл алты функсийалар n цчцн верилян
Rzzr 0 щалгада аналитик олдуьундан, Коши теореминя
эюря (бах (4.1)) 1L вя 2L контурлары явязиня
)(: 0 RrzzL контуруну эютцрмяк олар:
64
,...2,1,0,
)(
2
1)(
2
11
0
1
02
nC
z
df
id
z
f
in
L
n
L
n, (13.8)
,...2,1,0,
)(
2
1)(
2
11
0
1
01
nC
z
df
iz
df
in
L
n
L
n. (13.9)
(13.8) вя (13.9) ифадялярини (13.7)-дя нязяря алсаг, (13.2) бярабярлийини алмыш олуруг.
Тяриф 2. (13.1) ифадясиндя nС ямсаллары (13.3) бярабярликляри иля
тяйин олунарса, онда беля сырайа )(zf функсийасынын Лоран
сырасы, Cn ямсалларына ися онун Лоран ямсаллары дейилир. Беляликля алырыг ки, r<|z-z0|<R щалгасында аналитик f(z) функсийасы бу щалганын бцтцн нюгтяляриндя йыьылан (13.2) Лоран сырасына айрылыр. (13.2) бярабярлийинин саь тяряфиндя дуран
0
0
n
n
n zzС
сырасына Лоран сырасынын дцзэцн щиссяси,
1 0nn
n
zz
C
сырасына ися онун баш щиссяси дейилир. Эюстяряк ки,
Rzzr 0 щалгасында аналитик )(zf функсийасынын (13.2)
Лоран айрылышы йеэанядир. Фярз едяк ки, бу щалгада )(zf -ин ики
айрылышы вар:
n
n
n
n
n
n zzdzzCzf 00)( . (13.10)
(13.10) бярабярлийини 1
maz ифадясиня вурсаг
n
mn
n
n
mn
n zzdzzC1
0
1
0 (13.11)
аларыг, бурада m -гейд олунмуш там ядяддир. (13.11) сырасы
65
RrzzC 000: чевряси цзяриндя мцнтязям йыьы-
лан олдуьундан, ону бу чевря цзря интегралласаг вя (7.11) дцс-
туруну нязяря алсаг m цчцн mm dC алырыг. Теорем исбат
олунду.
Айдындыр ки, )(zf функсийасы Rzz 00 даирясиндя
аналитик оларса, ,...2,10 nCn олдуьундан (13.2) бяра-
бярлийиндян )(zf функсийасынын Тейлор сырасы алыныр. Демяли
Тейлор сырасы Лоран сырасынын хцсуси щалыдыр.
Мисал. )1(
1)(
zzzf
функсийасыны а) 10 z вя б) 1z
областларында Лоран сырасына айырын.
Щялли. Верилян функсийа 0z вя 1z нюгтяляриндян башга
комплекс мцстявинин бцтцн нюгтяляриндя аналитикдир.
а) zzzz
zf
1
11
)1(
1)( . 10 z щалгасында
z1
1
аналитик олдуьундан, онун Тейлор сырасы
...11
1 2
zzz
,
одур ки, 10 z щалгасында верилян функсийанын Лоран сырасы
...11
)1(
1 2
zzzzz
.
Демяли, бу функсийанын 0z нюгтяси ятрафында Лоран айрылы-
шында баш щиссядян анжаг бир щядд- z
1 иштирак едир.
б) )1(
1
zz функсийасы 1z областында аналитик олдуьундан
66
...11
111
11
111
1
11
)1(
12zzzz
z
zzzzzz
1
132
1...
11
nnzzz
.
Бу щалда Лоран айрылышында дцзэцн щисся иштирак етмир.
2.13. Аналитик функсийаларын сыфырлары вя мяхсуси нюгтяляри
0)( zf тянлийинин кюкляриня )(zf функсийасынын сыфырлары дейи-
лир. Тутаг ки, )(zf функсийасы 0z нюгтясиндя аналитикдир, онда
0z нюгтясинин еля ятрафы вар ки, бу ятрафда )(zf функсийасы
Тейлор сырасына айрылыр:
0
0)(n
n
n zzCzf .
Яэяр 0z нюгтяси )(zf функсийасынын m тяртибили сыфрыдырса (йяни
...)()( 00 zfzf ,0)( 0
)1( zf m 0)( 0
)( zf m ), онда бу
функсийанын Тейлор сырасы:
,...).1,(!
)(
...;)()()(
0
)(
1
010
mmkk
zfC
zzCzzCzf
k
k
m
m
m
m
1m олдугда 0z нюгтясиня )(zf функсийасынын садя сыфры
дейилир.
Теорем 1. 0zz нюгтясинин аналитик )(zf функсийасынын m
тяртибли сыфры олмасы цчцн зярури вя кафи шярт )(zf -ин
0)(),()()( 00 zzzzzf m
67
шяклиндя эюстяриля билмясидир. Мисал 1. 0z нюгтясинин zzf cos1)( функсийасынын икинъи
тяртибдян сыфры олдуьуну исбат един. Доьрудан да
...!4!2
...!4!2
11cos1)(4242
zzzzzzf
олдуьундан, 0z нюгтяси )(zf -ин икинъи тяртибдян сыфрыдыр.
Функсийанын аналитик олмадыьы нюгтяляря, онун мяхсуси
нюгтяляри дейилир. Мясялян iz вя 2z нюгтяляри
)2)((
5)(
ziz
zzf функсийасыйаларын мяхсуси нюгтяляридир.
Тяриф 1. )(zf функсийасынын 0z мяхсуси нюгятляринин еля
ятрафы варсаки, бу ятрафда функсийасынын 0z -дан фяргли щеч бир
мяхсуси нюгтяси йохдур, онда 0z -а )(zf -ин изола едилмиш
мяхсуси нюгтяси дейилир.
0zz )(zf функсийасынын изола едилмиш мяхсуси нюгтя-
сидирся, онда еля Rzzr 0 щалгасы варки;
1 00
0)(
)()(n
n
nn
nzz
CzzCzf . (14.1)
Ашаьыдакы щаллара бахаг:
1) ,...)2,1(0 nC n оларса, (14.1)
0
0 )()(n
n
n zzCzf . (14.2)
Бу айрылышда 00 )( Czf гябул етсяк, онда 0z -а арадан
галдрыла билян мяхсуси нюгтя дейилир.
Мисал 2. Эюстярин ки, 0z z
zzf
sin)( функсийасынын
арадан галдрылан билян мяхсуси нюгтясидир.
68
Щялли. 0z нюгтяси z
zzf
sin)( функсийасынын изола
едилмиш мяхсуси нюгтясидир.
...!5!3
1...!5!3
1sin 4253
zzzzz
zz
z.
Бурада 1)0( f гябул етсяк, онда 0z нюгтяси z
zsin
функсийасы цчцн арадан галдрылан билян мяхсуси нюгтя олаъагдыр.
2) Тутаг ки, ,0,,...2,10 mn CmmnC
онда (14.1)
m
m
n
n
nzz
C
zz
C
zz
CzzCzf
)(...
)()()(
0
2
0
2
0
1
0
0
. (14.3)
Бу щалда 0zz нюгтясиня )(zf функсийасынын m тяртибли пол-
йусу дейилир. 1m олдугда 0zz -а )(zf функсийасынын садя
полйусу дейилир. (14.3) бярабярлийиндя эюрцнцр ки,
)()( 0zzzf .
Мисал 3. Исбат един ки, z=0 нюгтяси 4
cos1)(
z
zzf
функсийасынын ики тяртибли полйусудур. Доьруданда,
...!6!4
1
!2
1...
!4!211
1cos1 2
2
42
44
z
z
zz
zz
z.
Лоран айрылышында баш щисся 2!2
1
z олдуьундан z=0 нюгтяси
4
cos1)(
z
zzf
функсийасынын ики тяртибли полйусудур.
3) (14.1) Лоран айрылышында баш щиссядян сонсуз сайда щядд
69
иштрак едирся, онда 0zz нюгтясиня )(zf функсийасынын тябии
мяхсуси нюгтяси дейилир. Бу щалда )(lim0
zfzz
йохдур.
Мисал 4. ...!2
111)(
2
1
zz
ezf z олдуьундан z=0
нюгтяси e1/z функсийасынын тябии мяхсуси нюгтясидир. Аналитик функсийаларын мяхсуси нюгтяляри иля сыфырлары арасындакы ялагяни ашаьыдакы теорем мцяййянляшдирир.
Теорем 1. 0zz нюгтясинин аналитик )(zf
функсийасынын m тяртибли сыфыры олмасы цчцн, щямин нюгтянин
)(
1)(
zfzF функсийасынын m тяртибли полйусу олмасы зярури вя
кафи шяртдир.
Исбаты. (зярури шярт). Фярз едяк ки, 0zz нюгтяси )(zf -
ин m тяртибли сыфырыдыр, онда
.0)(),()( 00 zzzzzfm
Бурадан
)(
1
)(
1)(
0 zzzzfzF
m
0)( 0 z вя )(
1
z функсийасы 0z нюгтясиндя вя онун
мцяййян ятрафында аналитик олдуьундан
...)()()(
1
)(
1 2
0201
0
zzCzzCzz
.
Демяли, 0zz нюгтяси )(zF функсийасынын m тяртибли полйу-
судур. Кафи шяртдя асанлыгла исбат олунур.
70
Мисал 5. 42 )3()(
1)(
zizzf функсийасынын
комплекс мцстявидя бцтцн мяхсуси нюгтялярини тапын. Щялли. Верилян функсийа iz вя 3z нюгтяляриндян
башга бцтцн мцстявидя аналитикдир.
42 )3()()(
1)( ziz
zfzF
бярабярлийиндян эюрцнцр ки, iz вя 3z нюгтяляри )(
1
zf
функсийасынын уйьун олараг икинъи вя дюрдцнъц тяртиб сыфырларыдыр. Демяли теоремя ясасян iz вя 3z нюгтяляри
42 )3()(
1)(
zizzf
функсийасынын уйьун олараг икинъи вя дюрдцнъц тяртиб полйусларыдыр.
2.14. Сонсуз узаглашмыш нюгтянин
ятрафында функсийанын юзцнц апармасы
Тутаг ки, f(z) функсийасы сонсуз узаглашмыш нюгтянин мцяййян
|z|>r ятрафында аналитикдир, бурада r>0-истянилян гядяр бюйцк
ядяддир. z=1/ функсийасы (иникасы) z= нюгтясинин ятрафыны
эенишлянмиш мцстяви цзяриндя =0 нюгтясинин ятрафына иникас
едир. Бу заман f(z) функсийасынын z= нюгтяси ятрафында юзцнц
апармасы тярзи
1f функсийасынын =0 нюгтяси
ятрафында юзцнц апарма тярзиня эятрилир. Демяли f(z) функсийасы
z= нюгтяси ятрафында аналитик олдугда () функсийасы =0
нюгтяси ятрафында аналитик олар. () функсийасыны =0 нюгтяси ятрафында Лоран сырасына айырсаг, онда
71
10 nn
n
n
n
n
bb . (15.1)
(15.1) бярабярлийиндя z
1 олдуьундан f(z)-функсийасынын z=
нюгтяси ятрафында Лоран сырасы
10
)(n
n
n
nn
n zCz
Czf (15.2)
олар, бурада ,...2,1,0 nbС nn .
(15.1) вя (15.2) Лоран айрылышларындан эюрцнцр ки, (15.1) сырасынын баш щиссяси (15.2) сырасынын дцзэцн щиссясиня вя дцзэцн щиссяси ися баш щиссясиня чеврилир (вя тярсиня). Бурадан айдындыр ки; 1) (15.2) сырасында z-ин мцсбят гцввяляри иштрак етмяся, онда
z= нюгтяси )(zf функсийасынын арадан галдырыла билян
мяхсуси нюгтяси олмасы цчцн 0)( Cf гябул етмяк
лазымдыр.
2) (15.2) сырасында mnCn ,0 вя 0mC олдугда, онда
z нюгтясиня )(zf функсийасынын m тяртибли полйусу
дейилир. Бу щалда
)(lim zfz
.
3) (15.2) сырасында мцсбят цстлц гцввятляр сонсуз сайда иштрак едирся, онда z нюгтясиня )(zf функсийасынын тябии
мяхсуси нюгтяси дейилир. Бу щалда )(lim zfz
йохдур.
Мисал 1. z нюгтяси z
zf
2
1)( функсийасынын арадан
галдрыла билян мяхсуси нюгтясидир. Доьрудан да, |z|>2 олдугда:
72
....221
...22
11
21
11
2
13
2
22
2
zzzzzz
z
zz
2.15. Функсийанын чыхыгы
1.Сонлу нюгтядя чыхыг. Тутаг ки, f(z) функсийасы z0 нюгтясиндя аналитикдир: L иля z0 нюгтясини дахилиня алан вя f(z) функсийасынын аналитик олдуьу ятрафа дахил олан щисся-щисся щамар гапалы
яйрини ишаря етсяк, онда Коши теореминя (§12) эюря 0)( L
dzzf
. Инди фярз едяк ки, 00 zz нюгтяси )(zf -ин изола едилмиш
мяхсуси нюгтясидир. Айдындыр ки, 0z нюгтясинин еля
00: zz ятрафы вар ки, бу ятрафда )(zf функсийасы ана-
литикдир. Онда )(zf -ин 0zz нюгтясинин ятрафында Лоран
сырасы
...)(
...)(...)()(2
210010
az
c
az
czzczzcczf n
n(16.1)
Бу бярабярлийи йухарыда сечдийимиз L яйриси цзря интеграл-ласаг ( L цзря (16.1) сырасы мцнтязям йыьыландыр) вя (3.11) дцс-туруну нязяря алсаг;
11 )(2
12)(
Cdzzf
iiCdzzf
LL
.
Тяриф 1. )(zf функсийасынын 0z нюгтяси ятрафында Лоран айры-
лышындакы 1С ямсалына онун 0z нюгтясиндя чыхыгы дейилир,
)(0
zfreszz
вя йа 0zfres кими ишаря олунур, йяни
.)( 10 Czfres
73
Демяли, L
dzzfi
)(2
1 интегралынын гиймяти f(z) функсийасынын
изола едилмиш мяхсуси 0z нюгтясиндяки чыхыгына бярабярдир,
йяни
)(2)( 00
zfresidzzfzz
L
. (16.2)
Чыхыгын тярифиндян алыныр ки, яэяр z0 нюгтяси f(z) функсийасынын
дцзэцн вя йа арадан галдрыла билян мяхсуси нюгтясидирся, онда
00
0
zfreszz
, чцнки, щяр ики щалда (16.1) Лоран айрылышында баш
щисся иштрак етмир, йяни ,...2,10 nC n .
Мисал 1. Эюстярин ки, 0sin
0
z
zresz
.
Щялли. 0z нюгтяси z
zzf
sin)( функсийасынын арадан галдрыла
билян мяхсуси нюгтясидир (бах §18, мисал 1).
...!5!3
1...!5!3
1sin 4253
zzzzz
zz
z олдуьундан
.0sin
00
1
z
zresCz
2. 00 zzz полйус нюгтясиндя чыхыгын щесабланмасы.
а) 0zz нюгтяси )(zf функсийасынын садя полйусу олдугда
онун 0z нюгтяси ятрафында Лоран сырасы
0
1
0
0 )()(zz
CzzCzf
n
n
n
олар вя бурадан алырыг ки:
).()(lim 010
zfzzCzz
74
Демяли 0z нюгтяси )(zf -ин садя полйусу олдугда
)()(lim)( 000
zfzzzfreszzzz
. (16.3)
Хцсуси щалда )(
)()(
z
zzf
оларса, беляки )(z вя )(z 0z
нюгтясиндя аналитикдир, ,0)(,0)(,0)( 000 zzz онда 0z
нюгтяси )(zf -ин садя полйусу олар вя (16.3) дцстурундан
тапырыг:
,)(
)(
)()(
)(lim
)(
)()(lim)(
0
0
0
00
000 z
z
zz
zz
z
z
zzzzfres
zzzzzz
йяни
.)(
)(
)(
)(
0
0
0 z
z
z
zres
zz
(16.4)
Мисал 2. iz
zzf
3)(
2
функсийасы цчцн z=i нюгтяси садя
полйусдур. (16.3) дцстуруна эюря
.233
)(lim)( 22
i
iz
zizzfres
iziz
б) 0zz нюгтяси f(z) функсийасынын m тяртибли
полйусудур. Онда онун бу нюгтя ятрафында Лоран сырасы
.0.)(
...)(
)()(0
2
0
2
0
1
0
0
mm
m
n
n
n Czz
C
zz
C
zz
CzzCzf
Бу бярабярлийин щяр тяряфини mzz 0 -я вурсаг, аларыг:
m
mmmCzzCzzCzfzz ...)()()( 2
02
1
010
0
0 )(n
mn
n zzC . (16.5)
75
(16.5) бярабярлийини z -я нязярян )1( m тяртибдян дифференсиал-
лайыб вя 0zz шяртиндя лимитя кечсяк,
101
1
!1)()(lim0
Cmzfzzdz
d m
m
m
zz
)()(lim)!1(
1)( 01
1
100
zfzzdz
d
mzfresC m
m
m
zzzz
. (16.6)
Хцсуси щалда
,)(
)()(
0
mzz
zgzf
оларса, беляки )(zg функсийасы 0z нюгтясиндя аналитикдир вя
,0)( 0 zg онда
)()!1(
1
)(
)(0
)1(
00
zgmzz
zgres m
mzz
. (16.7)
3. Сонсуз узаглашмыш нюгтядя функсийанын чыхыгы. Тутаг
ки, z= нюгтяси f(z) функсийасынын изола едилмиш мяхсуси нюг-
тясидир, онда бу нюгтянин еля zG 0: ятрафы варки, бу
ятрафда )(zf функсийасыны Лоран сырасына айырмаг олар:
zz
C
z
CzCzf
n
n
n ...)(2
21
0
. (16.8)
(15.1), (15.2) бярабярликляриня вя сонлу нюгтяйя нязярян чыхыгын тярифиня эюря айдындыр ки, )(zf функсийасынын z нюгтяси
ятрафында Лоран айрылышындакы 1C ядядиня онун z
нюгтясиндяки чыхыгы дейилир, йяни
1)(
Czfresz
. (16.9)
(16.8) сырасыны 00: z чевряси цзря (истигамят саат
ягряби яксиня эютрцлцр) интегралласаг вя (7.11) дцстуруну нязяря алсаг:
76
)(2)(2)( 1 zfresidzzfiCdzzfz
, (16.10)
бурада -якс истигамятдя эютрцлмцш -чеврясидир.
Мисал 3. ...!2
111
2
1
zz
e z олдуьундан ,11 C
демяли .1
1
z
zeres
4. Чыхыглар щаггында ясас теорем.
Теорем 1. )(zf функсийасы сонлу сайда ),...,2,1( na нюг-
тяляри мцстясна олмагла D областында аналитикдирся, L ися D
областына дахил олан вя ),...,2,1( na нюгтялярини юз дахилиня
алан щисся-щисся щамар мцсбят орентасийалы гапалы яйридирся, онда
n
azL
zfresidzzf1
)(2)( . (16.11)
Исбаты. ),...,2,1( n иля мяркязи уйьун олараг
),...,2,1( na нюгтяляриндя олан чевряляри ишаря едяк, беля ки
),...,2,1( nD , mm 0
(шякил 10). Коши теореминдян алынан нятиъя 1-я ясасян (§12)
,)()(1
n
L
dzzfdzzf
вя бурадан, (16.2) бярабярлийини нязяря алсаг, (16.11) дцстуруну алырыг. Нятиъя 1. )(zf функсийасы сонлу сайда
),...,2,1( na мяхсуси нюгтяляри мцстясна олмагла
эенишлянмиш комплекс мцстявидя аналитикдирся, онда
шякил 10
77
0)()(1
zfreszfreszaz
. (16.12)
Исбаты. Еля 0 ядяди сечяк ки, a нюгтяляри 0: z чевряси
дахилиндя галсын ( -цзря истигамят саат ягряби яксинядир). Он-
да теорем 1-я ясасян
)(2)(1
zfresidzzfn
az
. (16.13)
Диэяр тяряфдян, (16.10) дцстуруна ясасян
)(2)( zfresidzzfz
. (16.14)
(16.13) вя (16.14) бярабярликляриндян (16.12) дцстуру алыныр.
Мисал 4.
4
2
1
z
z
dzzz
e-интегралыны щесаблайын.
Щялли. 4z даирясиндя )1(
1)(
zz
ezf
z
функсийасы, 0z вя
1z нюгтяляриндян башга, бцтцн нюгтялярдя аналитикдир. Одур ки, чыхыглар щаггында ясас теоремя ясасян
11
1lim
1lim
)1(
1lim
.)()(2)1(
1
000
104
zz
e
zz
e
zfreszfresidzzz
e
z
z
z
z
z
zzz
z
олдуьундан, 0z нюгтяси )(zf функсийасынын арадан
галдрыла билян мяхсуси нюгтясидир. Она эюря дя
1.0)(0
zzfresz
нюгтяси )(zf -ин садя полйусудур.
e
ee
zz
ezzfres
z
zz
11
)1(
11lim)( 1
11
.
78
Демяли
.1
2)1(
1
4e
eidz
zz
e
z
z
2.16. Чыхыгларын тятбиги иля интегралларын щесабланмасы
Щесабланмасы чятин вя щятта гейри мцмкцн олан щягиги дяйишянли функсийаларын мцяййян вя гейри-мяхсуси интегралларыны чыхыгларын тятбиги иля щесабламаг олур. Бу мягсядля ашаьыдакы щаллара бахаг:
1.
2
0
sin,cos dxxxRJ - шяклиндя интегралларын щесабланмасы.
Бурада vuvuR ,),( дяйишянляринин расионал функсийасыдыр. ixez явяз едяк. Онда бу явязлямя 2,0 парчасыны 1z
чеврясиня иникас етдиряъяк вя
z
dzidx
zzz
zz
ix
,
1
2
1cos,
1
2
1sin . (17.1)
(17.1) мцнасибятлярини нязяря алсаг,
dzzRJz
1
1 )( ,
бурада
zz
izzR
z
izR
1
2
1,
1
2
1)(1
z-я нязярян расионал функсийадыр.
Яэяр ),...,2,1( nz - нюгтяляри 1z даирясиндя )(1 zR -ин
полйусларыдырса, онда чыхыглар щаггында ясас теоремя эюря (§16)
79
n
zzzRresiJ
1
1 )(2 . (17.2)
Мисал 1. )10(,sin21
2
0
2
aaxa
dxJ -щесаблайын.
Щялли. ixez -явяз едяк; ,iz
dzdx
iz
azaiazaz
iaaxa
z
)1()(
2
121sin21
22212 ,
онда
.)1(
1
22
zazaiaz
dzJ
,,0)1( 21
22
a
iziazazaiaz 10 a олдуьундан
1z даирясиндя интегралалты функсийанын йалныз aiz садя
полйусу йерляшир. (16.4) дцстуруна эюря
1)1(
1
)]1(2[
1
))1((
1)(Re
222
22
a
i
aiaiaz
azaiazzfs
aiz
aizaiz
вя (17.2) бярабярлийиня ясасян
21
2
aJ
.
2.
dxxf )( вя
dxexfix
)( типли интегралларын щесабланмасы.
Теорем 1. Тутаг ки:1) )(zf функсийасы 0Jmz областынын
сонлу сайда ),...,2,1( na мяхсуси нюгтялярини чыхмаг шярти
80
иля щягиги охда дахил олмагла щямин областда аналитик функ-
сийадыр, 2) Rz цчцн ),2()( mz
Mzf m бурада R кифай-
йят гядяр бюйцк ядяддир. Онда
)(2)(1
zfresidxxfn
az
. (17.3)
Мисал 2.
22 )1( x
dx- интегралыны щесаблайын.
Щялли. 22 )1(
1)(
zzf
функсийасы iz нюгтясиндян башга
бцтцн йухары йарым мцстявидя аналитикдир. iz функсийанын
ики тяртибли полйус нюгтясидир. Диэяр тяряфдян ,1
)(4
zzf
).24( m
iz нюгтясиндя )(zf -ин чыхыгыны щесаблайаг.
22
2
)1(
1lim)(
ziz
dz
dzfres
iziz
4)(
2lim
)(
1lim
32
i
izizdz
d
iziz
.
(16.3) дцстуруна ясасян
.24
2)1( 22
ii
x
dx
Теорем 2. Яэяр )(zf функсийасы теорем 1-ин 1) шяртини юдяйирся
вя zarg -йя нязярян мцнтязям олараг 0)(lim
zfz
оларса, онда
81
.)(2)(1
izn
az
ix ezfresidxexf
(17.3)
Мисал 3.
dxx
xx
4
sin2
-щесаблайын.
Щялли. 4
)(2
z
zezf
iz
функсийасы теорем 2-нин шяртлярини юдяйир.
Бу функсийанын йухары йарыммцстявидя йалныз iz 2 полйус
нюгтяси олдуьундан
.2
1
2)4()(
2
2
22 ez
ez
z
ezzfres
iz
iz
iz
iz
iz
(17.3) дцстуруна ясасян:
222 2
12
4 e
i
eidx
x
ex ix
.
xixeix sincos бярабярлийиня эюря:
2222 4
sin
4
cos
4 e
idx
x
xxidx
x
xxdx
x
ex ix
04
cos2
x
xx вя .
4
sin22 e
dxx
xx
82
3. ОПЕРАСИЙА ЩЕСАБЫ
3.1. Эириш
Диференсиал тянликлярин щялли иля баьлы олан бир чох тятбиги мясялялярин ян еффектив щялл цсцлларындан бири дя операсийа щесабы цсулудур. Бу цсула ясасян, мяжщул функсийа цзяриндя апарылан диференсиаллама вя интеграллама ямялляри уйьун олараг ади жябри вурма вя бюлмя ямялляри иля явяз олунур. Бунунла да верилян диференсиал вя интеграл тянликляр ади жябри тянликляря чеврилир. Мясялянин бу гядяр садяляшмяси тябиидир ки, операсийа щесабы цсулунун даща эениш тятбигиня сябяб олмушдур. Щал-щазырда операсийа щесабы цсулундан електротехника, радиотехника, бярк жисимляр механикасы, истиликкечирмя мясяляляри, щидро-механика, автоматик тянзимлямя системляри, даь-мядян механикасы, физиканын мцяййян актуал мясяляляри вя с. кими елм сащяляриндя эениш истифадя едилир.
3.2. Лаплас чевирмяси вя онун варлыьы
Тутаг ки, бцтцн щягиги охда тяйин олунмуш ф(т) функсийасы
цчцн ашаьыдакы шяртляр юдянилир:
1.Аргументин мянфи гиймятляриндя, йяни т<0 оланда ф(т)=0 олур. 2.Истянилян сонлу парчада ян чоху сонлу сайда биринжи нюв кясилмя нюгтяси вардыр, йяни щисся-щисся кясилмяйяндир.
3.Еля сабит вя М ядядляри вардыр ки, т-нын бцтцн 0t
гиймятляриндя
83
0, tMetf t (1)
бярабярсизлийи юдянилир. Бу шяртляри юдяйян щяр бир функсийа ориъинал вя йа башланьыж функсийа адланыр. Верилмиш ориъинал ф(т) функсийасы цчцн (1) бярабярсизлийинин юдянилдийи ядядляринин дягиг ашаьы
сярщядиня, йяни inf00 f ядядиня щямин функсийанын
артма эюстярижиси дейилир. Гейд едяк ки, (1) бярабярсизлийи 0
артма эюстярижиси цчцн юдянилмяйя дя биляр. Верилмиш ориъинал ф(т) функсийасы цчцн
ipdttfepF pt ,0
(2)
бярабярлийи иля тяйин олунан комплекс дяйишянли Ф(п) функсийасына онун Лаплас чевирмяси вя йа Лаплас суряти (вя йа тясвири) дейилир вя
. pFtf ....:, pFtfpFtfL
кими ишаря олунур. (2) интегралы гейри-мяхсуси интегралдыр. Она Лаплас интегралы дейилир.
Верилмиш ориъиналын L -сурятини вя тярсиня, верилмиш L -сурятя эюря ориъиналы тапмаг мясяляляри иля операсийа щесабы мяшьул олур. Операсийа щесабынын ясасыны Щевисайд гоймушдур. Теорем 1 (Лаплас
чевирмясинин варлыьы). Тутаг ки,
f00 ядяди ориъинал ф(т)
функсийасынын артма эюстярижисидир.
Онда (2) интегралы 0Re p
йарыммцстявисиндя йыьыландыр вя
0
0
(р)
(Rep>0)
Шякил 1
84
Ф(п) функсийасы щямин областда aналитикдир (шякил 1).
Исбаты. 0Re p oldуьundan еля 0 ядяди вар ки,
0Re p бярабярсизлийи дя юдянилир. Онда ихтийари 0t
цчцн юдянилян
tMetf
)( 0
бярабярсизлийиндян
ttpt Metfetfe)( 0
алыныр. Саь тяряфдяки функсийанын гейри-мяхсуси интегралы йыьыландыр:
00
0 MdtMet
,
онда (2) интегралы да -нын щямин гиймятляриндя мцтляг йыьылыр вя
00
MdttfepF t (3)
бярабярсизлийи юдянилир ip .
Ф(п) функсийасынын 0Re p областында аналитик
олдуьуну исбат етмяк цчцн ону
0 0
,v,sincos iutdttfeitdttfepF tt
шяклиндя йазаг. ,v,u функсийаларынын кясилмяз хц-
суси тюрямяляри вар вя онлар Коши-Риман шяртлярини юдяйир:
,,v
cos0
tdttfteu t
0
,vsin tdttfteu t
.
85
Бурадан ),(v),()( iupF функсийасынын 0Re p
областында аналитик олмасы айдындыр. Гейд. Теоремин исбатындан айдындыр ки, (2) интегралы
00Re p областында мцнтязям йыьыландыр. Бундан
башга, (3) бярабярсизлийиня эюря
)(Re0 ppF (4)
мцнасибяти юдянилир.
Теорем 2 (йеэанялик). ,0 областында кясилмяйян вя
ейни Лаплас чевирмяляри олан ф(т) вя )(t функсийалары ейниликля
бярабярдир: )()( ttf
Теоремин исбаты верилмир.
Мисал.
0,0
0,3sin2
t
ttetf
t
функсийасынын ориъинал функсийа олдуьуну эюстярмяли. Щялли. Щягигятян, ф(т) функсийасы локал интегралланандыр:
2
1
,3sin2
t
t
t tdte
Бу истянилян сонлу 1t вя 2t цчцн доьрудур. Функси-
йанын верилмясиня эюря 2 шярти юдянилир. Нящайят, истянилян щягиги т цчцн
tt ete 22 3sin
юдянилир, беля ки, 3 шяртиня эюря М-ин гиймяти олараг 1 эютцря
билярик; 20 .
3.3. Бязи функсийаларын Лаплас чевирмяси
1. Щевисайд функсийасы (вя йа ващид функсийа) адланан вя
86
0,0
,0,1)(0
t
tt
кими тяйин олунан функсийанын Лаплас чевирмясини тапаг. Айдындыр ки, бу функсийанын
артма эюстярижиси 00 дыр. Бу
функсийанын графики 2-жи шякилдя верилмишдир. Бу функсийанын Лаплас чевирмясини тапаг:
pp
edtetLpt
pt 1
00
0
.
2. Тутаг ки, ф(т)= ,cos t онда
000
sinsincoscos tdteptetdtetL ptptpt
}{coscoscossin 2
000
tLpptdtepteptdtep ptptpt
.
Бурадан
21
cosp
ptL
аларыг. 3.Тутаг ки, ф(т)=синт, онда ейни гайда иля
21
1sinp
tL
аларыг.
4.Тутаг ки, ф(т)= ate , онда
0
1
t
(Rep>0)
0(t)
Шякил 2.
87
0 0
)( .0Re,11 apap
eap
dteeeL taptptt
5. Тутаг ки, ф(т)= nt , онда
0
1
0
1
00
dtetpndtet
pn
petdttetL ptnptn
ptnnptn
бярабярлийини н дяфя ардыжыл тятбиг етдикдя, аларыг:
1
!
n
n
p
ntL
3.4. Лаплас чевирмясинин хассяляри
3.4.1. Сурятин хяттилик хассяси
Теорем 2. nkppFtfL kkk ,1Re, олдугда
ихтийари сабит Ак ядядляри цчцн
n
k
kkk
n
k
kk nkptfLAtfAL11
1,maxRe,
олар. Исбаты. Доьрудан да, интегралын хяттилик хассясиня эюря алырыг:
n
k
kk
pt
k
n
k
k
ptn
k
kk pFAdtetfAdtetfA10 011
Мисал. ф(т)=3 t3cos2t0 функсийасынын тясвирини
тапмалы.
Щялли. 9
233cos2320
p
p
ptLtLtfL .
3.4.2. Охшарлыг теореmи
88
Теорем 1. 0Re, ppFtfL олдугда ихтийари
сабит 0 ядяди цчцн
0Re,1
p
pFtfL
бярабярлийи доьру олар. Исбаты. Тярифя эюря
0
dttfetfL pt
йазмаг олар. Бурада дяйишяни явяз едяк: tz , демяли
,dtdz онда аларыг:
0
11 pFdzzfetfL
zt
p
.
Мисал. Теоремя эюря
222/1
/1cos
p
p
p
pt ,
222/1
11sin
pp
t
аларыг.
3.4.3. Йердяйишмя теорем
Теорем 3. 0Re, ppFtfL олдугда ихтийари
ядяди цчцн
ReRe, 0ppFtfeL t олар.
Исбаты. Доьрудан да, тярифя эюря
00
pFdttfedtetfe tpptt
89
алыныр.
Мисал. ,sin ate t ntt teate ,cos функсийаларынын Лап-
лас чевирмялярини тапмалы.
Щялли . ,sin22 ap
aateL t
,cos22 ap
pateL t
1
!
n
nt
p
nteL
3.4.4. Сурятин тюрямяси
Теорем 4. pFtfL олдугда истянилян натурал н
ядяди цчцн
pFtftLnn (5)
бярабярлийи доьрудур. Исбаты. Яввялжя (5) бярабярлийини н=1 щалы цчцн исбат едяк. Гейд едяк ки, ф(т) функсийасыны (-т)-йя вурмаг, онун артма эюстярижисини дяйишдирмир. Онда тярифя эюря
0 0
.pFdttfedtddtetftttfL ptpt
Инди фярз едяк ки, (5) бярабярлийи н-1 цчцн доьрудур, онда:
tfLtfL nn 1111
)()()1( 11 pFpFtfL nnn
бярабярлийи доьру олар.
Мисал. ф(т)= t2et функсийасынын Лаплас чевирмясини
90
тапмалы.
Щялли. ..
.1
1
p
e t Теоремя эюря: ,1
1 ttep
бура-
дан ..
.1
12
ttep
Беляликля,
..
21
1 ttetp
вя йа .. 2
31
!2 tetp
11.1.4.5. Тюрямянин суряти Теорем 5. Ориъинал ф(т) функсийасынын бцтцн
nktfk
,1 тюрямяляри ориъиналдырса вя pFtfL
оларса, онда истянилян натурал к ядяди цчцн 00....0
121 kkkkkfpffppFptfL (6)
(к=1,…, н) бярабярлийи доьрудур. Исбаты. (6) бярабярлийи k =1 олдугда
0 0
lim tdfedtetftfL
N
pt
N
pt
000
00lim fppFdtetfpfdtetfptfe pt
N
ptN
pt
N
кими исбат олунур. k=2 олдугда ися
tfpLftfLtfL 0
91
0000 2 fpfpFpppFfpf
алыныр. Рийази индуксийа васитясиля (6) дцстуруну истянилян к=3,4,…, н цчцн исбат етмяк олар.
Нятижя. 00....001
k
fff олдугда (6) дцс-
туру ашаьыдакы садя шякилдя йазылыр: ).(pFptfL kk
Мисал. ttf 2sin функсийасынын сурятини тапмалы.
Щялли. Тутаг ки, )(: pFtf . Онда ..
).0()( fppFtf
Анжаг .4
22sincossin2,002
: ppFp
ttttff
Беляликля, .sin4
2 2
2: t
pppF
3.4.5. Ориъиналын интегралланмасы
Теорем 6. Ориъинал ф(т) функсийасынын интегралы олан
dft
t
0
функсийасы да ориъиналдыр вя pFtfL
олдугда p
pFdfL
t
0
олур.
Исбаты. Доьрудан да интеграллама нювбясини дяйишсяк,
dtdfedtdfe
t
ptpt
0 00
.1
00p
pFdfe
pd
pef ppt
92
Мисал. de
t
0
функсийасынын сурятини тапмалы.
Щялли: Мялумдур ки, 1
1:
p
e t , онда
t
ppp
pde
0
.1
111
:
3.4.6. Сурятин интегралланмасы
Теорем 7. ф(т) функсийасынын pFtfL Лаплас
чевирмяси цчцн duuFp
гейри-мяхсуси интегралы йыьылан
олдугда
duuFt
tfL
p
(7)
бярабярлийи доьрудур. Исбаты. Доьрудан да,
p p
ut
p
ut dttfduedudttfeduuF00
00
.t
tfLdte
t
tfdttf
te pt
p
ut
Нятижя. (7) бярабярлийиндя p=0 эютцрдцкдя (ялбяття, алынан гейри-мяхсуси интеграллар йыьылан олдугда)
0 0
duuFdtt
tf (8)
93
мцнасибяти алыныр.
Мисал. tttf sin funkсийасынын тясвирини тапмалы.
Щялли. .21
sin2
arctgParctguu
duttL
p
p
Ейни заманда (8) бярабярлийиня эюря
0 0
02 21
sin arctguu
dudttt
алынар.
3.4.7. Эежикмя теореми
Теорем 8. 0Re),( ppFtfL олдугда,
ttf
ttf
,
,0
функсийасынын Лаплас чевирмяси
)(pFetfL p
бярабярлийи иля щесабланыр. Исбаты. Доьрудан да
0 0
)( dtetfdtetftfL ptpt
0 0
.pFedueeufdtetfdtetf pppuptpt
Мисал. Эежикмя теоремини тятбиг етсяк, t0
функсийасынын тясвирини аларыг:
94
pep
tL 10 ( ихтийари мцсбят ядяддир).
3.4.8. Габаглама теореми
Теорем 9. Л(т)=Ф(п) олдугда истянилян 0 ядяди
цчцн
dueufpFetfL pup
0
)()()}({
бярабярлийи доьрудур. Исбаты. Доьрудан да,
dueufedtetftfL puppt )()()}({0
dueufpFedueufdueufe puppupup
000
)()()()( .
3.4.9. Функсийалар баьлысы вя Дйцамел дцстуру
Операсийа цсулу иля диференсиал тянликляри щялл етдикдя ашаьыдакы теорем бязян файдалы олур.
Теорем 10 (баьлама теореми). Яэяр Лф1(т)=Ф1(п) вя
Лф2(т)=Ф2(п) оларса, онда
)()()()( 212
0
1 pFpFdtffL
t
(9)
бярабярлийи доьрудур. Исбаты. Сурятин тярифиндян истифадя етсяк,
95
dtdtffedtffL
t
pt
t
)()()()( 2
0
1
0
2
0
1
аларыг. Саьдакы интеграл, =0,
=т дцз хяттляри иля мящдуд област (шякил 3) цзря эютцрцлян икигат интегралдыр. Бу интегралда интеграллама нювбясини дяйишдиряк:
dtdtfef
dtffL
pt
t
)()(
)()(
21
0
2
0
1
Дахили интегралда т-=з явязлямясини апарсаг,
dzzfedttfe zppt )()( 2
0
)(
2
)()( 22
0
pFedzzfee ppzp
аларыг. Демяли,
dpFefdtffL p
t
)()()()( 2
0
12
0
1
).()()()( 121
0
2 pFpFdfepF p
Гейд 1. dtff
t
)()(0
21 ифадясиня ики ф1(т) вя ф2(т)
функсийаларынын баьлысы дейилир вя ф1*ф2 символу иля ишаря едилир. Асанлыгла эюстярмяк олар ки,
0
t
t=
t
Шякил 3.
96
.)()()()( 2
0
1
0
21 dftfdtff
tt
Саьдакы интегралда т-=з явязлямясини апармагла бу бярабярлийин доьрулуьуна инанмаг олар. Йяни ики функсийа баьлысынын алынмасындан ибарят олан «баьлама» ямяли йердяйишмя (коммутативлик)хассясиня маликдир. Гейд 2. Баьлама теореминя ясасян, верилмиш функсийанын суряти мялум олдугда бу функсийанын интегралынын сурятини
асанлыгла тапмаг олар, беля ки, )()( pFtfL оларса,
t
dfpFp
0
.)()(1
: (10)
Доьрудан да, ф1(т)=ф(т), ф2(т)=1 гябул етсяк, онда
Ф1(п)=Ф(п), p
pF1
)(2 . Бу функсийалары (9) дцстурунда
йериня йазсаг, (10) дцстуруну аларыг.
Нятижя. Яэяр pFtfL 11 )( вя pFtfL 22 )(
олдугда, Дйцамел дцстуру адланан
)()()()(0)( 212
0
121 pFppFdtffftfL
t
бярабярлийи доьрудур. Исбаты. (9) бярабярлийиня вя ориъиналын диференсиалланмасы теореминя ясасян аларыг:
.)()()0()()()()()( 2
0
1212
0
121 :
dtffftfdtftfpFppF
t
t
t
Мисал 1. de)t()t(
t
0
функсийасынын тясвирини
тапмалы.
97
Щялли. (т) функсийасы ф1(т)=t вя ф2(т)=ет функсийаларынын баьлысыдыр. Онда баьлама теореминя эюря:
)1(
1
1
11)()()(
2221
pppp
pFpFtL
Мисал 2. Ф(п)=5
1
3
1
pp тясвиринин башланьыж
функсийасыны тапмалы.
Щялли. ,3
1)( 3
1
teLp
pF
teLp
F 3
25
1
, tetf 3
1 )( .
Ф2(т)=е5т кими гябул етсяк, (9) дцстуруна ясасян, аларыг:
t
ttt eedeetftftf0
355)(3
212
1)(*)()(
3.5.Мялум сурятя эюря ориъиналын тапылмасы
3.5.1. Лаплас чевирмясинин тярси Индийя гядяр Лаплас чевирмясинин бир сыра хассялярини юйрянмякля вя верилмиш ориъиналын Лаплас чевирмясини тапмагла мяшьул олмушуг. Лакин Лаплас чевирмясини бир сыра мясялялярин щяллиня тятбиг етдикдя суряти верилмиш ориъиналын тапылмасы тяляб олунур. Бу ися Лаплас чевирмясинин тярсинин варлыьы вя тапылмасы мясяляси иля баьлыдыр. Инди ися мялум сурятя эюря ориъиналын тапылмасы цчцн бир нечя теореми нязярдян кечиряк.
Теорем 11 (Меллин). Тутаг ки, Реп0 йарым-
мцстявисиндя аналитик олан Ф(p) функсийасы [0,] йарымохунун истянилян сонлу щиссясиндя щисся-щисся щамар вя артма
эюстярижиси 0 олан ф(т) функсийасынын Лаплас чевирмясидир. Онда ф(т) функсийасынын кясилмяз олдуьу щяр бир нюгтядя
98
0,)(2
1
xdppFei
tf
ix
ix
pt (11)
бярабярлийи доьрудур. Буна Риман-Меллин дцстуру дейилир. Ихтийари аналитик Ф(п) функсийалары цчцн (11) интегралынын щесабланмасы мцяййян чятинликлярля баьлыдыр, буна эюря биз тятбиги сащядя мцщцм рол ойнайан бир нечя хцсуси щаллара бахажаьыг. Теорем 12. (биринжи айрылма теореми). Тутаг ки, Ф(п) функсийасы эенишлянмиш комплекс мцстявидя аналитикдир вя онун Лоран айрылышы
1
)(n n
n
p
cpF , Ф()=0 (12)
шяклиндядир, йяни п= онун дцзэцн нюгтясидир. Онда (12) функсийасынын ориъиналы
0,
0,0
)(
0
1 tn
tC
t
tf
n
n
n
(13)
бярабярлийи иля тяйин олунур. Доьрудан да
00
1
0!
)( dtten
Cdtetf npt
n
npt
0 1
1
1
10
1 !
! n nn
n
n
n
nn
n
p
C
p
C
p
n
n
C
олар. Йеэанялик теореминя эюря (12) функсийасынын (13)-дян башга ориъиналы ола билмяз.
Мисал. pp
pF1
cos1
)( функсийасынын ориъиналыны
тапмалы.
99
Щялли. p
1cos функсийасыны
p
1 гцввятляриня нязярян
сырайа айыраг:
...)!22(
1)1(
!2
11
1cos
22
1
2
n
n
pnpp,
онда
12
1
3 )!22(
1)1(
!2
111cos1
)(n
n
pnpppppF
Нятижядя, теорем 12-йя эюря аларыг:
.0,])!22[(
)1()!2(
1)(2
21
2
2
tn
tttf
nn
Теорем 13 (икинжи айрылма теореми). Полйуслары п1, п2, .., пн ядядляри олан дцзэцн Ф(п) кяср-расионал функсийасынын ориъиналы
0
])([)(n
pt
pp
epFtfn
Чых (14)
кими щесабланыр.
Нятижя. Яэяр )(
)()(
pB
pApF
m
n дирся бурада Ан вя Бм
уйьун олараг дяряжяляри н вя м, ортаг кюкляри олмайан чохщядлидирлярся вя щям дя н<м-дирся, онда
kk
k
k
m
k
pt
m
m
pp
e
k k
ppepFdp
d
mtf )()(lim
)!1(
1)(
1
1
1
(15)
доьрудур, бурада п1,..., пе - Бм(п) чохщядлисинин мцхтялиф сыфырларыдыр, мк ися пк полйусунун тяртибидир. Хцсуси щалда, Ф(п) функсийасынын бцтцн полйуслары садядирся, онда (15) дцстцрц
100
e
k
tp
km
kn kepB
pAtf
1 )(
)()( (16)
шяклиня дцшяр.
Яэяр п=0 мяхряжин кюкц оларса, онда Бм(п)-ни
шяклиндя йазмаг олар, бурада Б1(п)0 (Бм(п)-нин бцтцн
кюкляри садядир). Онда )()()( 11 pBppBpBm .
Бу заман ),0()0( 1BBm анжаг )()( 1 kkkm pBppB ,
беляки, Б1(пк)=0 вя Бм(п) вя Б1(п) чохщядлиляринин сыфыр олмайан кюкляри цст–цстя дцшцр. (16) жяминдян сыфыр кюкя уйьун топлананлары айырсаг аларыг:
: ,)(
)(
)0(
)0()(
)(
)(
111
tp
kk
knnn kepBp
pA
B
Atf
ppB
pA
e
1k
беля ки, жям Б1(п)-нин бцтцн кюкляри цзря эютцрцлцр.
Мисал 2. 22
2
)1(
21)(
p
ppF
функсийасынын ориъиналыны
тапмалы.
Щялли. 22
2
)()(
21)(
ipip
ppF
функсийасы икинжи тяртиб
п1=и, п2=-и полйусларына маликдир. (14) дцстуруну тятбиг етсяк, аларыг:
.sin2
3cos
2
1
)(
21
)(
21)(
/
2
2/
2
2
ttteip
pe
ip
ptf
ip
pt
ip
pt
Мисал 3. 2
8)(
2
pp
ppF функсийасынын ориъиналыны
тапмалы.
)(1 ppB
101
Щялли. )2)(1(
8)(
pp
ppF функсийасы садя п1=1, п2=-2
полйусларына маликдир, онда (16) дцстуруна ясасян, аларыг:
tt
p
pt
p
pt eeep
pe
p
ptf 2
21
2312
8
12
8)(
Мисал 4. 22 )1(
)(
p
ppF функсийасынын ориъиналыны
тапмалы. Щялли. Ф(п) функсийасы икинжи тяртиб п1=1, п2=-1 полйусларына маликдир. (15) дцстуруна эюря, аларыг:
.sh2
1
)1(lim
)1(lim)(
/
21
/
21tt
p
pe
p
petf
p
pt
pp
pt
p
Гейд. Мялумдур ки, щяр бир дцзэцн расионал кясри ашаьыда эюстярилян дюрд нюв садя кясрлярин жями кими эюстярмяк олар.
Ы. ap
A
, ЫЫ.
kap
A
)( , ЫЫЫ. ,
212 apap
BAp
бурада мяхряжин кюкляри комплекс ядядлярдир, йяни
04
2
2
1 aa
;
ЫВ. kapap
BAp
)( 21
2
,
бурада к2; мяхряжин кюкляри комплекс ядядлярдир. I нюв кяср цчцн
: atAeap
A
;
II нюв кяср цчцн ися
102
: 1
)!1(
1
)(
atk
ket
kA
ap
A
;
III нюв кясри ашаьыдакы кими чевиряк:
2
1
1
2
1
1
212
2
2
2
2
ap
AaB
ap
apA
apap
BAp
аларыг, бурада 04
2
12 a
a (яэяр >0 оларса, онда мяхряж
хятти вуруглара айрылыр) вя жядвялдян истифадя етмякля ориъиналы тапмаг олар. IV нюв садя кясря бахылмайажагдыр, чцнки бу щалда бюйцк щесабламалар лазым эялир.
Мисал. )4)(1(
1)(
2
ppppF функсийасынын ориъиналыны
тапмалы. Щялли. Ф(п)-ни садя кясрлярин жями шяклиндя эюстяряк:
41)4)(1(
122
p
DCp
p
B
p
A
ppp.
А, Б, Ж, Д гейри-мцяййян ямсаллары тапсаг, аларыг:
5
1,5
4,5
1,1 DCBA ,
онда 4
1
5
1
45
4
1
1
5
11)(
22
pp
p
pppF вя
ttetf t 2sin10
12cos
5
4
5
11)( аларыг.
Теорем 14 (Ефрос). Тутаг ки, : )()( pFtf вя )(pФ иля
)(pq еля аналитик функсийалардыр ки,
103
),()( :)( tepФ pq
доьрудур, онда
.
Хцсуси щалда, p
pФ1
)( , ppq )( оларса, онда
tet
t 4/21),(
.
Буна эюря, яэяр )()( : tfpF мялум оларса, онда Ефрос
теореминя ясасян, аларыг:
0
4/2)(1)(
: deftp
pF t .
3.6. Лаплас чевирмясинин бир сыра тятбигляри
Лаплас чевирмяси ади вя хцсуси тюрямяли диференсиал тянликлярин вя щям дя диференсиал тянликляр системинин щяллиня, мцхтялиф интегралларын щесабланмасына вя бир сыра башга мясялялярин щяллиня эениш тятбиг олунур. Лаплас чевирмясиня ясасланан операсийа цсулу чох садядир вя практики жящятдян ялверишлидир. Бурада щямин цсулун бир нечя конкрет мясялянин щяллиня тятбиги эюстярилир.
3.6.1. Ади диференсиал тянликлярин щялли
Тутаг ки, сабит ямсалы хятти биржинсли олмайан
)()()(...)()( 01
)1(
1
)( tftyatyatyatya n
n
n
n
(17)
ади диференсиал тянлийинин )1(
0
)1(
00 )0(,....,)0(,)0( nn yyyyyy (18)
0
),()()()]([ : dtfpФpqF
104
башланьыж шяртлярини юдяйян )(tyy щяллини тапмаг тяяб
олунур.
(1) тянлийинин щяр ики тяряфини pte –йя вуруб, (0,)
интервалында интегралласаг, аларыг:
...)()(0
)1(
1
0
)( dtetyadtetya ptn
n
ptn
n
00
0
0
1 )()()( dtetfdtetyadtetya ptptpt . (19)
Тюрямялярин суряти теореминя ясасян (19) бярабярлийини
1
2
1
1
0 ...)( n
nnn
n ypypypYpa
2
3
1
2
0
1
1 ...)( n
nnn
n ypypypYpa
. . . . . .
)()()( 001 pFpYayppYa (20)
шяклиндя йаза билярик, бурада )()(,)()( :: tfpFtypY .
(20) тянлийини чевирсяк
)(... 01
1
1 pYapapapa n
n
n
n
12
2
1
1
0 .... apapapay n
n
n
n
23
31
21 .... apapapay n
nn
n
. . . . . . . (*)
)(1 pFya nn
вя йа )(
)()()(
pA
pFpBpY
(21)
алырыг, бурада
01
1
1 ...)( apapapapA n
n
n
n
,
12
2
1
1
0 ....)( apapapaypB n
n
n
n
123
3
1
2
1 .......
nn
n
n
n
n yaapapapay .
105
(*) тянлийи кюмякчи тянлик вя йа оператор тянлик адланыр. А(п) чохщядлиси (17) тянлийинин характеристик чохщядлисидир. Беляликля, ахтарылан y(t) щялинин Лаплас чевирмяси (21) шяклиндя тапылмыш олур. Суряти мялум олан функсийанын (ориъиналын) юзцнц ися тярс Лаплас чевирмяси васитясиля тапмаг олар. Сыфыр башланьыж шяртляр дахилиндя B(p)=0 олар вя (21) бярабярлийи
)(
)()(
pA
pFpY (22)
кими садя шякилдя йазылар. Мисал. 1)0(,0)0(;cos2 xxtxx .
Щялли. )()0()()(),()( :: ppXxppXtxpXtx ,
1cos,1)()0()0()()(
2
22 ::
p
ptpXpxpxpXptx ,
1
2)(1)(
2
2
p
ppXpXp ,
1
1
)1(
2)(
222
pp
ppX .
Сурятин тюрямяси теореминя эюря
ttpp
p
p
sin1
1
)1(
2:
222
.
Беляликля, tttttpX sin)1(sinsin)( : ;
tttx sin)1()( .
Мисал. 24 xx тянлийинин 000 xx башланьыж
шяртлярини юдяйян щялини тапмалы. Щялли. (22) дцстуруна эюря
106
4
1
2
1
)4(
2)(
22 p
p
ppppX
йаза билярик. Бурадан
ttttx 2cos2
1
2
12cos
2
1)(
2
1)( 0 .
3.6.2 . Диференсиал тянликляр системинин щялли.
Ади диференсиал тянликляри щялл етмяк цчцн йухарыда тятбиг олунан операсийа цсулу ади диференсиал тянликляр системини щялл етмяк цчцн дя йарайыр. Бу заман йухарыда апарылан мцщакимя, демяк олар ки, тякрар олунур. Bunu bир мисал цзяриндя изащ едяк.
t
t
exy
eyx
24 (23)
тянликляр системинин х(0)=0, й(0)=0 башланьыж шяртлярини юдяйян
х=х(т) вя й=й(т) щяллини тапмалы. txLpX вя
tyLpY гябул едяряк, (23) тянликляринин щяр биринин щяр ики
тяряфинин Лаплас чевирмясини щесабласаг, Х(п) вя Й(п) сурятляриня нязярян
124
11
ppXppY
ppYppX
жябри тянликляр системи алыныр. Бурадан щямин сурятляри тапсаг, аларыг:
21
2,21
1
pppY
pppX .
107
Бу ифадяляри 11
21
pppX вя
12
22
pppY
кими йаздыгда ,2 tt eetx tt eety 22 2 олдуьуну аларыг.
3.6.3. Хцсуси тюрямяляри диференсиал тянликлярин щялли
Тутаг ки, мцяййян башланьыж шяртлярини (т гейд олунуб) вя сярщяд шяртлярини (х гейд олунуб) юдяйян
2
2
22
2
122
2
11
,,2
,
t
txua
tx
txua
x
txua
txftxuat
txua
x
txua ,,
,2
,2 332313
(24)
диференсиал тянлийинин щяллини тапмаг тяляб олунур. Бурада
332313221211 ,,,,, aaaaaa - сабит ямсаллар, ф(х,т) – верилмиш
функсийадыр. Фярз едяк ки, ахтарылан у(х,т) щялли вя онун (24) тянлийиня дахил олан тюрямяляри т-йя эюря Лаплас чевирмясинин варлыг шяртлярини юдяйирляр, щям дя беляки, т-йя эюря у(х,т) функсийасынын вя онун тюрямяляринин артма эюстярижиси х-дян асылы дейилдир. Фярз едяк ки, у(х,т)=У(х,п). (24) тянлийинин щяр ики
тяряфини pte -йя вуруб, т дяйишяниня нязярян ,0 интервалы
цзря интеграллайаг:
0
2
2
22
0
2
12
0
2
2
11
,,2
,dte
t
txuadte
tx
txuadte
x
txua ptptpt
0
23
0
13
,2
,2 dte
t
txuadte
x
txua ptpt
0 0
33 ,, dtetxfdtetxua ptpt. (25)
(25) бярабярлийиндяки щяр бир щяддин тясвирини щесаблайаг:
108
)0,(),(),(
),(),(),(
0
00
:
xupxpUdtetxup
txuedtet
txu
t
txu
pt
t
t
ptpt
(26)
,)0,(
)0,(),(
),(),()0,(
),(),(
2
0
2
0
000
2
2
2
2
:
t
xuxpupxUp
dtetxuptxpuet
xu
dtet
up
t
uedte
t
txu
t
txu
ptt
t
pt
pt
t
t
ptpt
(27)
dx
pxdU
x
pxUdtetxu
x
dtetxux
dtex
txu
x
txu
pt
ptpt
),(),(),(
),(),(),(
0
00
:
(28)
,),(),(
),(
),(),(),(
2
2
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
2
2
:
dx
pxUd
x
pxUdtetxu
x
dtetxux
dtex
txu
x
txu
pt
ptpt
(29)
109
.)0,(),(
)0,(),(),(
),(),(),(
0
00
22
:
dx
xdu
dx
pxdUp
x
xu
x
pxUpdte
t
txu
x
dtetxutx
dtetx
txu
tx
txu
pt
ptpt
(26)-(30) дцстурларыны нязяря алмагла, беляликля, У(х,п) тясвириня эюря ашаьыдакы ади диференсиал тянлийи аларыг:
pxUpa
dx
pxdUpa
dx
pxUda ,
,2
, 222122
2
11
pxUapxpUa
dx
pxdUa ,,2
,2 332313
,,0,2
)0,()0,(
0,2 23222212 pxFxua
dt
xduaxpua
dx
xdua
бурада ),(),( : txfpxF . Беляликля, сонунжу диференсиал тянлийи
истянилян гайда иля интегралламагла У(х,п) тясвирини, сонра ися ахтарылан у(х,т) функсийасыны тапмаг олар. Мисал.
012
2
22
2
t
u
ax
u (31)
дальа тянлийинин у(0,т)=у(л,т)=0
сярщяд шяртлярини вя 00,
,sin0,
t
xu
lxAxu башланьыж
шяртлярини юдяйян щяллини тапмалы.
Щялли. (31) тянлийинин щяр ики тяряфини pte -йя вуруб,
,0 интервалы цзря интеграллайаг:
0 0
2
2
22
2
01 dtet
u
adte
x
u ptpt. (32)
110
(27) вя (30) дцстурларыны вя башланьыж шяртляри нязяря алмагла (32) тянлийини
lx
a
pApxU
a
p
dx
pxUd sin,,
22
2
2
2
(33)
шяклиндя йаза билярик. (33) ади диференсиал тянлийини щялл етсяк, аларыг:
lx
l
ap
pAececpxU
xa
pxa
p
sin,
2
222
21 ,
бурада 21 , cc ихтийари сабитлярдир. Сярщяд шяртлярини нязяря
алмагла 021 cc аларыг. Нятижядя,
lx
l
ap
pApxU
sin,
2
222
.
Бу тясвиря эюря ися орижиналы тяйин едя билярик:
lx
latAtxu sincos),( .
Импулс функсийасы
Беля бир функсийайа бахаг (шякил 1):
Шякил 1.
0 t
1(t,
) 1/
111
.,0
,0/1
,0,0
)()(1
),( 001
t
t
t
ttt
Яэяр бу функсийаны 0-дан -йа кими аралыгда тясир едян гцввя кими, галан вахт ярзиндя сыфыра бярабяр гябул етсяк, онда айдындыр ки, бу гцввянин импулсу ващидя бярабяр олажагдыр. Бу функсийанын тясвири
pe
pt
11),( :1
шяклиндя олажагдыр. Механикада кичик заман анында ани тясир едян, анжаг сонлу импулса малик олан гцввяляря бахмаг даща
мцнасибдир. Буна эюря 0 шяртиндя ),(1 t функсийасынын
лимити кими (t) функсийасына бахаг:
),(lim)( 10
tt (*)
Бу функсийа ващид импулс функсийасы вя йа делта функсийа (Дирак функсийасы) адланыр. Беля ки,
1)(
dtt (**)
вя йа
1)(
0
0
dtt (1)
кими йазылыр
Гейд едяк ки, (x) функсийасы тякжя механикада дейил, рийазиййатын бир чох бюлмяляриндя, хцсусян рийази физика тянликляринин бир чох мясяляляринин щяллиндя истифадя еилир.
112
(t)-нын тясириня гцввя кими бахаг.
)(2
2
tdt
sd (2)
тянлийинин 00,0 tdt
dss
шяртлярини юдяйян щялини тапмалы. (1)-и нязяря алмагла, (2) тянлийиндян аларыг (ихтийари т цчцн, щям дя т=0 цчцн):
1)(0
t
ddt
ds.
Нятижядя, (x) функсийасыны (*) брабярлийи кими мцяййян етмякля бу функсийаны ващидя бярабяр гцввя кими нязяря алмагла, ону т=0 анында ващид кцтляли мадди нюгтянин сцрятиня бярабяр эютцрмяк олар.
(t) функсийасынын тясвирини 0 шяртиндя ),(1 t
функсийасынын тясвиринин лимити кими тяйин едяк:
1111
lim)}({0
p
p
e
ptL
p
(бурада лимитин щесабланмасында Лопитал гайдасындан истифадя етдик). Беляликля,
1)( : t .
Бундан сонра ващидя бярабяр 0tt анында ани гцввя
кими юзцнц эюстярян )( 0tt функсийасы тяйин едилир, о ващид
кцтляли сцряти характеризя едир. Айдындыр ки, эежикмя теореминя эюря
ptett :)( 0
аларыг. Аналоъи олараг (2)-ни
1)(0
0
0 t
t
dttt
113
кими йаза билярик. Делта функсийасынын механики мянасына эюря тянлийин саь тяряфиндя делта функсийасынын иштиракы башланьыж шяртлярин уйьун дяйишмяси иля явяз едиля биляр. Буну садя мисал иля изащ едяк. Тутаг ки,
)()(2
2
ttfdt
xd
диференсиал тянлийи
)0(0,0 00 txx
башланьыж шяртляри иля верилмишдир. Кюмякчи тянлик
22
1)()(
pp
pFpX
шяклиндя олажаг, бурадан
tdtftx
t
0
)()()( .
Бу нятижяйя саь тяряфдя (t) функсийасы иштирак етмядикдя дя эялмяк олар. Инди ися делта функсийанын мцщцм хассясини ейд едяк. (**) вя (1) бярабярликляриня эюря
t
tdt
t
0,1
,0,0)(
аларыг, йяни бу интеграл ващид )(0 t Щевисайд функсийасына
бярабяр олур, беляликля,
t
dt )()(0 .
Бу бярабярлийин сол вя саь тяряфлярини т-йя эюря диференсиалласаг,
)()(0 tt (3)
шярти бярабярлийини аларыг.
114
(3) бярабярлийинин мянасыны айдынлашдырмаг цчцн шякил
2-дя эюстярилмиш ),(0 t функсийасына бахаг. Айдындыр ки,
),(),( 10 tt (4)
(т=0 вя т= нюгтяляриндян башга). (4)-дя 0 шяртиндя лимитя
кечсяк )(),( 00 tt аларыг, онда йаза билярик:
)(),( 00 tt , 0 олдугда.
Шякил 2.
(4) бярабярлийинин саь тяряфи 0 олдугда
)(),(1 tt . Беляликля, (4) бярабярлийи (3) шярти бярабярлийиня
кечир.
1
0
t
115
Бязи функсийаларын Лаплас чевирмяси
№
f(t) F p e f t dtpt( ) ( )
0
1 1 1
p
2 sint
p2 2
3 cost p
p2 2
4 e t 1
p
5 sht
p2 2
6 cht p
p2 2
7 e tt sin
( )p 2 2
8 e tt cos p
p
( )2 2
9 t (>0) tn
(n там ядяддир)
( ),
!
11 1p
n
pn
10 tnf(t) ( ) ( )( )1 n nF p
11 te t 12( )p
12 tsint 22 2 2
p
p
( )
116
13 tcost p
p
2 2
2 2 2
( )
14 f d
t
( ) 0
1
pF p( )
15 f t
t
( ) F u du
p
( )
16 f t t( ) 0 e F ppt 0 ( )
17 (f*) (t) [f(t)] [(t)]
18 C
t
ktk
k
k
1
0
0!( )
C
p
k
kk
1
19 f t f fn n( ) ( )( ), (0) ... (0) 1 0 p F pn ( )
20 f t f u t u du
t
( ) (0) ( ) ( ) 0
p [f(t)] [(t)]
21 12
4
te t
1
pe
p
22
2 4 2
4
2
te t
e
p
23 t e t ( )
( )
11p
24 e e
t
bt at ln
p a
p b
25 sint
t
2 arctg
p
117
ƏDƏBİYYAT
1. Philip J. Davis, Philip Rabinowitz Methods of Numerical
Integration: Second Edition, Dover Pubn Inc; Auflage: 0002 (25.
Oktober 2007)
2. William Bober, Andrew Stevens Numerical and Analytical Methods
with MATLAB for Electrical Engineers CRC Press – 2012
3. Curtis F. Gerald , Carol J. Green , Patrick O. Wheatley Addison
Wesley Pub Co Inc; Edición: 0007 (1 de julio de 2003)
