-
76
15. Funcii elementare.
a) Funcia radical: zzf =)( . Fie 2
iez = ; obinem pentru f(z) dou valori: (1) 22 )(,)( 21
ii ezfezf == . Deci funcia radical este o funcie multiform.
Funciile 1f i 2f se numesc ramurile funciei f(z). Fie )( 00 zM i
)(zM dou puncte din planul complex (w) (figura) avnd respectiv
argumentele 0 i .
Dac punctul z descrie arcul ________
0 MM fr s nconjoare originea, atunci argumentul lui variaz de la
0 la , iar valorile funciilor i n punctul M(z) vor fi:
22
21 ,)(
ii
efezf == .
y M(z)
D
)( 00 zM 0 0 x
1
Onl
y fo
r stu
dent
s
-
Dac punctul z descrie un arc ce unete pe 0M cu M nconjurnd
originea, atunci argumentul lui variaz de la 0 la pi 20 + .
Valorile funciilor 1f i 2f n punctul M(z) vor fi:
(2)
===
===
+
+
)()(
)()(
122/)2(*
2
222/)2(*
1
zfeezf
zfeezfii
ii
pi
pi
Deci valorile funciilor 1f i 2f se schimb cnd punctul z descrie
un arc ce nconjoar originea. Din acest motiv punctul z = 0 se
numete punct de ramificaie sau punct critic al funciei multiforme
zzf =)( . Dac n planul complex efectum o tietur dup o semidreapt ce
pleac din origine, atunci argumentul punctului poate lua valori
numai ntre 0 i pi2 , deoarece z nu mai poate descrie arcul care s
nconjoare originea. Prin tietura fcut funciile multiforme )(1 zf i
)(2 zf devin funcii uniforme. Funcia n zzf =)( . este o funcie
multiform, avnd n ramuri:
nkink ezf /)2(1 )( pi ++ = { }1,...,2,1,0 nk .
Punctul z = 0 este punctul de ramificaie sau punct critic al
funciei f(z). Prin efectuarea unei tieturi n planul complex
printr-o semidreapt ce pleac din origine funciile )(1 zf k + devin
uniforme. b) Funcia exponenial i funcia logaritmic. Definim funcia
exponenial ze prin:
(3) )sin(cos1lim yiyen
ze
x
n
n
z +=
+=
Aceasta este o funcie olomorf n tot planul C. Funcia ze ia orice
valoare din planul complex n afar de 0. Fie
0, = iew . S determinm pe z astfel nct: iz ewe .== . Scriind z =
x + iy, obinem iiyx eee == ., , de unde: (4) ln=x i Zkky += ,2 pi .
Soluia general a ecuaiei we z = se numete logaritmul lui w, se
noteaz Ln w i are expresia: (5) Ln )2(ln pi kiw ++= sau
(6) Ln )2(argln pikwiww ++=
2
Onl
y fo
r stu
dent
s
-
unde arg w este argumentul principal al lui w. Pentru k = 0,
obinem wiwLnw argln +=
care se numete valoarea principal a lui Ln w i se noteaz ln w.
Deci: (7) ln wiww argln += .
Considernd pe w variabil punnd n (6) n locul lui w pe z, obinem
funcia logaritmic: (8) Ln )2(argln pikzizz ++= iar pentru k = 0
valoarea principal (9) ln zizz argln += . Funcia logaritmic este o
funcie multiform avnd o infinitate de ramuri. Aceste ramuri devin
funcii uniforme dac efectum o tietur dup o semidreapt ce pleac din
origine. c) Funcia zzf =)( . Dac 0z , atunci: (10) kizLnz eeez pi
== 2ln n raport cu . distingem trei cazuri: 1. Z , deducem 12 = kie
pi i din (10) zez ln = este o funcie uniform n tot planul complex.
2. Q , qp= p,q ntregi, prime ntre ele, 0q . Obinem funcia multiform
q pzz = care are q ramuri i z = 0 punct de ramificaie. 3. C ,
funcia zzf =)( este o funcie multiform cu o infinitate de ramuri.
d) Funcii circulare i inversele lor. Funcii hiperbolice. Funciile
circulare sin z, cos z prin definiie sunt date de relaiile:
(11) 2
cos,2
siniziziziz ee
ziee
z +
=
= .
Deoarece ize are perioada pi2 , sin z i cos z au perioada pi2 .
Dezvoltarea n serie de puteri este:
(12)
+++=
+
++=
...)!2()1(...!21cos
...)!12()1(...!3sin
22
121
3
n
zzz
sin
zzzz
nn
nn
Funcia tg z se definete astfel:
(13) 111
cos
sin2
2
+
== iz
iz
e
e
izz
tgz
3
Onl
y fo
r stu
dent
s
-
i are perioada pi . Funcia w = f(z), definit de (14) cosw=z se
numete arccos i se noteaz:w =Arccos z. Din (11) i (14) obinem:
21 zize iw = i deci: (15) )1(1cos 2zizLn
izArc =
Funcia (16) )1ln(1arccos 2ziz
iz =
se numete determinarea principal a funciei multiforme Arccos z.
Funcia (15) are o infinitate de ramuri i dou puncte critice 1=z .
Aceste ramuri devin funcii uniforme, dac efectum n planul complex
dou tieturi de forma:
y
-1 0 1 x
Funcia w = Arcsin z este definit de ecuaia sin w = z.
Obinem:
(17) )1(1sin 2zizLni
zArc =
Funcia (18) )1ln(1sin 2ziz
izArc =
se numete determinarea principal a lui Arcsin z. Putem
scrie:
(19)
+
+=
zkzk
zArcarcsin)12(
arcsin2sin
pi
pi
4
Onl
y fo
r stu
dent
s
-
Funcia w = Arctg z se definete prin ecuaia tg w = z, de unde
iz
zizi
e iw +
= ,2
deci
+
=
zizi
iArctgz ln
21
care este o funcie multiform
avnd o infinitate de ramuri i ca puncte critice pe i .
Determinarea principal a lui Arctg z este :
(20)
+
=
zizi
iarctgz ln
21
.
Funciile hiperbolice shz i chz se definesc prin formulele:
(21) shz ,2
zz ee = chz
2
zz ee += .
De aici observm c: cos iz=ch z, sin iz=i sh z,ch 2 z-sh 2 z=1 .
Aceste funcii hiperbolice ca i ze sunt funcii periodice de perioad
pi2 i.
5
Onl
y fo
r stu
dent
s
