Embed Size (px)
Citation preview
Čikoš Pajor Gizela
M a t e m a t i č k a a n a l i z a
z b i r k a z a d a t a k a z a v e ž b e
I deo
Viša tehnička škola, Subotica 2002
Matematička analiza Zbirka zadataka za vežbe
P R E D G O V O R
Ova zbirka zadataka obuhvata gradivo koje je predviđeno za vežbe iz predmeta matematička analiza na elektrotehničkom, mašinskom i informatičkom odseku Više tehničke škole u Subotici. Na početku svakog poglavlja navedene su najbitnije definicije i teoreme bez dokaza, koje su potrebne za rešavanje zadataka iz date oblasti. U svakom poglavlju možete naći detaljno izrađene zadatke koje ćemo i na vežbama obraditi, i tu po potrebi dati dodatna objašnjenja. Na kraju svakog poglavlja možete naći zadatke koji nisu izrađeni, predlažu se za samostalnu vežbu. Ovi zadaci su birani iz poznatih zbirki zadataka iz matematičke analize (kao npr. Uščumlić–Miličić, Demidovič i drugi).
Pojedine oblasti se nadovezuju jedan na drugi, zato predlažem da vežbate zadatke po utvrđenom redosledu. Ovu zbirku zadataka možete koristiti za pripremanje pismenog dela ispita, ali gradivo usmenog ispita ovde nije u dovoljnoj meri obrađeno. Naše dosadašnje iskustvo je pokazalo da studenti iz različitih srednjih škola stižu sa jako različitim predznanjem. Zato svim studentima, koji iz ove skripte ne mogu da prate gradivo predlažem, da jednostavnije zadatke uvežbaju iz neke srednjoškolske zbirke zadataka. Ovo je prvo izdanje na srpskom jeziku, izvinjavam se za greške koje su u njemu napravljene, rado ću ih ispraviti ako mi obratite pažnju na njih. Unapred se zahvaljujem.
Čikoš Pajor Gizela
1
Matematička analiza Zbirka zadataka za vežbe
S A D R Ž A J
1. Brojni nizovi.................................................................................................. 7 strana Zadaci za vežbu ............................................................................................. 16 strana
2. Funkcije........................................................................................................ 19 strana 2.1. Oblast definisanosti funkcije............................................................. 19 strana Zadaci za vežbu................................................................................. 22 strana 2.2. Parnost i neparnost funkcije.............................................................. 22 strana Zadaci za vežbu................................................................................. 25 strana 2.3. Periodičnost funkcije......................................................................... 25 strana Zadaci za vežbu................................................................................. 28 strana 2.4. Inverzna funkcija............................................................................... 28 strana Zadaci za vežbu................................................................................. 32 strana 2.5. Granična vrednost i neprekidnost funkcije........................................ 33 strana Zadaci za vežbu................................................................................. 39 strana
3. Diferencijalni račun....................................................................................... 41 strana 3.1. Izvod i diferencijal funkcije............................................................... 41 strana Zadaci za vežbu................................................................................. 47 strana 3.2. Izvodi višeg reda................................................................................ 48 strana Zadaci za vežbu................................................................................. 49 strana 3.3. Lopitalovo pravilo............................................................................. 50 strana Zadaci za vežbu................................................................................. 55 strana
4. Ispitivanje funkcija........................................................................................ 57 strana Zadaci za vežbu............................................................................................. 73 strana
5. Neodređeni integral....................................................................................... 75 szrana 5.1. Integraljenje metodom smene promenljivih...................................... 78 strana Zadaci za vežbu................................................................................. 81 strana 5.2. Parcijalna integracija......................................................................... 82 strana Zadaci za vežbu................................................................................. 84 strana 5.3. Integral racionalne funkcije............................................................... 85 strana Zadaci za vežbu................................................................................. 92 strana 5.4. Integrali iracionalnih funkcija........................................................... 93 strana Zadaci za vežbu................................................................................. 98 strana
3
Zbirka zadataka za vežbe Matematička analiza
Zadaci za vežbu................................................................................. 100 strana Zadaci za vežbu................................................................................. 103 strana Zadaci za vežbu................................................................................. 105 strana Zadaci za vežbu................................................................................. 106 strana Zadaci za vežbu................................................................................. 109 strana 5.5. Integrali trigonometrijskih funkcija .................................................. 110 strana Zadaci za vežbu................................................................................. 113 strana 5.6. Integral eksponencijalne funkcije..................................................... 114 strana Zadaci za vežbu................................................................................ 116 strana
6. Određeni integral........................................................................................... 117 strana Zadaci za vežbu............................................................................................. 119 strana 6.1. Površina ravnih likova....................................................................... 120 strana 6.1.1. Površina ravnih likova u pravouglom kordinatnom sistemu. 120 strana Zadaci za vežbu..................................................................... 124 strana 6.1.2. Površina ravnih likova u polarnom kordinatnom sistemu..... 125 strana Zadaci za vežbu..................................................................... 127 strana
6.1.3. Površina ravnih likova u parametarskom obliku................... Zadaci za vežbu......................................................................
6.2. Dužina luka krive............................................................................
6.2.1. Dužina luka krive u pravouglom kordinatnom sistemu........ Zadaci za vežbu..................................................................... 6.2.2. Dužina luka krive u polarnom kordinatnom sistemu............ Zadaci za vežbu..................................................................... 6.2.3. Dužina luka krive u parametarskom obliku.......................... Zadaci za vežbu.....................................................................
6.3. Zapremina rotacionih tela................................................................. 6.3.1. Zapremina rotacionih tela u pravouglom kord. sistemu....... Zadaci za vežbu..................................................................... 6.3.2. Zapremina rotacionih tela u polarnom kord. sistemu............ Zadaci za vežbu..................................................................... 6.3.3. Zapremina rotacionih tela u parametarskom obliku.............. Zadaci za vežbu.....................................................................
6.4. Površina omotača rotacionih tela....................................................... 6.4.1. Površina omotača rotacionih tela u pravouglom kord. sist. .. Zadaci za vežbu.....................................................................
6.4.2. Površina omotača rotacionih tela u polarnom kord. sist. ...... Zadaci za vežbu.....................................................................
4
Matematička analiza Zbirka zadataka za vežbe
6.4.3. Površina omotača rotacionih tela u parametarskom obliku... Zadaci za vežbu.....................................................................
7. Funkcije više promenljive............................................................................. 7.1. Diferencijal funkcije dve promenljive...............................................
7.1.1. Parcijalni izvodi i totalni diferencijali .................................. Zadaci za vežbu..................................................................... 7.1.2. Parcijalni izvodi složene funkcije.dve promenljive.............. Zadaci za vežbu.....................................................................
7.2.Ekstremi funkcije dve promenljive.......................................................... Zadaci za vežbu..................................................................................
7.2.1. Uslovni ekstrem funkcije dve promenljive........................... Zadaci za vežbu.....................................................................
8. Diferencijalne jednačine................................................................................ 8.1. Diferencijalne jednačine prvog reda..................................................
8.1.1. Dif. jednačine sa razdvojenim promenljivima....................... Zadaci za vežbu..................................................................... 8.1.2. Homogene diferencijalne jednačine...................................... Zadaci za vežbu..................................................................... 8.1.3. Linearne diferencijalne jednačine.......................................... Zadaci za vežbu..................................................................... 8.1.4. Bernulijeva diferencijalna jednačina..................................... Zadaci za vežbu..................................................................... 8.1.5. Egzaktna diferencijalna jednačina....................................... . Zadaci za vežbu.....................................................................
8.2. Diferencijalne jednačine drugog ( višeg ) reda.................................. 8.2.1. Diferencijalne jednačine tipa ............................. )()( xfy n = Zadaci za vežbu..................................................................... 8.2.2. Nepotpune diferencijalne jedn. koje ne sadrže y................... Zadaci za vežbu..................................................................... 8.2.3. Nepotpune diferencijalne jedn. koje ne sadrže x................... Zadaci za vežbu..................................................................... 8.2.4. Homogena linearna dif. jedn. sa const. koeficijentima.......... Zadaci za vežbu..................................................................... 8.2.5. Nehomogena linearna dif. jedn. sa const. koeficijentima...... Zadaci za vežbu.....................................................................
Literatura....................................................................................................................
5
Matematička analiza Brojni nizovi
1. Brojni nizovi Definicija: Preslikavanje skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva zovemo brojni niz.
Niz je znači preslikavanje a . RN →:
Obično koristimo skraćeno označavanje:
1)1( aa =
2)2( aa = M
nana =)(
...,,, 321 aaa su članovi niza, dok je opšti član niza. na Definicija: Niz { zovemo rastućim ako je }na ;321 KK ≤≤≤≤≤ naaaa a ako je a , tada je niz opadajući. KK ≥≥≥≥≥ naaa 321
Rastuće i opadajuće nizove zajedničkim imenom nazivamo monotonim nizovima. Niz { je: - monotono rastući ako je za ∀ : }na Nn∈ 01 ≥−+ nn aa - strogo monotono rastući ako je za : Nn∈∀ 01 >−+ nn aa - monotono opadajući ako je za ∀ : Nn∈ 01 ≤−+ nn aa -strogo monotono opadajući ako je za ∀ : Nn∈ 01 <−+ nn aa
Kod nizova sa pozitivnim članovima možemo koristiti i kriterijum količnika za određivanje
monotonosti : - monotono rastući, ako je za ∀ : Nn∈ 11 ≥+
n
n
aa
- strogo monotono rastući, ako je za : Nn∈∀ 11 >+
n
n
aa
- monotono opadajući, ako je za ∀ : Nn∈ 11 ≤+
n
n
aa
- strogo monotono opadajući, ako je za ∀ : Nn∈ 11 <+
n
n
aa
.
Definicija: Broj k je donja granica niza { ako niz nema manjeg člana od broja k: . Broj je gornja granica niza { ako niz nema većeg člana od broja K: a .
}na
nanak ≤
Kn ≤K } Definicija: Niz { je ograničen, ako se može zadati broj takav da je }na M Man ≤ .
7
Brojni nizovi Matematička analiza
Definicija: Broj A je granica niza , ako za bilo koje pozitivnoε postoji prag indeks (prirodan broj koji zavisi odε ) takav, da za sve prirodne brojeve , važi da je
{ }na
0n 0nn ≥ε<− Aan .
Logičkim simbolima napisano: ( )( ) NnnnAaNn n ∈≥∀<−∈∃>∀ ,0 00 εε .
1. Primer: Odrediti opšti član niza K,251,
161,
91,
41,1 .
Rešenje: 21 11)1(1 === aa
22 21)2(
41
=== aa
M
23 31)3(
91
=== aa
2
1)(n
naan == .
2. Primer: Odrediti opšti član niza K,65,
54,
43,
32 .
Rešenje: 2111)1(
32
1 ++
=== aa
M
2212)2(
43
2 ++
=== aa
21
++
=nnan .
3. Primer: Odrediti opšti član niza K,2326,
1817,
1310,
85,
32 .
Rešenje: 215
11)1(32 2
1 −⋅+
=== aa
225
12)2(85 2
2 −⋅+
=== aa
235
13)3(1310 2
3 −⋅+
=== aa
M
25
12
−⋅+
=n
nan .
8
Matematička analiza Brojni nizovi
4. Primer: Napisati prvih pet članova niza 11
+−
=nn
na .
Rešenje: 01111)1(1 =
+−
== aa
31
1212)2(2 =
+−
== aa
21
1313)3(3 =
+−
== aa
53
1414)4(4 =
+−
== aa
32
1515)5(5 =
+−
== aa
Traženi niz je znači K,32,
53,
21,
31,0 .
5. Primer: Napisati prva četiri člana niza datog rekurzijom ako je . 13 1 += −nn aa 21 =a Rešenje: 2
7
1 =a
a 12313 12 =+⋅=+= a
a 2217313 23 =+⋅=+= a
a 67122313 34 =+⋅=+= a
Traženi niz je znači K,67,22,7,2 .
6. Primer: Ispitati monotonost niza 1
12 +
=n
an .
Rešenje: Ako koristimo kriterijum razlike, tada je :
( )
( )( )( )
( )( ) 0122
12122221
11
221
11
1121
11
111
2222
22
2222221
<+++
+−=
+++−−−+
=
=+
−++
=+
−+++
=+
−++
=−+
nnnn
nnnnnn
nnnnnnnnaa nn
jer je n , znači da je niz strogo monotono opadajući. Pošto niz ima samo pozitivne članove možemo primeniti i kriterijum količnika:
N∈
122
1
11
1)1(1
2
2
2
21 <
+++
=
+
++=+
nnn
n
na
a
n
n
9
Brojni nizovi Matematička analiza
jer je brojilac za svako n manji od imenioca. Znači da i na osnovu količničkog kriterijuma možemo konstatovati da je niz strogo monotono opadajući.
N∈
7. Primer: Ispitati monotonost niza 2312
++
=nnan .
Rešenje: Primenimo kriterijum razlike:
( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( ) 02353
12353
531066946
235353122332
2312
5332
2312
213112
22
1
>++
=++
−−−−+++=
=++
++−++=
++
−++
=++
−++++
=−+
nnnnnnnnnn
nnnnnn
nn
nn
nn
nnaa nn
znači da je posmatrani niz strogo monotono rastući.
8. Primer: Ispitati ograničenost niza n
nan1+
= .
Rešenje: Pošto je
11111>+=+=
+=
nnnn
nnan ,
niz je ograničen sa donje strane i donja granica (infimum) je . Istovremeno je 1=k
21111≤+=+=
+=
nnnn
nnan ,
pa je niz ograničen i sa gornje strane i gornja granica (supremum) je . 2=K
9. Primer: Dokazati da je niz 1
5+
=n
nan konvergentan, i da je granica broj . 5=A
Rešenje: Niz je konvergentan ako je ( )( ) NnnnAaNn n ∈>∀<−∈∃>∀ ,0 00 εε .
Konkretno: Nnnnn
n∈>∀<−
+,5
15
0ε
Nnnnn
nn∈>∀<
+−− ,
1555
0ε
Nnnnn
∈>∀<+
,1
50ε
Nnnnn ∈>∀+< ,150ε
15−>
εn
10
Matematička analiza Brojni nizovi
150 −≥
εn
znači za može se odrediti prag indeks 0>∀ε 150 −≥
εn
) za koji važi, da svi članovi niza koji
slede iza tog člana pripadaju okolini broja , odnosno broj je granica posmatranog niza.
( εε +− 5,5 5 5
10. Primer: Pokazati da je broj 53
=A granica niza 1513
2
2
−+
=nnan
310−=
, i odrediti prag indeks
počev od kojeg svi članovi niza pripadaju ε okolini granice . Rešenje: ε<− Aan
32
2
1053
1513 −<−
−+
nn
( )3
2
22
10155
315515 −<−
+−+n
nn
( )3
2 10155
8 −<−n
( ) 10001
15582 <−n
5
800012 >−n5
5
16012 >n
2,320>n
n 89,17>
n 180 ≥
znači da počev od svi članovi niza pripadaju ε okolini broja 18a 310−=53 , a to ujedno znači
da je niz konvergentan i da je granica broj 53 , odnosno da
53
→na ili drugačije pisano:
53
=∞→n
nalim .
11. Primer: Dati su nizovi n
an53+= i
nn72 +−=b . Odrediti graničnu vrednost
. ( )nnnba +
∞→lim
11
Brojni nizovi Matematička analiza
Rešenje: ( ) =
+−+
+=+=+
∞→∞→∞→∞→∞→ nnbaba
nnnnnnnnn
72lim53limlimlimlim
( ) 102037lim2lim5lim3lim =+−+=+−++∞→∞→∞→∞→ nn nnnn
.
12. Primer: Izračunati graničnu vrednost ako su )(lim nnnba ⋅
∞→ nan
15 += i 2
18n
bn += .
Rešenje: 408518lim15limlimlim)(lim 2 =⋅=
+⋅
+=⋅=⋅
∞→∞→∞→∞→∞→ nnbaba
nnnnnnnnn.
13. Primer: Ispitati konvergenciju niza
=+
−==
knn
n
knnan
2,2
12,1
.
Rešenje: Moramo posebno ispitati kako se ponašaju članovi niza sa parnim i sa neparnim indeksima. Ako je :
0112
1lim1limlim12 =∞
=−
==⇒−=∞→∞→∞→ kn
aknnnnn
,
znači da članovi sa neparnim indeksima nagomilavaju se oko tačke 0. Ako je:
11
lim22
2lim2
limlim2 =+
=+
=+
=⇒=∞→∞→∞→∞→ k
kk
kn
naknnnnnn
,
znači da se članovi sa parnim indeksima nagomilavaju oko tačke 1. Niz u ovom slučaju ima dve tačke nagomilavanja, 0 i 1. U okolini obe tačke nagomilavanja niz ima beskonačno puno članova, ali i van jedne okoline ima beskonačno puno članova. U takvom slučaju granica niza ne postoji, znači da je niz divergentan. na 14. Primer: Ispitati konvergenciju niza , i , a zatim konvergenciju
niza
13 += nan 17 −= nbn
n
n
ba .
Rešenje: znači da je niz divergentan. ( ) ∞=+∞⋅=+=
∞→∞→1313limlim na
nnn na
i niz je divergentan. ( ) ∞=−∞⋅=−=∞→∞→
1717limlim nbnnn nb
Zbog divergencije ovih nizova granicu niza n
n
ba
ne možemo računati kao nn
nn
n
n
n b
a
ba
∞→
∞→
∞→=
lim
limlim , jer
izraz ∞∞ nije određen. U ovakvim slučajevima rešenje možemo odrediti na sledeći način:
12
Matematička analiza Brojni nizovi
73
0703
17
13lim
17
13lim
1713lim =
−+
=−
+=
−
+
=−+
=∞→∞→∞→∞→
n
n
nn
nn
nn
ba
nnnn
n
nlim
jer se izraz može skratiti sa , i n ,01→
n u slučaju kada . Rezultat pokazuje da je niz ∞→n
n
n
ba
konvergentan, i da je granica 73 .
15. Primer: Izračunati graničnu vrednost 143432lim 2
2
+−−+
∞→ nnnn
n, i odrediti konvergenciju niza.
Rešenje: 32
143
432lim
143
432lim
143432lim
2
2
22
22
2
2
=+−
−+=
+−
−+
=
∞∞
=+−−+
∞→∞→∞→
nn
nn
nnn
nnn
nnnn
nnn.
Niz je konvergentan, članovi konvergiraju ka broju32 .
16. Primer: Izračunati graničnu vrednost 1
1lim 2 ++−
∞→ nnn
n, i odrediti konvergenciju niza.
Rešenje: 011
1lim11
11
lim1
1limnn2n
=∞−
=+−
=
++
−
=++
−∞→∞→∞→ n
nnn
nn
nnn .
Niz je konvergentan, članovi konvergiraju ka broju 0.
17 Primer: Izračunati graničnu vrednost 32
153lim2
+−+
∞→ nnn
n, i ispitati konvergenciju niza.
Rešenje: ∞=∞
=+∞⋅
=+
=
+
−+
=+
−+∞→∞→∞→ 22
532
53lim32
153lim
32153lim
2 n
nn
nnn
nnn
nnn.
Niz je divergentan.
18. Primer: Izračunati graničnu vrednost 3213lim
2
++++
∞→ nnnn
n, i odrediti konvergenciju
niza.
13
Brojni nizovi Matematička analiza
Rešenje: 122
211
32
1131lim
3213lim
22
==+
=
+
+++
=+
+++∞→∞→
nn
nnn
nnnn
nn.
Niz je konvergentan, članovi konvergiraju broju 1.
19. Primer: Izračunati graničnu vrednost 3
2
2
72423lim
++−+
∞→ nnnn
n, i odrediti konvergenciju
niza.
Rešenje: 6427
43lim
724
213lim
72423lim
3
3
22
22
3
2
2
=
=
++
−+
=
++−+
∞←∞←∞← nnn
nnn
nnn
nnnn .
Niz je konvergentan.
20. Primer: Izračunati graničnu vrednost n
nn5lim
∞→, ako znamo da za važi 0>a
1lim =∞→
n
na i 1lim =
∞↔
n
nn .
Rešenje: 111lim5lim5lim5lim =⋅=⋅=⋅=
∞→∞→∞→∞→
n
n
n
n
nn
n
n
nnnn .
21. Primer: Izračunati graničnu vrednost n
nn 56lim +
∞→.
Rešenje: , ∞→=+≤+≤ nakonnnnn 76566
tada je nnn nnn 7566 ≤+≤
znači i n
n
n
n
n
nnnn 7lim56lim6lim
∞→∞→∞→≤+≤
na osnovu prethodnog zadatka
166lim ≤+≤∞→
n
nn1
odakle sledi da je
166lim =+∞→
n
nn .
22. Primer: Izračunati graničnu vrednost ( )nnn
−+∞→
3lim .
14
Matematička analiza Brojni nizovi
Rešenje: ( ) ( ) 0333lim
333lim3lim =
∞=
++−+
=++++
−+=−+∞→∞→∞→ nn
nnnnnnnnnn
nnn.
23. Primer: Izračunati graničnu vrednost ( )33 2lim nn
n−−
∞→ .
Rešenje: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
=+−+−
+−+−−−=−−
∞→∞→ 3 233 2
3 233 23333
22
222lim2lim
nnnn
nnnnnnnn
nn
( ) ( )
02
22
2lim3 233 2
=∞−
=+−+−
−−=
∞→ nnnn
nnn
.
24. Primer: Izračunati graničnu vrednost n
n nn
+∞→ 1lim , ako znamo da je e
n
n
n=
+
∞→
11lim .
Rešenje: ( )
( )( )
=
+−
+=
+−=
+−+
=
+
+−+−
⋅
∞→∞→∞→∞→
11
111lim
111lim
111lim
1lim
nnn
n
n
n
n
n
n
n nnnn
nn
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
==
+−
+=
+−
++−
∞→
+−+−
∞→
+−⋅+−
∞→
1
lim1
11lim1
11lim11
11
nn
enn n
nn
n
n
nnn
n=
( )
eee n
nn 111lim
== −+−∞→= .
25. Primer: Izračunati graničnu vrednost a 12
122lim
+
∞→
++ n
n nn .
Rešenje: U brojiocu i imeniocu opšteg člana niza koeficijenti uz nisu jednaki, pa prvo to moramo da postignemo, a zatim ponavljamo postupak koji smo primenili u prethodnom zadatku:
n
=
+++
=
++
⋅=
++ ++
∞→
+
∞→
+
∞→
12121212
12312
21lim
1242
21lim
122lim
nn
n
n
n
n
n nn
nn
nn
=
++
=
++
=
⋅+
+
∞→
++
∞→
33
12
121212
312
1121lim
1231
21lim
n
n
n
nn
n nn
15
Brojni nizovi Matematička analiza
012
1lim
312
112
1lim 3312
3
312
12 =⋅∞
=
⋅=
++⋅=
+∞→
+
+∞→ee
n nn
n
nn .
26. Primer: Izračunati graničnu vrednost . ( )[ ]nnn
nln1lnlim −+
∞→
Rešenje: Zadatak možemo rešiti ako primenimo osnovna pravila logaritmovanja, na sledeći način:
( )[ ] 1ln11limln11lnlim11lnlim1lnlimln1lnlim ==
+=
+=
+=
+=−+
∞→∞→∞→∞→∞→e
nnnn
nnnnnn
n
n
n
nnnn
ZADACI ZA VEŽBU:
1. Zadatak: Izračunati prvih pet članova niza 322
2
2
−+
=n
nan .
2. Zadatak: Izračunati prvih pet članova niza n
n
an
= 2sin π
.
3. Zadatak: Odrediti opšti član niza ,...125
1,251,
51,1 .
4. Zadatak: Odrediti opšti član niza ...321,
161,
81,
41,
21,1 .
5. Zadatak: Ispitati monotonost niza 32
3+
=n
an .
6. Zadatak: Ispitati monotonost niza 211n
an += .
16
Matematička analiza Brojni nizovi
7. Zadatak: Ispitati ograničenost niza 2417
−+
=nnan .
8. Zadatak: Ispitati ograničenost niza 322
−+
=n
nan .
9. Zadatak: Pokazati da je granica niza 6122
−+
=nnan broj , zatim naći prag indeks
za ε okolinu granice.
2=A
210−=
10. Zadatak: Dokazati da je niz 332
−−
=n
nan divergentan.
11. Zadatak: Dati su nizovi 6723
−+
=nnan i
2366
−−
=nn
nb . Izračunati granične vrednosti
, lim i ( )nnnba ±
∞→lim ( )nnn
ba ⋅∞→
n
n
ba
∞n→lim .
12. Zadatak: Izračunati graničnu vrednost ( )5
5
31lim
nn
n
+∞→
.
13. Zadatak: Izračunati graničnu vrednost
+
−++
∞→ 163
121lim
22
nn
nn
n .
14. Zadatak: Izračunati graničnu vrednost 191001100lim 2
23
+++−
∞→ nnnn
n .
15. Zadatak: Izračunati graničnu vrednost 2
12lim3 3
+−+
∞→ nnn
n .
16. Zadatak: Izračunati graničnu vrednost 32
lim3 2
++
∞→ nnn
n .
17. Zadatak: Izračunati graničnu vrednost ( )13lim −−+∞→
nnn
.
18. Zadatak: Izračunati graničnu vrednost ( )33 9212lim +−+∞→
nnn
.
19. Zadatak: Izračunati graničnu vrednost
−−+
∞→nnnn
nlim .
20. Zadatak: Izračunati graničnu vrednost n
nn 1lim +
∞→ .
17
Brojni nizovi Matematička analiza
21. Zadatak: Izračunati graničnu vrednost n
nn 83lim +
∞→ .
22. Zadatak: Izračunati graničnu vrednost n
n nn
+−
∞→ 11lim .
23. Zadatak: Izračunati graničnu vrednost n
n nn
−
∞→ 313lim .
24. Zadatak: Izračunati graničnu vrednost n
n nn 5
32lim
++
∞→ .
25. Zadatak: Izračunati graničnu vrednost n
n nn 2
123lim
++
∞→ .
18
Matematička analiza Funkcije
2. Funkcije U centru ispitivanja matematičke analize stoji funkcija. Pojam funkcije se razvio iz opštih principa uzročnih zavisnosti. Pri ispitivanju zavisnosti između nekih veličina nalazimo takve odnose, u kojima jednoj ili više vrednosti neke veličine pripada određena vrednost neke druge veličine. Tada ovu drugu veličinu nazivamo funkcijom prve ili prvih veličina. U funkcijskom odnosu veličinu koju biramo nazivamo nezavisnom promenljivom, dok veličinu koja se računa nazivamo zavisnom promenljivom. U zavisnosti od toga da li je zavisna promenljiva funkcija samo jedne ili više nezavisnih promenljivih razlikujemo funkcije jedne promenljive i funkcije više promenljivih. Mi ćemo se za sada zadržati na funkcijama jedne realne promenljive i ispitivaćemo njihove osobine.
Funkcija se može zadati na više načina, ali sa matematičkog aspekta najvažniji način
je zadavanje funkcije formulom. Tada se zadaje veza koja sem zavisne promenljive y i nezavisne promenljive x može da sadrži samo neke brojeve. Ako želimo da izračunamo one vrednosti funkcije y koje pripadaju vrednostima nezavisne promenljive, tada u zadatu formulu umesto promenljive x uvrštavamo vrednost .
)(xfy =
0xx =
0x Nedostatak zadavanja funkcije formulom je u tome da nije dovoljno očigledna. Zato se
trudimo da ispitivanjem njenih osobina nacrtamo krivu ili grafik funkcije, koji ima baš tu prednost očiglednosti.
Definicija: Grafik funkcije je skup onih tačaka u ravni, čije su apscise (x-kordinate) vrednosti nezavisne promenljive, a ordinate (y-kordinate) su odgovarajuće vrednosti zavisne promenljive.
2.1. Oblast definisanosti funkcije Definicija: Funkcija je definisana u tački ako za postoji vrednost funkcije, a
ako se za ne može izračunati vrednost funkcije tada kažemo da funkcija nije definisana u tački
)(xfy =
0x0x 0x
0x . Definicija: Skup svih tačaka u kojima je funkcija definisana naziva se oblast
definisanosti (ili domen) funkcije i označava se sa )(xfy =
fD . Definicija: Skup svih mogućih vrednosti zavisne promenljive y koji pripadaju svim mogućim
vrednostima nezavisne promenljive iz oblasti definisanosti, naziva se skup vrednosti (ili kodomen) funkcije i označava se sa . fCD
19
Funkcije Matematička analiza
27. Primer: Odrediti oblast definisanosti funkcije 65
7)( 2
3
+−+
=xx
xxf .
Rešenje: Imenilac racionalne funkcije ne sme biti nula, zato:
( )( )327)(
3
−−+
=xx
xxf
____________________
303
202:
≠⇒≠−
≠⇒≠−
xxxxD f
je oblast definisanosti funkcije. { 3,2\RD f = }
28. Primer: Odrediti oblast definisanosti funkcije xexxxf1
31)( +−−+= . Rešenje: Iracionalna funkcija sa parnim korenom je definisana samo za nenegativne vrednosti pod korenom, a kod eksponencijalne funkcije izložilac treba da bude definisan, zato:
00301:
≠≥−
≥+
xx
xD f
03
1:
≠≤
−≥
xxxD f
je oblast definisanosti funkcije. [ ) ( ]3,00,1: ∪−∈xD f
29. Primer: Odrediti oblast definisanosti funkcije ( )xxxf−+
=1ln
1)( .
Rešenje: Logaritamska funkcija je definisana samo za pozitivne argumente, zato:
( ) 01ln
0101:
≠−>−
≥+
xx
xD f
011
1
1:
≠⇒≠−<
−≥
xxxxD f
je oblast definisanosti funkcije. [ ) ( 1,00,1: ∪−∈xD f )
20
Matematička analiza Funkcije
30. Primer: Odrediti oblast definisanosti funkcije ( )xxf 23arcsin)( += . Rešenje: Funkcije i arccos su definisane u zatvorenom intervalu , zato: xarcsin x [ 1,1− ]
____________________________________________________
R xsvakoza02jer ,nemogućeješto224
1231:
∈>−≤≤−
≤+≤−xx
xfD
, funkcija nije definisana ni za jednu vrednost promenljive x. ∅∈xD f :
31. Primer: Odrediti oblast definisanosti funkcije
−+
=x
xxf5
2arcsinln)( .
Rešenje: Ako uzmemo u obzir oblasti definisanosti svih elementarnih funkcija koji su sastavni delovi date složene funkcije, tada je:
05
2arcsin
15
21
05:
>−+
≤−+
≤−
≠−
xx
xx
xD f
15
20
15
21
5:
≤−+
<
≤−+
≤−
≠
xx
xx
xD f
1
520
5:
≤−+
<
≠
xx
xD f
:fD
( )
( )∞∪
∞−∈
≤−−
≤−
+−+−∈
≤−−+
≤−+
∧>−+
,523,:
05
32
05
525,2:
015
2
15
205
2
2
1
xD
xx
xxxxD
xx
xx
xx
21 DDD f ∩=
−∈
23,2: xD f je oblast definisanosti funkcije.
21
Funkcije Matematička analiza
ZADACI ZA VEŽBU:
26. Zadatak: Odrediti oblast definisanosti funkcije 1
)( 2 +=
xxxf .
27. Zadatak: Odrediti oblast definisanosti funkcije 11)(
−+
=xxxf .
28. Zadatak: Odrediti oblast definisanosti funkcije 5)( 2 ++= xxxf .
29. Zadatak: Odrediti oblast definisanosti funkcije 2)( 2 −= xxf .
30. Zadatak: Odrediti oblast definisanosti funkcije ( )1ln)( 2 += xxf .
31. Zadatak: Odrediti oblast definisanosti funkcije ( )45ln)( 2 +−= xxxf .
32. Zadatak: Odrediti oblast definisanosti funkcije 3 1)( += xxf .
33. Zadatak: Odrediti oblast definisanosti funkcije xxf 3cos)( = .
34. Zadatak: Odrediti oblast definisanosti funkcije x
xxf+
=12arccos)( .
35. Zadatak: Odrediti oblast definisanosti funkcije 23424ln)( xx
xxxf −−++−
= .
2.2. Parnost i neparnost funkcije Definicija: Funkcija je parna ako za ∀ važi da je . )(xfy = fDx∈ )()( xfxf =− Grafik parne funkcije je simetričan u odnosu na y-osu. Definicija: Funkcija je neparna ako za važi da je . )(xfy = fDx∈∀ )()( xfxf −=− Grafik neparne funkcije je simetričan u odnosu na kordinatni početak.
22
Matematička analiza Funkcije
32. Primer: Ispitati parnost konstantne funkcije 23)( =xf .
Rešenje: Da bismo utvrdili parnost ili neparnost neke funkcije, treba da ispitamo . U ovom slučaju je:
)( xf −
)(23)( xfxf ==−
u svakoj tački oblasti definisanosti, a to znači da je funkcija: x
23)( =xf
parna funkcija. 33. Primer: Ispitati parnost polinomne funkcije . xxxxf +−= 35 5)( Rešenje: Takođe ispitujemo : )( xf −
( ) ( ) ( )xxxxf −+−−−=− 35 5)(
xxxxf −+−=− 35 5)(
( )xxxxf +−−=− 35 5)(
)()( xfxf −=−
za svaku tačku oblasti definisanosti, a to znači da je funkcija : x
xxxxf +−= 35 5)(
neparna.
34. Primer: Ispitati parnost logaritamske funkcije . xxf ln)( = Rešenje: Logaritamska funkcija definisana je za vrednosti , zato : xxf ln)( = 0>x
)ln()( xxf −=−
nije ni definisano, naime za sledi , a logaritam negativnih brojeva nije definisan.
To znači da funkcija:
0>x 0<− x
xxf ln)( =
nije ni parna ni neparna .
35. Primer: Ispitati parnost eksponencijalne funkcije ( )xx aaxf −+=21)( .
Rešenje: ( )xx aaxf +=− −
21)(
)()( xfxf =−
23
Funkcije Matematička analiza
u svakoj tački oblasti definisanosti, a to znači da je funkcija:
( )xx aaxf −+=21)(
parna.
36. Primer: Ispitati parnost iracionalne funkcije ( ) ( )5 25 2 11)( ++−= xxxf . Rešenje: ( ) ( )5 25 2 11)( +−+−−=− xxxf
( ) ( )5 25 2 11)( −++=− xxxf
)()( xfxf =−
u svakoj tački oblasti definisanosti, a to znači da je funkcija:
( ) ( )5 25 2 11)( ++−= xxxf
parna. 37. Primer: Ispitati parnost logaritamske funkcije ( )1log)( 2 ++= xxxf a .
Rešenje: ( )
+−+−=− 1log)( 2xxxf a
( )
++
++−+=−
xxxxxxxf a
111log)(
2
22
xx
xxxf a++
−+=−
1
1log)(2
22
xx
xf a++
=−1
1log)(2
( )xxxf aa ++−=− 1log1log)( 2
( )xxxf a ++−=− 1log0)( 2
( )1log)( 2 ++−=− xxxf a
)()( xfxf −=−
u svakoj tački oblasti definisanosti, a to znači da je funkcija: ( )1log)( 2 ++= xxxf a
neparna.
24
Matematička analiza Funkcije
ZADACI ZA VEŽBU: 36. Zadatak: Ispitati parnost funkcije . xx eexf −+=)(
37. Zadatak: Ispitati parnost funkcije . xx aaxf −−=)(
38. Zadatak: Ispitati parnost funkcije 2
1)(x
xxf += .
39. Zadatak: Ispitati parnost funkcije . xxxf 4)( 3 −=
40. Zadatak: Ispitati parnost funkcije 2110)(
xxxf
+= .
41. Zadatak: Ispitati parnost funkcije 22 11)( xxxxxf +−−++= .
42. Zadatak: Ispitati parnost funkcije xxxf
−+
=11ln)( .
43. Zadatak: Ispitati parnost funkcije . xxf 2)( =
44. Zadatak: Ispitati parnost funkcije ( )1sin)( 35 +−= xxxf .
45. Zadatak: Ispitati parnost funkcije
+=
46cos)( 4x
xf .
2.3. Periodičnost funkcije Definicija: Funkcija je periodična ako postoji pozitivan realan broj ω takav, da za
svaku tačku x oblasti definisanosti važi . Svaki broj ω koji zadovoljava ovaj uslov je period funkcije , dok je najmanji takav broj ω osnovni period.
)(xfy =)()( xfxf =+ω
)(xf=y 0
38. Primer: Ispitati periodičnost funkcije 3
sin)( xxf = , zatim odrediti osnovni period.
25
Funkcije Matematička analiza
Rešenje: Zkkxxxf ∈
+== ,2
3sin
3sin)( π jer je funkcija sin periodična po . Ako je
funkcija
x π2
3sin)( xxf = periodična, onda mora da postoji broj ω takav, da je:
)()( xfxf =+ω
+=
+π
ω kxx 23
sin3
sin
πω kxx 2
333+=+
πω k23=
ω je pozitivan broj za , znači da je funkcija: πk6= +∈ Zk
3
sin)( xxf =
periodična po ω . Osnovni period se dobija za , u ovom slučaju ω . πk6= 1=k π60 =
39. Primer: Ispitati periodičnost funkcije 5
23cos)( −=
xxf , i odrediti osnovni period.
Rešenje:
+
−=
−= πkxxxf 2
523cos
523cos)(
)()( xfxf =+ω
( )
+
−=
−+π
ω kxx 25
23cos5
23cos
πω kxx 2
523
5233
+−
=−+
πω k25
3=
3
10 πk=ω je period, a osnovni period je :
3
100
πω = .
40. Primer: Ispitati periodičnost funkcije xxf2
cos1)( π+= , i odrediti osnovni period.
Rešenje:
++=+= πππ kxxxf 22
cos12
cos1)(
)()( xfxf =+ω
26
Matematička analiza Funkcije
( )
++=++ ππ
ωπ kxx 2
2cos1
2cos1
+=
+ π
πω
ππ kxx 22
cos22
cos
πω k22
=π
ω je period, a osnovni period je: k4=
ω . 40 =
41. Primer: Ispitati period funkcije , zatim odrediti osnovni period. xxf 2cos)( =
Rešenje: Primenom trigonometrijskog identiteta 2
2cos1cos2 xx += zamenimom kvadratnu
trigonometrijsku funkciju sa linearnom:
( )πkxxxxxf 22cos21
212cos
21
21
22cos1cos)( 2 ++=+=
+==
)()( xfxf =+ω
( ) ( )πω kxx 22cos21
212cos
21
21
++=++
cos ( ) ( πω kxx 22cos22 +=+ ) 2 πω k2=
ω je period, a osnovni period je : πk=
ω = . π0
42. Primer: Ispitati periodičnost funkcije xxf sin)( = . Rešenje: ( )πkxxxf 2sinsin)( +==
)()( xfxf =+ω
( )πω kxx 2sin +=+sin
πω kxx 2+=+
2244 ππω kxkxx ++=+
.44 22 constkxk ≠+= ππω
pošto dobijeno ω sadrži , znači da ne postoji pozitivna konstanta ω za koje je , a to znači da funkcija
x)x()( fxf =+ω xxf sin)( = nije periodična.
27
Funkcije Matematička analiza
ZADACI ZA VEŽBU:
46. Zadatak: Ispitati periodičnost i odrediti osnovni period funkcije 4
13sin)( +=
xxf .
47. Zadatak: Ispitati periodičnost i odrediti osnovni period funkcije xxf 4sin21
32)( += .
48. Zadatak: Ispitati periodičnost i odrediti osnovni period funkcije xxf 2sin31)( −= .
49. Zadatak: Ispitati periodičnost i odrediti osnovni period funkcije
+=
62cos)( πxxf .
50. Zadatak: Ispitati periodičnost i odrediti osnovni period funkcije . ( xxf 3cos)( 2= )
51. Zadatak: Ispitati periodičnost i odrediti osnovni period funkcije . xxf 3sin10)( =
52. Zadatak: Ispitati periodičnost i odrediti osnovni period funkcije . xxf 2sin)( =
53. Zadatak: Ispitati periodičnost i odrediti ω za funkciju . 0 xxxf 2cos32sin2)( +=
54. Zadatak: Ispitati periodičnost i odrediti osnovni period funkcije 2
3tan)( xxf = .
55. Zadatak: Ispitati periodičnost i odrediti osnovni period funkcije xxf tan)( = .
2.4. Inverzna funkcija Definicija: Ako je funkcija bijekivna (zavisnost između promenljivih x i y je takva,
da zadavanje bilo koje promenljive jednoznačno određuje drugu), tada pod njenom inverznom funkcijom podrazumevamo onu funkciju , čija je oblast definisanosti skup vrednosti funkcije , i ako je tada je
za svaku tačku oblasti definisanosti, odnosno inverzna funkcija funkcije je takva funkcija za koju važi da je:
)(xfy =
−1
)(1 xfy −=
00 )( yxf =
−1
)(xf
001 )( xyf =−
)(xf−1
0xf )(1 x−
( ) xxff =)( ili , i ako je tada je . ( ) xyf = ff CDDf →: ff DCDf →:
28
Matematička analiza Funkcije
Iz same definicije sledi da kod funkcije i njene inverzne funkcije menjaju ulogu nezavisna i zavisna promenljiva ( i ), oblast definisanosti i skup vrednosti ( i ).
f 1−fx y fD fCD
Kod određivanja inverzne funkcije iskoristićemo tačno ovu osobinu. 43. Primer: Za funkciju odrediti inverznu funkciju , i oblast
definisanosti inverzne funkcije . 1)( += xxf )(1 xf −
1−fD
Rešenje: 1: += xyfkod inverzne funkcije menjaju ulogu nezavisna i zavisna promenljiva, 1:1 +=− yxfiz ove formule treba izraziti zavisnu promenljivu funkcije , y 1−f 1:1 −=− xyfpa je tražena inverzna funkcija 1)(1 −=− xxfa oblast definisanosti ove funkcije je . RxD f ∈− :1
44. Primer: Za funkciju 2
ln)( xxf = odrediti inverznu funkciju , i oblast
definisanosti inverzne funkcije .
)(1 xf −
1−fD
Rešenje: 2
ln: xyf =
x
x
ey
ye
yxf
22
2ln:1
=
=
=−
xexf 2)(1 =−
je tražena inverzna funkcija, a oblast definisanosti ove funkcije je . RxD f ∈− :1
45. Primer: Odrediti inverznu funkciju za 3 2 1)( += xxf , a zatim oblast definisanosti
dobijene inverzne funkcije. Rešenje: 3 2 1: += xyf
1
11
1:
3
32
23
3 21
−±=
−=
+=
+=−
xy
xyyx
yxf
29
Funkcije Matematička analiza
1)( 31 −±=− xxf
je tražena inverzna funkcija, a oblast definisanosti ove funkcije je:
( )( )
101
011
01:2
31
≥≥−
≥++−
≥−−
xx
xxx
xD f
. [ )+∞∈− ,1:1 xD f
46. Primer: Odrediti inverznu funkciju i oblast definisanosti inverzne funkcije za
. xxf 3arctg)( = Rešenje: xyf 3arctg: =
xy
yxyxf
tg31
3tg3arctg:1
=
==−
xxf tg31)(1 =−
je tražena inverzna funkcija, a oblast definisanosti ove funkcije je
−∈−
2,
2:1
ππxD f .
47. Primer: Odrediti inverznu funkciju za x
x
eexf cos
cos
21)(
+−
= i oblast definisanosti dobijene
inverzne funkcije.
Rešenje: x
x
eeyf cos
cos
21:
+−
=
( )
( ) xxe
xeex
eex
eexf
y
yy
yy
y
y
211
21
12
21:
cos
coscos
coscos
cos
cos1
+=−
−−=−
−=+
+−
=−
30
Matematička analiza Funkcije
−+
=
−+
=
−+
=
xxy
xxy
xxe y
121lnarccos
121lncos
121cos
−+
=−
xxxf
121lnarccos)(1
je tražena inverzna funkcija, a oblast definisanosti je:
11
21ln1
01
21
01:1
≤−+
≤−
>−+
≠−−
xx
xx
xD f
exx
e
xx
xD f
≤−+
≤
>−+
≠−
1211
01
21
1:1
exx
eD f ≤
−+
≤− 1211:1
exx
exx
≤−+
∧≥−+
1211
121
01
21011
2≤−
−+
≥−−+ e
xx
exx1
( ) 01
2101
12≤
−+−+
≥−
+−+x
exexxe
xexe
( )( )
( ) 01
1201
112≤
−−++
≥−
−++x
exexe
exe
( )∞+∪
+−
∞−∈
+−
∈ ,12
1,1,12
1e
exe
ex
oblast definisanosti inverzne funkcije je presek ovih oblasti,
+−
+−
∈− ee
eexD f 2
1,12
1:1 .
31
Funkcije Matematička analiza
ZADACI ZA VEŽBU: 56. Zadatak: Odrediti inverznu funkciju i oblast definisanosti inverzne funkcije za
. 32)( += xxf
57. Zadatak: Odrediti inverznu funkciju i oblast definisanosti inverzne funkcije za
. 1)( 2 −= xxf
58. Zadatak: Odrediti inverznu funkciju i oblast definisanosti inverzne funkcije za
3 31)( xxf −= .
59. Zadatak: Odrediti inverznu funkciju i oblast definisanosti inverzne funkcije za
52log)( +
=xxf .
60. Zadatak: Odrediti inverznu funkciju i oblast definisanosti inverzne funkcije za
. 1sincos)( +−= xxxf
61. Zadatak: Odrediti inverznu funkciju i oblast definisanosti inverzne funkcije za
+=
1arcsinln)(
xxxf .
62. Zadatak: Odrediti inverznu funkciju i oblast definisanosti inverzne funkcije za
−+
=11lnarctan2)(
xxxf .
63. Zadatak: Odrediti inverznu funkciju i oblast definisanosti inverzne funkcije za
. ( ) 1sin21cos2 −=− yye x
64. Zadatak: Odrediti inverznu funkciju i oblast definisanosti inverzne funkcije za
. 1cos2sin2 −=+ xx eyye
32
Matematička analiza Funkcije
2.5. Granična vrednost i neprekidnost funkcije Definicija: Funkcija ima graničnu vrednost A u tački )(xfy = a , ako za svaki niz tačaka
koji i , važi da , i to obeležavamo na sledeći način: .
a ax ≠A=
x →xf )(
Axf →)(
ax→lim
Definicija: Ako je i tada po dogovoru kažemo da , a broj
zovemo: leva granična vrednost funkcije u tački ax <(= af
ax →)
0−→ ax)(xf0)(lim
0−
−→xf
axa.
Definicija: Ako je i tada po dogovoru kažemo da , a broj
zovemo: desna granična vrednost funkcije u tački ax >() = af
ax →)
0+→ ax)(xf0(lim
0+
+→xf
axa.
Definicija: Funkcija je neprekidna u tački )(xfy = a , ako u toj tački postoje leva i desna
granična vrednost, i ako su one jednake sa vrednošću funkcije u toj tački: odnosno )(lim)(lim
0xfa
axax +→−→=)(
0fxf = )0()()0( +==− afafaf .
Prilikom izračunavanja granične vrednosti funkcije u nekoj tački a često dobijamo neodređen izraz. U ovakvim slučajevima pomoću različitih algebraskih transformacija oslobađamo se od neodređenosti u izrazu. Neodređeni izrazi se mogu pojaviti u sedam različitih oblika, koje možemo uvrstiti u tri grupe.
Neodređeni izrazi: 1. ∞∞ ,
00
2. 0 , ∞ ∞⋅ ∞−
3. 1 , 0 , ∞ ∞ 0 0
Ako računamo graničnu vrednost oblika )()(lim
xQxP
ax→ i , tada imamo
neodređen izraz oblika
0)()( == aQaP
00 , koji treba skratiti sa binomom . ax −
48. Primer: Izračunati graničnu vrednost 12
1lim 3
3
1 +−−
→ xxx
x.
Rešenje: ( )( )( )( )
( )( ) 3
13
111111
11lim
1111lim
121lim 2
2
12
2
13
3
1==
−+++
=−+++
=−+−++−
=+−
−→→→ xx
xxxxxxxx
xxx
xxx .
33
Funkcije Matematička analiza
49. Primer: Izračunati graničnu vrednost 22
65lim 23
2
2 +−−+−
→ xxxxx
x.
Rešenje: ( )( )( )( ) 3
11432
13lim
1232lim
2265lim 222223
2
2−=
−−
=−−
=−−−−
=+−−
+−→→→ x
xxxxx
xxxxx
xxx .
50. Primer: Izračunati graničnu vrednost 25
2510lim 2
2
5 −+−
→ xxx
x
Rešenje: ( )( )( ) 0
100
55lim
555lim
252510lim
5
2
52
2
5==
+−
=+−
−=
−+−
→→→ xx
xxx
xxx
xxx .
Granične vrednosti oblika )()(lim
xQxP
x ∞→najčešće su neodređeni izrazi oblika
∞∞ , koje
rešavamo tako da izvlačimo pred zagradu i skartimo sa najvećim stepenom promenljive x.
51. Primer: Izračunati graničnu vrednost 122
3523lim 3
23
+−−+−
∞→ xxxxx
x.
Rešenje: 23
1212
3523lim
1212
3523lim
1223523lim
32
32
323
323
3
23
=+−
−+−=
+−
−+−
=+−
−+−∞→∞→∞→
xx
xxx
xxx
xxxx
xxxxx
xxx ,
skratili smo izraz sa , i kada , tada 3x ∞→x 05,022 →→
xx itd.
52. Primer: Izračunati graničnu vrednost 151023lim 2
3
−−+−
∞→ xxxx
x.
Rešenje: ∞=∞
==−−
+−=
−−
+−
=−−+−
∞→∞→∞→∞→ 553lim115
1023lim
115
1023lim
151023lim
2
2
22
22
2
3 x
xx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx .
53. Primer: Izračunati graničnu vrednost 12
54lim 2 +++
∞→ xxx
x.
34
Matematička analiza Funkcije
Rešenje: 042
4lim12
54lim
12
54lim
1254lim 2 =
∞=
+=
++
+=
++
+
=++
+∞→∞→∞→∞→ x
xx
x
xxx
xx
xxx
xxxx .
Granične vrednosti neodređenog oblika kod iracionalnih izraza najčešće možemo rešavati racionalizacijom brojilaca ili imenilaca. 54. Primer: Izračunati graničnu vrednost ( )xx
x319lim 2 −+
∞→.
Rešenje: ( ) ( ) =++
−+=
++
++−+=−+
∞→∞→∞→ xxxx
xxxxxxxx
xxx 319919lim
319319319lim319lim
2
22
2
222
01319
1lim2
=∞
=++∞→ xxx
= .
55. Primer: Izračunati graničnu vrednost xx
x
11lim0
−+→
.
Rešenje: ( ) ( ) =++=
++−+
=++++
⋅−+
=−+
→→→→ 11lim
1111lim
111111lim11lim
0000 xxx
xxx
xx
xx
xx
xxxx
21
111
111lim
0=
+=
++→ xx= .
56. Primer: Izračunati graničnu vrednost x
xxx 2sin
tg1tg1lim
+−−→π
.
Rešenje: =++−
++−⋅
+−−=
+−−→→ xx
xxx
xxx
xxxx tg1tg1
tg1tg12sin
tg1tg1lim
2sintg1tg1
limππ
( ) ( ) =++−−
=++−
−−−=
→→ xxxxx
xxxxxx
xx tg1tg1cossin2tg2lim
tg1tg1cossin2tg1tg1lim
ππ
( ) ( ) =++−−
=++−
−=
→→ xxxxxxxxx
xx tg1tg1cos1lim
tg1tg1cossincossin
lim2ππ
( ) ( ) 21
1111
2 −=+−
−= .
35
Funkcije Matematička analiza
Kod računanja graničnih vrednosti trigonometrijskih funkcija najčešće možemo
rešiti zadatak primenom osnovnog limesa 1sinlim0
=→ x
xx
i 1sin0
=→ kx
kxxlim .
57. Primer: Izračunati graničnu vrednost x
xx
3sinlim0→
.
Rešenje: 33133
3sinlim3sinlim00
=⋅=⋅=→→ x
xx
xxx
.
58. Primer: Izračunati graničnu vrednost 20
cos1limx
xx
−→
.
Rešenje: 2111
21
2
2sin
2
2sin
21lim
44
2sin2
limcos1lim02
2
020=⋅⋅=⋅⋅=
⋅=
−→→→ x
x
x
x
x
x
xx
xxx .
59. Primer: Izračunati graničnu vrednost x
xxx 30 sin
sintglim −→
.
Rešenje: =⋅−
=
−
=−
=−
→→→→ 2
2
20303030 sincoscos1lim
sin
1cos
1sinlim
sin
sincossin
limsin
sintglimxx
xxx
xx
x
x
xxx
xxx
xxxx
211
21
11
sinlimcos1lim
cos1lim
sincos1
cos1lim 2
2
02002
2
20=⋅⋅=⋅
−⋅=⋅
−⋅=
→→→→ xx
xx
xxx
xx
x xxxx .
60. Primer: Izračunati graničnu vrednost x
xx
2cos1lim0
−±→
.
Rešenje: =⋅==+−
=−
±→±→±→±→ xx
xx
xxx
xx
xxxx
sin2limsin2limsincos1lim2cos1lim
0
2
0
22
00
=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=±→±→±→ x
xxx
xx
xx
xx
xxx 000lim12sinlim2
sinlim2
( )
−→−
+→=
−→−⋅
+→⋅=
⋅
⋅
=
−→
+→
02
02
012
012
lim2
lim2
0
0
xha
xha
xha
xha
xx
xx
x
x
.
36
Matematička analiza Funkcije
Kod graničnih vrednosti u kojima se i u osnovi i u izložiocu pojavljuje promenljiva
x, i izraz je neodređen oblika 1 , primenjujemo osnovni limes ∞ ex
x
x=
+
∞→
11lim , gde je broj
iracionalna konstanta, Neperov (ili Ojlerov) broj. ...045459828281718,2=e
61. Primer: Izračunati graničnu vrednost x
x xx
++
∞→ 1222lim .
Rešenje: =
++=
++=
+++
=
++ +
+⋅
∞→∞→∞→∞→
1212
1211lim
1211lim
12112lim
1222lim
xxx
x
x
x
x
x
x
x xxxx
xx
( )
==
++=
++= +
∞→
++
∞→
+⋅+
∞→
121212
1212
lim12
11lim12
11lim xx
x
xx
x
x
xxx
xe
xx
eee xx
x === +∞→ 21
12lim
.
62. Primer: Izračunati graničnu vrednost . ( ) x
xx ctg
0tg1lim +
→
Rešenje: ( ) et
tx
tx
xx
t
t
x
x
x
x=
+=
∞→→=
=
+=+
∞→→→
11lim0ctg
ctg11limtg1lim
ctg
0
ctg
0 .
63. Primer: Izračunati graničnu vrednost ( )x
xx
+→
1lnlim0
.
Rešenje: ( ) ( ) ( ) ( ) =∞→
→
=
=
+=
+=
+=
+→→→→
tx
tx
xxxxx
xx
xx
xxx0
1
1limln1lnlim1ln1lim1lnlim1
0
1
000
1ln11limln ==
+=
∞→e
t
t
t .
64. Primer: Odrediti vrednost konstante tako, da funkcija
bude neprekidna.
A
>+=<−
=0,10,0,1
)(
2
xxxAxx
xf
Rešenje: Funkcija (parabola) je neprekidna za vrednosti , isto tako je funkcija
(prava) neprekidna za vrednosti . Da bi data funkcija bila neprekidna, 21 x− 0<x
fx+1 0>x )(x
37
Funkcije Matematička analiza
vrednost funkcije u treba definisati tako da ona bude neprekidna i u tački spajanja, odnosno treba da je:
0=x
)(x =
)x− 2
1=
+
−=
11
1
)(x =
( ) =+ λ
11+=2=
+=
−
xe x
)(xf =
242
−−
xx
( )2−
−x
x
( )2+x
4=
)(xf
=
2
xx
)(lim)0(lim00
xfffxx +→−→
=
( ( )xAxx
+==+→−→
1lim1lim00
1 = Aznači
. >=<
0,0,0,
)(
2
xxxxx
xf
65. Primer: Odrediti vrednost parametra λ tako, da funkcija
bude neprekidna.
<+≥+
=−
0,0,1
)(xxxexf
x
λ
Rešenje: Slično rešavanju prethodnog zadatka:
)(lim)0(lim00
xfffxx +→−→
=
( )1lim1lim0
0
0+=+ −
+→
−
−→
x
xxeex
110 +=+ λ 2=λznači funkcija je neprekidna ako je , odnosno )(xf 2=λ
. <≥+
0,20,1
)(xxxf
66. Primer: Odrediti vrednost parametra tako da je funkcija A
=
≠−−
=2,
2,24
)(2
xA
xx
xxf
neprekidna. Rešenje: )(lim)2(lim
0202xff
xx +→−→=
24limlim
2
0202 −−
==+→−→ x
xAxx
( ) ( )( )2
22lim2
2lim0202 −
+−==
++→−→ x
xxAxxx
( )2limlim0202
+==+→−→
xAxx
4 = A
znači da je funkcija neprekidna za , odnosno 4=A
=
≠−−
2,4
2,24
)(x
xxf .
38
Matematička analiza Funkcije
ZADACI ZA VEŽBU:
65. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost ( )21 1
1limxx −→
.
66. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost ( )565lim 23
2−+−
→xxx
x.
67. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost 443274lim 2
2
2 −−−−
→ xxxx
x.
68. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost 6
9lim 2
2
3 −−−
→ xxx
x .
69. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost xxxx
x −−+
∞→ 2
2
224lim .
70. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost ( )11lim 22 −−+∞→
xxx
.
71. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost ( )xxx
−+∞→
1lim 2 .
72. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost xx
x
11lim2
0
−+→
.
73. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost 1
lim2
1 −−
→ xxx
x.
74. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost 11
11lim0 −+
−−+→ x
xxx
.
75. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost xx
x
2
0lim
±→.
76. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost x
xxx
−±→ 0
lim .
77. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost za funkciju )(lim0
xfx ±→
≤+
>=0,1
0,sin)(
xx
xx
xxf .
78. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost x
xx
5sinlim0→
.
39
Funkcije Matematička analiza
79. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost xx
x 2sin3sin
0→lim .
80. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost x
xx
tan0→
lim .
81. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost x
xxxx
sintan0
−→
lim .
82. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost x
xxx sin
3sin 2
0
−→
lim .
83. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost mx
x xk
+
∞→1lim .
84. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost x
x x
−
∞→
−+
111lim .
85. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost x
x xx
−+
∞→ 35lim .
86. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost 3
1
2343lim
+
∞→
+−
x
x xx .
87. Zadatak: Odrediti garničnu vrednost
−+
→ xx
xx 11ln1
0lim .
88. Zadatak: Odrediti vrednost parametra tako da funkcija A
( )
=
≠−=0,
0,3
sin2)(xA
xxxxxf bude neprekidna.
89. Zadatak: Odrediti vrednost parametra tako da funkcija A
=
≠=0,
0,5sin)(
xA
xx
xexfx
bude neprekidna.
90. Zadatak: Odrediti vrednost parametra tako da funkcija A
( )
=
≠+=0,
0,sin1)(2
xA
xx
xxxf bude neprekidna.
40
Matematička analiza Diferencijalni račun
3. Diferencijalni račun
3.1. Izvod i diferencijal funkcije
Definicija: Diferencijalni količnik ( ili prvi izvod ) dxdyy =′ funkcije u tački
je granična vrednost količnika
)(xfy = 0x
xy
∆∆ kada ∆ , odnosno: 0→x
xfxxf
xyxfy
xx ∆−∆+
=∆∆
=′=′→∆→∆
)(limlim)( 0
000x )( 0 .
Definicija: Ako je funkcija diferencijabilna u tački , tada prava sa koeficijentom
pravca koja prolazi kroz tačku je tangenta funkcije u
tački . Jednačina tangente je: .
)(xfy =
)0x
)
(x −
( 0xy′
0
( 00 , yx
( )0xy′=
)(xfy =
x )00 xyy ⋅−
Prema tome geometrijsko značenje prvog izvoda je: prvi izvod funkcije u tački je koeficijent pravca tangente povučene na krivu u tački
0x
0x . Nalaženje diferencijalnog količnika (prvog izvoda) zovemo diferenciranjem.
Definicija: Ako je funkcija diferencijabilna, tada je )(xfy =dxdyxf =′ )( , a odavde se dobija
prvi diferencijal funkcije: dy . dxxf )(′= Pravila diferenciranja
Ako je c konstanta, i su diferencijabilne funkcije, tada važe sledeća pravila diferenciranja:
( )xuu = ( )xvv =
l. ( ) ucuc ′⋅=′⋅
2. ( ) vuvu ′±′=′±
3. ( ) vuvuvu ′⋅+⋅′=′⋅
4. 2vvuvu
vu ′−′
=′
41
Diferencijalni račun Matematička analiza
Izvod složene funkcije
Ako su i u diferencijabilne funkcije, tada izvod složene funkcije
dobija se po formuli: ili
)(ufy =
))(x
)(xg=
()( gfufy == ( ) xu uyxgxgfy ′⋅′=′⋅′=′ ))((dxdu
dudy
dxdy
⋅= .
Tablica izvoda elementarnih funkcija 1. ( ) 0=′const
2. ( ) 1=′x
3. ( ) 1−=′ nn xnx
4. ( )x
x2
1=
′
5. ( ) xx cossin =′
6. ( ) xx sincos −=′
7. ( )x
x 2cos1tg =′
8. ( )x
x 2sin1ctg −=′
9. ( ) ( )11
1arcsin2
<−
=′ xx
x
10. ( ) ( )11
1arccos2
<−
−=′ xx
11. ( ) 211arctgx
x+
=′
12. ( ) 211arcctgx
x+
−=′
13. ( ) aaa xx ln=′
14. ( ) xx ee =′
15. ( )x
x 1ln =′
16. ( )x
eax
x aa
logln1log ==′
17. ( ) xx chsh =′
18. ( ) xx shch =′
19. ( )x
x 2ch1th =′
20. ( )x
x 2sh1cth −=′
21. ( )21
1Arshx
x+
=′
22. ( ) ( )11
1Arch2
>−
=′ xx
x
23. ( ) ( )11
1Arth 2 <−
=′ xx
x
24. ( ) ( )11
1Arcth 2 >−
−=′ xx
x
42
Matematička analiza Diferencijalni račun
67. Primer: Po definiciji naći prvi izvod funkcije . 12 += xy
Rešenje: ( )=
∆−∆+∆+
=∆
−−+∆+=
∆−∆+
=′→∆→∆→∆ x
xxxxxx
xxxx
xfxxfyxxx
222
0
22
00
2lim11lim)()(lim
( ) ( ) xxxx
xxxxx
22lim2lim00
=∆+=∆
∆+∆=
→∆→∆,
prvi izvod funkcije je znači . 12 += xy xy 2=′
68. Primer: Po definiciji naći prvi izvod funkcije 2+= xy .
Rešenje: =+++∆++++∆+
⋅∆
+−+∆+=
∆+−+∆+
=′→∆→∆ 22
2222lim22lim00 xxx
xxxx
xxxx
xxxyxx
( ) ( ) =+++∆+∆∆
=+++∆+∆
−−+∆+=
→∆→∆ 22lim
2222lim
00 xxxxx
xxxxxxx
xx
22
122
122
1lim0 +
=+++
=+++∆+
=→∆ xxxxxxx
.
69. Primer: Naći prvi izvod funkcije . 7xy = Rešenje: Primenom tablice izvoda elementarnih funkcija i pravila diferenciranja, dobićemo da je: . 67xy =′ 70. Primer: Naći prvi izvod funkcije 3 xy = .
Rešenje: 31
3 xxy ==
3 2
321
31
31
31
31
xxxy ===′−−
.
71. Primer: Naći prvi izvod funkcije 4 3
2x
y = .
Rešenje: 43
4 322 −
== xx
y
4 34 7
471
43
23
23
23
432
xxxxxy =−=−=
−=′
−−− .
72. Prime: Naći prvi izvod funkcije 3 6 xy = .
43
Diferencijalni račun Matematička analiza
Rešenje: 361
363 6 xxxy ===
36 35
36351
361
361
361
361
xxxy ===′−−
73. Primer: Naći prvi izvod funkcije ( )35 xxxy −= . Rešenje: ( )35 xxxy −=
( ) ( ) =−
=−+−
=−+−=′x
xxx
xxxxxxxxx
y2
7152
61053552
1 33323
xxx 2
27
215
−= .
74. Primer: Naći prvi izvod funkcije 6432 2
−+
=x
xxy .
Rešenje: vu
xxxy =
−+
=6432 2
( )( ) ( )( ) ( )
=−
−−−+−=
−+−−+
=′ 2
22
2
2
6412818122416
644326434
xxxxxx
xxxxxy
( )
( )( )
.64
9124264
182482
2
2
2
−−−
=−
−−=
xxx
xxx
75. Primer: Naći prvi izvod funkcije . xxy cos3sin2 −=Rešenje: . ( ) xxxxy sin3cos2sin3cos2 +=−−=′ 76. Primer: Naći prvi izvod funkcije xxy sin⋅= .
Rešenje: xxxx
y cossin2
1+=′ .
77. Primer: Naći prvi izvod funkcije . ( )273 += xy Rešenje: Funkcija je složena funkcija, na osnovu pravila diferenciranja složene
funkcije dobijamo: .
( 273 += xy
32=′ xy
)( ) ( ) ( ) ( )7363732737 12 +=+=′+⋅+ − xxx
78. Primer: Naći prvi izvod funkcije xy 5sin= .
Rešenje: x
xx
xy52
5cos5552
15cos =⋅⋅=′ .
44
Matematička analiza Diferencijalni račun
79. Primer: Naći prvi izvod funkcije . ( )xy 5sintg=
Rešenje: ( ) ( )xxxy5sincos
5cos555cossin5xcos1
22 =⋅⋅=′ .
80. Primer: Naći prvi izvod funkcije . xey 2x 35e −=Rešenje: . xxx eeey 22x 65235e −=⋅−=′
81. Primer: Naći prvi izvod funkcije xx aay 2x
21a ++= − .
Rešenje: ( )
+−=⋅+−⋅+=′ −− xxxxx aaaaaaaaay 22x 2
21ln2ln1ln
21lna .
82. Primer: Naći prvi izvod funkcije 1x1
3 +=y .
Rešenje: ( ) ( )
1x1
221x
11x
1
313ln
1103ln3
113ln3 +++ ⋅
+−
=+−
⋅⋅=′
+⋅⋅=
xxxy .
83. Primer: Naći prvi izvod funkcije .
2xee=y
Rešenje: . ( ) xx exxex eeeeey222x 222e 22e =⋅⋅=
′⋅=′
84. Primer: Naći prvi izvod funkcije .
2xsine=y
Rešenje: . ( ) 222222
cos22coscosex xxxxx exexeeey =⋅⋅=′
⋅=′ 85. Primer: Naći prvi izvod funkcije . 3ln2x5lnx +=y
Rešenje: xxx
y 83522x13
x15 =+=⋅⋅+⋅=′ .
86. Primer: Naći prvi izvod funkcije . ( )43xln +=y
Rešenje: ( ) 4333
43x1
+=⋅
+=′
xy .
87. Primer: Naći prvi izvod i prvi diferencijal funkcije ( )xsinln 2=y .
Rešenje: ( ) xxx
xxy ctg2cossin
2sinsin2xsin
12 =⋅=′⋅⋅⋅=′
je prvi izvod funkcije, dok je prvi diferencijal. dxxdy ctg2=
45
Diferencijalni račun Matematička analiza
88. Primer: Naći prvi izvod i diferncijal funkcije . ( )32xlog +=y
Rešenje: ( ) ( ) ( ) 10ln32232
10ln32x1
+=′+⋅
+=′
xxy ,
( ) dxx
dy10ln32
2+
= .
89. Primer: Naći prvi izvod i diferencijal funkcije . xy 2lne2x=
Rešenje:
+=⋅+⋅⋅=′
xxe
xexey xxx 12ln22
212ln2 222 ,
dxx
xedy x
+=
12ln22 .
90. Primer: Naći prvi izvod i diferencijal funkcije . ln2x2xe +=yRešenje: xxxx xexeeey 222ln2ln2x2x 22e =⋅=⋅== +
( ) ( )xexeey xxx 21222 222 +=⋅+=′ , . ( )dxxedy x 212 2 += 91. Primer: Naći prvi izvod funkcije . xx=yRešenje: , nepoznata se nalazi i u osnovi i u izložiocu, zato logaritmujemo izraz: xxy = xxy lnln =
dxdxxy /lnln =
1ln1ln1+=⋅+=′ x
xxxy
y
( )1ln +=′ xyy . ( )1ln +=′ xxy x
92. Primer: Naći prvi izvod funkcije . ( )xy 2x-5=
Rešenje: ( )xy 2x-5= ( )2x-5lnln xy =
( ) ( )225
125ln1−⋅
−+−=′
xxxy
y
( )
−−−=′
xxxyy25
225ln
( ) ( )
−−−=′
xxxy x
25225ln2x-5 .
93. Primer: Naći prvi izvod funkcije . ( ) 2
2x-6 xy =
46
Matematička analiza Diferencijalni račun
Rešenje: ( ) 22x-6 xy =
( )22 6ln xxy −=ln
( ) ( )xx
xxxyy
26
16ln212
22 −⋅−
+−=′
( )
−
−−=′ 2
32
626ln2
xxxxyy
( ) ( )
−
−−−=′ 2
322
626ln26
2
xxxxxy x .
94. Primer: Naći prvi izvod funkcije . xxy cos=Rešenje: xxy lncosln =
x
xxxyy
1coslnsin1⋅+⋅−=′
⋅+⋅−=′
xxxxyy 1coslnsin
⋅−=′ xx
xxxy x lnsincoscos .
95. Primer: Naći prvi izvod funkcije . ( ) 232ln xxy =Rešenje: ( )xxy 2lnln3ln 2=
( ) 221
2ln132lnln61 2 ⋅⋅⋅+⋅=′
xxxxxy
y
( )
+=′
xxxxyy2ln
32lnln6
( ) ( )
+=′
xxxxxy x
2ln32lnln62ln
23 .
ZADACI ZA VEŽBU: 91. Zadatak: Po definiciji naći prvi izvod funkcije . 22 ++= xxy
92. Zadatak: Po definiciji naći prvi izvod funkcije 43 −= xy .
93. Zadatak: Naći prvi izvod funkcije 5 3
1x
y = .
94. Zadatak: Naći prvi izvod funkcije 2
21
++
=xxy .
47
Diferencijalni račun Matematička analiza
95. Zadatak: Naći prvi izvod funkcije 653 2 −+= xxy .
96. Zadatak: Naći prvi izvod funkcije ( )xxy 2sincosln 2⋅= .
97. Zadatak: Naći prvi izvod funkcije . xxy sin=
98. Zadatak: Naći prvi izvod funkcije ( ) 2xxy = .
99. Zadatak: Naći prvi izvod i diferencijal funkcije 2xey
x
= .
100. Zadatak: Naći prvi izvod i diferencijal funkcije 2
1arcsinx
y = .
3.2. Izvodi višeg reda Definicija: Ako je prvi izvod funkcije još jednom diferencijabilan, tada se dobija
drugi izvod i drugi diferencijal funkcije . Slično se dobija treći, četvrti,... itd. izvod.
)(xfy =)(xfy =
Izvode višeg reda obeležavamo sa :
( ) ( ) ( )nyyyyyy ,...,,,,, 54′′′′′′
ili ( ) ( ) ( )nffffff ...,,,,, 54′′′′′′odnosno
n
n
dxyd
dxyd
dxyd
dxyd
dxyd
dxdy ,...,,,,, 5
5
4
4
3
3
2
2
.
96. Primer: Odrediti izvode višeg reda za funkciju . xy ln=
Rešenje: 11 −==′ xx
y
22 11
xxy −
=⋅−=′′ −
33 22
xxy =⋅=′′′ −
( )4
44 66x
xy −=⋅−= −
M
( ) ( ) ( )n
nn
xny !11 1 −
−= − .
48
Matematička analiza Diferencijalni račun
97. Primer: Odrediti izvode višeg reda funkcije . xy sin=
Rešenje:¸ xy sin=
+==′
2sincos πxxy
+=−=′′
22sinsin πxxy
+=−=′′′
23sincos πxxy
( )
+==
24sinsin4 πxxy
M
( )
+=
2sin πnxy n .
98. Primer: Odrediti izvode višeg reda funkcije . xey 43+=
Rešenje: xey 43+=
xx eey 4343 44 ++ ⋅=⋅=′
xxx eeey 4324343 41644 +++ ⋅=⋅=⋅⋅=′′
xxx eeey 4334343 464416 +++ ⋅=⋅=⋅⋅=′′′
M
. ( ) xnn ey 434 +⋅=
ZADACI ZA VEŽBU:
101. Zadatak: Odrediti izvode višeg reda funkcije . xy cos=
102. Zadatak: Odrediti izvode višeg reda funkcije . xy 5sin=
103. Zadatak: Odrediti izvode višeg reda funkcije xy = .
104. Zadatak: Odrediti izvode višeg reda funkcije . xay =
105. Zadatak: Odrediti izvode višeg reda funkcije . nxy =
49
Diferencijalni račun Matematička analiza
3.3. Lopitalovo pravilo Lopitalovo pravilo omogućuje lakše izračunavanje graničnih vrednosti neodređenog
oblika 00 i
∞∞ .
Teorema: Neka su funkcije diferencijabilne u okolini tačke i neka je
ili lim . Ako je u toj okolini
i i granična vrednost
)(x0) =x
f i )(xg
→f
ax
ax =(lim)(lim =
→→gxf
axax
0)( ≠′ xg
∞==→
)(lim)( xgxax
0)( ≠xg
)()(
xgxf
ax ′′
→lim postoji ( ili je ), tada i granična
vrednost
∞±
)()(
xgxf
ax→lim postoji ( ili je ), i važi da je: ∞±
))
((limxg
fa ′
′→)(
)(xx
=lim xgf
xax→ .
99. Primer: Naći graničnu vrednost 2
2ln
lim2 −→ x
x
x .
Rešenje: 211lim
1212
lim00
22
lnlim
222==
⋅=
=
− →→→ xx
x
x
xxx .
100. Primer: Naći graničnu vrednost )1(3
lnlim2
1 −→ xx
x .
Rešenje: 32
132
32lim
3
21
lim00
)1(3lnlim
1
2
1
2
1=
⋅==
⋅=
=
− →→→ x
xx
xx
xxx .
101. Primer: Naći graničnu vrednost x
xx
sinlim0→
.
Rešenje: 10cos1
coslim00sinlim
00===
=
→→
xx
xxx
.
102. Primer: Naći graničnu vrednost x
xx
arctglim0→
.
Rešenje: 101
11
11
lim00arctglim
2
00=
+=+=
=
→→
xx
xxx
.
103. Primer: Naći graničnu vrednost x
xx
x
75lim0
−→
.
50
Matematička analiza Diferencijalni račun
Rešenje: 75ln7ln5ln
17ln75ln5lim
0075lim
00=−=
−=
=
−→→
xx
x
xx
x x .
104. Primer: Naći graničnu vrednost x
xx
7tglim0→
.
Rešenje: 717
1
77cos
1
lim007tglim
2
00==
⋅=
=
→→
xx
xxx
.
105. Primer: Naći graničnu vrednost xx
x2
lim2
∞→ .
Rešenje: ( )
022ln2
2lim2ln2
2lim2
lim 2
2
=∞
==
∞∞
==
∞∞
=∞→∞→∞→ xxxxxx
xx .
106. Primer: Naći graničnu vrednost xx
x
lnlim∞→
.
Rešenje: 011
1
limlnlim =∞
==
∞∞
=∞→∞→
xxx
xx .
107. Primer: Naći graničnu vrednost 2limxe x
x ∞→ .
Rešenje: ∞=∞
==
∞∞
==
∞∞
=∞→∞→∞→ 22
lim2
limlim 2
x
x
x
x
x
x
ex
exe .
108. Primer: Naći graničnu vrednost xx
x ctglnlim
0→ .
Rešenje: =⋅−=−=−
=
∞∞
=→→→→ x
xxx
x
x
xxx
xxxx
sinsinlimsinlim
sin1
1
limctglnlim
0
2
0
2
00
= . 00sin1sinlim0
=−=⋅−→
xx
51
Diferencijalni račun Matematička analiza
Ispitivanje neodređenih izraza tipa 0 : ako je lim i lim , tada
ispitivanje granične vrednosti treba svesti na jedan od sledeća dva oblika:
∞⋅
)x
0)( =→
xfax
+∞=→
)(xgax
[ ()(lim gxfax→
]
)(1
)(lim
xg
xfax→
ili
)(1
)(lim
xf
xgax→
koji su već odgovarajuci tipovi 00 ili
∞∞ .
109. Primer: Odrediti graničnu vrednost . xx
xln2lim
0+→
Rešenje: ( ) 002lim21
12lim
1ln2lim0ln2lim
0
2
000=⋅−=−=
−=
∞∞
==∞⋅=+→+→+→+→
x
x
x
x
xxxxxxx
.
110. Primer: Odrediti graničnu vrednost lim . xx
x3ctg5
0→
Rešenje: ( )35
33cos
15lim
3tg5lim03ctg5lim
2
000=
⋅=
∞∞
==∞⋅=→→→
xx
xxxxxx
.
111. Primer: Odrediti graničnu vrednost . x
xxe−
∞→lim
Rešenje: ( ) 011lim00lim0lim =
∞==
==⋅∞=
∞→∞→
−
∞→ xxxx
x
x eexxe .
Ako je lim , tada je granična vrednost lim
neodređen izraz oblika ∞ ; može se izračunati ako se svede na graničnu vrednost oblika
+∞==→→
)(lim)( xgxfaxax
∞−
[ ])()( xgxfax
−→
)()(1
)(1
)(1
lim
xgxf
xfxgax
−
→, koji je već odgovarajućeg tipa
00 .
112. Primer: Odrediti graničnu vrednost
−−
→ 11
ln1
1 xxxlim .
52
Matematička analiza Diferencijalni račun
Rešenje: ( ) ( ) ( )=
−+⋅
−=
=
−−−
=∞−∞=
−−
→→→
xxx
xxxxx
xx xxx 11ln1
11lim
00
ln1ln1lim
11
ln1lim
111
21
2ln1lim
11ln
1lim00
1ln1lim
1ln
1
lim1111
=+
=++
=
=
−+−
=−+
−
=→→→→ x
xxxxxx
x
xxxx
xx
xxxx.
113. Primer: Odrediti graničnu vrednost
−
→ xxx
1sin
1lim0
.
Rešenje: ( ) =
=
+−
=
=
−=∞−∞=
−
→→→ 00
cossincos1lim
00
sinsinlim1
sin1lim
000 xxxx
xxxx
xx xxx
( ) 020
sincos2sinlim
sincoscossinlim
00==
−=
−+ →→ xxxx
xxxxx
xx= .
114. Primer: Odrediti graničnu vrednost
−−
−→ 11
12lim 21 xxx
.
Rešenje: ( ) ( )21
21lim
11lim
112lim
11
12lim
1212121−=
−=
−−
=−+−
=∞−∞=
−−
− →→→→ xxx
xx
xx xxxx .
Granične vrednosti neodređenog oblika eksponencijalnog tipa 1 prvo logaritmujemo, a posle rešavamo graničnu vrednost tipa .
00 0,,∞∞
∞⋅0 115. Primer: Odrediti graničnu vrednost . x
xx sin
0lim
+→
Rešenje: ( ) yxx
x
x 0
0sin
0lim0lim
+→+→== gde je
koju funkciju logaritmujemo xxy sin=
ln na osnovu pravila logaritmovanja xxy sinln=
ln a granična vrednost ovog izraza je xxy lnsin=
( ) ( ) ( ) =−
====+→+→+→+→+→
xx
x
x
xxxyyxxxxx
2
00000
sincos
1
lim
sin1
lnlimlnsinlimlimlnlnlim
53
Diferencijalni račun Matematička analiza
001tgsinlimcossinlim
0
2
0=⋅−=−=
−=
+→+→x
xx
xxx
xx,
znači da je ( ) 0limln0
=+→
yx
odavde je , 0
0lim eyx
=+→
sledi da je , 1lim0
=+→
yx
odnosono . 1lim sin
0=
+→
x
xx
116. Primer: Odrediti graničnu vrednost xx
x ln432
0lim +
+→ .
Rešenje: ( ) yxx
xx 0
0ln432
0lim0lim
+→
+
+→==
xxy ln432
+=
xx
xy x lnln43
2lnln ln432
+== +
( ) ( )21
42
4
2
limln43
ln2limlimlnlnlim0000
===+
==+→+→+→+→
x
xx
xyyxxxx
21
0lim eyx
=+→
ex xx
=+
+→
ln432
0lim .
117. Primer: Odrediti graničnu vrednost ( ) 23
02cos x
xx
→lim .
Rešenje: ( ) ( ) yxx
xx 0
3
0lim12coslim 2
→
∞
→==
( ) 23
2cos xxy =
( )xx
y 2cosln3ln 2=
( ) ( ) ( )=
−=
∞∞
=
==
→→→→ x
xx
xxyy
xxxx 2
22sin2cos
1
3lim2cosln3limlimlnlnlim02000
6162cos
1lim62cos
12
2sinlim600
−=⋅−=−=⋅−=→→ xxx
xxx
54
Matematička analiza Diferencijalni račun
( ) 6lim0
−=→
yx
ln
lim 6
0
−
→= ey
x
( ) 6
3
0
12cos 2
ex x
x=
→lim .
ZADACI ZA VEŽBU: 106. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost
6722lim 3
23
1 +−+−−
→ xxxxx
x .
107. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost xkx
x
sinlim0→
.
108. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost x
eax
x
1lim0
−→
.
109. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost
xxx
x sintglim
0 −→ .
110. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost xx
x 5tg3tglim
2π
→ .
111. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost 5limxe x
x +∞→ .
112. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost 3
lnlimxx
x +∞→ .
113. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost
( ) ( )0,sinln
sinlnlim0
>+→
mx
mxx
.
114. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost
. ( ) xxx
ctgcos1lim0
−→
55
Diferencijalni račun Matematička analiza
115. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost
( )2
tg1lim1
xxx
π−
→ .
116. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost
. ( )xxx
ctgarcsinlim0→
117. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost
. ( )1lnlnlim1
−→
xxx
118. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost
−−−
−→ 65
31lim 23 xxxx
.
119. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost
( ) ( )
−−
−→ 31 131
121lim
xxx .
120. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost
−
−→ xxx
x ln1
1lim
1 .
121. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost
−
→ xxx
x cos2ctglim
2
ππ
.
122. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost . x
xx
0lim
+→
123. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost ( )xx
x1
2
01lim +
+→ .
124. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost ( ) xx
x ln1
0ctglim
+→ .
125. Zadatak: Primenom Lopitalovog pravila izračunati graničnu vrednost lim . ( ) x
xx sin
0ctg
→
56
Matematička analiza Ispitivanje funkcija
4. Ispitivanje funkcija Cilj ispitivanja funkcije je crtanje njenog grafika. Zato ispitujemo njene najvažnije osobine, razne asimpote, ekstremne vrednosti, intervale monotonosti, tačke prevoja, konveksne i konkavne lukove. Poznavajući ove osobine možemo da utvrdimo kako se menja funkcija, i ako je potrebno možemo izračunati vrednosti funkcije još u nekim tačkama. Grafik funkcije crtamo spajajući obeležene tačke, uzevši u obzir ispitane osobine. Ispitivanje funkcija ćemo izvoditi na osnovu sledećih tačaka u datom redosledu: 1. Oblast definisanosti: fD . 2. Parnost: i )()( xfxf ±=− Periodičnost: (samo kod trigonometrijskih funkcija). )()( xfxf =+ω 3. Nule: . 0=y 4. Znak: 00 <> yiliy . 5. Asimptote: vertikalna: VA, horizontalna: HA, kosa: KA. 6. Ekstremne vrednosti (stacionarne tačke): 0=′y . 7. Tok (rast i opadanje): 00 <′>′ yiliy . 8. Prevojne tačke: 0=′′y . 9. Konveksnost, konkavnost: 00 <′′>′′ yiliy . 10. Grafik. Obilnije o nekim tačkama: 1. Ispitivanje funkcije uvek počinjemo sa utvrđivanjem njene oblasti definisanosti, naime u
onim tačkama ili intervalima u kojima funkcija nije definisana ni ne vršimo ispitivanje osobina.
2. Parnost ili neparnost ispitujemo kod svih funkcija, maime kod parnih i neparnih funkcija
dovoljno je ispitivati osobine na polovini oblasti definisanosti, zbog simetričnosti grafik se može u celosti crtati.
Periodičnost se ispituje samo kod trigonometrijskih funkcija.
57
Ispitivanje funkcija Matematička analiza
3. Nule funkcije su one tačke u kojima grafik seče x-osu. Ordinate ovih tačaka su 0, znači da se mogu odrediti rešavanjem jednačine 0=y .
4. Kod crtanja grafika funkcije bitno je nad kojim intervalima će grafik biti iznad x-ose (tu je funkcija ) i nad kojim će intervalima biti ispod x-ose (tu je funkcija ). 0>y 0<y
5. Razlikujemo tri vrste asimptota, u zavisnosti od toga kakvog je položaja prava kojoj funkcija teži:
VA: vertikalna asimptota je prava , ako je lim , gde je tačka prekida
funkcije ili je konačan kraj oblasti definisanosti.
ax = ±∞=→
)(xfax
a
HA: horizontalna asimptota je prava , ako je . by = bxf
x=
±∞→)(lim
FA: kosa asimptota je prava kosog položaja, gde je nkxy +=xxfk
x
)(lim±∞→
= i
gde je i k . ( )xkxfnx
−=±∞→
)(lim 0≠k ∞≠
6. Stacionarne tačke ili mogući ekstremi su one tačke u kojima je . Da li su te tačke stvarno ekstremi i koje su vrste (maksimumi ili minimumi), određuje se na osnovu 7. tačke, gde se iz odgovarajuće tablice mugu pročitati vrste ekstrema.
0=′y
7. Tok ili monotonost funkcije ispitujemo pomoću predznaka prvog izvoda. Ako je u nekom intervalu (rastuća), a ako je u nekom intervalu
(opadajuća). Funkcija dostiže lokalni maksimum u tački u kojoj prelazi iz rastuće u opadajuću, a lokalni minimum u tački, u kojoj iz opadajuće funkcije prelazi u rastuću.
↑>′ )(intervalu u tom je tada0)( xfxf↓)(intervalu u tom je tada xf<′ 0)(xf
8. Tačkama prevoja nazivamo one tačke u kojima konveksni luk krive prelazi u konkavni luk, ili obrnuto. U tačkama prevoja važi da je . Moguće prevojne tačke zato dobijamo rešavanjem jednačine . Koje su tačke od svih rešenja ove jednačine stvarni prevoji, lako se može pročitati iz tablice koju ispitujemo pod tačkom 9. za konveksnost funkcije.
0=′′y0=′′y
9. Luk krive na nekom intervalu može biti konveksan ili konkavan. Ova osobina zavisi od predznaka drugog izvoda na posmatranom intervalu. Ako je na nekom intervalu
(konveksna), a ako je na nekom intervalu (konkavna).
∪>′′ )(intervalu tomna je tada0)( xfxf∩<′′ )(intervalu tomna je tada0)( xfxf
10.Na osnovu ispitanih osobina i određenih karakterističnih tačaka crtamo grafik funkcije.
58
Matematička analiza Ispitivanje funkcija
118. Primer: Ispitati tok i nacrtati grafik racionalne funkcije ( )21
12−−
=x
xy .
Rešenje: Ispitaćemo funkciju na osnovu prethodnih tačaka. 1.) Oblast definisanosti: 0
11≠−x
≠x . { }1\RD f = 2.) Parnost:
( ) ( )
)(1
121
12)( 22 xfx
xx
xxf ±≠++
−=−−−−
=− , funkcija nije ni parna ni neparna.
3.) Nule: 0=y
( )
01
122 =
−−
xx
012 =−x
21
=x , funkcija ima jednu nulu u tački
0,
21N .
4.) Znak: 0ili0 <> yy
( ) ( )
0112ili0
112
22 <−−
>−−
xx
xx
x ∞− 0.5 0.5 1 1 ∞+2x-1 - + +
y - + +
5.) Asimptote: VA: 1=x
( ) ( )
+∞=+
=−−
=−−
−→−→ 01
1011lim
112lim 201201 xx x
x
( ) ( )
+∞=+
=−+
=−−
+→+→ 01
1011lim
112lim 201201 xx x
x
HA: 0=y
( ) ( ) 01
11lim
122lim
112lim 2 =
∞=
−=
−=
−−
∞→∞→∞→ xxxx
xxx
( ) ( ) 01
11lim
122lim
112lim 2 =
∞−=
−=
−=
−−
∞→−∞→−∞→ xxxx
xxx
KA: nema jer ima horizontalnu asimptotu.
59
Ispitivanje funkcija Matematička analiza
6.) Ekstremne vrednosti: 0=′y
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
01
21
24221
122121
1212123334
2
=−−
=−
+−−=
−−−−
=−
−−−−=′
xx
xxx
xxx
xxxxy
odavde je 02 =− xsledi 0 je stacionarna tačka (mogući ekstrem). =x
7.) Tok: 0ili0 <′>′ yy
( ) ( )
01
2ili01
233 <
−−
>−−
xx
xx
x ∞− 0 0 1 1 + ∞-2x + - -
( )31−x - - + y′ - + - y ↓ ↑ ↓
Iz tablice možemo pročitati da funkcija ima lokalni minimum u tački , a minimalna vrednost je
0=x
. 1
0
)0(min −=y . ( )1,0MinFunkcija u tački ima prekid. 1=x
8.) Prevojne tačke: =′′y
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
01
241
6221
6121
132124446
23
=−+
=−
++−=
−+−−
=−
−⋅+−−=′′
xx
xxx
xxx
xxxxy
024 =+x
21
−=x je moguća prevojna tačka.
9.) Konveksnost i konkavnost: 0ili0 <′′>′′ yy 024ili024 <+>+ xx
x ∞− -0.5 -0.5 1 1 ∞+4x+2 - + + ( )41−x + + +
y ′′ - + + y ∩ ∪ ∪
60
Matematička analiza Ispitivanje funkcija
Iz tablice čitamo da funkcija ima prevoj u tački 21
−=x čija je druga kordinata
98
492
121
1121
2 −=−
=
−−
−−=
−prevojy .
Sledi da je )98,
21( −−P prevojna tačka.
10.)Grafikon:
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2
0
2
4
6
8
10
119. Primer: Ispitati tok i nacrtati grafik iracionalne funkcije 3 322 xxy −= . Rešenje: Ispitivanje funkcije radićemo po utvrđenim tačkama. 1.) Oblast definisanosti: Izložilac korena je neparan broj, prema tome potkorena veličina može biti bilo kog znaka. Potkorena veličina je polinom trećeg reda koji je definisan za sve realne brojeve, prema tome: . RD f = 2.) Parnost: ( ) )(22)( 3 323 32 xfxxxxxf ±≠+=−−=− funkcija nije ni parna ni neparna.
3.) Nule: 0=y
61
Ispitivanje funkcija Matematička analiza
023 32 =− xx 0
0
2 32 =− xx ( ) 022 =− xx 202 =−∨= xx 20 3
21 =∨= xx ,
funkcija znači ima dve nule, tačke i . ( )0,01N ( )0,22N
4.) Znak: 0ili0 <> yy
( ) ( ) 02ili02 3 23 2 <−>− xxxx predznak funkcije zavisi samo od faktora x−2 :
x ∞− 0 0 2 2 + ∞ 2-x + + – y + + –
5.) Asimptote: VA: nema jer funkcija nema prekidnu tačku, niti su krajevi oblasti definisanosti konačni. HA: nema jer ( ) ( ) −∞=∞−=∞−⋅∞+=−
+∞→
333 2 2 xxxlim
i ( ) ( ) +∞=∞+=∞+⋅∞+=−−∞→
333 2 2 xxxlim
FA: 32
+x−=y
jer 11012lim2lim)(lim 333 32
−=−=−=−
=∞→∞→∞→ xx
xxxxf
xxx=k
i ( ) ( ) ( )=+−=∞+∞−=+−=∞→∞→
3 33 323 32 2lim2lim xxxxxxxx
n
( ) ( ) ( )( ) ( )
=+−−−
+−−−+−=
∞→ 3 63 3233 232
3 63 3233 2323 33 32
22
222lim
xxxxxx
xxxxxxxxx
x
=+−−+−
+−=
∞→ 3 63 653 654
332
244
2limxxxxxx
xxxx
=
+−−+−
=∞→
3332
2
2
1121442lim
xxxx
xx
( ) 32
1112
=+−−
= .
62
Matematička analiza Ispitivanje funkcija
6. Ekstremne vrednosti: 0=′y
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
023
34
23
34
23
3434231
3 23 23 232
23232 =
−
−=
−
−=
−⋅
−=−−=′
−
xx
x
xxx
xx
xx
xxxxxxy
034 =− x
34
=x je stacionarna tačka.
Za prvi izvod moramo konstatovati da nije definisan u tačkama i , mada je sama funkcija bila definisana na celom skupu realnih brojeva .
0=x 2=xR
7.) Tok i monotonost: 0ili0 <′>′ yy
( ) ( )
023
34ili023
343 23 2
<−
−>
−
−
xx
x
xx
x
x ∞− 0 0 34 34 ∞+3 x - + + 4-3x + + -
y′ - + - y ↓ ↑ ↓
Iz tablice možemo čitati da u stacionarnoj tački 34
=x funkcija ima lokalni maksimum, dok u
tački funkcija ima minimum oblika špic, naime u toj tački prvi izvod nije definisan ali menja znak.
0=x
06.13
4234 3
max ≈=
y
06.1;
34Max .
8.) Prevojne tačke: 0=′′y
( )( ) 31
32443431 −
+−−=′ xxxxy
( ) ( )( ) ( )
+−+−−−+−−=′′
−− 234
3231
32 384443431443
31 xxxxxxxxxy
( )( )( )
+−+−
+−−−
+−
−=′′
3 3232
2
3 32 44443
38434
443
31
xxxxxx
xxx
xxxy
( ) ( )( )( )3 3232
232
44443
3843444931
xxxxxx
xxxxxxy+−+−
+−−−+−−⋅=′′
63
Ispitivanje funkcija Matematička analiza
( )3 3232
32232
4444
924121232169363691
xxxxxx
xxxxxxxxy+−+−
+−+−+−−+−⋅=′′
( )
( )( ) ( )3 223 3232 229
28
4444
16891
xxxx
x
xxxxxx
xy−−
−−=
+−+−
−⋅=′′
( ) ( )
0229
83 24
≠−−
=′′xxx
y
a to znači da funkcija nema prevojnu tačku. Ni drugi izvod funkcije nije definisan u i
, a to znači da u tim tačkama može da menja svoj predznak, odnosno funkcija može da menja konveksnost.
0=x2=x y ′′
9.) Konveksnost: 0ili0 <′′>′′ yy
( ) ( ) ( ) ( )
0229
8ili0229
83 243 24
<−−
>−− xxxxxx
x ∞− 0 0 2 2 ∞+
x-2 - - + y ′′ - - + y ∩ ∩ ∪
Znači da funkcija menja konveksnost u tački , mada u toj tački drugi izvod nije definisan.
( 0,2 )
10.)Grafikon:
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
64
Matematička analiza Ispitivanje funkcija
120. Primer: Ispitati tok i nacrtati grafik eksponencijalne funkcije 431
2 −−= xxey . Rešenje: Ispitivanje ćemo raditi po utvrđenim tačkama. 1.) Oblast definisanosti: Eksponencijalna funkcija je definisana ako je izložilac definisan, zato: 0
4432 ≠−− xx
1 21 =∨−= xx { }4,1\ −= RD f
2.) Parnost:
)()( 431
2 xfexf xx ±≠=− −+ , funkcija nije ni parna ni neparna. 3.) Nule: 0=y
0431
2 ≠−− xxe , funkcija nema nule. 4.) Znakl: 0ili0 <> yy
fxx Dxe ∈∀>−− ,043
12 ,
, funkcija je pozitivna u svakoj tački oblasti definisanosti. fDxy ∈∀> ,0 5.) Asimptote: VA: i 1−=x 4=x
+∞==== ∞++−⋅+++⋅+−−
−−→eeee xx
x0
140330021
143
1
01
22lim
011lim 01
403300211
431
01
22 =∞
===== ∞∞−−−⋅−++⋅−−−
+−→ eeeee xx
x
011lim 01
40312008161
431
04
22 =∞
===== ∞∞−−−⋅+−+⋅−−−
−→ eeeee xx
x
+∞==== ∞++−⋅+++⋅+−−
+→eeee xx
x0
14031200816
143
1
04
22lim
HA: y 1=
1lim 01
431
2 === ∞+−−
+∞→eee xx
x
1lim 01
431
2 === ∞+−−
−∞→eee xx
x
FA: nema jer ima horizontalnu asimptotu.
65
Ispitivanje funkcija Matematička analiza
6.) Ekstremne vrednosti: 0=′y
( )( )
043
3222
431
2 =−−
−−⋅=′ −−
xxxey xx
032 =−x
23
=x je stacionarna tačka..
7.) Tok: 0ili0 <′>′ yy
( ) ( )
043
23ili043
2322
431
2243
122 <
−−
−⋅>
−−
−⋅ −−−−
xxxe
xxxe xxxx
x ∞− -1 -1 23 23 4 4 + ∞
3-2x + + - - y′ + + - - y ↑ ↑ ↓ ↓
Iz tablice čitamo da funkcija u stacionarnoj tački 23
=x ima lokalni minimum:
85.0123
25 425
4
max ≈==
−
eey
85.0;
23Max
8.) Prevojne tačke: 0=′′y
( )
( ) ( ) ( )( )( )42
22243
12
2243
1
433243223432
4323 22
−−
−−−−−−−−+
−−
−=′′ −−−−
xxxxxxxxe
xxxey xxxx
( )( )
( ) ( ) ( )( )
−−
−−−+−−−+
−−
−⋅=′′ −−
42
2222
42
243
1
4343232432
43232
xxxxxxx
xxxey xx
( ) ( ) (( )
)
−−
−−−−−+−⋅=′′ −−
42
222243
1
434328621232
xxxxxxxey xx
( ) ( ) (( )
)42
222243
1
43432762232
−−
−−−−−−⋅=′′ −−
xxxxxxxey xx
( ) ( ) ( 043276223 2222 =−−−−−− xxxxx )0 951860366 234 =−−+− xxxx
9 (ostala dva korena su kompleksna). .3,9.0 21 =−≈ xx
66
Matematička analiza Ispitivanje funkcija
9. )Konveksnost:
00
ili0 <′′>′′ yy 951860366ili0951860366 234234 <−−+−>−−+− xxxxxxxx
x ∞− -1 -1 -0.9 -0.9 3.9 3.9 4 4 ∞+
951860366 234 −−+− xxxx + + – + +
y ′′ + + – + + y ∪ ∪ ∩ ∪ ∪
Prema tome funkcija ima dve prevojne tačke:
( ) ( ) 13.09.3,13.09.0 ≈≈− prevojprevoj yy
Prevojne tačke su znači: i . ( )13.0;9.01 −P ( )13.0;9.32P
10.)Grafikon:
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
121. Primer: Ispitati tok i nacrtati grafik logaritamske funkcije x
xy 1ln4= .
Rešenje: Ispitivanje funkcije radimo po utvrđenim tačkama. 1.) Oblast definisanosti:
67
Ispitivanje funkcija Matematička analiza
Logaritamska funkcija je definisana samo za pozitivne argumente, pa mora biti:
01>
x odavde je
0 oblast definisanosti je znači: >x ( )+∞∈ ,0:xD f
2.) Parnost:
( )
−=
−
−=−x
xx
xxf 1ln1ln)( 44 nije ni definisano,
jer 01<−
x, a logaritam negativnog broja nije definisan. Funkcija nije ni parna ni neparna.
3.) Nule: 0=y
01ln4 =x
x
01ln04 =∨=x
x odavde je
1101 =∨=x
x odnosno
10 21 =∨= xxFunkcija ima dve nule, tačke i . ( )0,01N ( )0,12N 4.) Znak: 0ili0 <> yy
01lnili01ln 44 <>x
xx
x
x 0 1 1 ∞+
x1ln
+ -
y + - 5.) Asimptote: VA: nema
jer je 04
lim4
lim4
1
lim1
1lnlim1ln
4
0
5
0
5
2
0
4
0
4
0===
−
−⋅
==+→+→+→+→+→
xx
x
x
xx
x
xx xxxx
lim xx
HA: nema
jer je ( ) −∞=∞−⋅∞=⋅∞=+∞→
0ln1ln4
xxlim x
FA: nema
jer je −∞==∞→∞→ x
xxxf
xx
1lnlim)( 3=k lim ,
u ovom slučaju ne postoji kosa asimptota (zbog ∞ ), pa se ni ne računa. n
68
Matematička analiza Ispitivanje funkcija
6.) Ekstremne vrednosti: 0=′y
011ln41ln411ln4 3332
43 =
−=−=
−⋅⋅+=′
xxx
xx
xxx
xxy
011ln403 =−∨=x
x odavde je
411ln01 =∨=
xx
, ali iz fDx ∉= 01411 e
x= sledi da je
78.014
≈=e
x stacionarna tačka funkcije.
7.) Tok: 0ili0 <′>′ yy
011ln4ili011ln4 33 <
−>
−
xx
xx
x 0 41−e 41−e ∞+3x + +
11ln4 −x
+ –
y′ + – y ↑ ↓
Iz tablice čitamo da u stacionarnoj zački 4
1e
x = funkcija ima lokalni maksimum:
09.041
411ln1ln)( 4
11
41
4
41
41
max ≈=⋅=⋅=⋅
= −
−
−−
eeee
eeey
09.0,14 e
Max
8.) Prevojne tačke: 0=′′y
−⋅⋅⋅+
−=′′ 2
32 1411ln43x
xxx
xy
222 431ln12 xxx
xy −−=′′
22 71ln12 xx
xy −=′′
071ln122 =
−=′′
xxy ako je
071ln12ili02 =−=x
x odavde je
69
Ispitivanje funkcija Matematička analiza
, i fDx ∉= 01271
=x
ln odnosno
1271 e
x= znači
56.01112 7
127 ≈==
eex je stacionarna tačka funkcije.
9.) Konveksnost: 0ili0 <′′>′′ yy
071ln12ili071ln12 22 <
−>
−
xx
xx
Iz tablice čitamo da je 12 7
1e
x = prevojna tačka funkcije, jer u ovoj tački kriva menja
konveksnost: 056.01271ln11
3 7
12 7
4
12 712 7inf ≈⋅=
=
ee
eey .
x 0 127−e 127−e + ∞
71ln12 −x
+ –
y ′′ + – y ∪ ∩
Prevojna tačka je . ( )056.0;56.0P
10.)Grafikon:
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 -4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
70
Matematička analiza Ispitivanje funkcija
122. Primer: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
+=
xy 11arctg .
Rešenje: Ispitivaćemo funkciju po predviđenim tačkama.
1.) Oblast definisanosti: Funkcija arctgx je definisana za sve argumente, zato postavljamo samo jedan uslov za određivanje oblasti definisanosti: 0≠x . { }0\RD f = 2.) Parnost:
)(11)( xfx
arctgxf ±≠
−=− , funkcija nije ni parna ni neparna.
3.) Nule: 0=y
011arctg =
+
x za
011 =+x
odavde je
11−=
x odnosno
1, funkcija znači ima jednu nulu, tačku . −=x ( )0,1−N 4.) Znakl: 0ili0 <> yy
011arctgili011arctg <
+>
+
xx
x ∞− -1 -1 0 0 ∞+y + – +
5.) Asimptote:
VA: nema
( )2
-arctg11arctglim0
π−=∞=
+
−→ xx
( )2
arctg11arctglim0
π=∞=
+
+→ xx
HA: 4π
=y
4
arctg111arctglim π==
+
−∞→ xx
4
arctg111arctglim π==
+
∞→ xx
71
Ispitivanje funkcija Matematička analiza
FA: nema jer ima horizontalnu.
6.) Ekstremne vrednosti: 0=′y
( )
01
11111
12222 ≠
++−
=
−⋅
++
=′xxx
x
y ,
a to znači da funkcija nema lokalne ekstreme.
7.) Tok: 0ili0 <′>′ yy
( ) ( )
01
1 ili01
12222<
++−
>++
−xxxx
x ∞− 0 0 ∞+y′ – – y ↓ ↓
Iz tablice čitamo da je funkcija u čitavoj oblasti definisanosti opadajuća i nema ekstreme.
8.) Prevojne tačke: 0=′′y
( )( ) ( )
0122
2412
12222222=
++
+=
+++
++=′′
xxx
xxxxxy ako je
0 odnosno 24 =+x
21
−=x je moguća prevojna tačka.
9.) Konveksnost: 0ili0 <′′>′′ yy
( ) ( )
0122
24 ili0122
242222 ++
+>
++
+
xxx
xxx
x ∞− 21− 21− 0 0 + ∞
24 +x - + + y ′′ - + + y ∩ ∪ ∪
Iz tablice čitamo da je 21
−=x prevojna tačka funkcije, i:
( ) ( )4
1-arctg21arctg21
infπ
−==−=
−y .
Prevojna tačka je znači
−−
4,
21 πP .
72
Matematička analiza Ispitivanje funkcija
10.)Grafikon:
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3
-2
-1
0
1
2
3
ZADACI ZA VEŽBU: 126. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije . 23 3x xy −=
127. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije xy −= 2x-x .
128. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije 1x
6x2 +
=y .
129. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije x1x +=y .
130. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije ( )4x16
2 −=
xy .
131. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije xy −+= 4x .
73
Ispitivanje funkcija Matematička analiza
132. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije 3 2x-1=y .
133. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije 2x-4
4=y .
134. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije 3 2 1x
x−
=y .
135. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije . -xexy ⋅=
136. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije . 14x-8x 2
e −=y
137. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije . ( ) 22x2 xey −+=
138. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije x
lnx=y .
139. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije x
xyln
= .
140. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije . ( ) ( )1ln1 2 ++= xxy
141. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije ( )-xey += 1ln .
142. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije . xxy arctg⋅=
143. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije . xxy arctg2+=
144. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije xxy arctg2+= .
145. Zadatak: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije . xxy =
74
Neodređeni integrali Matematička analiza
5. Neodređeni integrali Definicija: Ako je funkcija neprekidna nad nekim intervalom, i u svakoj tački tog
intervala važi da je , tada je , gde je nepoznata konstanta, a je primitivna funkcija od funkcije . Primitivnu funkciju drugačije zovemo i neodređenim integralom podintegralne funkcije, a postupak nalaženja svih primitivnih funkcija postupkom integraljenja.
)(xf)()( xfxF =′
)(xFcxFdxxf +=∫ )()()(xf
c
Neodređeni integral je inverzna operacija od diferenciranja, znači da pravila integraljenja možemo da izvedemo iz pravila diferenciranja. Najednostavnija pravila su: Pravila integraljenja:
1. ( ) dxxfdxx )() =∫ fd (
2. ∫ df ( += cxfdxx )()
3. ∫ ∫ , c ⋅=⋅ dxxfcdxxfc )()( .const=
4. ( )∫ ∫ ∫±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()( Bez obzira da je integraljenje obrnuta operacija od diferenciranja, postupak integraljenja se ipak ne može tako ''šablonski'' izvoditi kao postupak diferenciranja. Podintegralnu funkciju uvek treba dovesti na takav oblik, na koji se može primeniti neka formula ili smena. Baš zbog toga, da bismo naučili ''integraliti'' moramo jako puno zadataka da vežbamo. Nikad ne treba zaboraviti da se rezultat integrala može kontrolisati, naime izvod primitivne funkcije uvek mora biti podintegralna funkcija. Kod integraljenja složenih funkcija podintegralnu funkciju treba svesti na integral neke jednostavnije funkcije. To se može postići odgovarajućim smenama. Najednostavnije integrale, takozvane tablične integrale, dobijamo iz tablice izvoda elementarnih funkcija, tako da izvode elementarnih funkcija uzimamo za podintegralne funkcije:
75
Matematička analiza Neodređeni integral i
Tablica osnovnih integrala 1. ∫ += cxdx
2. ∫ −≠++
=+
1,1
1
ncnxdxx
nn
3. cxx
dx+=∫ ln
4. ∫ += cedxe xx
5. ( )1,0,ln
≠>+=∫ aaca
adxax
x
6. ∫ +−= cxdxx cossin 7. ∫ += cxdxx sincos
8. cxx
dx+=∫ tg
cos2
9. cxx
dx+−=∫ ctg
sin 2
10. ∫ +=−
cxx
dx arcsin1 2
11. ∫ +=+
cxx
dx arctg1 2
12. cxxx
dx+±+=
±∫ 1ln
12
2
13. cdxxdxx +=∫ chsh 14. cdxxdxx +=∫ shch
15. cxx
dx+=∫ th
ch 2
16. cxx
dx+−=∫ cth
sh 2
76
Neodređeni integrali Matematička analiza
Prvo ćemo rešiti nekoliko integrala u kojima treba primeniti samo pravila i tablične integrale: 123. Primer: Rešiti neodređeni integral . ∫ dxxa 625
Rešenje: cxacxadxxadxxa +=+== ∫∫ 727
26262
75
7555 .
124. Primer: Rešiti neodređeni integral ∫ dxpx2 .
Rešenje: =+=== ∫∫∫ cxpdxxpdxxpdxpx
23
222223
21
cxxp
cxp
+=+322
322 2 3= .
125. Primer: Rešiti neodređeni integral . ( )∫ ++ dxxx 386 2
Rešenje: ( ) =+++=++=++ ∫ ∫ ∫∫ cxxxdxdxxdxxdxxx 32
83
638638623
22
= . cxxx +++ 342 23
126. Primer: Rešiti neodređeni integral ∫ dxx
dxn
.
Rešenje: cn
xnxcxn
ncxn
nc
n
xdxxdxx
dx nn nn
nnn
n+
−⋅
=+−
=+−
=+−
==−
−−
−−
∫∫ 11111
111
111
.
127. Primer: Rešiti neodređeni integral . ∫ dxe xx3
Rešenje: ( ) ( )( )
( ) cece
ece
edxedxexxxx
xxx ++
=++
=+== ∫∫ 3ln13
ln3ln3
3ln333 .
128. Primer: Rešiti neodređeni integral ∫ xxdx .
77
Matematička analiza Neodređeni integral i
Rešenje: cx
cxdxxx
dxxx
dx+
−=+
−===
−−
∫∫∫2
2121
23
23 .
5.1. Integraljenje metodom smene promenljivih Neka je , gde je nova promenljiva. Pretpostavimo da je diferencijalni količnik funkcije , funkcija neprekidna na nekom zatvorenom intervalu, i da je
.Tada važi da je:
( )tx ϕ=( )tx ϕ=
t( )tϕ′
( ) 0≠′ tϕ( )[ ] ( )dtttfdxxf ϕϕ ′=∫ ∫)( .
Pomoću ove formule možemo rešavati neodređene integrale metodom smene promenljivih. Funkciju treba birati tako, da desna strana formule bude što jednostavnija. ϕ 129. Primer: Rešiti neodređeni integral . ( )∫ + dxx 61
Rešenje: ( ) ( )∫∫ ++=+====+
=+ cxctdttdtdx
txdxx 7
766 1
71
71
1 .
130. Primer: Rešiti neodređeni integral ( )∫ − 32x
dx .
Rešenje: ( ) ( )
cx
ctdtttdt
dtdxtx
xdx
+−−
=+−
=====−
=− ∫∫∫
−−
2
23
33 221
22
2.
131. Primer: Rešiti neodređeni integral ∫ + 92xdx .
Rešenje: ∫∫∫∫∫ =+
=+
==
==
+
=+
=+ 13
11
391
33
13
91
19
91
9 22222 tdt
tdt
dtdx
tx
xdx
xdx
xdx
cxct +=+=3
arctg31arctg
31 .
78
Neodređeni integrali Matematička analiza
132. Primer: Rešiti neodređeni integral . ( )∫ + dxx 32sin
Rešenje: ( ) ( ) ( ) cxctdttdtdxdtdx
txdxx ++−=+−==
=
==+
=+ ∫∫ 32cos21cos
21
2sin
2
232
32sin .
133. Primer: Rešiti neodređeni integral ∫ + xdxcos1
.
Rešenje: ====
====+ ∫∫∫∫∫ t
dtt
dt
dtdx
tx
xdx
xdx
xdx
2222 coscos
221
22
2cos2
1
2cos2cos1
cxct +=+2
tgtg= .
134. Primer: Rešiti neodređeni integral ∫ − 223 xxdx .
Rešenje: cxcttdt
t
dt
dtxdxdtxdxtx
xxdx
+−−=+−=−=−
=
−=
=−=−
=− ∫∫∫ 2
2
2 23ln41ln
41
414
4
423
23.
135. Primer: Rešiti neodređeni integral dxxx∫ − 932 .
Rešenje: =+=+===
=
==−
=− ∫∫∫ ctctdttdttdtdxxdtdxxtx
dxxx 323
21
2
2
3
32
92
233
131
33
39
9
( ) cxxctt +−−=+ 9992
92 33= .
136. Primer: Rešiti neodređeni integral ( )∫
++ 11 22 xxxdx .
79
Matematička analiza Neodređeni integral i
Rešenje: ( ) ∫∫ ∫∫ =+
−⋅====
=
==+
=++
−−
ctdttt
dttt
dt
dtxdxdtxdxtx
xxxdx
212
121
212
2
21
11
21
23
23
2
22
cx
ct
++
−=+
−=
111
2.
137. Primer: Rešiti neodređeni integral ∫ ++ dx
xee
x
x 1 .
Rešenje: ( ) cxecttdt
dtdxetxe
dxxe
e xx
x
x
x
++=+===+=+
=++
∫∫ lnln1
1 .
138. Primer: Rešiti neodređeni integral dxxx
∫ln .
Rešenje: cxctdttdtx
dxtx
dxxx
+=+===
== ∫∫ 2
2
ln21
2
lnln .
139. Primer: Rešiti neodređeni integral . ∫ dxxx cossin 5
Rešenje: cxctdttdtdxx
txdxxx +=+==
==
= ∫∫ 66
55 sin61
6cossin
cossin .
140. Primer: Rešiti neodređeni integral ∫ + 3sin2sin
2 xdxx .
Rešenje: =++=+===
==+
=+ ∫∫ cxct
tdt
dtdxxdtdxxx
tx
xdxx 3sinlnln
sincossin2
3sin
3sin2sin 2
2
2
2
( ) cx ++= 3sinln 2 .
80
Neodređeni integrali Matematička analiza
ZADACI ZA VEŽBU: Metodom smene promenljivih rešiti sledeće intgerale:
146. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫ − dxxx 1 smenom tx =−1 .
147. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫ − 25xdx smenom 5 . tx =− 2
148. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫ +1xxdx smenom tx =+1 .
149. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫+ x
dxx2sin1
cos smenom sin . tx =
150. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ( ) dxxx
∫− 2
2
1arcsin .
151. Zadatak: Rešiti neodređeni integral . ( )∫ + dxbxa n
152. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫− 2xa
dx ako je . 0>a
153. Zadatak: Rešiti neodređeni integral dxxx
x∫ ++
+1
122 .
154. Zadatak: Rešiti neodređeni integral . ( )∫ + dxxbxa n2
155. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫+ ax
dx2
ako je . 0>a
156. Zadatak: Rešiti neodređeni integral . ∫ dxxxn cossin
157. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ( )∫
+nx
xdx12
ako je . 1≠n
158. Zadatak: Rešiti neodređeni integral . ∫ dxxtg
159. Zadatak: Rešiti neodređeni integral . ∫ dxxctg
160. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ako je . ∫ dxa x6 0>a
81
Matematička analiza Neodređeni integral i
161. Zadatak: Rešiti neodređeni integral . ∫ + dxe bax
162. Zadatak: Rešiti neodređeni integral . ( )dxxx∫ +1sin 2
163. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ( )∫ 5ln xx
dx .
164. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫++ dxx
xxx2
32
costg5tg3tg .
165. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫+ 41 x
xdx smenom . tx =2
5.2. Parcijalna integracija Ako funkcije u i imaju neprekidne izvode nad nekim intervalom, tada u tom intervalu važi formula za parcijalnu integraciju: .
)(xf= )(xgv =
∫ ∫−= duvvudvu Primenom ove formule računamo neodređene integrale nekih proizvoda, naime integral svodi se na integral , za koji se pretpostavlja da se može lakše rešiti od prethodnog integrala. Formula se primenjuje tako, da podintegralnu funkciju uzimamo kao jedan proizvod, gde se jedan faktor bira za a drugi za dv . Iz faktora diferenciranjem dobijamo faktor du , a integraljenjem faktora računamo , koji se posle uvrštavaju u formulu za parcijalnu integraciju. Za faktor u po mogućnosti treba birati takav faktor, koji se diferenciranjem pojednostavljuje, a za dv faktor koji se može integraliti.
∫ dvu ∫ duv
u udv v
141. Primer: Parcijalnom integracijom rešiti neodređeni integral . ∫ dxex x
Rešenje:
( ) cxeceexdxeexedxevdxdu
dxedvxudxex xxxxx
xx
xx +−=+−=−=
=====
= ∫∫∫ 1 .
82
Neodređeni integrali Matematička analiza
142. Primer: Parcijalnom integracijom rešiti neodređeni integral . ∫ dxxln
Rešenje:
∫∫∫∫ =+−=−=−====
=== cxxxdxxx
xdxxxxxdxv
xdxdu
dxdvxudxx lnlnln
lnln
. ( ) cxx +−= 1ln
143. Primer: Parcijalnom integracijom rešiti neodređeni integral . dxxx∫ sh
Rešenje:
cxxxdxxxxxdxxvdxdudxxdvxu
dxxx +−=−====
=== ∫∫∫ shchchchchsh
shsh .
144. Primer: Parcijalnom integracijom rešiti neodređeni integral ( )∫+
22
2
1 xdxx .
Rešenje:
( )
( )
( ) ( )=
+−
=−⋅===
=+=
+==
+==
=+ ∫ ∫
∫22
2
22
22
22
2
1211
21
21
2
1
1
1
1xtt
dtdtxdxtx
xxdxvdxdu
xxdxdvxu
xdxx
( )
cx
xx
x
dx
x
x+
+−=
++
+
−∫ 222 1
arctg21
121
12= .
145. Primer: Parcijalnom integracijom rešiti neodređeni integral . ∫ dxxe x sin
Rešenje: =−====
=== ∫∫∫ dxxexe
edxevdxxdudxedvxu
dxxe xxxx
xx cossin
cossin
sin
( )∫∫+−=
==−===
dxxexexeedxevdxxdu
dxedvxu xxxxx
x
sincossinsincos
=
83
Matematička analiza Neodređeni integral i
ako napišemo samo početak i kraj, tada dobijamo da je
∫ ∫ +−−= cdxxexexedxxe xxxx sincossinsin
a odavde je
( ) cxxedxxe xx +−=∫ cossinsin2
rešenje početnog integrala je prema tome:
( ) cxxedxxex
x +−=∫ cossin2
sin .
ZADACI ZA VEŽBU: Metodom parcijalne integracije rešiti sledeće neodređene integrale: 166. Primer: Rešiti neodređeni intgeral . ∫ dxxarctg
167. Primer: Rešiti neodređeni intgeral . ∫ dxxarcsin
168. Primer: Rešiti neodređeni intgeral . ∫ −⋅ dxx x2
169. Primer: Rešiti neodređeni intgeral ∫ dxexx .
170. Primer: Rešiti neodređeni intgeral . ∫ dxxx ln2
171. Primer: Rešiti neodređeni intgeral . ∫ dxx2ln
172. Primer: Rešiti neodređeni intgeral . ∫ dxxx 3cos
173. Primer: Rešiti neodređeni intgeral . ∫ dxxe x cos
174. Primer: Rešiti neodređeni intgeral . ∫ dxxx sin3
175. Primer: Rešiti neodređeni intgeral ( )∫ ++ dxxx 21ln .
84
Neodređeni integrali Matematička analiza
5.3. Integral racionalne funkcije
Racionalne funkcije se mogu predstaviti kao količnik dva polinoma:)()()(
xQxPxf = . Ako
je tada je funkcija .)( constxQ =)()()(
xQxPxf = u stvari samo jedan polinom, čije integraljenje
ne predstavlja nikakvu teškoću. Ako jepolinom nižeg reda od polinoma , tada
funkcija
)(xQ )(xP
)()(
xQxP)(xf =
)(xP
nije prava racionalna funkcija (već je neprava). U ovom slučaju
polinom treba podeliti sa polinomom Q , i na taj način izdvojiti celi deo i pravi
razlomljeni deo:
)(x
)()(
)()( 21 xQ
xPxPxf += . Prema tome integraljenje bilo koje racionalne funkcije
možemo da svedemo na integral jednog polinoma i na integral jedne prave racionalne
funkcije. Integral prave racionalne funkcije najčešće možemo integraliti ako prethodno datu
funkciju rastavimo na parcijalne sabirke, zatim ih integralimo član po član.
)(xf
146. Primer: Rešiti neodređeni integral ∫ + xxdx
52 .
Rešenje: Podintegralna funkcija xx
xf5
1)( 2 += je parava racionalna funkcijaum kojem se
imenilac može faktorisati, pa je:
( )∫∫ +=
+=
552 xxdx
xxdxI .
Prema uputsvu, rastavimo podintegralnu funkciju na zbir parcijalnih sabiraka:
( ) 551
++=
+ xB
xA
xx
1 ( ) xxA ++= 5
1 BxAAx ++= 5
1 ( ) AxBA 5++=
dva polinoma su jednaka ako su jednaki odgovarajući koeficijenti:
150
==+
ABA
85
Matematička analiza Neodređeni integral i
a rešenja ovog sistema su:
51
51
−=
=
B
A
znači da funkciju xx
xf5
1)( 2 += možemo rastaviti na zbir parcijalnih sabiraka na sledeći
način: ( )551
51)(
+−=
xxxf . Nastavljamo postupak integraljenja:
( )∫∫ +−=
555 xdx
xdxI
dtdx
txxdx
xdx
==+
=+
−= ∫∫5
551
51I
smena se odnosi samo na drugi integral,
∫−=tdtx
51ln
51I
cx
xctxctx +
+=+=+−=
5ln
51ln
51ln
51ln
51I
( ) cx
xxxdx
++
=+∫ 5
ln51
5.
147. Primer: Rešiti neodređeni integral dxxx
x∫ +−
+23
12
3
.
Rešenje: Podintegralna funkcija je neprava racionalna funkcija 23
1)( 2
3
+−+
=xx
xxf , zato
deljenjem brojioca sa imeniocem izdvajamo celi deo i pravi razlomljeni deo:
23
57323
122
3
+−−
++=+−
+xx
xxxx
x
dxxx
xdxdxxdxxx
x∫∫∫∫ +−
−++=
+−+
23573
231
22
3
I++=+−
−++=
+−+
∫∫ xxdxxx
xxxdxxx
x 3223
573223
1 2
2
2
2
3
gde je
dxxx
x∫ +−
−=
2357
2I
integral prave racionalne funkcije, a podintegralnu funkciju razbijamo na zbir parcijalnih sabiraka:
86
Neodređeni integrali Matematička analiza
( )( ) 121257
2357
2 −+
−=
−−−
=+−
−x
Bx
Axx
xxx
x
7 ( ) ( 215 −+−=− xBxAx ) 7 BBxAAxx 25 −+−=−
7 ( ) BAxBAx 25 −−+=−
odavde izjednačavanjem odgovarajućih koeficijenata dobijamo sistem jednačina:
52
7−=−−
=+BABA
9
22=−=⇒=−
ABB
znači
∫∫∫∫∫ −−
−=
−−
−=
+−−
=1
22
91
22
923
572 x
dxxdx
xdx
xdxdx
xxxI
neka je smena u prvom integralu dtdx
tx==− 2
,
a smena u drugom integralu dzdx
zx==−1
,
tada je
cztz
dztdt
+−=−∫ ∫ ln2ln92= 9I
odnosno
cxx +−−−= 1ln22ln9I
a rešenje integrala je:
cxxxxdxxx
x+−−−++=
+−+
∫ 1ln22ln93223
1 2
2
3
.
148. Primer: Rešiti neodređeni integral ∫ +−− dx
xxx
24231
2 .
Rešenje: ( ) ( )dx
xxdx
xxxdx
xxx
∫∫∫ −−
=+−
−=
+−−
222 131
21
12231
24231
87
Matematička analiza Neodređeni integral i
Podintegralna funkcija je prava racionalna funkcija, odmah rastavljamo na zbir parcijalnih
sabiraka:
( ) ( )22 111
31−
+−
=−−
xB
xA
xx
1 ( ) BxAx +−=− 13
1 BAAxx +−=− 3
odavde izjednačavanjem odgovarajućih koeficijenata računamo vrednosti nepoznatih i , A B
1
3=+−−=
BAA
32
−=−=
AB
Posle rastavljanja na zbir parcijalnih sabiraka treba da rešimo sledeće neodređene integrale:
( )
−−
+−−
=+−
−∫∫∫ dx
xdx
xdx
xxx
22 12
13
21
24231
( ) dtdx
txx
dxxdxdx
xxx
==−
=−
−−
−=
+−−
∫∫∫1
1123
24231
22
ct
tctttdt
tdtdx
xxx
++−=+−
−−=−−=+−
− −
∫∫∫1ln
23
1ln
23
23
24231 1
22
cxx
dxxxx
+−−−
=+−
−∫ 1ln
23
11
24231
2 .
149. Primer: Rešiti neodređeni integral dxxx
x∫ +−
+52
32 .
Rešenje: Imenilac podintegralne funkcije ne možemo rastaviti na linearne faktore jer diskriminanta kvadratne jednačine je negativna: , pa jednačina nema realne korene. U ovakvim slučajevima imenilac treba svesti na kanonički oblik, posle čega odgovorajućom smenom možemo rešiti dati integral.
0522 =+− xx 016 <−=D
( ) ( )=
=+==−
=+−
+=
+−+−+
=+−
+∫ ∫∫
dtdxtx
txdx
xxdx
xxxdx
xxx 1
1
413
51123
523
222
===+
=+
++
=++
=++
= ∫ ∫ ∫ ∫ dztdtzt
tdt
tdttdt
ttdt
tt
24
44
42
21
482
21
44 2
2222
navedenu smenu ćemo primeniti u prvom integralu, a drugi integral možemo svesti na tablični integral,
88
Neodređeni integrali Matematička analiza
=+
++==
==
+
+=+
+ ∫∫∫∫ 124ln
21
22
12
ln21
14
44
21
22
22 sdst
dsdt
st
tdtz
tdt
zdz
=
=+++=+++ cttcst2
arctg24ln21arctg24ln
21 22=
( ) cxx +++−2
1-arctg241ln21 2=
rešenje je znači
cxxxdxxx
x+
−++−=
+−+
∫ 21arctg252ln
21
523 2
2 .
150. Primer: Rešiti neodređeni integral dxxx∫ +− 1132
12 .
Rešenje: Imenilac podintegralne funkcije nema realne korene, jer kvadratna jednačina
ima negativnu diskriminantu . Zbog toga podintegralnu funkciju ne možemo rastaviti na zbir parcijalnih sabiraka, postupamo slično kao u prethodnom zadatku.
01132 2 =+− xx 079 <−=D
==
=−=
+−
−
=+−
=+− ∫∫∫
dtdx
tx
x
dx
xx
dxdxxx 4
3
211
169
432
1
211
232
11132
12
22
==
==
+
=
+⋅=
+∫∫∫
dzdt
zt
t
dttdt
t
dt
479
794
179479
8
179
1616792
1
16792
122
2=
=+=+=+
⋅ ∫ cczz
dz794tarctg
792arctg
792
1479
798
2=
cc +=+
793-4xarctg
792
7943-x4
arctg792
=
rešenje je znači
cxdxxx
+
−=
+−∫ 793
794arctg
792
11321
2 .
151. Primer: Rešiti neodređeni integral ( )( )
dxxxx
xxxx∫
+++
++++22
234
22192530154 .
89
Matematička analiza Neodređeni integral i
Rešenje: Podintegralna funkcija je prava racionalna funkcija, jer je brojilac polinom četvrtog stepena a imenilac polinom petog stepena. Polinom u imeniocu se ne može rastaviti na linearne faktore, znači da funkciju rastavljamo na parcijalne sabirke u obliku u kojem je i zadat:
222 ++ xx
( )( ) ( )22222
234
2222122192530154
++
++
+++
++
=+++
++++
xxEDx
xxCBx
xA
xxxxxxx
( ) ( )( )( )( )( )1
2212292530154 222234
+++++++++++=++++
xEDxxxxCBxxxAxxxx
( )( ) ( )( 12222)(
8444492530154223
2324234
++++++++++
++++++=++++
xEDxxxxxxCBxxxxxxAxxxx
)
( ) ( )( )( )1
243)(488492530154 23234234
+++++++++++++=++++
xEDxxxxCBxxxxxAxxxx
( ) ( )( ) ( ) ( )1243
243488492530154223
234234234
++++++++
+++++++++=++++
xExxDxxxCxxxxBxxxxAxxxx
( ) ( ) ( )( ) ( )ECAxEDCBA
xDCBAxCBAxBAxxxx++++++++
+++++++++=++++24428
3483492530154 234234
izjednačavanjem koeficijenata kod odgovarajućih stepena dobijamo sledeći sistem jednačina:
8
CAEECAEDCBA
DCBACBA
ABBA
2499242542830341534
44
−−=⇒=++=++++=+++=++
−=⇒=+
uvrštavajući i u ostale tri jednačine: B E
8252494288
303416153124
=−−+++−+=++−+
=+−+
CADCAADCAA
CAA
8221434
33
=++=++
−=⇒=+
DCADCA
ACCA
826214394
=+−+=+−+
DAADAA
90
Neodređeni integrali Matematička analiza
2
5=
=+D
DA
odavde je . Podintegralna funkcija astavljena na
parcijalne sabirka ima oblik:
3,1,0,3,2 −===== EBCAD
( )( ) ( )22222
234
2232
2213
22192530154
++
−+
+++
+=
+++
++++
xxx
xxx
xxxxxxxx
a traženi integral je
( )( ) dx
xxxxxxx
∫+++
++++= 22
234
22192530154I
( )∫∫∫++
−+
+++
+= dx
xxxdx
xxxdx
x 222 2232
2213I
( )( ) 32122
234
22192530154 III ++=
+++
++++= ∫ dx
xxxxxxxI
gde smo sa I redom označili integrale parcijalnih sabiraka. Rešavajmo ih: 3,21 , II
11 1ln31
3 cxdxx
++=+
= ∫I
∫∫∫ ∫ ++−
+++
=++−+
=++
=2222
2221
22222
21
22 22222 xxdxdx
xxxdx
xxxdx
xxxI
uvedimo smenu ( ) dtdxx
txx=+=++
22222
u prvom integralu, tada je
( ) 2222 arctgln21
1ln
211
1121 czt
zdzt
dzdxzx
xdx
tdt
+−=+
−===+
=++
−= ∫∫∫I
( ) 22
2 1arctg22ln21 cxxx ++−++=I
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫++
−++
+=
++
−+=
++
−= 222222223
225
2222
22522
2232
xxdxdx
xxxdx
xxxdx
xxxI
u prvom integralu uvedimo istu smenu kao u integralu , tada je 2I
91
Matematička analiza Neodređeni integral i
( )( ) ( ) ( )dz
zzz
tzdzt
dzdxzx
x
dxtdt
∫∫∫∫+
−+−−=
+−
−=
==+
=++
−=−
22
22
22
1
22231
1511
51
1
115I
( ) ( )∫∫∫+
⋅+−
++−
=+
++
−++
−= 22222
2
2231
5arctg522
11
51
522
1z
zdzzzxx
dzz
zz
dzxx
I
poslednji integral se rešava metodom parcijalne integracije (rešen je u 144. primeru):
( ) 3223 1arctg
2151arctg5
221 c
zzzx
xx+
+−⋅++−
++−
=I
( ) ( ) ( )( ) 3223 222
151arctg251arctg5
221 c
xxxxx
xx+
+++
−+++−++
−=I
( ) ( ) 323 222751arctg
25 c
xxxx +
+++
−+−=I
Ako ove rezultate uvrstimo u originalni integral, dobijamo da je:
( ) ( ) ( ) 32122
222751arctg
251arctg22ln
211ln3 ccc
xxxxxxxx +++
+++
−+−+−++++=I
a posle sređivanja izraza rezultat je:
( ) ( ) cxx
xxxxx +++
+−+−++++=
222751arctg
2722ln
211ln3 2
2I .
ZADACI ZA VEŽBU:
176. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ( )( )∫ ++ bxaxdx .
177. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ( )( )( )∫ ++− 321 xxxdx .
178. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫ +−+− dx
xxxx
6595
2
2
.
179. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ( )∫ + 21xx
dx .
92
Neodređeni integrali Matematička analiza
180. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫ −− dx
xxx
3
3
41 .
181. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ( ) dxxx
xx∫ +
++11
2
3
.
182. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫ +13xdx .
183. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ( )( )∫
+++22 11 xxx
dx .
184. Zadatak: Rešiti neodređeni integral dxx
x∫ −14
4
.
185. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ( )
dxxx
x∫
+−
+22
3
541 .
5.4. Integrali iracionalnih funkcija Integrale iracionalnih funkcija odgovarajućim smenama možemo svesti na integrale racionalnih funkcija. Razne tipove iracionalnih integrala rešavamo različitim smenama. Obradićemo ih po tipovima podintegralnih funkcija i u svakom slučaju ćemo zadati odgovarajuće smene, pomoću kojih se dati integrali svode na integrale racionalnih funkcija. Za svaki tip ćemo detaljno izraditi po jedan ili dva primera.
Iracionalni integral tipa dxdcxbax
dcxbaxxR
qp
qp
∫
++
++ ,...,, 2
2
1
1
, gde je racionalna
funkcija a su celi brojevi, rešavaju se smenom
R
,...,,, 2211 qpqp ntdcxbax=
++ , gde je
najmanji zajednički sadržalac brojeva .
n
,..., 21 qq 152. Primer: Rešiti neodređeni integral dxxx∫ +⋅3 34 .
93
Matematička analiza Neodređeni integral i
Rešenje: Podintegralna iracionalna funkcija je navedenog tipa, pa možemo uvesti predloženu smenu:
( )
( ) ( ) cxxxcxx
cttcttcttdttdtt
dtttdtttt
dttdxdttdx
txtx
dxxx
+
−++
=+
−
++=
=+
−=+−=+−=−=
=−=⋅⋅−
===
−=⇒=+
=+⋅=
∫∫
∫∫∫
733
334341
734
334
17332143
473
134
31
431
3433
3434
34
33 4
34474736
3323 33
2
2
33
3I
rešenje je:
( )( ) cxxxdxxx +++−
=+⋅= ∫ 73434134
33I .
153. Primer: Rešiti neodređeni integral ∫ −−− 4 1212 xxdx .
Rešenje: ( ) ( )∫∫
−−−=
−−−=
41
214
12121212 xx
dxxx
dxI ,
Iz ovog načina zapisivanja podintegralne funkcije vidimo da se ona može uvrstiti u dati tip iracionalnog integrala. Primenimo zato predloženu smenu:
( ) ( )∫ ∫∫∫ −
=−
====−
=−−−
=−−−
=1
22
242
12
12121212
2
2
3
3
3
4
41
214 t
dtttt
dtt
dttdxdttdxtx
xx
dxxx
dxI
znači da smo dati integral smenom sveli na integral racionalne funkcije, koji rešavamo na način kako smo to pokazali kod integrala racionalnih funkcija. Rastavimo podintegralnu funkciju na celi deo i na prvi razlomljeni deo:
1
111
111
22
−++=
−+−
=− t
tt
ttt
tada je:
∫ ∫ ∫∫ ==−
=−
++=
−++=
dzdtzt
tdtdtdttdt
tt
11
2221
112I
navedenu smenu treba primeniti u poslednjem integralu. Posle smene:
94
Neodređeni integrali Matematička analiza
ctttczttz
dztt+−++=+++=++= ∫ 1ln22ln2222
22 22
2
I
vratimo se na promenljivu : x
( ) cxxxxx
dx+−−+−+−=
−−−= ∫ 112ln212212
1212444 2
4I
( ) cxxxxx
dx+−−+−+−=
−−−= ∫
2444
112ln122121212
I .
154. Primer: Rešiti neodređeni integral ∫ +− dx
xxx
11 .
Rešenje: Primenimo predloženu smenu:
( )( )∫∫∫−
⋅⋅−+
=
−=
−+
=
=+−
=
+−
=+−
= 22
22
2
22
2
2
2
21
14
11
14
11
11
11
11
ttdtt
tt
ttdtdxt
tx
txx
dxxxxdx
xxxI
( ) ( ) ( )
dttt
ttdtttt
∫∫ +−+
=−
+= 33
24
32
24
114
14I
Dobili smo integral prave racionalne funkcije, pa podintegralnu funkciju rastavljamo na zbir parcijalnih sabiraka:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )323233
24
11111111 tF
tE
tD
tC
tB
tA
tttt
++
++
++
−+
−+
−=
+−+
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3332333224 1111111111 tFttEttDtCttBttAtt −+−++−+++++−++−=+
jednakost važi za svako , pa: Rt ∈ ako je t tada je 1=
4182 =⇒= CC
ako je t rada je 1−=
4182 =⇒= FF
ako je t tada 0=
21
41
410 −=+++⇒+++++= EDBAEDBA
ako je t tada je 2=
95
Matematička analiza Neodređeni integral i
227392727
4139
4272727416 =−−−⇒−−−+−=+ EDBAEDBA
ako je tada je 2−=t
227272739
4272727
4139416 =−+−−⇒+−+−−−=+ EDBAEDBA
ako je tada je 3=t
763212812825623212816128256981 =−−−⇒−−−+−=+ EDBAEDBA
iz dobijeni je dnačina sastavljamo sistem
76321281282562
27272739
227392727
21
=−−−
=−+−−
=−−−
−=+++
EDBA
EDBA
EDBA
EDBA
koji za rešenje ima brojeve: 41,
83,
81
==−==== FCEBDA . Rastavimo sada
racionalnu funkciju na zbir parcijalnih sabiraka:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )323233
24
141
183
181
141
183
181
11 tttttttttt
++
+−
++
−+
−−
−=
+−+
a integral je:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫ ++
+−
++
−+
−−
−=
+−+
=′ 323233
24
14183
1814183
1811 tdt
tdt
tdt
tdt
tdt
tdtdt
ttttI
654321 IIIIIII +−++−=′
gde je
11 1ln81
181 ct
tdt
+−−=−
= ∫I
( ) ( ) 222
1
222 183
83
183
831
183 c
tc
zcz
zdz
dzdtzt
tdt
+−
=+=+−
⋅−=−=−==−
=−
=−
∫∫I
( ) ( ) 32323
2
333 181
81
241
411
141 c
tc
zcz
zdz
dzdtzt
tdt
+−
=+=+−⋅−=−=
−==−
=−
=−
∫∫I
96
Neodređeni integrali Matematička analiza
44 1ln81
181 ct
tdt
++=+
= ∫I
( ) ( ) 555
1
225 183
83
183
831
183 c
tc
zcz
zdz
dzdtzt
tdt
++
−=+−=+−
⋅====+
=+
=−
∫∫I
( ) ( ) 62626
2
336 181
81
241
411
141 c
tc
zcz
zdz
dzdtzt
tdt
++
−=+−=+−⋅==
==+
=+
=−
∫∫I
saberimo sada dobijene integrale:
( ) ( ) ( ) ( ) 62543221 181
1831ln
81
181
1831ln
81 c
tc
tctc
tc
tct +
+−−
++++++
−+−
−−+−−=′I
( ) ( )c
tttttt
+
+−
−+
−−
++
−+
=′ 22 11
11
81
11
11
83
11ln
81I
( ) ( )( )
ct
ttt
tttt
+−
−−+⋅+
−−−−
⋅+−+
=′ 22
22
2 111
81
111
83
11ln
81I
( )c
ttttt
tt
tt
+−
−+−++⋅+
−−
⋅+−+
=′ 22
22
2 12121
81
12
83
11ln
81I
II ′= 4
( )c
tt
tt
tt
+−
⋅+−
⋅−−+
= 222 12
13
11ln
21I
vratimo se na početnu promenljivu : x
c
xxxx
xx
xx
xxxx
+
+−
−
+−
⋅+
+−
−
+−
⋅−
+−
−
+−
+= 2
111
11
2
111
11
3
111
111
ln21I
i sredimo dobijeni izraz. Tada dobijamo rešenje početnog integrala:
( ) cxxxxx +−+
+−
−−+=2
112
131ln21 22
2I
97
Matematička analiza Neodređeni integral i
( ) cxxxx +−+−
+−+= 312
11ln21 2
2I
( ) cxxxx +−−
+−+=2
121ln21 2
2I .
ZADACI ZA VEŽBU:
186. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫ −dx
xx
1
3
.
187. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫ + 3 xxdx .
188. Zadatak: Rešiti neodređeni integral dxxx
∫ +−
11
3 .
189. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ( )
dxxx
x∫ +−+
++11
212 .
190. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫ +3 baxdxx .
Iracionalne integrale tipa , gde su racionalni (razlomljeni)
brojevi, zovemo binomnim integralima, i možemo ih rešavati u sledeća tri slučaja:
( )∫ + dxbxax pnm pnm ,,
1. za p integral se svodi na prethodni tip Z∈
2. za Zn
∈+1m treba primeniti smenu , gde je imenilac razlomka sn tbxa =+ s p
3. za Zpn
m∈+
+1 primenjujemo smenu , gde je imenilac razlomka . sn tbax =+− s p
98
Neodređeni integrali Matematička analiza
155. Primer: Rešiti neoređeni integral dxx
x∫
+3 41 .
Rešenje: dxxxdxx
x 31
41
213 4
11∫∫
+=
+ − , znači
31,
41,
21
==−= pnm .
Proverimo sada koji od tri uslova zadovoljavaju ovi brojevi:
1. Z∉=31p , prvi uslov se ne može primeniti
2. Zn
∈==+−
=+ 2
4121
41
121
1m , drugi uslov se može primeniti:
( )( ) ( )
( ) ( )∫ ∫∫ −=−−
=−=−==+
=+
= dtttdtttt
t
dtttdxtx
txdx
xx 112112
11121
11 33233
23
3 3
233
43
341
3 4
I
cttcttdttdtt +
−=+−=−= ∫ ∫ 3
712
412
7121212 34
4736I
vratimo se na početnu promenljivu x :
( ) ( ) cxxxcxx +−+
++=+
−+
+=
72112121131
7121
43 444
43 4I
( ) ( )( ) cxxxcxxx ++−+=+−
++= 3 4444
3 44 134173
791211I .
156. Primer: Rešiti neoređeni integral ( )
∫+ 3
532 2 xx
dx .
Rešenje: ( )
( )∫∫−− +=
+dxxx
xx
dx35
32
35
322
2 , znači
35,3,2 −==−= pnm .
Proverimo sada koji je od tri uslova zadovoljen za ove brojeve:
1. Z∉−=35p , prvi slučaj se ne može primeniti,
2. Zn
m∉−=
+−=
+31
3121 , ni drugi slučaj ne možemo primeniti,
3. Zpn
m∈−=−=−−=+
+ 236
35
311 , treći slučaj je zadovoljen:
99
Matematička analiza Neodređeni integral i
( )( )
( )∫∫
−+
−
−−−
=
−−−=
−=
=+
=+
=
−
35
33
2
3
333
2
333
2
33
33
35
32
122
12
12
1
12
1
12
12
2tt
dttt
t
dttt
tdx
tx
tx
xx
dxI
( ) ( )dt
tt
tt
dtt
t
tt
t
dtt
t
tt
t
dtt
t
∫∫∫∫−
−=
−
−−=
−−
−−=
−−
−−= 3
3
23
5
3
2
3 533 3
53 53
3
2
35
3
33
3
3
2
141
14
1
11
221
12
12
1I
ct
tctttdtdtdt
t+−−=+
−⋅+−=+−=
−−=
−
∫ ∫∫ 2
2
33 81
4241
41
41
4111
41I
vratimo se na početnu promenljivu x , tada je:
( )
cx
xx
xc
x
x+
+⋅−
+−=+
+⋅
−+−=3 23
23 3
3
2
3
33
28
241
128
11241I
( )( ) ( )
cxx
xcxx
xx+
+⋅
+−=+
+⋅
++−=
3 23
3
3 23
33
28
34
28
22I .
ZADACI ZA VEŽBU:
191. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ( ) dxxx 23
23 21−
∫ + .
192. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫+4 41 x
dx .
193. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫+⋅ 24 1 xx
dx .
194. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫+⋅ 3 51 xx
dx .
195. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫+⋅ 3 4 33 1 xx
dx .
100
Neodređeni integrali Matematička analiza
Iracionalne integrale tipa ∫++
dxcbxax
xPn
2
)(, gde je polinom n-tog reda,
rešavamo formulom:
)(xPn
∫∫++
+=++
−cbxax
dxaxxQdxcbxax
xPn
n
2
212
)()(
λ
) λ
++ cbx .
Koeficijente polinoma Q i broj možemo odrediti ako diferenciramo datu jednakost
i izjednačimo odgovarajuće koeficijente ispred odgovarajućih stepena nepoznate x.
(1 xn−
Primer: Rešiti neodređeni integral ∫ + dxxx 422 .
Rešenje: Podintegralnu funkciju treba dovesti na oblik koji je dat u opštem obliku ovog tipa
iracionalnog integrala:
( ) dxx
xxdxxxxdx
xxxxdxxx ∫∫∫∫
+
+=
+
+=
+
+⋅+=+=
44
44
4444
2
24
2
22
2
22222I
∫∫+
++=+
=4
4)(4
)(2
232
4
xdxxxQdx
x
xPλI
( ) ∫∫+
+++++=+
+=
44
4 2
223
2
24
xdxxdcxbxaxdx
xxx λI
diferencirajmo sada gornju jednačinu po nepoznazoj x , tada je:
( ) ( )4
142
24234
422
2322
2
24
++
++++++++=
+
+
xxxdcxbxaxxcbxax
xxx λ
pomnožimo datu jednačinu sa 42 +x :
( )( ) ( ) λ++++++++=+ dcxbxaxxxcbxaxxx 232224 4234
λ++++++++++=+ dxcxbxaxccxbxbxaxaxxx 234232424 4821234
( ) ( ) λ+++++++=+ cxdbxcabxaxxx 48212344 23424
izjednačavanjem odgorajućih koeficijenata dobijamo sledeći sistem jednačina:
101
Matematička analiza Neodređeni integral i
2040082142
0034114
−=⇒=+=⇒=+
=⇒=+
=⇒=
=⇒=
λλcddb
cca
bb
aa
12
vratimo se u integral:
∫∫+
−+
+=
+
+=
424
21
41
4 2
23
2
24
xdxxxxdx
xxxI
dtdx
tx
x
dxxxxdxx
xx
22
12
2241
21
24 2
22
2
24
=
==
+
−+
+=
+
+= ∫∫I
( )∫∫
+−+
+=
+
+=
124
42
4 2
22
2
24
tdtxxxdx
xxxI
( ) cttxxxdxx
xx+++−+
+=
+
+= ∫ 1ln24
42
422
2
2
24
I
( ) cxxxxxdxx
xx+++−+
+=
+
+= ∫ 1
42ln24
42
4
22
2
2
24
I
( ) cxxxxxdxx
xx+
++−+
+=
+
+= ∫ 2
4ln244
2
4
22
2
2
24
I
( ) cxxxxxdxx
xx++++−+
+=
+
+= ∫ 2ln24ln24
42
422
2
2
24
I
( ) 122
3
2
24
4ln244
2
4cxxxxxdx
xxx
+++−++
=+
+= ∫I
102
Neodređeni integrali Matematička analiza
ZADACI ZA VEŽBU:
196. Zadatak: Rešiti neodređeni intgeral ∫+− 12
2
xxdxxx .
197. Zadatak: Rešiti neodređeni intgeral ∫− 2
5
1 xdxx .
198. Zadatak: Rešiti neodređeni intgeral ∫+ 2
6
1 xdxx .
199. Zadatak: Rešiti neodređeni intgeral ∫ + dxxx 92 .
200. Zadatak: Rešiti neodređeni intgeral dxxx∫ −122 .
Iracionalne integrale tipa ( )∫
++− cbxaxxdx
n 2α smenom t
x=
−α1 možemo
dovesti na integrale prethodnog oblika.
158. Primer: Rešiti neodređeni integral ∫−125 xx
dx .
Rešenje: Ako primenimo smenu predloženu za ovaj tip integrala, dobićemo:
∫∫∫∫−
−=−
−=−
−=
−=
=
=
=−
= dtt
t
tt
t
dt
tt
dtt
dtt
dxt
x
tx
xxdx
2
4
2
2
325
2
2
25 111111
1
1
1
1
1I
slično prethodnom zadatku:
( ) ∫∫−
+−+++=− 2
223
2
4
11
1 tdttdctbtatdt
tt λ
diferencirajmo sada ovu jednačinu:
103
Matematička analiza Neodređeni integral i
( ) ( )22
2322
2
4
1122123
1 tttdctbtattcbtat
tt
−+
−
−++++−++=
−
λ
pomnožimo jednačinu sa 21 t− :
( )( ) ( ) λ++++−−++= dctbtatttcbtatt 23224 123
λ+−−−−−−−++= dtctbtatctbtatcbtatt 23423424 2323
( ) ( ) λ++−+−+−−= ctdbtcabtatt 22334 2344
ako izjednačimo odgovarajuće koeficijente, dobićemo sledeći sistem jednačina:
830
00283023
0034114
=⇒=+
=⇒=−
−=⇒=−
=⇒=−
−=⇒=−
λλc
ddb
cca
bb
aa
vratimo se u integral:
∫∫−
+−
−−=
− 2
23
2
4
1831
83
41
1 t
dttttdtt
t
( ) cttttdtt
t++−+−=
−∫ arcsin
83132
4122
2
4
tada je originalni integral:
cttttt
dtt+−−
+=
−−= ∫ arcsin
831
832
12
3
2
4
I
vratimo se na početnu promenljivu:
cxxxxxx
dx+−−
+=
−= ∫
1arcsin831132
81
12325
I
cxx
xx
xxxdx
+−−+
=−
= ∫1arcsin
831
832
1 2
2
3
2
25I
cx
xx
xxx
dx+−−
+=
−= ∫
1arcsin831
832
12
4
2
25I .
104
Neodređeni integrali Matematička analiza
ZADACI ZA VEŽBU:
201. Zadatak: Rešiti neodređeni intgeral ( )∫
++ xxxdx
21 23 .
202. Zadatak: Rešiti neodređeni intgeral ∫+−
++ dxxxx
xx1
12
2
.
203. Zadatak: Rešiti neodređeni intgeral ∫+ 24 1 xx
dx .
204. Zadatak: Rešiti neodređeni intgeral ( )∫
+++ 11 2 xxxdx .
205. Zadatak: Rešiti neodređeni intgeral ( )∫
+− 11 2xxdx .
Iracionalne integrale tipa ( )dxcbxaxxR∫ ++2, možemo rešavati i pomoću
trigonometrijskih ili hiperboličnih smena, ako potkorenu veličinu napišemo u
obliku razlike ili zbira kvadrata. Tada se dati integral može svesti na jedan od sledeća tri
oblika, koje rešavamo sa datim smenama:
cbxax ++2
1) ( )dxxaxR∫ − 22, smena ili: ax = tax sin= tth
2) ( )dxxax + 22,R∫ smena: ili: ax = tax tg= tsh
3) ( )dxaxx − 22,R∫ smena: ili: x = tax sec= ta ch
159. Primer: Rešiti neodređeni integral ( )∫
+++ 221 22 xxxdx .
Rešenje: , dobili smo znači drugi oblik, primenimo zato smenu :
( ) 1122 22 ++=++ xxxtax tg=
( ) ( ) ( )=
+=
=
=+=
+++=
+++= ∫∫∫ 1tgcostgcos
dtdx
tg1
111221 2222
2222 tttdt
t
tx
xx
dxxxx
dxI
105
Matematička analiza Neodređeni integral i
( )( ) =++
−=+
−=+
−=+
−==
==
== ∫∫−
cx
ct
cz
czzdz
dztdtzt
dttt
1arctgsin1
sin11
1cossin
sincos 1
22
( )( )( )( )
cx
xxc ++
++−=+
++
+−
=1
22
11xarctgtg1xarctgtg
1 2
2
.
160. Primer: Rešiti neodređeni integral ( )∫
−− 22 11 xxdx .
Rešenje: Dati integral je prvi oblik od moguća tri oblika, zato je:
( ) ( ) ∫∫∫ =−
=−−
===
=−−
=tt
dtt
tt
dttdttdx
tx
xx
dxcoscos
cos
sin11sin
coscossin
1122222
I
( ) ( )( ) =+−=+−=+−=− ∫ c
xxcxct
tdt
arcsincosarcsinsinarcsintgtg
cos 2
( )c
x
xcx
x+
−−=+
−−=
22 1arcsinsin1
ZADACI ZA VEŽBU:
206. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ∫+ 22
3
xdxx .
207. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ( )∫
+−− 231 2 xxxdx .
208. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ( )∫
−+ 22 11 xxdx .
209. Zadatak: Rešiti neodređeni integral ( )∫
+− 22 11 xxdx .
210. Zadatak: Rešiti neodređeni integral dxx∫ + 22 .
106
Neodređeni integrali Matematička analiza
Iracionalne integrale tipa ( )dxcbxaxxR∫ ++2; možemo rešavati i sa Ojlerovim
smenama:
1) ako kavdratni trinom nema realne korene, cbxax ++2
a) i taxcbxaxa +=++⇒> 20
b) i cxtcbxaxc +=++⇒> 20
2) ako je , gde su realni koreni kvadratnog trinoma,
tada je:
( )( 212 xxxxacbxax −−=++ ) 21 , xx
a . ( ) ( ) 221 txxxx −=−
161. Primer: Ojlerovim smenama rešiti iracionalni intgeral dxx+ 22∫ .
Megoldás: Potkorena kvadratna veličina nema realne korene i a , zato
primenjujemo smenu 1) a) :
22 +x 01 >=
22 /2 txx +=+
2 222 2 txtxx ++=+
2 22 txt −=
ttx
22 2−
=
dtt
t2
2
22+
−=dx
( )∫ ∫ ∫ ∫ =
++−=
+−=
++−−=
+
+
−−= dt
tttdt
ttdt
tt
tttdt
ttt
tt
3
24
3
22
2
222
2
22
444
42
22
222
22
22I
=++−−=+
−
++−=
++−=
−
∫ ct
ttctttdttt
t 2
222
3 21ln
824ln4
24144
41
( ) ( ) =+−+
+−+−−+−= cxx
xxxx 22
22
2
22
12ln281
kvadrirajmo izraze u zagradama, tada je:
( ) cxxxxxxxx
+−+−+−+
−+−+
= 222
222ln
421
2141I .
107
Matematička analiza Neodređeni integral i
162. Primer: Ojlerovim smenama rešiti iracionalni intgeral ∫ −− dxxx 223 .
Rešenje: Kvadratni trinom pod korenom ima realne korene, pa se može napisati da je
, primenjujemo znači smenu pod 2) : ( )( 13322 −+−=+−− xxxx )
3
( ) ( ) ( )1/13 2 −⋅−=+− xtxx
( )( ) ( ) 22113 txxx −=−+−
( ) 222 123 txxx −=−−
a iz druge jednačine sledi:
xttx −=+ 23
22 −=+ txtx
2
2
13
ttx+−
=
( )221
8
t
dttdx+
= .
Tada se dati integral formira na sledeći način:
( ) ( ) ( )=
+−=
++−−−
=+
−
+−
= ∫∫∫ 32
2
222
22
22
22
2
2
132
1
81
131
811
3tdtt
t
dtttt
tttdttt
ttI
( )
( ) ( )( ) ( )
=
++
+
−−=
+
−=
+==
+==
= ∫∫
2222
2232
32
141
1432
141
1
1t
dttt
ttdttvdtdu
t
dttdvtu
( ) ( )( )
( ) ( )=
+−
=+
=−=
+==
=⋅+
−+
= ∫∫ 2222
22
2222
121
1
11
18
18
ttdttv
tdtdu
tdttdv
tu
tt
tdt
tt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++
++
+=
+
−+−
−+
= ∫∫ 2222222222 14
14
18
121
1218
18
ttdt
tttt
ttdt
tttt
108
Neodređeni integrali Matematička analiza
poslednji integral je integral racionalne funkcije, rešavamo ga rastavljanjem na parcijalne
sabirke:
( ) ( ) ( ) ( ) =+−−
++
++
=+
−++
++
=−
∫ ∫ cttttt
tt
dttdt
tttt arctg4
14
14
18
144
14
18 1
22222222
( ) ( ) =+−−+
++
= cttttt
t arctg441
41
8222
=+−+
+
−+
−
−+
−+
++
−+
+
−+
= cx
x
xx
xx
xx
xx
xx
13arctg4
13
4
13
131
4
131
138
2
sređivanjem ovog izraza dobijamo konačno rešenje, a to je:
( ) cxxx
xx+
+−−−−
−+−
=x-13xarctg423
13
21 2
2
.
ZADACI ZA VEŽBU: 211. Primer: Ojlerovim smenama rešiti neodređeni integral ∫ ++ dxxx 652 .
212. Primer: Ojlerovim smenama rešiti neodređeni integral ∫ ++ dxxx 164 2 .
213. Primer: Ojlerovim smenama rešiti neodređeni integral ∫ +− dxxx 652 .
214. Primer: Ojlerovim smenama rešiti neodređeni integral ∫ + dxx 14 2 .
215. Primer: Ojlerovim smenama rešiti neodređeni integral ∫ +− dxxx 222 .
109
Neodređeni intgerali Matematička analiza
5.5. Integrali trigonometrijskih funkcija Neodređene trigonometrijske integrale oblika smenama: ∫ dxxxR )cos,(sin
22
2
2 12
11cos
12sin
2tg
tdtdx
ttx
ttx
tx
+=
+−
=+
=
=
svodimo na integrale racionalnih funkcija. Ako je tada
umesto datih, možemo primeniti i sledeće smene:
( ) ( xxRxxR cos,sincos,sin ≡−− )
222 111cos
1sin
tg
tdtdx
tt
ttx
tx
+=
+=
+=
= .
163. Primer: Rešiti trigonometrijski integral ∫ ++ xxdx
cossin1 .
Rešenje: Primenimo date smene. Tada je:
cxctt
dt
tt
tt
tdt
xxdx
++=++=+
=
+−
++
+
+=++
= ∫∫ ∫ 2tg1ln1ln
111
121
12
cossin12
2
2
2I .
164. Primer: Rešiti trigonometrijski integral ∫ ++ 3sin2cos xxdx .
Rešenje: Primenimo smenu txtg =2
. Tada je:
( )∫∫∫ =++
=
++++−
+=+
++
+−
+=222
2
13341
12
31
411
12
2
2
22
2
22
2
2
ttdtdt
tttt
tdt
tt
tt
tI
( )( ) cxct
tdt
+
+=++=
++= ∫ 1
2tgarctg1arctg
11 2 .
110
Matematička analiza Neodređeni integrali
165. Primer: Rešiti trigonometrijski integral ∫ + xdxcos53
.
Rešenje: Primenimo trigonometrijske smene:
( )( ) =+−=
−=
−=
+−
+
+=+
= ∫∫∫∫ ∫ ttdt
tdt
tdt
tt
tdt
xdx
224282
1153
12
cos53 22
2
2
2I
posle rastavljanja na parcijalne sabirke
cxtg
xtgc
ttctt
tdt
tdt
+−
+=+
−+
=+−−+=−
++
= ∫∫2
2
22
ln41
22ln
412ln
412ln
41
241
241 .
166. Primer: Rešiti trigonometrijski integral ∫ + xdx
2sin1 .
Rešenje: U ovom slučaju važi da je ( ) xx 22 sin1
1sin11
+≡
−+, pa možemo da primenimo
drugu smenu. Tada je:
( ) =+=+
==
==
+=
+=
++
+=+
= ∫∫ ∫ ∫ ∫ czz
dzdzdtzt
t
dtt
dt
ttt
dt
xdx
2arctg
121
2
2
21211
1
1sin1 222
2
2
2
2I
( ) cxct+=+= tg2arctg
21
22arctg .
167. Primer: Rešiti trigonometrijski integral ∫ +− dx
xxxx
cos2sincossin .
Rešenje: I u ovom slučaju možemo primeniti smenu : tx =tg
( )( )∫ ∫ ∫ ∫ ++−
=+
⋅+−
=+−
=+−
= dttt
tt
dtttdx
tgxtgxdx
xxxx
121
121
21
cos2sincossin
22I
Rastavimo podintegralnu funkciju na parcijalne sabirke:
111
Neodređeni intgerali Matematička analiza
( )( ) ( )( )2
22
22 1222
12121
ttCBtCtBtAAt
tCBt
tA
ttt
+++++++
=++
++
=++
−
Odavde je: ( ) ( )( 211 2 ++++=− tCBttAt )
0
1
1
=+ BA
2 =+CB
2 −=+ CA
Ako je t tada iz prve jednačine dobijamo da je 2−=53
−=A ,
a iz sistema jednačina dalje računamo 51,
53
−== CB .
Integraljenje nastavljamo na sledeći način:
∫ ∫∫ =+
−+
++−=+−
++
−=15
11
21032ln
53
113
51
253
222 tdt
ttdttdt
tt
tdtI ∫
ako u drugom sabirku uvedemo smenu , tada je i tako je: zt =+12 dztdt =2
( ) ( ) cxxxcttt +−+++−=+−+++−= )tg(arctg511tgln
1032tgln
53arctg
511ln
1032ln
53 22I
( ) cxxx +−+++−=511tgln
1032tgln
53 2I .
112
Matematička analiza Neodređeni integrali
ZADACI ZA VEŽBU:
216. Zadatak: Rešiti trigonometrijski integral ∫ + xdxcos53
.
217. Zadatak: Rešiti trigonometrijski integral ∫ + xxdx
cossin .
218. Zadatak: Rešiti trigonometrijski integral dxx
x∫ + cos1
cos .
219. Zadatak: Rešiti trigonometrijski integral dxx
x∫ − sin1
sin .
220. Zadatak: Rešiti trigonometrijski integral ∫ +− xxdx
cos7sin48 .
221. Zadatak: Rešiti trigonometrijski integral ∫ ++ xxx
cossin1sin .
222. Zadatak: Rešiti trigonometrijski integral ∫ −+ dx
xx
tg1tg1 .
223. Zadatak: Rešiti trigonometrijski integral ∫ + xxdx
22 cos5sin3 .
224. Zadatak: Rešiti trigonometrijski integral dxx
x∫ + 2sin1
2sin .
225. Zadatak: Rešiti trigonometrijski integral dxxx
x∫ +− 5sin6sin
cos2 .
113
Neodređeni intgerali Matematička analiza
5.6. Integral eksponencijalne funkcije
Integral eksponencijalne funkcije tipa , smenom: ∫ dxeR x )(
tdt
edtdx
dtdxete
x
x
x
==
=
=
svodimo na integral racionalne funkcije.
168. Primer: Rešiti eksponencijalni integral ∫+
dxee
e
xx
x
)1(
arctg
2
2 .
Rešenje: Neka je: tx
=2e ,
Tada je: tx ln= 2
tx ln2=
dtt
dx 2=
ovim smenama dati integral se svodi na integral:
( ) ( )dtttt
tdt
ttt
∫∫ +=⋅
+= 222 1
arctg21arctg2I
Ovaj integral rešavamo rastavljanjem na parcijalne sabirke:
21,arctgu
tdtdut+
==
( ) ( ) ( ) ∫ ∫∫ ∫ −−=+
−=+−+
=+
=+
= ttt
dtdttdttt
ttttdtv
ttdtdv arctg1
111
1,
1 22
22
22
2222
Tada je:
( )
++−−=
+
++
+−−= ∫ ∫ 212
222 arctgarctg12
1arctg
1arctgarctg12 III tt
tdt
tt
ttdttt
t
114
Matematička analiza Neodređeni integrali
gde je
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ +−=+
−=+−+
=+
= 222
22
2 1ln21ln
111
1tt
ttdt
tdtdt
tttt
ttdt
1I
i
∫∫ ====
+
==
+= tzzdzdz
tdt
ztdt
tt 2
2
22 arctg
21
21
arctg
1arctg
2I
Na kraju:
( ) ctttttt
+
++−+−−= 222 arctg
211ln
21lnarctgarctg12I
( ) cttttt
t+++−+−−= 222 arctg1lnln2arctg2arctg2I
ce
eee
ex
xx
x
x
++
+−−=1
lnarctgarctg2 22
2
2I .
169. Primer: Rešiti eksponencijalni integral ∫ +− dx
eee
x
xx
12
3
.
Rešenje: Smena je sada: te x =
tx ln=
tdt
=dx
Dati integral posle uvođenja ovih smena biće:
∫ ∫ ∫ ∫∫∫ +−=+
−=+−+
=+−
=⋅+−
=+−
= cttt
dtdtdtt
tdttt
tdt
tttdx
eee
x
xx
arctg21
21
2111
11 22
2
2
2
2
3
2
3
I
cee xx +−= arctg2I .
115
Neodređeni intgerali Matematička analiza
ZADACI ZA VEŽBU:
226. Zadatak: Rešiti eksponencijalni integral ∫ dxe
ex
xarcsin .
227. Zadatak: Rešiti eksponencijalni integral ( )∫+
31 xx ee
dx .
228. Zadatak: Rešiti eksponencijalni integral ∫ +dx
ee
x
x
1
2
.
116
Matematička analiza Određeni integrali
6. Određeni integrali
] Ako je funkcija integrabilna na zatvorenom intervalu , i na tom intervalu
primitivna funkcija joj je funkcija , tada na osnovu Njuton-Lajbnicove formule određeni
integral na intervalu [ može se izračunati po formuli:
)(xf
]b,
[ ba,
)(xF
a
)()()()( aFbFxFdxxfa
bb
a
−==∫
170. Primer: Izračunati određeni integral . ∫−
2
1
2dxx
Megoldás: Prema Njutn–Lajbnicove formule:
( ) 339
31
38
31
32
3
33
1
232
1
2 ==+=−
−==−−
∫xdxx .
171. Primer: Izračunati određeni integral . ∫e
xdx1
ln
Rešenje: Prema Njutn–Lajbnicove formule:
( ) =−=−−=−===
=== ∫∫∫
11111
1ln1lnlnln
lneeeee
xedxeex
dxxxxxvx
dxdudxdvxu
xdx
( ) 11 =−−= ee .
172. Primer: Izračunati određeni integral ∫−
1
12x
dx .
117
Određeni integrali Matematička analiza
Rešenje: Funkcija 2
1x
u intervalu [ ima jednu tačku prekida, tačku . Zato dati
integral treba rasraviti na zbir dva integrala:
]1,1− 0=x
=
−+
−=+=+=
→−
−
→→
−
−→
+
−
−−∫∫∫∫∫
εε
ε
εε
ε
ε
ε
1
01
0
1
201
20
1
02
0
12
1
12
1lim1limlimlimxxx
dxxdx
xdx
xdx
xdx
∞=−∞=
+−−=
+−+
−
−−=
→→→21111lim11lim11lim
000 εεεε εεε.
173. Primer: Izračunati nesvojstveni integral ∫∞
+021 x
dx .
Rešenje: Ako je granica integrala beskonačna, tada se određeni integral rešava uvođenjem
granične vrednosti (lim), na sledeći način:
( )2
arctglimarctg0-arctglimarctglim1
lim1 00
20
2
π====
+=
+ ∞→∞→∞→∞→
∞
∫∫ TTtx
dxx
dxTT
T
T
T
T .
174. Primer: Izračunati određeni integral dxx∫ +3
1
1 .
Rešenje: Dati integral se može rešiti uvođenje smene, a to znači da kod određenog integrala
paralelno treba da promenimo i granice:
( ) ( )2434228
32
3222
21
12
232
2
22
2
23
1
−=−===⋅===+
=+ ∫∫∫tdtttdtt
tdtdxtx
dxx .
118
Matematička analiza Određeni integrali
ZADACI ZA VEŽBU:
229. Zadatak: Rešiti određeni integral ∫ +
4
0 1 xdx .
230. Zadatak: Rešiti određeni integral dxxx∫2
0
cos
π
.
231. Zadatak: Rešiti određeni integral ∫1
0 xdx .
232. Zadatak: Rešiti određeni integral ∫∞
1 xdx .
232. Zadatak: Rešiti određeni integral ∫∞
∞− + 21 xdx .
234. Zadatak: Rešiti određeni integral dxctgx∫2
0
π
.
235. Zadatak: Rešiti određeni integral ∫21
0 ln xxdx .
119
Određeni integrali Matematička analiza
6.1. Površina ravnih likova
Ako je funkcija integrabilna na intervalu [ , i na tom intervalu je
nenegativna: , tada
)(xf
x ≤≤
]
]
]
]
∫=b
a
dxxf )(T
ba,
( )baxf ≥ 0)(
∫b
a
dxxf )(
predstavlja površinu krivolinijskog trapeza kojeg određuju luk funkcije nad intervalom
. x-osa i prave i i . Ako je funkcija na posmatranom intervalu [ ]negativna , tada je površina jednaka vrednosti određenog integrala uzet sa
negativnim predznakom. Iz ovoga i iz osobine aditivnosti integrala sledi, da ako je funkcija
na nekom intervalu [ i pozitivna i negativna, tada površinu dobijamo kao razliku
integrala dela funkcije koji se nalazi iznad i ispod -ose.
)(xf
[ ba,
)(xf
ax =
a
bx = ba,
0)( ≤xf
b,
x
Polazeći od površine krivolinijskog trapeza, možemo izračunati površine različitih
ravnih likova.
6.1.1. Površina ravnih likova u pravouglom kordinatnom sistemu
Ako je (= fy i neprekidna na zatvorenom intervalu [ , tada se površina
krivolinijskog trapeza koji je ograničen sa datom krivom, sa x-osom i sa pravama i
, može se izračunati po formuli:
0) ≥x ba,
ax =
bx =
.
120
Matematička analiza Određeni integrali
175. Primer: Odrediti površinu kojeg zatvaraju parabola i prava . 2xy = 2+= xy Rešenje: Presek prave i parabole su tačke i , zato je: )1,1(−A )4,2(B
( ) 5.4312
21
384
24
32
22
1
2322
1
22
1
=
+−−
−+=
−+=−+=
−−−∫∫
xxxdxxdxxT .
176. Primer: Odrediti površinu kojeg zatvaraju parabole i . 2xy = xy =2
Rešenje: Presečne tačke parabole i 2xy = xy ±= su tačke i . Površinu kojeg
zatvaraju ove parabole dobićemo ako iz površine ispod parabole
)0,0(A )1,1(B
xy += oduzmemo
površinu ispod parabole . Tada je: 2xy =
31
31
32
332
0
13231
0
21
0
=−=
−=−= ∫∫
xxdxxdxxT .
177. Primer: Odrediti površinu kojeg zatvaraju kružnica , i parabole i .
822 =+ yxxy 72 = xxy −= 2
Rešenje: Presečne tačke kružnice i parabole su: 822 =+ yx xy 72 =
121
Određeni integrali Matematička analiza
12
972
32497
087
21
2
=
±−=
+±−=
=−+
x
x
xx
Presečne tačke kružnice i parabole su: 822 =+ yx xxy −= 2
2822
82234
2342
==+−
=+−+
xxxx
xxxx
Traženu površinu treba odrediti iz tri dela:
321 TTTT +−=
( )3
72013
72
23
770
123
1
0
=−=== ∫xdxx1T ,
( )61
21
31
23 0
1231
0
2 −=−=
−=−= ∫
xxdxxx2T ,
( ) =
−−
+−=−−−= ∫∫
1
223
1
22
2
1
22
1
2
238arcsin
288
28 xxxxxdxxxdxx3T
=
+−−−−−+=
21
312
38
81arcsin47
21
82arcsin42
65
221arcsin4
27
442
23
37
221arcsin47
21
222arcsin42 −−−+=+−−−+=
π .
Tada je:
65
221arcsin4
272
61
372
−−−+++= πT
odnosno
122
Matematička analiza Određeni integrali
221arcsin4
34
27
372
−++−= πT .
178. Primer: Odrediti površinu kojeg zatvaraju kriva i ordinatna osa (y-osa) .
22 yyx −−=
Rešenje: Promenile su se uloge promenljivih i osa x i y, pa traženu površinu možemo da
izračunamo kao T . Presečne tačke parabole i y-ose su: ∫=b
a
dyyf )(
12
231
2811
020
2
1
21
2
=−=
−±
=−
+±=
=+−−
=
yy
y
yyx
Tada je tražena površina:
( ) 5.429
3824
31
212
3222
2
1321
2
2 ==
+−−−
−−=
−−=−−=
−−∫
yyydyyyT .
179. Primer: Odrediti površinu kojeg zaklapaju krive xxy 2ln= , prave , i . ( 10 <<= aax ) 1=x 0=y
123
Određeni integrali Matematička analiza
Rešenje: Površina ispod tražene krive od a do 1:
=−
=
==
==== ∫∫
112
2321
212 ln
34ln
32
32ln2
lnln
aaa
xdxxxxxdxxv
xdxxdu
dxxdvxuxdxxT
=
−−
−=
==
=== ∫
112
23
21
32ln
32
34ln
320
32
ln
aa
dxxxxxaaaxv
xdxdu
dxxdvxu
( ) ( )=−++−=
−−−−= aaaaaaaaxxaaaaaa
a
12716ln
98ln
32
94ln0
32
34ln
32 2
12
( )aaaaaaaaaaaaaa −+
−−=−++−= 1
2716
34lnln
32
2716
2716ln
98ln
32 2 .
ZADACI ZA VEŽBU:
236. Zadatak: Odrediti površinu kojeg zatvaraju parabola i apscisna osa. 24 xxy −=
237. Zadatak: Odrediti površinu kojeg zatvaraju kriva , prava i osa x. xy ln= ex =
238. Zadatak: Odrediti površinu kojeg zaklapaju kriva i prave i . xy =3 1=y 8=x
124
Matematička analiza Određeni integrali
239. Zadatak: Odrediti površinu kojeg zaklapaju parabole 3
2xy = i 2
324 xy −= .
240. Zadatak: Odrediti merne brojeve onih površina, na koje parabola deli
kružnicu .
xy 22 =
822 =+ yx
6.1.2. Površina ravnih likova u polarnom kordinatnom sistemu
Neka je data kriva u polarnom kordinatnom sistemu, gde je
, i je neprekidna kriva. Površinu krivolinijskog trougla
kojge zaokružuju krive i poluprave i možemo da izračunamo
sledećom formulom:
( )ϕρρ =
( )ϕρ=
( )ϕρ=
[ ] παββϕα 2, ≤−≤≤
OAB
ρ
ρ αϕ = β=ϕ
( )∫=β
α
ϕϕρ d2
21T .
125
Određeni integrali Matematička analiza
180. Primer: Odrediti površinu kojeg zatvara kadioid . ( ) 0,cos1 >+= aa ϕρ
Rešenje: Jednačina kardioide je data sa polarnim kordinatama, zato koristimo gornju formulu
za izračunavanje površine koju ona zatvara:
( ) ( ) =++=+== ∫∫ππ
ϕϕϕϕϕ0
22
0
22 coscos21cos12122 dada1TT
=+
++= ∫∫∫ ϕϕϕϕϕπππ
dadada0
2
0
2
0
2
22cos1cos2
.23
22sin
42sin2 2
22
0
2
0
2
0
2
0
2 πππϕϕϕϕππππ
aaaaaaa =+=+++=
181. Primer: Odrediti površinu kojeg zatvara Bernulijeva lemniskata, ako je njena jednačina: . ϕρ 2cos22 a=
126
Matematička analiza Određeni integrali
Rešenje: Zbog simetričnosti krive dovoljno je računati četvrtinu tražene površine:
.02
sin2sin2122cos
214 22
0
424
0
2 aaada =
−==⋅= ∫
πϕϕϕππ
T
182. Primer: Odrediti površinu kojeg zatvara trolisnata ruža . Raa ∈= ,3sin ϕρ
Rešenje: Zbog simetričnosti ovih listova, i zbog 3
,003 21πϕϕϕ ==⇒=sin tražena
površina se može računati kao:
=⋅−=−
=⋅= ∫ ∫0
32
0
323
0
3
0
222 6sin
61
43
43
26cos1
233sin
213
πππ π
ϕϕϕϕϕϕ aadadaT
( ) .4
084
0sin2sin8
034
3 22222 ππππ aaaaa=⋅−=−−
−=
ZADACI ZA VEŽBU:
241. Zadatak: Odrediti površinu kojeg zatvara jedan list krive . ϕρ 2cosa=
242. Zadatak: Odrediti površinu kojeg zatvara kriva . ϕρ 4sin22 a=
127
Određeni integrali Matematička analiza
243. Zadatak: Odrediti površinu kojeg zatvara kriva . ϕρ 3sina=
244. Zadatak:: Odrediti površinu kojeg zatvara kriva . ϕρ cos2 +=
245. Zadatak: Odrediti površinu kojeg zatvara elipsa ϕε
ρcos12
+= , . 10 <≤ ε
128
Zbirka zadataka za vežbe Matematička analiza
L I T E R A T U R A
1. M.P.Uščumlič, P.M.Miličić: Zbirka zadataka iz više matematike I.
Naučna Knjiga, Beograd, 1980.
2. Demidovič: Zadaci i rešeni primeri iz matematičke analize za fakultete
Tehnička Knjiga, Beograd, 1977.
3. Svetozar Kurepa: Matematička analiza I. Tehnička Knjiga, Zagreb, 1977.
4. Grupa autora: Matematika za više tehničke škole Savremena Administracija, Beograd, 1990.
5. Jožef Detki, Franja Ferenci: Matematika I Univerzitet u Novom Sadu, Subotica, 1983.
6. Szerényi Tibor: Analízis Tankönyvkiadó, Budapest, 1972.
7. B.P.Gyemidovics: Matematikai analízis, feladatgyűjtemény Tankönyvkiadó, Budapest, 1974.
8. Stefan Banach: Differenciál és integrálszámítás Tankönyvkiadó, Budapest, 1975.
9. Novković,Rodić,Kovačević: Zbirka rešenih zadataka iz matematičke analize I Univerzitet u Novom Sadu Fakultet tehničkih nauka, Novi Sad, 1998. 10. MonostoryI.,Szeredai E.: Matematika példatár,VIII. kötet,
Differenciálegyenletek Budapesti Műszaki egyetem Műegyetemi Kiadó,1998.
