29311514-10BaitoanhayveHSBac3

5/9/2018 29311514-10BaitoanhayveHSBac3 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/29311514-10baitoanhayvehsbac3 1/5

Gv : Bảo Khươ ng

10 BÀI TOÁN HAY VỀ HÀM SỐ BẬC BA

Bài 1. Cho hàm số 3 23 4y x x= − +

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2. Gọi (d) là đườ ng thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m. Tìm m để (d) cắt (C) tại 3

điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiế p tuyến của (C) tại M và N vuông góc vớ i nhau.

Giải.

1. ( H ọc sinh t ự khảo sát hàm số )

2. Phươ ng trình đườ ng thẳng (d) là y = m(x – 3) + 4.

Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm của phươ ng trình 3 23 4 ( 3) 4x x m x− + = − + (1)

Biến đổi (1) 2

2

3( 3)( ) 0

0

xx x m

x m

=⎡⇔ − − = ⇔ ⎢

− =⎣

Theo bài ra ta có điều kiện m > 0 và '( ). '( ) 1y m y m− = −

2 18 3 35(3 6 )(3 6 ) 1 9 36 1 0

9m m m m m m m

±⇒ − + = − ⇔ − + = ⇔ = (thỏa điều kiện 0m > )

Bài 2.Cho hàm số

3 2

2 ( 3) 4y x mx m x= + + + + có đồ thị là (Cm)1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.

2. Cho đườ ng thẳng (d ) có phươ ng trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá tr ị của tham

số m sao cho (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C và tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 .

Giải.


2. Phươ ng trình hoành độ điểm chung của (Cm) và (d) là 3 22 ( 3) 4 4 x mx m x x+ + + + = + (1)

Biến đổi (1) 2

2

0( 2 2) 0

( ) 2 2 0 (2)

xx x mx m

g x x mx m

=⎡⇔ + + + = ⇔ ⎢

= + + + =⎣

Điều kiện để đườ ng thẳng (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C là phươ ng trình (2) có hai

nghiệm phân biệt khác 0.

/ 2 1 22 0

2(0) 2 0

m mm m

mg m

⎧ ≤ − ∨ ≥⎧Δ = − − >⎪⇔⎨ ⎨

≠ −= + ≠⎪ ⎩⎩(3)

Gọi1 3 4

( , ) 22

h d K d− +

= = = thì21

8 2 16 2562

KBC S BC h BC BC Δ = × = ⇔ = ⇔ =

Suy ra 2 2( ) ( ) 256B C B C x x y y− + − = vớ i ,B C x x là hai nghiệm của phươ ng trình (2).

2 2 2 2( ) (( 4) ( 4)) 256 2( ) 256 ( ) 4 128B C B C B C B C B C x x x x x x x x x x⇔ − + + − + = ⇔ − = ⇔ + − =

2 2 1 1374 4( 2) 128 34 0

2m m m m m

±⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ = (thỏa ĐK (3)). Vậy

1 137

2m

±=

Bài 3. Cho hàm số ( ) ( )2

2 1y x x= − + , đồ thị là (C).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

2. Tìm trên (C) điểm M có hoành độ là số nguyên dươ ng sao cho tiế p tuyến tại M của (C), cắt

(C) tại hai điểm M và N thoả mãn MN = 3.

Giải.


2. Giả sử M(x0; y0) thuộc (C), x0 là số nguyên dươ ng. Phươ ng trình tiế p tuyến vớ i (C) tại M là

( )2 3 20 0 0 03 6 2 3 4y x x x x x= − − + + . Goi tiế p tuyến này là (t).




Hoành độ giao điểm của (C) và (t) là nghiệm phươ ng trình

( ) ( ) ( )23 2 2 3 2

0 0 0 0 0 03 3 6 2 3 0 2 3 0x x x x x x x x x x x− − − + − = ⇔ − + − =

Suy ra 0x x= hoặc 02 3x x= − +

Từ đó có ( ) ( )3 2 3 20 0 0 0 0 0 0; 3 4 ; 2 3; 8 24 18 4 M x x x N x x x x− + − + − + − + .

Ta có ( ) ( )2 22 2 2

0 0 0 0 09 18 9 81 1 2 MN x x x x x= − + + − − .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 22 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 09 9 18 81 1 2 0 9 2 1 9 1 2 0MN x x x x x x x x x x= ⇔ − + − − = ⇔ − + − − = .

Vì x0 là số nguyên dươ ng nên x0 = 2. Vậy M(2; 0).

Bài 4. Cho hàm số 3 23 3 3 2y x mx x m= − − + + (Cm)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =1

3.

2. Tìm m để (Cm) cắt tr ục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là 1 2 3, ,x x x thỏa mãn

2 2 21 2 3 15x x x+ + ≥

Giải.1. ( H ọc sinh t ự khảo sát hàm số )

2. Phươ ng trình hoành độ giao điểm: 3 23 3 3 2 0x mx x m− − + + =

2 2( 1) (3 1) 3 2 1 (3 1) 3 2 0[ ]=0 (2)x x m x m x x m x m⇔ − − − − − ⇔ = ∨ − − − − =

(Cm) cắt tr ục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là 1 2 3, ,x x x vớ i 3 1x =

thì 1 2,x x là nghiệm khác 1 của PT (2) Theo định lý Viet ta có:1 2

1 2

3 1

3 2

x x m

x x m

+ = −⎧⎨

= − −⎩

Để thoả mãn điều kiện thì:

22

2

2 2 2 21 2 3

0

9 6 9 01 (3 1).1 3 2 0 0

15 9 9 0

m mm m m

x x x m

Δ >⎧ ⎧ + + >⎪ ⎪− − − − ≠ ⇔ ≠⎨ ⎨⎪ ⎪

+ + ≥ − ≥⎩⎩

( ; 1 [1; )]m⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

Bài 5. Cho hàm số y = x3 + mx + 2 (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -3.

2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt tr ục hòanh tại một điểm duy nhất.Giải.


2. Phươ ng trình x3 + mx + 2 = 0 2 2m xx

⇒ = − − ( x 0)≠

Xét f(x) = 2

2

2 2'( ) 2x f x x

x x− − ⇒ = − + =

3

2

2 2x

x

− +

Ta có x - ∞ 0 1 + ∞

f’(x) + + 0 -

f(x) + ∞ -3

- ∞ - ∞ - ∞ Đồ thị hàm số (1) cắt tr ục hòanh tại một điểm duy nhất 3m⇔ > − .

Cách 2. Đạo hàm y' = 3x2 + m




+ Nếu 0m ≥ thì ' 0,y x≥ ∀ nên hàm số đồng biến trên R, do đó đồ thị cắt tr ục hoành tại 1 điểm duy

nhất.

+ Nếu 0m < thì hàm số có hai cực tr ị 1,23

mx

−= ± và 1,2

22

3 3

m my

−= ±

Để đồ thị cắt tr ục hoành tại 1 điểm duy nhất thì3

1 2

44 0 3

27

my y m= + > ⇔ > −

Vậy khi 3m> −

thì đồ thị hàm số (1) cắt tr ục hòanh tại một điểm duy nhấtBài 6. Cho hàm số y = 4x3 + mx2 – 3x

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 0.

2. Tìm m để hàm số có hai cực tr ị tại x1 và x2 thỏa x1 = - 4x2

Giải.


2. TXĐ: D = R

Đạo hàm y’ = 12x2 + 2mx – 3 . Ta có: Δ’ = m2 + 36 > 0 vớ i mọi m, vậy luôn có cực tr ị .

Ta có:

1 2

1 2

1 2

4

6

1

4

x x

mx x

x x

⎧⎪ = −

⎪⎪+ = −⎨

⎪⎪

= −⎪⎩

9

2m⇒ = ±

Bài 7. Cho hàm số 3 23y x x= − (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

2. Tìm tất cả các giá tr ị của tham số a để phươ ng trình : 3 23x x a− = có ba nghiệm phân biệt

trong đó có 2 nghiệm lớ n hơ n 1.

Giải.1. ( H ọc sinh t ự khảo sát hàm số )

2. 3 23x x a− =

Xét hàm số 3 23y x x= − và đườ ng thẳng y a=

Nhận xét x = 1 ta có y = -2. Phươ ng trình có ba nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm lớ n hơ n 1

khi -4 < a < -2

Bài 8. 1. Khảo sát hàm số 3 23 2y x x= − + .

2. Biện luận theo m số nghiệm của phươ ng trình2

3 2 13 2 2

mx x

m

⎛ ⎞+− + = ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

Giải.


2. HD:2 1 1 1

2m

m mm m m

+= + ≥ + ≥ ⇒

2 12

m

m

+≤ − hoặc

2 12

m

m

+≥ .

Bài 9. Cho hàm số: ( )3 23 1 9 2y x m x x m= − + + + − (1) có đồ thị là (Cm)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) vớ i m=1.

2. Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng vớ i nhau qua

đườ ng thẳng1

2y x= .




Giải.


2. 2' 3 6( 1) 9y x m x= − + +

Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì 2' 9( 1) 3.9 0mΔ = + − > , suy ra ( ; 1 3) ( 1 3; )m ∈ −∞ − − ∪ − + +∞

Ta có ( )2 21 13 6( 1) 9 2( 2 2) 4 1

3 3

my x x m x m m x m

+⎛ ⎞= − − + + − + − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Gọi tọa độ hai điểm cực tr ị là A(x1; y1) và B(x2; y2) thì 21 12( 2 2) 4 1y m m x m= − + − + +

và2

2 22( 2 2) 4 1y m m x m= − + − + +

Phươ ng trình đườ ng thẳng AB là 22( 2 2) 4 1y m m x m= − + − + + có hệ số góc ( )22 2 2k m m= − + −

Để A,B đối xứng qua đườ ng thẳng (d):1

2y x= , điều kiện là

11

2k = − và 1 2 1 2;

2 2

x x y yI

+ +⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠(d)

(Điểm I là trung điểm của AB)

Cách 1.

• 21

1 1 2 2 132

mk m m

m

=⎡= − ⇔ + − = ⇔ ⎢ = −⎣

Theo định lí Viet ta có: 1 2 12

x xm

+= + , suy ra :

( )2 3 21 2 1 22 2 2 4 1 2 6 4 52 2

y y x xm m m m m m

+ +⎛ ⎞= − − + + + = − + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

• 1 2 1 2;2 2

x x y yI

+ +⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠(d) ( )3 2

11

2 6 4 5 1 4 72

2

m

m m m mm

=⎡⎢⇔ − − + + = + ⇔ − ±⎢ =⎢⎣

Vậy m = 1 thỏa mãn YCBT.

Cách 2.

• 2 111 2 2 1

32

mk m m

m

=⎡= − ⇔ + − = ⇔ ⎢ = −⎣

• Theo định lí Viet ta có: 1 2 12

x xm

+= +

+ Khi m = 1 : phươ ng trình đườ ng thẳng AB là : 2 5y x= − + nên toạ độ I là ( )2;1I ∈ (d)

+ Khi m = -3 : phươ ng trình đườ ng thẳng AB là : 2 11y x= − − nên toạ độ I là ( )2; 7I − − ∉ (d)

Vậy m = 1 thỏa mãn YCBT.

Bài 10. Cho hàm số 3 211

3y x mx x m= − − + + (1)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) vớ i m = 0.

2. Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.

Giải.


2. Ta có 2 2’ - 2 1, ’ 0 2 1 0y x mx y x mx= − = ⇔ − − = (1).

Vì Δ = m2 + 1 > 0 ∀m nên hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.

Chia y cho y’ ta đượ c 21 2 2'. ( ) ( 1) ( 1)

3 3 3y y x m m x m= − − + + + .




Gọi 2 điểm cực tr ị là: A(x1; y1), B(x2; y2) vớ i x1, x2 là nghiệm của (1) thì ta có

y1 =2

1

2 2( 1) ( 1)

3 3m x m− + + + và y2 =

22

2 2( 1) ( 1)

3 3m x m− + + + ;

Từ đó ( ) ( ) ( ) ( )22 22 2 2

2 1 2 1

4 4 524 4 1 4 1

9 9 91AB x x y y m m

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − + − = + + + ≥ + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

Suy ra AB ≥ 2 13

3. Vậy AB đạt giá tr ị nhỏ nhất bằng

2 13

3khi m = 0.

Documents

29311514-10BaitoanhayveHSBac3