ContenidoEjercicio 1: Suponga que la funcin de transferencia de la planta es:4Ejercicio 2: Suponga que la funcin de transferencia de la planta es:9Ejercicio 3: Suponga que la funcin de transferencia de la planta es:14PRACTICA18Ejercicio 1:18Ejercicio 2:22EJERCICIO 324CONCLUCIONES25Bibliografa26

INTRODUCCION

El diseo de sistemas de control es una tarea de gran importancia en la Ingeniera

electrnica para nuestras vidas personales y profesional.En el desarrollo de esta actividad recopilaremos todos los temas vistos a travs de lo transcurrido en este proceso de aprendizaje del curso Control Digital, aplicando dichos conocimientos en diseos de controladores PID digitales como controlar los diseos mediante faces, analizando los diagramas de bode, los tiempos de establecimiento de amortiguamiento de un sistema de control; con el fin de evaluar los conocimientos adquiridos en este curso.

1. Actividad Terica: La primera actividad est compuesta de una serie de ejerciciosque debern ser desarrollados de forma analtica por cada uno de los estudiantesdel grupo colaborativo. Para el desarrollo de la primera actividad se propone elsiguiente esquema de control:

Ejercicio 1: Suponga que la funcin de transferencia de la planta es:

(a) Calcule la constante de error de posicin Kp, el error en estado estacionario anteuna entrada escaln unitario y el tiempo de establecimiento para la funcin detransferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado.

Debemos primero hallar G(z)

Se descompone en fracciones parciales el Segundo trmino para hallar su transformada Z

Se debe recordar que Ts=0.1 s

Tenemos la funcin de transferencia, pero sin tener en cuenta la realimentacin por tanto debemos hallarla

Para el error en estado estacionario ante una entrada escaln

Para hallar el tiempo de establecimiento se toma la planta y se iguala con la ecuacin general de segundo orden para hallar sus parmetros:

De lo anterior se puede deducir:

Por lo cual para el establecimiento del 5%

Para el establecimiento del 2%

(b) Disee un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobre impulso mximo de 5% y un tiempo de establecimiento menor de 2 segundos. Suponga queel tiempo de muestreo es Ts = 0.1 segundos.

Se nos pide hallar un controlador con sobre impulso 5% y < 1De la frmula del mximo sobre impulso encontramos

, donde C es 4 para un criterio del 2% o 3 para un criterio del 5%.

Luego elegimos que es menor a 1 segundo.

De acuerdo a la frmula de los polos deseados

El ngulo de la planta viene dado por

Entonces, para que alcance un ngulo de -180, el ngulo de adelanto viene dado por:

Como tengo puedo fijar el valor del cero

As:

Luego el controlador es:

Para el clculo de la ganancia K = 10Kc se aplica la condicin de mdulo, esto es:

El modulo es:

Luego el controlador es:

En tiempo discreto, realizando la transformacin bilineal:

La planta en tiempo discreto:

El sistema realimentado con el controlador en tiempo discreto.

Ejercicio 2: Suponga que la funcin de transferencia de la planta es:

(a) Calcule la constante de error de velocidad Kv, el error en estado estacionario ante una entrada escaln unitario para la funcin de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado; y el margen de fase para la funcin de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo abierto.

Para hallar el error en estado estacionario ante una entrada escaln debemos hallar primero la funcin de transferencia en lazo cerrado y el error de posicin Kp

(b) Disee un compensador en adelanto digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un margen de fase de 80 y la constante de error de velocidad sea Kv = 2. Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 0.2 segundos.

Debemos hallar la funcin de transferencia de la planta

Debemos pasar la funcin de trasferencia pulso a la funcin de transferencia G(w) mediante la transformacin bilineal, por lo cual:

Teniendo en cuenta que asumimos una funcin de transferencia para el controlador digital

Por lo que quedara:

Ahora podemos verificar la respuesta en frecuencia en matlab reemplazando k:

num=[-0.000665306 -0.192664 1.99317]

den=[1 0.996805 0]

sys=tf(num,den)

margin(sys)

grid

Debemos disear un controlador que adicione un ngulo de 800 sin afectar a k,

Por lo tanto 80-31.6=48.4, teniendo en cuenta que se aconseja un margen de mas de entre 8 y 12 grados considerando el corrimiento de la ganancia en la frecuencia de cruce, dejaremos en 860 el ngulo mximo de adelanto de fase. Para calcular el factor de atenuacin:

Reemplazamos por el ngulo:

Encontramos el punto donde no esta compensada su magnitud y se reemplaza w=jv en la funcin de transferencia G(w):

La frecuencia ficticia es igual a 28.941

La frecuencia de cruce est dada por:

De donde

El compensador nos quedara de la siguiente manera:

Procedemos a tomar la funcin de transferencia completa y analizarla en el diagrama de bode:

Cdigo Matlab.

num=[-0.000651334574 -0.189345866 1.75864943 1.99317]

den=[0.001193851479 1.001190037 0.996805 0]

sys=tf(num,den)

margin(sys)

grid

Ejercicio 3: Suponga que la funcin de transferencia de la planta es:

Disee un regulador digital por el mtodo de ubicacin de polos para que el sistema enlazo cerrado tenga un sobre impulso mximo de 10%, el tiempo de establecimiento sea menor de 1 segundo y el error en estado estacionario ante una entrada escaln unitario sea cero. Elija el tiempo de muestreo de tal manera que se obtengan 20 muestras por cada ciclo.

Primero hallaremos el factor de amortiguamiento y la frecuencia natural teniendo en cuenta las condiciones dadas, tomaremos para el establecimiento un 2%, y un tiempo de establecimiento de 0.5 s

Teniendo la frecuencia natural podemos elegir el tiempo de muestreo:

Aproximando a 2, podemos elegir un tiempo de muestreo T=0.1

Procedemos a hallar la matriz de ganancia k mediante la ubicacin de los polos

Por lo tanto, el polo est ubicado en

La ecuacin caracterstica para este sistema es

Procedemos a hallar la funcin de transferencia pulso de nuestro sistema:

Convertimos a espacios de estado:

Utilizando la frmula de Ackerman:

Ahora diseamos un observador, donde debemos tener en cuenta que la velocidad debe ser mayor que la del sistema. Sea

Es decir que encontramos que los polos deseados estn en

Su ecuacin caracterstica sera:

Utilizando la frmula de Ackerman:

La ecuacin del observador est dada por:

La ecuacin del controlador est dada por

La funcin de transferencia para el sistema de lazo cerrado es:

Ahora debemos buscar un factor de correccin k0 para la obtencin 0 del error ante una entrada escaln. En este caso la funcin quedara:

Usamos el teorema del valor final el cual nos dice:

Para que el error sea cero debe cumplirse que por lo tanto:

PRACTICAEjercicio 1:

Con los valores del Ejercicio 1 de la Actividad Terica, utilice LabVIEW para: (a)Dibujar la respuesta de la planta Gp(s) en lazo cerrado sin controlador ante una entrada escaln unitario Los valores de ess y ts corresponden a los encontrados en el inciso (a)? (b)Dibujar la respuesta del sistema con controlador en lazo cerrado ante un escaln unitario. Los valores de tiempo de establecimiento y sobre impulso corresponden a los encontrados en el inciso (b)?

Como se puede observar en la grfica tanto el error en estado estable como tiempo de establecimiento coinciden aproximadamente con el calculado donde haciendo un paralelo

Luego el inciso a coincide.

Calculado

Real

Maximo Sobre impulso

5%

6.5%

ts

0.9

0.973

En tiempo discreto

Vemos que en tiempo discreto reduce el tiempo de asentamiento y aumenta el sobre impulso, esto debido a que el tiempo de muestreo es algo grande.

Ejercicio 2:

Con los valores del Ejercicio 2 de la Actividad Terica, utilice LabVIEW para: (a)Dibujar el diagrama de Bode de la planta Gp(s) El margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (a)?

(b) Dibujar el diagrama de Bode del sistema compensado. El margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (b)?

(a) Dibujar el diagrama de Bode de la planta Gp (s) El margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (a)?

(b) Dibujar el diagrama de Bode del sistema compensado. El margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (b)?

Los comandos utilizados para la primer grafica son:

num=[-0.000665306 -0.192664 1.99317]

den=[1 0.996805 0]

sys=tf(num,den)

margin(sys)

grid

Los comandos utilizados para la segunda grafica son:

num=[-0.000651334574 -0.189345866 1.75864943 1.99317]

den=[0.001193851479 1.001190037 0.996805 0]

sys=tf(num,den)

margin(sys)

grid

EJERCICIO 3

CONCLUCIONES

Los sistemas de control son parte fundamental en el desarrollo de la ingeniera y en la aplicacin automatizada de la cual ya se hace parte en todo los aspectos tecnolgicos. Hoy dando por conceptualizado todos los procedimientos adquiridos para disear controladores PID digitales podemos dar por concluyente el gran aprendizaje que hemos adquirido mediante nuestro tutor, gua fundamental para este conocimiento.

Bibliografa

Jhon Jairo Cspedes Murillo, Oscar Donaldo Rodrguez; Modulo control Digital

Extrado de http://www.unad.learnmate.co/course/view.php?id=449

UNAD Virtual

-100

-50

0

50

100

Magnitude (dB)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

90

135

180

225

270

Phase (deg)

Bode Diagram

Gm = 14.3 dB (at 3.22 rad/s) , Pm = 31.6 deg (at 1.25 rad/s)

Frequency (rad/s)

010203040506070

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Step Response

Time (seconds)

Amplitude