MODEL DIMENZIONIRANJA KOMPOZITNIH POPRENIH PRESJEKA OPTEREENIH

NA SAVIJANJE

Prof. dr. Jure Radni, dipl. in. gra. Prof. dr. Alen Harapin, dipl. in. gra.

Graevinski fakultet Sveuilita u Splitu

SAETAK

Prikazan je model dimenzioniranja opih kompozitnih poprenih presjeka optereenih ekscentrinom uzdunom silom. Presjeci mogu biti proizvoljnog oblika, sastavljeni od razliitih materijala i formirani u vie faza. Proraun ukljuuje analizu naponsko-deformacijskog stanja presjeka, utvrivanje graninog kapaciteta noenja i odreivanje potrebne povrine ipkaste armature za utjecaj kratkotrajnog optereenja. Ukratko je opisana mogunost primjene modela na dimenzioniranje betonskih presjeka ojaanih labavom i prednapetom ipkastom armaturom, te krutim elikom.

II faza

I faza I faza

II faza

a) Klasino armirani presjeci b) Prednapeti betonski presjeci c) Spregnuti elino- betonskipresjeci

OSNOVNE PRETPOSTAVKE Presjeci i nakon deformiranja ostaju ravni. Nema klizanja na spoju razliitih materijala nakon njihova sprezanja. Poznata je veza napon-deformacija za svaki materijal. Optereenja, naprezanja i deformacije u tlaku su uzete kao pozitivne veliine, a u

vlaku negativne.

RAVNINA DEFORMACIJE PRESJEKAGrafiki prikaz mogue ravnine deformacije, u odnosu na prethodno ravnotenostanje, dan je na slici. Dopunska deformacija neke toke presjeka definirana jejednadbom ravnine.

rT=[ ]yz0T ,, =[ ]zy,,1T =r

+= prTpp = ; [ ]ypzpp0Tp ,, =

rTTp += rrTu = ; += pu

VEZA NAPREZANJE DEFORMACIJAPolazi se od poznate veze izmeu jednoosnog naprezanja i deformacije zapojedini materijal. Za realne materijale ova je veza u osnovi krivolinijska, a definirana je jednoosnim testom ili odgovarajuom regulativom. Sa stanovitanumerike analize, zgodno je ovu vezu definirati kao linearnu po pojedinimsegmentima. Ovako uvedena kontrolirana pogreka je zanemariva u odnosu na drugepretpostavke. Veza izmeu bilo koje dvije toke i,j dijagrama definirana jepomou

)E( ii +=rTpii EE- +=

rTE +=U gornjim izrazima E oznaava tekuimodul elastinosti materijala (nagibpravca na promatranom sektoru), dok jegrafika interpretacija naprezanja vidljiva sa slike. Treba naglasiti da je zapoznato poetno stanje i pretpostavkutekue deformacije izmeu toaka i,j , naprezanje konstantno i odreeno.

JEDNADBA RAVNOTEEVektor unutranjih otpornih sila presjeka Su je funkcija rezultantne ravninedeformacije i veze pojedinog materijala. Ukoliko su oni poznati, Su se moejednostavno izraunati integracijom naprezanja na podruju kompozitnog presjeka.Nu oznaava unutranju uzdunu sliku, Mzu i Myu odgovarajue momente sileobzirom na koordinatne osi, W podruje pojedinog materijala, a sumacija prekosvih materijala m.[ ]

==

myuzuuu d M,M,N rS

uu ISS +=

=

mu d rS

=m

T dE r rI

u0vv = SS ( )u0vuu ,S=vvpv SSS +=

)1(0uv = SS

ODREIVANJE STANJA NAPREZANJE-DEFORMACIJA

Za poznate vanjske sile i definirani poprenipresjek, esto treba odrediti ravnotenudeformacionu ravninu i naponsko stanje. Rjeenje ovog problema se direktno svodi narjeenje jednadbe (1). Koristei iterativnipostupak rjeenja, problem se moe zapisati u obliku k1kk SI = +

ku

kv

k SSS =1kk1k ++ +=

SLIJED ITERATIVNOG POSTUPKA

1) Na temelju poznatog poloaja deformacijske ravnine pk iz prethodne iteracije k, izrauna se matrica Ik i vektor unutranjih sila presjeka .

2) Izvri se korekcija vektora neuravnoteenih sila , ako je on funkcija poloaja ravnine deformacije, tako da je .

3) Izrauna se vektor neuravnoteenih sila .4) Odredi se vektor prirasta parametara ravnine deformacije iz 5) Odredi se tekui vektor parametara dopunske ravnine deformacije

.6) Kontrolira se konvergencija postupka. Ako je zadovoljen kriterij

konvergencije ispiu se rezultati i uzima se novi sluaj optereenja. Ako kriterij konvergencije nije zadovoljen, postupak se vraa na korak rjeenja (1).

kuS

kvS( ) 0vkukv SS =

uvk SSS =

1k+ k1kk SI = +

1kk1k ++ +=

pk1k / +

NEKI PRORAUNSKI ASPEKTIa) ipkasta armatura

Nakon odreivanja veliine ukupne deformacije a u promatranoj ipci, utvruje se izmeu kojih vornih deformacija i, i+1 na predmetnom dijagramu - ona lei. Potom se odredi pripadajui modul elastinosti E, te doprinos tekuih mehanikih karakteristika ipkastih materijala.

T

aaa A E rrI =

a) Materijal vee povrinePodruje materijala koji ima znaajnu povrinu u odnosu prema povrini itavog poprenog presjeka zadaje se konveksnim poligonalnim elementima bez upljina (konani elementi KE). Na podruju jednog KE moe biti samo jedan tip materijala, izuzimajui ipkastu armaturu. Svaki KE odreen je listom vornih toaka i njihovim koordinatama, te indeksom svojstva materijala. Dakle, konture svakog materijala najprije se aproksimiraju poligonom, a potom se omeeno podruje podijeli na KE.

Z

n

e

u

t

r

a

l

n

a

o

s 1 2i

i+1n

ei

ukupna ravnina deform

acije

1

n

,

i

+

1

i

,

modul elastinosti

E

K.E.

Nakon odreivanja rezultantne ravnine deformacija na promatranom KE i poloaja pripadajue neutralne osi u prethodnoj iteraciji, postavlja se set pravaca koji su s njom paralelni i na kojima lee toke KE, s deformacijama jednakim vornim deformacijama i radnog dijagrama. Potom se trai presjek ovih pravaca sa stranicama svakog KE, te tako na svakom od njih definiraju podruja ei (podelementi) s konstantnim modulom elastinosti E. Matrica Ie za svako ovo podruje je oblika

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

eyezyey

ezyezez

eyeze

e

IIQIIQQQA

I

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )( )[ ]

+++++

++

++

+

+

++

++++=

+=

+=

+=

+=

==+==

1j1j1jjj1jj1jjjezy

1jj2

1jjjey

1jj2

1jjjez

1jjjey

1jjjez

je

j1j1jjj

yzzyzyyzzwE241I

zzzzwE121I

yyyywE121I

zzwE61Q

yywE61Q

wE21A

n1n 1,2,...n;j ;yzyzw

=m

T d E rrI

Vektor unutranjih sila:

( ) ( ) ( ) pee2e1eu ++= ISSS

( )( )( )( )

( )( )( )

=

==

eyl

i

ezl

i

el

i

ey

ez

e

ie1

Q

Q

A

QQA

d e

rS

( )( )( )( )

( )( )( )

=

==

eyi

ezi

ei

ey

ez

e

ie2

QQA

QQA

d E e

rS

Mehanike karakteristike i dio vektora unutranjih sila jednoga KE dobivaju se sumiranjem odgovarajuih karakteristika svih podruja ei na tom elementu, a pojedinih materijala preko svih KE koji opisuju taj materijal. Analogno, sumiranjem preko svih materijala dobivaju se ukupne karakteristike kompozitnog presjeka.

ODREIVANJE GRANINE NOSIVOSTI PRESJEKA

maxj-1g=maxnmaxjmax1

S Sg v=nj-1Sv

jSv

Sv1

vn

vg SS =0ugvg = SS

ku

kv

jk SSS =

Ako se eli dobiti granina nosivost presjeka Sug za zadani smjer vektora vanjskih sila Sv, deformacijska ravnina mora biti u graninom poloaju. Ona je definirana dosezanjem granine (maksimalne/minimalne) deformacije g u nekom materijalu presjeka. Vektor odgovarajuih vanjskih sila Svg, koji uzrokuje ovo stanje, biti e u tom sluaju:

PRORAUN POVRINE IPKASTE ARMATURE

Kompozitni presjeci esto su ojaani kvalitetnijim materijalom (armaturom) ija je povrina u odnosu na ukupnu povrinu mala, te se moe uzeti da je ta povrina zgusnuta u toku. Najee treba odrediti povrinu i raspored armature, te vektor vanjskog optereenja, ako su poznate dimenzije presjeka, kvaliteta i raspored materijala. Postupak je analogan postupku odreivanja granine nosivosti presjeka, s tim da se u svakom inkrementalnom koraku korigira potrebna povrina armature.

Aa

j-1Aa

jAa

nAa

Sugj Sug=Svg

n nSugj-1Sug

1

JEDNOSTAVNI PRIMJER

Potrebno je odrediti stanje naprezanja-deformacije za sustav i presjek prikazan na slici, pod vlanom silom F=360 kN.

4

0

20

As=416

2s

2c

2s

2c

m0008.0164Am08.0A

mMN000200EmMN00034E

=====

c

c []

fcdf ck

2.0 3.5

( ) ccckc 44f =s

s []10.0

400

500

2.0

l=1.0 m

F=360 kN

u

Poto je presjek optereen vlanom silom beton ne nosi nita nego kompletnu silu preuzima armatura.Za poetak pretpostavimo da je u=0.

s

s []10.0

400

500

2.0

E=200000 MN/m2

E=12500 MN/m2

Osnovne pretpostavke

kN0.3600.00.360FFF0.0F0.0u

mkN00.4500000008.0

0.360AF

kN0.360F

uv0

u

0

2

s

vv

v

=====

====

s

s []10.0

403.125

2.25

E=12500 MN/m2450.0 F =37.5 kN1

1. iteracija

kN5.375.3220.360FFFkN5.3220008.0403125AF

mMN125.403125.30.400

2500100025.00.400E25.0400000

25.200225.00.1

00225.0um00225.0uuu

m00225.0KFu

kN0.360F

mkN1600000.1

0008.00.200000000AEK

mkN000.000.200E

1v1

s11

221

11101

1

01

0

s11

21

======

=+==+=+=

=====+=

===

====

l

l

2. iteracija

kN0.00.3600.360FFFkN0.3600008.0450000AF

mMN0.4500.500.400

25001004.00.400E0.4400000

0.6006.00.1

006.0um006.000375.000225.00.0uuuu

m00375.010000

5.37K

Fu

kN5.37F

mkN100000.1

0008.00.12500000AEK

mkN000.500.12E

2v2

s22

222

22

2102

2

12

1

s22

22

======

=+==+=+=

=====++=++=

====

====

l

l

s

s []10.0 6.0

450.0

PRIMJER 1U primjeru 1 analiziran je jedan klasino armirani presjek nekog mosta.Presjek nastaje u dvije faze. U prvoj fazi montani T nosa (beton C 30/37, armatura 1228 + 3010 - RA 400/500) optereen je uporabnim momentom savijanja od stalnog optereenja Mg1=0.88 MNm. U drugoj fazi, nakon ovravanja betona kolnike ploe (beton C 25/30, armatura 2019 - RA 400/500), spregnuti nosa je optereen momentom savijanja od dopunskog stalnog optereenja Mg2=0.90 MNm i momentom savijanja od prometnog optereenja Mp=0.872 MNm.

Z

8

0

1

0

0

47

I faza

II faza

2

0

Y

40

12 28

13447

C 25/30

C 30/37

2

0

7

0

1

0

2

0

7

0

1

0

2

0

6

0

4

0

(RA 400/500)

30 10 (RA 400/500)

20 19 (RA 400/500)

5

.

4

5

.

8

ZY

0.21

-1.70-1.5

6

-1.56

-1.56

-1.14

-0.77

0.21

0.180.40

0.34

N.O.

Z

Y

-327.8

-295.6

-229.4

-162.9

-96.5

71.1

43.4

5.9 5.9

39.1

12.4

N.O.

a) deformacije [] b) naprezanja u betonu i armaturi [MPa]

N.O.

Z

Y

1.7

1.4

-1.4

1.7

-1.4-1.1

-9.9

-9.2

1.4

N.O.

Y

Z

-400-400

-400

-400

-400

-400

-242.3-104

.8

293.8

20.1 20.1

293.8

-242.3

a) deformacije [ ] b) naprezanja u betonu i armaturi [MPa]

Naponsko-deformacijsko stanje spregnutog presjeka za uporabno optereenje

Naponsko-deformacijsko stanje spregnutog presjeka za graninu nosivost

PRIMJER 2Na crteima je prikazan jedan prednapeti uzduni nosa mosta Klievica. Presjek jeformiran u dvije faze. U prvoj fazi nosa je optereen momentom od stalnog tereta u iznosu 11.81 (MNm), i silom prednaprezanja 2.03 (MN) za svaki kabel (pripadnadeformacija je pp=0.00533 ). U drugoj fazi, nakon otvrdnjavanja ploe, presjek jedodatno optereen momentom od dodatnog stalng optereenja u iznosu 1.73 (MNm) te momentom od pokretnog optereenja u iznosu 4.85 (MNm). Odnos za beton i prednapete kablove prikazan je u nastavku. Dimenzioniranje je izvreno prema EC2.

cdf

( )0035.0002.0f

002.002501f1000

ccdc

ccccdc

114.5253

5

Z170

3025

136.

3 2

99.5

2

64202420

15.6

21.2

24114.5

Mzn=11.81 MNm

Y

137.

36

174.

16

1 7010 RA 400/500

21.2

1 5.6

2S 1860 BBRV ConaAk=1900 mm

28 RA 400/500

12 RA 400/500

3025

64202420

114.5253

Mzn=18.39 MNm

255

C 45/50

C 45/50

Plate concrete:

Canteliver concrete:

10

24 114.5

2010

5

Z

YGEOMETRIJA NOSAA

Ravnina deformacije ()

0.38

0.39

-5.23

Naprezanje u labavoj armaturi (MPa)

Z

0.38

0.39

0.38

0.38

Y

82.12

0.08

0.15

0.11

-5.23

-5.20

-5.23

Z

82.12

53.66

57.96

62.27

66.57

70.88

75.19

45.05

49.35

Y

28.97

32.13

36.43

26.23

20.112

1.8023

.48

40.74

STANJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA NOSAA U I FAZI

STANJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA NOSAA U I FAZI

Naprezanja u betonu (MPa)

10.33

10.66

-1043.

03

-1043.

03

-1043.

03

-1037.

51

4.36

2.31

3.24

2.31

3.24

4.36

10.33

10.66

10.16

10.16

Z

Naprezanja u prednapetim kablovima (MPa)

Y

STANJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA NOSAA U II FAZI

Naprezanja u labavoj armaturi (MPa)Ravnina deformacije ()

n.a. II phase

n.a. I phase

0.43

0.430.4

6

0.50

0.16

0.22

Y

-0.47

-0.47

-0.58

-0.58

-0.33

-0.33

Z

n.a. II phase

n.a. I phase

Z

0.46

0.50

0.16

0.22

Y

113.1044.

22

34.82

44.77

29.83

89.19

74.46

59.51

-44.49

-59.22

-70.10

-79.54

-88.99

-94.80

-100.6

2

-106.4

3

-29.54

113.10

108.60

STANJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA NOSAA U II FAZI

Naprezanja u prednapetim kablovima (MPa)

n.a. II phase

n.a. I phase

11.56

13.08

12.07

4.45

6.21

11.56

Z

n.a. II phase

n.a. I phase

13.086.2

1

4.45 12.

07

Z

-1002.

23

-1002.

23

-1002.

23

-983.7

3

Naprezanja u betonu (MPa)

Y Y

GRANINO STANJE NOSAA U II FAZI

GRANINO STANJE NOSAA U II FAZI