Upload
trader-toliz
View
225
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
1/41
FUNGSI dan LIMITA.FUNGSI
Sebuah perubah (variabel) y dikatakan sebuah fun si darisebuah perubah (variabel) ! apabila ada hubun an antara ! dany sede"ikian rupa sehin a untuk tiap#tiap har a ! yan dapatdiasu"sikan ada satu hubun an atau lebih den an har a y.
$%nt%h &' y ! * +! , "ende-nisikan sebuah hubun anantara variabel ! dan y.
apabila ! / &/ / #& "aka "asin #"asin y / # / #0/ 1
$%nt%h ' 2elilin sebuah lin karan (2) adalah fun si dari 3ari# 3ari lin karan (r)/ hubun an tersebut dapat diberikan %leh2 4 r.
apabila r &/ 5/ + ft "aka "asin #"asin 2 4/ 6 4/ & 4ft
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
2/41
N%tasi fun si• N%tasi fun si y f(!)/ diba7a 8 y sa"a den an f dari !9/
hal"ana untuk "enun3ukkan bah:a 8 y adalah fun si dari!9 . ;ariabel ! adalah variabel bebas/ dan variabel y adalah
variabel tidak bebas.
• Men atakan bah:a y adalah fun si dari ! adalah sa"aden an "enyatakan bah:a y ter antun pada !. N%tasinyay f(!)
•
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
3/41
Fun si variabel • ;ariabel = dikatakan "en3adi fun si dari variabel
! dan y apabila ada sebuah hubun an sede"ikianrupa sehin a tiap#tiap pasan an har a ! dan ybersesuaian den an satu atau lebih har a#har a=.
! dan y adalah variabel bebas dan = adalahvariabel tidak bebas.
• N%tasinya di unakan = f (!/y)/ diba7a' = sa"aden an fun si dari ! dan y/ "aka f (a/b)"enyatakan har a = ketika ! a dan y b/asalkan fun si terdi-nisikan untuk har a#har aitu.
Apabila f (!/y) ! 5 , !y # !/ "aka f ( /5) 5 ,
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
4/41
$%nt%h'Nyatakan luas bu3ur san kar A seperti ter a"bar di ba:ahini seba ai fun si dari'a). Sisi !/ b). 2elilin >/ 7). ?ia %nal ?
?!
!
Jawab:a). A = x 2 A = f (x) = x 2
16)(:
164
,
4
P=atau x4x=P b).
2
222
P P f A Jadi
P P x Amaka
==
=
==
2)(:
22
222).
2
22
2
222
D
D f A Jadi
D Aatau
D x A Maka
D xatau x x x x Dc
==
=
==
===+=
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
5/41
. Nyatakan' a). Luas A/ b). 2elilin >/ 7). ?ia %nal ? darisebuah e"pat perse i pan3an seba ai fun si sisi#sisinya !dan y seperti ter a"bar'
?y
!
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
6/41
$%nt%h'&). y f (!) y ! * +! ,
y adalah fun si berhar a tun al dari ! sebab untuk setiap har a! yan diberikan ada satu dan hanya satu har a y yanbersesuaian.
) 2 f (r) 4 r 2 adalah fun si berhar a tun al dari r sebab untuk setiap
har a r yan diberikan ada satu dan hanya satu har a 2 yanbersesuaian.
• Suatu fun si y f (!) disebut 8fun si berhar a banyak/ bila untuksetiap har a ! yan di"un kinkan terdapat lebih dari satu har a y.
banyak har a y yan bersesuaian den an tiap#tiap har a ! yandapat diasu"sikan atau y adalah berhar a banyak dari !.
$%nt%h'
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
7/41
• Se"ua an ka input ! yan dapat dipr%ses %leh suatu fun si se7arabersa"a#sa"a
disebut 8d%"ain9 fun si tersebut. 2u"pulan se"ua bilan an y yanberkaitan
den an bilan an dala" d%"ain itu disebut daerah nilai (ran e atauk%d%"ain)
fun si tersebut.
$%nt%h'&). Tin3au persa"aan y f (!) ! 5/ * ! B 5
Fun si ini dide-nisikan hanya untuk set nilai ! terbatas yan diketahui/
sehin a d%"ainnya diberikan seba ai * ! B 5 dan daerah nilainya(ran e) seba ai' *1 y B C/ karena *1 seba ai nilai "ini"u" y dan C seba ai nilai"aksi"u" y dala" d%"ain itu.
). ?iketahui' y f (!) ! , &/ D ! D 5
Tentukan' a). b). ran e fun si tersebut
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
8/41
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
9/41
Jeberapa sifat al3abar serin dite"ui?ari Se iti a siku#siku'
222222222 ac##ca#ac −=⇒−=⇒+=•
aa
a
a
aa#a#a#a#a
#a
#a
#a
#a
#a
#a
#a#a#a
111
..
21
21
21
21
2
2
22
2
2
==•==•−≠−•+≠+•
=•=
=•
=•=•
−
−
c
a
b
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
10/41
.
•
Fun si Easi%nal Julat Kaitu fun si di "ana variabel ! tidak terdapat diba:ah tanda akar $%nt%h' y ! , C
K ! * C! , 1 K 0! 5 * 1! , &&
( )( )
( )( )
aac##
xc#xaxkuadrat Persamaan
$E%T&$ '!$&M!(M
dst
#a##a#aa#a
#a##aa#a
#a#a#a
#a#a
Pascal Segitiga
24
0:
.....................................................................................................
14641464
133133
1212
11
:
2
122
4322344
32233
222
1
−±−=⇒=++•
⇒
•++++=+•
+++=+•
++=+•+=+•
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
11/41
• Fun si Easi%nal >e7ah
$%nt%h'
• Fun si 2%nstan$%nt%h' y f(!) 7 7 k%nstan
• Fun si >%lin%" (suku banyak)Jentuk u"u"' y > n (!) a n ! n ,a n#& ! n#& ,....,a & ! , a a n
disebut >%lin%" dera3at n
Jentuk khusus'Untuk n &' y > & (!) a & ! , a a & / disebut fun si linier. a & radient (k%e-sien arah)/ ra-knya berupa aris lurus$%nt%h' y > & (!) ! , & Untuk n ' y > (!) a ! , a & ! , a a & / disebut fun sikuadrat
$%nt%h' y > (!) ! , 0 ! , 5
1
12
3
2
−+=
−=
x x x
y
x y
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
12/41
• Fun si Irasi%nal Kaitu fun si di "ana variabel ! terdapat di ba:ah tanda
akar.
• Fun si G%ni%"etriMe"punyai bentuk seba ai berikut'y sin !y sin ! , 7%s !y 7%s 5! #&y t ! * 7%t 5!
16
18: 3
−=−−=
x y
x x y)ontoh
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
13/41
. Jeberapa sifat#sifat %ni%"etri yan serin dite"ui'
α
1cos2sin21sincos2cos
cot1cos1sec
sin.cos2sin1cossin
cot.sinsin
cos.coscotcos
sin
1sin.cossin
1cos
1cos.seccos
1sec
cot1
sincos
cotcossin
cossin
222
2222
2222
−=−=−=•+=•+=•
=•=+•
==•==•
=⇒=•
=⇒=•
=⇒=•=•
=•=•=•
α α α α α
α α α α
α α α α α
α α α
α α α α
α
α α
α α α
α
α α α
α
α α
α
α α
α
α α
α α α
g ectg
g tg
tg g
ecec
g tg g tg
#a
tg c#
ca
c
a
b
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
14/41
. Fun si L% arit"aMe"punyai bentuk seba ai berikut'y l% (! * +6! * +)y l% (! * &)y l% (! 5 , ! , &)y l% 5! y 5 l% ! y l% !Ol% 5
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
15/41
Jilan an e biasa di unakan dala" Eu"us#ru"us Il"u Fisikadan Il"u Teknik
Q fakulteitOfa7t%rialOfakultas + Q +.0.5. .&. &5 unsur dapat disusun "en3adi 6 "a7a" susunanMisal ' AJ$ AJ$/ A$J/ JA$/ J$A/ $JA/ $AJ 5Q 5. .&
6
Jilan an e / C&1 1&1 10+ biasa ditulis den an +desi"al/ yaitu / C&1 1 dan disebut Jilan an Transendental
....59182818284,2!
1...............
!31
!21
!11
1)1()1
1(1
0=++++++=+=+=
→∞→ nk mil
hmil e k
h
h
h
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
16/41
. Jeberapa sifat#sifat l% arit"a yan serin dite"ui'R e l% ! ln !R ln e & lne n n R ln & R ln &Oe #ln e #& ln &O! # ln ! R
Rln e l% & ln & /5 6 dan l% e /0505R ln & &Ol% e l% e &Oln &R ln ! ln y ! yR ! ln y y e ! R l% & & l% & n nR ln ! y ln ! , ln y R l% !y l% ! , l% y l%
a
!y l% a ! , l% a yR ln !Oy ln ! * ln y atau a l% !y a l% ! , a l% yR ln ! y y ln ! R l% !Oy l% ! * l% yR d aOb.7 a l% !Oy a l% ! * a l% y
ln d ln a * ln b , ln 7 R ! l% y l% yOl% !atau l% a !Oy l% a
! * l% a y a l% y l% yOl%a
R l% ! y y l% ! l% ! l% !
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
17/41
• Fun si !p%nensialy + !y (&O ) !
Sifat#sifat'f (!) a ! untuk se"ua !a p .a V a p,V
(a p ) V a pV
* * *
aaa
a
a −− == .
#a
#a =
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
18/41
• Fun si Sikl%"etriFun si sikl%"etri adalah kebalikan fun si %ni%"etri.
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
19/41
Fun si Wiperb%lik dan InverseWiperb%lik
• Fun si Wiperb%lik
Fun si hiperb%lik dide-nisikan dari fun sieksp%nensial
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
ee x xechee x xh
eeee
x x
x gheeee
x x
xtgh
ee x
ee x
−−
−
−
−
−
−−
−==+==
−+==+
−==
+=−=
2sin"1cos#2cos"1sec#
sin"cos"
cot#cos"sin"
#
2cos"#
2sin"#
Id i W b F i#f i Wi b%lk i
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
20/41
Identitas Wubun an Fun si#fun si Wiperb%lk yan serindite"ui
1cos"21cos2
sin"21sin21
sin"cos"2cos"sincos2cos
sin".cos"22sinsin.cos22sin
1cotcos1cotcos
1sec1sec
1sin"cos"1sincossin"
1cos
sin
1cos
cos"
1sec
cos
1sec
1cot
1cot
22
2222
2222
2222
2222
−=−=
+=−=+=•−=•
=•=•−=•+=•
−=•+=•=−•=+•
=•=•
=•=•
=•=•
x x
x x
x x x x x x
x x xh x x x
x g xech x g xec
xtgh xh xtg x
x x x x x
xech x
xec
x xh
x x
xtgh
x gh
xtg
x g
+i er#olik ,oniometri
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
21/41
.
Contoh :
y gh x gh y gh x gh
y x gh
ytgh xtgh ytgh xtgh
y xtgh y x y x y x
y x y x y x
cotcot1cot.cot
)(cot
.1)(
sin".sin"cos".cos")(cos"
sin".cos"cos".sin")(sin"
±±=±•
±
±=±•±=±•
±=±•
32 )1(.2
3sin".1
xtgh y
x y
+==
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
22/41
• Fun si Inverse Wiperb%lik Suku#suku fun si hiperb%lik terdiri dari fun si#fun sieksp%nernsial/ sedan inverse O kebalikan fun si hiperb%liktidak harus terdiri dari fun si eksp%nensial/ akan tetapidapat berupa fun si l% arit"a.Misal '
( )( )( )
( ) ( )1ln1lncos"
1ln
01ln:
1ln
22lnln
2442
:
01201
21
2
2
cos"
cos"
22
2
2
2
2
2
2
−−=−+==
−−=≥−+=
−±= −±=
−±=
=+−⇒=+−⇒+=
+=
==
−
x x ydan x x y
xarc y(ntuk x x y
x x y Jadi
x x y
x xe
x xe
kuadrat Persamaan xeee xeee x
ee
x x xarc y
y
y
y y y
y y
y
y y
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
23/41
?en an 7ara yan sa"a/ "aka identitas inversehiperb%lik adalah'
$%nt%h'
( )( )
011
lncos
1011
lnsec
11
1ln
2
1cot
111
ln21
11lncos"
1lnsin"
2
2
2
2
2
2
≠→−+
=
≤→−
+=
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
24/41
Fun si an3il dan fun si enap
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
25/41
Ja ian#ba ian Gan3il dan GenapTidak setiap fun si itu dapat di %l%n kan "en3adi fun si
enap atau an3il/ tetapi banyak fun si dapat ditulis seba ai
pen3u"lahan ba ian enap dan ba ian an3il.
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
26/41
Gra-k Fun si
• Gra-k sebuah fun si y f (!) adalah te"pat
kedudukan dari se"ua titik (!/y) yan "e"enuhipersa"aan y f(!).setiap fun si real dapat di a"barkan den an"en unakan siste" k%%rdinat 7artesius/ yanterdiri dari dua su"bu yan salin te ak lurus.Su"bu "endatar (su"bu X) "enyatakan su"bupra peta (su"bu variabel bebas)/ dan su"bu te ak(su"bu K) "enyatakan su"bu peta (variabel takbebas).
• Fun si di a"barkan ra-knya den an 7ara"en a"barkan pasan an berurutan dari fun sitersebut.
$%nt%h'
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
27/41
$%nt%h&). y f (!) ! * &.
?en an "en7ari nilai#nilai y yan bersesuaian den an ! #5/ # / #&/ / &/ / 5 sehin a diper%leh titik#titik k%rdinat
(!/ y) seba ai"ana tabel berikut'Titik#titik k%%rdinat (#5/#C)/ (# /#+)/ (#&/#5). ( /#&)/ (&/&)/( /5)/ dan (5/+) di a"barkan seba ai berikut'
X
K yf(!)
Se"ua titik#titik yan "e"enuhi y ! * & terletak pada sebuah aris
lurus.Se7ara u"u" dinyatakan' y a! ,
b/ sedan a dan b adalahk%nstanta sebuah aris lurus/sehin a y a! , b atau f (!) a!, b disebut fun si linear .2arena "erupakan aris lurus/"aka hanya dua titik perlu
! #5 # #& & 5y #C #+ #5 #& & 5 +
) y ! * ! # 1 atau f (!) ! * ! # 1
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
28/41
). y ! * ! # 1 atau f (!) ! * ! # 1Nilai#nilai y yan bersesuaian den an ! "erupakan titik#titik k%rdinat (!/ y) seba ai"ana tabel berikut'
Titik#titik k%%rdinat (#0/&6)/ (#5/C)/ (# / ). (#&/#+)/ ( /#1) danseterusnya di a"barkan seba ai berikut (lebih "udah"en unakan skala yan berbeda pada su"bu ! dan y)
! # 0 # 5 # # & & 5 0 + 6
K &6 C #+ # 1 # #1 #+ C &6
X
K
yf(!)X
XX
>(&/#)
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
29/41
.
X
! # 0 # 5 # # & & 5 0 + 6 K &6 C #+ # 1 # #1 #+ C &6
K
X
X
X
>(&/#)
X
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
30/41
LIMIT FUNGSI
>en ertian dan Te%re"a Li"it• Li"it suatu fun si f(!) untuk ! "endekati a adalah
har a pendekatan dari f(!) pada saat ! "endekati nilaia.
f(a) adalah nilai pendekatan untuk ! disekitar a•
2%nsep li"it (dala" "ate"atika) di unakan untuk"en3elaskan sifat dari suatu fun si saat ar u"en"endekati kesuatu titik/ atau tak terhin a/ atau sifatdari suatu barisan saat indeks "endekati tak terhin a.
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
31/41
$%nt%h
atau ditulis:
f(!) "e"punyai di-nisi yan 3elas (terdi-nisi) pada titik dannilainya sa"a den an li"itnya/ yaitu /0
se"akin ! "endekati / nilai f(!) "endekati /0/ dan karenaitu'
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
32/41
$%nt%h
atau ditulis:
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
33/41
se"akin besar nilai ! "aka se"akin ke7il nilai f(!)/ karenase"akin ke7il
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
34/41
. $atatan' untuk 7 k%nstanta / dala" k%nteks li"it berlaku'
Lan kah u"u" penyelesaian li"it fun si al3abar'&). Subsitusikan lan sun nilai ! a ke f(!)
).
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
35/41
$%nt%h :
• ?en an subsitusikan lan sun '
• Fakt%rkan atau dikalikan akar seka:an'In at ' (a * b)(a , b) a * b
takonsadalahc x g
x f Limit
x g
x f Limit maka
iterdifinis x g x f
Limit dan x g x f
Limit Jika
c xc x
c xc x
tan,)(
)(
)(
)(
)()(
00
)()(
→→
→→
=
=
.....1
1)(
11=
−−=
→→ x
x Limit x f Limit
x x
)(00
11
11
1
1)(
11tentutak iterdifinistidak
x
x Limit x f Limit
x x=
−−=
−−=
→→
211)1()1(
)1)(1(
1
1111
=+=+=−
+−=−
−→→→
x Limit x
x x Limit
x
x Limit
x x x
• ?en an dalil L[ W%spital
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
36/41
?en an dalil L[ W%spital In at turunan dari'
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
37/41
$%nt%h :
21
42
142
,14
2
:
21
042
1
4
214
2
142
)12)(12(22
)12)(12()12(
)12)(12()12(
1212
:
*..........1212
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
22323
2222
22
==
−=⇒
−
•
=
−=
−
=
−⇒=•
−=
+−+−+
=
+−−−
+−+=
+−
−
=
+−
−
∞→∞→
∞→∞→
∞→∞→
∞→∞→
∞→
x x
Limit makanm x
x Limit
enye#ut dan em#ilang adatertinggi angkat koefisien Melihat x
Limit
x x x x
Limit xdengan Di#agi
x x
Limit x x x x x x
Limit
x x x x
x x x x
Limit x x
x x
Limit
an Penyelesai
x x
x x
Limit
x x
x x
x x
x x
x
Sifat#sifat Li"it Fun si'
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
38/41
Sifat#sifat Li it Fun si
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
39/41
S%al#s%al Latihan '
Tentukan nilai li"it dari bentuk'
1
45).1
2
2
1 −+−
→ x
x x Limit
x
x x Limit
x −−−
→ 1231).2
1
2425).3
2
2
5 −−−→ x x Limit
x
1
1)(1().4
1 −+−
→ x
x x Limit
x
−−
−→ 11
221).5 21 x x
Limit x
)12)(1(
)21().6 2
3
++− −∞→ x x x x
Limit x
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
40/41
8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit
41/41