3 Angular Momentum

Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 3 Angular Momentum 3-1

Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009

3Angular Momentum เนอหา 3.1 Orbital Angular Momentum และ Spin Angular Momentum 3.2 Commutation 3.3 ˆ ˆ ˆ,x y zJ J i J⎡ ⎤ =⎣ ⎦

3.4 Commuting Operator 3.5 Eigenvalue ของ Angular Momentum 3.6 สมบตของ Operator 3.7 Raising และ Lowering Operator 3.8 m และ 2λ 3.9 ˆ ,J j m+ และ ˆ ,J j m− 3.10 บทสรป 3.11 ปญหาทายบท ลกษณะการเคลอนท ทสาคญอนหนงในทางฟสกส กคอการหมน ปรมาณทางฟสกสทเราใชในการอธบายพฤตกรรมของอนภาคทเกยวของกบการหมนนน เรยกวา angular momentum

ภาพ 3.1 angular momentum เปนคณสมบตทางฟสกสทแสดงถงการเคลอนทแบบหมน ดงในภาพจะเหน Shizuka Arakawa กาลงแสดงการหมนตวแบบ Donut Spin ในการแขงขน Figure Ice Skating



ในกลศาสตรแบบ Newton คานยามของ angular momentum อยในรปของ prL ×= นนกหมายความวาขนาดของ angular momentum ขนอยกบความเรวเชงมมขณะทกาลงหมน, มวลของวตถ, และ รศมของการหมน ยกตวอยางเชน ถามวล 1 kg ทมลกษณะเปนทรงกลมซงมรศม 10 cm เมอหมนดวยความเรวเปน 10 รอบตอวนาท จะม angular momentum ประมาณ 0.25 Js แตทวาระบบอนภาคในระดบอะตอม ซงมมวลขนาดเลกมาก และเคลอนทอยแตในวงจากดภายในระยะทางระหวางอะตอมนน ม angular momentum ทเมอเปรยบเทยบกบตวอยางขางตน เปนคาท

เลกมาก ยกตวอยางเชน spin angular momentum ของอเลกตรอนทกลาวในบทท 2 มคาเทากบ 2

หรอ 340.5 10−× Js เมอเปรยบเทยบกบ L = 0.25 Js ในกรณของการหมนของลกทรงกลมดงกลาว นอกเหนอไปจากขนาดของ angular momentum ทเลกมากๆ พฤตกรรมของ angular momentum ของอนภาคในระดบอะตอม ยงมคณสมบตอนหนงทนาทง นนกคอ คาของ angular momentum ไมใชปรมาณทตอเนอง หากแตมคาเปนเสมอนกบขนบนได ซงในบทท 3 น เราจะพยามทาความเขาใจถงธรรมชาตของ angular momentum ดวยระเบยบวธทาง quantum mechanics

3.1 Orbital Angular Momentum - Spin Angular Momentum สบเนองจากการทดลองของ Stern-Gerlach ทไดกลาวมาแลวใน Section 1.6 อะตอมของ silver ทมสมบตคลายๆกบแทงแมเหลกขนาดเลกนน สนามแมเหลกขนาดจวของมน มผลมาจากอเลกตรอนในชน 5s โดยธรรมชาตแลว เนองจากสงทเราไดเคยศกษาในวชาแมเหลกไฟฟา การทอนภาคทมประจ อาทเชน อเลกตรอนหรอโปรตอนมการเคลอนท จะทาใหเกดกระแสไหล หรอกลาวโดยคราวๆวา ถาอนภาคม orbital angular momentum จะทาใหเกดสนามแมเหลก ตามทฤษฏของ Bio-Savart อยางไรกตามในกรณของอะตอม silver นน เราจะดวนสรปวา สนามแมเหลกขนาดจวดงกลาว เกดมาจากการทอเลกตรอนในชน 5s วงวนเปนวงโคจรรอบๆนวเคลยสมได ดวยเหตทวา จากแบบฝกหด 1.3 ทเราไดทบทวน wave function ของอเลกตรอน โดยทเรามกจะใช quantum number (n, l, m) เปนตวกากบคณสมบตและรปทรงการกระจายตวของกลมหมอกอเลกตรอน (electron density) ในชนระดบพลงงานตางๆ ซงถาหากเราพจารณาในชน 5s จะพบวา อเลกตรอนในชนดงกลาวน ม orbital angular quantum number เปนศนย นนกหมายความวา



อเลกตรอนในชน 5s มไดมลกษณะของ electron density ทสอใหเหนวามนวงเปนวงโคจรรอบแกนใดแกนหนงแตอยางใด แลวเพราะเหตใด อเลกตรอนในชน 5s จงยงสามารถสรางสนามแมเหลกขนาดจวนขนมาได ? คาตอบกคอ spin ในทาง quantum mechanics เราจดให spin อยในประเภทเดยวกนกบ angular momentum กเพราะมนทาใหเกดสนามแมเหลกไดเชนเดยวกนกบ orbital angular momentum เพอหลกเลยงความสบสนทอาจจะเกดขน เรามกจะใชสญลกษณดงตอไปน ≡L orbital angular momentum ( เกยวของกบการเคลอนท ) S ≡ spin angular momentum ( เปนสมบตเฉพาะตวของอนภาค ) ≡J angular momentum ( ไมเฉพาะเจาะจงวาเปน spin หรอ orbital ) หรอในบางครง เรามกจะเขยนเปนสมการไดวา

SLJ += _________________________ สมการ (3.1) ซงสมการ (3.1) ดงกลาว ถาเราตความโยงไปถงการทดลองของ Stern-Gerlach กอาจจะกลาวไดวา โดยทวไปแลว angular momentum J ททาใหเกดสนามแมเหลกขนาดเลกๆนน สามารถเกดขนไดดวยปจจยสองประการคอ 1) L ในกรณทอเลกตรอนมการเคลอนทมลกษณะเปนวงกลมทาใหเกดกระแสไหล และ 2) S ซงเปนคณสมบตเฉพาะตวของอนภาคนนๆ ระยะแรกๆของการศกษา angular momentum ในบทท 3 น เราจะเรมดวยการใชสญลกษณ J หรอกลาวถง angular momentum โดยภาพรวม ทงนกเพอใหขอบเขตของการนาไปประยกตใชงานมความกวางขวาง จากนนเราจงจะยกตวอยางทแคบลงไป และศกษากรณของ spin angular momentum ในโอกาสตอไป

3.2 Commutation

สมบตเชง angular momentum ในประเดนแรกทเราจะศกษากคอวา การนา operator ทเกยวของกบการหมนเขาไปกระทากบสถานะของระบบนน เราจะสลบลาดบทไมได ภาพ 3.2 ชแจงประเดนดงกลาวนใหเหนเปนภาพพจนทชดเจนมากยงขน



หมนรอบแกน x

หมนรอบแกน y หมนรอบแกน x

หมนรอบแกน y

x

y

z หมนรอบแกน x

หมนรอบแกน y หมนรอบแกน x

หมนรอบแกน y

x

y

z

ภาพ 3.2 แสดงการหมนวตถรอบแกน x และ รอบแกน y ใน 2 ลกษณะ จะสงเกตเหนวา ถาลาดบในการหมนนนแตกตางกน ผลลพธทได กจะแตกตางกน ถาเรมดวยวตถรปทรงสเหลยมดงในภาพ 3.2 ซงวงกลมสดาบนวตถนน มไวกเพอใหงายตอการสงเกตลกษณะของการหมน จากนนเราหมนวตถใน 2 ลกษณะดวยกนคอ 1) หมนรอบแกน x ตามดวยการหมนรอบแกน y และ 2) สลบลาดบของการหมน จะพบวาวตถดงกลาว ภายหลงจากการหมนทงสองแบบแลว อยในทศทางทแตกตางกน ในทาง quantum mechanics นนกเชนเดยวกน โดยทวไปแลว หากเราม operator อาทเชน ˆ

xS และ ˆyS

ลาดบกอนหลงในการนา operator ทงสองตวดงกลาวไปกระทากบสถานะใดๆ มความสาคญ และจะทาใหสถานะผลลพธออกมาแตกตางกน กลาวคอ

ˆ ˆ ˆ ˆx y y xS S S SΨ ≠ Ψ _________________________ สมการ (3.2)

หรอ ˆ ˆ ˆ ˆ 0x y y xS S S S− ≠ นนเอง ในเมอผลตางดงกลาวไมเทากบศนย ในภาษาของ quantum

mechanics นน เราใชสญลกษณทเรยกวา commutator เพอใชเขยนแทนผลตางของการสลบลาดบกอนหลงของ operator สอง operator ใดๆ ดงตอไปน

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,A B AB BA⎡ ⎤ ≡ −⎣ ⎦ _________________________ สมการ (3.3)

ทงน การใชสญลกษณดงกลาว กเพยงเพอใหงายและประหยดเวลาในการเขยนเทานน



ทงน commutator มเอกลกษณทางคณตศาสตรอยหลายขอ ยกตวอยางเชน 1) ˆ ˆ, 0A A⎡ ⎤ =⎣ ⎦

2) ˆ ˆˆ ˆ, ,A B B A⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3) ˆ, 0A c⎡ ⎤ =⎣ ⎦ เมอ c คอคาคงท

4) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ, , ,A B C A C B C⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

5) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , ,A BC A B C B A C⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

แบบฝกหด 3.1 จงอาศยเอกลกษณของ commutator ขางตน เพอพสจน Jacobi identity ทวา

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , , , , , 0A B C B C A C A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3.3 ˆ ˆ ˆ,x y zJ J i J⎡ ⎤ =⎣ ⎦

ในบทท 2 เราไดศกษาถง operator ทสามารถใชในการวด spin angular momentum ในแนวแกน z นนกคอ ˆzS ดงทไดกลาวใน Section 3.1 spin angular momentum เปนอกประเภทหนงของ angular momentum ซงเราใชสญลกษณ ˆzJ เปนตวแทนของ angular momentum อยางกวางๆ และไมจาเพาะเจาะจงวาเปนประเภทใด การอธบายความในลาดบตอไป เราจะใชรปแบบสญลกษณ ˆzJ เพอแสดงใหเหนวาบทสรปตางๆของการวเคราะหนน สามารถนามาประยกตไดทงกบ spin angular momentum ˆzS และ orbital angular momentum ˆzL ในขนตนน เราไมจาเปนทจะจากดการวเคราะหใหอยแตเฉพาะในแนวแกน z เทานน หากแตสามารถมอง angular momentum ในทศทางใดๆกได ดงนนเราอาจจะเขยน operator ใหอยในทศทางทวๆไปไดวา

ˆ ˆ ˆ ˆx y zJ J J J= + + _________________________ สมการ (3.4)

ซงสมการ (3.4) นนเปนการเขยน angular momentum operator ใหอยในรปขององคประกอบตามแนวแกน x, แกน y, และ แกน z ตามลาดบ โดยท operator ทงสามดงกลาว มไดเปนอสระตอกนเสยเลยทเดยว แตมความสมพนธในทางคณตศาสตรกนอย กคอ

ˆ ˆ ˆ,x y zJ J i J⎡ ⎤ =⎣ ⎦ _________________________ สมการ (3.5)



และใน Section 3.3 เราจะพสจนความสมพนธดงสมการ (3.5) โดยใช spin ของอเลกตรอนเปนตวอยางในการพสจน แตถงแมวาตวอยางทใชจะเปนกรณพเศษ ความสมพนธดงสมการ (3.5) นน เปนกรณทวไปทประยกตใชกบ angular momentum ในทกสถานการณ จาก บทท 2 เราสามารถเขยน operator ˆ ˆ ˆ, ,x y zJ J J ใหอยในรปของ matrix โดยใช เปน

{ },Z Z+ − basis state ไดวา

0 11 02xJ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, 002yi

Ji

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦, และ 1 0

0 12zJ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ____________ สมการ (3.6)

เพราะฉะนน ทางขวามอของสมการ (3.5) สามารถเขยนใหอยในรปของ matrix

0 1 0 0 0 11 0 0 0 1 02 2 2 2

0 00 02 2 2 2

2 00 22 2

x y y x

x y y x

i iJ J J J

i i

i ii i

iJ J J J

i

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤

− = ⎢ ⎥−⎣ ⎦

ซงผลลพธขางตนสามารถจดรปใหมไดวา 1 00 12x y y xJ J J J i

⎛ ⎞⎡ ⎤− = ⎜ ⎟⎢ ⎥−⎣ ⎦⎝ ⎠

ซงเมอพจารณา zJ

ในสมการ (3.6) ทาใหเหนความสมพนธ

x y y x zJ J J J i J− = _________________________ สมการ (3.7)

ซงกตรงกบสมการ (3.5) อยางไรกตาม ความสมพนธดงกลาวเปนการพสจนโดยใชกรณเฉพาะในเรองทเกยวของกบ spin ของอเลกตรอนเทานน ในลาดบตอไป เราจะพสจนวาความสมพนธดงในสมการ (3.5) นนเปนจรงในทกๆกรณ ในบทท 2 เราไดกลาวถง rotation operator ในทาง quantum mechanics ทเรยกวา



ˆˆ( )

i JzR e

ϕϕ

−=k _________________________ สมการ (3.8)

ซงสามารถหมนสถานะเชง spin ของระบบเปนมม ϕ radian รอบแกน z ในครงนเราจะมากลาวถง rotation operator ในเชงเรขาคณต

ab

x

y

z matrix ทสามารถหมน vector เปนมม radian รอบแกน z คอ

a( )ϕΘ kϕ( )b aϕ= Θ k

( )cos sin 0sin cos 0

0 0 1

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

−⎡ ⎤⎢ ⎥Θ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

kab

x

y

z matrix ทสามารถหมน vector เปนมม radian รอบแกน z คอ

a( )ϕΘ kϕ( )b aϕ= Θ k


0 0 1

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

−⎡ ⎤⎢ ⎥Θ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

k

ภาพ 3.3 เมอทบทวนเนอหาของวชาเรขาคณตเบองตน matrix ( )ϕΘ k ซงม matrix element ดงแสดงในภาพ สามารถทหมน vector a เปนมมขนาด ϕ radian รอบแกน z และทาใหไดผลลพธเปน vector ( )b aϕ= Θ k

ดงภาพ 3.2 ตาแหนงของจดตางๆในพกดแบบ Cartesian coordinate สามารถแทนดวย vector a ใน 3 มต และ vector เหลานสามารถทจะมการเปลยนตาแหนงดวยการนา matrix เขามาคณ หรอ เขามากระทา และทาใหเกด vector ผลลพธอนใหมขนมา เมอทบทวนเนอหาของวชาเรขาคณตเบองตน จะพบวา matrix ( )ϕΘ k ซงม matrix element


0 0 1

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

−⎡ ⎤⎢ ⎥Θ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

k _________________________ สมการ (3.9)

สามารถทหมน vector a เปนมมขนาด ϕ radian รอบแกน z และจะสงเกตเหนวา เราใชสญลกษณ ( )ϕΘ k แทน rotation operator ในเชงเรขาคณต เพอไมใหสบสนกบ rotation operator ˆ( )R ϕ k

ในทาง quantum mechanics



นอกจากการหมนเปนมม ϕ radian แลว เรายงสามารถพจารณาการหมนเปนมมขนาดเลกมาก อาทเชน 1ε และในกรณดงกลาวน cos 1ε ≅ และ sinε ε≅ เพราะฉะนน สมการ (3.9) จะลดรปไดเปน

( )1 0

1 00 0 1

εε ε

−⎡ ⎤⎢ ⎥Θ ≅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

k _________________________ สมการ (3.10)

และในทานองเดยวกนกบ matrix ทสามารถหมน vector ใหเปนมมขนาดเลก 1ε รอบแกน z เราสามารถสราง matrix ในลกษณะดงกลาวทหมนรอบแกน y และ แกน x ไดวา

( )1 00 1 0

0 1

εε

ε

⎡ ⎤⎢ ⎥Θ ≅ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

j _________________________ สมการ (3.11)

( )1 0 00 10 1

ε εε

⎡ ⎤⎢ ⎥Θ ≅ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i _________________________ สมการ (3.12)

matrix ทง 3 ดงสมการ (3.10), (3.11), และ (3.12) นน มเอกลกษณทางคณตศาสตรทนาสนใจอยอนหนง พจารณา

( ) ( ) ( ) ( )

22

2 2

1 0 0 011 0 1 0 0

1 1 0 0 0

ε εε εε ε ε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥Θ Θ −Θ Θ = − − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

i j j i

___________ สมการ (3.13) และ ถาเราวเคราะห rotation matrix ทหมน vector เปนมม 2ε รอบแกน z และ ลบดวย identity matrix จะไดวา

( )2 2

2 2 2

1 0 1 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 0 1 0 0 0

I

ε ε

ε ε ε

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Θ − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

k ________ สมการ (3.14)



จะสงเกตเหนวา ทางขวามอของสมการ (3.13) และ สมการ (3.14) นนมคาเทากน เพราะฉะนนเราสรปเอกลกษณขอดงกลาว ของ rotation matrix ในเชงเรขาคณตไดวา

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 Iε ε ε ε εΘ Θ −Θ Θ = Θ −i j j i k ___________ สมการ (3.15)

สมการขางตนมความสาคญอยมากทเดยวในแงของการวเคราะหสมบตของการหมนวตถใดๆใน 3 มต ดงทแสดงในภาพ 3.2 ทวา การสลบลาดบกอนหลงของการหมน ใหผลลพธทไดแตกตางกน สมการ (3.15) ชแจงใหเหนวา เมอพจารณาการหมนเปนมมขนาดเลก ผลของการสลบลาดบกอนหลงของการหมนรอบแกน x และ รอบแกน y กทาใหสถานะผลลพธออกมาแตกตางกน โดยทผลตางของผลลพธทงสอง เปรยบเสมอนการหมนรอบแกน z เปนมมขนาดเลกลงไปอก อยางไรกตาม หนงสอเลมนไมไดเกยวของกบวชาเรขาคณต เพราะฉะนนความหมายทลกซงในเชงเรขาคณตของสมการ (3.15) ไมมความจาเปนแตอยางใด ในขนตนน เราจะมองสมการ (3.15) เปนเพยงเอกลกษณทางคณตศาสตรขอหนงทจะใชเปนสะพานเชอมไปสการพสจนสมการ (3.5) เทานน ถาเราตงสมมตฐานวา rotation operator ในเชง quantum mechanics หรอ ˆ( )R ϕ i , ˆ( )R ϕ j , และ ˆ( )R ϕ k นน มเอกลกษณทางคณตศาสตรเหมอนกบ rotation operator ในเชงเรขาคณตดงสมการ

(3.15) จะเขยนไดวา

2 ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1R R R R Rε ε ε ε ε− = −i j j i k ___________ สมการ (3.16) เมอ 1ε แทนมมของการหมนทมขนาดเลกมาก และในกรณทมมขนาดเลกมากเชนน rotation operator ดงในสมการ (3.8) ลดรปเหลอเพยง

ˆˆ ˆ( ) 1

i Jxx

iR e Jε

ε ε−

= ≅ −i เมอ 1ε ____________________ สมการ (3.17)

ˆˆ ˆ( ) 1

i J yy

iR e Jε

ε ε−

= ≅ −j เมอ 1ε ____________________ สมการ (3.18)

2 ˆ2 2ˆ ˆ( ) 1

i Jzz

iR e Jε

ε ε−

= ≅ −i เมอ 1ε ____________________ สมการ (3.19)



และเมอแทนสมการ (3.17) - (3.19) เขาไปในสมการ (3.16) จะไดวา

2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 1 1 1x y y x zi i i i iJ J J J Jε ε ε ε ε⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − − = − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ซงสามารถลดรปใหงายขนกคอ

2 22

2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y y x z

iJ J J J Jε ε ε− + = −

หรอเขยนในรปของ commutator ไดวา ˆ ˆ ˆ,x y zJ J i J⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ซงกคอสมการ (3.5) นนเอง

แบบฝกหด 3.2 จงใชกระบวนการของการวเคราะห rotation matrix ในทานองเดยวกบ Section 3.2 เพอแสดงใหเหนวา ˆ ˆ ˆ,y z xJ J i J⎡ ⎤ =⎣ ⎦ และ ˆ ˆ ˆ,z x yJ J i J⎡ ⎤ =⎣ ⎦

แบบฝกหด 3.3 ในการทดลองของ Stern-Gerlach ทใชอนภาคทม spin เปน 1 (spin-1 particles) ยกตวอยางเชน อนภาคในกลม boson ซงจะทาให beam ในการทดลองนน แยกออกมาเปน 3 สายดวยกน ดงนนเราสามารถเลอกใช basis state เปนสถานะทงสามในแนวแกน z ไดวา { }+− ,0, นอกจากน เรายงสามารถนยาม spin angular momentum operator ในทงสามแกนดงตอไปน

ˆ

ˆ 0 0 0ˆ

z

z

z

J

J

J

+ = + +

=

− = − −

จากการทดลอง ปรากฏวาไดผลดงภาพ 3.3



SG-XSG-Z100

25

25

50 +0

−

Spin 1 Particles

SG-X SG-Z100

50

50

0 +0

−

SG-XSG-Z100

25

25

50 +0

−

Spin 1 Particles

SG-X SG-Z100

50

50

0 +0

−

ภาพ 3.3 แสดงผลของการทดลอง Stern-Gerlach โดยใชอนภาคทม spin เปน 1 1) จงใชระเบยบวธทาง quantum mechanics ในทานองเดยวกบบทวเคราะหใน Section 1.7 และ Section 2.3.4 เพอทจะเขยน operator ˆxJ , ˆyJ , และ ˆzJ ในรปของ matrix และตรวจสอบวา

คาตอบทไดอยในรปดงตอไปนหรอไม

{ }, 0 , basis

0 1 0ˆ 1 0 1

2 0 1 0xJ

− +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

{ }, 0 , basis

0 0ˆ 0

2 0 0y

iJ i i

i− +

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

{ }, 0 , basis

1 0 0ˆ 0 0 0

0 0 1zJ

− +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

b) จงใช matrix ในขอ (a) พสจนโดยการคณ matrix วา ˆ ˆ ˆ,x y zJ J i J⎡ ⎤ =⎣ ⎦

3.4 Commuting Operator

จากภาพท 3.2 และตวอยางใน Section 3.3 จะเหนวาโดยทวไปแลว 1 2ˆ ˆ, 0O O⎡ ⎤ ≠⎣ ⎦ เมอ 1O และ 2O

เปน operator ใดๆ แตในกรณพเศษบางกรณนน การสลบลาดบกอนหลงในการนา operator 2 operator กอาจจะไมมผลตอสถานะผลลพธทเกดขน หรอกลาวอกนยหนง เราจะมาศกษาในประเดนทวา ถาม operator A และ B ทมลกษณะพเศษคอ



ˆ ˆ, 0A B⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ___________________ สมการ (3.20)

แลวนน จะเกดผลกระทบทตามมาอยางไร ? ในแงของการใชภาษานน ถา operator A และ B มความสมพนธดงสมการ (3.20) เราเรยกวา "operator A commute กบ B " สมมตวาเมอเราพจารณา operator A แลวพบวา มนม eigenstate เปน a และม eigenvalue เปน α หรอเขยนในรปของความสมพนธเชงคณตศาสตรไดวา

A a aα= ___________________ สมการ (3.21) เมอเรานา operator B เขาไปกระทากบทงสองขางของสมการ (3.21) จะทาให

( )( )

ˆˆ ˆ

ˆ

BA a B a

B a

α

α

=

=___________________ สมการ (3.22)

เนองจาก operator A commute กบ B หรอ ˆ ˆˆ ÂB BA= ทางซายมอของสมการ (3.22) จงสามารถจดรปของนพจนไดวา

( )( ) ( )ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

AB a B a

A B a B a

α

α

=

=___________________ สมการ (3.23)

ใหสงเกตผลลพธทไดจากสมการ (3.23) โดยเฉพาะอยางยงการจดรปของ B a ใหอยในวงเลบ จะเหนวา สมการ (3.21) และ สมการ (3.23) จะเปนจรงพรอมๆกนได กตอเมอ

B a = (คาคงท) a หรอเขยนในอกรปแบบหนงไดวา

B a aβ= ___________________ สมการ (3.24) สมการขางตนแสดงใหเหนวา a คอ eigenstate ของ operator B ซงม eigenvalue เทากบ β



จากสมการ (3.24) และ สมการ (3.21) เราสามารถกลาวโดยสรปวา ถา operator A commute กบ B แลว eigenstate ของ A กยอมเปน eigenstate ของ B ดวยเชนกน ขอควรระวง การท operator A และ B ม eigenstate อนเดยวกน ไมไดหมายความวา operator ทงสองจะม eigenvalue เหมอนกน

3.5 Eigenvalue ของ Angular Momentum

เพอเปนการมใหเราหลงทางและจมอยทามกลางคณตศาสตร จนลมเหนเปาหมายทแทจรงในเนอหาทางฟสกสทเรากาลงศกษา ผเขยนจะขอเกรนถงประเดนหลกทเราตองการวเคราะหในบทท 3 น เราตองการทจะศกษาวาในเชงของ quantum mechanics นน คาของ angular momentum มความไมตอเนอง หากแตมลกษณะเปนขนบนได ซงแตกตางกนอยางสนเชงกบกบ Newtonian mechanics ท angular momentum จะมคาเปนเทาไหรกได ขนอยกบมวล, ความเรวรอบในการหมน, และ รศมของการหมน quantum mechanics ใชสงทเรยกวา operator เปนตวแทนในการตรวจวดปรมาณทางฟสกส และสงทเรยกวา eigenvalue เปนตวแทนของปรมาณนนๆทวดได เชนเดยวกนกบในกรณของ angular momentum ทเรากาลงใหความสนใจวเคราะหอยน

ในบทท 3 น เราสนใจในปรมาณทางฟสกส 2 ชนดดวยกน ซงแทนดวย operator (1) ˆzJ และ (2) 2J 1). operator ˆzJ คอการวด angular momentum ตามแนวแกน z และ 2) operator 2J คอการวดขนาดของ angular momentum ยกกาลงสอง ซงมคานยามวา

2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y zJ J J J J J≡ ⋅ = + + ___________________ สมการ (3.25)

เมอม operator ทใชในการวด กจะตองมคาทวดออกมาได แทน



1) m เปน angular momentum ตามแนวแกน z ทวดได ดงนน m มสถานะภาพเปน eigenvalue ของ operator ˆzJ

2) 2λ เปน ขนาดของ angular momentum ยกกาลงสอง ทวดได ดงนน 2λ มสถานะภาพเปน

eigenvalue ของ operator 2J ใหสงเกตการคณ และ 2 เขาไปในคานยามของ eigenvalue ทงสองประเภท ทงนกเพราะ มหนวยเปน angular momentum อยกอนแลว ทาให m และ λ จะตองเปนตวเลขธรรมดาทไมมหนวยไปโดยปรยาย ในเมอเราสนใจทจะศกษาระบบโดยใชปรมาณทางฟสกสทงสองประเภทดงกลาว เราอาจจะใช m และ λ เปนตวเลขทกากบคณสมบตของระบบ ยกตวอยางเชน

,mλΨ = ดวยขอสงเกตทกลาวมาแลวทงหมด เราสรปไดวา ในบทท 3 เราตองการทจะวเคราะหสมการ

ˆ , ,zJ m m mλ λ= ___________________ สมการ (3.26)

2 2ˆ , ,J m mλ λ λ= ___________________ สมการ (3.27)

และในลาดบตอไป เราจะใชการบวนการทางคณตศาสตรเพอทจะคานวณ eigenvalue m และ 2λ

และ eigenstate ,mλ ของ operator ˆzJ และ 2J ในสมการ (3.26) และ (3.27) ตามลาดบ แบบฝกหด 3.4 จงพสจนวา 2J commute กบ ˆzJ ซงเปนเหตผลทเราสามารถเขยนสถานะ

m,λ ใหเปน eigenstate ของทง 2J และ ˆzJ พรอมกนได อยางไรกตาม เนองจากความซบซอนของคณตศาสตรในการวเคราะห เราจะตองมากลาวถงเรองสาคญทเกยวของกบ operator ใน 4 ประเดนกอน ซงกคอ 1) adjoint operator 2) unitary operator 3) Hermitian operator และ 3) raising and lowering operator



3.6 สมบตของ Operator operator ทเกยวของกบ quantum mechanics มสมบตอยหลายประการ อกทงมอยหลายประเภท ทงนความหลากหลายดงกลาวกเพอประโยชนในการคานวณทางคณตศาสตร เพราะเราจะตองไมลมวาในทายทสดแลว quantum mechanics จะตองสามารถทานายผลการทดลองออกมาเปนตวเลข ทตรวจวดได ตรวจสอบได และแมนยา ซงจะหลกเลยงไมไดเลยทจะตองใชคณตศาสตร และใน Section 3.6 เราจะมากลาวถง adjoint operator, unitary operator, และ Hermitian operator ตามลาดบ adjoint ของ operator ใน Section 2.3.1 ของบทท 2 เราไดกลาวถง conjugate transpose ของ matrix หรอ ทเรยกสนๆวา adjoint ของ matrix และเนองจาก matrix และ operator นนมความสมพนธกนอย ในคราวนเราจะขยายขอบเขตการวเคราะหใหครอบคลมไปถง adjoint ของ operator ใดๆ operator O โดยทวไปแลวจะกระทากบสถานะ ket ψ เพราะฉะนนแลว probability amplitude ทเขยนในรปของ bra-ket

probability amplitude = Oφ ψ ____________________ สมการ (3.28) และเพอใหมความชดเจนวา operator O นน จะตองเขามากระทากบ ψ เปนอนดบแรก เราอาจจะเขยนสมการ (3.28) เสยใหมโดยการใสวงเลบ อาทเชน

probability amplitude = ( )Oφ ψ _____________________ สมการ (3.29)

ขอจากดท operator จะตองกระทากบสถานะ ket ไดเพยงเทานน จะทาใหเกดความไมสะดวกในกระบวนการทางคณตศาสตร ในเมอ quantum mechanics ใชทง ket และ ทง bra ในการแสดงถงสถานะของระบบ เราสามารถนยามสงทเราเรยกวา adjoint operator ของ O โดยเขยนเปนสญลกษณวา †O ในทาง

ตรงกนขามกบ operator O ซงกระทากบสถานะ ket adjoint operator †O จะกระทากบสถานะ bra ซงมคานยามทางคณตศาสตรดงน

( ) ( )†ˆ Ô Oφ ψ φ ψ= _____________________ สมการ (3.30)



นนกคอ adjoint operator †O มคานยามใหเปนสงทกระทากบ bra ทอยทางซายมอ ในขณะท operator O จะกระทากบ ket ทอยทางขวามอ แตอยางไรกตามผลการคานวณ probability amplitude ทได จะตองมคาเทากน

y

x

i21 =R

j22 =R

กาหนดให operator หมน vector ใดๆ 90 องศา ทวนเขมนาฬกา แลวจะไดวา

( )2 1 4R OR⋅ =O

ถาม operator ควรเปนอยางไร ? เพอทจะให

( ) ( )†2 1 2 14O R R R OR⋅ = = ⋅

ตอบ operator จะตองหมน vector ใดๆ 90 องศา ตามเขมนาฬกา

O

†O

†O

y

x

i21 =R

j22 =R

†O

y

x

i21 =R

j22 =R

กาหนดให operator หมน vector ใดๆ 90 องศา ทวนเขมนาฬกา แลวจะไดวา

( )2 1 4R OR⋅ =O

ถาม operator ควรเปนอยางไร ? เพอทจะให

( ) ( )†2 1 2 14O R R R OR⋅ = = ⋅

ตอบ operator จะตองหมน vector ใดๆ 90 องศา ตามเขมนาฬกา

O

†O

†O

y

x

i21 =R

j22 =R

†O

ภาพ 3.4 แสดงความสมพนธระหวาง operator O และ adjoint operator †O ภาพ 3.4 แสดงถงตวอยางของ adjoint operator †O โดยอาศยคานยามในสมการ (3.30) โดยทภาพกลาวถงตวอยางของการหมน vector ในระนาบ x-y ซงกาหนดให operator O ทาหนาทในการหมน vector ใดๆ 90 องศาทวนเขมนาฬกา เพราะฉะนนแลว dot product ของ

( )2 1 4R OR =

จากคานยามของ †O ในสมการ (3.30) ทวา ( ) ( )†2 1 2 1O R R R OR⋅ = ⋅ ทาใหเราสรปไดวา adjoint

operator †O จะตองเปน operator ทหมน vector ใดๆ 90 องศาตามเขมนาฬกานนเอง จะสงเกตวา ในกรณของตวอยางขางตน เมอเราเรมดวยการหมนทวนเขม และจากนนทาการหมนตามเขม ผลลพธทไดกเทากบวาไมมการหมนเกดขนเลย หรอเขยนเปนรปของสมการไดวา



†ˆ ˆ 1O O = operator ทมคณสมบตขางตน จดอยในประเภทของ operator ทเรยกวา unitary operator ทงนนกศกษาตองไมลมวา operator โดยทวไปนน ไมจาเปนจะตองมคณสมบตดงกลาว adjoint operator โดยทวไปแลว มคณสมบตไมแตกตางจาก adjoint matrix ใน Section 2.3.1 ของบทท 2 ซงสามารถสรปไดวา

1) ( )††ˆ Â A=

2) ( )† † †ˆ ˆˆ Â B A B+ = +

3) ( )† † †ˆ ˆˆ ÂB B A=

4) ( ) ( )1 †† 1ˆ Â A− −=

5) ( )† †ˆ Â Aλ λ∗= เมอ λ คอตวเลขจานวนเชงซอนใดๆ

unitary operator ตามระเบยบวธของ quantum mechanics เราเรยก operator U วา unitary operator ถามนมคณสมบต

†ˆ ˆ 1U U = ______________________ สมการ (3.31)

แบบฝกหด 3.5 ให A เปน operator จงพสจนวา ( )† †ˆ Â Aλ λ∗= เมอ λ คอตวเลขจานวน

เชงซอนใดๆ Hermitian operator จากทกลาวมาแลวในภาพ 3.4 วา operator ทเกยวของกบการหมนนน เปน

unitary operator นนกคอ adjoint operator †ˆ ( )R dϕ k จะหมนในทศทางตรงขามกบ operator ˆ( )R dϕ k ดงนนถาเรายอนกบไปพจารณาสมการ (2.122) จะไดวา

†

†

ˆ ˆ( ) ( ) 1

ˆ ˆ1 1 1z z

R d R d

i iJ d J d

ϕ ϕ

ϕ ϕ

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

k k __________________ สมการ (3.32)



โดยใชเอกลกษณของ adjoint operator ในแบบฝกหด 3.5 ทาใหเราทราบวา †

†ˆ ˆ1 1z zi iJ d J dϕ ϕ⎛ ⎞− = +⎜ ⎟

⎝ ⎠ เพราะฉะนน

†

† † 22

ˆ ˆ1 1 1

1ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) 0

z z

z z z z

i iJ d J d

i iJ d J d J J d

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

− + + = ______ สมการ (3.33)

เนองจากมม dϕ มคาทเลกมาก เราสามารถทจะตดเทอมทคณอยกบ ( )2dϕ ในสมการ (3.33) ทงไปได ทาให

†ˆ ˆz zJ J= _________________________ สมการ (3.34) operator ทม adjoint เทากนกบตวมนเอง ดงในสมการ (3.34) นน มชอเรยกวา Hermitian operator ซงเปนกลมของ operator ทมความสาคญมากในทาง quantum mechanics เนองจาก Hermitian operator ม eigenvalue เปนจานวนจรง มนจงเปน operator ทใชแทนการวดหรอ measurement เพราะวาปรมาณทางฟสกสทสามารถวดไดนน จะตองเปนเลขจานวนจรง (คงจะเปนเรองตลกทเราบอกวาในหองมนกศกษาอย 1 i+ คน)

3.7 Raising และ Lowering Operator

กอนทจะทาการวเคราะห eigenvalue ของ angular momentum operator 2J และ ˆzJ ทงสอง เราจะตองมานยาม operator ทจะอานวยความสะดวกในการวเคราะหเชงคณตศาสตรในอนาคตกนเสยกอน นยาม operator

ˆ ˆ ˆx yJ J iJ+ ≡ + ________________________ สมการ (3.35) ˆ ˆ ˆx yJ J iJ− ≡ − ________________________ สมการ (3.36)

operator ทนยามไวดงในสมการ (3.35) และ สมการ (3.36) นน มสมบตทางคณตศาสตรซงจะชวยใหเราสามารถตความหมายของมนในทางฟสกสในภายหลงอยสามประการ กคอ



1) ˆ ˆ ˆ,zJ J J± ±⎡ ⎤ = ±⎣ ⎦ เอกลกษณในทางคณตศาสตรดงกลาวน สามารถพสจนไดอยางงายดาย โดย

การแทนคานยามของ J± จากสมการ (3.35) และ สมการ (3.36) จะได

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

z z x y

z x z y

J J J J iJ

J J i J J

±⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ±⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ±⎣ ⎦ ⎣ ⎦

________________ สมการ (3.37)

จากนน เราใชความสมพนธในเชง commutator ดงทไดกลาวในแบบฝกหด 3.2 ทวา

ˆ ˆ ˆ,x y zJ J i J⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , ˆ ˆ ˆ,y z xJ J i J⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , และ ˆ ˆ ˆ,z x yJ J i J⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ดงนนสมการ (3.37) สามารถจดรป

ใหงายขนคอ

( )( )

ˆ ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ,

z y x

x y

z

J J i J i i J

J iJ

J J J

±

± ±

⎡ ⎤ = ± −⎣ ⎦

= ± ±

⎡ ⎤ = ±⎣ ⎦

________________ สมการ (3.38)

สมการ (3.38) นนเขยนใหอยในรปของ commutator ซงเราสามารถทจะเปลยนใหอยในรปของผลบวก และผลคณธรรมดาไดวา

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆz zJ J J J J± ± ±= ± ________________ สมการ (3.39) 2) 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆz zJ J J J J+ − = − + และ 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆz zJ J J J J− + = − − เอกลกษณทางคณตศาสตรขอนสามารถพสจนไดโดยใชคานยามในสมการ (3.35) และ (3.36) ผนวกเขากบคายามของ

2J และ ˆzJ operator ในสมการ (3.25) , (3.26) , และ (3.27) ยกตวอยางเชน

( )( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y x y

x x y y x y

x y x y y x

z z

J J J iJ J iJ

J iJ J iJ J J

J J i J J J J

J J J J J

+ −

+ −

= + −

= − + +

= + − −

= − +

________________ สมการ (3.40)

และในทานองเดยวกน



2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆz zJ J J J J− + = − − ________________ สมการ (3.41) แบบฝกหด 3.6 จงพสจนสมการ (3.41) 3) adjoint ของ operator J+ กคอ J− หรอกลาวอกนยหนง

†ˆ ˆJ J± = ∓ _________________________ สมการ (3.42)

โดยทสมบตขอน สามารถพสจนไดโดยเรมจากคานยามของ J± ดงสมการ (3.35) และ สมการ (3.36) จากนนใชเอกลกษณตางๆทเกยวของกบ adjoint operator ดงทไดเหนในแบบฝกหด 3.5

( )( )

††

†

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

x y

x y

J J iJ

J iJ

J J

±

±

= ±

=

= ∓

∓ ___________________________ สมการ (3.43)

จากคณสมบตทงสามประการของ operator J± ทเราไดศกษามาแลวนน เราสามารถทจะวเคราะหถงความหมายของ J+ ไดดงตอไปน พจารณา ผลของ operator ˆ ˆzJ J+ ทกระทากบสถานะ m,λ จะไดวา

( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

ˆ ˆ ˆ, ,

z z

z

J J m J J J m

J J m J m

λ λ

λ λ

+ + +

+ +

= +

= + ______________ สมการ (3.44)

สมการ (3.44) ขางตนนน ไดมาจากการนา commutator ในสมการ (3.39) มารวมพจารณาดวย จากนนเราสามารถใชคานยามของ ˆzJ ในสมการ (3.26) เพอลดรปใหงายขน

( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,ˆ ˆ, ,

ˆ( 1) ,ˆ ˆ ˆ, ( 1) ,

z z

z

J J m J J m J m

J m m J m

m J m

J J m m J m

λ λ λ

λ λ

λ

λ λ

+ + +

+ +

+

+ +

= +

= +

= +

= +

______________ สมการ (3.45)



จากสมการ (3.26) ซงเปน eigen equation ของ ˆzJ โดยม ,mλ เปน eigenstate และม m เปน eigenvalue เราสามารถจนตนาการไดวาม eigenstate อกอนหนงคอ 1, +mλ ซงม eigenvalue ( 1)m+ เพราะฉะนน จงสามารถเขยนสมการในทานองเดยวกนกบสมการ (3.26) ไดวา

ˆ , 1 ( 1) , 1zJ m m mλ λ+ = + + ______________ สมการ (3.46) เมอพจารณาสมการ (3.45) และ (3.46) ควบคกนไป เราจะเหนวา ˆ , , 1J m mλ λ+ +∼ หรอ

ˆ , , 1J m mλ ξ λ+ += + เมอ ξ+ คอคาคงท _________________ สมการ (3.47) นนกคอ operator J+ จะทาการเปลยนสถานะ m,λ ใหกลายเปนสถานะ 1, +mλ อนเปนทมาของชอทวา "raising operator" ซงเปนคาศพทภาษาองกฤษทมความหมายวา operator ททาใหสถานะเปลยนแปลงขนไปหนงขน สวนในกรณของคาคงท +ξ ทคณอยกบดานขวามอของสมการ (3.47) นน เราจะไดทาการศกษากนตอไปตามลาดบ ในทานองเดยวกน เราสามารถวเคราะหถงความหมายของ operator J− ดวยการเรมพจารณา

( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

ˆ ˆ ˆ, ,ˆ ˆ, ,

ˆ ˆ ˆ, ( 1) ,

z z

z

z

J J m J J J m

J J m J m

J m m J m

J J m m J m

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

− − −

− −

− −

− −

= −

= −

= −

= −

______________ สมการ (3.48)

และเมอทาการจดรปสมการ (3.48) เสยใหมจะไดวา

( ) ( )ˆ ˆ ˆ, ( 1) ,zJ J m m J mλ λ− −= − ______________ สมการ (3.49)

ดงนนเราจงสรปไดวา

ˆ , , 1J m mλ ξ λ− −= − ____________________ สมการ (3.50)



ซงเปนทมาของชอทเรยกวา "lowering operator" ดวยเหตท operator J− นน สามารถเปลยนสถานะ m,λ ใหกลายเปนสถานะ 1, −mλ หรอ กลาวอกนยหนง lowering operator จะทาการเปลยนสถานะของระบบ ทเดมทม angular momentum ในแนวแกน z (eigenvalue ของ ˆzJ ) เปน m ใหกลายเปนสถานะทม angular momentum ในแนวแกน z ดงกลาว เปน )1( −m นนเอง

3.8 m และ 2λ

เมอเราลองมองถงความหมายของ m และ 2λ ในทางฟสกส จะไดวา 2λ กคอขนาดของ angular momentum ยกกาลงสอง สวน m นน เปนเพยง angular momentum ตามแนวแกน z ดงนนจะไดวา

λ≤2m ____________________ สมการ (3.51) สมการ (3.51) นนมทมาจากการวเคราะห ขนาดของปรมาณ vector ใดๆ (ซงรวมไปถง angular momentum ดวย) ทวา องคประกอบในแนวแกน z ของ vector จะมคานอยกวาหรอเทากบ ขนาดของ vector นนๆ เสมอ ถาเราเรยกคาสงทสดทเปนไปไดของ m วา maxm และนา raising operator J+ มากระทากบสถานะดงกลาวจะไดวา

maxˆ , 0J mλ+ = ____________________ สมการ (3.52) สาเหตทสมการ (3.52) จะตองมคาเปนศนยกเพราะวา ไมมสถานะใดๆ ทสงไปกวาสถานะ

max,mλ อกแลว ดงนน raising operator J+ ไมมทางทจะเปลยนสถานะ max,mλ ไปเปนอะไรไดอก นอกเสยจากเปนศนย ดงสมการ (3.52) ดงนนจะไดวา



( )max max

max max

ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

ˆ 0ˆ ˆ , 0 ,

J J m J J m

J

J J m m

λ λ

λ λ

− + − +

−

− +

=

= ⋅

=

____________________ สมการ (3.53)

แตจากสมการ (3.41) เราทราบวา 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆz zJ J J J J− + = − − ซงทาให

( )

( )

2 2max max

2 2max max max

2 2 2 2max max max max

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

ˆ ˆ ˆ, , ,

ˆ ˆ , ,

z z

z z

J J m J J J m

J m J m J m

J J m m m m

λ λ

λ λ λ

λ λ λ

− +

− +

= − −

= − −

= − −

_______ สมการ (3.54)

เมอเราเปรยบเทยบสมการ (3.53) และ สมการ (3.54) จะเหนวา 02

max22

max2 =−− mmλ หรอ

max2max mm +=λ ______________________ สมการ (3.55)

ในทานองเดยวกน เราสามารถทจะเขยนคาทนอยทสดทเปนไปไดของ m วา minm ซงจะทาให

minˆ , 0J mλ− = ____________________ สมการ (3.56) โดยทสมการ (3.56) ดงกลาว จะมผลสบเนองทจะเกดขนกคอ

min2min mm −=λ __________________ สมการ (3.57)

ซงเมอเราพจารณาสมการ (3.55) และ สมการ (3.57) จะไดวา min

2minmax

2max mmmm −=+

หรอ

maxmin mm −= __________________ สมการ (3.58) และโดยทวไปแลวใน quantum mechanics เราจะใชสญลกษณ j แทนคาของ maxm ซงนนกหมายถง jm −=min นนเอง เนองจากขอกาหนด min maxm m m≤ ≤ เราจะเหนวาคาของ angular momentum ในแนวแกน z (หรอคา eigenvalue ของ operator ˆzJ ) นน มคาไดอยในชวง



jmj +≤≤− __________________ สมการ (3.59)

จากภาพ 3.5 ถาเราเรมดวยระบบทอยในสถานะ jm =,λ จะเหนวา lowering operator สามารถทจะเปลยนใหสถานะดงกลาวไปเปน 1, −= jmλ และเมอเรานา lowering operator มากระทาอกครงหนง กจะไดสถานะ 2, −= jmλ อยางนเรอยไป จนกระทงสถานะของระบบมาหยดอยท jm −=,λ ซงเปนสถานะสดทาย ทจะตาไปกวานอกไมได เนองจาก lowering operator J− นนสามารถทจะลดคาของ m ไดคราวละหนง จะไดวา

=− minmax mm จานวนเตม หรอ

n)( =−− jj __________________ สมการ (3.60)

เมอ n เปนจานวนเตมใดๆ ซงจะมคาเปนเทาไหรนน ขนอยกบระบบทางฟสกสทเรากาลงศกษาอย

เมอวเคราะหสมการ (3.60) จะไดวา n2

j = ซงคาของ j และ m ทเปนไปไดนนกคอ

…,2,23,1,

210,=j และ { }, 1, , 1,m j j j j∈ − − + −… __________ สมการ (3.61)



ภาพ 3.5 ถากาหนดใหคาของ m มคามากทสดคอ j จากนน lowering operator J− จะทาใหสถานะของระบบเปลยนแปลง โดยมคาของ m ลดลงมาคราวละหนงเปนลาดบ และมาสนสนสดท

jm −= ดงนน เมอเราทราบคาทเปนไปไดของ j จากสมการ (3.55) จะไดวา

1)j(j+=λ __________________ สมการ (3.62) เราสามารถตความสมการ (3.62) ไดดงตอไปน ถาให j คอคาทสงทสดทเปนไปไดของ angular momentum ในแนวแกน z ของระบบใดๆ จะไดวา คาของ angular momentum ยกกาลงสองของระบบจะเปน 21)j(j+ แบบฝกหด 3.7 กาหนดให vector R ซงมขนาดเทากบ 2 cm. เมอ vector R ชไปในทศตางๆในพกดทรงกลม ทมมมกมเปน θ เทยบกบแกน +z และมมกวาดในแนวราบเปน ϕ เทยบกบแกน +x จะไดวาองคประกอบตามแนวแกน x, y, และ z ของ vector R กคอ

ภาพ 3.6 แสดง vector R ในสามมต โดยทระบบพกดแบบทรงกลมนน เราใชมมθ และ มม φ เปนตวบอกทศทางท vector ดงกลาวชไป และจากวเคราะหจะไดวา องคประกอบตามแนวแกน z ของ vector นน ขนอยกบมม θ

)cos(2

)sin()sin(2

)cos()sin(2

θ

φθ

φθ

=

=

=

z

y

x

R

R

R



a) จงหาคา max

zR ซงหมายถงคาสงทสดทเปนไปไดของ zR และบอกวา maxzR มความสมพนธกบ

2R อยางไร

b) maxzR ในขอ (a) เกดขนทมม θ เทากบเทาใด?

c) เปรยบเทยบความแตกตางของคาตอบทไดในขอ (a) กบ ระบบ angular momentum ของ quantum mechanics ในสมการ (3.62) d) ถาเราตองการยดตาม angular momentum ของ quantum mechanics โดยใช สมการ (3.62) และ

บอกวา )1( maxmax2+= zz RRR จงแกสมการเพอหาวา max

zR มคาเปนเทาใด

e) maxzR ในขอ (d) เกดขนทมม θ เทากบเทาใด?

ในทาง quantum mechanics นน อนภาคไมสามารถทจะม angular momentum ทชในทศทางขนานกบแนวแกน z ไดเสยเลยทเดยว เหตทเปนเชนนกดวยเงอนไขในทางคณตศาสตรดงสมการ (3.62) แบบฝกหด 3.8 อเลกตรอนทโดยทวไปเรามกจะกลาวถง spin angular momentum ในแนวแกน z วา "spin up" หรอ "spin down" นน แททจรงแลว อเลกตรอนทม spin up หรอ spin ชขนทวาน a) ชในทศทางทขนานกบแกน z เลยหรอไม ? b) ถาไม ทามมกองศากบแนวแกน +z ?

[บอกใบ - ในกรณของ vector ใดๆ มมททากบแกน z มความสมพนธ cos zRR

θ = ]

นอกจากน เนองจากλ มความสมพนธขนอยกบ j ดงสมการ (3.62) โดยสากลแลว ในระเบยบวธทาง quantum mechanics นน เราไมนยมเขยนสถานะของระบบในรปของ m,λ ดงในสมการ (3.26) และ (3.27) หากแตเขยนใหอยในรปของ mj, ดงจะยกตวอยางใน 2 กรณ ตวอยาง 1) กรณของอเลกตรอน ถาเราพจารณาเฉพาะ angular momentum ในสวนของ spin จะม

คา 21

=j ดงนนสถานะ spin angular momentum ของอเลกตรอนมอย 2 สถานะดวยกนคอ

21,

21

+== mj และ 21,

21

−== mj หรอ เขยนสนๆวา

สถานะ spin angular momentum ของอเลกตรอนคอ 21,

21+ และ

21,

21− โดยท เมอเรานา

operator ˆzJ และ 2J เขามากระทากบสถานะดงกลาวจะไดวา



1 1 1 1ˆ , ,2 2 2 2 2zJ + = + + ______________ สมการ (3.63)

1 1 1 1ˆ , ,2 2 2 2 2zJ − = − − ______________ สมการ (3.64)

และ 2 21 1 1 1 1 1ˆ , 1 ,

2 2 2 2 2 2J ⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ __________ สมการ (3.65)

2 21 1 1 1 1 1ˆ , 1 ,2 2 2 2 2 2

J ⎛ ⎞− = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

__________ สมการ (3.66)

ซงจากสมการขางตน เราสรปไดวา ขนาดของ angular momentum ยกกาลงสองของ อเลกตรอนนน

มคาเทากบ 2

43 และขนาดของ spin angular momentum ในแนวแกน z นนมได 2 คา คอ

21

+

และ 21

− ตามลาดบ

ตวอยาง 2) ในกรณของ gluon ซงเปนอนภาคทม spin angular momentum เปน 1=j ดงนนสถานะเชง spin ของ อนภาค gluon มอย 3 สถานะดวยกนคอ 1,1 − , 0,1 , และ 1,1 + ซงสถานะ

ทง 3 เหลาน ม eigenvalue ของ operator 2J คอ 22 และ eigenvalue ของ operator ˆzJ กคอ + , 0 , และ − ตามลาดบ

3.9 ˆ ,J j m+ และ ˆ ,J j m−

อยางทกลาวในขางตนแลววา eigenstate ของ operator ˆzJ และ operator 2J นนสามารถเขยนใหอยในรป mj, โดยท

ˆ , ,zJ j m m j m= ______________ สมการ (3.67) 2 2ˆ , ( 1) ,J j m j j j m= + ______________ สมการ (3.68)

ซงสบเนองจากสมการ (3.47) นน เราสามารถเขยนผลกระทบของ operator J+ ทมตอสถานะ

mj, ไดดงน

ˆ , , 1J j m j mξ+ += + ______________ สมการ (3.69)



ซงในขณะนเรากพรอมทจะวเคราะหวา +ξ มคาเปนเทาใด โดยทการคานวณดงกลาวน ทาไดดวยการพจารณา

( )ˆ ˆ, ,j m J J j m− + _________________ สมการ (3.70)

จะสงเกตเหนวา operator J− นน แทนทจะกระทากบสถานะ ket mj, เราสามารถยายเขามา

กระทากบสถานะ bra mj, พรอมๆกนนนจะตองเปลยนใหเปน adjoint operator ของ †J− ตามคานยามทใหไวใน Section 3.6

( )( )†ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,j m J J j m j m J J j m− + − += _________ สมการ (3.71)

แตเนองจากใน Section 3.7 นน เราทราบวา †ˆ ˆJ J± = ∓ ดงนนสมการ (3.71) ขางตน จะแปรสภาพเปน

( )( )*

2

ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,

, 1 , 1

ˆ ˆ, ,

j m J J j m j m J J j m

j m j m

j m J J j m

ξ ξ

ξ

− + + +

+ +

− + +

=

= + +

=

__________ สมการ (3.72)

นอกจากน เรายงทราบวา 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆz zJ J J J J− + = − − เพราะฉะนน

( ){ }{ }

2 2

2 2 2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,

( 1) , ,

ˆ ˆ, , ( 1)

z zj m J J j m j m J J J j m

j j m m j m j m

j m J J j m j j m m

− +

− +

= − −

= + − −

= + − −

________ สมการ (3.73)

เมอเปรยบเทยบสมการ (3.72) และ สมการ (3.73) เราสามารถทจะเลอกให

mmjj −−+=+2)1(ξ __________________ สมการ (3.74)

เพราะฉะนน สรปคณสมบตของ operator J+ ไดวา

2ˆ , ( 1) , 1J j m j j m m j m+ = + − − + ______________ สมการ (3.75)



และในทานองเดยวกน

2ˆ , ( 1) , 1J j m j j m m j m− = + − + − ______________ สมการ (3.76) แบบฝกหด 3.9 จงพสจนสมการ (3.76)

แบบฝกหด 3.10 พจารณาระบบ spin angular momentum ของอเลกตรอนซงม 12

j =

a) จงใชคานยามของ J+ และ J− ในสมการ (3.75) และ (3.76) เพอเขยน operator J+ และ J−

ใหอยในรปของ matrix โดยกาหนดใหม basis state คอ 1 1,2 2

j m= = + และ 1 1,2 2

j m= = −

b) จงใชคานยามของ J+ และ J− ในสมการ (3.35) และ (3.36) ในการเขยน operator ˆxJ และ ˆyJ

ในรปของ matrix

3.10 บทสรป

ในบทท 3 ทเราไดเรมศกษาพฤตกรรมของ angular momentum ในทาง quantum mechanics angular momentum ทเราใชสญลกษณอยางหลวมๆวา J โดยท

SLJ += กลาวคอ angular momentum แบงออกเปนสวนประกอบยอยๆเปนสองกลม คอ orbital angular momentum L ซงเกยวของกบการเคลอนทแบบหมน และ spin angular momentum S ซงเปนสมบตเฉพาะตวของอนภาคนนๆ จากนนเราไดเรมศกษาถงการทเราจะเขยน angular momentum operator ˆ ˆ ˆ ˆx y zJ J J J= + + ใหอย

ในรปของผลบวกขององคประกอบในแนวแกน x, y, และ z ตามลาดบ ซง operator ดงกลาวน มความสมพนธกนอยคอ

ˆ ˆ ˆ,x y zJ J i J⎡ ⎤ =⎣ ⎦



โดยอาศยความสมพนธของ angular momentum operator อนนและสมบตทางคณตศาสตรอนๆทเกยวของ นาไปสประเดนทมความสาคญอยางมากเกยวกบ angular momentum กลาวคอ 1) ให j เปนคาสงทสดท angular momentum ในแนวแกน z จะพงมได คา j ดงกลาวนมลกษณะเปนขนบนได โดยท

…,2,23,1,

210,=j

ซงคาของ j จะเปนเทาไหรภายในเซตดงกลาวน กขนอยกบอนภาคหรอระบบทเรากาลงศกษาอย 2) เมอเราทราบคา j ในระบบแลว คา angular momentum ในแนวแกน z ทเปนไปได หรอทเราเรยกวา m นน กจะตามมา โดยท

jjjjm −+−−+= ,1,,1, … 3) ดงนนตามหลกสากลแลว เราจะใชสญลกษณ mj, เปนตวกากบสถานะของระบบทมคา j และ m เฉพาะตว ซงสถานะดงกลาว มคณสมบตดงตอไปน

2 2

2

2

ˆ , ,

ˆ , ( 1) ,

ˆ , ( 1) , 1

ˆ , ( 1) , 1

zJ j m m j m

J j m j j j m

J j m j j m m j m

J j m j j m m j m

+

−

=

= +

= + − − +

= + − + −

การวเคราะหสมบตเหลานในเชงฟสกสทเปนรปธรรมนน ถงแมบางครงจะทาไดยาก ดวยเหตผลของคณตศาสตรทนกศกษายงไมคนเคย แตกเปนสงทจาเปน และผลสดทายทจะไดรบกจะเปนความรทาง quantum mechanics ทลกซง ยกตวอยางเชน อเลกตรอนทโดยมากเรามกเรยกวา ม spin ขนนน แททจรงทศของ spin ไมไดชขนขนานกบแกน +z เสยเลยทเดยว หากแตทามมประมาณ 54.7 องศา กบแกน z



3.11 ปญหาทายบท

แบบฝกหด 3.11 พจารณาอนภาค boson ซงเปน spin-1 และม 1, 1+ , 1,0 , 1, 1− เปน basis state จงเขยน J+ , J− , และ ˆzJ ในรปของ matrix จากนนใช J+ และ J− ทไดเพอหา ˆyJ และ ˆxJ

แบบฝกหด 3.12 พจารณาอนภาค boson ซงเปน spin-1 และม eigenstate ของ ˆzJ operator เปน basis state ซงกคอ 1, 1+ , 1,0 , และ 1, 1− สมมตวาอนภาคอยในสถานะ

ˆ basis

31 214 1

Jz i

⎡ ⎤⎢ ⎥Ψ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

a) เมอทาการวด angular momentum ตามแนวแกน z หรอ ˆzJ จงหาความนาจะเปนทจะวดคาไดเทากบ + , 0 , และ − b) จงหา ˆzJ

c) เมอวด angular momentum ในแนวแกน x จะไดคาโดยเฉลยเทาใด ? บอกใบ - คานวณ ˆxJ

แบบฝกหด 3.13 จากแบบฝกหด 3.11 จงหา ˆ ˆJ n⋅ ในรปของ matrix คลายๆกบสมการ (2.85) จากนนคานวณ eigenvalue และ eigenstate ในทานองเดยวกนกบสมการ (2.93) เฉลย - ม eigenstate อย 3 สถานะดวยกนคอ

(1 cos ) sin (1 cos )1, 1 1,0 1, 12 22sin sin0 1, 1 cos 1,0 1, 1

2 2(1 cos ) sin (1 cos )1, 1 1,0 1, 1

2 22

i i

i i

i i

n e e

n e e

n e e

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

θ θ θ

θ θθ

θ θ θ

− +

− +

− +

+ −+ = + + + −

= + − − −

− +− = + − + −

แบบฝกหด 3.14 จงพสจนวา rotation operator ในแนวแกน y นอกจากจะสามารถเขยนอยในรป

ˆˆ( )

i J yR e

ϕϕ

−=j แลว ในกรณของอนภาคทม spin 1

2s = ยงสามารถเขยนอยในรป

2ˆ ˆ( ) cos sin2 2y

iR Jϕ ϕϕ = −j ไดอกดวย



แบบฝกหด 3.15 ในแบบฝกหด 2.22 เราคานวณ ˆxSΔ ในกรณทระบบอยในสถานะ

cos sin2 2

in Z e Zϕθ θ++ = + + −

a) จงคานวณ ˆySΔ และ ˆzS

b) พสจนใหเหนวา ˆ ˆ ˆ2x y zS S SΔ Δ ≥

c) มม ( ),θ ϕ เปนเทาใด จงจะทาให ˆ ˆ ˆ2x y zS S SΔ Δ =

แบบฝกหด 3.16 กาหนดให operator C มคานยามคอ ˆ ˆ ˆ,iC A B⎡ ⎤= ⎣ ⎦ พสจนวาถา A และ B

เปน Hermitian operator แลว C กเปน Hermitian ดวย

แบบฝกหด 3.17 จงพสจน Schwarz inequality 2α α β β α β≥

บอกใบ - เรมจาก 0ψ ψ ≥ เมอ ψ คอสถานะใดๆ จากนนพจารณาในกรณท

ψ α λ β= + เมอ λ คอคาคงทใดๆ จะไดวา ( )( ) 0α λ β α λ β∗+ + ≥

แลววหาคา λ ททาให ทางซายมอของสมการมคานอยทสด

Documents

3 Angular Momentum