Embed Size (px)
Citation preview
CURVATURA Y TORSIÓN
Cálculo Diferencial
Mtro. Raúl Rodríguez A.
2
Vector de posición
Consideremos una partícula que semueve en el espacio 3D en un intervalode tiempo I. Las coordenadas de lapartícula se pueden escribir como:
)(tfx )(tgy )(thz It
kjir )()()()( thtgtft
3
Si r es el vector de posición de unapartícula que se mueve a lo largo de unacurva en el espacio, entonces
Velocidad Rapidez
Aceleración
Dirección del movimiento en el tiempo t: vector unitario
dt
drv v
2
2
dt
d
dt
d rva
vv
(El vector v es tangente a la curva)
4
z
x
yO
Vector tangente unitariode una curva regular r(t)
s
P
v
vT
r
v
T
Vector tangente unitariode una curva regular r(t)
v
v
r
rT
dt
dsdt
d
ds
d
“s” representa la longitud de arco5
6
Ejercicio
Encuentre el vector tangente unitario a la curva
kjir2)sin4()cos4()( tttt
v
vT
Mathematica 5.2ParametricPlot3D[{4*Cos[t],4*Sin[t],t^2},{t,-5,5}]
7
kjir2)sin4()cos4()( tttt
kjirv tttt 2)cos4()sin4()(
222 2)cos4()sin4( ttt v
kjiT44
cos2
4
sin2222
t
t
t
t
t
t
424)cos(sin16 2222 ttttv
Curvatura
¿Cómo se dobla una
curva?
8
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
9
jir )()()( 32 ttt
T
T
T
T
T
Cuando el punto P se mueve a lo largo de una curva regular, Tgira, al doblarse la curva
Ps
10
z
x
yO
s
P
T
Cuando el punto P se mueve a lo largo de una curva regular, Tgira, al doblarse la curva
La curvatura es la razón con la que Tgira por unidad de longitud a lo largo de la curva
T
T
T
Curvatura
11
Definición
Si T es el vector tangente unitario de una curva regular r(t), su función de curvatura es
ds
dT
Letra griega “kappa”
Letra “s” representa el parámetro de longitud de arco de la curva
Fórmula para la Curvatura
12
Sea r(t) una curva regular, entonces su curvatura está dada por
dt
dT
v
1
Donde
v
vT
13
T
T
s
2P1P
T
3P
N
N
N
Vector normal principalunitario (N)
El vector N siempre apunta al lado cóncavo de la curva
Los vectores N y T son ortogonales entre sí
Vector normal principal unitario
14
Definición
En un punto donde κ ≠ 0, el vector normal principal unitario, de una curva regular r(t), es
ds
dTN
1
Fórmula para calcular el vector normal principal unitario
15
Para una curva regular r(t), el vector normal principal unitario es
dt
ddt
d
T
T
N
Dondev
vT
16
Ejercicio
Determine T, N y k (vector tangente unitario, vector normal principal unitario y curvatura) de la curva dada a continuación
k
jir
)ln(cos
)(cos)(sin)(
t
ttt
Determine k(curvatura) para t = π
ParametricPlot3D[{Sin[t],Cos[t],Log[Cos[t]]},{t,0,1}]Mathematica 5.2
17
v
vT
dt
dT
v
1
Vector tangente unitario
Curvatura
Vector normal principal unitario
dt
ddt
d
T
T
N
18
kjirv
dt
td
dt
td
dt
tdt
)ln(coscossin)(
kjiv ttt tansincos
222tansincos ttt v
t2tan1v
kjir )ln(cos)(cos)(sin)( tttt
tt secsec2 v
19
v
vT )tansin(cos
sec
1kjiT ttt
t
kjiT tttt sincossincos2
kji
T
dt
td
dt
ttd
dt
td
dt
d )(sin)cos(sincos2
kjiT
)cos()cos21()cossin2( 2 ttttdt
d
20
tttttdt
d 24222 coscos4cos41cossin4 T
1)cos43sin4(cos 222 tttdt
dT
1]3)cos(sin4[cos 222 tttdt
dT
tdt
d 2cos1T
21
t
t
sec
cos1 2
k
jiN
t
t
t
t
t
tt
2
2
2
2
cos1
cos
cos1
cos21
cos1
cossin2
21
)1(1)(
2
t
22
Ejercicio
Determine T, N y k (vector tangente unitario, vector normal principal unitario y curvatura) de la curva dada a continuación. Verifique que N y T son ortogonales
jir )sin4()cos4()( ttt
Mathematica 5.2
Una circunferencia en el plano
ParametricPlot[{4*Cos[t],4*Sin[t]},{t,-5, 5}]
23
jir )sin4()cos4()( ttt
jiv )cos4()sin4( tt
4cos16sin16 22 ttv
jiT tt cossin
jiT
ttdt
dsincos 1sincos 22 tt
dt
dT
jiN tt sincos 4
1
sortogonalevectores0TN
24
Ejercicio
Determine T, N y k, para la curva dada a continuación
Mathematica 5.2
kjir )2()2()()( tttt
Una recta en el espacio
25
kjir )2()2()()( tttt
kjiv 2 6v
kjiT6
1
6
2
6
1
0kjiT
000dt
d0
dt
dT
0 noN
26
Torsión y
Vector unitario binormal
27
z
x
y
O
s
P
TN
B
r
El marco TNB de vectores unitarios mutuamente ortogonales, viajando a lo largo de la curva “s” en el espacio
T: vector tangente unitario N: Vector normal unitarioB: Vector binormal unitario
28
P
TN
B
Plano osculador
Plano normal
Plano rectificador
Los tres planos
determinados por T, N y B
29
Vector binormalunitario
NTB
Torsión
2av
zyx
zyx
zyx
0av
Donde
30
zyx
zyx
zyx
Donde
Representan derivadas (1ª, 2ª, 3ª) de las componentes del vector de posición r (t)
31
Ejercicio
Determine B, T, N, κ y τ de la curva dada a continuación
k
jir
t
ttt
19
)3cos3()3sin3()(
ParametricPlot3D 3 Sin 3 t , 3 Cos 3 t , 19 t , t, 0, ;
32
v
vT
dt
dT
v
1
Vector tangente unitario
Curvatura
Vector normal principal unitario
dt
ddt
d
T
T
N
NTB Vector binormal unitario
2av
zyx
zyx
zyx
Torsión
33
kjir tttt 19)3cos3()3sin3()(
kjiv 193sin93cos9)( ttt
jia ttt 3cos273sin27)(
1019)3sin3(cos81 22 tt iv
kjiT10
193sin
10
93cos
10
9 tt
34
jiT
ttdt
d3cos
10
273sin
10
27
10
27)3cos3(sin
10
27 22
2
tt
dt
di
T
jiN tt 3cos3sin
100
27
10
27
10
1
35
03cos3sin10
193sin
10
93cos
10
9
tt
tt
kji
B
kjiB10
93sin
10
193cos
10
19 tt
36
03cos273sin27
193sin93cos9
tt
tt
kji
av
kjiav 2433sin19273cos1927 tt
22222
)243(3sin19273cos1927 ttav
270av
37
2)270(
03sin813cos81
03cos273sin27
193sin93cos9
tt
tt
tt
2
22
)270(
3cos3sin192187 tt
19100
3
38
Ejercicio
Determine B y τ (vector binormal unitario y la torsión) de la curva dada a continuación
k
jir
)ln(cos
)(cos)(sin)(
t
ttt
39
kjiT tttt sincossincos2
kjir )ln(cos)(cos)(sin)( tttt
k
jiN
t
t
t
t
t
tt
2
2
2
2
cos1
cos
cos1
cos21
cos1
cossin2
kjiv ttt tansincos
kjia ttt 2seccossin
40
NTB
t
t
t
t
t
tttttt
22
2
2
2
cos1
cos
cos1
cos21
cos1
cossin2sincossincos
kji
B
kjiB ttttt
223
2cos)sin1(cossin
cos1
1
41
kjiav
t
tt
t
t
cos
1sinsin
cos
sin 2
2
ttt
t 22
2
2
cos1seccos
cos1
av
t
t
tttt
ttt
ttt
2
2
2
2
cos
cos1
tansec2sincos
seccossin
tansincos
42
t
t
tt
tttt
2
2
32
cos
cos1
tan2cos
sin2sincossin
tttttt
ttansin2sin2coscos
cos1
sin 23
2
43
THE RAT VIBRISSAL (WHISKER) SYSTEM
http://www.mech.northwestern.edu/hartmann/
44
THE FLEXURAL CHARACTERISTICS
OF RAT VIBRISSAE
http://www.mech.northwestern.edu/hartmann/
45
The MechE Mouse Project
(Robotic Whisker Arrays)
http://www.mech.northwestern.edu/hartmann/
Joseph H. Solomon, Mitra J. Hartmann
46http://www.mech.northwestern.edu/hartmann/
