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3. Introducción al método del Elemento finito.
Dos de los objetivos más importantes que se busca obtener mediante el análisis
ingenieril es la capacidad de identificar los principios físicos básicos que rigen el
comportamiento de un sistema y además transformar esos principios en modelos
matemáticos compuestos de una o varias ecuaciones que puedan ser resueltas, con el fin
de predecir el comportamiento cuantitativo y cualitativo del sistema, teniendo presente
siempre que esta predicción debe ser precisa.
El modelo matemático resultante esta compuesto de una ecuación o de un sistema de
ecuaciones, cuya solución debe ser consistente y debe ser representativa de las bases y
principios físicos del sistema.
En situaciones donde el sistema es relativamente simple, es posible analizar el problema
mediante el uso de sistemas tradicionales. Como son los métodos aprendidos en cursos
elementales como ecuaciones diferenciales. Sin embargo, los sistemas actuales tienden
cada ves a ser más complejos, por lo que la solución de los sistemas de ecuaciones
diferenciales principales o la región donde se puede localizar la solución demandan el
uso de un método de aproximación o un método numérico, para así extraer la
información relacionada con el comportamiento del sistema.
Hasta hace poco tiempo, un método muy conocido y muy empleado por ingenieros,
físicos y matemáticos para analizar problemas complejos que involucran sistemas de
ecuaciones diferenciales, ordinales y parciales era el método de diferencia finita o
diferencial finito (finite difference method) utilizado en una de sus múltiples formas.
Durante el último cuarto de siglo, el método del elemento finito (FEM, por sus siglas en
inglés) se ha convertido en una alternativa viable que en muchas aplicaciones tienes
ventajas sobre el método antes mencionado.
El método del elemento finito es una técnica numérica que soluciona o se aproxima a
una solución a un sistema de ecuaciones diferenciales relacionadas con un problema de
carácter físico o ingenieril.
Como en el uso del método de diferencia finita. El método del elemento finito requiere
que el problema se encuentre definido en un espacio geométrico, o dominio, para así ser
subdividido en un número finito de regiones pequeñas, formando una especie de red o
malla (mesh). Sin embargo, existe una diferencia importante entre estos dos métodos.
En el método de diferencia finita, la malla consiste de filas y columnas de líneas
ortogonales, mientras que en el método de elemento finito, cada división es única y no
necesariamente ortogonal. (figura 11).
Por ejemplo, es posible utilizar triángulos o cuadriláteros en dos dimensiones, y
tetraedros o hexaedros en tres dimensiones. Sobre cada elemento finito, las variables
desconocidas (velocidad, temperatura, etc.) son aproximadas mediante el uso de
funciones, funciones que pueden ser lineales o de orden más alto como polinomial.
Dicho orden depende de la localización de los puntos geométricos o vértices que
definen la forma del elemento finito (nodos).
En contraste con el procedimiento del método diferencial, consistente en
discretizaciones convencionales, las ecuaciones principales en el método del elemento
finito son integradas para cada uno de los elementos que componen la malla y la
solución se suma alrededor de todo el dominio. Como consecuencia de estas
operaciones, se obtiene un conjunto de ecuaciones lineales finitas, que están en función
de un conjunto de parámetros desconocidos para cada elemento.
La solución de estas ecuaciones se logra mediante métodos algebraicos.
La historia del método del elemento finito es particularmente interesante,
principalmente porque dicho método surgió hace poco tiempo.
Las ideas básicas del método surgieron a partir de los avances en el área de análisis
estructural relacionado con la aviación. En 1941, Hrenikoff presentó una solución a un
problema de elasticidad usando lo que se conocía como método de estructura de trabajo
(frame work method). Un método alterno apareció en 1943, su creador fue Courant, y
usaba interpolaciones polinomiales sobre regiones triangulares para la solución de
problemas relacionados con la torsión.
A mediados de los años 50as comenzaron a aparecer los resultados producto del
esfuerzo dedicado a resolver problemas continuos de elasticidad con el uso de pequeños
elementos para describir el comportamiento de una barra elástica.
El progreso de estos métodos continuo a lo largo de esa década, y en 1960 surgió el
nombre de método de elemento finito formalmente en una publicación de Clough.
En su edad temprana, el uso de los elementos finitos estaba restringido a la aplicación
de estas técnicas para problemas estructurales y para cuestiones relacionadas. Sin
embargo, la versatilidad del método y sus fuertes bases matemáticas inherentes a dicho
método fueron reconocidas y aplicadas a otras áreas, siendo Zienkiewicz y Cheung los
primeros en aplicar, o al menos en publicar el método del elemento finito aplicado a
problemas de campo (conductores de calor, fluidos irrotacionales, etc.).
El desarrollo posterior se dio en forma súbita, en tan diversas aplicaciones como son
problemas de transferencia de calor, como por ejemplo lo discutido en Huebner (1975).
Han sido publicados numerosos artículos y textos, como revisiones y descripciones del
método, Bickford (1990), o Zienkiewicz y Taylor (1989) por mencionar algunos.
Para ahondarse en el método del elemento finito es necesario retomar y más que nada
reafirmar algunos conceptos básicos necesarios en el desarrollo de éste.
1. Esfuerzos y equilibrio.
Un cuerpo tridimensional que ocupa un volumen, denotado por V, y que tiene una
superficie S se muestra en la siguiente figura (figura 12).
Cualquier punto en este cuerpo está definido por las coordenadas x, y, z. La superficie o
frontera está restringida a una región, donde el desplazamiento está especificado. Sobre
una parte de la superficie se aplica una carga distribuida por unidad de área, esta fuerza
de tracción se denomina T. Bajo esta carga, el cuerpo se deforma. La deformación de un
punto [ ] ),,( x Tzyx= está dada por los tres componentes de su desplazamiento:
[ ]T,,u wvu=
La fuerza distribuida por unidad de volumen, por ejemplo, el peso por unidad de
volumen es el vector f definido por
[ ]T,,f zyx fff=
La fuerza aplicada que actúa sobre el volumen elemental dV se observa en la figura. La
fuerza superficial T puede definirse por los valores de sus componentes sobre puntos
definidos en la superficie.
[ ]T,,T zyx TTT=
Ejemplos de tracción son fuerzas distribuidas de contacto y acción de presión. Una
carga P que actúa en un punto i se representa por sus tres componentes
[ ]T,,P izyxi PPP=
Los esfuerzos que actúan sobre el volumen dV se muestran en la siguiente figura (figura
13).
Donde el volumen dV se reduce a un punto, el esfuerzo tensor se representa mediante la
colocación de sus componentes en una matriz simétrica (3 x 3). Sin embargo,
representamos el esfuerzo por los seis componentes independientes de la siguiente
forma:
[ ]T,,,,,• xyxzyzzyx τττσσσ=
donde zyx σσσ ,, son esfuerzos normales y ,,, xyxzyz τττ son esfuerzos cortantes. Ahora bien,
si se considera que el volumen mostrado en la figura se encuentra en equilibrio es
posible obtener las ecuaciones de equilibrio para el elemento. Primero se obtienen las
fuerzas por la multiplicación de los esfuerzos por sus áreas correspondientes.
Escribiendo ∑ = 0xF , ∑ = 0yF y ∑ = 0zF , y estableciendo dV = dx dy dz.
Las ecuaciones serán...
0=+∂
∂+
∂∂
+∂∂
xxzxyx fzyx
ττσ
0=+∂
∂+
∂∂
+∂
∂y
yzyxy fzyx
τστ
0=+∂∂
+∂∂
+∂∂
zzyzxz f
zyxσττ
2. Condiciones de frontera.
En el análisis de la figura 2, es posible observar que hay condiciones de frontera para el
desplazamiento y condiciones de carga en la superficie. Si u está definida en parte de la
frontera denotada por uS , se tiene
uSen 0u =
también es posible considerar las condiciones de frontera como u = a, donde a es un
desplazamiento previamente definido.
Considérese el equilibrio de un tetraedro ABCD, que se muestra en la siguiente figura.
(figura 14)
Donde DA, DB, y DC son paralelos a los ejes x, y y z respectivamente, y el área ABC,
denotada por dA se halla en la superficie. Si [ ]T,,n zyx nnn= es la unidad normal a dA,
entonces el área dAnBDC x= , área dAnADC y= , y el área .dAnADB z=
La consideración de equilibrio a lo largo de los tres ejes da como resultado...
zzzyyzxxz
yzyzyyxxy
xzxzyxyxx
TnnnTnnnTnnn
=++=++=++
στττστττσ
Estas condiciones deben de cumplirse en la frontera TS , donde las fuerzas de tracción
son aplicadas. En esta descripción, las cargas puntuales deben ser tratadas como cargas
distribuidas sobre áreas pequeñas pero finitas.
3. Relación deformación-desplazamiento.
Las deformaciones del elemento se representan en un vector que corresponde a los
esfuerzos.
[ ]T,,,,,• xyxzyzzyx γγγεεε=
donde zyx εεε y ,, son las deformaciones normales y xyxzy γγγ y ,, son las deformaciones por
esfuerzo cortante.
4. Relación esfuerzo-deformación.
Para materiales que presentan un comportamiento elástico lineal, la relación esfuerzo-
deformación viene de la generalización de la regla de Hooke. Para materiales isotópicos,
las dos propiedades de los materiales son el módulo de Young o módulo de elasticidad
E y la razón de Poisson v. Considerando un cubo elemental dentro del cuerpo, la ley de
Hooke da como resultado.
EEv
Ev
Ev
EEv
Ev
Ev
E
zyxz
zyxy
zyxx
σσσε
σσσε
σσσε
+−−=
−+−=
−−=
G
G
G
xyxy
xzxz
yzyz
τγ
τγ
τγ
=
=
=
Donde G es el módulo de rigidez, y está dado por.
)1(2 vEG+
=
de la ley de Hooke, se nota que
)()21(zyxzyx
Ev
σσσεεε ++−
=++
si se substituye por )( zy σσ + en la primera ecuación producto de la regla de Hooke, se
obtienen las relaciones inversas •D• =
D representa la matriz del material (6 x 6) dada por:
−−
−−
−−
−+=
vv
vvvv
vvvvvv
vvE
5.00000005.00000005.0000000100010001
)21)(1(D
Dentro de la relación esfuerzo-deformación existen además casos especiales que se
describen brevemente a continuación.
Unidimensional. En una dimensión, hay esfuerzo normal σ a lo largo de x y la
deformación correspondienteε. La relación esfuerzo-deformación es simplemente
εσ E=
Bidimensional. En dos dimensiones, los problemas son modelados como esfuerzos
planos y deformaciones en el plano.
Esfuerzos planos. Un cuerpo plano delgado, que está sometido a una carga en el
plano en el borde de su superficie, se dice está sometido a esfuerzo plano. Un anillo
sujetado a presión en una flecha es un ejemplo de este tipo de carga. (Figura 15).
En este caso los esfuerzos 0y ,, yz =ττσ xzz , por lo que la ley de Hooke da
)(
)1(2
yxz
xyxy
yxy
yxx
Ev
Ev
EEv
Ev
E
σσε
τγ
σσε
σσε
+−=
+=
+−=
−=
las relaciones inversas son
−−=
xy
y
x
xy
y
x
vv
v
vE
γεε
τσσ
2100
0101
1 2 que es usada como εσ D=
Deformación planar. Si un cuerpo largo de sección transversal constante está
sujeto a una carga transversal a lo largo de su longitud, en pequeño espesor en la zona
con carga aplicada, como lo muestra la figura. (figura 16)
Puede ser tratada como sujeta a deformación en el plano. En este caso yzxzz γγε ,, se
asumen como 0. El esfuerzo zσ puede ser un valor diferente de cero. La relación
esfuerzo-deformación puede obtenerse directamente de la matriz del material D.
−
−−
−+=
xy
y
x
xy
y
x
vvv
vv
vvE
γεε
τσσ
2100
0101
)21)(1(
en este caso D es una matriz (3 x 3), ya que representa tres esfuerzos y tres
deformaciones.
Cuerpos anisotrópicos, con orientación uniforme, pueden considerarse usando la matriz
D apropiada para el material.
Existen otros muchos conceptos básicos que son parte fundamental en el método del
elemento finito, sin embargo, los mencionados antes son probablemente los más
importantes. A continuación se mencionan otros, sin profundizar en su definición.
5. Efecto de la temperatura. Si existe un incremento en la temperatura ),,( zyxT∆ con
respecto a la temperatura original, la deformación asociada se puede considerar
fácilmente. Para los materiales isotópicos, el incremento de temperatura da como
resultado una deformación uniforme, la cual depende del coeficiente de expansión lineal
α del elemento. Dicho coeficiente representa el cambio de longitud de temperatura. Se
asume como constante dentro del rango de variación de la temperatura. La deformación
producto de este cambio de temperatura no provoca ningún esfuerzo cuando el cuerpo
tiene libertad de deformarse.
6. Energía potencial y equilibrio. Método de Rayleigh-Ritz. En mecánica de sólidos, el
problema es determinar el desplazamiento u de un cuerpo tridimensional con volumen
V, mediante una solución que satisfaga las ecuaciones de equilibrio del elemento.
Nótese que los esfuerzos están relacionados con las deformaciones, que a su vez, están
relacionadas con los desplazamientos. Esto lleva a la necesidad de resolver ecuaciones
diferenciales de segundo orden. La solución de este conjunto de ecuaciones se refiere
generalmente a una “solución exacta”. Dichas soluciones exactas son disponibles para
geometrías simples y condiciones de carga. Pero para geometrías complejas y en
general para las condiciones de carga y de frontera, la obtención de estas soluciones es
una labor casi imposible. Algunos métodos de aproximación utilizan la energía
potencial o métodos variacionales, en las cuales las condiciones en las funciones son
más flexibles.
La energía potencial es la suma de la energía total de deformación y el trabajo potencial.
Método de Rayleigh-Ritz. La energía potencial puede utilizarse para encontrar una
solución aproximada, el método Rayleigh-Ritz involucra la construcción de un supuesto
campo de desplazamiento, donde dicho desplazamiento debe ser cinematicamente
admisible. Esto es, que las componentes del desplazamiento deben satisfacer
condiciones de frontera específicas.
7. Método de Galerkin. El método de Galerkin usa un conjunto de ecuaciones en el
desarrollo de una forma integral. Usualmente se presenta como uno de los métodos
residuales de mayor importancia. Se considera una representación de una ecuación
general de una ecuación rectora en una región V.
Lu = P
Para una barra unidimensional por ejemplo, la ecuación principal es la ecuación
diferencial
0)( =dxduEA
dxd
si se considera L como el operador
) (dxdEA
dxd
operando en u.
La solución exacta necesita ser válida para cada punto x. Si se busca una solución
aproximada u~ , introduce un error ε(x) que recibe el nombre de residual:
PuLx −= ~)•(
los métodos aproximados se mueven alrededor determinando el residual relativo a una
función W, a cero.
∫ =−V
i dVpuLW 0)~( i = 1 a n
las funciones iW son elegidas de acuerdo a las funciones base utilizadas para la
construcción de u~ . Si u~ está representado por
∑=
=n
iiiGQu
1
~
Donde n, a 1, =iGi son funciones base (usualmente funciones polinomiales de x, y, z).
Se escogen las funciones de más peso a ser una combinación de funciones base iG .
Específicamente, se considera una función arbitrariaφ, dada por
∑=
Φ=n
iiiG
1•
8. Principio de Saint Venant. En ocasiones es necesario hacer aproximaciones en la
definición de las condiciones de frontera para representar una interfase soporte-
estructura.
Considérese una viga en cantiliver, libre en uno de sus extremos y sujeta en el otro a
una columna mediante remaches. Algunas cuestiones surgen acerca de la rigidez de la
unión remachada, y acerca de la igualdad en las condiciones de frontera de cada uno de
los elementos situados en la sección transversal del extremo fijo. Saint Venant
consideró el efecto que diferentes aproximaciones tienen sobre la solución total del
problema. Este principio establece que mientras las aproximaciones realizadas sean
estáticamente equivalentes, las soluciones resultantes serán válidas siempre y cuando el
enfoque sea en una región suficientemente alejada del soporte. Esto quiere decir que, las
soluciones pueden variar significativamente solo dentro de la proximidad del soporte.
Hasta ahora, se han discutido las bases necesarias para el método del elemento finito,
por lo que se observarán algunas aplicaciones de este método. Que por su versatilidad es
aplicado cada vez a más áreas. Además se incluyen breves ejemplo para algunas de
éstas aplicaciones.
3.1 Aplicaciones del método del elemento finito en ingeniería.
1. Mecánica de sólidos. Estructuras.
La industria aerospacial usa el método del elemento finito para determinar la respuesta
estática y dinámica de los aviones y las naves espaciales ante la gran variedad de
ambientes y condiciones que encuentran durante su funcionamiento.
Para realizar un análisis los elementos se dividen en reiteradas ocasiones para el análisis
de los componentes.
2. Mecánica de fluidos.
Un ejemplo de una aplicación del método del elemento finito en la mecánica de fluidos
es el problema del flujo de aire alrededor del ala de un avión. Como se muestra en la
imagen de la sección transversal de un ala. (Figura 17).
Lo más interesante de esto son las fuerzas de flotación y las fuerzas que actúan en
contra del avance del cuerpo (drag force). La región de flujo cercana al ala se divide en
elementos como se indica. La solución del modelo de elemento finito permite el
cómputo de las fuerzas previamente mencionadas.
3. Transferencia de calor.
Un ejemplo de la aplicación del método del elemento finito a esta área es en torno a un
motor de turbina de gas. La temperatura de funcionamiento alcanza niveles muy altos en
el motor y ciertos componentes deben ser enfriados para que soporten y puedan seguir
funcionando correctamente. Las aspas en el rotor generalmente contienen cavidades
para que permitan el paso de una corriente de aire refrigerante hacia el interior de la
aspa para cumplir con el objetivo de evitar el sobrecalentamiento.
Un modelo de elemento finito para un aspa se muestra en la siguiente figura (figura 18).
Este modelo se usa para determinar el número apropiado de cavidades, su tamaño y su
localización para un enfriamiento apropiado del aspa y el motor.
4. Filtración de agua subterránea.
Una importante aplicación en el área geofísica es el problema de la filtración de agua
subterránea. Una típica situación de este problema se muestra en la siguiente imagen,
(figura 19).
Donde el agua es retenida detrás de un dique impenetrable. La tarea es determinar la
cantidad de agua que se pierde debido a la filtración bajo el dique en la tierra. La malla
para el modelo de elemento finito del suelo se indica también.
El método del elemento finito es aplicado fácilmente y comúnmente a una enorme
cantidad de problemas físicos y matemáticos como los que se ha indicado hasta ahora.
Actualmente, existen muchos software que operan con el método del elemento finito.
Estos software realizan todas las operaciones matemáticas y todo el análisis de los
modelos en cuestión de minutos o incluso segundos.
A continuación se mencionan algunas empresas o casos que mediante el uso de un
software de elemento finito, han desarrollado productos o servicios que ofrecen al
mercado.
Actualmente existen cientos de industrias dedicadas al desarrollo de productos que han
sido desarrollados sobre la base del análisis del elemento finito. Así como empresas que
han desarrollado estos mismos programas, que cada vez ofrecen análisis más completos,
más precisos y más rápidos.
1. Una de las áreas donde se ha aplicado ésta tecnología con excelentes resultados es en
la industria automotriz, ya que al permitir el modelado y análisis de componentes que
van a estar sometidos a diversos tipos de carga, se pueden hacer mejoras y ahorrar
dinero que se gastaría en múltiples pruebas. (Figura 20)
2. La industria aerospacial también ha aprovechado la tecnología del FEM, para el
modelado de aviones, y sus partes, así como para el diseño de los componentes internos.
(figura 21).
3. en la industria manufacturera, la aplicación del modelado por método de elemento
finito, permite hacer un análisis para manufacturabilidad, así como para diseñar
componentes que cumplan ciertos requisitos, y la principal ventaja radica en que este
análisis se puede hacer antes de haber construido el elemento o siquiera un prototipo.
Por ejemplo, en la siguiente imagen. (Figura 22) se observa un análisis de diseño para
fatiga, sobre un componente.
4. Con una gran cantidad de modelos físicos y eficientes métodos de solución, FIDAP
es la herramienta de modelación de flujos a elegir para aplicaciones como el
procesamiento de polímeros, recubrimientos de capas delgadas, flujos en biomedicina,
crecimiento de cristales semiconductores, metalurgia, procesamiento de vidrio y otras
áreas relacionadas.
Basado en el método de elemento finito, FIDAP ofrece una flexibilidad total en cuanto a
la definición de mallas así como soluciones robustas y eficientes. Está disponible para
sistemas UNIX y Windows/NT y está optimizado para procesamiento en paralelo.
5. En el Área de Fisicoquímica de Fluidos se está haciendo investigación sobre el tema
de las ecuaciones integrales mencionadas antes, desde varios aspectos:
Desarrollo de nuevos métodos numéricos confiables y eficientes que permitan resolver
estos problemas en tiempos de cómputo que sean accesibles. Dentro de este esfuerzo, se
desarrolló un método numérico que, basado en las técnicas numéricas de Elemento
Finito, ha demostrado ya en varios casos ser lo suficientemente poderoso para competir
con ventajas con los métodos numéricos tradicionales. Aplicaciones del método
mencionado en a) en distintas situaciones de interés físico. Ejemplo de esto es la
determinación del comportamiento crítico de diferentes sistemas modelo, como el del
potencial de pozo cuadrado y el de Yukawa. Generalización del método numérico
mencionado en a) para el tratamiento de sistemas no uniformes y en particular para el
tratamiento de la doble capa eléctrica según el modelo primitivo de un electrolito.
Búsqueda de soluciones analíticas de las ecuaciones integrales de la física de líquidos.
Como se mencionó antes, las soluciones analíticas son muy contadas. En este campo se
hizo un avance importante al encontrar la solución analítica de la ecuación integral de la
aproximación esférica media para el modelo de potencial intermolecular de Yukawa.
6. Aplicaciones del Método del elemento Finito a la biomecánica ortopédica.
Así como estos, podemos encontrar cientos de casos más, sin embargo, lo importante es
notar como la aplicación de este método, principalmente utilizando programas que
trabajan bajo dicho método, representa una mejoría cada día en campos más variados.
Para este proyecto, el software a utilizar es Algor , el cuál se describe en el capítulo 4.