1

3. METODE RJEAVANJA STRUJNIH KRUGOVA IZMJENIČNE STRUJE

3.1. SIMBOLIČKA METODA Simbolička metoda ili metoda kompleksne ravnine primjenjuje se kod računanja s

vektorima, a slui za rjeavanje problema formalnih analognih izraza, osobito kod analize strujnih krugova.

Vektori se mogu prikazati pomoću određenog kompleksnog broja, pa se rjeavanjem relacija između kompleksnih brojeva rjeavaju i odnosi među vektorima, koji se onda mogu primjeniti i na električne izmjenične veličine.

Svaki se vektor u kompleksnoj ravnini moe prikazati, kao na slici 64, s dva međusobno okomita vektora, odnosno sastavljen iz dvije komponente, od kojih je jedna u smjeru osi realnih vrijednosti, a druga u smjeru osi imaginarnih vrijednosti.

22 baZ += tgϕ=b/a Slika 64. Kompleksni broj kao vektor Neki vektor Z određen je u kompleksnoj ravnini točkom z koja ima koordinate a i b.

Pritom je a realni dio kompleksnog broja (vektora Z ), a b imaginarni dio. Poznato je da je veličina j tzv. imaginarna jedinica ili 1−=j .

Iz matematike je poznato da se kompleksni broj z moe pisati kao:

z Z= ϕ gdje je Z a b= +2 2 apsolutni iznos ili veličina vektora Z , a ϕ =arctg(b/a) kao kut vektora prema realnoj osi. Za rjeavanje problema krugova izmjenične struje treba koristiti ovaj način prikaza

pomoću vektorskog dijagrama ili poligona, kada se moe upotrijebiti i vektorska

algebra. Tako se u svrhu praktične primjene produkt dva kompleksna broja z Z1 1 1= ϕ i

z Z2 2 2= ϕ moe pisati :

z1.z2= Z1 . Z2ϕ 1+ϕ2

Kvocijent kompleksnih brojeva z1 i z2 moe se tada pisati:

212

1

2

1 ϕ−ϕ=ZZ

zz

Kao to je već poznato i pojedini elektrotehnički elementi mogu se prikazati spomenutom metodom kompleksnih brojeva, tako to se izbjegava uporaba integralnog računa i diferencijalnih jednadbi, ali samo kod sinusoidalnih pobuda.

Ovdje je vano istaknuti da će se zbog jednostavnosti prikaza analizirati uglavnom mree sa sinusoidalnom pobudom i to u stacionarnom stanju.

Stacionarno stanje u strujnom krugu nastaje kada se zavre sve prelazne pojave.

a

z=a+jb b

Z

ϕ

Im

Re

2

Pojedini elektrotehnički elementi u kompleksnoj ravnini mogu se prikazati: a: omski otpor zR=R+j0=R 0° b: induktivni otpor zL=0+jωL=ωL 90° c: kapacitivni otpor zC=0+1/jωC=-j/ωC=1/ωC -90° d: međuinduktivni otpor

u1=Mdidt

2 i1=0

u2=Mdidt

1 i2=0

M=k L L1 2

u1=-Mdidt

2 i1=0

u2=-Mdidt

1 i2=0

U kompleksnom obliku odnos veličina bio bi sljedeći: u1=i1

.jωL1+i2.jωM

u2=i2.jωL2+i1

.jωM , za pozitivan utjecaj međuinduktiviteta i u1=i1

.jωL1-i2.jωM

u2=i2.jωL2-i1

.jωM , za suprotan utjecaj međuinduktiviteta gdje je: X1=jωL1 , X2=jωL2 i XM=jωM.

R

C

L

L1 L2

M i1

u2

i2

u1

+ +

L1 L2

M i1

u2

i2

u1

+ +

3

Z1 Zn Z2

Z1 Zn Z2

Slika 65. Prikaz sinusoidalne funkcije U realnom vremenu, funkcija napona amplitude A i periode T sinusoidalno se

mijenja, to se vidi iz slike 65, a opisuje se funkcijom y=A.sinωt gdje je: ω=2Π/T=2Πf kruna frekvencija U kompleksnom obliku ova se funkcija moe prikazati: u=A ejωt. Ukoliko postoji fazni pomak u odnosu na ishodite, tada je funkcija slijedećeg

oblika: u=A.sin(ωt+ϕ) ili u kompleksnom obliku: u=A.ej(ωt+ϕ). 3.2. POJAM IMPEDANCIJE Općenito impedancija je omjer napona i struje s tim da su i struja i napon vremenski

promjenjive veličine. Ako je napon u(t)=Um

.sin(ωt+ϕu) i struja i(t)=Im.sin(ωt+ϕi) koji u kompleksnom obliku izgledaju : u U em

j t u= +( )ω ϕ , a i I emj t i= +( )ω ϕ onda je impedancija

zui

U eI e Zem

j t

mj t

ju

i

u i= = =+

+−

( )

( )( )

ω ϕ

ω ϕϕ ϕ

Serijski spoj impedancija Z=Z1+Z2+...+Zn Paralelni spoj impedancija

1 1 1 1

1 2Z Z Z Zn

. . . ... .= + + +

ϕ

Y

t

A

T

4

ZADATAK: Zadana su dva sinusoidalna napona s ovim podacima: T=0.001s U1m=10V U2m=5V ϕ1=-Π/6 ϕ2=Π/4. Odredite: 1. krunu ω i cikličku f frekvenciju napona 2. jednadbe trenutnih vrijednosti napona tj. u1(t) i u2(t) Izmjenični napon je napon čija se vrijednost mijenja u vremenu, odnosno to je napon

kojemu se ne mijenja samo veličina nego i polaritet. Za takav napon potrebno je definirati tri vrijednosti: amplitudu napona odnosno maksimalnu (tjemenu) vrijednost, krunu frekvenciju napona koja slui za pretvaranje argumenta u odgovarajući kut i fazni pomak u odnosu na referentni napon.

1. promjenjivost izmjeničnih napona i struja označava se trajanjem jedne periode T ili čeće frekvencijom f tj. brojem perioda u jedinici vremena.

f=1/T=1/0.001=1000Hz=1kHz ω=2Πf=2 3.14 1000=6280s-1 2. trenutna vrijednost napona (slika 66) prikazuje se u obliku: u(t)=Um sin(ωt + ϕ) u1(t)=10 sin(6280t - Π/6) u2(t)=5 sin(6280t + Π/4)

Slika 66. U analizi strujnih krugova izmjenične struje sluiti ćemo se vektorskim prikazom ili

kompleksnim brojevima jer je time olakano računanje za razliku od prikaza napona i struja pomoću trenutnih vrijednosti. Kompleksni brojevi su proirenje skupa realnih brojeva, odnosno to je broj oblika z=a+jb gdje je a realni dio, b imaginarni dio kompleksnog broja. Kompleksni broj u koordinatnom sustavu je vektor s koordinatama (a,b), projekcija vektora na os apscisa predstavlja realni dio kompleksnog broja, a projekcija na os ordinata imaginarnu vrijednost kompleksnog broja. Kompleksni broj z se moe prikazati i u eksponencijalnom obliku z=Z e jϕ to skraćeno piemo u obliku z=Z ϕ gdje je Z apsolutna vrijednost kompleksnog broja, a ϕ kut koji vektor z zatvara s osi apscisa. Po Eulerovoj formuli je:

ejϕ=cos(ϕ) + j sin(ϕ)

5

Pravila koja vrijede pri računanju s kompleksnim brojevima: neka su zadana dva kompleksna broja z1=a+jb i z2=c+jd z1=Z1ejϕ1 z2=Z2ejϕ2 1. zbrajanje dva kompleksna broja z1+z2=(a+jb)+(c+jd)=a+c+j(b+d) 2.oduzimanje dva kompleksna broja z1-z2=(a+jb)-(c+jd)=a-c+j(b-d) 3.mnoenje dva kompleksna broja z1z2=(a+jb)(c+jd)=ac+jad+jbc+j2bd=ac-bd+j(ad+bc) z1z2=Z1Z2ej(ϕ1+ϕ2) 4.djeljenje dva kompleksna broja

)(2222

2

2

1

dcadbcjbdac

dcbdjjbcjadac

jdcjdc

jdcjba

zz

+−++=

+−+−=

−−⋅

++=

z1/z2=Z1/Z2 ej(ϕ1-ϕ2) ZADATAK: Izrazi za trenutne vrijednosti struja su:

( )

))()( 3210

628

44326

2

5

4

3

2

1

/sin/cos

/sin(/sin

sin

Π+ω−=Π+ω=

Π+ω=Π−ω=

ω=

titi

titi

ti

Treba nacrtati u kompleksnoj ravnini vektorske dijagrame struja te odrediti izraze za struje u kompleksnom obliku.

Na slici 67 je prikazan dijagram vektora struja (amplituda). Kompleksna amplituda struje (napona) koja se harmonično mijenja određuje se izrazom Im=Im

.ejϕi Um=Um.ejϕu ,

u slučaju sinusoidalne funkcije argument se računa od osi apscisa, a za kosinusoidalne veličine od osi ordinata. Izlazi da je:

I1m=2 I2m=6 2 e-jΠ/3 I3m=4 ejΠ/4

I4m=8 2 ejΠ/6 I5m=-10 ej2Π/3 = 10 ej5Π/3 Slika 67

I2m

I5m

I1m

I4m

I3m

45°

60°

30°

6

Ukoliko se eli kompleksni broj napona ili struje pretvoriti u trenutnu vrijednost treba upotrijebiti Eulerovu formulu odnosno sinusna promjena se dobiva kao imaginarni dio, a kosinusna promjena kao realni dio kompleksnog broja.

Imsin(ωt+ϕ)=Im(Imej(ωt+ϕ))=Im(Imejωt) Imcos(ωt+ϕ)=Re(Imej(ωt+ϕ))=Re(Imejωt) pa je: i1=Im(2ejωt) i2=Im(6 2 e-jΠ/3 ejωt) i3=Im(4 ejΠ/4 ejωt) i4=Re(8 2 ejΠ/6 ejωt) i5=Im(-10 ej2Π/3 ejωt)= Im(10 ej5Π/3 ejωt) Korisno je zapamtiti slijedeće relacije Imsin(ωt+ϕ)= Imcos(ωt+ϕ-Π/2) Imcos(ωt+ϕ)= Imsin(ωt+ϕ+Π/2) ZADATAK: Napon izvora se mijenja po sinusoidalnom zakonu s frekvencijom ω i zadan je u

kompleksnom obliku: a)Um=10e-j30° b)Um=5+j7 c)Um=-5+j7. Ustanovite za svaki slučaj u(t). a) u(t)=Im(Um ejωt)=Im(10 e-j30° ejωt)=Im(10cos(ωt-30°) + j10sin(ωt-30°))= =10sin(ωt-30°) b) potrebno je pretvoriti kompleksni broj u oblik z=Z e jϕ a=5 b=7 Z= a2+b2= 52+72=8.6 tgϕ=b/a=7/5=1.4 ϕ=arctg(1.4)=54.46° z=8.6ej54.46° u(t)=8.6sin(ωt+54.46°) c) a=-5 b=7 Z= a2+b2= (-5)2+72= 8.6 tgϕ=b/a=-7/5= -1.4 ϕ=arctg(-1.4)= -54.46° u(t)= 8.6sin(ωt+125,46°) Potrebno je znati u kojem je kvadrantu broj, obzirom da je z=-5+j7 u drugom kvadrantu, kutu koji se izračuna doda se 180°. Slika 68. Ukoliko se kompleksni broj nalazi u trećem kvadrantu, potrebno je kutu koji se

izračuna također dodati 180 stupnjeva. ZADATAK:

Vektor efektivne vrijednosti napona izraen je kompleksnim brojem jbjU

+−=

235

Pri kojoj će vrijednosti b, vektor napona biti smjeten: a) u realnoj osi b) u imaginarnoj osi c) pod kutom od -45 stupnjeva u odnosu prema

pozitivnom dijelu realne osi. U=((5-j3)/(2+jb))((2-jb)/(2-jb))=(10-j5b-j6-3b)/(4+b2) a) imaginarni dio =0 (-6-5b)/(4+b2)= 0 -6-5b= 0 b= -6/5 b) realni dio =0 (10-3b)/(4+b2)= 0 10-3b= 0 b= 10/3 c) tg(-45°)=-1 (-6-5b)/(10-3b)= -1 b=1/2

Im

Re

z=-5+j7

125.46°

7

ZADATAK: Na svitak kojemu je radni otpor R=2Ω i induktivitet L=1mH priključen je napon

u=10 sin1000t (slika 69). Odredite: a) i(t), uR(t)-napon na otporu, uL(t)-napon na induktivitetu b) nacrtajte vektorski dijagram napona i struje XL(induktivni otpor)=ωL =1000 10-3=1Ω U=10ej0° -eksponencijalni oblik I=U/Z - Ohmov zakon Z-impedancija-u naem slučaju serijski spoj omskog i induktivnog otpora Slika 69. z=2+j Z= 5ej26.56°= 5 26.56°

IUZ

= = =10

50

26 56.2 5 -26.56° -kompleksni oblik struje

UR=IR=2 5 -26.56° 2=4 5 -26.56° UL=IXL=2 5 -26.56° 1 90°=2 5 63.43° i(t)=Im(Iejωt)=2 5 sin(ωt-26.56°) uR(t)=Im(URejωt)=4 5 sin(ωt-26.56°) uL(t)=Im(ULejωt)=2 5 sin(ωt+63.43°)

Slika 70.

ZADATAK: U spoju prema slici 71 kojemu je Uab=100V, XL=6Ω, XC=3Ω i R=4Ω treba odrediti

napon U i fazni pomak između napona U i struje I. Z=R+jXL+jXC -serijski spoj omskog, induktivnog i kapacitivnog otpora

Slika 71

+

j1ΩΩΩΩ

U

2ΩΩΩΩ

I

UR

-26.56°I

UL

63.43°

Im

Re

+

-j3Ω

U

4Ω

I

j6Ω

b

a

8

Pretpostaviti ćemo da je napon Uab referentan te ga uzimamo da ima kut 0° Uab=100 0° Z=4+j6-j3=4+j3 Z=5 36.86° Ω Uab=I(R-jXC)=I(4-j3)= I.5 -36.86°=100 0° V I=20 36.86° A U=I.Z=I .(4+j3)= I.5 36.86°=20 36.86° .5 36.86°=100 73.72° V U=100V vrijednost napona fazni kut između napona i struje ϕ=ϕU-ϕI=73.72-36.86=36.86° ZADATAK: Zadana je mrea prema slici 72 kojoj je U1=30V, U2=30V (U2 prethodi U1 za 90°),

R1=1Ω,R2=1Ω,X1=10Ω,X2=5Ω,X1C=5Ω, X2C=10Ω i XM=2Ω. Odredite metodom konturnih struja struje u prvoj i drugoj grani. Kompl.oblik U1=30 U2=30 90° X1=j10 X2=j5 XM=j2 X1C=-j5 X2C=-j10 Slika 72. -U1+I1R1+I1X1+I1X1C-I2XM=0 -U2+I2X2C+I2X2-I1XM+I2R2=0 -30 0° +I1(1+j10-j5)-I2j2=0 -30 90° -I1j2+I2(-j10+j5+1)=0 I1(1+j5)-I2j2=30 0° 1+j5= 26 78.69° -I1j2+I2(1-j5)=30 90° 1-j5= 26 -78.69° -j2=2 -90° 26 78.69° I1 + 2 -90° I2 =30 0° 2 -90° I1 + 26 -78.69° I2 =30 90° 26 78.69° 2 -90° D= = 30 0° 2 -90° 26 -78.69° 30 0° 2 -90° D1= =30 26 -78.69°-60 0° 30 90° 26 -78.69° I1=D1/D= 26 258.69° I1=5.1A(apsolutna vrijednost)

+

X1 U1

X1C

R

+

X2 U2

X2C

R2

XM

I1 I2

9

26 78.69° 30 0° D2= = 30 26 168.69°-60 -90° 2 -90° 30 90° I2=D2/D= 34 149.03° I2=5.83A(apsolutna vrijednost) ZADATAK: Odredite metodom konturnih struja ulaznu impedanciju mree na slici 73, ako je X1=1Ω,X2=2Ω,XM=1Ω i ZP=1-j. Slika 73. I1X1-I2XM=U1 -I1XM+I2(X1+X2)-I3XM=0 -I2XM+I3(X2+ZP)=0 I1j-I2j=U1 -I1j+I2j3-I3j=0 -I2j+I3(1+j)=0 j -j 0 U1 -j 0 D= -j j3 -j =-2-j D1= 0 j3 -j =U1(-2+j3) 0 -j 1+j 0 -j 1+j I1=D1/D=U1 (-2+j3)/(-2-j) Zul=(U1/I1)=(-2-j)/(-2+j3)=1/13 +j8/13 ZADATAK: Za čvor električne mree (slika 74) u kojem se sastaju tri grane poznate su struje

i1(t)=5sin314t i i2(t)=5sin(314t+Π/2). Odredite struju i3(t) pomoću vektorkog prikaza. Slika 74. i1(t)=5sin314t I1m=5 0° I1=5/ 2 0° (efektivna vrijednost) i i2(t)=5sin(314t+Π/2) I2m=5 90° I2=5/ 2 90° (efektivna vrijednost)

+ U1

ZP

I1 X1 X2

XM

X1 X2

XM

I3 I2

i3

i2 i1

A

10

I Kirchoffov zakon za čvor A glasi: I1-I2-I3=0 I3=I1-I2 I3m=I1m-I2m=5+j0-0-j5=5-j5=5 2 e-jΠ/4 i3(t)=5 2sin(314t-45°) Slika 75. ZADATAK: Metodom konturnih struja, za mreu prema slici 76, izračunajte radnu snagu na

otporniku R=45Ω. Zadano je X1=X2=25Ω, XM=20Ω, U=100V. Pretpostaviti ćemo da je napon U pod kutem 0° X1=j25 X2=j25 XM=j20 Slika 76. U=I1X1-I2X1-I2XM 0=I2(X1+X2+R)-I1XM-I1X1+I22XM 100=j25I1-I2j45 0=-I1j45+I2(45+j90) j25 -j45 D= = j25(45+j90)-j45j45=-225+j1125 -j45 45+j90 j25 100 D2= =j45 100=j4500 -j45 0 I2=D2/D= j4500/(-225+j1125)=(j20/(-1+j5))((-1-j5)/(-1-j5))=(100-j20)/26 I2=3.92A (apsolutna vrijednost) P=I2

2R=(3.92)245=692W -radna snaga

I1

I2

Re

-I2

I3

Im

-j1

-j2

j5 j4 j3 j2 j1

0

-j3 -j4 -j5

5 4 3 2 1

I2

+

U

I1 X1

X2

I2 R

XM

11

ZADATAK: Izračunajte metodom konturnih struja, struju koju pokazuje ampermetar (slika 77). R1=1Ω X1=1Ω R2=1Ω X2=1Ω R3=1Ω X3=2Ω U1=10 0° U2=10 -60° Slika 77. z1=R1+jX1=1+j z2=R2-jX2=1-j z3=R3+jX3=1+j2 I1(z1+z3)-I2z3=U1 I2(z2+z3)-I1z3=-U2 Kao rjeenje ovog sustava jednadbi nakon to se uvrste vrijednosti dobiva se: I1=0.79+j1.37 I2=-0.46+j6.01 I3=I1-I2= 4.82 -75° Ampermetar će pokazivati vrijednost struje od 4.82A. ZADATAK: Izračunajte napon Uxy prema slici 78 metodom konturnih struja. Slika 78. I1(7+j3)+I2j5+I35=10 I1j5+I2(12+j3)-I3(2-j2)=5 30° I15-I2(2-j2)+I3(17-j2)=0

+

jX1

U1

-jX2 R1

+

jX3 U2

A

R2

R3

I2 I1

I3

+

-j2Ω

10 0°V j5

2Ω +

-j2Ω

5 30°V

10Ω

5Ω 2Ω

I2 I1

10Ω x I3

y

12

7+j3 j5 5 D= j5 12+j3 -(2-j2) = 1534.5 25° 5 -(2-j2) 17-j2 7+j3 j5 10 D3= j5 12+j3 5 30° =667.9 -169° 5 -(2-j2) 0 I3=D3/D=0.435 -194° Uxy=I3 10= 4.35 -194° uxy(t)=4.35 2 sin(ωt-194°) ZADATAK: Zadana je mrea prema slici 79, s vrijednostima elemenata. U11=1V U22=jV Z1=1Ω Z2=-jΩ Z3=jΩ Z4=1Ω Z5=jΩ Z6=1Ω Odredite sve struje, svih grana metodom napona čvorova.

Slika 79. Metodom napona čvorova dobiju se jednadbe slijedećeg oblika ukoliko čvor 0

uzimamo za referentni: U10(1/Z1+1/Z2+1/Z3)-U20 1/Z1-U30 1/Z3=U11/Z1 -U10 1/Z1+U20 (1/Z1+1/Z4+1/Z6)-U30 1/Z6=-U11/Z1-U22/Z6 -U10 1/Z3 -U20 1/Z6+U30 (1/Z3+1/Z5+1/Z6)=U22/Z6 U10(1/1+1/(-j)+1/j)-U20 1/1-U30 1/j=1/1 -U10 1/1+U20 (1/1+1/1+1/1)-U30 1/1=-1/1-j/1 -U10 1/j -U20 1/1+U30 (1/j+1/j+1/1)=j/1 U10-U20 -U30(-j)=1 -U10+U20 3-U30 =-1-j -U10(-j)- U20 +U30 (1-j2)=j 1 -1 j 1 -1 1 D= -1 3 -1 =4-j2 D3= -1 3 -1-j =-1-j j -1 1-j2 j -1 j 1 -1 j 1 1 j D1= -1-j 3 -1 =1-j3 D2= -1 -1-j -1 =-2-j2 j -1 1-j2 j j 1-j2

1

+U11

Z2

Z1

+

U22

I2 Z3

Z4 Z5

I1

Z6

I3

I5 I4

I6

3 0

2

13

U10=D1/D=(1-j3)/(4-j2)=0.5-j0.5 U20=D2/D=(-2-j2)/(4-j2)=-(1/5)-j(3/5) U30=D3/D=(-1-j)/(4-j2)=-(1/10)-j(3/10) U21=U20-U10=-(7/10)-j(1/10) U13=U10-U30=(6/10)-j(2/10) U23=U20-U30=-(1/10)-j(3/10) U21=-U11+I1Z1 I1=(U21+U11)/Z1=(3/10)-j(1/10)=0.3-j0.1 U10=I2Z2 I2=U10/Z2=(1/2)+j(1/2)=0.5+j0.5 U13=I3Z3 I3=U13/Z3=-(2/10)-j(6/10)=-0.2-j0.6 U20=I4Z4 I4=U20/Z4=-(1/5)-j(3/5)=-0.2-j0.6 U30=-I5Z5 I5=-U30/Z5=(3/10)-j(1/10)=0.3-j0.1 U23=I6Z6-U22 I6=(U23+U22)/Z6=-(1/10)+j(7/10)=-0.1+j0.7

Slika 80.

ZADATAK: Odredite struju I za mreu prema slici 81, metodom superpozicije, ako je zadano: I11=12 45°A I22=4 90°A U11=4 0°V U22=12 90°V Slika 81.

-j2Ω I11 j2Ω

U22 +

4Ω

b

I22

U1

2Ω

+

a

I

I2 I4 I3 I1

Re

Im

-j0,2

j0,5 j0,4 j0,3 j0,2 j0,1

-j0,3-j0,4 -j0,5

0,50,40,30,20,1 1 0,90,7 0,6-0,1 -0,2 -0,3-0,4-0,5 -0,6 0,8

-j0,6-j0,7

j1 j0,9 j0,8 j0,7 j0,6

I2

I5 I1

I4 I3

I6

U1

U2

14

Metoda superpozicije temelji se na principu da struja kroz potroač uz sve spojene izvore nije nita drugo nego suma struja koje teku kada pojedinačno priključujemo izvore.

1) I1 je struja koja teče kada je izvor struje I11 priključen Slika 82. Impedancije kapaciteta i zavojnice se međusobno ponitavaju te je: I1=I11 2/(2+4)=I11/3=4 45°=2 2+j2 2 2) I2 je struja koja te~e kada je samo naponski izvor U11 spojen

Slika 83. Slika 84. 1/Z=1/2+1/4+1/j2 Z=(12+j8)/13 I1=U11/(Z-j2)=13U11/(12-j18) Uab=I1Z=j2/3 U11 I2=Uab/4=j1/6 U11=j2/3 3) struja I3 je struja koja teče uz spojen strujni izvor I22 Slika 85. Impedancija kondenzatora i zavojnice se međusobno ponitavaju zbog jednakih

vrijednosti. I3=I22 2/(2+4)=1/3 I22= j4/3 4) struja I4 je struja koja teče uz naponski izvor U22 spojen

4Ω j2

b

-j2Ω 2Ω I22

a

I3

-j2Ω I11 j2 4Ω

b

2Ω

a

I1

-j2Ω

j2

+

4Ω

b

U1

2Ω

a

I2 -j2Ω

+ U1

Z I1

b

a

15

+

I3

Slika 86. I4=U22/(2+4)=1/6 U22=j2 Rezultantna struja I=I1+I2+I3-I4 I=2 2+j2 2+j2/3+j4/3-j2=2 2+j2 2=4 45° A Ukoliko je struja sinusnog oblika i(t)=Im(I)=4 2 sin(ωt+45°) ZADATAK: Primjenom Thevenenova teorema odredite struju koja teče kroz Z3 (slika 87).

Slika 87. U=1V I=jA Z1=1Ω Z2= jΩ Z3=-jΩ Z4=1Ω Slika 88. Krug za određivanje ET Slika 89. Krug za određivanje ZT Slika 90. Ekvivalentni krug

-j2Ω j2

U22

4Ω

b

2Ω

+

a

I4

U

Z1

Z4 I

Z3

Z2

I3 B A

Z1

Z2 Z4

B A

+ U

Z1

I Z2 Z4

B A

I1 I2

+ET

ZT

Z3

16

Sa slike 88 vidi se da su dijelovi kruga gdje teku struje I1 i I2 međusobno nezavisni stoga vrijedi da je (uz +pol u točki A):

ET=UAB==I1Z2+I2Z4 I1=U/(Z1+Z2)=1/(1+j)=1/2-j1/2 I2=-I =-j(direktno određena strujnim izvorom) ET=(1/2-j1/2)j+(-j)=1/2-j1/2 Prema slici 89 je: ZT=ZAB=Z1Z2/(Z1+Z2)+Z4=3/2+j1/2 Sa slike 90 dobiva se struja I3: I3=ET/(ZT+Z3)=0.4-j0.2 ZADATAK: Odredite struju I na slici 91, pomoću Thevenenova teorema. Slika 91. Slika 92. Krug za određivanje ET Slika 93. Krug za određivanje ZT Slika 94. Ekvivalentni krug

a

+

j5

55.8 -17.4°V

5Ω j32Ω

b

a

I1 6Ω I2

I

-j 2Ω +

ET

ZT

+

j5

55.8 -17.4°V

5Ω j3

6Ω

2Ω I

b

-j 2Ω

j5

5Ω j32Ω

b

a

6Ω

17

I2

Da bismo odredili ET primjeniti ćemo metodu konturnih struja. Prema slici 92 dobivaju se slijedeće jednadbe: I1(5+j5)-I2j5=55.8 -17.4° -I1j5+I2(8+j8)=0 Iz druge jednadbe ćemo izraziti I1 i uvrstiti u prvu. I1=I2 (8+j8)/j5 I2=3.33A ET=Uab=I26=20V Prema slici 93 je: ZT=Zab=((Z1+Z2)Z3)/(Z1+Z2+Z3) =3.32+j1.41 gdje je: Z1=5.j5/(5+j5) Z2=2+j3 Z3=6 Prema slici 94 je: I=ET/(ZT+(-j1.41))=20/3.32=6A ZADATAK: Spoj prema slici 95 Nadomjestite po Thevenenu u odnosu na priključnice ab. Slika 95.

Slika 96. Slika 97. Krug za određivanje ET Krug za određivanje ZT Za mreu prema slici 96 vrijede slijedeće relacije: I=I1+I2 U10=I1(5+j5) U10=I2(10+5+j5) I1=I2 (15+j5)/(5+j5) I2=I(5+j5)/(20+j10) ET=Uab=I2(5+j5)=j10/(4+j2)I= 5 63.43° 5 30°=11.18 93.43° Prema slici 97 je ZT=Zab=(15+j5)(5+j5)/(15+j5+5+j5)=4+j3

I2 I1

I

j55 30°V

5Ω

j5

5Ω

b

a

1

0

10Ω

j5

5Ω

j5

5Ω

b

a 10

j55 30°V

5Ω

j5

5Ω

b

a 10

18

+ U1

Z1

+

U2

A Z2

Z3

I3

ZADATAK: Primjenom Thevenenova teorema odredite struju koju mjeri amperemetar (slika 98). Slika 98. U1=10 0°V U2=10 -60°V Z1= 2 45°Ω Z2= 2 -45°Ω Z3= 5 63.5°Ω

Slika 99. Krug za određivanje ET I=(U1-U2)/(Z1+Z2) I=(10-10cos(-60°)-10sin(-60°))/( 2cos(45°)+ 2sin(45°)+ 2cos(-45°) + 2sin(-45°))= =(5+j5 3)/2= 5 60° UAB=I Z2+U2=5 60° 2 -45° +10 -60° UAB=11.83-j6.83= 13.66 -30°=ET

Slika 100. Krug za određivanje ZT Slika 101. Ekvivalentni krug Prema slici 100 je: ZT=ZAB=(Z1Z2)/(Z1+Z2)=1 Prema slici 101 je: I3=ET/(ZT+Z3)= 13.66 -30° / 8 45° I3=4.82 -75°

Z1 Z2

B

A

A

I3

Z3 +

ET

ZT

+ U1

Z1

+

U2

Z2

B

A

I

19

a

Z1 Z2

b

Z4

ZADATAK: U mrei prema slici 102 zadano je U1=24V i U2=6V, naponi se podudaraju u fazi, uz

Z1=6Ω, Z2=-j12Ω, Z3=-j3Ω, Z4=j4Ω. Odredite struju drugog izvora koristeći se Nortonovim teoremom.

Slika 102 Dio mree u kojoj se nalazi drugi izvor (točke ab) nadomjestiti ćemo po Nortonu. Slika 103. Slika 104.

Mrea za određivanje IN Mrea za određivanje ZN I=(U2-INZN)/(ZN+Z3) I=(6-24/(1-j))/(6/(1-j) -j3) I=(-6-j2)/(1-j) I=-2-j4 Slika 105 Ekvivalentni krug Prema slici 103 dobiva se: IN=Iab=U1/Z1=24/6=4A Prema slici 104 dobiva se: 1/ZN=1/Zab=1/Z1+1/Z2+1/Z4 ZN=6/(1-j)

I Z3

IN ZN +

U2

+

a

U1

Z1

+ Z2

U2

Z3

b

Z4

I

+ a

U1

Z1

Z2

b

Z4 Iab

20

ZADATAK: Svitak s parametrima X=30Ω i R=20Ω priključen je na dva generatora spojena

serijski (sl. 106). Unutranji otpori generatora i njihovi naponi iznose: Z1=4+j8Ω , Z2=6+jΩ, E1=200V i E2=240V. Odredite napon na stezaljkama svitka i na stezaljkama svakog generatora ako je poznato da E2 prethodi naponu E1 za T/12.

Slika 106. Slika 107 Uzmemo li da je E1=200 ej0° E2=240 ej30°=208+j120 ukupni napon je: E=E1+E2=408+j120 Ukupna impedancija je: Z=Z1+Z2+R+jX=30+j39 , struja u krugu I=E/Z=6.82-j5.09 , napon svitka Uz=I(R+jX)=289+j102 , napon na stezaljkama generatora U1=E1-IZ1=200-(6,82-j5,09)(4+j8)=132-j34,2 U2=E2-IZ2=208+j120-(6,82-j5,09)(6+j)=162+j133,54 ZADATAK: U spoju prema slici 108 izračunajte struju kroz zavojnicu upotrebom Nortonova

teorema. Zadano je: R1=1Ω X1=j0,5Ω R2=1Ω X2=-jΩ X3=-jΩ E=1V I=1A Slika 108.

+

X2

E

R1

X1 I R2

X3

I

a

b

+ R

X +

U2

U1 I

+

Z

U E

21

Slika 109. Mrea za određivanje IN Slika 110. Mrea za određivanje ZN Slika 111. Ekvivalentni krug Koristeći teorem superpozicije: IN=Iab=E/(R1+X2)+I(R2/(R2+X3) IN=Iab=1/(1-j)+1/(1-j)=2/(1-j) ZN=Zab=((R1+X2)(R2+X3))/(R1+X2+R2+X3)=1/2-j1/2 I=IN ZN/(ZN+X1)=2A ZADATAK: Tri izvora sinusoidalnih napona jednake frekvencije uključena su u mreu prema slici

112. Zadano je: E1=E2=E3=100V, napon E2 prethodi E1 za 60°, E3 zaostaje 60° za E1, uz Z1=5Ω, Z2=5ej60°Ω, Z3=5e-j60°Ω. Odredite pokazivanje idealnog voltmetra. Nacrtajte vektorski dijagram napona i struja.

Slika 112.

+ X2

E

R1

I R2

X3

Iab

a

b

X1 IN ZN

X2

R1 R2

X3

a

b

I

+ E1

I1

Z1

I2 I3 + E2

+ E3

Z3 Z2

V

0

1

22

Obzirom da ima dva čvora (od kojih čvor 0 ima referentni potencijal) potrebna je jedna jednadba za metodu napona čvorova.

U10(1/Z1+1/Z2+1/Z3)=E1/Z1+E2/Z2+E3/Z3 U10(1/5+1/5 e-j60°+1/5 ej60°)=100/5+100/5+100/5 U10=300/2=150V U10=E1-I1Z1 I1=(E1-U10)/Z1=(100-150)/5=-10A U10=E2-I2Z2 I2=(E2-U10)/Z2=(100 60°-150)/5 60°=5+j15 3= 700 79.1° U10=E3-I3Z3 I3=(E3-U10)/Z3=(100 -60°-150)/5 -60°=5-j15 3= 700 -79.1° Slika 113. ZADATAK: Zadana je funkcija prema slici 114. Rastavite funkciju u Fourierov red. f(t)=t za 0<ωt<Π Slika 114. Svaka se periodička funkcija f(t) s periodom T (koja je neprekinuta i koja u svakoj

točki ima limes lijevi i desni) moe rastaviti u trigonometrijski red: f(t)=a0/2+a1cosωt+a2cos2ωt+.+ancosnωt+b1sinωt+b2sin2ωt++bnsinnωt

f(t)

ωt 2Π 4Π 0

-2Π

Re

Im

I3

I1

E3

E2 I2

E1 Z3

Z2

Z1

23

gdje je:

aT

f t k tdtk

T

= ∫2

0

( ) cos ω

bT

f t k tdtk

T

= ∫2

0

( )sin ω

Ukoliko je funkcija parna ,odnosno vrijedi relacija f(-t)=f(t) tada trigonometrijski red funkcije koju rastavljamo sadri samo kosinus članove. Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os ordinata.

Slika 115. Graf parne funkcije Neparna funkcija je funkcija za koju vrijedi f(-t)=-f(t), i rastav takve funkcije sadri

samo sinus članove. Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodite. Slika 116. Graf neparne funkcije Obzirom da je zadana funkcija parna postoje samo kosinus članovi: f(t)=Π/2-4/Π (cosωt+ cos3ωt/9+ cos5ωt/25+...) Spektar ove funkcije (dijagram amplituda ovisno o frekvenciji) prikazan je na slici 117: - potrebno je uočiti da parna funkcija ima komponentu sa frekvencijom 0 (istosmjerna komponenta) to je srednja vrijednost funkcije

Slika 117. Teoretski spektar periodičke funkcije je beskonačan. Sa slike se vidi, da to je vii

harmonik (viekratnik osnovne frekvencije) to mu je amplituda manja. Funkcija se moe predstaviti sa određenom točnoću uz konačan broj harmonika, a uz zanemarenje ostalih. Spektar amplituda funkcije u ovom zadatku opada po funkciji 1/x2.

f(t)

ωt

f(t)

ωt

A

ω ω5 ω3 ω1 0 ω11 ω9 ω7

Π/2

4/Π

4/9Π 4/25

4/49 4/81 4/121

24

ZADATAK: Funkciju prikazanu na slici 118 rastavite u trigonometrijski red Slika 118. f(t)=A za 0<ωt<Π Funkcija je neparna te će razvoj u trigonometrijski red biti slijedećeg oblika: f(t)=4A/Π (sinωt+sin3ωt/3+sin5ωt/5+...) Spektar funkcije je prikazan na slici 119, obzirom da je funkcija neparna, srednja

vrijednost je nula te ne postoji istosmjerna komponenta. Spektar amplituda opada po funkciji 1/X. Slika 119. ZADATAK: Funkciju prikazanu na slici 120 prikaite pomoću trigonometrijskog reda.

Slika 120.

f(t)

ωt 2Π 4Π 0 -2Π Π 3Π -Π

A

f(t)

ωt

3Π/2 5Π/2 0 2Π

Π/2 Π -Π/2

A Π-α α

A

ω ω5 ω3 ω1 0 ω11 ω9 ω7

4A/Π

4A/3Π 4A/5Π 4A/7Π 4A/9Π

4A/11

25

Funkcija je zadana kao: f(t)=0 za 0<ωt<α i za (Π-α)<ωt<Π f(t)=A za α<ωt<(Π-α) Funkcija je neparna te će sadravati samo sinus članove: f(t)=4A/Π (cosαsinωt+ 1/3 cos3αsin3ωt+ 1/5 cos5αsin5ωt+...) Spektar funkcije prikazan je na slici 121, gdje je Z=4A/Π: Slika 121. 3.3. RAČUNANJE SNAGE U KOMPLEKSNOM PODRUČJU Ukoliko je na napon u=U ϕu spojena neka impedancija z kroz koju će poteći struja i=I ϕi ,

tada se snaga u analizi strujnih krugova izmjenične struje računa prema relaciji S=u.ik gdje je ik konjugirano kompleksna vrijednost struje i.

S=u.i ϕu-ϕi =Re+jIm prividna snaga Radna snaga dobiva se kao: Re(S)=u.i cos(ϕu-ϕi), dok se jalova snaga dobiva kao:

Im(S)=u.i sin(ϕu-ϕi). Bilanca snaga se predstavlja u analizi strujnih krugova izmjenične struje pomoću

trokuta snage koji je prikazan na slici 122: S2=P2+Q2 tg(ϕ)=Q/P Slika 122. Trokut snaga gdje je: P - radna snaga, Q - jalova snaga i S - prividna snaga. PRIMJER: Nacrtajte trokut snage za odsječak mree prema slici 123. 10W 5W 10VAR -20VAR

Q

P

S

ϕ

I=1 10Ω -20Ω 10Ω 5Ω

A

ω ω5 ω3 ω1 0 ω11 ω9 ω7

Zcos3α/3 Zcos5α/5

Zcos7α/7

Zcosα

Zcos9α/9 Zcos11α/11

26

I=1 -10Ω 15Ω ekvivalentni krug

Slika 123. Trokut snage ZADATAK: Nacrtajte trokut snage za izvor i svaku granu mree prema slici 124. Kolika vrijednost kapaciteta C se treba spojiti paralelno izvoru da bi faktor snage bio

jednak 1?

Slika 124 Prema Ohmovom zakonu dobiva se: I1=U/Z1= 20 60° / 4 30°=5 30° I2=U/Z2= 20 60° / 5 60°=4 0° S1=U.I1

*=20 60° 5 -30°=86.6+j50 prividna snaga prve grane P1=86.6W (radna snaga) Q1=50 VAR (reaktivna snaga) S2=U.I2

*=20 60° 4 0°=40+j69.2 prividna snaga druge grane P2=40W (radna snaga) Q2=69.2 VAR (reaktivna snaga) Snaga izvora treba biti: a) radna P=126.6 W b) reaktivna Q=119.2 VAR Grafički prikaz trokuta snaga prikazan je slikom 125.

15W

-10VAR

-20VAR

10VA

10W 5W

U=20 60° Z1=4 30° +

Z2=5 60° C

27

Slika 125. Trokut snage Spajanjem kondenzatora paralelno mrei koja je induktivnog karaktera poboljava se

faktor snage i za jednu određenu vrijednost C na frekvenciji izvora poprima vrijednost 1, a posljedica je manja opterećenost izvora.

QC=119 VAR QC=U2/XC Za frekvenciju izvora 50Hz C=QC/(U2.2.Π.f)=119.2/(202.2.3.14.50)=950µF

50

86.6

40

69.2

100

80

Prividna snaga izvora S2=(126.6)2+(119.2)

119.2