3 paskaitajurdabu/index_files/...2011.09.22 1 2011/2012 Matematinė logika 1/44 3 paskaita doc. dr. Jurgita Dabulytė-Bagdonavičienė Taikomosios matematikos katedra, KTU 2011/2012

2011.09.22

1

2011/2012 1/44 Matematinė logika

3 paskaita

doc. dr. Jurgita Dabulytė-Bagdonavičienė

Taikomosios matematikos katedra, KTU

2011/2012

Teiginių logika Predikatų logika

2/44 Matematinė logika

Loginės operacijos

“ne” ↔ “netiesa, kad” ↔“nėra” ↔ “klaidinga, kad”

↔ “be” ↔ “išskyrus”

2011/2012

Neigimas

Konjunkcija “ir” ↔“o” ↔ “bet” ↔ “tačiau” ↔ “nors” ↔ “kuris”

↔“nei..., nei” ↔ “kaip..., taip” ↔ “tai...,tai”

Disjunkcija “arba”

Implikacija “jeigu ..., tai” ↔ ”taigi” ↔ ”vadinasi“

Ekvivalencija ”tada ir tik tada, kai...”↔ ”jei ir tik jei..., tai“

2011.09.22

2



Uţdaviniai

2011/2012

Tegul P, Q ir R yra teiginiai:

P: “Kelionė į Marsą labai brangi”;

Q: “Keliausiu į Marsą”;

R: “Turiu pinigų”.

Uţrašykite teiginius:

1. Pinigų neturiu ir į Marsą nekeliausiu;

2. Pinigų neturiu ir kelionė į Marsą labai brangi arba keliausiu į Marsą;

3. Netiesa, kad turiu pinigų ir keliausiu į Marsą;

4. Kelionė į Marsą nėra brangi ir ten keliausiu arba kelionė į Marsą yra

brangi ir ten nekeliausiu.



Uţdaviniai

2011/2012


P: “Šis ţaidimas sudėtingas”;

Q: “Ţaidţiu šachmatais”;

R: “Šachmatų ţaidimas reikalauja laiko”.

Interpretuokite:

1. Q Λ R;

2. ¬P v ¬Q;

3. (P v R) Λ Q;

4. P Λ Q Λ R

Ţaidţiu šachmatais, nors šis ţaidimas reikalauja laiko.

Ţaidimas ne sudėtingas arba neţaidţiu šachmatais.

Ţaidimas yra sudėtingas arba reikalauja daug

laiko, tačiau aš ţaidţiu šachmatais. Aš ţaidţiu šachmatais, nors ţaidimas yra sudėtingas ir

reikalauja daug laiko.

2011.09.22

3



Uţdaviniai

2011/2012


P: “Jis nusipirks kompiuterį”;

Q: “Jis švęs visą naktį”;

R: “Jis laimės aukso puodą”.

Uţrašykite teiginius:

• Jeigu jis laimės aukso puodą, tai nusipirks kompiuterį ir švęs visą

naktį;

• Jeigu jis nenusipirks kompiuterio, tai ir nešvęs visą naktį;

• Jeigu jis laimės aukso puodą, tai švęs visą naktį; ir jei jis nelaimės

aukso puodo, tai nenusipirks kompiuterio;

• Jeigu jis nelaimės aukso puodo arba nenusipirks kompiuterio, tai

nešvęs visą naktį.



Uţdaviniai

2011/2012


P: “Jam patinka violetiniai kaklaraiščiai”;

Q: “Jis populiarus”;

R: “Jo draugai keistoki”.

Interpretuokite:

•(P Λ Q) R;

•Q ¬ R;

•P (Q v R);

•(P ¬ R) Λ (Q R)

Jei jis populiarus ir jam patinka violetiniai kaklaraiščiai,

tai jo draugai keistoki.

Jei jis populiarus, tai jo draugai ne keistoki (normalūs).

Jei jam patinka violetiniai kaklaraiščiai, tai jis

populiarus arba jo draugai keistoki.

Jei jam patinka violetiniai kaklaraiščiai, tai jo

draugai ne keistoki; ir jei jis populiarus, tai jo

draugai keistoki.

2011.09.22

4



Uţdaviniai

2011/2012


P: “Dogai – dideli šunys”;

Q: “Mano būtas maţas”;

R: “Turiu dogą”.

Interpretuokite:

•P Λ Q Λ ¬ R;

•P Λ (¬ Q v ¬ R);

•(P v ¬ Q) Λ R;

•(P Λ R) v (Q Λ ¬ R).



Uţdaviniai

2011/2012

Kam lygu:

a b c d

1. XkX k X X t

2. Yk ~ k t Y Y

3. tZZ k Z Z t

2011.09.22

5



Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės

Sakykime, kad formulė A susideda iš P1, P2, ..., Pn atomų. Kadangi kiekvienas

atomas gali įgyti vieną iš dviejų galimų teisingumo reikšmių t ir k, tai galimų

skirtingų n atomų rinkinių P1, P2, ..., Pn reikšmių gali būti n2 .

1.3 Apibrėţimas

Teiginių algebros formulės A interpretacija vadiname bet kokį, į

formulę A įeinančių, atomų teisingumo reikšmių rinkinį.

2011/2012




Sakykime, reikia apskaičiuoti formulės QS)RQ~P( teisingumo reikšmę,

kai rinkinys (P, Q, R, S) = (t, t, k, t).

( P ~ Q R) S Q

t t k t t

k t

k t

t

2011/2012

2011.09.22

6




Apskaičiuokite formulių teisingumo reikšmes, kai žinomi rinkiniai:

QRRPQ ;

t,t,kR,Q,P ;

k,k,kR,Q,P ;

PR~QRP ;

t,t,tR,Q,P ;

k,k,tR,Q,P ;

2011/2012




Nurodykite, ar pakanka duomenų kiekvienos iš šių formulių

teisingumo reikšmei nustatyti. Jei pakanka, nurodykite tą reikšmę.

Jei nepakanka, tai parodykite, kad formulė gali įgyti ir reikšmę t, ir

reikšmę k.

1.

t

RQP ;

2.

t

RQP ;

3. t

RQ~P ;

4.

k

QPRQP .

2011/2012

2011.09.22

7



Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės Kartais reikia rasti visų galimų formulės interpretacijų teisingumo reikšmes.

P f(P)

t

k

2011/2012



Teiginių algebros formulių teisingumo lentelės Kartais reikia rasti visų galimų formulės interpretacijų teisingumo reikšmes.

P f(P)

t

k

P Q f(P,Q)

t

k

t

k

t

t

k

k

2011/2012

2011.09.22

8




Kartais reikia rasti visų galimų formulės interpretacijų teisingumo reikšmes.

P f(P)

t

k

P Q f(P,Q)

t t

t k

k t

k k

2011/2012




Kartais reikia rasti visų galimų formulės interpretacijų teisingumo reikšmes.

P f(P)

t

k

P Q f(P,Q)

t t

t k

k t

k k

P Q R f(P,Q,R)

t t

t k

k t

k k

t t

t k

k t

k k

k

k

k

k

t

t

t

t

2011/2012

2011.09.22

9




Sudaryti formulės (P v Q) (P Λ Q) teisingumo lentelę.

A B A Λ B A B A v B

t t t t t

t k k k t

k t k t t

k k k t k

P Q P v Q P Λ Q (P v Q) (P Λ Q)

t t

t k

k t

k k

2011/2012






t t t t t

t k k k t

k t k t t

k k k t k


t t t

t k t

k t t

k k k

2011/2012

2011.09.22

10






t t t t t

t k k k t

k t k t t

k k k t k


t t t t

t k t k

k t t k

k k k k

2011/2012






t t t t t

t k k k t

k t k t t

k k k t k


t t t t t

t k t k k

k t t k k

k k k k t

2011/2012

2011.09.22

11




Sudarykite formulės teisingumo lentelę.

)R~P(RQP

P Q R P QP

RQP

R~P )R~P(RQP

1 t t t k k t t t

2 t t k k k k k t

3 t k t k k t t t

4 t k k k k k k t

5 k t t t t t k k

6 k t k t t t t t

7 k k t t k t k k

8 k k k t k k t t

1 2 3 4 5 6 7 8

2011/2012




1.4 Apibrėţimas

Lentelė, kurioje parašytos visos galimos formulės interpretacijos ir šias

interpretacijas atitinkančios formulių reikšmės, vadinama formulės

teisingumo lentele.

Bet kuri formulė apibūdinama teisingumo lentele.

Teisingumo lentelė gali atitikti ir ne vieną formulę.

2011/2012

2011.09.22

12




Sudarykite formulėms teisingumo lenteles:

1. QRP ;

2. TQP~QPTS .

2011/2012



Formulių lygiavertiškumas

1.5 Apibrėţimas

Formulės A ir B vadinamos lygiavertėmis, jeigu visose formulių A ir B,

turinčių visus atomus iš formulių A ir B, interpretacijose šių formulių

teisingumo reikšmės sutampa.

Formulių A ir B lygiavertiškumas žymimas BA .

Aišku, kad lygiavertės formulės turi vienodas teisingumo lenteles, ir

atvirkščiai, jeigu formulių teisingumo lentelės sutampa, tai jos lygiavertės.

Patikrinkite: QPQP .

2011/2012

2011.09.22

13



Formulių lygiavertiškumas

Lygiavertės formulės turi tokias savybes:

bet kuriai formulei A yra tenkinama sąlyga AA ,

bet kurioms formulėms A ir B, jeigu BA , tai AB ,

bet kurioms formulėms A, B ir C, jeigu BA , CB , tai CA .

Visos formulės, kurių teisingumo lentelės vienodos, sudaro lygiaverčių

formulių aibę.

2011/2012



Uţdaviniai

1. Įrodyti, kad QPQPQP ~ .

2. Ar RPQPRQP ?

3. Duota: kP , kQ ir kR . Apskaičiuokite

o RQP ;

o RPQP ;

o RQP ;

o RPQP ;

o RQP ;

o RQP ;

o RQP .

2011/2012

2011.09.22

14



Uţdaviniai

4. tQP , o kQP ~ . Kam lygu PQ ?

5. tQP ~ . Kam lygu QP ~ ir QP ~ ?

6. tP . Kokias teisingumo reikšmes įgyja teiginiai RQP ir RQP ?

7. tQP . Kokias teisingumo reikšmes įgyja teiginiai QPR ir

RQP ?

8. tQP . Ar galima nustatyti teiginio RQP teisingumo reikšmę?

2011/2012



Teiginių algebros funkcijos

Formulė apibrėžia k,tk,t n pavidalo funkciją.

1.6 Apibrėţimas

Funkcija k,tk,t n vadinama n-viete teisingumo funkcija arba teiginių algebros funkcija.

Iš n atomų rinkinio galima sudaryti suskaičiuojamą formulių aibę. Bet visos šios

formulės apibrėžia baigtinę teisingumo funkcijų aibę.

Dviviečių teisingumo funkcijų yra 16:

P Q f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15

t t t t t t t t t t k k k k k k k k

t k t t t t k k k k t t t t k k k k

k t t t k k t t k k t t k k t t k k

k k t k t k t k t k t k t k t k t k

n-viečių teisingumo funkcijų skaičius yra lygus n22 .

2011/2012

2011.09.22

15



Teiginių algebros funkcijos

P f0 f1 f2 f3

t t t k k

k t k t k

n-viečių teisingumo funkcijų skaičius yra lygus n22 .

Tai viso bus 4 vienvietės teisingumo funkcijos.

Užrašykite vienvietę teisingumo funkcijų lentelę.

2011/2012



Teiginių algebros funkcijų normalinės formos

Kiekvieną teiginių logikos formulę galima išreikšti trimis veiksmais:

neigimu,

konjunkcija,

disjunkcija.

Normaliąją formą išraiška turės tada, kai joje pasitaikys tik neigimas,

konjunkcija ir disjunkcija.

Loginėms išraiškoms galima suteikti dvi normaliąsias formas:

normaliąją disjunkcinę formą,

normaliąją konjunkcinę formą.

2011/2012

2011.09.22

16


31/ 44 Matematinė logika


Teisingumo funkcijos gali būti apibrėžtos dviem būdais:

formulėmis,

teisingumo lentelėmis.

Iš formulių lengvai sudaromos teisingumo lentelės.

Kaip nuo teisingumo lentelės pereiti prie formulės?

2011/2012




Uždaviniui spręsti išnagrinėsime du algoritmus.

P1 P2 P3 f(P1 , P2 , P3)

t t t t

t t k t

t k t t

t k k k

k t t t

k t k k

k k t k

k k k t

Funkcija )PP,P(f3

,21

yra apibrėžta teisingumo lentele.

2011/2012

2011.09.22

17




1 Algoritmas.

P1 P2 P3 f(P1 , P2 , P3)

t t t t

t t k t

t k t t

t k k k

k t t t

k t k k

k k t k

k k k t

Nagrinėsime tuos atomų n21

P,...,P,P rinkinius )(n

,...,2

,1

,

kuriems .n,...,2,1i,k,t,t)(fin

,...,2

,1

Kiekvienam rinkiniui iš atomų n21

P,...,P,P arba jų

neiginių sudarome konjunkciją, kuri esant šiam

rinkiniui, įgyja reikšmę t.

.

,

,

,

,

321

321

321

321

321

PPP

PPP

PPP

PPP

PPP

2011/2012




P1 P2 P3 f(P1 , P2 , P3)

t t t t

t t k t

t k t t

t k k k

k t t t

k t k k

k k t k

k k k t

Konjunkcijos, sudarytos iš visų n atomų n21

P,...,P,P

(su neiginiais arba be jų), vadinamos

elementariosiomis konjunkcijomis. Jų ilgis lygus n.

Sudarome gautų elementariųjų konjunkcijų

disjunkciją.

.321321321321321 PPPPPPPPPPPPPPP

2011/2012

2011.09.22

18




1.7 Apibrėţimas

Disjunkcija, sudaryta iš elementariųjų konjunkcijų, vadinama

tobula normaliąja disjunkcine forma (TNDF).

Sudaryta TNDF išreiškia tą pačią teisingumo funkciją kaip ir teisingumo

lentelė.

2011/2012




2 Algoritmas.

P1 P2 P3 f(P1 , P2 , P3)

t t t t

t t k t

t k t t

t k k k

k t t t

k t k k

k k t k

k k k t

Išrenkame tokius rinkinius ),...,,(n21

, kuriems esant

teisingumo funkcija įgyja k reikšmes: k=),...,,(fn21

.

Kiekvienam rinkiniui sudarome atomų n21

P,...,P,P arba

jų neiginių disjunkciją, kuri esant šiam rinkiniui įgyja

reikšmę k.

Disjunkcijos, sudarytos iš visų n atomų n21

P,...,P,P (su

neiginiais arba be jų), vadinamos elementariosiomis

disjunkcijomis. Jų ilgis lygus n.

Sudarome gautų elementariųjų disjunkcijų

konjunkciją.

.PPP,PPP,PPP321321321

).PPP()PPP()PPP(321321321

2011/2012

2011.09.22

19




1.8 Apibrėţimas

Konjunkcija, sudaryta iš elementariųjų disjunkcijų, vadinama

tobula normaliąja konjunkcine forma (TNKF).

Sudaryta TNKF išreiškia tą pačią teisingumo funkciją kaip ir teisingumo

lentelė.

Kiekviena teisingumo funkcija, tapačiai nelygi k, gali būti išreikšta TNDF, o

kiekviena teisingumo funkcija, tapačiai nelygi t, gali būti išreikšta TNKF.

2011/2012




Sudarykite visų dviviečių teisingumo funkcijų TNDF ir TNKF.

P Q f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15

t t t t t t t t t t k k k k k k k k

t k t t t t k k k k t t t t k k k k

k t t t k k t t k k t t k k t t k k

k k t k t k t k t k t k t k t k t k

QP

QP

QP

QP

QPQPQPQP

TNDF

2011/2012

2011.09.22

20




P Q R RQ RQP QP RQP RQPRQP t t t t t t t t

t t k t t t t t

t k t t t k t t

t k k k k k k t

k t t t k k t t

k t k t k k k t

k k t t k k t t

k k k k k k k t

Sudarykite funkcijos RQPRQP TNDF ir TNKF.

2011/2012




Sudarykite teisingumo funkcijų TNDF ir TNKF, jei šios funkcijos yra

sudarytos iš trijų atomų ir lygios k tada ir tik tada, kai reikšmę t

įgyjančių atomų skaičius yra mažesnis už 2 arba ne mažesnis už 3.

k bus tada ir tik tada, kai t įgyjančių atomų skaičius bus

2011.09.22

21



Teiginių algebros funkcijų pilnos sistemos

1.9 Apibrėţimas

Teisingumo funkcijų sistema vadinama pilnąja, jeigu ja

naudojantis galima išreikšti bet kurią teisingumo funkciją.

Sistema },,{ yra pilnoji.

Teisingumo funkcijų sistemos },{},,{},,{ yra pilnosios.

Sistemos },{ pilnumui įrodyti pakanka disjunkciją iš pilnosios sistemos

},,{ išreikšti neigimu ir konjunkcija. Disjunkciją BA išreiškiame

neigimu ir konjunkcija pritaikę de Morgano dėsnį, t.y.

)BA(BA (1.1)

BABA

BABA

2011/2012




Sistemos },{ pilnumas įrodomas analogiškai, t.y. konjunkcija

išreiškiama neigimu ir disjunkcija. Čia taip pat pritaikome kitą de

Morgano dėsnį:

)BA(BA (1.2)

Sistemos },{ pilnumui įrodyti disjunkciją reikia išreikšti neigimu ir

implikacija, t.y.

BABA (1.3)

(1.1), (1.2), (1.3) formules taip pat galima įrodyti sudarius teisingumo

lenteles.

2011/2012

2011.09.22

22




1.10 Apibrėţimas

Funkcija, pavaizduota 1 teisingumo lentelėje, vadinama Šeferio

brūkšneliu, o pavaizduota 2 lentelėje, - Pirso strėle (rodykle).

1 lentelė 2 lentelė

A B BA A B BA

t t k t t k

t k t t k k

k t t k t k

k k t k k t

2011/2012




Sistemos ir yra pilnosios.

Sistemos pilnumą įrodo šios lygiavertės formulės:

).BB()AA(BA,AAA

Sistemos pilnumą įrodo tokios lygiavertės formulės:

,AAA ).BB()AA(BA

2011/2012

Documents

3 paskaitajurdabu/index_files/...2011.09.22 1 2011/2012 Matematinė logika 1/44 3 paskaita doc. dr. Jurgita Dabulytė-Bagdonavičienė Taikomosios matematikos katedra, KTU 2011/2012