3 Persamaan-persamaan Diferensial Linier Orde-2Solusi ...staff.ui.ac.id/system/files/users/setijo.bismo/material/mod-03.pdf · Analogi dengan penyelesaian pada paragraf (B), Pn (x)

3 Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Linier Orde-2

dengan Metode Analitis

Bentuk Umum

Persamaan diferensial linier (PD Linier) order 2 memiliki bentuk sebagai berikut:

( ) ( ) ( ) ( )xfyxcyxbyxa =+′+′′

Persamaan di atas menggambarkan PD Linier yang memiliki KOEFISIEN-KOEFISIEN VARIABEL (dalam bentuk fungsi dari variabel ). x

Dalam pembahasan disini, secara umum PD Linier di atas tidak dibahas secara spesifik mengingat permasalahan-permasalahan dalam model matematika teknik kimia yang relatif lebih banyak menggunakan PD Linier dengan KOEFISIEN-KOEFISIEN KONSTAN (bukan fungsi dari variabel x ), dengan BENTUK LENGKAP sebagai berikut:

( )xfycybya =+′+′′ (I)

dengan a , b , merupakan KOEFISIEN dalam bentuk KONSTANTA c

( )xf merupakan KOEFISIEN yang berbentuk FUNGSI dalam ,

disebut juga sebagai SUKU RUAS KANAN

x

Bila penulisan persamaan (I) di atas dihilangkan SUKU RUAS KANANnya, atau , maka akan terbentuk PD Linier order 2 TANPA SUKU RUAS

KANAN atau disebut juga PERSAMAAN KARAKTERISTIK, sebagai berikut:

( ) 0=xf

0=+′+′′ ycybya (II)

Lampiran Bab 2-B: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Linier Order-2 dengan Metode Analitis (halaman 1 dari 24)

Teorema Fundamental untuk Penyelesaian secara Analitis

SOLUSI atau INTEGRAL MENYELURUH dari PD Linier order 2 dengan KOEFISIEN-KOEFISIEN KONSTAN merupakan PENJUMLAHAN dari SOLUSI INTEGRAL KHUSUSnya (spesifik) dan INTEGRAL MENYELURUHnya TANPA SUKU RUAS KANAN.

Teorema fundamental di atas dapat dibuktikan secara lebih jelas pada uraian dan sistematika penyelesaian di bawah ini.

Secara umum, jika merupakan INTEGRAL KHUSUS dari PD Linier (I), maka

akan berlaku juga 0y

( )xfycybya =+′+′′ 000

Dalam hal ini, suatu fungsi sembarang memiliki relasi aljabar antara dan ,

yang dapat dinyatakan sebagai:

u 0y y

uyy += 0

Sehingga PD Linier (I) dapat ditulis sebagai:

[ ] [ ] [ ] ( )xfuycuybuya =++′+′+′′+′′ 000

dan, dengan memperhatikan hipotesis bahwa adalah solusi PD Linier tersebut

secara lengkap, maka berlaku juga persamaan berikut: 0y

0=+′+′′ ucubua

Dalam hal ini, u adalah solusi dari PD Linier tanpa suku ruas kanan, yang berarti bahwa teorema di atas telah dapat dibuktikan.

Catatan: Teorema ini, secara umum dan menyeluruh, juga berlaku untuk sembarang PD Linier dengan order sembarang.


A. Solusi Persamaan tanpa Ruas Suku Kedua

Persamaan yang dimaksudkan adalah:

0=+′+′′ ycybya (II)

Himpunan jawab dari persamaan seperti di atas terletak pada ruang vektorial berdimensi 2, yaitu INTEGRAL-INTEGRAL KHUSUS yang BEBAS secara LINIER:

dan sebagai anggota dari PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER order 2

tanpa ruas suku kedua. 1y 2y

JAWAB UMUM dari persamaan di atas adalah:

2211 yCyCy +=

dengan C dan C merupakan konstanta-konstanta riil sembarang (arbitrary). 1 2

Untuk mendapatkan INTEGRAL-INTEGRAL KHUSUS dari persamaan (II) di atas, perlu ditelusuri domain jawabnya pada keadaan yang paling rumit, yaitu pada domain BILANGAN KOMPLEKS:

rxey =

dengan r adalah BILANGAN KOMPLEKS, sehingga:

rxery =′rx2

ery =′′

dan, bila keduanya disubstitusikan ke dalam persamaan (II), akan diperoleh:

( ) 02 =++ rxecrbra

Harga ungkapan tidak pernah berharga nol, karena rxe r merupakan jawab dari PERSAMAAN KARAKTERISTIK order 2 berikut:

02 =++ crbra


Berdasarkan persamaan karakteristik tersebut di atas, dapat dibedakan 3 macam kemungkinan untuk perolehan JAWAB UMUM, yaitu berdasarkan harga-harga DISKRIMINAN (= b ) dari persamaan karakteristik tersebut. ca42 −

Kemungkinan #1: ( ) 042 >− cab

Ada 2 buah akar bilangan nyata yang berbeda, yaitu dan 1r 2r⇒

⇒ JAWAB UMUMnya adalah: xrxr eCeCy 21 21 +=

Kemungkinan #2: ( ) 042 =− cab

Ada 2 buah akar riil yang sama, yaitu = = 1r 2r ab 2− ⇒

JAWAB UMUMnya adalah: ( )

−+= xabCxCy

2exp21 ⇒

Kemungkinan #3: ( ) 042 <− cab

Ada 2 buah akar BILANGAN KOMPLEKS yang saling BERKONJUGASI, yaitu β±α i (α bagian riil atau nyata, dan β bagian imajiner)

⇒

JAWAB UMUMnya adalah: ( )xCxCey x β+β= α sincos 21 ⇒

Dalam problem-problem FISIKA, lebih sering digunakan JAWAB UMUM berikut: ( )ϕβ+ϕβ= α sinsincoscos xxeCy x , dengan

⇒

=ϕ

=ϕ

2

1

sin

cos

CC

CC atau

+=

=ϕ

22

21

21

2tan

CCCCC

Soal-soal latihan:

Selesaikan persamaan-persamaan diferensial (tanpa ruas suku kedua) berikut:

1. 065 =+′−′′ yyy

2. 044 =+′+′′ yyy

3. 0=+′+′′ yyy


4. 02 =−′+′′ yyy

5. 052 =+′+′′ yyy

6. 069 =+′+′′ yyy , dengan ( ) 30 =y dan ( ) 10 =′y

7. 04 =+′′ yy , dengan ( ) 10 =y dan ( ) 2−=π′y

Jawaban soal-soal latihan:

1. xx eCeCy 32

21 +=

2. ( ) 221

xeCxCy −+=

3.

+= − xCxCey x

23

223

12 sincos atau

ϕ−= − xeCy x

232 cos

4. xx eCeCy 221

−+=

5. ( )xCxCey x 2sin2cos 21 += − atau ( )ϕ−= − xeCy x 2cos

6. ( ) 332 xexy −+=

7. xxy 2sin2cos −=

B. Solusi Persamaan Lengkap dengan Suku Kedua berbentuk POLINOM


( )xPycybya n=+′+′′

Maka ⇒ Jika c , JAWAB KHUSUSnya berbentuk POLINOM berderajat n 0≠

⇒ Jika dan 0=c 0≠b , JAWAB KHUSUSnya berbentuk POLINOM berderajat (n + 1)

⇒ Jika dan 0=c 0=b , persamaannya menjadi lebih ringkas:


( )xPya n=′′ , sehingga JAWAB KHUSUSnya diperoleh dengan cara mengintegrasikan persamaan tersebut 2 kali berturut-turut.

Soal-soal latihan:

Selesaikan persamaan-persamaan diferensial order 2 berikut:

1. 1322 2 +−=−′+′′ xxyyy

2. 322 2 +−=+′+′′ xxyyy

3. 342 2 +−=′+′′ xxyy

4. 32 −+=′′ xxy


Soal no. 1: Persamaan tanpa ruas suku kedua, dapat ditulis 02 =−′+′′ yyy , sehingga persamaan karakteristiknya adalah 022 =−+ rr , yang memiliki akar-akar 11 =r dan 22 −=r , sehingga integral umum dari persamaan tanpa suku ruas kanan tersebut adalah:

xxu eCeCy 2

21−+=

Suku ruas kanan merupakan POLINOM berderajat 2, dan konstanta 0≠c , sehingga jawab khusus (= py ) dapat dicari melalui bentuk

polinom berikut: γ+β+α= xxyp

2

Untuk mencari harga-harga koefisien α , β , dan γ , lakukan KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan dengan tahapan berikut:

(– 2) x py a γ−β−α− 222 2 xx (+ 1) x py′ a β−α x2 (+ 1) x py ′′ a α2


Sehingga diperoleh KESAMAAN berikut:

( ) 13222222 22 +−=α+β+γ−α+β−+α− xxxx dan,

=α+β+γ−

=α+β−

=α−

122

322

22

45

21

1

−=γ

=β

−=α

sehingga, karena JAWAB UMUM dari PD order 2 tersebut adalah pu yyy += , diperoleh:

45

2122

21 −+−+=

+=

− xxeCeC

yyyxx

pu

Soal no. 2: Persamaan tanpa ruas suku kedua, dapat ditulis 02 =+′+′′ yyy , sehingga persamaan karakteristiknya adalah 022 =++ rr , yang

memiliki akar-akar BILANGAN KOMPLEKS

±− i

27

21

, atau

21−=α dan

27=β , sehingga:

+= − xCxCey x

u 27

227

12 sincos

Suku ruas kanan merupakan POLINOM berderajat 2, dan konstanta 0≠c , sehingga jawab khusus (= py ) dapat dicari melalui bentuk

polinom berikut: γ+β+α= xxyp

2

Untuk mencari harga-harga koefisien α , β , dan γ , lakukan KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan dengan tahapan berikut:

(+ 2) x py a γ+β+α 222 2 xx


(+ 1) x py′ a β+α x2 (+ 1) x py ′′ a α2


( ) 3222222 22 +−=α+β+γ+α+β+α xxxx dan,

=α+β+γ−=α+β

=α

322122

22

45

23

1

=γ−=β

=α

Karena JAWAB UMUM dari PD order 2 tersebut adalah pu yyy += , maka diperoleh:

45

232

27

227

12 sincos +−+

+= − xxxCxCey x

Soal no. 3: Persamaan tanpa ruas suku kedua, dapat ditulis 02 =′+′′ yy , sehingga persamaan karakteristiknya adalah ( ) 02 =+rr , yang berarti akar-akarnya berharga 01 =r dan 22 −=r , sehingga:

xu eCCy 2

21−+=

Suku ruas kanan merupakan POLINOM berderajat 2, tetapi konstanta 0=c , sehingga jawab khusus (= py ) hanya dapat dicari melalui

bentuk polinom berderajat 3 berikut: δ+γ+β+α= xxxyp

23

Untuk mencari harga-harga koefisien α , β , γ dan δ , lakukan KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan dengan tahapan berikut:

(0) x py a 0

(+ 2) x py′ a γ+β+α 246 2 xx

(+ 1) x py ′′ a β+α 26 x



( ) 34222646 22 +−=α+β+γ+α+β+α xxxx

dan,

=β+γ−=α+β

=α

322464

16

411

45

61

=γ

−=β

=α

Solusi parsial (khusus) dari PD order 2 tersebut dapat dituliskan sebagai:

xxxyp 4112

453

61 +−=

Karena JAWAB UMUM dari PD order 2 tersebut adalah pu yyy += , maka diperoleh:

xxxeCCy x4

112453

612

21 +−++= −

Soal no. 4: Persamaan diferensial ini tidak memiliki term y dan y′ , karena koefisien-koefisien c dan b berharga nol, sehingga PD tersebut harus diintegrasikan 2 x berturut-turut untuk mendapatkan solusinya:

12

2

3

33 Cxxxy +−+=′

212

34

23

612CxCxxxy ++−+=

Catatan: Solusi-solusi dari PD Linier order 2 ini sangat bergantung pada

konstanta-konstanta c dan b dalam bentuk umumnya.


C. Solusi Persamaan dengan Suku Kedua berbentuk emx Pn(x)

Persamaan yang dimaksudkan dapat ditulis sebagai:

( )xPeycybya nxm=+′+′′

Analogi dengan penyelesaian pada paragraf (B), ( )xPn sebagai POLINOM dapat digantikan oleh persamaan ( )xzz = , sehingga SOLUSI PARSIALnya dapat

menggunakan persamaan:

zey xmp =

Soal-soal latihan:

Carilah jawab dari persamaan-persamaan diferensial order 2 berikut:

1. xexyyy 322 −=−′−′′

2. ( )16 22 +−=+′−′′ − xxeyyy x

3. ( ) xexxyyy 2244 −=+′−′′

4. xeyyy 232 −=−′+′′

5. xeyyy −=−′−′′ 32


Soal no. 1:

Jika ruas suku kedua dihilangkan, maka persamaannya menjadi 02 =−′−′′ yyy , sehingga persamaan karakteristiknya adalah

022 =−− rr , yang memiliki akar-akar 21 =r dan 12 −=r , sehingga integral umum dari persamaan tanpa suku ruas kanan tersebut adalah:

xxu eCeCy −+= 2

21


Dengan memperhatikan suku ruas kanan, maka jawab khusus (= py ) dapat dicari melalui persamaan yang berbentuk:

03 zey x

p−=

Untuk mencari JAWAB dari persamaan (POLINOM) dalam variabel seperti di atas, maka lakukan KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan dengan tahapan berikut:

(– 2) x py a ze x32 −−

(- 1) x py′ a ( )zze x ′+−− − 33

(+ 1) x py ′′ a ( )zzze x ′′+′−− 693

KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan menjadi persamaan berikut:

( ) xx exzzze 323 107 −− =+′−′′

Term xe 3− tidak berharga nol, untuk sembarang x , sehingga ruas kanan dan kiri dapat dibagi dengan term tersebut, hasilnya:

2107 xzzz =+′−′′

dengan jawab untuk PD Linier order 2 dalam z seperti di atas:

100078

100142

101

0 ++= xxz

sehingga ( ) x

p exxy 31000

78100142

101 −++=

Dan, karena pu yyy += , maka JAWAB PD Linier order 2:

( ) xxx exxeCeCy 31000

78100142

101

22

1−− ++++=

z

Soal no. 2:

Dengan analogi yang sama seperti sebelumnya, diperoleh: xx

u eCeCy 32

21 += −


dengan jawab khusus (= py ) yang berbentuk:

02 zey x

p−=

maka KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan adalah sebagai berikut:

(– 6) x py a ze x26 −−

(- 1) x py′ a ( )zze x ′+−− − 22

(+ 1) x py ′′ a ( )zzze x ′′+′−− 442

KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan menjadi persamaan berikut:

( ) ( ) xx exxzze 222 15 −− +−=′−′′

dengan jawab untuk PD Linier order 2 dalam z seperti di atas:

xxxz125222

5033

151

0 −+−=

sehingga ( ) x

p exxxy 2125222

5033

151 −−+−=

Dan, karena pu yyy += , maka jawab PD Linier order 2:

( ) xxx exxxeCeCy 2125222

5033

1513

22

1−− −+−++=

Soal no. 3:

Dengan analogi yang sama seperti sebelumnya, untuk DISKRIMINAN sama dengan NOL, diperoleh:

( ) xu eCxCy 2

21 +=

dengan jawab khusus (= py ) yang berbentuk:

02 zey x

p =



(+ 4) x py a ze x24

(– 4) x py′ a ( )zze x ′+− 24 2

(+ 1) x py ′′ a ( )zzze x ′′+′+ 442

KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan menghasilkan persamaan diferensial order 2 berikut:

xxz −=′′ 2

dengan jawab untuk PD Linier order 2 dalam z seperti di atas: 3

614

121

0 xxz −=

dan ( ) x

p exxy 23614

121 −=

Dan, karena pu yyy += , maka jawab PD Linier order 2 tersebut:

( ) xeCxCxxy 221

3614

121 ++−=

Soal no. 4: Penulisan tanpa ruas kanannya adalah 032 =−′+′′ yyy , maka persamaan karakteristiknya adalah 0322 =−+ rr , yang memiliki akar-akar 31 −=r dan 12 =r , sehingga integral umum dari persamaan tanpa suku ruas kanan tersebut adalah:

xxu eCeCy 2

31 += −

Namun, jelas bahwa –2 bukan akar dari persamaan karakteristik di atas, sehingga jawab khususnya (= py ) harus dicari melalui bentuk:

xp ey 2−λ= , dengan λ merupakan konstanta sembarang


KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan menghasilkan persamaan berikut:

( ) xx ee 22344 −− =λ−λ−λ

dan,

31−=λ

sehingga jawab py di atas adalah:

xp ezy 2

31

0−−==

Karena jawab nyata adalah pu yyy += , maka diperoleh:

xxx eeCeCy 231

23

1−− −+=

Soal no. 5: Penulisan tanpa ruas kanannya adalah 02 =−′−′′ yyy , maka persamaan karakteristiknya adalah 022 =−− rr , yang memiliki akar-akar 11 −=r dan 22 =r , sehingga integral umum dari persamaan tanpa suku ruas kanan tersebut adalah:

xxu eCeCy 3

21 += −

dan, jelas bahwa –1 merupakan akar dari persamaan karakteristik di atas, sehingga jawab khususnya (= py ) dapat dicari melalui bentuk:

zey xp

2−=


(– 2) x py a ze x−− 2

(– 1) x py′ a ( )zze x ′+−− −

(+ 1) x py ′′ a ( )zzze x ′′+′−− 2


KESAMAAN antara ruas kiri dan ruas kanan menghasilkan persamaan diferensial order 2 berikut:

33 =′−′′ zz

dengan jawab untuk PD Linier order 2 dalam z seperti di atas: xz −=0

dan x

p exy −−=


xxx exeCeCy −− −+= 221

D. Solusi Persamaan dengan Suku Kedua berbentuk A1 cos ωx + B1 sin ωx


xBxAycybya ω+ω=+′+′′ coscos 11

Jika i ω bukan akar dari persamaan karakteristik, maka jawab khusus (= )

adalah dalam bentuk:

py⇒

xBxAy ω+ω= sincos

Jika i ω merupakan akar dari persamaan karakteristik, maka jawab khususnya (= ) berbentuk persamaan komposit berikut : py

⇒

( )xBxAxy ω+ω= sincos

Soal-soal latihan:


1. xxyyy 2sin22cos52 +=+′+′′

2. xyy 2cos4 =+′′


3. ( )xxxyy cos2sin94 −=+′′

4. ( )xxxyy 2sin2cos284 −=+′′

5. xxyy sin4 =+′′


Soal no. 1:

Persamaan tanpa suku ruas kanan, datap dituliskan: 052 =+′+′′ yyy

Persamaan karakteristik yang sesuai adalah:

0522 =++ rr Akar-akar persamaan karakteristik tersebut merupakan BILANGAN KOMPLEKS terkonjugasi, yaitu:

ir 212,1 ±−= Sehingga jawab umum dari persamaan di atas adalah:

( )xCxCey xu 2sin2cos 21 += −

Perhatikan, argumen cos atau sin (= x2 ) pada suku ruas kanan: bahwa i2 atau iω bukan akar dari persamaan karakteristik. Artinya, kita harus mencari jawab khusus py dalam bentuk:

xBxAyp 2sin2cos += Sehingga konstanta-konstanta A dan B dicari melalui KESAMAAN berikut:

(+ 5) x py a ( )xBxA 2sin2cos5 +× (+ 2) x py′ a ( )xBxA 2cos22sin22 +−× (+ 1) x py ′′ a ( )xBxA 2sin42cos41 −−×

yang berarti: ( ) ( ) xxxBAxBA 2sin22cos2sin42cos4 +=+−++

Untuk menghitung harga konstanta-konstanta A dan B tersebut, susunlah PERSAMAAN LINIER berikut:


=+−=+

2414

BABA

dan harga-harga

=

−=

176

177

B

A

sehingga xxy p 2sin2cos

176

177 +−=


( ) xxxCxCey x 2sin2cos2sin2cos176

177

21 +−+= −

Soal no. 2:

Persamaan tanpa suku ruas kanan, datap dituliskan: 04 =+′′ yy


042 =+r Akar-akar persamaan karakteristik tersebut merupakan BILANGAN KOMPLEKS terkonjugasi, yaitu:

ir 22,1 ±= Sehingga jawab umum dari persamaan di atas adalah:

xCxCyu 2sin2cos 21 +=

Perhatikan, argumen cos atau sin (= x2 ) pada suku ruas kanan: bahwa i2 atau iω adalah akar dari persamaan karakteristik. Artinya, untuk mencari jawab khusus py dapat digunakan persamaan:

( )xBxAxyp 2sin2cos +=

Dan, konstanta-konstanta A dan B dicari melalui KESAMAAN berikut:

(+ 4) x py a ( )xBxAx 2sin2cos4 +× ( 0 ) x py′ a ( ){

}xBxAxBxAx

2sin2cos2cos22sin2

++0 +−×


(+ 1) x py ′′ a ( ){}xAxB

xBxAx2sin42cos4

2sin42cos4−+

1 −−×

yang berarti: xxAxB 2cos2sin42cos4 =−

dalam hal ini: 0=A dan

41=B

sehingga

xxy p 2sin4

=


xCxxCy 2sin4

2cos 21

++=

Soal no. 3:

Persamaan tanpa suku ruas kanan, datap dituliskan: 04 =+′′ yy


042 =+r Akar-akar persamaan karakteristik tersebut merupakan BILANGAN KOMPLEKS terkonjugasi, yaitu:

ir 22,1 ±= Sehingga jawab umum dari persamaan di atas adalah:


yang berarti bahwa i (pada argumen sin atau cos di suku ruas kanan) bukan akar dari persamaan karakteristik. Artinya, untuk mencari jawab khusus py dapat digunakan persamaan dengan bentuk:

( ) ( ) xdxcxbxayp sincos +++=


PERHATIKAN, bahwa koefisien-koefisien sin dan cos yang terletak dalam kurung, semuanya berbentuk POLINOM order 1, karena SUKU RUAS KANAN dari PD Linier order 2 tersebut juga mengandung polinom dengan derajat yang setara.

Dan, konstanta-konstanta A dan B dicari melalui KESAMAAN berikut:

(+ 4) x py a ( ) ( ){ }xdxcxbxa 2sincos4 +++× ( 0 ) x py′ a ( ) ( ){ }xbxacxdxca sincos0 −−+++× (+ 1) x py′ a ( ) ( ){ }xdxcaxbxac sin2cos2 −−1 +−−×

yang berarti: ( ) ( )

xxxxxadxcxcbxa

cos18sin9sin233cos233

−=−++++

atau 6−=a , 2−=b , 3=c , dan 4−=d

sehingga diperoleh ( ) ( ) xxxxy p sin43cos26 −+−−=


( ) ( ) xxxxxCxCy sin43cos262sin2cos 21 −++−+=

Soal no. 4:

Analogi dengan penyelesaian sebelumnya, akar-akar persamaan karakteristik yang sesuai adalah:

ir 22,1 ±= dengan jawab umum dari persamaan di atas adalah:


yang berarti bahwa i2 (pada argumen sin atau cos pada suku ruas kanan) adalah akar dari persamaan karakteristik, dan, karena suku rruas


ruas kanan juga telah memiliki POLINOM derajat 1, maka untuk mencari jawab khusus py harus digunakan persamaan dengan bentuk:

( ) ( ) xxdxcxxbxayp 2sin2cos 22 +++= dengan menghitung turunan pertama y′ dan turunan kedua y ′′ , dan mensubstitusikan ke PD asal untuk KESAMAANnya, diperoleh:

( ) ( )xxxx

xbcxaxadxc2sin82cos16

2sin4282cos248−

=−+−+++

yang berarti

1=a , 1=b , 2=c , dan 21−=d

sehingga diperoleh

( ) xxxxxxy p 2sin2

22cos 22

−++=

Dan, karena pu yyy += , maka jawab PD Linier order 2 tersebut adalah:

( ) xCxxxCxxy 2sin2

22cos 22

12

+−+++=

Soal no. 5:

Analogi juga dengan penyelesaian-penyelesaian sebelumnya, maka akar-akar persamaan karakteristik yang sesuai adalah:

ir 22,1 ±= dengan jawab umum dari persamaan di atas adalah:


yang berarti bahwa i (pada argumen sin atau cos pada suku ruas kanan) bukan akar dari persamaan karakteristik, dan, karena suku ruas kanan juga berbentuk POLINOM derajat 1, maka untuk mencari jawab khusus py harus digunakan persamaan dengan bentuk:


( ) ( ) xdxcxbxayp sincos +++=

Maka jawab PD Linier order 2 tersebut adalah:

xCxCxxxy 2sin2coscossin 2192

31 ++−=

E. Solusi Persamaan dengan Suku Kedua berbentuk emx (A1 cos ωx + B1 sin ωx)

Solusi dan tahapan-tahapan penyelesaiannya analog dengan yang dijelaskan pada paragraf (C), yaitu Solusi Persamaan dengan Suku Kedua berbentuk emx Pn(x).

Persamaan yang dimaksudkan dapat ditulis sebagai:

( )xBxAeycybya xm ω+ω=+′+′′ sincos 11

yang berarti bahwa SOLUSI PARSIALnya dapat menggunakan persamaan pengganti berikut:

zey xmp =

Soal-soal latihan:


1. xeyyy x cos2932 −=−′−′′ 2. 2244 xeyyy x=+′−′′


Soal no. 1:

Fungsi pengganti yang dapat digunakan untuk solusi disini adalah:

zey xp

−=


Kemudian, langsung lakukan KESAMAAN ruas suku kiri dan suku kanan berdasarkan persamaan pengganti di atas:

(– 3) x py a { }ze x−×−3

(– 1) x py′ a ( ){ }zze x ′+−×− −1

(+ 2) x py ′′ a ( ){ }zzze x ′′+′−× − 22

Setelah dilakukan penyederhanaan dan dibagi dengan xe− (yang tidak pernah berharga nol), akan diperoleh:

xzz cos2952 =′−′′

Dari persamaan di atas, dapat diketahui bahwa i (argumen dari cos ) bukan akar dari karakteristiknya, sehingga jawab khususnya (= py ) harus dicari berdasarkan KESAMAAN berikut:

( 0 ) x pz a { }xBxA sincos0 +× (– 5) x pz′ a { }xAxB sincos5 −×− (+ 2) x pz ′′ a { }xBxA sincos2 −−×

yang diperoleh: ( ) ( ) xxBAxBA cos29sin25cos52 =−+−−

dan kemudian 2−=A dan 5−=B

sehingga diperoleh jawab khusus berikut

( )xxey xp sin5cos2 +−= −

Sedangkan, jawab umum tanpa ruas suku keduanya adalah: xx

u eCeCy −+= 223

1


( ) xxx exxeCeCy −− +−+= sin5cos2223

1


Soal no. 2:

Fungsi pengganti yang dapat digunakan untuk solusi disini adalah:

zey xp

2=

Dengan melakukan KESAMAAN antara suku ruas kiri dengan ruas kanan dari PD asalnya, diperoleh:

21x

z =′′

setelah diintegralkan, diperoleh

11 Cx

z +−=′

dan kemudian diintegralkan sekali lagi,

21ln CxCxz ++−=


[ ]212 ln CxCxey x ++−=


Proyek [P3]:


Documents

3 Persamaan-persamaan Diferensial Linier Orde-2Solusi ...staff.ui.ac.id/system/files/users/setijo.bismo/material/mod-03.pdf · Analogi dengan penyelesaian pada paragraf (B), Pn (x)